随机变量及其分布列经典例题

随机变量及其分布列典型例题

【知识梳理】

一. 离散型随机变量的定义

1定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数 ___________ 示.在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. ①随机变量是一种对应关系；②实验结果必须与数字对应； ③数字会随着实验结果的变化而变化

.

2•表示：随机变量常用字母 X, Y, ξ η…表示. 3.所有取值可以一一列出的随机变量，称为 离散型随机变量 (discrete ran dom Variable ).

二. 离散型随机变量的分布列 1.

一般地，若离散型随机变量

X 可能取的不同值为 X 1, X 2,…，

X i ,…，X n, X 取每一个值

X i (i=1,2 ,…，n)的概率 P(X=X i )=P i ,则称表:

为离散型随机变量 X

P(X=X i )=P i ,

i=1,2 ,…，n,也可以用图象来表示 X 的分布列. 2.

离散型随机变量的分布列的性质

n

①P

i ≥0 i=1,2,…，n ;②.二.P

i — 1 .

i 1

三. 两个特殊分布 1.

两点分布X~B(1,P)

若随机变量X 的分布列具有上表形式， 则称X 服从两点分布，并称P=P(X=1)为成功概率.

2. 超几何分布 X~H(N,M, n)

一般地，在含有

M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则

P(X=k)= M

_， k=0,1,2,…，m,其中 m=min {M,n},且 n ≤N, M ≤N, n, M , N ∈ N *. C N

三.二项分布

一般地，在n 次独立重复试验中，用 X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件

A 发

生的概率为P ,贝U P(X=k)=c n p k

(1 - p)n

「k

, k=0,1,2,…，n.此时称随机变量 X 服从二项分布， 记作X 〜B(n, p),并称P 为成功概率•易得二项分布的分布列如下

；

【典型例题】

题型一、随机变量分布列的性质

【例1】设随机变量X的分布列为P(X =i)=a ,(∙2)i,i =1,2,3,,则a的值为________ I

3

【例2】随机变量ξ的分布列如下

其中a、b、C成等差数列，则P(I ξ 1=1)=,公差d的取值范围是

题型二、随机变量的分布列

【例3】口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,现从中

随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列.

【例4】安排5个大学生到A, B, C三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的.

(1)求5个大学生中恰有2个人去A校支教的概率；

(2)设有大学生去支教的学校的个数为ξ求ξ的分布列.

【例5】一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放

回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止.

(1)求恰好摸4次停止的概率；

(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X ,求随机变量X的分布列.

【例6】从6名男生和4名女生中任选4人参加比赛，设被选中女生的人数为随机变量ξ

求：(1) ξ的分布列；(2)所选女生不少于2人的概率.

【例7】甲、乙两人参加某种选拔测试.在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是，乙能答对其中的5道题.规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分, 答错一题(不答视为答错)减5分，至少得15分才能入选.

(I)求乙得分的分布列；

(H)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率.

【例8】某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为〔每台仪器各项费用如表：

(I)求每台仪器能出厂的概率；

(H)假设每台仪器是否合格相互独立，记X为生产两台仪器所获得的利润，求X的分布列和数学期望.

【例9】某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球•顾客不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止•规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励.

(1)求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；

(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，随机变量X的分布列.