独立性检验习题课
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2
≈1.871×10-4.
∵1.871×10-4<2.706,∴可以认为学生选报文、理科与对外语的
兴趣无关.
【例4】 下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表:
干净水 不干净水
总计
得病 52 94 146
不得病 466 218 684
总计 518 312 830
(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关, 请说明理 由; (2)若饮用干净水得病5人,不得病50人,饮用不干净水得 病9人,不得病22人.按此样本数据分析这种疾病是否与 饮用水有关,并比较两种样本在反映总体时的差异.
解 列出2×2列联表
有兴趣 无兴趣
总计
理
文
总计
138
73
211
98
52
150
236
125
361
(1)由 2×2 列联表可得|ad-bc|=|138×52-73×98|=22,则 ad 与
bc 相差较小,可认为学生选报文、理科与对外语的兴趣无关
(2)由列联表代入公式得 K2 的观测值
k =3621×36×13182×5×522-117×3×15908
练习3:气管炎是一种常见的呼吸道疾病,医药研究 P(χ≥人x0员) 0对.50两0种.40中草0.2药5 治0.1疗5 慢0.1性0 气0.管05 炎0.的025疗0效.01进0 0行.00对5 比0.00,1
x所0 得0数.45据5 0如.70表8 1所.32示3 2,.07问2 :2.7它06 们3.8的41疗5.效024有6无.635差7异.87?9 10.828
【例2】 某校对学生课外活动进行调查,结果整理成下表: 试用你所学过的知识进行分析,能否在犯错误的概率不 超过0.005的前提下,认为“喜欢体育还是文娱与性别有 关系”?
男生 女生 总计
体育 21 6 27
文娱 23 29 52
总计 44 35 79
误区警示 因未理解P(K2≥k0)的含义而致错
独立性检验的步骤:
①数据整理;(列2× 2联表)
②做出相反的假设;(“患病与吸烟没有关系”)
③计算 K 2;
K2
n(ad bc)2
(a b)(c d)(a c)(b d)
④查临界值表;
(n a b c d为样本量)
⑤下结论。
例1:在一次天气恶劣的飞行航程中,调查了男女乘客
在飞机上晕机的情况:男乘客晕机的有24人,不晕机的有31
解 (1)假设 H0:传染病与饮用水无关.把表中数据代入公式 得: K2 的观测值 k=8301×46×526×842×185-184×663×12942≈54.21, ∵54.21>10.828,所以拒绝 H0. 因此我们有 99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用不干 净水有关. (2)依题意得 2×2 列联表:
口服 注射 合计
有效 58 64 122
无效 40 31 71
合计 98 95 193
解:设H0:药的效果与给药方式没有关系。
2 19358 31 64 402 1.3896<2.072
122 71 98 95 因当H0成立时,χ2≥1.3896的概率大于15%,故不能否定假设
H0,即不能作出药的效果与给药方式有关的结论。
学习目标
1.会列2×2列联表,从列联表和等高条形图 中直观的判断出两个分类变量之间是否有 关?
2.通过实例分析、探究独立性检验的基本思 想、方法,理解独立性检验中K2的含义及 其实施步骤
3.能运用独立性检验解决简单实际问题
能够根据题目所给数据列出列联表及求K2.(重点) 独立性检验的基本思想和方法.(难点)
【示例】 某小学对232名小学生调查中发现:180名男生中有 98名有多动症,另外82名没有多动症,52名女生中有2名 有多动症,另外50名没有多动症,用独立性检验方法判断 多动症与性别是否有关系?
[错解] 由题目数据列出如下列联表:
多动症 无多动症 总计
男生
98
82
180
女生
2
50
52
总计
100
132
未感冒
感冒
合计
使用血清
258
242
500
未使用血清
216
284
500
合计
474
526
1000
解:设H0:感冒与是否使用该血清没有关系。
2 1000258 284 242 2162 7.075
474 526 500 500 因当H0成立时,χ2≥6.635的概率约为0.01,故有99%的把握认
练习1.在500人身上试验某种血清预防感冒作用,把他 们P(一χ≥x年0) 中0.5的0 感0.4冒0 记0.录25 与0.1另5 外0.510000名.05未0用.02血5 0清.01的0 人0.0的05 感0.0冒01 记录x0 作比0.4较55,0.7结08果1.3如23表2.0所72示2.7。06问3.:841该5种.02血4 6清.63能5 否7.8起79 到10.预828 防感冒的作用?
复方江剪刀草 胆黄片 合计
有效 184 91 275
无效 61 9 70
合计 245 100 345
解:设H0:两种中草药的治疗效果没有差异。
2 345184 9 61 912 11.098
275 70 245100
因当H0成立时,χ2≥10.828的概率为0.001,故有99.9%的把握 认为,两种药物的疗效有差异。
232
k=23120×0×9183×2×501-802××58222≈42.117>10.828.
所以有 0.1%的把握认为多动症与性别有关系.
【例3】为了探究学生选报文、理科是否与对外语的 兴趣有关,某同学调查了361名高二在校学生,调 查结果如下:理科对外语有兴趣的有138人,无兴 趣的有98人,文科对外语有兴趣的有73人,无兴 趣的有52人.试分别用列联表、独立性检验的方 法分析学生选报文、理科与对外语的兴趣是否有 关?
人;女乘客晕机的有8人,不晕机的有26人.请你根据所给数
据判定:在天气恶劣的飞行航程中,男乘客是否比女乘客更
容易晕机?
【解】 根据题意,列出 2×2 列联表如下:
晕 机 不晕机 总 计
男乘客 24
31
wk.baidu.com
55
女乘客 8
26
34
总 计 32
57
89
【题后点评】解决一般的独立性检验问题的步骤:
(1)通过所给列联表确定a,b,c,d,n的值. (2)利用K2=求随机变量K2的观测值k. (3)得出两个变量X与Y是否有关系.
为该血清能起到预防感冒的作用。
练P习(χ≥2x:0) 为0.5研0 究0.4不0 同0.2的5 给0.1药5 方0.式10 (0口.05服0与.02注5 0射.01)0 和0.0药05 的0.001 效x果0 (0有.45效5 0与.70无8 1效.32)3 2是.07否2 2有.70关6 ,3.8进41行5.了024相6.应635的7抽.87样9 1调0.828 查,调查的结果列在表中,根据所选择的193个病人 的数据,能否作出药的效果和给药方式有关的结论?
干净水 不干净水
总计
得病 5 9 14
不得病 50 22 72
总计 55 31 86
此时,K2 的观测值 k=86× 14×5×722×2-555×0×3192≈5.785.
由于5.785>5.024 所以我们有97.5%的把握认为该种疾病与饮用不干净水有 关. 两个样本都能统计得到传染病与饮用不干净水有关这一相 同结论,但(1)中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性, (2)中我们只有97.5%的把握肯定.