三角形全等专题倍长中线法

全等三角形基本判定条件：

1、三边对应相等(SSS)。

2、两边夹角对应相等(SAS)。

3、两角夹边对应相等(ASA)。

4、两角对边对应相等(AAS)。

5、直角三角形全等条件：①斜边及一直角边对应相等（HL）；

②一直角边及一锐角对应相等（ASA）或

斜边及一锐角对应相等（AAS）；

③两直角边对应相等(SAS) 。

★注意：直角三角形全等，除边边边（SSS），边角边（SAS），角边角（ASA），角角边（AAS）对应相等外，还有直角边及斜边（HL）、一直角边及一锐角（ASA)、斜边及一锐角（AAS）、两直角边（SS）等对应相等。

除以上基本判定外，全等三角形另外判定条件：

1、三条中线对应相等，两个三角形全等。

2、三条高线对应相等，两个三角形全等。

3、三条角平分线对应相等，两个三角形全等。

4、两个角及第三个角的角平分线对应相等，两个三角形全等。

5、两条边及第三条边上的中线对应相等，两个三角形全等。

6、钝角三角形中，一钝角和其一邻边对应相等，钝角所对的较大边也相等，两个三角形全等。或两边及其中一边的对角(钝角)对应相等，两个三角形全等。（SSA）

7、等腰三角形中，底边和顶角分别对应相等，两个等腰三角形全等。

8、等腰直角三角形中，周长相等，两个等腰直角三角形全等。（因为等腰直角三角形三边之比为1：1：√2，故周长相等时，等腰直角三角形的对应角相等，对应边相等，故全等）。

9、等边三角形中，有一边对应相等，两个三角形全等。

★特别提示：在三角形全等的判定中，一定有边相等，一定没有AAA和SSA（除非此角为钝角），这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

三角形全等的性质：

1.的相等。 4. 全等三角形的对应边上的中线相等。

2.全等三角形的对应边相等。 5.全等三角形的对应角的相等。

3.全等三角形面积周长相等。 6.全等三角形的对应边上的高对应相等。等腰三角形的性质

1、等腰三角形的两个底角度数相等（简写“”）。

2、等腰三角形的顶角平分线，底边上的，底边上的高重合（简写“等腰三角形的性质”）。

3、等腰三角形的两底角平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。

4、等腰底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。

5、等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。

6、等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（等面积法证明）。

7、等腰三角形是（不是等边三角形的情况下），只有一条，顶角平分线所在的是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。

8、等腰三角形的腰大于高。等腰三角形的腰的平方等于高的平方加底的一半的平方。

初中三角形全等专题倍长中线法

倍长中线法的定义：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造。中线倍长法多用于构造和证明边之间的关系以方

便求其中一边的范围值。

1、如图，在△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是( )

A.2＜AB＜12

B.4＜AB＜12

C.9＜AB＜19

D.10＜AB＜19 答案：C

解题思路：延长AD至E，使DE=AD，连接CE，可先证明△ABD≌△ECD，则AB=CE，在△ACE中，根据三角形的三边关系，得AE-AC＜CE＜AE+AC，即9＜CE＜19.则9＜AB＜19.故选C.

2、如图，已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB，给出下列结论：①AE=2AC；②CE=2CD；③∠ACD=∠BCE；④CB平分∠DCE，则以上结论正确的是（）

A.①②④

B.①③④

C.①②③

D.①②③④答案：A

解题思路：①正确，延长CD至点F，使得DF=CD，连接AF，可先证明△ADF≌△BDC，再证明△ACF≌△BEC，由这两个三角形全等可以得知②、④正确。由△ACF≌△BEC，得∠ACD=∠E,若要∠ACD=∠BCE，则需∠E＝∠BCE，则需BC=BE，显然不成立，故③选项错误

3、如图，点E是BC的中点，∠BAE=∠CDE，延长DE到点F使得EF=DE，连接BF，则下列说法正确的是（）

①BF∥CD ②△BFE≌△CDE ③AB=BF ④△ABE为等腰三角形

A.①②③

B.②③④

C.①③④

D.①②③④答案：A

解题思路：可以先证明△BEF≌△CED，可以得到②正确，进而得到∠F=∠D，BF∥CD，①正确，又∵∠BAE=∠CDE=∠F，∴AB=BF，③正确。④不正确。

4、如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上

的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为（）

A.1

B.2

C.3

D.4 答案：C

解题思路：延长FE交DA的延长线于点M，则可证△AEM≌△BEF，再证明△GEM≌△GEF，可以得到GF=GM=GA+BF=3，答案选C

5、如图，在△ABC中，点D、E为边BC的三等分点，则下列说法正确的有（）

①BD=DE=EC

②AB+AE＞2AD ③AD+AC＞2AE ④AB+AC＞AD+AE A.1个 B.2个

C.3个

D.4个答案：D

解题思路：点D、E为边BC的三等分点，∴BD=DE=CE延长AD至点M，AE 至点N，使得DM=AD，EN=AE，连接EM、CN，则可证明△ABD≌△MED，进而可得AB+AE＞2AD，再证明△ADE≌△NCE，进而可得AD+AC＞2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC＞2AD+2AE,即AB+AC＞AD+AE.∴①②③④均正确。

6、下列命题：①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等；②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等；③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等．其中正确的是（）

解答：解：①正确．可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等；

②正确．可以用“倍长中线法”，用SAS定理，判断两个三角形全等；

如图，分别延长AD、A′D′到E、E′，使得AD=DE，A′D′=D′E′，