第6章习题解答

习题六

1. 求映射1

w z

=

下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222

11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 2

2

1

x x u x y ax a

=

==+, 所以1w z =

将22x y ax +=映成直线1

u a

=. (2) .y kx =(k 为实数)

解： 2

222

1i x y

w z x y x y ==-++ 22

2222

x y kx

u v x y x y x y =

=-

=-+++

v ku =-

故1

w z

=

将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0,

(1i)z w z >=+；

解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+⋅+=-+ ,.

20.u x y v x y u v y =-=+-=-<

所以Im()Re()w w >.

故(1i)w z =+⋅将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0

=

. 解：设z =x +i y , x >0, 0

i i i(i )i x y y x w z x iy x y x y x y -=

===+++++ Re(w )>0. Im(w )>0. 若w =u +i v , 则2222

,u v

y x u v u v ==

++ 因为0

221101,()22

u u v u v <

<-+>

+ 故i w z =

将Re(z )>0, 00,Im(w )>0, 12

12w >(以（12,0）为圆心1

2为半径

的圆)

3. 求w =z 2在z =i 处的伸缩率和旋转角，问w =z 2将经过点z =i 且平行于实轴正向的曲线的切线方向映成w 平面上哪一个方向？并作图.

解：因为w '=2z ,所以w '(i)=2i , |w '|=2,旋转角arg w '=

π2

. 于是,经过点i 且平行实轴正向的向量映成w 平面上过点-1，且方向垂直向上的向量.如图所

示

.

→

4. 一个解析函数，所构成的映射在什么条件下具有伸缩率和旋转角的不变性？映射w =z 2在z 平面上每一点都具有这个性质吗？

答：一个解析函数所构成的映射在导数不为零的条件下具有伸缩率和旋转不变性映射w =z 2在z =0处导数为零，所以在z =0处不具备这个性质.

5. 求将区域0

6. 试求所有使点1±不动的分式线性变换. 解：设所求分式线性变换为az b

w cz d

+=+(ad -bc ≠0)由11-→-.得 1a b

b a

c

d c d

-+-=

⇒=+--+ 因为(1)a z c d

w cz d ++-=+,

即(1)(1)

1a z c z w cz d

++++=

+,

由11→代入上式，得22

a c

a d c d

+=⇒=+. 因此11(1)(1)d c

d c

d c w z z cz d z +++=+=+⋅++ 令

d

q c =，得 1(1)(1)/()(1)(1)1

1(1)(1)/()2(1)(1)1

w z q z q z q z a w z q z q z q z +++++++===⋅-+++---- 其中a 为复数.

反之也成立，故所求分式线性映射为11

11

w z a w z ++=⋅

--， a 为复数. 7. 若分式线性映射，az b

w cz d

+=+将圆周|z |=1映射成直线则其余数应满足什么条件？ 解：若az b w cz d +=

+将圆周|z |=1映成直线，则d

z c

=-映成w =∞. 而d

z c =-落在单位圆周|z |=1,所以1d c -=,|c |=|d |.

故系数应满足ad -bc ≠0,且|c |=|d |. 8. 试确定映射，1

1

z w z -=

+作用下，下列集合的像.

(1) Re()0z =; (2) |z |=2; (3) Im(z )>0.

解：(1) Re(z )=0是虚轴，即z =i y 代入得.

22222

i 1(1i )12i i 1111y y y y w y y y y ----+===+⋅++++

写成参数方程为2

2

11y u y -+=+， 221y v y =+, y -∞<<+∞. 消去y 得，像曲线方程为单位圆,即

u 2+v 2=1.

(2) |z |=2.是一圆围，令i 2e ,02πz θ

θ=≤≤.代入得i i 2e 1

2e 1

w θθ-=+化为参数方程.

354cos u θ=

+ 4s i n

54c o s

u θθ=+ 02πθ≤≤ 消去θ得，像曲线方程为一阿波罗斯圆.即

22254()()33

u v -+=

(3) 当Im(z )>0时，即

11

Im()011

w w z w w ++=-⇒<--, 令w =u +i v 得

22

1(1)i 2Im()Im()01(1)i (1)w u v v w u v u v +++-==<--+-+.

即v >0,故Im(z )>0的像为Im(w )>0.

9. 求出一个将右半平面Re(z )>0映射成单位圆|w |<1的分式线性变换.

解：设映射将右半平面z 0映射成w =0，则z 0关于轴对称点0z 的像为w =∞， 所以所求分式线性变换形式为00

z z w k z z -=⋅

-其中k 为常数.

又因为00

z z w k z z -=⋅-,而虚轴上的点z 对应|w |=1,不妨设z =0，则

i 00

||1e ()z z w k k k z z θθ-=⋅

==⇒=∈-R

故000

e (Re()0)i z z w z z z θ-=⋅

>-.

10. 映射e 1i z w z

ϕα

-=⋅

-⋅将||1z <映射成||1w <,实数ϕ的几何意义显什么？

解：因为2i i 22(1)()()1||()e e (1)(1)z z w z z z ϕ

ϕ

αααααα-----'=⋅=⋅-⋅-

从而2i i 222

1||1()e e (1||)1||w ϕ

ϕαααα-'=⋅=⋅--

所以i 2arg ()arge arg (1||)w ϕααϕ'=-⋅-=