随机变量及其分布列与独立性检验练习题附答案

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离散型随机变量及其分布列测试题（含答案）

离散型随机变量及其分布列测试题（含答案）离散型随机变量及其分布列测试题⼀、选择题：1、如果X 是⼀个离散型随机变量，则假命题是( )A. X 取每⼀个可能值的概率都是⾮负数；B. X 取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某⼏个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. X 在某⼀范围内取值的概率⼤于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台⼀⼩时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取⼀个数X ；③某超市⼀天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（）A ．12 B ．6 C ．3 D ．44、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,k P X k k n λ===??，则λ的值为（）A ．1；B ．12； C ．13； D ．145．给出下列四个命题：①15秒内，通过某⼗字路⼝的汽车的数量是随机变量；②在⼀段时间内，某侯车室内侯车的旅客⼈数是随机变量；③⼀条河流每年的最⼤流量是随机变量；④⼀个剧场共有三个出⼝，散场后某⼀出⼝退场的⼈数是随机变量．其中正确的个数是（ D ）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．46、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（）A. 4B. 6C. 10D. ⽆法确定7、投掷两枚骰⼦，所得点数之和记为X ，那么4X =表⽰的随机实验结果是（）A. ⼀枚是3点，⼀枚是1点B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. ⼀枚是3点，⼀枚是1点或两枚都是2点8．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率是310A ．恰有1只是坏的B ．4只全是好的C ．恰有2只是好的D ．⾄多有2只是坏的9.(2007年湖北卷第1题) 如果nx x ??? ?-3223 的展开式中含有⾮零常数项，则正整数n 的最⼩值为 A.3 B.5 C.6 D.1010.（2007年湖北卷第9题）连掷两次骰⼦得到的点数分别为m 和n ，记向量a =(m,n)与向量b =(1,-1)的夹⾓为θ，则??π∈θ20，的概率是A.125 B.21 C.127 D.65 11.（2007年北京卷第5题）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位⽼⼈拍照，要求排成⼀⾏，2位⽼⼈相邻但不排在两端，不同的排法共有A ．1440种 B.960种 C ．720种 D.480种12.(2007年全国卷Ⅱ第10题) 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期⽇参加公益活动，每⼈⼀天，要求星期五有2⼈参加，星期六、星期⽇各有1⼈参加，则不同的选派⽅法共有 (A)40种 (B) 60种 (C) 100种 (D) 120种⼆、填空题：13 、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是（把全部正确的答案序号填上）()2,1,2,3,,21n P X k k n ===-14、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10 ，则X 的取值为 15、⼀袋中装有5只同样⼤⼩的⽩球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最⼤号码数X 可能取值为16. (2007年重庆卷第4题)若1nx x ?+展开式的⼆项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____17、某城市出租汽车的起步价为10元，⾏驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不⾜1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于⾏车路线的不同以及途中停车时间要转换成⾏车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机⼀次接送旅客的⾏车路程ξ是⼀个随机变量，他收旅客的租车费可也是⼀个随机变量 (1)求租车费η关于⾏车路程ξ的关系式； (2)已知某旅客实付租车费38元，⽽出租汽车实际⾏驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多⼏分钟?18、⼀盒中放有⼤⼩相同的红⾊、绿⾊、黄⾊三种⼩球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的⼀半．现从该盒中随机取出⼀个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出⼀球所得分数X 的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每⼀值时的概率．19.(2007年重庆卷第6题) 从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中⾄少有2张价格相同的概率20.(2007年辽宁卷) ⼀个坛⼦⾥有编号为1，2，…，12的12个⼤⼩相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是⿊球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且⾄少有1个球的号码是偶数的概率为多少 21、⼀个类似于细胞分裂的物体，⼀次分裂为⼆，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，⽽随机终⽌．设分裂n 次终⽌的概率是n21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终⽌后所⽣成的⼦块数⽬，求(10)P X ≤.22．(本题满分12分)(2010·浙江杭州⾼⼆检测)甲、⼄等五名奥运志愿者被随机地分到A ，B ，C ，D 四个不同的岗位服务，每个岗位⾄少有⼀名志愿者．② ()1,2,3,4,5,P X k k k=== ④⑤(1)求甲、⼄两⼈同时参加A 岗位服务的概率； (2)求甲、⼄两⼈不在同⼀个岗位服务的概率；(3)设随机变量X 为这五名志愿者中参加A 岗位服务的⼈数，求X 的分布列．⾼中数学系列2—3单元测试题（2.1）参考答案⼀、选择题：1、D2、D3、C4、B5、D6、C7、D8、C9、B 10、C 11、B 12、B ⼆、填空题： 13、③④ 14、13579,1,,2,,3,,4,,52222215、 3,4,5 16、 2017、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15．所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 18、解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==．19、解从总数为10的门票中任取3张，总的基本事件数是C 310=120，⽽“⾄少有2张价格相同”则包括了“恰有2张价格相同”和“恰有3张价格相同”，即C 25+C 9033351822172315=++?+??C C C C C C （种）.所以，所求概率为.4312090= 20解P （A ）=112211122232562122326=??-?=-C C C .21、解：依题意，原物体在分裂终⽌后所⽣成的数⽬X 的分布列为．∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．22. [解析] (1)记甲、⼄两⼈同时参加A 岗位服务为事件E A ，那么P (E A )＝A 33C 25A 44＝140.即甲、⼄两⼈同时参加A 岗位服务的概率是140.(2)记甲、⼄两⼈同时参加同⼀岗位服务为事件E ，那么P (E )＝A 44C 25A 44＝110.所以，甲、⼄两⼈不在同⼀岗位服务的概率是P (E )＝1－P (E )＝910.(3)随机变量X 可能取的值为1,2，事件“X ＝2”是指有两⼈同时参加A 岗位服务，则P (X ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14.所以P (X ＝1)＝1－P (X ＝2)＝34，X 的分布列为：。

随机变量及其分布列习题(含解析)

一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．2．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共8小题）1．（1）100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列；（2）某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列．【解答】解：（1）由题意知ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5，每次取出次品的概率为：，相当于5次独立重复实验，ξ～B（5，），P（ξ＝0）＝＝0.59059，P（ξ＝1）＝＝0.32805，P（ξ＝2）＝＝0.07329，P（ξ＝3）＝＝0.0081，P（ξ＝4）＝＝0.00045，P（ξ＝5）＝＝0.00001，∴ξ的分布列为：ξ012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.00001（2）由题意知η的可能取值为0，1，2，3，4，5，且η～B（5，0.1），∴η的分布列为：η012345P0.590590.328050.07290.00810.000450.000012．为创建国家级文明城市，某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”，该城市某出租车公司共200名司机，他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示．（1）求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数；（2）从这200名司机中任选2人，设这2人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X，求X的概率分布．【解答】解：（1）由统计图得200名司机中送考1次的有20人，送考2次的有100人，送考3次的有80人，∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为；（2）从该公司任选两名司机，记“这两人中﹣人送考1次，另一人送考2次”为事件A，“这两人中一人送考2次，另一人送考3次“为事件B，“这两人中﹣人送考1次，另一人送考3次”为事件C，“这两人送考次数相同”为事件D，由题意知X的所有可能取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为：X012P3．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．（1）求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；（2）设ξ表示选出的3名同学中男生的人数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）由意可知，选出的3名同学全是男生的概率为＝，∴选出的3名同学中至少有1名女生的概率为P＝1﹣＝．（2）根据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ0123P4．甲袋中有2个黑球，4个白球，乙袋中有3个黑球，3个白球，从两袋中各取一球．（Ⅰ）求“两球颜色相同”的概率；（Ⅱ）设ξ表示所取白球的个数，求ξ的概率分布列．【解答】解：（I）从甲中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，从乙中取出黑球的概率为，取出白球的概率为，故“两球颜色相同”的概率P＝．（II）由题意可得，ξ所有可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ012P5．设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X−101P1﹣2q q2（1）求q的值；（2）求P（X＜0），P（X＜1）．【解答】解：（1）依题意，得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）得，，所以，．6．某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响．（1）求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率（用数字作答）；（2）求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率（用数字作答）；（3）设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列．【解答】解：（1）设事件该射手第i次射击，击中目标为A i，i＝1，2，3，则，所以，事件射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标可表示为，因为事件，，A1A2A3互斥，所以又事件A1，A2，A3相互独立，所以＝＝；（2）事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次等于事件前3次中恰好击中两次目标且第四次击中目标，又各次击中目标的概率为，所以前3次中恰有两次击中目标的概率为，第四次击中目标的概率为，所以事件射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率；（3）由已知ξ的取值有3，4，5，⋅⋅⋅，n，⋅⋅⋅，又，，，⋅⋅⋅，，所以随机变量ξ的分布列为：ξ345…n…P……7．袋中有3个红球，4个黑球，从袋中任取4个球．（1）求红球个数X的分布列；（2）若取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，求得分不小于6分的概率．【解答】解：（1）由题意可得，X可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，故X的分布列为：X0123P（2）设得分为Y，则得分Y可以取4，5，6，7，分别对应4个黑球，3黑1红，2黑2红，1黑3红四种情况，P（Y≥6）＝P（Y＝6）+P（Y＝7）＝，故得分不小于6分的概率为．8．从5名男生和3名女生中任选2人去参加学校组织的“低碳杯”知识抢答赛，用ξ表示选出的女生的人数．（1）求随机变量ξ的分布列；（2）求事件“选出的2学生至少有一女生”的概率．【解答】解：（1）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴随机变量ξ的分布列为：ξ012P（2）事件“选出的2学生至少有一女生”的概率为：P＝P（ξ＝1）+P（ξ＝2）＝＝．。

独立性检验练习含答案

§1.1 独立性检验一、基础过关1．当χ2>2.706时，就有________的把握认为“x 与y 有关系”．2．在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶，则χ2≈__________.(结果保留3位小数)3．分类变量X 和Y 的列表如下，则下列说法判断正确的是________．(填序号)y 1 y 2 总计x 1 a b a ＋b x 2c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d①ad －bc 越小，说明X 与Y 的关系越弱； ②ad －bc 越大，说明X 与Y 的关系越强； ③(ad －bc )2越大，说明X 与Y 的关系越强； ④(ad －bc )2越接近于0，说明X 与Y 的关系越强．4．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计6050110由χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )算得，χ2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.8.附表：P (χ2≥k ) 0.050 0.010 0.001 k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是________．①在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”； ②在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”； ③有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”； ④有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”．5．为了研究男子的年龄与吸烟的关系，抽查了100个男子，按年龄超过和不超过40岁，吸烟量每天多于和不多于20支进行分组，如下表：年龄合计不超过40岁超过40岁吸烟量不多于20支/天 50 15 65 吸烟量多于20支/天10 25 35 合计6040100则有________的把握确定吸烟量与年龄有关．二、能力提升6．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些情况，具体数据如下表：专业性别非统计专业统计专业合计男 13 10 23 女 7 20 27 合计203050为了判断主修统计专业是否与性别有关，根据表中的数据，得χ2＝50×(13×20－10×7)223×27×20×30≈4.844.因为χ2≈4.844>3.841，所以判断主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．7．在2×2列联表中，若每个数据变为原来的2倍，则卡方值变为原来的________倍． 8．下列说法正确的是________．(填序号)①对事件A 与B 的检验无关，即两个事件互不影响； ②事件A 与B 关系越密切，χ2就越大；③χ2的大小是判断事件A 与B 是否相关的惟一数据； ④若判定两事件A 与B 有关，则A 发生B 一定发生．9．为研究某新药的疗效，给50名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：无效有效总计男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 总计2179100设H 0：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2的值约为________，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的可能性为________．10．某县对在职的71名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示：支持新教材支持旧教材合计教龄在15年以上的教师122537教龄在15年以下的教师102434合计224971根据此资料，你是否认为教龄的长短与支持新的数学教材有关？11．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：得病不得病总计干净水52466518不干净水94218312总计146684830(1)这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关，请说明理由；(2)若饮用干净水得病5人，不得病50人；饮用不干净水得病9人，不得病22人．按此样本数据分析这种疾病是否与饮用水的卫生程度有关，并比较两种样本在反映总体时的差异．三、探究与拓展12．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：分组[29.86，29.90) [29.90，29.94) [29.94，29.98)[29.98，30.02)频数126386182分组[30.02，30.06) [30.06，30.10) [30.10，30.14)频数9261 4乙厂：分组[29.86，29.90) [29.90，29.94) [29.94，29.98) [29.98，30.02)频数297185159分组[30.02，30.06) [30.06，30.10) [30.10，30.14)频数766218(1)分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；(2)由以上统计数据填写2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．答案1．90% 2.16.373 3.③ 4.③ 5.99.9% 6．5% 7.2 8.② 9.4.882 5%10．解由公式得χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝71×(12×24－25×10)237×34×22×49≈0.08.∵χ2<2.706.∴我们没有理由说教龄的长短与支持新的数学教材有关． 11．解 (1)假设：传染病与饮用水的卫生程度无关．由公式得χ2＝830×(52×218－466×94)2146×684×518×312≈54.21.因为54.21>10.828.因此我们有99.9%的把握认为该地区这种传染病与饮用水的卫生程度有关． (2)依题意得2×2列联表：得病不得病总计干净水 5 50 55 不干净水 9 22 31 总计147286此时，χ2＝86×(5×22－50×9)255×31×14×72≈5.785.由于5.785>5.024，所以我们有97.5%的把握认为该种传染病与饮用水的卫生程度有关．两个样本都能统计得到传染病与饮用水的卫生程度有关这一相同结论，但(1)问中我们有99.9%的把握肯定结论的正确性，(2)问中我们只有97.5%的把握肯定结论的正确性． 12．解 (1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500×100%＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500×100%＝64%. (2)甲厂乙厂总计优质品 360 320 680 非优质品 140 180 320 总计5005001 000由列联表中的数据，得χ2＝1 000×(360×180－320×140)2680×320×500×500≈7.353>6.635.所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．Welcome To Download !!!欢迎您的下载，资料仅供参考！。

01离散型随机变量及其分布列(检测+答案)

离散型随机变量及其分布列一、离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X 、Y 、ξ、η …表示．所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量．二、离散型随机变量的分布列一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2， …x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2， … ，n)的概率P(X ＝x i )＝p i ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列．有时为了表达简单，1.i P ≥0，i ＝1,2，…，n ； 211n i i p ==∑.四、常见离散型随机变量的分布列p ＝P(X ＝1)为成功概率．2．超几何分布列一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k}发生的概率为(),0,1,2,k n k M N M n C C P X k k m C --=== .其中m ＝min{M ，n}，且n≤N ，M≤N ，n ，M ，N ∈N*.称分布列例1：设随机变量X A.1 B.1 C.23 D.12X ，那么X ＝4表示的随机试验结果是( )A ．2颗都是4点B ．1颗是1点，另一颗是3点C ．2颗都是2点D ．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点解：X ＝4表示的随机试验结果是1颗1点，另1颗3点或者两颗都是2点．例3：若随机变量X 的分布列P (x ＝i )＝i 2a(i ＝1、2、3)，则P (x ＝2)＝ ( ) A.1 B.1 C.1 D.1 ＝0.3，那么n ＝________.2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，则随机变量X 的概率分布解：P (X ＝0)＝1C 25＝110，P (X ＝1)＝C 3C 2C 25＝35，P (X ＝2)＝C 3C 25＝310. 1．对随机变量的理解(1)随机变量具有如下特点：其一，在试验之前不能断言随机变量取什么值，即具有随机性；其二，在大量重复试验中能按一定统计规律取实数值的变量，即存在统计规律性．(2)由离散型随机变量分布列的概念可知，离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．因此，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．分布列正误的检验方法对于离散型随机变量的分布列，要注意利用它的两条性质检验所列分布列是否正确，如果求出的离散型随机变量的分布列不满足这两条性质，就说明计算过程中存在错误；反之，也不能说明所得分布列一定是正确的．但要掌握利用这两条性质判断计算过程是否存在错误的方法．例6：设X则q 等于 A ．1 B ．1±2 C ．1－2 D ．1＋2则k 的值为 A.12B ．1C ．2D ．3若P (ξ2<x )＝1112，则实数x 的取值范围是__________．i i ＝1,2…. 2．P 1＋P 2＋…＋P n ＝1.其主要作用是用来判断离散型随机变量的分布列的正确性，或者用来计算随机变量取某些值的概率. 例9：某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．求X 的分布列．解：X 的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P (X ＝i )＝C i 4C 4－i 4C 4(i ＝0,1,2,3,4)，即例10：1个红球每次胜、负、平的概率相等．已知当这4场比赛结束后，该班胜场多于负场．(1)求该班级胜场多于负场的所有可能的个数和；解：由题意知η可取3,2,1,0即当η＝3时，ξ＝0.η＝2时，ξ＝1.η＝1时，ξ＝2.η＝0时，ξ＝3.∴η的分布列为η 3 2 1 0P 542 1021 514 121例13：第:31组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如下茎如图(单位：cm)：若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪解：(1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以抽中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有1名‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710. (2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3P 1455 2855 1255 155胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．解：(1)设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D 、E 、F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5，由对立事件的概率公式知P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5红队至少两人获胜的事件有：DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由题意知ξ可能的取值为0,1,2,3.又由(1)知F 、E 、D 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此p (ξ＝0)＝P (DEF )＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P (ξ＝1)＝P (DE F )＋P (DEF )＋P (D EF )＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P (ξ＝3)＝P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由对立事件的概率公式得 P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝0.4.所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 因此E (ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.。

人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．在一个箱子中装有大小形状完全相同的有4个白球和3个黑球，现从中有放回地摸取5次，每次随机摸取一球，设摸得的白球个数为X ，黑球个数Y ，则（） A ．()()()(),E X E Y D X D Y >> B ．()()()(),E X E Y D X D Y => C ．()()()(),E X E Y D X D Y >=D ．()()()(),E X E Y D X D Y ==2．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险.为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布()20.1,0.3N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间()0.4,0.7内的概率为（）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,Nμσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A ．31.74%B ．27.18%C ．13.59%D ．4.56%3．假定男女出生率相等，某个家庭有两个小孩，已知该家庭至少有一个女孩，则两个小孩都是女孩的概率是（） A ．12B ．13C ．14D ．164．某地区共有高二学生5000人，该批学生某次数学考试的成绩服从正态分布()260,8N ，则成绩在7684分的人数大概是（）附：()0.6827P Z μσμσ-<<+=，()220.9545P Z μσμσ-<<+=，()330.9973P Z μσμσ-<<+=.A ．107B ．679C ．2493D ．23865．设103p <<，随机变量ξ的分布列如下：当p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，下列结论正确的是（） A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大 C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小6．某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（） A ．0.495%B ．0.940 5%C ．0.999 5%D ．0.99%7．设01p <<，随机变量ξ的分布列是ξ0 12P2p 12p- 12则当p 在()0,1内增大时（） A ．()E ξ减小，()D ξ减小 B ．()E ξ减小，()D ξ增大 C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大8．已知随机变量~X N ()22,σ，(0)0.84P X=，则(04)P X <<=（）A ．0.16B ．0.32C ．0.66D ．0.689．已知随机变量ξ的取值为()0,1,2i i =.若()105P ξ==，()1E ξ=，则( ) A ．()()1P D ξξ=< B ．()()1P D ξξ== C ．()()1P D ξξ=>D ．()()115P D ξξ==10．已知甲、乙、丙三名同学同时独立地解答一道导数试题，每人均有23的概率解答正确，且三个人解答正确与否相互独立，在三人中至少有两人解答正确的条件下，甲解答不正确的概率（） A ．1320B ．920C ．15D ．12011．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数2222()x f x e-μ-σ=π⋅σ（）x ∈R （）曲线如图所示，正态变量X 在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%，则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是（）A ．997B ．954C ．683D ．34112．已知2~(1,)X N σ，(03)0.7P X <≤=，(02)0.6P X <≤=，则(3)≤=P X （） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.9二、填空题13．设10件产品中含有3件次品，从中抽取2件进行调查，则查得次品数的数学期望为__________.14．由“0，1，2”组成的三位数密码中，若用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件，则(|)P A B =__________.15．某工厂在试验阶段大量．．生产一种零件，这种零件有A 、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响，若有且仅有一项技术指标达标的概率为12，至少一项技术指标达标的概率为34.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品，任意依次抽取该种零件4个，设ξ表示其中合格品的个数，则E ξ=______.16．已知随机变量X 的分布列为(0,0)a b >>，当D(X)最大时，E(X)=_______________．17．已知随机变量ξ的分布列为且数学期望83E ξ=，则方差D ξ=__________． 18．袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球，设“第一次摸得红球”为事件A ，“摸得的两球同色”为事件B ，则概率P(B|A)＝________.三、解答题19．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除了颜色外均相同. （1）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记取到红球的次数为ξ，求ξ的分布列；（3）每次从纸箱中摸取一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取20次，取得几次红球的概率最大？（只需写出结论）20．为了解果园某种水果产量情况，随机抽取100个水果测量质量，样本数据分组为[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400（单位：克），其频率分布直方图如图所示：（1）用分层抽样的方法从样本里质量在[)250,300，[)300,350的水果中抽取6个，求质量在[)250,300的水果数量；（2）从（1）中得到的6个水果中随机抽取3个，记X 为质量在[)300,350的水果数量，求X 的分布列和数学期望；（3）果园现有该种水果越20000个，其等级规则及销售价格如下表所示：质量m （单位：克） 200m < 200300m ≤<300m ≥等级规格二等一等特等价格（元/个）471021．张明要参加某单位组织的招聘面试.面试要求应聘者有7次选题答题的机会(选一题答一题)，若答对4题即终止答题，直接进入下一轮，否则被淘汰.已知张明答对每一道题的概率都为12. （1）求张明进入下一轮的概率；（2）设张明在本次面试中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望. 22．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8,0.1,0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回．试求：（1）顾客买下该箱的概率α；（2）在顾客买下的一箱中，求无残次品的概率β.23．时值金秋十月，秋高气爽，我校一年一度的运动会拉开了序幕.为了增加运动会的趣味性，大会组委会决定增加一项射击比赛，比赛规则如下：向甲､乙两个靶进行射击，先向甲靶射击一次，命中得2分，没有命中得0分；再向乙靶射击两次，如果连续命中两次得3分，只命中一次得1分，一次也没有命中得0分.小华同学准备参赛，目前的水平是：向甲靶射击，命中的概率是35；向乙靶射击，命中的概率为23.假设小华同学每次射击的结果相互独立.（1）求小华同学恰好命中两次的概率；（2）求小华同学获得总分X 的分布列及数学期望.24．现有编号为1，2，3的三只小球和编号为1，2，3的三个盒子，将三只小球逐个随机地放入三个盒子中，每只球的放置相互独立. （1）求恰有一个空盒的概率；（2）求三只小球在三个不同盒子中，且每只球编号与所在盒子编号不同的概率；（3）记录所有至少有一只球的盒子，以X 表示这些盒子编号的最小值，求()E X . 25．随着如今人们生活水平的不断提高，旅游成了一种生活时尚，尤其是老年人的旅游市场在不断扩大.为了了解老年人每年旅游消费支出（单位：元）的情况，相关部门抽取了某地区1000名老年人进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：（2）根据样本数据，可近似地认为老年人的旅游费用支出X 服从正态分布()23000,1000N ，若该地区共有老年人95000人，试估计有多少位老年人旅游费用支出在5000元以上；（3）已知样本数据中旅游费用支出在[)5000,6000范围内的10名老人中有7名女性，3名男性.现想选其中3名老人回访，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列. 附：若()2~,X Nμσ，()0.6826P X μσμσ-<<+=，()220.9544P X μσμσ-<<+=，()330.9973P X μσμσ-<<+=.26．为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现F 症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现F 症状的概率均为13，且每次给药后是否出现F 症状与上次给药无关．（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现2次F 症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F 症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为X ，求X 的分布列和数学期望．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是47，它是黑球的概率是37，因此4(5,)7XB ，3(5,)7YB ，由二项分布的均值与方差公式计算后可得结论．【详解】有放回地摸出一个球，它是白球的概率是47，它是黑球的概率是37，因此4(5,)7XB ，3(5,)7YB ，∴420()577E X =⨯=，315()577E Y =⨯=， 4360()57749D X =⨯⨯=，3460()57749D Y =⨯⨯=．故选：C 【点睛】结论点睛：本题考查二项分布，掌握二项分布的概念是解题关键．变量(,)XB n p ，则()E X np =，()(1)D X np p =-．2．C解析：C 【分析】由题意可知0.1,0.3μσ==，结合题意得出(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<=，再由()(0.50.7)(0.20.4)0.40.72P P P ξξξ-<<--<<<<=，即可得出答案.【详解】由题意可知0.1,0.3μσ==则(0.20.4)68.27%P ξ-<<=，(0.50.7)95.45%P ξ-<<= 即()(0.50.7)(0.20.4)95.45%68.27%0.40.713.59%22P P P ξξξ-<<--<<-<<===故选：C【点睛】本题主要考查了利用正态分布对称性求概率，属于中档题.3．B解析：B 【分析】记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，分别求出A 、B 的结果个数，问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式求解即可. 【详解】解：一个家庭中有两个小孩只有4种可能：{男，男}，{男，女}，{女，男}，{女，女}．记事件A 为“至少有一个女孩”，事件B 为“另一个也是女孩”，则{A =（男，女），（女，男），（女，女）}，{B =（男，女），（女，男），（女，女）}，{AB =（女，女）}．于是可知3()4P A =，1()4P AB =．问题是求在事件A 发生的情况下，事件B 发生的概率，即求(|)P B A ，由条件概率公式，得()114334P B A ==．故选：B ．【点睛】本题的考点是条件概率与独立事件，主要考查条件概率的计算公式：()()()P AB P B A P A =，等可能事件的概率的求解公式：()mP M n=（其中n 为试验的所有结果，m 为基本事件的结果）.4．A解析：A 【分析】由已知结合2σ与3σ原则求得P （76＜Z ＜84），乘以5000得答案．【详解】由学生某次数学考试的成绩服从正态分布N （60，82），得μ＝60，σ＝8，(7684)(23)P Z P Z μσμσ∴<<=+<<+1[(33)(22)]2P Z P Z μσμσμσμσ=-<<+--<<+1(0.99730.9545)0.02142=-= ∴成绩在76～84分的人数大概是5000×0.0214＝107．故选：A ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．5．A解析：A 【分析】根据方差公式得出211()64D p ξ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质，即可得出答案. 【详解】122()01333E p p p ξ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222122()013333D p p p p ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--++-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯2212113964p p p ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭当p 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内增大时，()D ξ∴减小故选：A 【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量的方差，涉及了二次函数性质的应用，属于中档题.6．A解析：A 【分析】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”,由题得P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99，由条件概率得P (AB )＝P （B ）P (A |B )，计算即得解. 【详解】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”．依题意知P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99，由条件概率公式P (A |B )＝()()P AB P B ，得P (AB )＝P （B ）P (A |B )＝0.005×0.99=0.00495，故选：A. 【点睛】本题主要考查条件概率的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．B解析：B 【分析】根据题意计算随机变量ξ的分布列和方差，再判断p 在(0,1)内增大时，()E ξ、()D ξ的单调性即可．【详解】解：设01p <<，随机变量ξ的分布列是1131()01222222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=-，方差是22231311311()(0)(1)(2)222222222p p D p p p ξ-=-+⨯+-+⨯+-+⨯ 21144p p =-++ 215(2)44p =--+，当p 在(0,1)内增大时，()E ξ减小，()D ξ增大．故选：B ．【点睛】本题考查了离散型随机变量的数学期望与方差的计算问题，也考查了运算求解能力．8．D解析：D 【分析】先由对称性求出(X 4)P ≥，再利用(04)12(4)P X P X <<=-≥即得解. 【详解】由于随机变量~X N ()22,σ，关于2X =对称，故(4)(0)1(0)10.840.16P X P X P X ≥=≤=-≥=-= (04)12(4)10.320.68P X P X ∴<<=-≥=-=故选：D 【点睛】本题考查了正态分布在给定区间的概率，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】设()1P x ξ==，根据()f x ，()1E ξ=列方程求出x ，进而求出()D ξ，即可比较大小. 【详解】设()1P x ξ==，则()425P x ξ==-，则()1480121555x x E x ξ⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=-= ⎪⎝⎭，解得()315P ξ==，()125P ξ==，则()()()()22213120111215555D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=，故()()1P D ξξ=>，故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.10．C解析：C 【分析】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B ，利用二项分布的知识计算出()P A ，再计算出()P AB ，结合条件概率公式求得结果. 【详解】记“三人中至少有两人解答正确”为事件A ；“甲解答不正确”为事件B则()2323332122033327P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；()122433327P AB =⨯⨯= ()()()15P AB P B A P A ∴==本题正确选项：C 【点睛】本题考查条件概率的求解问题，涉及到利用二项分布公式求解概率的问题.11．C解析：C 【解析】分析：先由图得,μσ，再根据成绩X 位于区间(52,68]的概率确定人数. 详解：由图得8μσ=== 因为60852,60868-=+=，所以成绩X 位于区间(52,68]的概率是68.3%，对应人数为68.3%1000683⨯=，选C.点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.12．D解析：D 【解析】分析：根据随机变量X 服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得()3P X ≤．详解：由题意230.70.60.1P x =-=，（＜＜）， ∵随机变量()2~1,X N σ，(02)0.6P X <≤=，(12)0.3P X <≤=∴()130.30.10.4,P X <≤=+=30.40.50.9P X =+=（＜），故选D ．点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．二、填空题13．【分析】设抽得次品数为列出随机变量的分布列进而可求得的值【详解】设抽得次品数为则随机变量的可能取值有则所以随机变量的分布列如下表所示：所以故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机解析：35【分析】设抽得次品数为X ，列出随机变量X 的分布列，进而可求得()E X 的值. 【详解】设抽得次品数为X ，则随机变量X 的可能取值有0、1、2，则()272107015C P X C ===，()11372107115C C P X C ===，()232101215C P X C ===，所以，随机变量X 的分布列如下表所示：所以，()0121515155E X =⨯+⨯+⨯=. 故答案为：35. 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法：（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解．（2）已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y aX b =+的均值、方差，可直接用X 的均值、方差的性质求解；（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、方差公式求解．14．【分析】利用古典摡型的概率计算公式分别求得结合条件概率的计算公式即可求解【详解】由012组成的三位数密码共有个基本事件又由用A 表示第二位数字是2的事件用B 表示第一位数字是2的事件可得所以故答案为：【解析：13【分析】利用古典摡型的概率计算公式，分别求得(),()P B P A B ，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由“0，1，2”组成的三位数密码，共有33327⨯⨯=个基本事件，又由用A 表示“第二位数字是2”的事件，用B 表示“第一位数字是2”的事件，可得33131(),()273279P B P A B ⨯====，所以1()19(|)1()33P A B P A B P B ===. 故答案为：13.【点睛】本题主要考查了条件概率的计算与求解，其中解答中熟记条件概率的计算公式，准确运算时解答得关键，属于基础题.15．1【分析】设两项技术指标达标的概率分别为得到求得的值进而得到可得分布列和的值得到答案【详解】由题意设两项技术指标达标的概率分别为由题意得解得所以即一个零件经过检测为合格品的概率为依题意知所以故答案为解析：1 【分析】设,A B 两项技术指标达标的概率分别为12,P P ，得到()()()()122112111231114P p P P P P ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，求得12,P P 的值，进而得到1(4,)4B ξ，可得分布列和E ξ的值，得到答案．【详解】由题意，设,A B 两项技术指标达标的概率分别为12,P P ，由题意，得()()()()122112111231114P p P P P P ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪---=⎪⎩，解得1211,22P P ==，所以1214P PP ==，即一个零件经过检测为合格品的概率为14，依题意知1(4,)4B ξ，所以1414E ξ=⨯=．故答案为1．【点睛】本题主要考查了随机变量的分布列及其数学期望的计算，其中解答中根据概率的计算公式，求得12,P P 的值，得到随机变量1(4,)4B ξ是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．16．【分析】先计算再计算当时最大得到答案【详解】由题知故当时最大此时故答案为【点睛】本题考查了期望和方差意在考查学生的计算能力解析：54【分析】先计算13b a =-，再计算()24E X a =-，2()166D X a a =-+，当316a =时()D X 最大,得到答案. 【详解】由题知13()22(13)24b a E X a a a=-∴=+-=-,2222()(42)(41)2(4)(13)166D X a a a a a a a a =-⋅+-⋅+⋅-=-+,故当316a =时()D X 最大, 此时5()4E X = 故答案为54【点睛】本题考查了期望和方差，意在考查学生的计算能力.17．【解析】分析：根据概率和为求出的值在根据期望公式求得的值由方差公式可得结果详解：故答案为点睛：本题考查离散型随机变量的分布列离散型随机变量的期望与方差公式意在考查综合应用所学知识解决问题的能力属于中解析：179【解析】分析：根据概率和为1，求出y 的值，在根据期望公式求得x 的值，由方差公式可得结果. 详解：1111,623y y ++=∴=， 11181+4=3623x ∴⨯+⨯，2x ∴=，222818181171243336329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为179.点睛：本题考查离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望与方差公式，意在考查综合应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.18．【解析】由P(A)＝P(AB)＝×＝由条件概率得P(B|A)＝＝解析：14【解析】由P (A )＝，P (AB )＝×＝，由条件概率得P (B |A )＝＝.三、解答题19．（1）12；（2）分布列见解析；（3）15次. 【分析】（1）利用组合数公式和古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，34,4B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量ξ的分布列；（3）根据独立重复试验的概率公式可得出结论. 【详解】（1）一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球，相当于从3个红球中摸出2个红球，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率为232412C P C ==；（2）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，则每次摸到红球的概率均为34，这样摸球4次，则34,4B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，()4110=4256P ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()3143131=4464P C ξ⎛⎫==⋅⋅ ⎪⎝⎭，()22243127244128P C ξ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()334312734464P C ξ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭，()438144256P ξ⎛⎫===⎪⎝⎭. 因此，随机变量ξ的分布列如下表所示：【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.20．（1）4个；（2）分布列见解析；期望为1；（3）143000（元）．【分析】（1）根据频率分布直方图得到质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率，按照比例抽取即可.（2）由（1）知，6个水果中由2个质量在[)300,350，得到X 的所有可能取值为0，1，2，再分别求得其相应的概率，列出分布列，再求期望.（3）根据频率分布直方图，得到质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率，然后估计20000个水果中，哥等级的个数求解. 【详解】（1）质量在[)250,300，[)300,350的该水果的频率分别为0.008500.4⨯=，0.004500.2⨯=，其比为2:1，所以按分层抽样从质量在[)250,300，[)300,350的这种水果中随机抽取6个，质量在[)250,300的该种水果有4个．（2）由（1）可知，6个水果中由2个质量在[)300,350，所以X 的所有可能取值为0，1，2．()3436C 10C 5P X ===，()214236C C 31C 5P X ===，()124236C C 12C 5P X ===．所以X 的分布列为故X 的数学期望()0121555E X =⨯+⨯+⨯=．（3）由频率分布直方图可知，质量在[)100,150，[)150,200，[)200,250，[)250,300，[)300,350，[]350,400的该种水果的频率分别为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05．所以估计20000个水果中，二等品有()200000.10.14000⨯+=个；一等品有()200000.150.411000⨯+=个；特等品有()200000.20.055000⨯+=个．果园该种水果的销售收入为40004110007500010143000⨯+⨯+⨯=（元）．【点睛】方法点睛：求解离散型随机变量X 的分布列的步骤：①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识． 21．（1）12；（2）分布列答案见解析，数学期望：9316. 【分析】（1）分情况讨论张明进入下一轮的概率；（2）由条件可知4,5,6,7ξ=，理解随机变量对应的事件，写出概率分布列，计算数学期望. 【详解】（1）张明答4道题进入下一轮的概率为411()216=，答5道题进入下一轮的概率为3341111()2228C ⋅⋅⋅=，答6道题进入下一轮的概率为33251115()()22232C ⋅⋅⋅=，答7道题进入下一轮的概率为33361115()()22232C ⋅⋅⋅=，张明进入下一轮的概率为1155116832322P =+++=；（2）ξ可能取值为4､5､6､7，当4ξ=时可能答对4道题进入下一轮，也可能打错4道题被淘汰，44111(4)()()228P ξ==+=，3333441111111(5)()()2222224P C C ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，332332551111115(6)()()()()22222216P C C ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，333333661111115(7)()()()()22222216P C C ξ==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，于是ξ的分布列为：5593()456784161616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】关键点点睛：第二问和第一问的对应的概率不一样，比如第一问当5ξ=时，表示答5题后进入下一轮，第二问5ξ=时，表示答5题后进入下一轮，或是被淘汰，分清事件，才能正确写出概率.22．（1）0.94；（2）0.85. 【分析】（1）先求出一箱中有i 件残次品的概率，再求查看的有i 件残次品的概率，进而由条件概率求出顾客买下该箱玻璃杯的概率；（2）由（1）可得顾客买下该箱玻璃杯的条件下没有残次品的概率．【详解】设A ＝‘顾客买下该箱’，B ＝‘箱中恰有i 件残次品’，i ＝0,1,2，(1)α＝P (A )＝P (B 0)P (A |B 0)＋P (B 1)P (A |B 1)＋P (B 2)P (A |B 2)＝0.8＋0.1×419420C C ＋0.1×418420C C ≈0.94.(2)β＝P (B 0|A )＝()()00.80.94P AB P A =≈0.85. 【点睛】结论点睛：应用条件概率时弄清概率P (B |A )和P (AB ) 的区别与联系: (1)联系:事件A 和B 都发生了;(2)区别: a 、P (B | A )中，事件A 和B 发生有时间差异，A 先B 后;在P (AB )中，事件A 、B 同时发生.b 、样本空间不同，在P (B |A )中，样本空间为A ,事件P (AB )中,样本空间仍为Ω. 23．（1）49；（2）分布列答案见解析，数学期望：13445. 【分析】（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ，“小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ，则有A BCD BCD BCD =++，由互斥事件与独立事件的概率公式可得；（2）随机变量X 的取值可能为0,1,2,3,5，求出它们的概率可得分布列，由期望公式可计算出期望．【详解】解：（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ， “小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意可知3()5P B =，2()()3P C P D ==，由于A BCD BCD BCD =++， ∴3213122224()()5335335339P A P BCD BCD BCD =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故甲同学恰好命中一次的概率为49. （2）X =0，1，2，3，5．2212(0)5345P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，122218(1)53345P X C ==⨯⨯⨯=， 2311(2)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，123212224(3)5335339P X C ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，2324(5)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()0123545451591545E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查互斥事件与相互独立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是把事件“小华恰好命中两次”拆成一些互斥事件的和，确定随机变量的可能值并计算出概率． 24．（1）23；（2）227；（3）43. 【分析】（1）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；（2）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；（3）方法一：将三个小球放在盒子的基本事件全部写出来，写出满足条件的基本事件，用满足条件的个数除以总的个数计算其概率；方法二：用排列组合数表示；【详解】解：方法一：记三个球分别为①，②，③，试验的全部基本事件如下表：共27种.根据古典概型公式()182 273P A==.（2）记“三只小球在三个不同盒子中，且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件B，事件B包含的基本事件数有2种.根据古典概型公式2 ()27 P B=.（3）X的可能取值为1，2，3.19(1)27P X ==，7(2)27P X ==，1(3)27P X ==； X 的分布列如下：()1232727273E X =⨯+⨯+⨯=. 方法二：（1）记“恰有一个空盒”为事件A ，则11133232()33C C C P A ==. （2）记“三只小球在三个不同盒子中，且每只球的编号与所在盒子编号不同”为事件B . 则322()327P B ==. （3）X 的可能取值为1，2，3.3333219(1)327P X -===， 333217(2)327P X -===， 311(3)327P X ===； X 的分布列如下：()1232727273E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】求古典概型概率的步骤：（1）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A ；（2）分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；（3）利用公式()mP A n=，求出事件A 的概率． 25．（1）2320元；（2）2166位；（3）分布列见解析. 【分析】（1）将每组的中点值乘以对应组的人数，将所得结果全部相加并除以1000可得出该样本的平均数；（2）由题可得25000μσ+=，计算出()2P X μσ≥+的值，乘以95000即可得解；（3）由题意可知，随机变量ξ的可能取值有0、1、2、3，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，进而可得出随机变量ξ的分布列.【详解】（1）设样本平均数为x ，则有：50012015002602500340350025045002055001023201000x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==（元）；（2）3000μ=，1000σ=，25000μσ∴+=，所以旅游费用在5000元以上的概率为()()2120.022228P P X X μσμσμσ--+==+≥<<， 950000.02282166⨯=，所以估计有2166位老人旅游费用支出在5000元以上；（3）由题意可知，ξ的取值为0、1、2、3，()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===，()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===. 所以，随机变量ξ的分布列为思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下：（1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布；（2）求出每一个随机变量取值的概率；（3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率.26．（1）2227；（2）分布列见解析，21781. 【分析】（1）利用“正难则反”思想，计算一个给药周期也没有参加完的概率P ，则至少能参加一个给药周期的概率为1P -；（2）先计算出一个给药周期内至少出现3次F 症状的概率，然后根据题目条件确定随机变量X 的可能取值，分别计算每一个X 值所对应的概率，列出分布列并求出数学期望.【详解】解：（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件M ，则M 的对立事件为一个给药周期也没有参加完．设一次给药出现F 症状为事件A ，则一个给药周期也没有参加完的概率为()()212115333327P P AA P AAA ⎛⎫=+=+⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为()522112727P M P =-=-=．（2）设事件B 为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现3次F 症状”，则()343412113339P B C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则随机变量X 的取值为1,2,3． ()3434121113339P X C ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()818219981P X P B P B ==-⋅=⨯=⎡⎤⎣⎦， ()()()88643119981P X P B P B ==-⋅-=⨯=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望为()8642171239818184E X =⨯+⨯+⨯=．【点睛】本题考查概率的乘法公式及加法公式，考查随机变量的分布列及数学期望计算，难度一般.解答时易错点如下：（1）每次给药相互独立；（2）在解答第（2）小题时，注意若前一个给药周期能通过，才可以参加下一个给药周期.。

第2章_随机变量及其分布练习题及答案

第2章随机变量及其分布（练习、复习题及答案）一、填空题：1.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=a /N ，(k =1,2,…,N)，则a = 1 .2.射手每次射击击中目标的概率为p ,连续向同一目标射击，直到某一次击中目标为止,则射击次数ξ的分布列为 P(ξ=k )=p (1-p )k -1,k =1,2,….3.随机变量ξ服从参数为(2,p )的二项分布,随机变量η服从参数为(4,p )的二项分布,若P(ξ<1)=4/9,则P(η≥1)=_ 65/81_.4.离散型随机变量ξ的概率分布P(ξ=0)=0.2，P(ξ=1)=0.3，P(ξ=2)=0.5，则P(ξ≤1.5)=__0.5__.5.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=!k Ckλ,k =0,1,2,…(λ>0)，则C ＝ e -λ. *λλλλe =++++!3!2!11326.随机变量ξ的分布列为P(ξ=k )=k a -λ,k =1,2,…，其中λ>1，则a ＝ λ-1 .7.一实习生用同一台机器接连独立地制造三个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率3,2,1,11=+=i i p i ，以ξ表示三个零件中合格品的个数，则P{ξ=2}＝ 11/24 .8.随机变量ξ的分布函数为F(x ),则概率P(ξ≥a )用F(x )表示为__ 1-F(a )__. 9.随机变量ξ的分布函数为F(x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥+--0 0 0)1(1x x ex x ,,,则P(ξ≤1)=_1-2e -1_. 10.随机变量ξ的概率密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<-其他,), 0 2A(2x x ,则A=__1/4__.11.连续型随机变量ξ的分布函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<=1, 110,0,0)(F 2x x x x x ,则ξ的概率密度f (x )=⎩⎨⎧<<其他, 1 10,2x x .12.连续型随机变量ξ的分布函数为)0(00,0B A )(F >⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=-λλx x ex x ,, ，则常数A =_1 ,B =_-1;P{-1<ξ<1}= 1-e -λ.13.随机变量ξ的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥+-=-0, 00,)1(1)(x x ex x F x ,则相应的概率密度是⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0, 00,)(x x xex f x .14.随机变量ξ在[1,4]上服从均匀分布,现在对进行3次独立试验,则至少有2次观察值大于2的概率为_20/27_.15.随机变量ξ ~N(70,102)，则P(60<ξ<80)=_0.6826_.(已知Φ(1)=0.8413)16.随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(2<ξ<4)=0.3,则P(ξ<0)=_0.2_.17.随机变量服从正态分布N(μ,σ2)，已知P(ξ<9)=0.975，P(ξ<2)=0.062，则P(ξ>6)=_0.3228_. 18.若ξ~N(0,1)，则η=ξ3的密度函数为+∞<<-∞--y e yy,231322132π.19.统考成绩服从正态分布N(70,102),在参加统考的人中,及格者100人(及格分数为60分),则不及格人数约为_19_.二、选择题1.在下列结果中，构成概率分布的是( D ).{}{}{}{}),,(D.P ),,,(C.P ),,(B.P ),,,(A.P 2 132 2 1 032 2 131 2 1 031============k k ξk k ξk k ξk k ξkkkk2.随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k )=b λk (k =1,2,…), b >0，则( C ). A.λ为任意正实数 B.λ=b +1 C.b+=11λ D.11-=b λ3.常数b =( B )时，),,( 2 1)1(=+=k k k b p k 为离散型随机变量的概率分布.A.2B.1C.0.5D.34.设ξ是一个离散型随机变量，则( D )可以成为ξ的分布列.{}{}, , , n n en ξn n en ξx x x x x R p p p nn210!32 1!30.22.0 .303.0 .10 ,1 0 1 3354321======⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛---.D.P,,.C.P B.A.5.随机变量ξ~N(0,1)，ξ的分布函数为Φ(x )，则P(⎢ξ⎪<1)的值为( B ).A.2[1-Φ(1)]B.2Φ(1)-1C.1-Φ(1)D.1-2Φ(1)6.随机变量ξ~N(0,1)，ξ的分布函数为Φ(x )，则P(⎢ξ⎪>2)的值为( A ). A.2[1-Φ(2)] B.2Φ(2)-1 C.2-Φ(2) D.1-2Φ(2)7.设随机变量ξ的分布函数为F (x )，在下列概率中可表示为F (a +0) - F (a )的是( C ). A.P{ξ≤a } B. P{ξ>a } C. P{ξ=a } D. P{ξ≥a }8.下列函数可以作为某一随机变量ξ的密度函数的是( D ).⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎪⎩⎪⎨⎧-∈=⎪⎩⎪⎨⎧∈=⎩⎨⎧∈=其他D. 其他C. 其他B.其他A., 0 ]2,0[,sin )(, 0 ]2,2[,sin )(, 0 ]23,0[,sin )( , 0 ],0[,sin )(πππππx x x f x x x f x x x f x x x f9.设ξ的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>+=0 0 0)(1A )(4x x x x x f ,,，则A=( B ).A.3B.6C.2.5D.4 10.设随机变量ξ的密度函数为f (x )=)(21+∞<<-∞-x ex，则其分布函数的是( B ).⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<=⎪⎩⎪⎨⎧≥<=---1, 1 10,2110, 21 )(0, 1 0,211)(0,2110, 21 )( 0, 0 0,21)(x x e x e x F x x e x F x e x e x F x x e x F x xx x xx D. C. B.A.11.设f (x )是一连续型随机变量ξ的密度函数，其表达式为分段函数，则当x ∈( A )时，f (x )=cos x ，其余f (x )=0.]47,23[],0[],2[]2,0[ππππππ D. C. B.A.12.设随机变量ξ服从[0，5]上的均匀分布，则关于t 的方程4t 2+4ξt+ξ+2=0有实根的概率是( B ).A.0.4B.0.6C.1D.1/313.设随机变量ξ~N(μ, 62)，η~ N(μ, 82)，记p 1=P{ξ≤μ-6}，p 2=P{η≥μ+8}，则( A ).A. p 1=p 2B. p 1>p 2C. p 1<p 2D. p 1≤p 2 三、解答题：1.下列表格是概率分布吗？为什么？(1) ξ 1 2 3 4 不是 (2) ξ -1 0 1 4 是 P 0.2 0.3 0.3 0.4 P 0.1 0.2 0.3 0.4 2.求常数C ,使下列函数成为概率分布:P(ξ=k )=Ck ,k =1,2,…, n ； )1(2+=n n C3.随机变量ξ~b (n , p )，已知P(ξ=1)=P(ξ=n -1)，试求 p 与P(ξ=2)的值.p =0.5，P(ξ=2)=122)1(21+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛n nnn n C4.随机试验中事件A 发生的概率为p ，把这个试验独立重复地做两次。

新人教版高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》检测题(包含答案解析)(1)

一、选择题1．已知随机变量ξ的分布列如下表，若()2E ξ=，则()D ξ的最小值等于（）A ．0B ．2C ．1D ．122．某种疾病的患病率为0.5%，已知在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为99%，则患该种疾病且血检呈阳性的概率为（） A ．0.495%B ．0.940 5%C ．0.999 5%D ．0.99%3．已知随机变量X 的取值为1,2,3，若()136P X ==，()53E X =，则()D X =（） A ．19B ．39C ．59D ．794．已知随机变量ξ的取值为()0,1,2i i =.若()105P ξ==，()1E ξ=，则( ) A ．()()1P D ξξ=< B ．()()1P D ξξ== C ．()()1P D ξξ=>D ．()()115P D ξξ==5．高三毕业时，甲，乙，丙等五位同学站成一排合影留念，在甲和乙相邻的条件下，丙和乙也相邻的概率为（） A ．110B ．14C ．310D ．256．随机变量X 服从正态分布()()()210,12810X N P X m P X n σ->==，，≤≤，则12m n+的最小值为（）A ．3+B ．6+C ．3+D ．6+7．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动,社区服务活动共有关怀老人、环境监测、教育咨询、交通宣传等四个项目,每人限报其中一项,记事件A 为4名同学所报项目各不相同”,事件B 为“只有甲同学一人报关怀老人项目”,则(|)P B A =（） A ．14B ．34C ．29D ．598．若某校研究性学习小组共6人，计划同时参观科普展，该科普展共有甲，乙，丙三个展厅，6人各自随机地确定参观顺序，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，所有展厅参观结束后集合返回，设事件A为：在参观的第一小时时间内，甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事件B为：在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人，则(|)P B A=（）．A．38B ．18C．316D．1169．已知三个正态分布密度函数()()2221e2iixiixμσϕπσ--=（, 1,2,3i=）的图象如图所示则（）A．123123==μμμσσσ<>，B．123123==μμμσσσ><，C．123123μμμσσσ=<<=，D．123123==μμμσσσ<<，10．已知随机变量X的分布列如下表所示则(25)E X-的值等于A．1 B．2 C．3 D．411．随机变量()~1,4X N，若()20.2p x≥=，则()01p x≤≤为（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.612．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.8,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（）A．0.8B．0.9C．58D．89二、填空题13．一个口袋中有7个大小相同的球，其中红球3个，黄球2个，绿球2个.现从该口袋中任取3个球，设取出红球的个数为ξ，则()E ξ=______.14．一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)ξ==P _______；()E ξ=______． 15．记A,B 为两个事件,若事件A 和B 同时发生的概率为310,在事件A 发生的条件下,事件B 发生的概率为12,则事件A 发生的概率为_____. 16．已知随机变量2(1,)XN σ，若(01)0.3P X <<=，则(2)P X >=__________．17．已知随机变量X 的分布列如下,若E(X)=3,则D(X)=____.18．有10张纸币，其中有4张假币，从中取出两张，已知其中一张是假币，则另一张也是假币的概率为____．三、解答题19．2020年某市教育主管部门为了解近期举行的数学竞赛的情况，随机抽取500名参赛考生的数学竞赛成绩进行分析，并制成如下的频率分布直方图：（1）求这500名考生的本次数学竞赛的平均成绩x (精确到整数)；（2）由频率分布直方图可认为：这次竞赛成绩X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似等于样本的平均数x ，σ近似等于样本的标准差s ，并已求得18s ≈.用该样本的频率估计总体的概率，现从该市所有考生中随机抽取10名学生，记这次数学竞赛成绩在(86,140]之外的人数为Y ，求(2)P Y =的值(精确到0.001). 附：（1）当()2,XN μσ时，()0.6827,(22)0.9545P X P X μσμσμσμσ-<+=-<+=；（2）820.81860.18140.0066⨯≈.20．甲､乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数 38 39 40 41 42 天数101510105送餐单数 38 39 40 41 42 天数51010205（1）记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望；（2）小王打算到甲､乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.21．教育是阻断贫困代际传递的根本之策.补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在.治贫先治愚﹐扶贫先扶智.为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，郑州市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动.支教活动共3分批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从5人中随机抽选.已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验. （1）求5名优秀教师中的“甲”，在这3批次活动中有且只有一次被抽选到的概率﹔ （2）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人﹖请说明理由；（3）现在需要2名支教教师完成某项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师.若有A B 、两个教师可派，他们各自完成任务的概率分别为12p p 、，假设121p p >>，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.若按某种指定顺序派人，这两个人各自能完成任务的概率依次为12,q q ，其中12,q q 是12p p 、的一个排列，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小.22．某高三毕业班甲、乙两名同学在连续的8次数学周练中，统计解答题失分的茎叶图如图：（1）比较这两名同学8次周练解答题失分的平均数和方差的大小，并判断哪位同学做解答题相对稳定些；（2）以上述数据统计甲、乙两名同学失分超过15分的频率作为概率，假设甲、乙两名同学在同一次周练中失分多少互不影响，预测在接下来的2次周练中，甲、乙两名同学失分均超过15分的次数X 的分布列和均值．23．时值金秋十月，秋高气爽，我校一年一度的运动会拉开了序幕.为了增加运动会的趣味性，大会组委会决定增加一项射击比赛，比赛规则如下：向甲､乙两个靶进行射击，先向甲靶射击一次，命中得2分，没有命中得0分；再向乙靶射击两次，如果连续命中两次得3分，只命中一次得1分，一次也没有命中得0分.小华同学准备参赛，目前的水平是：向甲靶射击，命中的概率是35；向乙靶射击，命中的概率为23.假设小华同学每次射击的结果相互独立.（1）求小华同学恰好命中两次的概率；（2）求小华同学获得总分X的分布列及数学期望.24．近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患，目前，国际上常用身体质量指数(Bodv Mass Index，缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝体重（单位：千克）÷身高2（单位：2m），中国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI值.（1）根据调查结果制作了如下2×2列联表，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；人中“经常运动且不肥胖”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.25．A口袋中有大小相同编号不同的4个黄色乒乓球和2个白色乒乓球，B口袋中有大小相同编号不同的3个黄色乒乓球和3个白色乒乓球，现从A、B两个口袋中各摸出2个球（1）求摸出的4个球中有3个黄色兵乓球和1个白色乒乓球的概率；（2）求摸出的4个球中黄球个数ξ的数学期望．26．出于“健康､养生”的生活理念.某地的M炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐.M炊具有限公司下辖甲､乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造T型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造L型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为[50,100])划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口T 型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口L 型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元.（1）记X 为生产一口T 型双耳平底锅和一口L 型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量X 的数学期望；（2）M 炊具有限公司生产的T 和L 型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中[70,80)为三级品，[80,90)为二级品，[90,100]为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据分布列的性质可得23a =，由()2E ξ=可得出62m n =-，再由二次函数的基本性质可求得()D ξ的最小值. 【详解】由分布列的性质可得23a =，()12233E m n ξ=+=，所以，26m n +=，则62m n =-，()()()()()()222221212224222203333D m n n n n ξ=-+-=-+-=-≥，因此，()D ξ的最小值为0. 故选：A.本题考查利用随机分布列的性质解题，同时也考查了方差最值的计算，考查计算能力，属于中等题.2．A解析：A 【分析】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”,由题得P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99，由条件概率得P (AB )＝P （B ）P (A |B )，计算即得解. 【详解】设事件A ＝“血检呈阳性”，B ＝“患该种疾病”．依题意知P （B ）＝0.005，P (A |B )＝0.99，由条件概率公式P (A |B )＝()()P AB P B ，得P (AB )＝P （B ）P (A |B )＝0.005×0.99=0.00495，故选：A. 【点睛】本题主要考查条件概率的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．C解析：C 【分析】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，则由1(3)6P X ==，5()3E X =，列出方程组，求出p ，q ，即可求得()D X ．【详解】设(1)P X p ==，(2)P X q ==，1563()23E X p q =++⨯=——①，又161p q ++=——② 由①②得，12p =，13q =，222111()(1)(25555333(9))2336D X ∴=-+-+-=故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．4．C【分析】设()1P x ξ==，根据()f x ，()1E ξ=列方程求出x ，进而求出()D ξ，即可比较大小. 【详解】设()1P x ξ==，则()425P x ξ==-，则()1480121555x x E x ξ⎛⎫=⨯+⨯+-⨯=-= ⎪⎝⎭，解得()315P ξ==，()125P ξ==，则()()()()22213120111215555D ξ=⨯-+⨯-+⨯-=，故()()1P D ξξ=>，故选：C. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.5．B解析：B 【分析】记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算出()P A 和()P AB ，再利用条件概率公式可计算出所求事件的概率．【详解】记事件:A 甲乙相邻，事件:B 乙丙相邻，则事件:AB 乙和甲丙都相邻，所求事件为B A ，甲乙相邻，则将甲乙两人捆绑，与其他三位同学形成四个元素，排法种数为424248A A =，由古典概型的概率公式可得()554825P A A ==. 乙和甲丙都相邻，则将甲乙丙三人捆绑，且乙位置正中间，与其他两位同学形成三个元素，排法种数为323212A A =，由古典概型的概率公式可得()5512110P AB A ==，由条件概率公式可得()()()1511024P AB P B A P A ==⨯=，故选B. 【点睛】本题考查条件概率的计算，解这类问题时，要弄清各事件事件的关系，利用排列组合思想以及古典概型的概率公式计算相应事件的概率，并灵活利用条件概率公式计算出所求事件的概率，考查计算能力，属于中等题．6．D【分析】利用正态密度曲线的对称性得出12m n +=，再将代数式22m n +与12m n +相乘，展开后可利用基本不等式求出12m n+的最小值．【详解】由于()210,XN σ，由正态密度曲线的对称性可知，()()128P X P X m >=<=，所以，()()188102P X P X <+≤≤=，即12m n +=，221m n ∴+=，由基本不等式可得()1212422266m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭6=，当且仅当()420,0m n m n n m=>>，即当n =时，等号成立，因此，12m n +的最小值为6+，故选D. 【点睛】本题考查正态密度概率以及利用基本不等式求最值，解题关键在于利用正态密度曲线的对称性得出定值，以及对所求代数式进行配凑，以便利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题．7．A解析：A 【分析】确定事件AB ，利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，再利用条件概型的概率公式可计算出()P B A 的值. 【详解】事件AB 为“4名同学所报项目各不相同且只有甲同学一人报关怀老人项目”，则()3344A P AB =，()4444A P A =，()()()3434444144P AB A P B A P A A ∴==⋅=，故选A. 【点睛】本题考查条件概型概率的计算，考查条件概率公式的理解和应用，考查运算能力，属于中等题．8．A解析：A 【分析】先求事件A 包含的基本事件，再求事件AB 包含的基本事件，利用公式可得.由于6人各自随机地确定参观顺序，在参观的第一小时时间内，总的基本事件有63个；事件A 包含的基本事件有222642C C C 个；在事件A 发生的条件下，在参观的第二个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人的基本事件为244C ⨯个，而总的基本事件为62，故所求概率为24643(/)28C P B A ⨯==,故选A. 【点睛】本题主要考查条件概率的求解，注意使用缩小事件空间的方法求解.9．D解析：D 【分析】正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，又有σ越小图象越瘦长，得到正确的结果．【详解】根据课本中对正太分布密度函数的介绍知道：当正态分布密度函数为()()2221ei i x i ix μσϕ--=，则对应的函数的图像的对称轴为：i μ，∵正态曲线关于x ＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴第一个曲线的均值比第二和第三和图象的均值小，且二，三两个的均值相等，只能从A ，D 两个答案中选一个， ∵σ越小图象越瘦长，得到第二个图象的σ比第三个的σ要小，第一个和第二个的σ相等故选D ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查密度函数中两个特征数均值和标准差对曲线的位置和形状的影响，是一个基础题．10．A解析：A 【分析】先求出b 的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出()25E X -. 【详解】由题得0.1+0.2+0,20.11,0.4,b b ++=∴=，所以()10.120.230.440.250.13E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 所以(25)2()52351E X E X -=-=⨯-=. 故答案为A 【点睛】(1)本题主要考查分布列的性质和期望的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 若a b ηξ=+(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E η=()E a b aE b ξξ+=+，2()D a b a D ξξ+=.11．B解析：B 【解析】分析：根据正态分布的整体对称性计算即可得结果. 详解：(0)(2)0.2,P X P X ≤=≥=10.22(01)0.3,2P X -⨯∴≤≤== 故选B.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有正态分布曲线的对称性，从而求得结果.12．D解析：D 【解析】分析：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，由相互独立事件的概率公式，计算可得目标被击中的概率，进而由条件概率的公式，计算可得答案．详解：根据题意，记甲击中目标为事件A ，乙击中目标为事件B ，目标被击中为事件C ，则P （C ）=1﹣P （A ）P （B ）=1﹣（1﹣0.8）（1﹣0.5）=0.9；则目标是被甲击中的概率为P=0.880.99=. 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查独立事件的概率和条件概率，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =，(|)P B A =()()n AB n A .条件概率一般有“在A 已发生的条件下”这样的关键词，表明这个条件已经发生，发生了才能称为条件概率.但是有时也没有，要靠自己利用条件概率的定义识别.二、填空题13．【分析】先确定随机变量的取值再分别计算对应的概率最后利用期望的计算公式即得结果【详解】依题意设取出红球的个数为则而口袋中有红球3个其他球4个故故故答案为：【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的期望的步解析：97【分析】先确定随机变量的取值0,1,2,3ξ=，再分别计算对应的概率，最后利用期望的计算公式即得结果. 【详解】依题意，设取出红球的个数为ξ，则0,1,2,3ξ=，而口袋中有红球3个，其他球4个，故()34374035C P C ξ===，()12343718135C C P C ξ===，()21343712235C C P C ξ===，()33375313C C P ξ===，故()418121459012335353535357E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. 故答案为：97. 【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的期望的步骤：（1）先确定随机变量的取值12,,...,n x x x ξ=；（2）再计算每个变量所对应的概率(),1,2,3,...,i i P x p i n ξ===；（3）利用公式()112233...n n E x p x p x p x p ξ=++++，计算得到期望即可.14．1【分析】先计算出的分布列再利用公式可求【详解】随机变量对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球第二次拿红球所以对应事件为第一次拿黄球第二次拿红球或第一次拿黄球第二次拿绿球第三次拿红球或第一次拿绿球第二解析：131 【分析】先计算出ξ的分布列，再利用公式可求()E ξ.【详解】随机变量0,1,2ξ=，0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=， 1ξ=对应事件为第一次拿黄球，第二次拿红球，或第一次拿黄球，第二次拿绿球，第三次拿红球，或第一次拿绿球，第二次拿黄球，第三次拿红球，故212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=. 故答案为：1;13. 【点睛】关键点点睛：计算离散型随机变量的分布列，注意随机变量取值时对应的含义，从而正确计算对应的概率，另外注意利用对立事件计算概率.15．【分析】由题意可得且由此求得事件发生的概率的值【详解】设事件发生的概率为事件发生的概率为则由题意可得且解得故答案为【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式条件概率公式属于中档题解析：35【分析】由题意可得()()()310P AB P A P B ==，且()1/2P B A =，由此求得事件A 发生的概率()P A 的值．【详解】设事件A 发生的概率为()P A ，事件B 发生的概率为()P B ，则由题意可得()()()310P AB P A P B ==，且()()()()3110/=2P AB P B A P A P A ==，解得()35P A =，故答案为35. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式、条件概率公式，属于中档题．16．02【分析】随机变量得到曲线关于称根据曲线的对称性得到根据概率的性质得到结果【详解】随机变量∴曲线关于对称∴故答案为02【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义函数图象对称性的应用等解析：0.2 【分析】随机变量()21,X N σ~，得到曲线关于1x =称，根据曲线的对称性得到200.501P X P X P X >=<=-<<（）（）（），根据概率的性质得到结果．【详解】随机变量()21,X N σ~，∴曲线关于1x =对称，∴200.5010.2P X P X P X >=<=-<<=（）（）（），故答案为0.2. 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题17．1【分析】由题意根据和分布列的性质求得的值再利用方差的公式即可求解【详解】根据题意得解得∴D(X)=(1-3)2×01+(2-3)2×02+(3-3)2×03+(4-3)2×04=1【点睛】本题主要解析：1 【分析】由题意，根据()3E X =和分布列的性质，求得,m n 的值，再利用方差的公式，即可求解. 【详解】根据题意,得解得∴D(X)=(1-3)2×0.1+(2-3)2×0.2+(3-3)2×0.3+(4-3)2×0.4=1. 【点睛】本题主要考查了分布列的性质和期望与方差的计算，其中明确分布列的性质和相应的数学期望和方差的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.18．【解析】分析：记抽出的两张有一张是假币为事件A 抽出的两张都是假币为事件B 利用条件概率计算公式能求出其中1张放到验钞机上检验发现是假钞则另一张也是假钞的概率详解：记抽出的两张有一张是假币为事件A 抽出的解析：15【解析】分析：记“抽出的两张有一张是假币”为事件A ，“抽出的两张都是假币”为事件B ，利用条件概率计算公式能求出其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率．详解：记“抽出的两张有一张是假币”为事件A ，“抽出的两张都是假币”为事件B ，则将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则另一张也是假钞的概率为：24210211446210()1(|)()5C C P AB P B A C C C P A C ===+. 点睛：本题主要考查了条件的求解以及组合数的应用，正确理解条件概率的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，以及转化与化归思想的应用，试题比较基础，属于基础题．三、解答题19．（1）104(分)；（2）0.298. 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数公式求解.（2）由104,18μσ==，求得(86140)(2)P X P X μσμσ<=-<+，进而得到(P X μσ-或2)X μσ>+，然后由()10,0.1814Y B ~求解.【详解】（1）10(650.0028750.01850.01950.0181050.02x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，1150.0181250.0121350.008+⨯+⨯+⨯1450.0012)+⨯1010.416104.16104(=⨯=≈分).（2）由题意知()2,,X Nμσ~且104,18μσ==，所以8610418,1401041822μσμσ=-=-=+⨯=+，所以0.68270.9545(86140)(2)0.81862P X P X μσμσ+<=-<+==，所以(P X μσ-或2)10.81860.1814X μσ>+=-=，所以()10,0.1814Y B ~，所以()228102C 0.18140.8186450.006630.298P Y ==⨯⨯≈⨯≈.【点睛】结论点睛：（1）若X 服从正态分布，即X ～N (μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X ＝μ对称和曲线与x 轴之间的面积为1.（2）二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位．①判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次． ②对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝kk n kn p q C -.其中k ＝0，1，…，n ，q ＝1－p .20．（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析. 【分析】（1）本题首先可以设乙公司送餐员送餐单数为a ，然后依次求出38a =、39a =、40a =、41a =、42a =时的工资X 以及概率p ，即可列出X 的分布列并求出数学期望；（2）本题可求出甲公司送餐员日平均工资，然后与乙公司送餐员日平均工资进行对比，即可得出结果. 【详解】（1）设乙公司送餐员送餐单数为a ，当38a =时，386228X =⨯=，515010p ；当39a =时，396234X =⨯=，101505p ；当40a =时，406240X =⨯=，101505p；当41a =时，40617247X =⨯+⨯=，202505p ；当42a=时，40627254X =⨯+⨯=，515010p，故X 的所有可能取值为228、234、240、247、254，故X 的分布列为：故()228234240247254241.81055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. （2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：380.2390.3400.2410.2420.139.7⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，则甲公司送餐员日平均工资为80439.7238.8+⨯=元，因为乙公司送餐员日平均工资为241.8元，238.8241.8<，所以推荐小王去乙公司应聘. 【点睛】关键点点睛：（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取每一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可，（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论.21．（1）54125；（2）第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人，理由见解析；（3）按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 【分析】（1）在每轮抽取中，甲被抽中的概率为25，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为2132355P C ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2，分别求出各种情况的概率，从而得出答案.（3）设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，求出的X 期望，设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，求出的Y 期望，从而得出结论. 【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中，被抽取到概率为142525C C =，则三次抽取中，“甲”恰有一次被抽取到的概率为2132********P C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ (2)第二次抽取到的没有支教经验的教师人数最有可能是1人.设ξ表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有0,1,2，则有:()11222222332222222222555555370,100C C C C C C C P C C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=()11111122112323233241222222555555541,100C C C C C C C C C C P C C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=()2112223233322222255555920,100C C C C C C P C C C C C ξ==⋅+⋅+⋅=因为()()()102P P P ξξξ=>=>=，故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人. （3）按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，则111212E X p p p =+-=-设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，则22212212,0()E Y p p p E Y E X p p =+-=-=->-.故按照先A 后B 的顺序所需人数期望最小. 【点睛】关键点睛：本题考查求概率和求离散型随机变量的数学期望，解答本题的关键是设X 表示先A 后B 完成任务所需人员数目，得出()()111212E X p p p =+-=-，设Y 表示B 先后A 完成任务所需人员数目，则()()111212E X p p p =+-=-，相减得出大小，属于中档题.22．（1）甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大，乙同学做解答题相对稳定些；（2）分布列见解析，38.【分析】（1）根据平均数公式和方差公式计算结果，并根据平均数和方差的意义，得到结论；（2）甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，并计算123138216PP =⨯=,由条件可知32,16X B ⎛⎫⎪⎝⎭，根据二项分布计算分布列和均值. 【详解】（1） 1=8x 甲(7＋9＋11＋13＋13＋16＋23＋28)＝15， 1=8x 乙(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，21=8s 甲 [(－8)2＋(－6)2＋(－4)2＋(－2)2＋(－2)2＋12＋82＋132]＝44.75，21=8s 乙[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.甲、乙两名同学解答题失分的平均数相等；甲同学解答题失分的方差比乙同学解答题失分的方差大．所以乙同学做解答题相对稳定些．（2）根据统计结果，在一次周练中，甲和乙失分超过15分的概率分别为P 1＝38，P 2＝12，两人失分均超过15分的概率为P 1P 2＝316， X 的所有可能取值为0，1，2.依题意，32,16XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()22313,0,1,21616k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则X 的分布列为X 的均值E (X )＝2168⨯=.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断X 服从二项分布，并计算在每次周练两人失分均超过15分的概率，这样就容易写错分布列. 23．（1）49；（2）分布列答案见解析，数学期望：13445. 【分析】（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ， “小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ，则有A BCD BCD BCD =++，由互斥事件与独立事件的概率公式可得；（2）随机变量X 的取值可能为0,1,2,3,5，求出它们的概率可得分布列，由期望公式可计算出期望．【详解】解：（1）记：“小华恰好命中两次”为事件A ，“小华射击甲靶命中”为事件B ， “小华第一次射击乙靶命中”为事件C ，“小华第二次射击乙靶命中”为事件D ，由题意可知3()5P B =，2()()3P C P D ==，由于A BCD BCD BCD =++， ∴3213122224()()5335335339P A P BCD BCD BCD =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，故甲同学恰好命中一次的概率为49. （2）X =0，1，2，3，5．2212(0)5345P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，122218(1)53345P X C ==⨯⨯⨯=， 2311(2)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，123212224(3)5335339P X C ==⨯⨯⨯+⨯⨯=，2324(5)5315P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()0123545451591545E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查互斥事件与相互独立事件的概率公式，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是把事件“小华恰好命中两次”拆成一些互斥事件的和，确定随机变量的可能值并计算出概率．。

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（2）由题意知, 的可能取值为 ,
.
的分布列为:
.
考点：1.独立性检验；2.二项分布.
三、解答题
13．我校社团联即将举行一届象棋比赛，规则如下：两名选手比赛时，每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时结束.假设选手甲与选手乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响.
（Ⅰ）求比赛进行局结束，且乙比甲多得分的概率；
（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．
试题解析：（Ⅰ）由题意知，乙每局获胜的概率皆为 .比赛进行局结束，且乙比甲多得分即头两局乙胜一局，3,4局连胜，则 .
（Ⅱ）由题意知，的取值为 .则，，所以随机变量的分布列为
则
考点：本题考查独立重复事件的概率计算、离散型随机变量的分布列、期望，考查学生的逻辑推理能力以及基本运算能力.
14．（1）列联表见解析，有的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关；（2）分布列见解析，
9．
【解析】
试题分析：由题意得，令，得，令，得，两式相减，得，所以 .
考点：赋值法的应用.
10．
【解析】（方法一）打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙两人中任意某个人任意胜3局，另一个人胜2局，其概率为 .
（方法二）打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人任意胜4局或5局全胜，其概率等于，所以，打完5局后仍不能结束比赛的概率等于 .
6．B
【解析】
试题分析：当取三都是两元的得奖金额是元；当取两两元一五元得奖金额是元；当取一两元两五元得奖金额是元.故得奖金额为 ,对应的概率分别是 ,故其数学期望是 ,应选B.
考点：概率和数学期望的计算.
7．B
【解析】略
8．D
【解析】
考点：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．
专题：计算题．
分析：根据题意，分析可得质点P移动五次后位于点（-1，0），其中向左移动3次，向右移动2次，进而借助排列、组合分析左右平移的顺序情况，由相互独立事件的概率公式，计算可得答案．
收入不高于千的家庭数
收入高于千的家庭数
合计
有二孩计划的家庭数
无二孩计划的家庭数
合计
（2）若二孩的性别与一孩性别相反，则称该家庭为“好字”家庭，设每个有二孩计划的家庭为“好字”家庭的概率为 ,且每个家庭是否为“好字”家庭互不影响，设收入在千～万的个有二孩计划家庭中“好字”家庭有个，求的分布列及数学期望．
8．位于数轴原点的一只电子兔沿着数轴按下列规则移动：电子兔每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则电子兔移动五次后位于点的概率是（）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知，则 ______.
10．乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当，获胜的概率各占一半，则打完5局后仍不能结束比赛的概率等于_____________________.
数学学科自习卷（二）
一、选择题
1．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个６点”，则条件概率，分别是（）
A. ， B. ， C. ， D. ，
2．设随机变量服从正态分布，若，则的值为
A． B． C．5D．3
3．已知随机变量～，若 ,则
A．0B．1C．2D．4
14．2016年国家已全面放开“二胎”政策，但考虑到经济问题，很多家庭不打算生育二孩，为了解家庭收入与生育二孩的意愿是否有关，现随机抽查了某四线城市个一孩家庭，它们中有二孩计划的家庭频数分布如下表:
家庭月收入（单位：元）
千以下
千～千
千～千
千～万
万～万
万以上
调查的总人数
有二孩计划的家庭数
（1）由以上统计数据完成如下列联表，并判断是否有的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关？说明你的理由．
4．同时拋掷5枚均匀的硬币80次，设5枚硬币正好出现2枚正面向上，3枚反面向上的次数为，则的数学期望是（）
A．20 B．25
C. 30 D．40
5．甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得分,负者得分,比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止,设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数的期望为（）
A． B． C． D．
6．现在有奖券，元的，元的，某人从中随机无放回地抽取奖券,则此人得奖金额的数学期望为（）
A． B． C． D．
7．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，，且无其它得分情况，已知他投篮一次得分的数学期望为1，则ab的最大值为（）
A． B． C． D．
解答：解：根据题意，质点P移动五次后位于点（-1，0），其中向左移动3次，向右移动2次；
其中向左平移的3次有C53种情况，剩下的2次向右平移；
则其概率为C53×（）2×（）3= ，
故选D．
点评：本题考查相互独立事件的概率的计算，其难点在于分析质点P移动五次后位于点（-1，0）的实际平移的情况，这里要借助排列组合的知识．
下面的临界值表供参考：
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：由题意得事件的个数为，事件的个数为，在发生的条件下发生的个数为，在发生的条件下发生的个数为，所以， .故正确答案为A.
考点：1.计数原理；2.条件概率.
2．A
【解析】略
3．B
【解析】
4．B
【解析】
试题分析：枚硬币正好出现枚正面向上，枚反面向上的概率为 ,由题意可知服从的二项分布,所以数学期望为 ,故本题选B.
11．3
【解析】略
12．27
【解析】
13．（Ⅰ）；（Ⅱ）随机变量的分布列为
【解析】
试题分析：（Ⅰ）这是一个独立重复试验，比赛进行局结束，且乙比甲多得分，只能是前两局乙胜一局，3,4局乙连胜，根据独立重复试验从而求出，值得注意的是，做这一类题，一定分析清楚，否则容易出错；（Ⅱ）设表示比赛停止时已比赛的局数，只能取值，不能为3,5，分别求出的取值为的概率，列分布列，从而求出数学期望，易错点为的取值不正确，导致分布列错误。
11．设是离散型随机变量，，且，又，则的值为_______．
12．某车站每天都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站的时刻
8：10
9：10
8：30
9：30
8：50
9：50
概率
一旅客8：20到站，则它候车时间的数学期望为＿＿＿＿＿＿＿。（精确到分）
考点：二项分布与数学期望.
5．B
【解析】
试题分析：由已知，的可能取值是
设每局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为
若该轮结束时比赛还要继续，则甲，乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响.
所以
所以故选B.
考点：1.相互独立事件的概率；2.数学期望.
【名师点睛】解答本题，关键在于准确理解题意，利用独立事件的概率计算公式，计算出随机变量的概率.能否理解数学期望个概念与计算公式，也是对考生的考验.
【解析】
试题分析：（1）根据题意填写好表格后，计算 .因此有的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关；（2）由题意知, 的可能取值为 ,根据二项分布的知识点求得分布列和数学期望.
ห้องสมุดไป่ตู้试题解析：
（1）依题意得 ,
收入不高于千的家庭数
收入高于千的家庭数
合计
有二孩计划的家庭数
无二孩计划的家庭数
合计
因此有的把握认为是否有二孩计划与家庭收入有关.