二次函数经典难题

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(专题精选)初中数学二次函数难题汇编含答案

(专题精选)初中数学二次函数难题汇编含答案

(专题精选)初中数学二次函数难题汇编含答案一、选择题1.如图,已知点A(4,0),O为坐标原点,P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B、C,射线OB与AC相交于点D.当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于()A.5B.453C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】【详解】过B作BF⊥OA于F,过D作DE⊥OA于E,过C作CM⊥OA于M,∵BF⊥OA,DE⊥OA,CM⊥OA,∴BF∥DE∥CM.∵OD=AD=3,DE⊥OA,∴OE=EA=12OA=2.由勾股定理得:5设P(2x,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x,∵BF∥DE∥CM,∴△OBF∽△ODE,△ACM∽△ADE.∴BF OF CM AMDE OE DE AE==,x2x2255-,,解得:()52x 5BF ?x CM 22-==,. ∴BF+CM=5.故选A .2.如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0),对称轴为直线x =﹣1,当y >0时,x 的取值范围是( )A .﹣1<x <1B .﹣3<x <﹣1C .x <1D .﹣3<x <1【答案】D【解析】【分析】 根据已知条件求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标,即可得到答案.【详解】解:∵抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于点A (1,0),对称轴为直线x =﹣1, ∴抛物线与x 轴的另一交点坐标是(﹣3,0),∴当y >0时,x 的取值范围是﹣3<x <1.所以答案为:D .【点睛】此题考查抛物线的性质,利用对称轴及图象与x 轴的一个交点即可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标.3.已知抛物线2:4W y x x c =-+,其顶点为A ,与y 轴交于点B ,将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ,点,A B 的对应点分别为','A B ,若四边形''ABA B 为矩形,则c 的值为( )A .3B 3C .32D .52【答案】D【解析】【分析】先求出A(2,c-4),B(0,c),'(24),'(0)A c B c ---,,,,结合矩形的性质,列出关于c 的方程,即可求解.【详解】∵抛物线2:4W y x x c =-+,其顶点为A ,与y 轴交于点B , ∴A(2,c-4),B(0,c),∵将抛物线W 绕原点旋转180︒得到抛物线'W ,点,A B 的对应点分别为','A B ,∴'(24),'(0)A c B c ---,,,, ∵四边形''ABA B 为矩形,∴''AA BB =,∴[][]2222(2)(4)(4)(2)c c c --+---=,解得:52c =. 故选D .【点睛】本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质,掌握二次函数图象上点的坐标特征,关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等,是解题的关键.4.二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数,且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表:下列结论错误的是( )A .0ac <B .3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根;C .当1x >时,y 的值随x 值的增大而减小;D .当13x 时,()210.ax b x c +-+>【答案】C【解析】【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表,可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断.【详解】解:根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知:当1x =-时,1y =-,即1a b c -+=-,当0x =时,3y =,即3c =,当1x =时,5y =,即5a b c ++=,联立以上方程:135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩,解得:133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴233y x x =-++;A 、1330=-⨯=-<ac ,故本选项正确;B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=, 将3x =代入得:232339630-+⨯+=-++=,∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确; C 、233y x x =-++化为顶点式得:2321()24=--+y x , ∵10a =-<,则抛物线的开口向下, ∴当32x >时,y 的值随x 值的增大而减小;当32x <时,y 的值随x 值的增大而增大;故本选项错误; D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>,令2y x 2x 3=-++, 由二次函数的图象可得:当0y >时,13x,故本选项正确;故选:C .【点睛】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系,根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键.5.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,有以下结论:①a +b +c <0;②a ﹣b +c >1;③abc >0;④9a ﹣3b +c <0;⑤c ﹣a >1.其中所有正确结论的序号是( )A .①②B .①③④C .①②③④D .①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 根据抛物线的开口方向可得出a 的符号,再由抛物线与y 轴的交点可得出c 的值,然后进一步根据对称轴以及抛物线得出当x 1=、 x 1=-、x 3=-时的情况进一步综合判断即可.由图象可知,a<0,c=1,对称轴:x=b1 2a-=-,∴b=2a,①由图可知:当x=1时,y<0,∴a+b+c<0,正确;②由图可知:当x=−1时,y>1,∴a−b+c>1,正确;③abc=2a2>0,正确;④由图可知:当x=−3时,y<0,∴9a−3b+c<0,正确;⑤c−a=1−a>1,正确;∴①②③④⑤正确.故选:D.【点睛】本题主要考查了抛物线的函数图像性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.6.如图,坐标平面上,二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其顶点为D,且k>0.若△ABC与△ABD的面积比为1:4,则k值为何?( )A.1 B.12C.43D.45【答案】D【解析】【分析】求出顶点和C的坐标,由三角形的面积关系得出关于k的方程,解方程即可.【详解】解:∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣(x﹣2)2+4﹣k,∴顶点D(2,4﹣k),C(0,﹣k),∴OC=k,∵△ABC的面积=12A B•OC=12AB•k,△ABD的面积=12AB(4﹣k),△ABC与△ABD的面积比为1:4,∴k=14(4﹣k),解得:k=45.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式;根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键.7.某二次函数图象的顶点为()2,1-,与x 轴交于P 、Q 两点,且6PQ =.若此函数图象通过()1,a 、()3,b 、()1,c -、()3,d -四点,则a 、b 、c 、d 之值何者为正?( ) A .aB .bC .cD .d【答案】D【解析】【分析】根据题意可以得到该函数的对称轴,开口方向和与x 轴的交点坐标,从而可以判断a 、b 、c 、d 的正负,本题得以解决.【详解】∵二次函数图象的顶点坐标为(2,-1),此函数图象与x 轴相交于P 、Q 两点,且PQ=6, ∴该函数图象开口向上,对称轴为直线x=2,∴图形与x 轴的交点为(2-3,0)=(-1,0),和(2+3,0)=(5,0),∵此函数图象通过(1,a )、(3,b )、(-1,c )、(-3,d )四点,∴a <0,b <0,c=0,d >0,故选:D .【点睛】此题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征,解题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.8.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc >0;②a +b +c =2;③a 12>;④b >1,其中正确的结论个数是( )A .1个B .2 个C .3 个D .4 个【答案】C【解析】【分析】 根据题意和函数图象,可以判断各个小题中的结论是否正确,本题得以解决.由图象可得,a >0,b >0,c <0,∴abc <0,故①错误,当x =1时,y =a +b +c =2,故②正确,当x =﹣1时,y =a ﹣b +c <0,由a +b +c =2得,a +c =2﹣b ,则a ﹣b +c =(a +c )﹣b =2﹣b ﹣b <0,得b >1,故④正确, ∵12b a ->-,a >0,得122b a >>,故③正确, 故选C .【点睛】 本题考查二次函数图象与系数的关系,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.9.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)经过点M (﹣1,2)和点N (1,﹣2),则下列说法错误的是( )A .a +c =0B .无论a 取何值,此二次函数图象与x 轴必有两个交点,且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C .当函数在x <110时,y 随x 的增大而减小 D .当﹣1<m <n <0时,m +n <2a 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可.【详解】解:∵函数经过点M (﹣1,2)和点N (1,﹣2),∴a ﹣b +c =2,a +b +c =﹣2,∴a +c =0,b =﹣2,∴A 正确;∵c =﹣a ,b =﹣2,∴y =ax 2﹣2x ﹣a ,∴△=4+4a 2>0,∴无论a 为何值,函数图象与x 轴必有两个交点,∵x 1+x 2=2a,x 1x 2=﹣1,∴|x 1﹣x 2|=2211a +>2, ∴B 正确; 二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的对称轴x =﹣2b a =1a , 当a >0时,不能判定x <110时,y 随x 的增大而减小; ∴C 错误;∵﹣1<m <n <0,a >0,∴m +n <0,2a >0, ∴m +n <2a; ∴D 正确,故选:C .【点睛】本题考查了二次函数的问题,掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.10.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么下列结论中正确的是( )A .ac >0B .b >0C .a +c <0D .a +b +c =0【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数的图象与性质即可求出答案.【详解】A.由图象可知:a <0,c >0,∴ac <0,故A 错误;B.由对称轴可知:x =2b a -<0, ∴b <0,故B 错误;C.由对称轴可知:x =2b a-=﹣1, ∴b =2a ,∵x =1时,y =0,∴a +b +c =0,∴c =﹣3a ,∴a +c =a ﹣3a =﹣2a >0,故C 错误;故选D .【点睛】本题考查二次函数,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于中等题型.11.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象,其对称轴为1x =.下列结论:①0abc >;②20a b +=;③930a b c ++<;④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点,则12y y >.其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【解析】【分析】 由抛物线开口方向得到a <0,根据对称轴得到b=-2a >0,由抛物线与y 轴的交点位置得到c >0,则可对①进行判断;由b=-2a 可对②进行判断;利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0),则可判断当x=3时,y=0,于是可对③进行判断;通过二次函数的增减性可对④进行判断.【详解】解:∵抛物线开口向下,∴a <0,∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-= ,∴b=-2a >0, ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方, ∴c >0,∴abc <0,所以①错误;∵b=-2a ,∴2a+b=0,所以②正确;∵抛物线与x 轴的一个交点为(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0),∴当x=3时,y=0,∴930a b c ++=,所以③错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,且抛物线开口向下,∴当x 1<时,y 随x 的增大而增大 ∵103132-<-< 点13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 对称轴的距离近, ∴y 1>y 2,所以④正确.故选B .【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0),二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小,当a >0时,抛物线向上开口;当a <0时,抛物线向下开口;一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置:当a 与b 同号时(即ab >0),对称轴在y 轴左; 当a 与b 异号时(即ab <0),对称轴在y 轴右;常数项c 决定抛物线与y 轴交点:抛物线与y 轴交于(0,c );抛物线与x 轴交点个数由△决定:△=b 2-4ac >0时,抛物线与x 轴有2个交点;△=b 2-4ac=0时,抛物线与x 轴有1个交点;△=b 2-4ac <0时,抛物线与x 轴没有交点.12.二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac ﹣b 2<0;②4a+c <2b ;③3b+2c <0;④m (am+b )+b <a (m≠﹣1),其中正确结论的个数是( )A .4个B .3个C .2个D .1个【答案】B【解析】【分析】【详解】 解:∵抛物线和x 轴有两个交点,∴b 2﹣4ac >0,∴4ac ﹣b 2<0,∴①正确;∵对称轴是直线x ﹣1,和x 轴的一个交点在点(0,0)和点(1,0)之间,∴抛物线和x 轴的另一个交点在(﹣3,0)和(﹣2,0)之间,∴把(﹣2,0)代入抛物线得:y=4a ﹣2b+c >0,∴4a+c >2b ,∴②错误;∵把(1,0)代入抛物线得:y=a+b+c <0,∴2a+2b+2c<0,∵b=2a,∴3b,2c<0,∴③正确;∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1,∴y=a﹣b+c的值最大,即把(m,0)(m≠0)代入得:y=am2+bm+c<a﹣b+c,∴am2+bm+b<a,即m(am+b)+b<a,∴④正确;即正确的有3个,故选B.考点:二次函数图象与系数的关系13.已知抛物线y=x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点,则函数y=的大致图象是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可求m<﹣2,即可求解.【详解】∵抛物线y=x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点,∴△=4﹣4(﹣m﹣1)<0∴m<﹣2∴函数y=的图象在第二、第四象限,故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的图象,二次函数性质,求m的取值范围是本题的关键.14.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),与y轴的交点B 在(0,﹣2)和(0,﹣1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1.下列结论:①abc >0;②4a+2b+c >0;③13<a <23;④b >c .其中含所有正确结论的选项是( )A .①②③B .①③④C .②③④D .①②④【答案】B 【解析】 【分析】根据对称轴为直线x=1及图象开口向下可判断出a 、b 、c 的符号,从而判断①;根据对称性得到函数图象经过(3,0),则得②的判断;根据图象经过(-1,0)可得到a 、b 、c 之间的关系,从而对④作判断;从图象与y 轴的交点B 在(0,-2)和(0,-1)之间可以判断c 的大小得出③的正误. 【详解】①∵函数开口方向向上, ∴a >0;∵对称轴在y 轴右侧 ∴ab 异号,∵抛物线与y 轴交点在y 轴负半轴, ∴c <0, ∴abc >0, 故①正确;②∵图象与x 轴交于点A (-1,0),对称轴为直线x=1, ∴图象与x 轴的另一个交点为(3,0), ∴当x=2时,y <0, ∴4a+2b+c <0, 故②错误;③∵图象与y 轴的交点B 在(0,-2)和(0,-1)之间, ∴-2<c <-1∵-12ba , ∴b=-2a ,∵函数图象经过(-1,0),∴a-b+c=0,∴c=-3a,∴-2<-3a<-1,∴13<a<23;故③正确④∵函数图象经过(-1,0),∴a-b+c=0,∴b-c=a,∵a>0,∴b-c>0,即b>c;故④正确;故选B.【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系.解题关键是注意掌握数形结合思想的应用.15.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:给出以下结论:(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为﹣3;(2)当﹣12<x<2时,y<0;(3)已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)在函数的图象上,则当﹣1<x1<0,3<x2<4时,y1>y2.上述结论中正确的结论个数为()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根据表格的数据,以及二次函数的性质,即可对每个选项进行判断.【详解】解:(1)函数的对称轴为:x=1,最小值为﹣4,故错误,不符合题意;(2)从表格可以看出,当﹣12<x<2时,y<0,符合题意;(3)﹣1<x1<0,3<x2<4时,x2离对称轴远,故错误,不符合题意;故选择:B.【点睛】本题考查了二次函数的最值,抛物线与x轴的交点,仔细分析表格数据,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.16.如图,在边长为4的正方形ABCD 中,动点P 从A 点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 点运动,同时动点Q 从B 点出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC CD →方向运动,当P 运动到B 点时,P Q 、点同时停止运动.设P 点运动的时间为t 秒,APQ ∆的面积为S ,则表示S 与t 之间的函数关系的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】D 【解析】 【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动,点Q 在BC 上运动;②点P 在AB 上运动,点Q 在CD 上运动,依次得出S 与t 的关系式,即可判断得出答案. 【详解】解:当点P 在AB 上运动,点Q 在BC 上运动时, 此时,,2AP t BQ t ==2122APQSt t t =⋅⋅=,函数图象为抛物线; 当点P 在AB 上运动,点Q 在BC 上运动时, 此时,AP t =,APQ 底边AP 上的高保持不变1422APQSt t =⋅⋅=,函数图象为一次函数;故选:D . 【点睛】本题考查的知识点是函数图象,理解题意,分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键.17.函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】C 【解析】 【分析】根据a 、b 的符号,针对二次函数、一次函数的图象位置,开口方向,分类讨论,逐一排除. 【详解】当a >0时,二次函数的图象开口向上,一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限, 故A 、D 不正确;由B 、C 中二次函数的图象可知,对称轴x=-2ba>0,且a >0,则b <0, 但B 中,一次函数a >0,b >0,排除B . 故选C .18.在同一直角坐标系中,反比例函数图像与二次函数图像的交点的个数至少有( ) A .0 B .1C .2D .3【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数和反比例函数的图象位置,画出图象,直接判断交点个数. 【详解】若二次函数的图象在第三、四象限,开口向下,顶点在原点,y 轴是对称轴;反比例函数的图象在第一,三象限,故两个函数的交点只有一个,在第三象限.同理,若二次函数的图象在第三、四象限,开口向下,顶点在原点,y 轴是对称轴;反比例函数的图象在第二,四象限,故两个函数的交点只有一个,在第四象限. 故答案为:B .【点睛】本题考查了二次函数和反比例函数的图象问题,掌握二次函数和反比例函数的图象性质是解题的关键.19.已知二次函数y =ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图,分析下列四个结论:①abc <0;②b 2﹣4ac >0;③3a+c >0;④(a+c )2<b 2,其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B 【解析】试题解析:①由开口向下,可得0,a < 又由抛物线与y 轴交于正半轴,可得0c >,再根据对称轴在y 轴左侧,得到b 与a 同号,则可得0,0b abc , 故①错误;②由抛物线与x 轴有两个交点,可得240b ac ->, 故②正确; ③当2x =-时,0,y < 即420a b c -+< ……(1) 当1x =时,0y <,即0a b c ++< ……(2) (1)+(2)×2得,630a c +<, 即20a c +<, 又因为0,a <所以()230a a c a c ,++=+< 故③错误;④因为1x =时,0y a b c =++<,1x =-时,0y a b c =-+> 所以()()0a b c a b c ++-+<即()()22()0,a c b a c b a c b ⎡⎤⎡⎤+++-=+-<⎣⎦⎣⎦所以22().a c b +< 故④正确,综上可知,正确的结论有2个. 故选B .20.已知二次函数y =ax 2+bx+c 的图象如图所示,下列结i 论:①abc >0;②b 2﹣4ac >0;③2a+b =0;④a ﹣b+c <0.其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C 【解析】 【分析】首先根据开口方向确定a 的取值范围,根据对称轴的位置确定b 的取值范围,根据抛物线与y 轴的交点确定c 的取值范围,根据抛物线与x 轴是否有交点确定b 2﹣4ac 的取值范围,根据x =﹣1函数值可以判断. 【详解】 解:抛物线开口向下,0a ∴<,对称轴12bx a=-=, 0b ∴>,抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方,0c ∴>,0abc ∴<,故①错误;抛物线与x 轴有两个交点, 240b ac ∴->,故②正确;对称轴12bx a=-=, 2a b ∴=-,20a b ∴+=,故③正确;根据图象可知,当1x =-时,0y a b c =-+<,故④正确; 故选:C . 【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系,会利用对称轴的范围求2a与b的关系,以及二次函数与方程之间的转换,根的判别式的熟练运用是解题关键.。

二次函数 难题100题

二次函数 难题100题

1.(2012•义乌市)如图,已知抛物线y 1=-2x 2+2,直线y 2=2x+2,当x 任取一值时,x 对应的函数值分别为y 1、y 2.若y 1≠y 2,取y 1、y 2中的较小值记为M ;若y 1=y 2,记M=y 1=y 2.例如:当x=1时,y 1=0,y 2=4,y 1<y 2,此时M=0.下列判断: ①当x >0时,y 1>y 2; ②当x <0时,x 值越大,M 值越小; ③使得M 大于2的x 值不存在; ④使得M=1的x 值是- 1 2 或 2 2 .其中正确的是( )A .①②B .①④C .②③D .③④VIP 显示解析试题篮2.(2012•大连)如图,一条抛物线与x 轴相交于A 、B 两点,其顶点P 在折线C-D-E 上移动,若点C 、D 、E 的坐标分别为(-1,4)、(3,4)、(3,1),点B 的横坐标的最小值为1,则点A 的横坐标的最大值为( )A .1B .2C .3D .4VIP 显示解析试题篮3.(2011•安顺)正方形ABCD 边长为1,E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点,且AE=BF=CG=DH .设小正方形EFGH 的面积为y ,AE=x .则y 关于x 的函数图象大致是( )A .B .C .D .VIP 显示解析试题篮4.(2010•遵义)如图,两条抛物线y 1=-12x2+1,y2=-12x2-1与分别经过点(-2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为()A.8 B.6 C.10 D.4VIP显示解析试题篮5.(2010•台州)如图,点A,B的坐标分别为(1,4)和(4,4),抛物线y=a(x-m)2+n的顶点在线段AB上运动,与x轴交于C、D两点(C 在D的左侧),点C的横坐标最小值为-3,则点D的横坐标最大值为()A.-3 B.1 C.5 D.8VIP显示解析试题篮6.(2010•鸡西)如图,二次函数y=-x2-2x的图象与x轴交于点A、=3,则点P的坐标是()O,在抛物线上有一点P,满足S△AOPA.(-3,-3)B.(1,-3)C.(-3,-3)或(-3,1)D.(-3,-3)或(1,-3)显示解析试题篮7.(2009•湖州)已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形,每个小正方形的顶点称为格点,请你在图中任意画一条抛物线,问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个()A.6 B.7 C.8 D.9VIP显示解析试题篮8.(2008•泰安)如图所示是二次函数y=-1 2x 2+2的图象在x 轴上方的一部分,对于这段图象与x 轴所围成的阴影部分的面积,你认为可能的值是( )A .4B .16 3C .2πD .8★☆☆☆☆显示解析试题篮9.(2008•杭州)如图,记抛物线y=-x 2+1的图象与x 正半轴的交点为A ,将线段OA 分成n 等份,设分点分别为P 1,P 2,…P n-1,过每个分点作x 轴的垂线,分别与抛物线交于点Q 1,Q 2,…,Q n-1,再记直角三角形OP 1Q 1,P 1P 2Q 2,…,P n-2P n-1Q n-1的面积分别为S 1,S 2,…,这样就有S 1=n 2-1 2n 3,S 2=n 2-4 2n 3,…;记W=S 1+S 2+…+S n-1,当n 越来越大时,你猜想W 最接近的常数是( )A .2 3B .1 2C .1 3D .1 4VIP 显示解析试题篮10.(2004•深圳)抛物线过点A(2,0)、B(6,0)、C(1,3),平行于x轴的直线CD交抛物线于点C、D,以AB为直径的圆交直线CD于点E、F,则CE+FD的值是()A.2 B.4 C.5 D.611.(2002•济南)抛物线y=ax2与直线x=1,x=2,y=1,y=2围成的正方形有公共点,则实数a的取值范围是()A.14≤a≤1 B.12≤a≤2C.12≤a≤1D.14≤a≤2★★★★☆显示解析试题篮12.(2002•河北)如图,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A,B两点,交y轴于C,则△ABC的面积为()A.6 B.4 C.3 D.1★★★★★显示解析试题篮13.如图,半圆A和半圆B均与y轴相切于O,其直径CD,EF均和x轴垂直,以O为顶点的两条抛物线分别经过点C,E和点D,F,则图中A.πB.1 2πC.1D.条件不足,无法求3π★☆☆☆☆显示解析试题篮14.如图,点A(m,n)是一次函数y=2x的图象上的任意一点,AB 垂直于x轴,垂足为B,那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为()A.B.C.D.☆☆☆☆☆显示解析试题篮15.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+mc (a≠0)的图象经过正方形ABOC的三个顶点,且ac=-2,则m的值为()A.1 B.-1 C.2 D.-2☆☆☆☆☆显示解析试题篮16.如图,一次函数y=-2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点,二次函数y=x2+bx+c的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B,若AC:CB=1:2,那么,这个二次函数的顶点坐标为()A.(-12,11 4)B.(-12,-114)C.(12,114)D.(12,-114)☆☆☆☆☆显示解析试题篮17.Rt△ABC的三个顶点A,B,C均在抛物线y=x2上,并且斜边AB平行于x轴.若斜边上的高为h,则()A.h<1 B.h=1 C.1<h<2 D.h>2☆☆☆☆☆显示解析试题篮18.割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法:随着圆内接正多边形边数的增加,它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率.请你也用这个方法求出二次函数y=14(x-4)2的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是()A.5 B.225C.4 D.17-4π显示解析试题篮19.如图,OABC是边长为1的正方形,OC 与x轴正半轴的夹角为15°,点B在抛物线y=ax2(a<0)的图象上,则a的值A.- 2 3 B.-23C.-2D.-12显示解析试题篮20.如图,矩形OABC的长OA=3,宽OC=1,将△AOC沿AC翻折得△APC,可得下列结论:①∠PCB=30°;②点P 的坐标是(32,32);③若P、C两点在抛物线y=-43x2+bx+c上,则b的值是-3,c的值是1;④在③中的抛物线CP段(不包括C、P两点)上,存在一点Q,使四边形QCAP的面积最大,最大值为9316.其中正确的有()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④31.如图,抛物线y=x2-2x与直线y=3相交于点A、B,P是x轴上一点,若PA+PB 最小,则点P的坐标为()A.(-l,0)B.(0,0)C.(1,0)D.(3,0)显示解析试题篮32.当△=b2-4ac>0时,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴,y轴的三个交点构A.c 2a △B.|c|2|a|△C.c4a△D.|c|4|a|△显示解析试题篮33.方程1x-2=x 2-2x实根的情况是()A.有三个实根B.有两个实根C.有一个实根D.无实根显示解析试题篮34.下列图形中,阴影部分面积为1的是()A.B.C.D.显示解析试题篮35.如图,⊙O的半径为2,C1是函数y=12x2的图象,C2是函数y=-12x2的图象,C3是函数y=3A.2πB.53πC.113πD.43π显示解析试题篮36.已知抛物线y=kx2(k>0)与直线y=ax+b(a≠0)有两个公共点,它们的横坐标分别为x1、x2,又有直线y=ax+b与x轴的交点坐标为(x3,0),则x1、x2、A.x1+x2=x3B.1 x1+1x 2=1x3C.x3=x1+x2x1x2D.x1x2+x2x3=x1x3显示解析试题篮37.下列图形中,阴影部分的面积为2的有()个.A.4个B.3个C.2个D.1个显示解析试题篮38.边长为1的正方形OABC的顶点A在x正半轴上,点C在y正半轴上,将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°,如图所示,使点B恰好落在函数y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为()A.- 2 B.-1C.-324D.-23显示解析试题篮39.已知直线y=-12x与抛物线y=-14x2+6交于A、B两点,取与线段AB等长的一根橡皮筋,端点分别固定在A、B两处,用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动,动点P将与A、B构成无数个三角形,这些三角形中存在一个面积最大的三角形,最大面积为()A.12 6 B.1252C.1254D.234显示解析试题篮40.如图,已知⊙P的半径为3,圆心P在抛物线y=122A.(6 ,3)B.(3,3)C.(6,3)或(-6,3)D.(3,3)或(-3,3)显示解析试题篮2A.-2 B.-1 C.-2D.-22显示解析试题篮42.方程x2-2x+1x-4=0的实数解的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3 显示解析试题篮43.边长为1的正方形OABC的顶点A在x正半轴上,点C在y正半轴上,将正方形OABC绕顶点O顺时针旋转75°,如图所示,使点B 恰好落在函数y=ax2(a<0)的图象上,则a的值为()A.- 2 B.-1C.-324D.-23显示解析试题篮44.如图,已知抛物线l1:y=x2-6x+5与x轴分别交于A、B两点,顶点为M.将抛物线l1沿x轴翻折后再向左平移得到抛物线l2.若抛物线l2过点B,与x轴的另一个交点为C,顶点为N,则四边形AMCN的面积为()A.32 B.16 C.50 D.40显示解析试题篮45.下列图形中,阴影部分的面积为2的有()个.A.4个B.3个C.2个D.1个显示解析试题篮46.已知二次函数y=(x-a)(x-b)-12(a<b),且x1、x2(x1<x2)是方程(x-a)(x-b)-12=0的两个根,则实数a、b、x1、x2的大小关系为()A.a<x1<b<x2B.a<x1<x2<b C.x1<a<x2<b D.x1<a<b<x2显示解析试题篮47.当△=b2-4ac>0时,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴,y轴的三个交点构显示解析试题篮48.方程1x-2=x2-2x实根的情况是()A.有三个实根B.有两个实根C.有一个实根D.无实根显示解析试题篮49.抛物线y=-23x2+2bx与x轴的两个不同交点是点O和点A,顶点B在直线y=33x上,则关于△OAB的判断正确的是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形显示解析试题篮50.在同一平面直角坐标系内直线y=x-1、双曲线y=2x、抛物线y=-2x2+12x-15共有多少个交点()A.5个B.6个C.7个D.8个显示解析试题篮51.抛物线y=ax2+3ax+b的一部分图象如图,设该抛物线与x轴的轴的交点为C,若△ACO∽△CBO,则∠CAB的正切交点为A(-5,0)和B,与y52.如图,A 0(0,0),A 1(1,1),A 2(2,4),A 3(3,9),…A n (n ,n 2)(n 是非负整数)是抛物线一组横坐标相隔为单位1的点,过A 0作x 轴的垂线与过点A 1作y 轴的垂线得交点B 0,依次而作得B 0,B 1,…B n-1.若记△A 1B 0A 0面积为S 1,△A 2B 1A 1面积为S 2,…则△A 6B 5A 5面积S 6面积为( )A .4.5B .5.5C .11D .18显示解析试题篮53.抛物线y=- 2 3x 2+2bx 与x 轴的两个不同交点是点O 和点A ,顶点B 在直线y= 3 3x 上,则关于△OAB 的判断正确的是( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形显示解析试题篮54.在同一平面直角坐标系内直线y=x-1、双曲线y= 2 x、抛物线y=-2x 2+12x-15共有多少个交点( )A .5个B .6个C .7个D .8个显示解析试题篮55.用min{a ,b ,c}表示a ,b ,c 三个数中的最小值,若y=min{x 2,x+2,10-x}(x≥0),则y 的最大值为( )A .4B .5C .6D .7显示解析试题篮56.如图,直线l经过点M(3,0),且平行于y 轴,与抛物线y=ax2交于点N,若S△OMN=9,则a的值是()A.2 3 B.-23C.13D.-13显示解析试题篮57.如图,将抛物线y=-12x2平移后经过原点O和点A(6,0),平移后的抛物线的顶点为点B,对称轴与抛物线y=-122A.21 2 B.12C.272D.15显示解析试题篮58.探索二次函数y=x2和反比例函数y=1x交点个数为()A.1个B.2个C.3个D.0个显示解析试题篮59.边长为1的正方形OA 1B 1C 1的顶点A 1在x 轴的正半轴上,如图将正方形OA 1B 1C 1绕顶点O 顺时针旋转75°得正方形OABC ,使点B 恰好落在函数y=ax 2(a <0)的图象上,则a 的值为( )A .-2 3B .-1 2C .-2D .-2 3显示解析试题篮60.记抛物线y=-x 2+2012的图象与y 正半轴的交点为A ,将线段OA 分成2012等份,设分点分别为P 1,P 2,…,P 2011,过每个分点作y 轴的垂线,分别与抛物线交于点Q 1,Q 2,…,Q 2011,再记直角三角形OP 1Q 1,P 1P 2Q 2,…的面积分别为S 1,S 2,…,这样就记w=s 12+s 22+…+s 20112,W 的值为( )A .505766B .505766.5C .505765D .50576461.如图,A 1、A 2、A 3是抛物线y=ax 2( a >0)上的三点,A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3分别垂直于x 轴,垂足为B 1、B 2、B 3,直线A 2B 2交线段A 1A 3于点C .A 1、A 2、A 3三点的横坐标为连续整数n-1、n 、n+1,则线段CA 2的长为( )A .aB .2aC .nD .n-1显示解析试题篮62.如图已知A 1,A 2,A 3,…A n 是x 轴上的点,且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=…=A n-1A n =1,分别过点A 1,A 2,A 3,…A n′作x 轴的垂线交二次函数y= 1 2 x 2(x >0)的图象于点P 1,P 2,P 3,…Pn,若记△OA 1P 1的面积为S 1,过点P 1作P 1B 1⊥A 2P 2于点B 1,记△P 1B 1P 2的面积为S 2,过点P 2作P 2B 2⊥A 3P 3于点B 2,记△P 2B 2P 3的面积为S 3,…依次进行下去,最后记△P n-1B n-1P n (n >1)的面积为S n ,则S n =( )A .2n-1 4B . n 24C . (n-1)24D .2n+1 4显示解析试题篮63.如图,直线y=x 与抛物线y=ax 2(a >0)在y 轴右侧依次交于A 1,A 2,A 3…A n ,且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=…=A n-1A n (n 为正整数),其中经的抛物线为y=x 2A .y=1 nx 2B .y=1 n-1x 2C .y=nx 2D .y=(n-1)x 2显示解析试题篮64.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a >0)经过点M (-1,2)和点N (1,-2),交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于C .则: ①b=-2;②该二次函数图象与y 轴交于负半轴;③存在这样一个a ,使得M 、A 、C 三点在同一条直线上;④若a=1,则O A•OB=OC2.以上说法正确的有()A.①②③④B.②③④C.①②④D.①②③显示解析试题篮65.如图是反比例函数y=kx,x≤-2和x≥1的一部分图象,且其图象过(2,1)点,若二次函数y=ax2的图象与上述图象有公共点,则a的取值范围为()A.-2≤a≤1且a≠0 B.a≤-2或a≥1C.-14≤a≤2且a≠0 D.a≤- 14或a≥2显示解析试题篮66.如图,抛物线y=x2-12x-32与直线y=x-2交于A、B两点(点A在点B的左侧),动点P从A点出发,先到达抛物线的对称轴上的某点E,再到达x轴上的某点F,最后运动到点B.若使A.29 2 B.293C.52D.53显示解析试题篮67.定义:若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形,则这种抛物线就称为:“美丽抛物线”.如图,直线l :y= 1 3x+b 经过点M (0, 1 4),一组抛物线的顶点B 1(1,y 1),B 2(2,y 2),B 3(3,y 3),…B n (n ,y n ) (n 为正整数),依次是直线l 上的点,这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是:A 1(x 1,0),A 2(x 2,0),A 3(x 3,0),…A n+1(x n+1,0)(n 为正整数).若x 1=d (0<d <1),当d 为( )时,这组抛物线中存在美丽抛物线.A .5 12或7 12B .5 12或11 12C .7 12或11 12D .7 12显示解析试题篮68.(2011•玉溪)如图,点A 1、A 2、A 3、…、An 在抛物线y=x 2图象上,点B 1、B 2、B 3、…、B n 在y 轴上,若△A 1B 0B 1、△A 2B 1B 2、…、△A n B n-1B n 都为等腰直角三角形(点B 0是坐标原点),则△A 2011B 2010B 2011的腰长=.VIP 显示解析试题篮69.(2011•义乌市)如图,一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x2+3x图象的对称轴交于点B.(1)写出点B的坐标;(2)已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点,将直线y=-2x沿y轴向上平移,分别交x轴、y轴于C、D两点.若以CD为直角边的△PCD 与△OCD相似,则点P的坐标为.VIP显示解析试题篮70.(2010•义乌市)(1)将抛物线y1=2x2向右平移2个单位,得到抛物线y2的图象,则y2=;(2)如图,P是抛物线y2对称轴上的一个动点,直线x=t平行于y轴,分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B.若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形,求满足条件的t的值,则t=.71.(2010•双流县)已知二次函数y=-23x2-43x+2的图象与x轴分别交于A、B两点(如图所示),与y轴交于点C,点P是其对称轴上一动点,当PB+PC取得最小值时,点P的坐标为.显示解析试题篮72.(2010•宁波)如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线y=12x2-1上运动,当⊙P与x轴相切时,圆心P的坐标为.VIP显示解析试题篮73.(2010•长春)如图,抛物线y=ax2+c(a<0)交x轴于点G,F,交y轴于点D,在x轴上方的抛物线上有两点B,E,它们关于y轴对称,点G,B在y轴左侧,BA⊥OG于点A,BC⊥OD于点C,四边形OABC 与四边形ODEF的面积分别为6和10,则△ABG与△BCD的面积之和为.VIP显示解析试题篮74.(2009•浙江)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点,则:(1)abc0(填“>”或“<”);(2)a的取值范围是.VIP显示解析试题篮75.(2009•兰州)二次函数y=2 3x 2的图象如图所示,点A 0位于坐标原点,A 1,A 2,A 3,…,A 2008在y 轴的正半轴上,B 1,B 2,B 3,…,B 2008在二次函数y= 2 3x 2第一象限的图象上,若△A 0B 1A 1,△A 1B 2A 2,△A 2B 3A 3,…,△A 2007B 2008A 2008都为等边三角形,请计算△A 0B 1A 1的边长=;△A 1B 2A 2的边长=;△A 2007B 2008A 2008的边长=.VIP 显示解析试题篮76.(2009•金华)如图,在第一象限内作射线OC ,与x 轴的夹角为30°,在射线OC 上取一点A ,过点A 作AH⊥x 轴于点H .在抛物线y=x 2(x >0)上取点P ,在y 轴上取点Q ,使得以P ,O ,Q 为顶点的三角形与△AOH 全等,则符合条件的点A 的坐标是.VIP 显示解析试题篮77.(2006•芜湖)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C,则ac的值是.☆☆☆☆☆显示解析试题篮78.(2006•凉山州)如图,矩形ABCD的长AB=4cm,宽AD=2cm.O 是AB的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线的顶点是O,关于OP对称且经过C、D两点,则图中阴影部分的面积是cm2.☆☆☆☆☆显示解析试题篮79.(2006•达州)如图正方形ABCD的边长为2cm,O是AB的中点,也是抛物线的顶点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为OA与OB.抛物线经过C、D两点,且关于OP对称,则图中阴影部分的面积之和为cm2.(π取3.14,结果保留2个有效数字)显示解析试题篮80.(2005•金华)直角坐标系xOy 中,O 是坐标原点,抛物线y=x 2-x-6与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 左侧),与y 轴交于点C .如果点M 在y 轴右侧的抛物线上,S △AMO =S △COB ,那么点M 的坐标是.81.(2005•河南)如图,半圆A 和半圆B 均与y 轴相切于O ,其直径CD 、EF 和x 轴垂直,以O 为顶点的两条抛物线分别经过点C 、E 和D 、F ,则图中阴影部分面积是.★☆☆☆☆显示解析试题篮82.(2001•重庆)已知:如图所示,一次函数有y=-2x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点,二次函数y=x 2+bx+c 的图象过点C ,且与一次函数在第二象限交于另一点B ,若AC :CB=1:2,那么这二次函数的顶点坐标为.☆☆☆☆☆显示解析试题篮83.二次函数y=2 3x 2的图象如图所示,点A 0位于坐标原点,A 1,A 2,A 3,…,A 2009在y 轴的正半轴上,B 1,B 2,B 3,…,B 2009在二次函数y= 2x2第一象限的图象上,若△A0B1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…,△A2008B2009A2009都为等边三角形,计算出△A2008B2009A2009的边长为.★★☆☆☆显示解析试题篮84.已知二次函数y=ax2(a>0)的图象上两点A、B的横坐标分别是-1、2,点O是坐标原点,如果△AOB是直角三角形,则△OAB的周长为.★★☆☆☆显示解析试题篮85.如图,在抛物线y=-23x2上取B1(32,-12),在y轴负半轴上取一个点A1,使△OB1A1为等边三角形;然后在第四象限取抛物线上的点B2,在y轴负半轴上取点A2,使△A1B2A2为等边三角形;重复以上的过程,可得△A99B100A100,则A100的坐标为.☆☆☆☆☆显示解析试题篮86.如下左图,小明设计了一个电子游戏:一电子跳蚤从横坐标为t(t>0)的P1点开始,按点的横坐标依次增加1的规律,在抛物线y=ax2(a>0)上向右跳动,得到点P2、P3,这时△P1P2P3的面积为☆☆☆☆☆显示解析试题篮87.在平面直角坐标系中,横坐标与纵坐标都是整数的点(x,y)称为整点,如果将二次函数y=x2+8x-394的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色,则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个.☆☆☆☆☆显示解析试题篮88.二次函数y=23x2的图象如图所示,自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形(其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y轴上,相邻的菱形在y轴上有一个公共点),则第2009个菱形的周长=.☆☆☆☆☆显示解析试题篮89.如图,已知点M(p,q)在抛物线y=x2-1上,以M为圆心的圆与x轴交于A、B两点,且A、B两点的横坐标是关于x的方程x2-2px+q=0的两根,则弦AB的长等于.☆☆☆☆☆显示解析试题篮90.二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,△ABC的面积为.91.抛物线y=x2-4与x轴的两个交点和抛物线的顶点构成的三角形的面积为.☆☆☆☆☆显示解析试题篮92.如图,在第一象限内作与x轴的夹角为30°的射线OC,在射线OC上取一点A,过点A作AH⊥x轴于点H.在抛物线y=x2(x >0)上取一点P,在y轴上取一点Q,使得以P,O,Q为顶点的三角形与△AOH 全等,则符合条件的点A的坐标是.☆☆☆☆☆显示解析试题篮93.连接抛物线y=ax2(a≠0)上任意四点所组成的四边形可能是(填写所有正确选项的序号).①菱形;②有三条边相等的四边形;③梯形;④平行四边形.☆☆☆☆☆显示解析试题篮94.如图,已知点F的坐标为(0,1),过点F作一条直线与抛物线y=14x2交于点A和点B,若以线段AB为直径作圆,则该圆与直线y=-1的位置关系是.☆☆☆☆☆显示解析试题篮95.已知二次函数y=ax2(a≥1)的图象上两点A,B的横坐标分别为-1,2,O 是坐标原点,如果△AOB是直角三角形,则△AOB的周长为.显示解析试题篮96.函数y=x2-3|x|+7的图象与函数y=x2-3x+|x2-3x|+6的图象的交点个数是.显示解析试题篮97.抛物线y=ax2与直线x=1,x=2,y=1,y=2组成的正方形有公共点,则a的取值范围是.显示解析试题篮98.二次函数y=-x2+2x+3的图象与x轴交于A、B两点,P为它的顶点,则S△=PAB .显示解析试题篮99.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图,点A,B,C,D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2,则经过点C的“蛋圆”切线EC的解析式是.显示解析试题篮100.如图,矩形ABCD的长AB=6cm,宽AD=3cm.O是AB的中点,OP⊥AB,两半圆的直径分别为AO与OB.抛物线y=ax2经过C、D两点,则图中阴影部分的面积是cm2.显示解析试题篮。

二次函数难题汇编

二次函数难题汇编

二次函数难题汇编一、选择题1.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)经过点M (﹣1,2)和点N (1,﹣2),则下列说法错误的是( ) A .a +c =0B .无论a 取何值,此二次函数图象与x 轴必有两个交点,且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C .当函数在x <110时,y 随x 的增大而减小 D .当﹣1<m <n <0时,m +n <2a【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质对各项进行判断即可. 【详解】解:∵函数经过点M (﹣1,2)和点N (1,﹣2), ∴a ﹣b +c =2,a +b +c =﹣2, ∴a +c =0,b =﹣2, ∴A 正确; ∵c =﹣a ,b =﹣2, ∴y =ax 2﹣2x ﹣a , ∴△=4+4a 2>0,∴无论a 为何值,函数图象与x 轴必有两个交点, ∵x 1+x 2=2a,x 1x 2=﹣1,∴|x 1﹣x 2|=>2, ∴B 正确;二次函数y =ax 2+bx +c (a >0)的对称轴x =﹣2b a =1a, 当a >0时,不能判定x <110时,y 随x 的增大而减小; ∴C 错误;∵﹣1<m <n <0,a >0, ∴m +n <0,2a>0, ∴m +n <2a;∴D 正确, 故选:C . 【点睛】本题考查了二次函数的问题,掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.2.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax 2+bx 与y=bx+a 的图象可能是( )A .B .C .D .【答案】C 【解析】试题解析:A 、对于直线y=bx+a 来说,由图象可以判断,a >0,b >0;而对于抛物线y=ax 2+bx 来说,对称轴x=﹣2ba<0,应在y 轴的左侧,故不合题意,图形错误. B 、对于直线y=bx+a 来说,由图象可以判断,a <0,b <0;而对于抛物线y=ax 2+bx 来说,图象应开口向下,故不合题意,图形错误.C 、对于直线y=bx+a 来说,由图象可以判断,a <0,b >0;而对于抛物线y=ax 2+bx 来说,图象开口向下,对称轴x=﹣2ba位于y 轴的右侧,故符合题意, D 、对于直线y=bx+a 来说,由图象可以判断,a >0,b >0;而对于抛物线y=ax 2+bx 来说,图象开口向下,a <0,故不合题意,图形错误. 故选C .考点:二次函数的图象;一次函数的图象.3.如图,二次函数()200y ax bx c a =++=≠的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C ,对称轴为直线2x =,且OA OC =,则下列结论:①0abc >;②930a b c ++<;③1c >-;④关于x 的方程()200ax bx c a ++=≠有一个根为1a-,其中正确的结论个数有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】C 【解析】 【分析】由二次图像开口方向、对称轴与y 轴的交点可判断出a 、b 、c 的符号,从而可判断①;由图像可知当x =3时,y <0,可判断②;由OA =OC ,且OA <1,可判断③;把﹣1a代入方程整理得ac 2-bc +c =0,结合③可判断④;从而得出答案. 【详解】由图像开口向下,可知a <0,与y 轴的交点在x 轴的下方,可知c <0,又对称轴方程为x =2,∴﹣2ba>0,∴b >0,∴abc >0,故①正确;由图像可知当x =3时,y >0,∴9a +3b +c >0,故②错误;由图像可知OA <1,∵OA =OC ,∴OC <1,即﹣c <1,故③正确;假设方程的一个根为x =﹣1a ,把﹣1a代入方程,整理得ac 2-bc +c =0, 即方程有一个根为x =﹣c ,由②知﹣c =OA ,而当x =OA 是方程的根,∴x =﹣c 是方程的根,即假设成立,故④正确.故选C. 【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质以及二次函数与一元二次方程的联系,熟练掌握二次函数的相关知识是解答此题的关键.4.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)中的x 与y 的部分对应值如下表: x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … y…125﹣3﹣4﹣35…给出以下结论:(1)二次函数y =ax 2+bx +c 有最小值,最小值为﹣3;(2)当﹣12<x <2时,y <0;(3)已知点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)在函数的图象上,则当﹣1<x 1<0,3<x 2<4时,y 1>y 2.上述结论中正确的结论个数为( ) A .0 B .1C .2D .3【答案】B 【解析】 【分析】根据表格的数据,以及二次函数的性质,即可对每个选项进行判断.【详解】解:(1)函数的对称轴为:x =1,最小值为﹣4,故错误,不符合题意; (2)从表格可以看出,当﹣12<x <2时,y <0,符合题意; (3)﹣1<x 1<0,3<x 2<4时,x 2离对称轴远,故错误,不符合题意; 故选择:B . 【点睛】本题考查了二次函数的最值,抛物线与x 轴的交点,仔细分析表格数据,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.5.抛物线y=–x 2+bx+c 上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表所示:从上表可知,下列说法错误的是A .抛物线与x 轴的一个交点坐标为(–2,0)B .抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6)C .抛物线的对称轴是直线x=0D .抛物线在对称轴左侧部分是上升的【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解:当x=-2时,y=0, ∴抛物线过(-2,0),∴抛物线与x 轴的一个交点坐标为(-2,0),故A 正确; 当x=0时,y=6,∴抛物线与y 轴的交点坐标为(0,6),故B 正确; 当x=0和x=1时,y=6, ∴对称轴为x=12,故C 错误; 当x <12时,y 随x 的增大而增大, ∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的,故D 正确; 故选C .6.如图,抛物线2119y x =-与x 轴交于A B ,两点,D 是以点()0,4C 为圆心,1为半径的圆上的动点,E 是线段AD 的中点,连接,OE BD ,则线段OE 的最小值是( )A .2B .322C .52D .3【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线解析式即可得出A 点与B 点坐标,结合题意进一步可以得出BC 长为5,利用三角形中位线性质可知OE=12BD ,而BD 最小值即为BC 长减去圆的半径,据此进一步求解即可. 【详解】 ∵2119y x =-, ∴当0y =时,21019x =-, 解得:=3x ±,∴A 点与B 点坐标分别为:(3-,0),(3,0), 即:AO=BO=3, ∴O 点为AB 的中点, 又∵圆心C 坐标为(0,4), ∴OC=4,∴BC 长度2205OB C +=, ∵O 点为AB 的中点,E 点为AD 的中点, ∴OE 为△ABD 的中位线, 即:OE=12BD , ∵D 点是圆上的动点,由图可知,BD 最小值即为BC 长减去圆的半径, ∴BD 的最小值为4, ∴OE=12BD=2,即OE 的最小值为2, 故选:A. 【点睛】本题主要考查了抛物线性质与三角形中位线性质的综合运用,熟练掌握相关概念是解题关键.7.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象,其对称轴为1x =.下列结论:①0abc >;②20a b +=;③930a b c ++<;④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点,则12y y >.其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线开口方向得到a <0,根据对称轴得到b=-2a >0,由抛物线与y 轴的交点位置得到c >0,则可对①进行判断;由b=-2a 可对②进行判断;利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0),则可判断当x=3时,y=0,于是可对③进行判断;通过二次函数的增减性可对④进行判断. 【详解】解:∵抛物线开口向下, ∴a <0,∵抛物线的对称轴为直线12bx a=-= ,∴b=-2a >0, ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,∴c >0,∴abc <0,所以①错误; ∵b=-2a ,∴2a+b=0,所以②正确;∵抛物线与x 轴的一个交点为(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1, ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0), ∴当x=3时,y=0,∴930a b c ++=,所以③错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,且抛物线开口向下, ∴当x 1<时,y 随x 的增大而增大 ∵103132-<-< 点13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称轴的距离近, ∴y 1>y 2,所以④正确.故选B . 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0),二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小,当a >0时,抛物线向上开口;当a <0时,抛物线向下开口;一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置:当a 与b 同号时(即ab >0),对称轴在y 轴左; 当a 与b 异号时(即ab <0),对称轴在y 轴右;常数项c 决定抛物线与y 轴交点:抛物线与y 轴交于(0,c );抛物线与x 轴交点个数由△决定:△=b 2-4ac >0时,抛物线与x 轴有2个交点;△=b 2-4ac=0时,抛物线与x 轴有1个交点;△=b 2-4ac <0时,抛物线与x 轴没有交点.8.如图,已知点A (4,0),O 为坐标原点,P 是线段OA 上任意一点(不含端点O ,A ),过P 、O 两点的二次函数y 1和过P 、A 两点的二次函数y 2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B 、C ,射线OB 与AC 相交于点D .当OD=AD=3时,这两个二次函数的最大值之和等于()A 5B 453C .3D .4【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】过B 作BF ⊥OA 于F ,过D 作DE ⊥OA 于E ,过C 作CM ⊥OA 于M ,∵BF ⊥OA ,DE ⊥OA ,CM ⊥OA , ∴BF ∥DE ∥CM . ∵OD=AD=3,DE ⊥OA , ∴OE=EA=12OA=2. 由勾股定理得:DE=5.设P (2x ,0),根据二次函数的对称性得出OF=PF=x , ∵BF ∥DE ∥CM ,∴△OBF ∽△ODE ,△ACM ∽△ADE . ∴BF OF CM AMDE OE DE AE ==,,即x 2x 2255-==,,解得:()52x 5BF ?x CM 2-==,. ∴BF+CM=5. 故选A .9.如图,ABC ∆为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( )A .B .C .D .【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段,故可排除选项C与D;点P从点B运动到点C时,y是x的二次函数,并且有最小值,故选项B符合题意,选项A不合题意.【详解】根据题意得,点P从点A运动到点B时以及从点C运动到点A时是一条线段,故选项C 与选项D不合题意;点P从点B运动到点C时,y是x的二次函数,并且有最小值,∴选项B符合题意,选项A不合题意.故选B.【点睛】本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y与x的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题.10.若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象于x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,图象上有一点M(x0,y0)在x轴下方,对于以下说法:①b2﹣4ac>0②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解③x1<x0<x2④a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0其中正确的是()A.①③④B.①②④C.①②③D.②③【答案】B【解析】【分析】①根据二次函数图象与x轴有两个不同的交点,结合根的判别式即可得出△=b2-4ac>0,①正确;②由点M(x0,y0)在二次函数图象上,利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解,②正确;③分a>0和a<0考虑,当a>0时得出x1<x0<x2;当a<0时得出x0<x1或x0>x2,③错误;④将二次函数的解析式由一般式转化为交点式,再由点M(x0,y0)在x轴下方即可得出y0=a(x0-x1)(x0-x2)<0,④正确.【详解】①∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象于x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),且x1<x2,∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,∴△=b2-4ac>0,①正确;②∵图象上有一点M(x0,y0),∴a+bx0+c=y0,∴x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解,②正确;③当a>0时,∵M(x0,y0)在x轴下方,∴x1<x0<x2;当a<0时,∵M(x0,y0)在x轴下方,∴x0<x1或x0>x2,③错误;④∵二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象于x 轴的交点坐标分别为(x 1,0),(x 2,0), ∴y=ax 2+bx+c=a (x-x 1)(x-x 2), ∵图象上有一点M (x 0,y 0)在x 轴下方, ∴y 0=a (x 0-x 1)(x 0-x 2)<0,④正确; 故选B . 【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象与系数的关系,根据二次函数的相关知识逐一分析四条结论的正误是解题的关键.11.如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象过点(-1,0)和点(3,0),有下列说法:①bc <0;②a +b +c >0;③2a +b =0;④4ac >b 2.其中错误的是( )A .②④B .①③④C .①②④D .②③④【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到0a >,利用对称轴在y 轴的右侧得到0b <,利用抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <,则可对A 进行判断;利用当1x =时,0y <可对B 进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线12bx a=-=,则可对C 进行判断;根据抛物线与x 轴的交点个数对D 进行判断. 【详解】解:Q 抛物线开口向上,0a ∴>,Q 对称轴在y 轴的右侧,a ∴和b 异号,0b ∴<,Q 抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,0c ∴<,0bc ∴>,所以①错误;Q 当1x =时,0y <,0a b c ∴++<,所以②错误; Q 抛物线经过点(1,0)-和点(3,0),∴抛物线的对称轴为直线1x =,即12b a-=, 20a b ∴+=,所以③正确;Q 抛物线与x 轴有2个交点,∴△240b ac =->,即24ac b <,所以④错误.综上所述:③正确;①②④错误.故选:C .【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠,二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小;一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置(左同右异).常数项c 决定抛物线与y 轴交点(0,)c .抛物线与x 轴交点个数由△决定.12.如图,抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)过点(1,0)和点(0,﹣2),且顶点在第三象限,设P=a ﹣b+c ,则P 的取值范围是( )A .﹣4<P <0B .﹣4<P <﹣2C .﹣2<P <0D .﹣1<P <0【答案】A【解析】【分析】【详解】 解:∵二次函数的图象开口向上,∴a >0.∵对称轴在y 轴的左边,∴b 2a-<0.∴b >0. ∵图象与y 轴的交点坐标是(0,﹣2),过(1,0)点,代入得:a+b ﹣2=0.∴a=2﹣b ,b=2﹣a .∴y=ax 2+(2﹣a )x ﹣2.把x=﹣1代入得:y=a ﹣(2﹣a )﹣2=2a ﹣4,∵b >0,∴b=2﹣a >0.∴a <2.∵a >0,∴0<a <2.∴0<2a <4.∴﹣4<2a ﹣4<0,即﹣4<P <0.故选A .【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系,利用数形结合思想解题是本题的解题关键.13.如图,二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示,则一次函数y ax c =+和反比例函数b y x=在同平面直角坐标系中的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】D【解析】【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ,b ,c 的值取值范围,进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案.【详解】∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向下,∴a <0,∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过原点,∴c=0,∵二次函数y=ax 2+bx+c 的图象对称轴在y 轴左侧,∴a ,b 同号,∴b <0,∴一次函数y=ax+c ,图象经过第二、四象限,反比例函数y=b x图象分布在第二、四象限, 故选D .【点睛】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象,正确把握相关性质是解题关键.14.如图是抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n ),且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①4a ﹣2b +c >0;②3a +b >0;③b 2=4a (c ﹣n );④一元二次方程ax 2+bx +c =n ﹣1有两个互异实根.其中正确结论的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【解析】【分析】 根据二次函数图象和性质,开口向下,可得a<0,对称轴x=1,利用顶点坐标,图象与x 轴的交点情况,对照选项逐一分析即可.【详解】①∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x =1,∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(﹣2,0)和(﹣1,0)之间,∴当x =﹣2时,y <0,即4a ﹣2b +c <0,所以①不符合题意;②∵抛物线的对称轴为直线x =﹣2b a=1,即b =﹣2a , ∴3a +b =3a ﹣2a =a <0,所以②不符合题意;③∵抛物线的顶点坐标为(1,n ), ∴244ac b a=n , ∴b 2=4ac ﹣4an =4a (c ﹣n ),所以③符合题意;④∵抛物线与直线y =n 有一个公共点,∴抛物线与直线y =n ﹣1有2个公共点,∴一元二次方程ax 2+bx +c =n ﹣1有两个不相等的实数根,所以④符合题意. 故选:B .【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质的应用,二次函数开口方向,对称轴,交点位置,二次函数与一次函数图象结合判定方程根的个数,掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.15.如图是抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)的部分图象,其顶点是(1,n ),且与x 的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①a -b+c >0;②3a+b=0;③b 2=4a (c-n );④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根.其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】C【解析】【分析】 利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间,则当x=-1时,y>0,于是可对①进行判断;利用抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1,即b=-2a ,则可对②进行判断;利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ,则可对③进行判断;由于抛物线与直线y=n 有一个公共点,则抛物线与直线y=n-1有2个公共点,于是可对④进行判断.【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间.∴当x=-1时,y >0,即a-b+c >0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=-2b a=1,即b=-2a , ∴3a+b=3a-2a=a ,所以②错误;∵抛物线的顶点坐标为(1,n ), ∴244ac b a-=n , ∴b 2=4ac-4an=4a (c-n ),所以③正确;∵抛物线与直线y=n 有一个公共点,∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点,∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根,所以④正确.故选C .【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系,熟练掌握二次函数性质是解题的关键.16.已知抛物线y=x2+2x上三点A(﹣5,y1),B(2.5,y2),C(12,y3),则y1,y2,y3满足的关系式为()A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1 C.y2<y1<y3 D.y3<y1<y2【答案】C【解析】【分析】首先求出抛物线y=x2+2x的对称轴,对称轴为直线x=-1;然后根据A、B、C的横坐标与对称轴的位置,接着利用抛物线的增减性质即可求解;由B离对称轴最近,A次之,C最远,则对应y的值大小可确定.【详解】∵抛物线y=x2+2x,∴x=-1,而A(-5,y1),B(2.5,y2),C(12,y3),∴B离对称轴最近,A次之,C最远,∴y2<y1<y3.故选:C.【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,二次函数图象上点的坐标特征等知识点,能熟记二次函数的性质是解此题的关键.17.如图1,△ABC中,∠A=30°,点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A→C→B运动,点Q从点A出发以vcm/s的速度沿AB运动,P,Q两点同时出发,当某一点运动到点B 时,两点同时停止运动.设运动时间为x(s),△APQ的面积为y(cm2),y关于x的函数图象由C1,C2两段组成,如图2所示,有下列结论:①v=1;②sin B=13;③图象C2段的函数表达式为y=﹣13x2+103x;④△APQ面积的最大值为8,其中正确有()A.①②B.①②④C.①③④D.①②③④【答案】A【解析】【分析】①根据题意列出y=12AP•AQ•sin A,即可解答②根据图像可知PQ 同时到达B ,则AB =5,AC +CB =10,再代入即可③把sin B =13,代入解析式即可 ④根据题意可知当x =﹣522b a =时,y 最大=2512【详解】 ①当点P 在AC 上运动时,y =12 AP •AQ •sin A =12×2x •vx =vx 2, 当x =1,y =12时,得v =1, 故此选项正确; ②由图象可知,PQ 同时到达B ,则AB =5,AC +CB =10,当P 在BC 上时y =12•x •(10﹣2x )•sin B , 当x =4,y =43 时,代入解得sin B =13, 故此选项正确;③∵sin B =13, ∴当P 在BC 上时y =12•x (10﹣2x )×13=﹣13x 2+53 x , ∴图象C 2段的函数表达式为y =﹣13x 2+53x , 故此选项不正确;④∵y =﹣13x 2+53x , ∴当x =﹣522b a =时,y 最大=2512, 故此选项不正确;故选A .【点睛】此题考查了二次函数的运用,解题关键在于看图理解18.在同一平面直角坐标系中,函数3y x a =+与2+3y ax x =的图象可能是( )A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据一次函数及二次函数的图像性质,逐一进行判断.【详解】解:A.由一次函数图像可知a>0,因此二次函数图像开口向上,但对称轴32a-<应在y轴左侧,故此选项错误;B. 由一次函数图像可知a<0,而由二次函数图像开口方向可知a>0,故此选项错误;C. 由一次函数图像可知a<0,因此二次函数图像开口向下,且对称轴32a->在y轴右侧,故此选项正确;D. 由一次函数图像可知a>0,而由二次函数图像开口方向可知a<0,故此选项错误;故选:C.【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的性质,解题的关键是利用数形结合思想分析图像,本题属于中等题型.19.已知二次函数y=a(x﹣h)2+k的图象如图所示,直线y=ax+hk的图象经第几象限()A.一、二、三B.一、二、四C.一、三、四D.二、三、四【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质可得a<0,h<0,k>0,以此判断一次函数的图象所经过的象限即可.【详解】解:由函数图象可知,y=a(x﹣h)2+k中的a<0,h<0,k>0,∴直线y=ax+hk中的a<0,hk<0,∴直线y=ax+hk经过第二、三、四象限,故选:D.【点睛】本题考查了一次函数的图象的问题,掌握二次函数、一次函数的图象和性质是解题的关键.20.平移抛物线y=﹣(x﹣1)(x+3),下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点()A.向左平移1个单位B.向上平移3个单位C.向右平移3个单位D.向下平移3个单位【答案】B【解析】【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式,然后根据顶点坐标的平移规律即可解答.【详解】解:y=﹣(x﹣1)(x+3)=-(x+1)2+4A、向左平移1个单位后的解析式为:y=-(x+2)2+4,当x=0时,y=0,即该抛物线经过原点,故本选项不符合题意;B、向上平移3个单位后的解析式为:y=-(x+1)2+7,当x=0时,y=3,即该抛物线不经过原点,故本选项符合题意;C、向右平移3个单位后的解析式为:y=-(x-2)2+4,当x=0时,y=0,即该抛物线经过原点,故本选项不符合题意.;D、向下平移3个单位后的解析式为:y=-(x+1)2+1,当x=0时,y=0,即该抛物线经过原点,故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了二次函数图像的平移,函数图像平移规律:上移加,下移减,左移加,右移减.。

二次函数29个难题的解法

二次函数29个难题的解法

二次函数精选1、如图,等腰梯形ABCD中,AB=4,CD=9,∠C=60°,动点P从点C出发沿CD方向向点D运动,动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.(1)求AD的长;(2)设CP=x,问当x为何值时△PD Q的面积达到最大,并求出最大值;(3)探究:在BC边上是否存在点M使得四边形PD Q M是菱形?若存在,请找出点M,并求出BM的长;不存在,请说明理由.2、我州有一种可食用的野生菌,上市时,外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元,而且这类野生菌在冷库中最多保存160元,同时,平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售.(1)设x到后每千克该野生菌的市场价格为y元,试写出y与x之间的函数关系式.(2)若存放x天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为P元,试写出P与x之间的函数关系式.(3)李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元?(利润=销售总额-收购成本-各种费用)3、王亮同学善于改进学习方法,他发现对解题过程进行回顾反思,效果会更好.某一天他利用30分钟时间进行自主学习.假设他用于解题的时间x(单位:分钟)与学习收益量y的关系如图甲所示,用于回顾反思的时间x(单位:分钟)与学习收益量y的关系如图乙所示(其中OA是抛物线的一部分,A为抛物线的顶点),且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间.(1)求王亮解题的学习收益量y与用于解题的时间x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求王亮回顾反思的学习收益量y与用于回顾反思的时间x之间的函数关系式;(3)王亮如何分配解题和回顾反思的时间,才能使这30分钟的学习收益总量最大?(学习收益总量=解题的学习收益量+回顾反思的学习收益量)4、如图,已知抛物线与x 轴交于A (-1,0)、B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,3)。

二次函数难题汇编附答案

二次函数难题汇编附答案

二次函数难题汇编附答案一、选择题1.四位同学在研究函数2y x bx c =++(,b c 是常数)时,甲发现当1x =时,函数有最小值;乙发现1-是方程20x bx c ++=的一个根;丙发现函数的最小值为3;丁发现当2x =时,4y =,已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的,则该同学是( )A .甲B .乙C .丙D .丁【答案】B 【解析】 【分析】利用假设法逐一分析,分别求出二次函数的解析式,再判断与假设是否矛盾即可得出结论. 【详解】解:A .假设甲同学的结论错误,则乙、丙、丁的结论都正确 由乙、丁同学的结论可得01442b cb c =-+⎧⎨=++⎩解得:1323b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数的解析式为:221212533636⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭-y x x x∴当x=16-时,y 的最小值为2536-,与丙的结论矛盾,故假设不成立,故本选项不符合题意;B .假设乙同学的结论错误,则甲、丙、丁的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+ 当x=2时,解得y=4,当x=-1时,y=7≠0 ∴此时符合假设条件,故本选项符合题意;C . 假设丙同学的结论错误,则甲、乙、丁的结论都正确 由甲乙的结论可得1201bb c⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩ 解得:23b c =-⎧⎨=-⎩∴223y x x =--当x=2时,解得:y=-3,与丁的结论矛盾,故假设不成立,故本选项不符合题意; D . 假设丁同学的结论错误,则甲、乙、丙的结论都正确 由甲、丙的结论可得二次函数解析式为()213y x =-+当x=-1时,解得y=7≠0,与乙的结论矛盾,故假设不成立,故本选项不符合题意. 故选B . 【点睛】此题考查的是利用待定系数法求二次函数解析式,利用假设法求出b 、c 的值是解决此题的关键.2.二次函数y =2ax bx c ++(a ≠0)图象如图所示,下列结论:①abc >0;②2a b+=0;③当m ≠1时,+a b >2am bm +;④a b c -+>0;⑤若211ax bx +=222ax bx +,且1x ≠2x ,则12x x +=2.其中正确的有( )A .①②③B .②④C .②⑤D .②③⑤【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断 【详解】解:抛物线的开口向下,则a <0; 抛物线的对称轴为x=1,则-2ba=1,b=-2a ∴b>0,2a+b=0 ② 抛物线交y 轴于正半轴,则c >0;由图像知x=1时 y=a+b+c 是抛物线顶点的纵坐标,是最大值,当m≠1 y=2am bm ++c 不是顶点纵坐标,不是最大值 ∴+a b >2am bm +(故③正确):b >0,b+2a=0;(故②正确) 又由①②③得:abc <0 (故①错误) 由图知:当x=-1时,y <0;即a-b+c <0,b >a+c ;(故④错误)⑤若211ax bx +=222ax bx +得211ax bx +-(222ax bx +)=211ax bx +-ax 22-bx 2=a(x 12-x 22)+b(x 1-x 2)=a(x 1+x 2)(x 1-x 2)+b(x 1-x 2)= (x 1-x 2)[a(x 1+x 2)+b]= 0∵1x ≠2x ∴a(x 1+x 2)+b=0 ∴x 1+x 2=2b aa a-=-=2 (故⑤正确) 故选D .考点:二次函数图像与系数的关系.3.如图是抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,m ),且与x 铀的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①abc >0;②a ﹣b +c >0;③b 2=4a (c ﹣m );④一元二次方程ax 2+bx +c =m +1有两个不相等的实数根,其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别a ,b ,c 的正负;根据抛物线的对称轴位置可判别在x 轴上另一个交点;根据抛物线与直线y=m 的交点可判定方程的解. 【详解】∵函数的图象开口向上,与y 轴交于负半轴 ∴a>0,c<0∵抛物线的对称轴为直线x=-2ba=1 ∴b<0∴abc >0;①正确;∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间. ∴当x=-1时,y<0,即a-b+c<0,所以②不正确; ∵抛物线的顶点坐标为(1,m ),∴244ac b a- =m , ∴b 2=4ac-4am=4a (c-m ),所以③正确; ∵抛物线与直线y=m 有一个公共点, ∴抛物线与直线y=m+1有2个公共点,∴一元二次方程ax 2+bx+c=m+1有两个不相等的实数根,所以④正确. 故选:C . 【点睛】考核知识点:抛物线与一元二次方程.理解二次函数性质,弄清抛物线与一元二次方程的关系是关键.4.如图是抛物线y=ax 2+bx+c (a≠0)的部分图象,其顶点是(1,n ),且与x 的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,则下列结论:①a -b+c >0;②3a+b=0;③b 2=4a (c-n );④一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不等的实数根.其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间,则当x=-1时,y>0,于是可对①进行判断;利用抛物线的对称轴为直线x=-2ba=1,即b=-2a ,则可对②进行判断;利用抛物线的顶点的纵坐标为n 得到244ac b a-=n ,则可对③进行判断;由于抛物线与直线y=n 有一个公共点,则抛物线与直线y=n-1有2个公共点,于是可对④进行判断. 【详解】∵抛物线与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间,而抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x 轴的另一个交点在点(-2,0)和(-1,0)之间. ∴当x=-1时,y >0, 即a-b+c >0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=-2ba=1,即b=-2a , ∴3a+b=3a-2a=a ,所以②错误;∵抛物线的顶点坐标为(1,n ), ∴244ac b a-=n , ∴b 2=4ac-4an=4a (c-n ),所以③正确; ∵抛物线与直线y=n 有一个公共点, ∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点,∴一元二次方程ax 2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根,所以④正确. 故选C . 【点睛】本题考查了二次函数图像与系数的关系,熟练掌握二次函数性质是解题的关键.5.二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数,且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表:下列结论错误的是( ) A .0ac < B .3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根;C .当1x >时,y 的值随x 值的增大而减小;D .当13x时,()210.ax b x c +-+>【答案】C 【解析】 【分析】根据函数中的x 与y 的部分对应值表,可以求得a 、b 、c 的值 然后在根据函数解析式及其图象即可对各个选项做出判断. 【详解】解:根据二次函数的x 与y 的部分对应值可知: 当1x =-时,1y =-,即1a b c -+=-, 当0x =时,3y =,即3c =, 当1x =时,5y =,即5a b c ++=,联立以上方程:135a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩,解得:133a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴233y x x =-++;A 、1330=-⨯=-<ac ,故本选项正确;B 、方程()210ax b x c +-+=可化为2230x x -++=,将3x =代入得:232339630-+⨯+=-++=,∴3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根,故本选项正确;C 、233y x x =-++化为顶点式得:2321()24=--+y x , ∵10a =-<,则抛物线的开口向下,∴当32x >时,y 的值随x 值的增大而减小;当32x <时,y 的值随x 值的增大而增大;故本选项错误;D 、不等式()210ax b x c +-+>可化为2230x x -++>,令2y x 2x 3=-++,由二次函数的图象可得:当0y >时,13x ,故本选项正确;故选:C . 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式的关系,根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键.6.抛物线y 1=ax 2+bx +c 与直线y 2=mx +n 的图象如图所示,下列判断中:①abc <0;②a +b +c >0;③5a -c =0;④当x <或x >6时,y 1>y 2,其中正确的个数有( )A .1B .2C .3D .4【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】解:根据函数的开口方向、对称轴以及函数与y 轴的交点可知:a >0,b <0,c >0,则abc <0,则①正确;根据图形可得:当x=1时函数值为零,则a+b+c=0,则②错误; 根据函数对称轴可得:-2ba=3,则b=-6a ,根据a+b+c=0可知:a-6a+c=0,-5a+c=0,则5a-c=0,则③正确;根据函数的交点以及函数图像的位置可得④正确.点睛:本题主要考查的就是函数图像与系数之间的关系,属于中等题目,如果函数开口向上,则a 大于零,如果函数开口向下,则a 小于零;如果函数的对称轴在y 轴左边,则b 的符号与a 相同,如果函数的对称轴在y 轴右边,则b 的符号与a 相反;如果函数与x 轴交于正半轴,则c 大于零,如果函数与x 轴交于负半轴,则c 小于零;对于出现a+b+c 、a-b+c 、4a+2b+c 、4a-2b+c 等情况时,我们需要找具体的值进行代入从而得出答案;对于两个函数值的大小比较,我们一般以函数的交点为分界线,然后进行分情况讨论.7.若平面直角坐标系内的点M 满足横、纵坐标都为整数,则把点M 叫做“整点”.例如:P (1,0)、Q (2,﹣2)都是“整点”.抛物线y =mx 2﹣4mx +4m ﹣2(m >0)与x 轴交于点A 、B 两点,若该抛物线在A 、B 之间的部分与线段AB 所围成的区域(包括边界)恰有七个整点,则m 的取值范围是( )A .12≤m <1 B .12<m ≤1 C .1<m ≤2 D .1<m <2【答案】B 【解析】 【分析】画出图象,利用图象可得m 的取值范围【详解】∵y =mx 2﹣4mx +4m ﹣2=m (x ﹣2)2﹣2且m >0,∴该抛物线开口向上,顶点坐标为(2,﹣2),对称轴是直线x =2. 由此可知点(2,0)、点(2,﹣1)、顶点(2,﹣2)符合题意.①当该抛物线经过点(1,﹣1)和(3,﹣1)时(如答案图1),这两个点符合题意. 将(1,﹣1)代入y =mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到﹣1=m ﹣4m +4m ﹣2.解得m =1. 此时抛物线解析式为y =x 2﹣4x +2.由y =0得x 2﹣4x +2=0.解得12120.622 3.42x x ==-≈+≈,. ∴x 轴上的点(1,0)、(2,0)、(3,0)符合题意.则当m =1时,恰好有 (1,0)、(2,0)、(3,0)、(1,﹣1)、(3,﹣1)、(2,﹣1)、(2,﹣2)这7个整点符合题意.∴m ≤1.【注:m 的值越大,抛物线的开口越小,m 的值越小,抛物线的开口越大】答案图1(m =1时) 答案图2( m =时)②当该抛物线经过点(0,0)和点(4,0)时(如答案图2),这两个点符合题意. 此时x 轴上的点 (1,0)、(2,0)、(3,0)也符合题意. 将(0,0)代入y =mx 2﹣4mx +4m ﹣2得到0=0﹣4m +0﹣2.解得m =12. 此时抛物线解析式为y =12x 2﹣2x . 当x =1时,得13121122y =⨯-⨯=-<-.∴点(1,﹣1)符合题意.当x =3时,得13923122y =⨯-⨯=-<-.∴点(3,﹣1)符合题意. 综上可知:当m =12时,点(0,0)、(1,0)、(2,0)、(3,0)、(4,0)、(1,﹣1)、(3,﹣1)、(2,﹣2)、(2,﹣1)都符合题意,共有9个整点符合题意, ∴m =12不符合题. ∴m >12. 综合①②可得:当12<m ≤1时,该函数的图象与x 轴所围成的区域(含边界)内有七个整点, 故选:B . 【点睛】考查二次函数图象与系数的关系,抛物线与x 轴的交点,画出图象,数形结合是解题的关键.8.如图是函数223(04)y x x x =--≤≤的图象,直线//l x 轴且过点(0,)m ,将该函数在直线l 上方的图象沿直线l 向下翻折,在直线1下方的图象保持不变,得到一个新图象.若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5,则m 的取值范围是( )A .m 1≥B .0m ≤C .01m ≤≤D .m 1≥或0m ≤【答案】C 【解析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻,则M 的范围可知. 【详解】解:如图1所示,当t 等于0时, ∵2(1)4y x =--, ∴顶点坐标为(1,4)-, 当0x =时,3y =-, ∴(0,3)A -, 当4x =时,5y =, ∴(4,5)C , ∴当0m =时,(4,5)D -,∴此时最大值为0,最小值为5-; 如图2所示,当1m =时, 此时最小值为4-,最大值为1. 综上所述:01m ≤≤, 故选:C .【点睛】此题考查了二次函数与几何图形结合的问题,找到最大值和最小值的差刚好为5的m 的值为解题关键.9.如图,矩形ABCD 中,AB =8,AD =4,E 为边AD 上一个动点,连接BE ,取BE 的中点G ,点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F ,连接CF ,则△CEF 面积的最小值是( )A .16B .15C .12D .11【解析】 【分析】过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H ,则△FEH ∽△EBA ,设AE=x ,可得出△CEF 面积与x 的函数关系式,再根据二次函数图象的性质求得最小值. 【详解】解:过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H , ∵∠A=∠H=90°,∠FEB=90°, ∴∠FEH=90°-∠BEA=∠EBA , ∴△FEH ∽△EBA , ∴,HF HE EFAE AB BE== G 为BE 的中点,1,2FE GE BE ∴==∴1,2HF HE EF AE AB BE === 设AE=x , ∵AB 8,4,AD ==∴HF 1,4,2x EH == ,DH AE x ∴==CEF DHFC CED EHF S S S S ∆∆∆∴=+-11111(8)8(4)422222x x x x =++⨯--⨯• 2141644x x x x =+--- 2116,4x x =-+ ∴当12124x -=-=⨯ 时,△CEF 面积的最小值1421615.4=⨯-+= 故选:B .【点睛】本题通过构造K 形图,考查了相似三角形的判定与性质.建立△CEF 面积与AE 长度的函数关系式是解题的关键.10.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图所示,则下列结论正确的个数有( ) ①c >0;②b 2-4ac <0;③ a -b +c >0;④当x >-1时,y 随x 的增大而减小.A .4个B .3个C .2个D .1个【答案】C【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系,由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系,然后根据抛物线与x 轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.【详解】解:由图象可知,a <0,c >0,故①正确;抛物线与x 轴有两个交点,则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时,y>0,即a-b+c>0, 故③正确;由图象可知,图象开口向下,对称轴x >-1,在对称轴右侧, y 随x 的增大而减小,而在对称轴左侧和-1之间,是y 随x 的增大而减小,故④错误.故选:C .【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小.当a >0时,抛物线向上开口;当a <0时,抛物线向下开口;一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置:当a 与b 同号时,对称轴在y 轴左; 当a 与b 异号时,对称轴在y 轴右.常数项c 决定抛物线与y 轴交点:抛物线与y 轴交于(0,c ).抛物线与x 轴交点个数由判别式确定:△=b 2-4ac >0时,抛物线与x 轴有2个交点;△=b 2-4ac=0时,抛物线与x 轴有1个交点;△=b 2-4ac <0时,抛物线与x 轴没有交点.11.如图,ABC ∆为等边三角形,点P 从A 出发,沿A B C A →→→作匀速运动,则线段AP 的长度y 与运动时间x 之间的函数关系大致是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】【分析】根据题意可知点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故可排除选项C 与D ;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,故选项B 符合题意,选项A 不合题意.【详解】根据题意得,点P 从点A 运动到点B 时以及从点C 运动到点A 时是一条线段,故选项C 与选项D 不合题意;点P 从点B 运动到点C 时,y 是x 的二次函数,并且有最小值,∴选项B 符合题意,选项A 不合题意.故选B .【点睛】本题考查了动点问题的函数图象:通过分类讨论,利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系,然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题.12.如图是二次函数2y ax bx c =++的图象,其对称轴为1x =.下列结论:①0abc >;②20a b +=;③930a b c ++<;④若12310,,,23y y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是抛物线上两点,则12y y >.其中正确的结论有( )A .1个B .2个C .3个D .4个【答案】B【解析】【分析】由抛物线开口方向得到a <0,根据对称轴得到b=-2a >0,由抛物线与y 轴的交点位置得到c >0,则可对①进行判断;由b=-2a 可对②进行判断;利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0),则可判断当x=3时,y=0,于是可对③进行判断;通过二次函数的增减性可对④进行判断.【详解】解:∵抛物线开口向下,∴a <0, ∵抛物线的对称轴为直线12b x a=-= ,∴b=-2a >0, ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方, ∴c >0,∴abc <0,所以①错误;∵b=-2a ,∴2a+b=0,所以②正确;∵抛物线与x 轴的一个交点为(-1,0),抛物线的对称轴为直线x=1,∴抛物线与x 轴的另一个交点为(3,0),∴当x=3时,y=0,∴930a b c ++=,所以③错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,且抛物线开口向下,∴当x 1<时,y 随x 的增大而增大 ∵103132-<-< 点13,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭到对称轴的距离比点210,3y ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 对称轴的距离近, ∴y 1>y 2,所以④正确.故选B .【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0),二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小,当a >0时,抛物线向上开口;当a <0时,抛物线向下开口;一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置:当a 与b 同号时(即ab >0),对称轴在y 轴左; 当a 与b 异号时(即ab <0),对称轴在y 轴右;常数项c 决定抛物线与y 轴交点:抛物线与y 轴交于(0,c );抛物线与x 轴交点个数由△决定:△=b 2-4ac >0时,抛物线与x 轴有2个交点;△=b 2-4ac=0时,抛物线与x 轴有1个交点;△=b 2-4ac <0时,抛物线与x 轴没有交点.13.已知抛物线y=x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点,则函数y=的大致图象是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由题意可求m<﹣2,即可求解.【详解】∵抛物线y=x2+2x﹣m﹣1与x轴没有交点,∴△=4﹣4(﹣m﹣1)<0∴m<﹣2∴函数y=的图象在第二、第四象限,故选B.【点睛】本题考查了反比例函数的图象,二次函数性质,求m的取值范围是本题的关键.14.如图,在边长为4的正方形ABCD中,动点P从A点出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动,同时动点Q从B点出发,以每秒2个单位长度的速度沿、点同时停止运动.设P点运动的时间为→方向运动,当P运动到B点时,P QBC CD∆的面积为S,则表示S与t之间的函数关系的图象大致是()t秒,APQA .B .C .D .【答案】D【解析】【分析】本题应分两段进行解答,①点P 在AB 上运动,点Q 在BC 上运动;②点P 在AB 上运动,点Q 在CD 上运动,依次得出S 与t 的关系式,即可判断得出答案.【详解】解:当点P 在AB 上运动,点Q 在BC 上运动时,此时,,2AP t BQ t ==2122APQ S t t t =⋅⋅=,函数图象为抛物线; 当点P 在AB 上运动,点Q 在BC 上运动时,此时,AP t =,APQ 底边AP 上的高保持不变1422APQ St t =⋅⋅=,函数图象为一次函数; 故选:D .【点睛】 本题考查的知识点是函数图象,理解题意,分段求出S 与t 之间的函数关系是解此题的关键.15.函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】【分析】根据a 、b 的符号,针对二次函数、一次函数的图象位置,开口方向,分类讨论,逐一排除.【详解】当a >0时,二次函数的图象开口向上,一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限,故A 、D 不正确;由B 、C 中二次函数的图象可知,对称轴x=-2b a>0,且a >0,则b <0, 但B 中,一次函数a >0,b >0,排除B .故选C .16.已知抛物线y =x 2+(2a +1)x +a 2﹣a ,则抛物线的顶点不可能在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 【答案】D【解析】【分析】求得顶点坐标,得出顶点的横坐标和纵坐标的关系式,即可求得.【详解】抛物线y =x 2+(2a +1)x +a 2﹣a 的顶点的横坐标为:x =﹣212a +=﹣a ﹣12, 纵坐标为:y =()()224214a a a --+=﹣2a ﹣14, ∴抛物线的顶点横坐标和纵坐标的关系式为:y =2x +34, ∴抛物线的顶点经过一二三象限,不经过第四象限,故选:D .【点睛】 本题考查了二次函数的性质,得到顶点的横纵坐标的关系式是解题的关键.17.抛物线2y ax bx c =++(,,a b c 是常数),0a >,顶点坐标为1(,)2m .给出下列结论:①若点1(,)n y 与点23(2)2n y -,在该抛物线上,当12n <时,则12y y <;②关于x 的一元二次方程210ax bx c m -+-+=无实数解,那么( )A .①正确,②正确B .①正确,②错误C .①错误,②正确D .①错误,②错误【答案】A【解析】【分析】①根据二次函数的增减性进行判断便可;②先把顶点坐标代入抛物线的解析式,求得m ,再把m 代入一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0的根的判别式中计算,判断其正负便可判断正误.【详解】解:①∵顶点坐标为1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,12n < ∴点(n ,y 1)关于抛物线的对称轴x=12的对称点为(1-n ,y 1), ∴点(1-n ,y 1)与2322n y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,在该抛物线的对称轴的右侧图像上, 31(1)2022n n n ⎛⎫---=-< ⎪⎝⎭ 3122n n ∴-<- ∵a >0,∴当x >12时,y 随x 的增大而增大, ∴y 1<y 2,故此小题结论正确; ②把1,2m ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y=ax 2+bx+c 中,得1142m a b c =++, ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0中, △=b 2-4ac+4am-4a 2211444()4042b ac a a b c a a b a ⎛⎫=-+++-=+-< ⎪⎝⎭ ∴一元二次方程ax 2-bx+c-m+1=0无实数解,故此小题正确;故选A .【点睛】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系,第①小题,关键是通过抛物线的对称性把两点坐标变换到对称轴的一边来,再通过二次函数的增减性进行比较,第②小题关键是判断一元二次方程根的判别式的正负.18.已知二次函数2()y x h =-- (h 为常数),当自变量x 的值满足25x ≤≤时,与其对应的函数值y 的最大值为-1,则h 的值为( )A .3或6B .1或6C .1或3D .4或6【答案】B【解析】分析:分h <2、2≤h≤5和h >5三种情况考虑:当h <2时,根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程,解之即可得出结论;当2≤h≤5时,由此时函数的最大值为0与题意不符,可得出该情况不存在;当h >5时,根据二次函数的性质可得出关于h 的一元二次方程,解之即可得出结论.综上即可得出结论.详解:如图,当h <2时,有-(2-h )2=-1,解得:h 1=1,h 2=3(舍去);当2≤h≤5时,y=-(x-h )2的最大值为0,不符合题意;当h >5时,有-(5-h )2=-1,解得:h 3=4(舍去),h 4=6.综上所述:h 的值为1或6.故选B .点睛:本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质,分h <2、2≤h≤5和h >5三种情况求出h 值是解题的关键.19.平移抛物线2:L y x =得到抛物线L ',使得抛物线L '的顶点关于原点对称的点仍在抛物线L '上,下列的平移中,不能得到满足条件的抛物线L '的是( )A .向右平移1个单位,再向下平移2个单位B .向左平移1个单位,再向下平移2个单位C .向左平移32个单位,再向下平移92个单位 D .向左平移3个单位,再向下平移9个单位【答案】D【解析】【分析】通过各个选项的平移分别得到相应的函数关系式,再判断原点是否在该抛物线上即可.【详解】解:由A 选项可得L '为:2(1)2y x =--,则顶点为(1,-2),顶点(1,-2)关于原点的对称点为(-1,2),当x =-1时,y =2,则对称点在该函数图像上,故A 选项不符合题意;由B 选项可得L '为:2(1)2y x =+-,则顶点为(-1,-2),顶点(-1,-2)关于原点的对称点为(1,2),当x =1时,y =2,则对称点在该函数图像上,故B 选项不符合题意;由C 选项可得L '为:239()22y x =+-, 则顶点为(-32,-92),顶点(-32,-92)关于原点的对称点为(32,92), 当x =32时,y =92,则对称点在该函数图像上,故C 选项不符合题意; 由D 选项可得L '为:2(3)9y x =+-,则顶点为(-3,-9),顶点(-3,-9)关于原点的对称点为(3,9),当x =3时,y =27≠9,则对称点不在该函数图像上,故D 选项符合题意;故选:D .【点睛】本题考查了二次函数图像的平移,熟练掌握平移的规律“左加右减,上加下减”是解决本题的关键.20.如图1,在△ABC 中,∠B =90°,∠C =30°,动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动,动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动,两点同时到达点C ,设△BPQ 的面积为y (cm 2).运动时间为x (s ),y 与x 之间关系如图2所示,当点P 恰好为AC 的中点时,PQ 的长为( )A .2B .4C .3D .3【答案】C【解析】【分析】 点P 、Q 的速度比为33x =2,y =3P 、Q 运动的速度,即可求解.【详解】解:设AB =a ,∠C =30°,则AC =2a ,BC 3a ,设P 、Q 同时到达的时间为T ,则点P 的速度为3a T ,点Q 的速度为3a T,故点P 、Q 的速度比为33故设点P、Q的速度分别为:3v、3v,由图2知,当x=2时,y=63,此时点P到达点A的位置,即AB=2×3v=6v,BQ=2×3v=23v,y=12⨯AB×BQ=12⨯6v×23v=63,解得:v=1,故点P、Q的速度分别为:3,3,AB=6v=6=a,则AC=12,BC=63,如图当点P在AC的中点时,PC=6,此时点P运动的距离为AB+AP=12,需要的时间为12÷3=4,则BQ=3x=43,CQ=BC﹣BQ=63﹣43=23,过点P作PH⊥BC于点H,PC=6,则PH=PC sin C=6×12=3,同理CH=3,则HQ=CH﹣CQ=333,PQ22PH HQ+39+3,故选:C.【点睛】本题考查的是动点图象问题,此类问题关键是:弄清楚不同时间段,图象和图形的对应关系,进而求解.。

二次函数经典大题

二次函数经典大题

二次函数习题1.如图:△ABC 是边长为4的等边三角形,AB 在X 轴上,点C 在第一象限,AC 与Y 轴交于点D,点A 的坐标为(-1,0)(1)求 B 、C 、D 三点的坐标;(2)抛物线c bx ax y ++=2经过B 、C 、D 三点,求它的解析式;2.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点(1,0)(0,3),对称轴x= -1. (1)求函数解析式;(2)若图象与x 轴交于A 、B (A 在B 左)与y 轴交于C,顶点D,求四边形ABCD 的面积.3.已知:抛物线m x x y +--=232与X 轴分别交于A 、B 两点(点A 在B 的左边),点P 为抛物线的顶点,(1)若抛物线的顶点在直线313+=x y 上,求抛物线的解析式; (2)若AP ∶BP ∶AB=1∶1∶2,求抛物线的解析式.4.已知二次函数y=x 2-(m 2+8)x+2(m 2+6),设抛物线顶点为A,与x 轴交于B 、C 两点,问是否存在实数m,使△ABC 为等腰直角三角形,如果存在求m;若不存在说明理由.5.已知:抛物线y=ax 2+bx+c 过点A (-1,4),其顶点的横坐标是1/2,与X 轴分别交于B (x 1,0),C(x 2,0)两点(其中x 1<x 2),且x 12+x 22=13. (1)求此抛物线的解析式及其顶点E 的坐标;(2)设此抛物线与y 轴交于点D,点M 是抛物线上的点,若ΔMBO 的面积为ΔDOC 的面积的2/3倍,求点M 的坐标.6.已知:抛物线4)343(2++-=x m mx y 与X 轴交于两点A 、B,与Y 轴交于C 点,若△ABC 是等腰三角形,求抛物线的上解析式.7.已知抛物线c bx ax y ++=2经过P (-2,-2),且与X 轴交于点A,与Y 轴交于点B,点A的横坐标是方程1114=--x x 的根,点B 的纵坐标是不等式组⎩⎨⎧>-≥-034012x x 的整数解,求抛物线的解析式.8.抛物线c bx ax y ++=2的顶点为A (2,-3),与直线13+-=x y 有一个交点且该交点的横坐标为1.⑴求它的解析式;⑵设抛物线对称轴与x 轴交于B 点,抛物线与y 轴交于C 点,求△ABC 的面积.9.已知:抛物线62++=mx x y 与X 轴相交于点A 、B,点P 是抛物线的顶点,(1)当△PAB 的面积为81时,求抛物线的解析式;(2)是否存在实数m,能使△PAB 为正三角形,若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由.10.已知抛物线y=ax2+bx+c 与y 轴交于点A (0,3),与x 轴分别交于B (1,0),C (5,0)两点(1)求此抛物线的解析式(2)若点D 为线段OA 的一个三等分点,求直线DC 的解析式(3)若一个动点P 自OA 的中点M 出发,先到达x 轴上的某点(设为点E ),在到达抛物线的对称抽上某点(设为点F ),最后运动到点A,求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标,并求出这个最短总路径的长11.如图,已知点,,,且,,抛物线经过A 、B 、C 三点,点是抛物线与直线的一个交点. (1)求抛物线的解析式; (2)对于动点,求的最小值;(3)若动点在直线上方的抛物线上运动,求的边AP 上的高的最大值.(10)A -,(30)B ,(0)C t ,0t >tan 3BAC ∠=(2)P m ,:(1)l y k x =+(1)Q n ,PQ QB+M l AMP △h O ACBxy12.如图3,已知直线112y x=+与y轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线212y x bx c=++与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为 (1,0).(1)求该抛物线的解析式;(2)动点P在x轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P.(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使||AM MC-的值最大,求出点M的坐标.13.如图4,已知二次函数cbxxy++-=221(0)c<的图象与x轴的正半轴相交于点A、B,与y 轴相交于点C,且OBOAOC⋅=2.(1)求c的值;(2)若△ABC的面积为3,求该二次函数的解析式;(3)设D是(2)中所确定的二次函数图象的顶点,试问在直线AC上是否存在一点P使△PBD的周长最小?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.14.已知y是x的二次函数,且其图象在x轴上截得的线段AB长4个单位,当x=3时,y取得最小值-2.(1)求这个二次函数的解析式 (2)若此函数图象上有一点P,使ΔPAB的面积等于12个平方单位,求P点坐标.15.如图,二次函数c bx x y ++=2的图象经过点M (1,—2)、N (—1,6). (1)求二次函数c bx x y ++=2的关系式. (2)把Rt △ABC 放在坐标系内,其中∠CAB = 90°,点A 、B 的坐标分别为(1,0)、(4,0),BC = 5.将△ABC 沿x 轴向右平移,当点C 落在抛物线上时,求△ABC 平移的距离.16.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM 为12米.现以O 点为原点,OM 所在直线为X 轴建立直角坐标系(如图所示). (1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标; (2)求出这条抛物线的函数解析式;(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB,使A 、D 点在抛物线上,B 、C 点在地面OM 上.为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少?请你帮施工队计算一下.17.正方形ABCD 边长为4,M 、N 分别是BC 、CD 上的两个动点,当M 点在BC 上运动时,保持AM 和MN 垂直.(1)证明:Rt △ABM ∽Rt △MCN ;(2)设BM=x,梯形ABCN 的面积为y,求y 与x 之间的函数关系式;当M 点运动到什么位置时,四边形ABCN 面积最大,并求出最大面积; (3)当M 点运动到什么位置时Rt △ABM ∽Rt △AMN,求此时x 的值.O M PD C B AyxDB AM CNABCOxy 18.如图,抛物线的顶点为A (2,1),且经过原点O,与x 轴的另一个交点为B .(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上求点M,使△MOB 的面积是△AOB 面积的3倍;(3)连结OA,AB,在x 轴下方的抛物线上是否存在点N,使△OBN 与△OAB 相似?若存在,求出N 点的坐标;若不存在,说明理由.19.如图,函数b x k y +=11的图象与函数)0(22>=x xk y 的图象交于点A(2,1)、B,与y 轴交于点C(0,3).(1)求函数1y 的表达式和点B 的坐标; (2)观察图象,比较当x >0时1y 与2y 的大小.20.如图,抛物线k x y ++=2)1(与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,-3). (1)求抛物线的对称轴及k 的值;(2)抛物线的对称轴上存在一点P,使得PA +PC 的值最小,求此时点P 的坐标; (3)点M 是抛物线上一动点,且在第三象限.① 当M 点运动到何处时,△AMB 的面积最大?求出△AMB 的最大面积及此时点M 的坐标; ② 当M 点运动到何处时,四边形AMCB 的面积最大?求出四边形AMCB 的最大面积及此时点M 的坐标.x yO CAB y xO AB,0)两点,与y轴交于点C(0,3),抛物线的21.如图,已知抛物线与x轴交于A(1,0),B(3顶点为P,连结AC.(1)求此抛物线的解析式;(2)在抛物线上找一点D,使得DC与AC垂直,且直线DC与x轴交于点Q,求点D的坐标;(3)抛物线对称轴上是否存在一点M,使得S△MAP=2S△ACP,若存在,求出M点坐标;若不存在,请说明理由.。

初中二次函数综合应用难题

初中二次函数综合应用难题

初中二次函数综合应用难题
以下是一个初中二次函数综合应用的难题:
问题:某公司生产纸箱,每个纸箱的底面是一个正方形,侧面是一个等腰直角三角形。

已知纸箱的高度为8厘米,底面边长为x厘米。

根据生产经验,每个纸箱的材料成本(即底面和侧面的总面积)与底面边长的平方成正比,比例系数为0.25。

如果一个纸箱的材料成本为80平方厘米,求纸箱的底面边长x。

解答:
首先,我们需要确定纸箱的底面和侧面的面积。

底面的面积为正方形的面积:底面面积= x^2
侧面的面积为等腰直角三角形的两个等腰直角边的乘积的一半:侧面面积= 1/2 * x * x
纸箱的总面积为底面和侧面的面积之和:总面积= x^2 + 1/2 * x * x
根据题目中给出的比例系数,纸箱的材料成本与底面边长的平方成正比,我们可以设置一个比例关系:
(纸箱的材料成本)/(底面边长的平方)= 0.25
根据题目中给出的纸箱的材料成本为80平方厘米,我们可以代入这些值,得到以下方程:
80 / x^2 = 0.25
可以进行等式的变形:
80 = 0.25 * x^2
进一步变形得到:
320 = x^2
对方程两边取平方根,得到:
x = √320
化简计算得到:
x ≈ 17.89
因为底面边长的单位是厘米,所以最后的答案为17.89 厘米。

因此,纸箱的底面边长约为17.89 厘米。

九年级数学二次函数的专项培优 易错 难题练习题含答案解析

九年级数学二次函数的专项培优 易错 难题练习题含答案解析

九年级数学二次函数的专项培优 易错 难题练习题含答案解析一、二次函数1.已知二次函数223y ax ax =-+的最大值为4,且该抛物线与y 轴的交点为C ,顶点为D .(1)求该二次函数的解析式及点C ,D 的坐标; (2)点(,0)P t 是x 轴上的动点,①求PC PD -的最大值及对应的点P 的坐标;②设(0,2)Q t 是y 轴上的动点,若线段PQ 与函数2||23y a x a x =-+的图像只有一个公共点,求t 的取值范围.【答案】(1)2y x 2x 3=-++,C 点坐标为(0,3),顶点D 的坐标为(1,4);(2)①最,P 的坐标为(3,0)-,②t 的取值范围为3t ≤-或332t ≤<或72t =.【解析】 【分析】(1)先利用对称轴公式x=2a12a--=,计算对称轴,即顶点坐标为(1,4),再将两点代入列二元一次方程组求出解析式;(2)根据三角形的三边关系:可知P 、C 、D 三点共线时|PC-PD|取得最大值,求出直线CD 与x 轴的交点坐标,就是此时点P 的坐标;(3)先把函数中的绝对值化去,可知22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩,此函数是两个二次函数的一部分,分三种情况进行计算:①当线段PQ 过点(0,3),即点Q 与点C 重合时,两图象有一个公共点,当线段PQ 过点(3,0),即点P 与点(3,0)重合时,两函数有两个公共点,写出t 的取值;②线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c (x≥0)时有一个公共点时,求t 的值;③当线段PQ 过点(-3,0),即点P 与点(-3,0)重合时,线段PQ 与当函数y=a|x|2-2a|x|+c (x <0)时也有一个公共点,则当t≤-3时,都满足条件;综合以上结论,得出t 的取值. 【详解】 解:(1)∵2ax 12a-=-=, ∴2y ax ax 3=-+的对称轴为x 1=. ∵2y ax ax 3=-+人最大值为4, ∴抛物线过点()1,4. 得a 2a 34-+=, 解得a 1=-.∴该二次函数的解析式为2y x 2x 3=-++.C 点坐标为()0,3,顶点D 的坐标为()1,4.(2)①∵PC PD CD -≤,∴当P,C,D 三点在一条直线上时,PC PD -取得最大值.连接DC 并延长交y 轴于点P ,PC PD CD -===∴PC PD -. 易得直线CD 的方程为y x 3=+. 把()P t,0代入,得t 3=-. ∴此时对应的点P 的坐标为()3,0-.②2y a |x |2a x 3=-+的解析式可化为22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩设线段PQ 所在直线的方程为y kx b =+,将()P t,0,()Q 0,2t 的坐标代入,可得线段PQ 所在直线的方程为y 2x 2t =-+.(1)当线段PQ 过点()3,0-,即点P 与点()3,0-重合时,线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点,此时t 3=-.∴当t 3≤-时,线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.(2)当线段PQ 过点()0,3,即点Q 与点C 重合时,线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点,此时3t 2=.当线段PQ 过点()3,0,即点P 与点()3,0重合时,t 3=,此时线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像有两个公共点.所以当3t 32≤<时,线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.(3)将y 2x 2t =-+带入()2y x 2x 3x 0=-++≥,并整理,得2x 4x 2t 30-+-=.()Δ1642t 3288t =--=-.令288t 0-=,解得7t 2=. ∴当7t 2=时,线段PQ 与函数22x 23,0,y x 23,0.x x x x ⎧-++≥=⎨--+<⎩的图像只有一个公共点.综上所述,t 的取值范围为t 3≤-或3t 32≤<或7t 2=. 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用,先利用待定系数法求解析式,同时把最大值与三角形的三边关系联系在一起;同时对于二次函数利用动点求取值问题,从特殊点入手,把函数分成几部分考虑,按自变量从大到小的顺序或从小到大的顺序求解.2.如图,在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB ,O 为坐标原点,OA =1,tan ∠BAO =3,将此三角形绕原点O 逆时针旋转90°,得到△DOC ,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A 、B 、C .(1)求抛物线的解析式;(2)若点P 是第二象限内抛物线上的动点,其横坐标为t ,设抛物线对称轴l 与x 轴交于一点E ,连接PE ,交CD 于F ,求以C 、E 、F 为顶点三角形与△COD 相似时点P 的坐标. 【答案】(1)抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3;(2)当△CEF 与△COD 相似时,P 点的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3). 【解析】 【分析】(1)根据正切函数,可得OB ,根据旋转的性质,可得△DOC ≌△AOB ,根据待定系数法,可得函数解析式;(2)分两种情况讨论:①当∠CEF =90°时,△CEF ∽△COD ,此时点P 在对称轴上,即点P 为抛物线的顶点;②当∠CFE =90°时,△CFE ∽△COD ,过点P 作PM ⊥x 轴于M 点,得到△EFC ∽△EMP ,根据相似三角形的性质,可得PM 与ME 的关系,解方程,可得t 的值,根据自变量与函数值的对应关系,可得答案. 【详解】(1)在Rt △AOB 中,OA =1,tan ∠BAO OBOA==3,∴OB =3OA =3. ∵△DOC 是由△AOB 绕点O 逆时针旋转90°而得到的,∴△DOC ≌△AOB ,∴OC =OB =3,OD =OA =1,∴A ,B ,C 的坐标分别为(1,0),(0,3),(﹣3,0),代入解析式为09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩,解得:123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣2x +3;(2)∵抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣2x +3,∴对称轴为l 2ba=-=-1,∴E 点坐标为(﹣1,0),如图,分两种情况讨论:①当∠CEF =90°时,△CEF ∽△COD ,此时点P 在对称轴上,即点P 为抛物线的顶点,P (﹣1,4);②当∠CFE =90°时,△CFE ∽△COD ,过点P 作PM ⊥x 轴于M 点,∵∠CFE=∠PME=90°,∠CEF=∠PEM ,∴△EFC ∽△EMP ,∴13EM EF OD MP CF CO ===,∴MP =3ME . ∵点P 的横坐标为t ,∴P (t ,﹣t 2﹣2t +3).∵P 在第二象限,∴PM =﹣t 2﹣2t +3,ME =﹣1﹣t ,t <0,∴﹣t 2﹣2t +3=3(﹣1﹣t ),解得:t 1=﹣2,t 2=3(与t <0矛盾,舍去).当t =﹣2时,y =﹣(﹣2)2﹣2×(﹣2)+3=3,∴P (﹣2,3).综上所述:当△CEF 与△COD 相似时,P 点的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3). 【点睛】本题是二次函数综合题.解(1)的关键是利用旋转的性质得出OC ,OD 的长,又利用了待定系数法;解(2)的关键是利用相似三角形的性质得出MP =3ME .3.童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现:每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y 件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?【答案】(1)这一星期中每件童装降价20元;(2)每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元. 【解析】 【分析】(1)根据售量与售价x (元/件)之间的关系列方程即可得到结论. (2)设每星期利润为W 元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题. 【详解】解:(1)根据题意得,(60﹣x )×10+100=3×100,解得:x =40, 60﹣40=20元,答:这一星期中每件童装降价20元; (2)设利润为w ,根据题意得,w =(x ﹣30)[(60﹣x )×10+100]=﹣10x 2+1000x ﹣21000 =﹣10(x ﹣50)2+4000,答:每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元. 【点睛】本题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题,利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.4.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用. 设每个房间每天的定价增加x 元.求:(1)房间每天的入住量y (间)关于x (元)的函数关系式; (2)该宾馆每天的房间收费p (元)关于x (元)的函数关系式;(3)该宾馆客房部每天的利润w (元)关于x (元)的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,w 有最大值?最大值是多少?【答案】(1)y=60-10x;(2)z=-110x 2+40x+12000;(3)w=-110x 2+42x+10800,当每个房间的定价为每天410元时,w 有最大值,且最大值是15210元. 【解析】试题分析:(1)根据题意可得房间每天的入住量=60个房间﹣每个房间每天的定价增加的钱数÷10;(2)已知每天定价增加为x 元,则每天要(200+x )元.则宾馆每天的房间收费=每天的实际定价×房间每天的入住量;(3)支出费用为20×(60﹣10x ),则利润w =(200+x )(60﹣10x )﹣20×(60﹣10x),利用配方法化简可求最大值. 试题解析:解:(1)由题意得:y =60﹣10x (2)p =(200+x )(60﹣10x )=﹣2110x +40x +12000 (3)w =(200+x )(60﹣10x )﹣20×(60﹣10x ) =﹣2110x +42x +10800=﹣110(x﹣210)2+15210当x=210时,w有最大值.此时,x+200=410,就是说,当每个房间的定价为每天410元时,w有最大值,且最大值是15210元.点睛:求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.本题主要考查的是二次函数的应用,难度一般.5.如图,直线l:y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点,抛物线y=ax2﹣2ax+a+4(a<0)经过点B,交x轴正半轴于点C.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)已知点M是抛物线上的一个动点,并且点M在第一象限内,连接AM、BM,设点M 的横坐标为m,△ABM的面积为S,求S与m的函数表达式,并求出S的最大值及此时动点M的坐标;(3)将点A绕原点旋转得点A′,连接CA′、BA′,在旋转过程中,一动点M从点B出发,沿线段BA′以每秒3个单位的速度运动到A′,再沿线段A′C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止,求点M在整个运动过程中用时最少是多少?【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)S与m的函数表达式是S=252m m--,S的最大值是25 8,此时动点M的坐标是(52,74);(3)点M在整个运动过程中用时最少是823秒.【解析】【分析】(1)首先求出B点的坐标,根据B点的坐标即可计算出二次函数的a值,进而即可计算出二次函数的解析式;(2)计算出C点的坐标,设出M点的坐标,再根据△ABM的面积为S=S四边形OAMB﹣S△AOB =S△BOM+S△OAM﹣S△AOB,化简成二次函数,再根据二次函数求解最大值即可.(3)首先证明△OHA′∽△OA′B,再结合A′H+A′C≥HC即可计算出t的最小值.【详解】(1)将x=0代入y=﹣3x+3,得y=3,∴点B 的坐标为(0,3),∵抛物线y =ax 2﹣2ax +a +4(a <0)经过点B , ∴3=a +4,得a =﹣1,∴抛物线的解析式为:y =﹣x 2+2x +3;(2)将y =0代入y =﹣x 2+2x +3,得x 1=﹣1,x 2=3, ∴点C 的坐标为(3,0),∵点M 是抛物线上的一个动点,并且点M 在第一象限内,点M 的横坐标为m , ∴0<m <3,点M 的坐标为(m ,﹣m 2+2m +3), 将y =0代入y =﹣3x +3,得x =1, ∴点A 的坐标(1,0), ∵△ABM 的面积为S ,∴S =S 四边形OAMB ﹣S △AOB =S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB =()2123313222m m m ⨯-++⨯⨯+-, 化简,得S =252m m --=21525228m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭,∴当m =52时,S 取得最大值,此时S =258,此时点M 的坐标为(52,74), 即S 与m 的函数表达式是S =252m m--,S 的最大值是258,此时动点M 的坐标是(52,74); (3)如右图所示,取点H 的坐标为(0,13),连接HA ′、OA ′, ∵∠HOA ′=∠A ′OB ,13OH OA '=,13OA OB '=, ∴△OHA ′∽△OA ′B ,∴3BA A H''=, 即3BA A H ''=,∵A ′H +A ′C ≥HC 3=,∴t ≥3,即点M 秒.【点睛】本题主要考查抛物线的性质,关键在于设元,还有就是(3)中利用代替法计算t 的取值范围,难度系数较大,是中考的压轴题.6.如图,已知二次函数的图象过点O (0,0).A (8,4),与x 轴交于另一点B ,且对称轴是直线x =3.(1)求该二次函数的解析式;(2)若M 是OB 上的一点,作MN ∥AB 交OA 于N ,当△ANM 面积最大时,求M 的坐标;(3)P 是x 轴上的点,过P 作PQ ⊥x 轴与抛物线交于Q .过A 作AC ⊥x 轴于C ,当以O ,P ,Q 为顶点的三角形与以O ,A ,C 为顶点的三角形相似时,求P 点的坐标.【答案】(1)21342y x x =-;(2)当t =3时,S △AMN 有最大值3,此时M 点坐标为(3,0);(3)P 点坐标为(14,0)或(﹣2,0)或(4,0)或(8,0). 【解析】 【分析】(1)先利用抛物线的对称性确定B (6,0),然后设交点式求抛物线解析式;(2)设M (t ,0),先其求出直线OA 的解析式为12y x =直线AB 的解析式为y=2x-12,直线MN 的解析式为y=2x-2t ,再通过解方程组1222y x y x t⎧=⎪⎨⎪=-⎩得N (42t,t 33),接着利用三角形面积公式,利用S △AMN =S △AOM -S △NOM 得到AMN 112S 4t t t 223∆=⋅⋅-⋅⋅然后根据二次函数的性质解决问题; (3)设Q 213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭,根据相似三角形的判定方法,当PQ PO OC AC=时,△PQO ∽△COA ,则213m m 2|m |42-=;当PQ POAC OC=时,△PQO ∽△CAO ,则2131m m m 422-=,然后分别解关于m 的绝对值方程可得到对应的P 点坐标. 【详解】解:(1)∵抛物线过原点,对称轴是直线x =3, ∴B 点坐标为(6,0),设抛物线解析式为y =ax (x ﹣6), 把A (8,4)代入得a•8•2=4,解得a =14, ∴抛物线解析式为y =14x (x ﹣6),即y =14x 2﹣32x ; (2)设M (t ,0),易得直线OA 的解析式为y =12x , 设直线AB 的解析式为y =kx+b ,把B (6,0),A (8,4)代入得6084k b k b +=⎧⎨+=⎩,解得k 2b 12=⎧⎨=-⎩,∴直线AB 的解析式为y =2x ﹣12, ∵MN ∥AB ,∴设直线MN 的解析式为y =2x+n , 把M (t ,0)代入得2t+n =0,解得n =﹣2t , ∴直线MN 的解析式为y =2x ﹣2t ,解方程组1222y x y x t ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得4323x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则42N t,t 33⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴S △AMN =S △AOM ﹣S △NOM1124t t t 223=⋅⋅-⋅⋅ 21t 2t 3=-+21(t 3)33=--+,当t =3时,S △AMN 有最大值3,此时M 点坐标为(3,0); (3)设213m,m m 42⎛⎫- ⎪⎝⎭, ∵∠OPQ =∠ACO , ∴当PQ PO OC AC =时,△PQO ∽△COA ,即PQ PO 84=, ∴PQ =2PO ,即213m m 2|m |42-=, 解方程213m m 2m 42-=得m 1=0(舍去),m 2=14,此时P 点坐标为(14,0); 解方程213m m 2m 42-=-得m 1=0(舍去),m 2=﹣2,此时P 点坐标为(﹣2,0); ∴当PQ PO AC OC =时,△PQO ∽△CAO ,即PQ PO 48=, ∴PQ =12PO ,即2131m m m 422-=,解方程2131m m m 422=-=得m 1=0(舍去),m 2=8,此时P 点坐标为(8,0); 解方程2131m m m 422=-=-得m 1=0(舍去),m 2=4,此时P 点坐标为(4,0); 综上所述,P 点坐标为(14,0)或(﹣2,0)或(4,0)或(8,0). 【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;灵活运用相似比表示线段之间的关系;会运用分类讨论的思想解决数学问题.7.已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1,a )、N (m ,b ). (1)当a =-1,m =1时,求抛物线2y ax bx c =++的解析式; (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ;(3)当a <0时,抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=,2b c a +≥,34m ≤-, 求a 的取值范围.【答案】(1)11b c =⎧⎨=⎩;(2)b=-am ,c=-am ;(3)161393a -≤≤- 【解析】 【分析】(1)根据题意得到M (2,-1)、N (1,b ),代入抛物线解析式即可求出b 、c ;(2)将点M (m +1,a )、N (m ,b )代入抛物线2y ax bx c =++,可得22(1)(1)a m b m c a am bm c b⎧++++=⎨++=⎩,化简即可得出;(3)把b am =-,c am =-代入24b ac a -=可得214a m m=+,把b am =-,c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-,然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.【详解】解:(1)∵a =-1,m =1,∴M (2,-1)、N (1,b )由题意,得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩,解,得11b c =⎧⎨=⎩(2) ∵点M (m +1,a )、N (m ,b )在抛物线2y ax bx c =++上22(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①②①-②得,2am b b +=-,∴b am =-把b am =-代入②,得c am =-(3)把b am =-,c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=0a <Q ,22141,4am am a m m∴+=∴=+ 把b am =-,c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥,1m ∴≥-34m Q ≤-,314m ∴-≤≤-224(2)4m m m +=+-Q ,当2m >-时,24m m +随m 的增大而增大2393416m m ∴-≤+≤-216113943m m ∴-≤≤-+ 即161393a -≤≤- 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质,由函数图像上点的坐标特征求出b am =-,c am =-是解题关键.8.如图,已知A (﹣2,0),B (4,0),抛物线y=ax 2+bx ﹣1过A 、B 两点,并与过A 点的直线y=﹣12x ﹣1交于点C . (1)求抛物线解析式及对称轴;(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P ,使四边形ACPO 的周长最小?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由;(3)点M 为y 轴右侧抛物线上一点,过点M 作直线AC 的垂线,垂足为N .问:是否存在这样的点N ,使以点M 、N 、C 为顶点的三角形与△AOC 相似,若存在,求出点N 的坐标,若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为:y=211184x x --,抛物线对称轴为直线x=1;(2)存在P 点坐标为(1,﹣12);(3)N 点坐标为(4,﹣3)或(2,﹣1) 【解析】分析:(1)由待定系数法求解即可;(2)将四边形周长最小转化为PC+PO 最小即可;(3)利用相似三角形对应点进行分类讨论,构造图形.设出点N 坐标,表示点M 坐标代入抛物线解析式即可.详解:(1)把A (-2,0),B (4,0)代入抛物线y=ax 2+bx-1,得042101641a b a b --⎧⎨+-⎩== 解得1814a b ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩== ∴抛物线解析式为:y=18x 2−14x−1 ∴抛物线对称轴为直线x=-141228ba -=-⨯=1 (2)存在使四边形ACPO 的周长最小,只需PC+PO 最小∴取点C (0,-1)关于直线x=1的对称点C′(2,-1),连C′O 与直线x=1的交点即为P 点.设过点C′、O 直线解析式为:y=kx ∴k=-12∴y=-1 2 x则P点坐标为(1,-12)(3)当△AOC∽△MNC时,如图,延长MN交y轴于点D,过点N作NE⊥y轴于点E∵∠ACO=∠NCD,∠AOC=∠CND=90°∴∠CDN=∠CAO由相似,∠CAO=∠CMN∴∠CDN=∠CMN∵MN⊥AC∴M、D关于AN对称,则N为DM中点设点N坐标为(a,-12a-1)由△EDN∽△OAC ∴ED=2a∴点D坐标为(0,-52a−1)∵N为DM中点∴点M坐标为(2a,32a−1)把M代入y=18x2−14x−1,解得a=4则N点坐标为(4,-3)当△AOC∽△CNM时,∠CAO=∠NCM∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N由(2)N(2,-1)∴N点坐标为(4,-3)或(2,-1)点睛:本题为代数几何综合题,考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似.解答时,应用了数形结合和分类讨论的数学思想.9.如图①,抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧),与y 轴交于点C ,已知ABC ∆的面积为6. (1)求a 的值;(2)求ABC ∆外接圆圆心的坐标;(3)如图②,P 是抛物线上一点,点Q 为射线CA 上一点,且P 、Q 两点均在第三象限内,Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点,若点P 到x 轴的距离为d ,QPB ∆的面积为2d ,且PAQ AQB ∠=∠,求点Q 的坐标.【答案】(1)-3;(2)坐标(-1,1);(3)Q ()4,1-. 【解析】 【分析】(1)利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标,然后利用三角形面积公式列出方程解出a ;(2)利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标,求出AC 解析式,找到AC 垂直平分线的解析式,与AB 垂直平分线解析式联立,解出x 、y 即为圆心坐标;(3)过点P 做PD ⊥x 轴,PD =d ,发现△ABP 与△QBP 的面积相等,得到A 、D 两点到PB 得距离相等,可得AQ PB ∥,求出PB 解析式,与二次函数解析式联立得到P 点坐标,又易证ABQ QPA ∆∆≌,得到BQ =AP 26Q 点坐标,点与点的距离列出方程,解出Q 点坐标即可 【详解】(1)解:由题意得()()1y x x a =--- 由图知:0a <所以A (,0a ),()10B ,,()0,C a - ()()112ABC S a a ∆=-⋅-=6 34()a a =-=或舍∴3a =-(2)由(1)得A (-3,0),()10B ,,()0,3C ∴直线AC 得解析式为:3y x =+AC 中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭ ∴AC 的垂直平分线为:y x =-又∵AB 的垂直平分线为:1x =- ∴1y x x =-⎧⎨=-⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1,1). (3)解:过点P 做PD ⊥x 轴 由题意得:PD =d ,∴12ABP S PD AB ∆=⋅=2d∵QPB ∆的面积为2d∴ABP BPQ S S ∆∆=,即A 、D 两点到PB 得距离相等 ∴AQ PB ∥设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B ∴1y x =- ∴2123y x y x x =-⎧⎨=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1()0x y =⎧⎨=⎩舍 所以P (-4,-5),由题意及PAQ AQB ∠=∠ 易得:ABQ QPA ∆∆≌ ∴BQ =AP 26设Q (m ,-1)(0m <) ∴()221126m -+=4m =-∴Q ()4,1-.【点睛】本题考查二次函数综合性问题,涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点,第一问关键在于用a表示出A、B、C三点坐标;第二问关键在于找到AC垂直平分线的解析式,与AB垂直平分线解析式;第三问关键在于能够求出PB的解析式10.如图甲,直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A,顶点为P.(1)求该抛物线的解析式;(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C,P,M为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由;(3)当0<x<3时,在抛物线上求一点E,使△CBE的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);(3)E点坐标为(,)时,△CBE的面积最大.【解析】试题分析:(1)由直线解析式可求得B、C坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴,可设出M点坐标,表示出MC、MP和PC 的长,分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,可分别得到关于M点坐标的方程,可求得M点的坐标;(3)过E作EF⊥x轴,交直线BC于点F,交x轴于点D,可设出E点坐标,表示出F点的坐标,表示出EF的长,进一步可表示出△CBE的面积,利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标.试题解析:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,∴B(3,0),C(0,3),把B、C坐标代入抛物线解析式可得,解得,∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;(2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,∴抛物线对称轴为x=2,P(2,﹣1),设M(2,t),且C(0,3),∴MC=,MP=|t+1|,PC=,∵△CPM为等腰三角形,∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,①当MC=MP时,则有=|t+1|,解得t=,此时M(2,);②当MC=PC时,则有=2,解得t=﹣1(与P点重合,舍去)或t=7,此时M(2,7);③当MP=PC时,则有|t+1|=2,解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2,此时M(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);(3)如图,过E作EF⊥x轴,交BC于点F,交x轴于点D,设E(x,x2﹣4x+3),则F(x,﹣x+3),∵0<x<3,∴EF=﹣x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x,∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•BD=EF•OB=×3(﹣x2+3x)=﹣(x﹣)2+,∴当x=时,△CBE的面积最大,此时E点坐标为(,),即当E点坐标为(,)时,△CBE的面积最大.考点:二次函数综合题.11.抛物线与x轴交于A,B两点(OA<OB),与y轴交于点C.(1)求点A,B,C的坐标;(2)点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时点E也从点O出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动,设点P的运动时间为t秒(0<t<2).①过点E作x轴的平行线,与BC相交于点D(如图所示),当t为何值时,的值最小,求出这个最小值并写出此时点E,P的坐标;②在满足①的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点F,使△EFP为直角三角形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)A(2,0),B(4,0),C(0,2);(2)①t=1时,有最小值1,此时OP=2,OE=1,∴E(0,1),P(2,0);②F(3,2),(3,7).【解析】试题分析:(1)在抛物线的解析式中,令y=0,令x=0,解方程即可得到结果;(2)①由题意得:OP=2t,OE=t,通过△CDE∽△CBO得到,即,求得有最小值1,即可求得结果;②存在,求得抛物线的对称方程为x=3,设F(3,m),当△EFP为直角三角形时,①当∠EPF=90°时,②当∠EFP=90°时,③当∠PEF=90°时,根据勾股定理列方程即可求得结果.试题解析:(1)在抛物线的解析式中,令y=0,即,解得:,,∵OA<OB,∴A(2,0),B(4,0),在抛物线的解析式中,令x=0,得y=2,∴C(0,2);(2)①由题意得:OP=2t,OE=t,∵DE∥OB,∴△CDE∽△CBO,∴,即,∴DE=4﹣2t,∴===,∵0<t<2,始终为正数,且t=1时,有最大值1,∴t=1时,有最小值1,即t=1时,有最小值1,此时OP=2,OE=1,∴E(0,1),P(2,0);②存在,∵抛物线的对称轴方程为x=3,设F(3,m),∴,=,=,当△EFP为直角三角形时,①当∠EPF=90°时,,即,解得:m=2,②当∠EFP=90°时,,即,解得;m=0或m=1,不合题意舍去,∴当∠EFP=90°时,这种情况不存在,③当∠PEF=90°时,,即,解得:m=7,综上所述,F(3,2),(3,7).考点:1.二次函数综合题;2.动点型;3.最值问题;4.二次函数的最值;5.分类讨论;6.压轴题.12.如图,已知抛物线经过点A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)三点,点D与点C关于x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q,交直线BD于点M.(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;(2)已知点F(0,12),当点P在x轴上运动时,试求m为何值时,四边形DMQF是平行四边形?(3)点P在线段AB运动过程中,是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=﹣12x2+32x+2;(2)m=﹣1或m=3时,四边形DMQF是平行四边形;(3)点Q的坐标为(3,2)或(﹣1,0)时,以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似.【解析】分析:(1)待定系数法求解可得;(2)先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=12x-2,则Q(m,-12m2+32m+2)、M(m,12m-2),由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF,据此列出关于m的方程,解之可得;(3)易知∠ODB=∠QMB,故分①∠DOB=∠MBQ=90°,利用△DOB∽△MBQ得12DO MB OB BQ ==,再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ=,即214 132222mm m -=-++,解之即可得此时m 的值;②∠BQM=90°,此时点Q 与点A 重合,△BOD ∽△BQM′,易得点Q 坐标.详解:(1)由抛物线过点A (-1,0)、B (4,0)可设解析式为y=a (x+1)(x-4), 将点C (0,2)代入,得:-4a=2, 解得:a=-12, 则抛物线解析式为y=-12(x+1)(x-4)=-12x 2+32x+2;(2)由题意知点D 坐标为(0,-2), 设直线BD 解析式为y=kx+b ,将B (4,0)、D (0,-2)代入,得:402k b b +⎧⎨-⎩==,解得:122k b ⎧⎪⎨⎪-⎩==, ∴直线BD 解析式为y=12x-2, ∵QM ⊥x 轴,P (m ,0),∴Q (m ,--12m 2+32m+2)、M (m ,12m-2),则QM=-12m 2+32m+2-(12m-2)=-12m 2+m+4,∵F (0,12)、D (0,-2),∴DF=52, ∵QM ∥DF ,∴当-12m 2+m+4=52时,四边形DMQF 是平行四边形, 解得:m=-1(舍)或m=3,即m=3时,四边形DMQF 是平行四边形; (3)如图所示:∵QM ∥DF ,∴∠ODB=∠QMB ,分以下两种情况:①当∠DOB=∠MBQ=90°时,△DOB ∽△MBQ , 则21=42DO MB OB BQ ==, ∵∠MBQ=90°,∴∠MBP+∠PBQ=90°,∵∠MPB=∠BPQ=90°,∴∠MBP+∠BMP=90°,∴∠BMP=∠PBQ ,∴△MBQ ∽△BPQ , ∴BM BP BQ PQ =,即214 132222m m m -=-++, 解得:m 1=3、m 2=4,当m=4时,点P 、Q 、M 均与点B 重合,不能构成三角形,舍去,∴m=3,点Q 的坐标为(3,2);②当∠BQM=90°时,此时点Q 与点A 重合,△BOD ∽△BQM′,此时m=-1,点Q 的坐标为(-1,0);综上,点Q 的坐标为(3,2)或(-1,0)时,以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似.点睛:本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用.13.综合与探究如图,抛物线y=211433x x --与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C ,连接AC ,BC .点P 是第四象限内抛物线上的一个动点,点P 的横坐标为m ,过点P 作PM ⊥x 轴,垂足为点M ,PM 交BC 于点Q ,过点P 作PE ∥AC 交x 轴于点E ,交BC 于点F.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由;(3)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值.【答案】(1)C(0,﹣4);(2)Q点坐标为(522,522﹣4)或(1,﹣3);(3)当m=2时,QF有最大值.【解析】【分析】(1)解方程13x2−13x-4=0得A(-3,0),B(4,0),计算自变量为0时的二次函数值得C点坐标;(2)利用勾股定理计算出AC=5,利用待定系数法可求得直线BC的解析式为y=x-4,则可设Q(m,m-4)(0<m<4),讨论:当CQ=CA时,则m2+(m-4+4)2=52,当AQ=AC时,(m+3)2+(m-4)2=52;当QA=QC时,(m+3)2+(m-4)2=52,然后分别解方程求出m即可得到对应的Q点坐标;(3)过点F作FG⊥PQ于点G,如图,由△OBC为等腰直角三角形.可判断△FQG为等腰直角三角形,则FG=QG=22FQ,再证明△FGP~△AOC得到34FG PG,则22FQ,所以72FQ,于是得到32,设P(m,13m2-13m-4)(0<m<4),则Q(m,m-4),利用PQ=-13m2+43m得到FQ=327(-13m2+43m),然后利用二次函数的性质解决问题.【详解】(1)当y=0,13x2−13x-4=0,解得x1=-3,x2=4,∴A(-3,0),B(4,0),当x=0,y=13x2−13x-4=-4,∴C (0,-4);(2)AC=2234=5+, 易得直线BC 的解析式为y=x-4,设Q (m ,m-4)(0<m <4),当CQ=CA 时,m 2+(m-4+4)2=52,解得m 1=52,m 2=-52(舍去),此时Q 点坐标为(522,522-4); 当AQ=AC 时,(m+3)2+(m-4)2=52,解得m 1=1,m 2=0(舍去),此时Q 点坐标为(1,-3);当QA=QC 时,(m+3)2+(m-4)2=52,解得m=252(舍去), 综上所述,满足条件的Q 点坐标为(522,522-4)或(1,-3); (3)解:过点F 作FG ⊥PQ 于点G ,如图,则FG ∥x 轴.由B (4,0),C (0,-4)得△OBC 为等腰直角三角形∴∠OBC=∠QFG=45∴△FQG 为等腰直角三角形,∴FG=QG=22FQ , ∵PE ∥AC ,PG ∥CO ,∴∠FPG=∠ACO ,∵∠FGP=∠AOC=90°,∴△FGP ~△AOC .∴FG PG OA CO =,即34FG PG =, ∴PG=43FG=43•22FQ=223FQ , ∴PQ=PG+GQ=23FQ+22FQ=26FQ ,∴FQ=32PQ , 设P (m ,13m 2-13m-4)(0<m <4),则Q (m ,m-4), ∴PQ=m-4-(13m 2-13m-4)=-13m 2+43m , ∴FQ=32(-13m 2+43m )=-2(m-2)2+42 ∵-27<0, ∴QF 有最大值.∴当m=2时,QF 有最大值.【点睛】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质,会利用相似比表示线段之间的关系;会运用分类讨论的思想解决数学问题.14.如图,△ABC 的顶点坐标分别为A (﹣6,0),B (4,0),C (0,8),把△ABC 沿直线BC 翻折,点A 的对应点为D ,抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C ,顶点M 在直线BC 上.(1)证明四边形ABCD 是菱形,并求点D 的坐标;(2)求抛物线的对称轴和函数表达式;(3)在抛物线上是否存在点P ,使得△PBD 与△PCD 的面积相等?若存在,直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)详见解析(2)22y x 4x 85=-+ (3)详见解析【解析】【分析】(1)根据勾股定理,翻折的性质可得AB=BD=CD=AC ,根据菱形的判定和性质可得点D 的坐标.(2)根据对称轴公式可得抛物线的对称轴,设M 的坐标为(5,n ),直线BC 的解析式为y=kx+b ,根据待定系数法可求M 的坐标,再根据待定系数法求出抛物线的函数表达式. (3)分点P 在CD 的上面下方和点P 在CD 的上方两种情况,根据等底等高的三角形面积相等可求点P 的坐标:设P 22x,x 4x 85⎛⎫-+ ⎪⎝⎭, 当点P 在CD 的上面下方,根据菱形的性质,知点P 是AD 与抛物线22y x 4x 85=-+的交点,由A,D 的坐标可由待定系数法求出AD 的函数表达式:1y x 32=+,二者联立可得P 1(529,48); 当点P 在CD 的上面上方,易知点P 是∠D 的外角平分线与抛物线22y x 4x 85=-+的交点,此时,∠D 的外角平分线与直线AD 垂直,由相似可知∠D 的外角平分线PD 的斜率等于-2,可设其为y 2x m =-+,将D (10,8)代入可得PD 的函数表达式:y 2x 28=-+,与抛物线22y x 4x 85=-+联立可得P 2(﹣5,38). 【详解】(1)证明:∵A (﹣6,0),B (4,0),C (0,8),∴AB=6+4=10,AC 10==.∴AB=AC .由翻折可得,AB=BD ,AC=CD .∴AB=BD=CD=AC .∴四边形ABCD 是菱形.∴CD ∥AB .∵C (0,8),∴点D 的坐标是(10,8). (2)∵y=ax 2﹣10ax+c ,∴对称轴为直线10a x 52a-=-=. 设M 的坐标为(5,n ),直线BC 的解析式为y=kx+b , ∴4k b 0b 8+=⎧⎨=⎩,解得k 2b 8=-⎧⎨=⎩. ∴直线BC 的解析式为y=﹣2x+8.∵点M 在直线y=﹣2x+8上,∴n=﹣2×5+8=﹣2.∴M (5,,-2).又∵抛物线y=ax 2﹣10ax+c 经过点C 和M ,∴25a50a c2c8-+=-⎧⎨=⎩,解得2a5c8⎧=⎪⎨⎪=⎩.∴抛物线的函数表达式为22y x4x85=-+.(3)存在.点P的坐标为P1(529,48),P2(﹣5,38)15.如图1,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣4,0),B(1,0)两点,过点B的直线y=kx+23分别与y轴及抛物线交于点C,D.(1)求直线和抛物线的表达式;(2)动点P从点O出发,在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,△PDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件的t的值;(3)如图2,将直线BD沿y轴向下平移4个单位后,与x轴,y轴分别交于E,F两点,在抛物线的对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点N,使DM+MN的值最小?若存在,求出其最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为:y=228233x x+-,BD解析式为y=﹣2233x+;(2)t的值为4915129±、233.(3)N点坐标为(﹣2,﹣2),M点坐标为(﹣32,﹣54),213【解析】分析:(1)利用待定系数法求解可得;(2)先求得点D的坐标,过点D分别作DE⊥x轴、DF⊥y轴,分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三种情况,利用相似三角形的性质逐一求解可得;(3)通过作对称点,将折线转化成两点间距离,应用两点之间线段最短.详解:(1)把A(﹣4,0),B(1,0)代入y=ax2+2x+c,。

二次函数经典题型(含答案)

二次函数经典题型(含答案)

二次函数经典题型(启东教育)1.看图,解答下列问题.(1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式;(2)通过配方,求该抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)用平滑曲线连结各点,画出该函数图象.2.已知函数y =x 2+bx -1的图象经过点(3,2) (1) 求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x >0时,求使y ≥2的x 的取值范围.3.已知抛物线y =-x 2+mx -m +2.(1)若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧,并且AB =5,试求m 的值;(2)设C 为抛物线与y 轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ,并且 △MNC 的面积等于27,试求m 的值.4.如图,已知点A (tan α,0),B (tan β,0)在x 轴正半轴上,点A 在点B 的左边,α、β 是以线段AB 为 斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角.(1)若二次函数y =-x 2-25kx +(2+2k -k 2)的图象经过A 、B 两点,求它的解析式;(2)点C 在(1)中求出的二次函数的图象上吗请说明理由.5.已知抛物线2y x kx b =++经过点(23)(10)P Q --,,,. (1)求抛物线的解析式.(2)设抛物线顶点为N ,与y 轴交点为A .求sin AON ∠的值.(3)设抛物线与x 轴的另一个交点为M ,求四边形OANM 的面积.6.已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A ,B ,C 三点,当x≥0时,其图象如图所示.(1)求抛物线的解析式,写出抛物线的顶点坐标;(2)画出抛物线y=ax 2+bx+c 当x<0时的图象;(3)利用抛物线y=ax 2+bx+c,写出x 为何值时,y>0.7.已知抛物线c bx ax y ++=2与y轴的交点为C ,顶点为M ,直线CM 的解析式 y=-x+2 并且线段CM 的长为22(1) 求抛物线的解析式。

初三数学题二次函数难题

初三数学题二次函数难题

1、对于任意实数x,二次函数y=ax^2+bx+c在x=3处的函数值为0,以下哪项是可能的?A. a=1, b=-6, c=9B. a=-1, b=6, c=-9C. a=2, b=-6, c=3D. a=-2, b=6, c=-3(答案:A)2、如果二次函数y=2x^2-4x+k的最小值为-2,那么常数k是多少?A. -2B. -1C. 0D. 2(答案:D)3、已知二次函数y=-3x^2+bx+c的顶点在x轴上,那么以下哪项是正确的?A. b=0B. c=0C. b^2-4ac=0D. b^2+4ac=0(答案:C)4、二次函数y=x^2+2x+3在区间[-1, 1]上的最大值是多少?A. 3B. 4C. 5D. 6(答案:B)5、如果二次函数y=mx^2+nx+p在x=2处取得最大值,那么以下哪项是正确的?A. m>0B. n>0C. m<0D. n<0(答案:C)6、二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴是x=-1,已知a>0,那么以下哪项是正确的?A. b>0B. b<0C. c>0D. c<0(答案:B)7、已知二次函数y=2(x-3)^2+4,那么该函数的顶点坐标是?A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)(答案:A)8、如果二次函数y=(x-h)^2+k的顶点在第一象限,那么以下哪项是正确的?A. h>0且k>0B. h>0且k<0C. h<0且k>0D. h<0且k<0(答案:A)。

初三《二次函数》经典习题汇编(易错题、难题)

初三《二次函数》经典习题汇编(易错题、难题)

初三《二次函数》经典习题汇编(易错题、难题)二次函数》经典题汇编模块一:二次函数的相关概念1.若函数 y = mx + (m+2)x/(m+1) 的图像与 x 轴只有一个交点,那么 m 的值为()A。

0.B。

±2.C。

2或-2.D。

2或-22.当 x = m 或x = n (m ≠ n) 时,代数式 x - 2x^2 + 3 的值相等,则 x = m + n 时,代数式 x - 2x^2 + 3 的值为。

3.已知 x = 2m + n + 2 和 x = m + 2n 时,多项式 x^2 + 4x +6 的值相等,且 m - n + 2 ≠ 0,则当 x = 3(m + n + 1) 时,多项式 x^2 + 4x + 6 的值等于 ________。

模块二:二次函数的顶点问题1.若抛物线 y = (x + m)^2 + (m + 1) 的顶点在第一象限,则m 的取值范围为 ________。

2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线所表示的函数解析式为 y = -2(x - h)^2 + k,则下列结论正确的是()A。

h。

0.k。

0B。

h。

0C。

h < 0.k < 0D。

h。

0.k < 0模块三:二次函数的对称轴问题1.已知二次函数 y = -x^2 + 2bx + c,当 x。

1 时,y 的值随x 增大而减小,则实数 b 的取值范围是()A。

b ≥ -1B。

b ≤ -1C。

b ≥ 1D。

b ≤ 12.已知二次函数 y = x + 2mx + 2,当 x。

2 时,y 随 x 的增大而增大,则实数 m 的取值范围是 ________。

3.已知二次函数 y = x + (m-1)x + 1,当 x。

1 时,y 随 x 的增大而增大,而 m 的取值范围是()A。

m = -1B。

m = 3C。

m ≤ -1D。

m ≥ -1模块四:二次函数的图像共存问题1.在同一直角坐标系中,函数 y = mx + m 和 y = -mx + 2x + 2(m 是常数,且m ≠ 0)的图像可能是()A。

二次函数经典难题(含精解)

二次函数经典难题(含精解)

二次函数经典难题(含精解)一.选择题(共1小题)1.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A,在顶点不变的情况下,把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线,且新的抛物线与y轴相交于点B,则△PAB的面积为()A.1B.2C.3D.6二.填空题(共12小题)2.作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2,将抛物线C2向左平移2个单位,向上平移1个单位,得到的抛物线C的函数解析式是y=2(x+1)2﹣1,则抛物线C1所对应的函数解析式是_________.3.抛物线关于原点对称的抛物线解析式为_________.4.将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°,则旋转后的抛物线解析式是_________.5.如图,正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上,且抛物线的顶点在CD上,若正方形ABCD边长为10,则正方形EFGH的边长为_________.6.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.在抛物线y=ax2+bx+c中,系数a、b、c为绝对值不大于1的整数,则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为_________.7.抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A(﹣1,0),B(4,0),直角顶点C在y轴上,若抛物线的顶点在△ABC的内部(不包括边界),则a的范围是_________.8.已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上,则a=_________;若抛物线与x轴有两个交点,则a 的范围是_________.9.抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上,则a=_________.10.若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上,则a的值是_________.11.若抛物线的顶点在x轴上方,则m的值是_________.12.如图,二次函数y=ax2+c图象的顶点为B,若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C 也在该抛物线上,则a•c的值是_________.13.抛物线y=ax2+bx﹣1经过点(2,5),则代数式6a+3b+1的值为_________.三.解答题(共17小题)14.已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,求抛物线C2的解析式.15.将抛物线C1:y=(x+1)2﹣2绕点P(t,2)旋转180゜得到抛物线C2,若抛物线C1的顶点在抛物线C2上,同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上,求抛物线C2的解析式.16.如图,抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2,回答下列问题:(1)抛物线y2的顶点坐标_________;(2)阴影部分的面积S=_________;(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,求抛物线y3的解析式.17.已知抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0),它的顶点P的坐标是,与y轴的交点是M(0,c).我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.(1)请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式:伴随抛物线的解析式_________,伴随直线的解析式_________;(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3,则这条抛物线的解析式是_________;(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0)的伴随抛物线和伴随直线的解析式;(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,x2>x1>0,它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点,且AB=CD.请求出a、b、c应满足的条件.18.设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点(1)将抛物线沿y轴平移,使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍,求平移所得抛物线的解析式;(2)通过(1)中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线,求新抛物线的表达式.19.已知抛物线C:y=ax2+bx+c(a<0)过原点,与x轴的另一个交点为B(4,0),A为抛物线C的顶点.(1)如图1,若∠AOB=60°,求抛物线C的解析式;(2)如图2,若直线OA的解析式为y=x,将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′,求抛物线C、C′的解析式;(3)在(2)的条件下,设A′为抛物线C′的顶点,求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P的坐标.20.如图,已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A,B两点,交y轴于点C,且∠CBO=60°,∠CAO=45°,求抛物线的解析式和直线BC的解析式.21.已知:如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.(1)求此抛物线的解析式;(2)点M为抛物线上的一个动点,求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标.22.已知抛物线的顶点为P,与x轴正半轴交于点B,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B 成中心对称时,求C3的解析式.23.如图,抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.(1)求此抛物线的解析式;(2)点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC:S△ACD=5:4的点P的坐标.24.已知一抛物线经过O(0,0),B(1,1)两点,且解析式的二次项系数为﹣(a>0).(Ⅰ)当a=1时,求该抛物线的解析式,并用配方法求出该抛物线的顶点坐标;(Ⅱ)已知点A(0,1),若抛物线与射线AB相交于点M,与x轴相交于点N(异于原点),当a在什么范围内取值时,ON+BM的值为常数?当a在什么范围内取值时,ON﹣BM的值为常数?(Ⅲ)若点P(t,t)在抛物线上,则称点P为抛物线的不动点.将这条抛物线进行平移,使其只有一个不动点,此时抛物线的顶点是否在直线y=x﹣上,请说明理由.25.如图,已知抛物线C1:y=a(x+2)2﹣5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),点B的横坐标是1;(1)求a的值;(2)如图,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,抛物线C3的顶点为M,当点P、M关于点O成中心对称时,求抛物线C3的解析式.26.如图,抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3,0),B(﹣1,0)两点.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为M,直线y=﹣2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围.27.如图,抛物线y=a(x+1)2的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且OB=OA.(1)求抛物线的解析式;(2)若点C(﹣3,b)在该抛物线上,求S△ABC的值.28.如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:y=x﹣5上.(1)求抛物线顶点A的坐标及c的值;(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD的形状.29.如果抛物线m的顶点在抛物线n上,同时抛物线n的顶点在抛物线m上,那么我们就称抛物线m 与n为交融抛物线.(1)已知抛物线a:y=x2﹣2x+1.判断下列抛物线b:y=x2﹣2x+2,c:y=﹣x2+4x﹣3与已知抛物线a是否为交融抛物线?并说明理由;(2)在直线y=2上有一动点P(t,2),将抛物线a:y=x2﹣2x+1绕点P(t,2)旋转180°得到抛物线l,若抛物线a与l为交融抛物线,求抛物线l的解析式;(3)M为抛物线a;y=x2﹣2x+1的顶点,Q为抛物线a的交融抛物线的顶点,是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS,使其直角顶点S在y轴上?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由;(4)通过以上问题的探究解决,相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识,请你提出一个有关交融抛物线的问题.30.如图1所示,已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点,抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点,点B是抛物线与x轴的另一个交点,当x=﹣时,y取最大值.(1)求抛物线和直线的解析式;(2)设点P是直线AC上一点,且S△ABP:S△BPC=1:3,求点P的坐标;(3)直线y=x+a与(1)中所求的抛物线交于点M、N,两点,问:①是否存在a的值,使得∠MON=90°?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.②猜想当∠MON>90°时,a的取值范围.(不写过程,直接写结论)(参考公式:在平面直角坐标系中,若M(x1,y1),N(x2,y2),则M、N两点之间的距离为|MN|=)参考答案与试题解析一.选择题(共1小题)1.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A,在顶点不变的情况下,把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线,且新的抛物线与y轴相交于点B,则△PAB的面积为()A.1B.2C.3D.6考点:二次函数图象与几何变换.分析:根据题目意思,求出A和B的坐标,再求三角形的面积则可.解答:解:当x=0时,y=3,所以A的坐标是(0,3),y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,把它绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线是y=﹣(x﹣1)2+2=﹣x2+2x+1,x=0时,y=1,所以B的坐标是(0,1),P的坐标是(1,2),△PAB的面积=×2×(3﹣2)=1.故选A.点评:本题考查了抛物线与坐标轴交点的求法,和考查抛物线将一般式转化顶点式的能力,难度较大.二.填空题(共12小题)2.作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2,将抛物线C2向左平移2个单位,向上平移1个单位,得到的抛物线C的函数解析式是y=2(x+1)2﹣1,则抛物线C1所对应的函数解析式是y=﹣2(x﹣1)2+2.考点:二次函数图象与几何变换.专题:应用题.分析:根据题意易得抛物线C的顶点,进而可得到抛物线B的坐标,根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线B的解析式,而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,二次项系数互为相反数可得到抛物线C1所对应的函数表达式.解答:解:根据题意易得抛物线C的顶点为(﹣1,﹣1),∵是向左平移2个单位,向上平移1个单位得到抛物线C的,∴抛物线B的坐标为(1,﹣2),可设抛物线B的坐标为y=2(x﹣h)2+k,代入得:y=2(x﹣1)2﹣2,易得抛物线A的二次项系数为﹣2,顶点坐标为(1,2),∴抛物线A的解析式为y=﹣2(x﹣1)2+2,故答案为y=﹣2(x﹣1)2+2.点评:本题主要考查了讨论两个二次函数的图象的平移问题,只需看顶点坐标是如何平移得到的即可,关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等,纵坐标互为相反数,二次项系数互为相反数,难度适中.3.抛物线关于原点对称的抛物线解析式为.考点:二次函数图象与几何变换.分析:根据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可.解答:解:∵关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数,∴抛物线y=﹣x2+x+2关于原点对称的抛物线的解析式为:﹣y=﹣(﹣x)2+(﹣x)+2,即y=x2+x ﹣2.故答案为:y=x2+x﹣2.点评:本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知关于原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键.4.将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°,则旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1.考点:二次函数图象与几何变换.分析:根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求则可.解答:解:根据题意,﹣y=(﹣x)2+1,得到y=﹣x2﹣1.故旋转后的抛物线解析式是y=﹣x2﹣1.点评:考查根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式.5.如图,正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上,且抛物线的顶点在CD上,若正方形ABCD边长为10,则正方形EFGH的边长为5﹣5.考点:二次函数综合题.分析:首先建立平面坐标系:过点G作GM⊥x轴于点M,进而得出抛物线解析式,进而表示出G点坐标,再利用FG+MG=10,进而求出即可.解答:解:如图建立平面坐标系:过点G作GM⊥x轴于点M,设抛物线解析式为:y=ax2,∵正方形ABCD边长为10,∴B点坐标为:(5,﹣10),将B点代入y=ax2,则﹣10=25a,解得:a=﹣,设G点坐标为:(a,﹣a2),则GF=2a,∴MG=10﹣GF,即a2=10﹣2a,整理的:a2+5a﹣25=0,解得:a1=,a2=(不合题意舍去),∴正方形EFGH的边长FG=2a=5﹣5.故答案为:5﹣5.点评:此题主要考查了二次函数的综合应用以及一元二次方程的解法,根据正方形的性质以及抛物线上点的坐标性质得出等式是解题关键.6.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.在抛物线y=ax2+bx+c中,系数a、b、c为绝对值不大于1的整数,则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为.考点:列表法与树状图法;抛物线与x轴的交点.分析:由系数a、b、c为绝对值不大于1的整数,可得系数a、b、c为:0,1,﹣1;然后根据题意画树状图,由树状图求得所有等可能的结果与该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的情况,再利用概率公式即可求得答案.解答:解:∵系数a、b、c为绝对值不大于1的整数,∴系数a、b、c为:0,1,﹣1;画树状图得:∵共有18种等可能的结果,该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的有:(1,0,﹣1),(﹣1,0,1),∴该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为:=.故答案为:.点评:本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与二次函数的性质.注意用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.7.抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A(﹣1,0),B(4,0),直角顶点C在y轴上,若抛物线的顶点在△ABC的内部(不包括边界),则a的范围是﹣<a<0或0<a<.考点:二次函数的性质.专题:压轴题.分析:根据点A、B的坐标求出OA、OB的长,再求出△ACO和△CBO相似,根据相似三角形对应边成比例列式求出OC的长,再根据二次函数的对称性求出对称轴,设对称轴与直线BC相交于P,与x轴交于Q,利用∠ABC的正切值求出点P到x轴的距离PQ,设抛物线的交点式解析式y=a (x+1)(x﹣4),整理求出顶点坐标,再根据抛物线的顶点在△ABC的内部分两种情况列式求出a的取值范围即可.解答:解:∵点A(﹣1,0),B(4,0),∴OA=1,OB=4,易得△ACO∽△CBO,∴=,即=,解得OC=2,∵抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣1,0),B(4,0),∴对称轴为直线x==,设对称轴与直线BC相交于P,与x轴交于Q,则BQ=4﹣=2.5,tan∠ABC==,即=,解得PQ=,设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4),则y=a(x2﹣3x﹣4)=a(x﹣)2﹣a,当点C在y轴正半轴时,0<﹣a<,解得﹣<a<0,当点C在y轴负半轴时,﹣<﹣a<0,解得0<a<,所以,a的取值范围是﹣<a<0或0<a<.故答案为:﹣<a<0或0<a<.点评:本题考查了二次函数的性质,相似三角形的判定与性质,把二次函数的解析式用交点式形式表示更加简便,注意要分点C在y正半轴和负半轴两种情况讨论.8.已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上,则a=9;若抛物线与x轴有两个交点,则a的范围是a<9.考点:抛物线与x轴的交点.分析:顶点在x轴上即抛物线与x轴只有一个交点,则判别式等于0,若抛物线与x轴有两个交点,则△>0,据此即可求解.解答:解:△=36﹣4a,则定点在x轴上,则36﹣4a=0,解得:a=9;抛物线与x轴有两个交点,则36﹣4a>0,解得:a<9.故答案是:9;a<9.点评:本题考查了二次函数图象与x轴的公共点的个数的判定方法,如果△>0,则抛物线与x轴有两个不同的交点;如果△=0,与x轴有一个交点;如果△<0,与x轴无交点.9.抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上,则a=2.考点:待定系数法求二次函数解析式.专题:压轴题.分析:根据抛物线顶点的纵坐标等于2,列出方程,求出a的值,注意要有意义.解答:解:因为抛物线的顶点坐标为(﹣,)所以=2解得:a1=2,a2=﹣1又因为要有意义则a≥0所以a=2.点评:此题考查了学生的综合应用能力,解题时要注意别漏条件,特别是一些隐含条件,比如:中a≥0.10.若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上,则a的值是4.考点:二次函数的性质.分析:根据抛物线顶点的横坐标等于2,列出方程,求出a的值,注意要有意义.解答:解:因为抛物线的顶点坐标为(﹣,),所以﹣=2,解得:a1=4,a2=﹣4,又因为要有意义,则a≥0,所以a=4.故答案为4.点评:此题考查了学生的综合应用能力,解题时要注意别漏条件,特别是一些隐含条件,比如:中a≥0.11.若抛物线的顶点在x轴上方,则m的值是2.考点:二次函数的性质;二次函数的定义.专题:计算题.分析:先列出关于m的等式,再根据抛物线的顶点在x轴上方,求得m,所以只需令顶点纵坐标大于0即可.解答:∴m2﹣2=2,解得m=±2,∵抛物线的顶点在x轴上方.∴0﹣8(m+2)<0,∴m>﹣2,∴m=2.故答案为:2.点评:本题考查了二次函数的定义和性质,将函数与一元二次方程结合起来,有一定的综合性.12.如图,二次函数y=ax2+c图象的顶点为B,若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C 也在该抛物线上,则a•c的值是﹣2.考点:二次函数的性质;正方形的性质.分析:抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为(0,c),由四边形ABCO是正方形,则C点坐标为标为(﹣,),代入抛物线即可解答.解答:解:∵抛物线y=ax2+c的顶点B点坐标为(0,c),四边形ABCO是正方形,∴∠COB=90°,CO=BC,∴△COB是等腰直角三角形,∴C点横纵坐标绝对值相等,且等于BO长度一半,∴C点坐标为(﹣,),将点C代入抛物线方程中得ac=﹣2.故答案为:﹣2点评:本题将几何图形与抛物线结合了起来,同学们要找出线段之间的关系,进而求得问题的答案.13.抛物线y=ax2+bx﹣1经过点(2,5),则代数式6a+3b+1的值为10.考点:二次函数图象上点的坐标特征.专题:整体思想.分析:把点(2,5)代入抛物线求出2a+b的值,然后整体代入进行计算即可得解.解答:解:∵抛物线y=ax2+bx﹣1经过点(2,5),∴4a+2b﹣1=5,∴2a+b=3,∴6a+3b+1=3(2a+b)+1=3×3+1=10.故答案为:10.点评:本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,把点的坐标代入函数解析式求出a、b的关系式是解题的关键,主要利用了整体思想.三.解答题(共17小题)14.已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,求抛物线C2的解析式.考点:二次函数图象与几何变换.分析:利用关于x轴对称的点的坐标为横坐标不变,纵坐标互为相反数解答即可.解答:解:抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,横坐标不变,纵坐标互为相反数,即﹣y=2x2﹣4x+5,因此所求抛物线C2的解析式是y=﹣2x2+4x﹣5.点评:利用轴对称变换的特点可以解答.15.将抛物线C1:y=(x+1)2﹣2绕点P(t,2)旋转180゜得到抛物线C2,若抛物线C1的顶点在抛物线C2上,同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上,求抛物线C2的解析式.考点:二次函数图象与几何变换.分析:先求出抛物线C1的顶点坐标,再根据对称性求出抛物线C2的顶点坐标,然后根据旋转的性质写出抛物线C2的顶点式形式解析式,再把抛物线C1的顶点坐标代入进行即可得解.解答:解:∵y=(x+1)2﹣2的顶点坐标为(﹣1,﹣2),∴绕点P(t,2)旋转180゜得到抛物线C2的顶点坐标为(2t+1,6),∴抛物线C2的解析式为y=﹣(x﹣2t﹣1)2+6,∵抛物线C1的顶点在抛物线C2上,∴﹣(﹣1﹣2t﹣1)2+6=﹣2,解得t1=3,t2=﹣5,∴抛物线C2的解析式为y=﹣(x﹣7)2+6或y=﹣(x+9)2+6.点评:本题考查了二次函数图象与几何变换,难度较大,求出旋转后的抛物线C2的顶点坐标是解题的关键,也是本题的难点.16.如图,抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2,回答下列问题:(1)抛物线y2的顶点坐标(1,2);(2)阴影部分的面积S=2;(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,求抛物线y3的解析式.考点:二次函数图象与几何变换.分析:直接应用二次函数的知识解决问题.解答:解:(1)读图找到最高点的坐标即可.故抛物线y2的顶点坐标为(1,2);(2分)(2)把阴影部分进行平移,可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积=1×2=2;(6分)(3)由题意可得:抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原点O成中心对称.所以抛物线y3的顶点坐标为(﹣1,﹣2),于是可设抛物线y3的解析式为:y=a(x+1)2﹣2.由对称性得a=1,所以y3=(x+1)2﹣2.(10分)点评:考查二次函数的相关知识,考查学生基础知识的同时还考查了识图能力.17.已知抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0),它的顶点P的坐标是,与y轴的交点是M(0,c).我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.(1)请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式:伴随抛物线的解析式y=﹣2x2+1,伴随直线的解析式y=﹣2x+1;(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3,则这条抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3;(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0)的伴随抛物线和伴随直线的解析式;(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,x2>x1>0,它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点,且AB=CD.请求出a、b、c应满足的条件.考点:二次函数综合题.专题:压轴题;新定义.分析:(1)先根据抛物线的解析式求出其顶点P和抛物线与y轴的交点M的坐标.然后根据M的坐标用顶点式二次函数通式设伴随抛物线的解析式然后将P点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出伴随抛物线的解析式.根据M,P两点的坐标即可求出直线PM的解析式;(2)由题意可知:伴随抛物线的顶点坐标是抛物线与y轴交点坐标,伴随抛物线与伴随直线的交点(与y轴交点除外)是抛物线的顶点,据此可求出抛物线的解析式;(3)方法同(1);(4)本题要考虑的a、b、c满足的条件有:抛物线和伴随抛物线都与x轴有两个交点,因此△>0,①由于抛物线L中,x2>x1>0,因此抛物线的对称轴x>0,两根的积大于0.②根据两抛物线的解析式分别求出AB、CD的长,根据AB=CD可得出另一个需满足的条件…③综合这三种情况即可得出所求的a、b、c需满足的条件.解答:解:(1)y=﹣2x2+1,y=﹣2x+1;(2)将y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3组成方程组得,,解得,或.则原抛物线的顶点坐标为(1,﹣4),与y轴的交点坐标为(0,﹣3).设原函数解析式为y=n(x﹣1)2﹣4,将(0,﹣3)代入y=n(x﹣1)2﹣4得,﹣3=n(0﹣1)2解得,n=1,则原函数解析式为y=(x﹣1)2﹣4,即y=x2﹣2x﹣3.(3)∵伴随抛物线的顶点是(0,c),∵设它的解析式为y=m(x﹣0)2+c(m≠0),∵此抛物线过P(﹣,),∴=m•(﹣)2+c,解得m=﹣a,∴伴随抛物线解析式为y=﹣ax2+c;设伴随直线解析式为y=kx+c(k≠0),P(﹣,)在此直线上,∴,∴k=,∴伴随直线解析式为y=x+c;(4)∵抛物线L与x轴有两交点,∴△1=b2﹣4ac>0,∴b2>4ac;∵x2>x1>0,∴x2+x1=﹣>0,x1•x2=>0,∴ab<0,ac>0.对于伴随抛物线有y=﹣ax2+c,有△2=0﹣(﹣4ac)=4ac>0,由﹣ax2+c=0,得x=±.∴C(﹣,0),D(,0),CD=2,又AB=x2﹣x1====,∵AB=CD,则有:2=,即b2=8ac,综合b2=8ac,b2﹣4ac>0,ab<0,ac>0可得a、b、c需满足的条件为:b2=8ac且ab<0(或b2=8ac且bc<0).点评:本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及一元二次方程根与系数的关系.18.设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点(1)将抛物线沿y轴平移,使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍,求平移所得抛物线的解析式;(2)通过(1)中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线,求新抛物线的表达式.考点:抛物线与x轴的交点;二次函数图象与几何变换.专题:计算题.分析:(1)设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m,根据抛物线与x轴的交点的距离公式得到=2,解得m=3b﹣3a2,则平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+4b﹣3a2;(2)先确定y=x2+2ax+b的顶点坐标为(﹣a,b﹣a2),由于通过(1)中所得抛物线与x轴的两个交点,则可设新抛物线解析式为y=t(x2+2ax+4b﹣3a2),然后把(﹣a,b﹣a2)代入可求出t=.解答:解:(1)设平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+m,根据题意得=2,解得m=3b﹣3a2,所以平移所得抛物线的解析式为y=x2+2ax+b+3b﹣3a2=x2+2ax+4b﹣3a2;(2)y=x2+2ax+b=(x+a)2+b﹣a2,其顶点坐标为(﹣a,b﹣a2),∵新抛物线的表达式过抛物线y=x2+2ax+4b﹣3a2与x轴两交点,∴可设新抛物线解析式为y=t(x2+2ax+4b﹣3a2),把(﹣a,b﹣a2)代入得b﹣a2=t(a2﹣2a2+4b﹣3a2),解得t=,所以新抛物线的表达式过抛物线y=x2+ax+b﹣a2.点评:本题考查了抛物线与x轴的交点:求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴的交点坐标,令y=0,即ax2+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.二次函数y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系:△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数;△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.19.已知抛物线C:y=ax2+bx+c(a<0)过原点,与x轴的另一个交点为B(4,0),A为抛物线C的顶点.(1)如图1,若∠AOB=60°,求抛物线C的解析式;(2)如图2,若直线OA的解析式为y=x,将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′,求抛物线C、C′的解析式;(3)在(2)的条件下,设A′为抛物线C′的顶点,求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P的坐标.考点:二次函数综合题;点的坐标;待定系数法求二次函数解析式;旋转的性质;相似三角形的判定与性质.专题:压轴题.分析:(1)先连接AB,根据A点是抛物线C的顶点,且C交x轴于O、B,得出AO=AB,再根据∠AOB=60°,得出△ABO是等边三角形,再过A作AE⊥x轴于E,在Rt△OAE中,求出OD、AE的值,即可求出顶点A的坐标,最后设抛物线C的解析式,求出a的值,从而得出抛物线C 的解析式;(2)先过A作AE⊥OB于E,根据题意得出OE=OB=2,再根据直线OA的解析式为y=x,得出AE=OE=2,求出点A的坐标,再将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c(a<0)中,求出a的值,得出抛物线C的解析式,再根据抛物线C、C′关于原点对称,从而得出抛物线C′的解析式;(3)先作A′B的垂直平分线l,分别交A′B、x轴于M、N(n,0),由(2)知,抛物线C′的顶点为A′(﹣2,﹣2),得出A′B的中点M的坐标,再作MH⊥x轴于H,得出△MHN∽△BHM,则MH2=HN•HB,求出N点的坐标,再根据直线l过点M(1,﹣1)、N(,0),得出直线l的解析式,求出x的值,再根据抛物线C上存在两点使得PB=PA',从而得出P1,P2坐标,再根据抛物线C′上也存在两点使得PB=PA',得出P3,P4的坐标,即可求出答案.解答:解:(1)连接AB.∵A点是抛物线C的顶点,且抛物线C交x轴于O、B,∴AO=AB,又∵∠AOB=60°,∴△ABO是等边三角形,过A作AD⊥x轴于D,在Rt△OAD中,∴OD=2,AD=,∴顶点A的坐标为(2,)设抛物线C的解析式为(a≠0),将O(0,0)的坐标代入,求得:a=,∴抛物线C的解析式为.(2)过A作AE⊥OB于E,∵抛物线C:y=ax2+bx+c(a<0)过原点和B(4,0),顶点为A,∴OE=OB=2,∴AE=OE=2,∴点A的坐标为(2,2),将A、B、O的坐标代入y=ax2+bx+c(a<0)中,∴a=,∴抛物线C的解析式为,又∵抛物线C、C′关于原点对称,∴抛物线C′的解析式为;(3)作A′B的垂直平分线l,分别交A′B、x轴于M、N(n,0),由前可知,抛物线C′的顶点为A′(﹣2,﹣2),故A′B的中点M的坐标为(1,﹣1).作MH⊥x轴于H,∴△MHN∽△BHM,则MH2=HN•HB,即12=(1﹣n)(4﹣1),∴,即N点的坐标为(,0).∵直线l过点M(1,﹣1)、N(,0),∴直线l的解析式为y=﹣3x+2,,解得.∴在抛物线C上存在两点使得PB=PA',其坐标分别为P1(,),P2(,);解得,.∴在抛物线C′上也存在两点使得PB=PA',其坐标分别为P3(﹣5+,17﹣3),P4(﹣5﹣,17+3).∴点P的坐标是:P1(,),P2(,),P3(﹣5+,17﹣3),P4(﹣5﹣,17+3).点评:本题是二次函数的综合,其中涉及到的知识点有旋转的性质,点的坐标,待定系数法求二次函数等知识点,难度较大,综合性较强.20.(1999•烟台)如图,已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A,B两点,交y轴于点C,且∠CBO=60°,∠CAO=45°,求抛物线的解析式和直线BC的解析式.考点:待定系数法求二次函数解析式;待定系数法求一次函数解析式.分析:根据抛物线的解析式,易求得C点的坐标,即可得到OC的长;可分别在Rt△OBC和Rt△OAC 中,通过解直角三角形求出OB、OA的长,即可得到A、B的坐标,进而可运用待定系数法求得抛物线和直线的解析式.解答:解:由题意得C(0,)在Rt△COB中,∵∠CBO=60°,∴OB=OC•cot60°=1∴B点的坐标是(1,0);(1分)在Rt△COA中,∵∠CAO=45°,∴OA=OC=∴A点坐标(,0)由抛物线过A、B两点,得解得∴抛物线解析式为y=x2﹣()x+(4分)设直线BC的解析式为y=mx+n,得n=,m=﹣∴直线BC解析式为y=﹣x+.(6分)点评:此题主要考查的是用待定系数法求一次函数及二次函数解析式的方法.21.已知:如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.(1)求此抛物线的解析式;(2)点M为抛物线上的一个动点,求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标.。

(完整版)二次函数大题(较难)

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1.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于点A和点B,其中点A的坐标为(﹣2,0),抛物线的对称轴x=1与抛物线交于点D,与直线BC交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)若点F是直线BC上方的抛物线上的一个动点,是否存在点F使四边形ABFC的面积为17,若存在,求出点F 的坐标;若不存在,请说明理由;2.已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N,点F从点M出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,连接PF,过点P作PE⊥PF交y轴于点E,设点F 运动的时间是t秒(t>0)(1)若点E在y轴的负半轴上(如图所示),求证:PE=PF;(2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b;(3)作点F关于点M的对称点F′,经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.3.如图1,已知抛物线y=3 8x2﹣34x﹣3与x轴交于A和B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C,顶点为D(1)求出点A,B,D的坐标;(2)如图1,若线段OB在x轴上移动,且点O,B移动后的对应点为O′,B′.首尾顺次连接点O′、B′、D、C 构成四边形O′B′DC,请求出四边形O′B′DC的周长最小值.(3)如图2,若点M是抛物线上一点,点N在y轴上,连接CM、MN.当△CMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,直接写出点N的坐标.4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,AB=10cm,AC∶BC=4∶3,点P从点A出发沿AB方向向点B运动,速度为1cm/s,同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动,速度为2cm/s,当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动.(1)设点P的运动时间为x(秒),△PBQ的面积为y(cm2),当△PBQ存在时,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)当x=5秒时,在直线PQ上是否存在一点M,使△BCM得周长最小,若存在,求出最小周长,若不存在,请说明理由.(3)当点Q在BC边上运动时,是否存在x,使得以△PBQ的一个顶点为圆心作圆时,另外两个顶点均在这个圆上,若存在,求出 x的值;不存在,说明理由.。

二次函数经典题型(含答案)

二次函数经典题型(含答案)

二次函数经典题型(启东教育)1.看图,解答下列问题.(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式;(2)通过配方,求该抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)用平滑曲线连结各点,画出该函数图象.2.已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2)(1)求这个函数的解析式;(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;(3)当x>0时,求使y≥2的x的取值范围.3.已知抛物线y=-x2+mx-m+2.(1)若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧,并且AB=,试求m的值;(2)设C为抛物线与y轴的交点,若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且△MNC的面积等于27,试求m的值.4.如图,已知点A(tanα,0),B(tanβ,0)在x轴正半轴上,点A在点B的左边,α、β 是以线段AB为斜边、顶点C在x轴上方的Rt△ABC的两个锐角.(1)若二次函数y=-x2-kx+(2+2k-k2)的图象经过A、B两点,求它的解析式;(2)点C在(1)中求出的二次函数的图象上吗?请说明理由.5.已知抛物线经过点.(1)求抛物线的解析式.(2)设抛物线顶点为,与轴交点为.求的值.(3)设抛物线与轴的另一个交点为,求四边形的面积.6.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A,B,C三点,当x≥0时,其图象如图所示.(1)求抛物线的解析式,写出抛物线的顶点坐标;(2)画出抛物线y=ax2+bx+c当x<0时的图象;(3)利用抛物线y=ax2+bx+c,写出x为何值时,y>0.7.已知抛物线与y轴的交点为C,顶点为M,直线CM的解析式 y=-x+2并且线段CM的长为(1)求抛物线的解析式。

(2)设抛物线与x轴有两个交点A(X1 ,0)、B(X2 ,0),且点A在B的左侧,求线段AB的长。

(3)若以AB为直径作⊙N,请你判断直线CM与⊙N的位置关系,并说明理由。

二次函数经典题型答案(启东教育)1.解:(1)由图可知A(-1,-1),B(0,-2),C(1,1)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c依题意,得解得∴y=2x2+x-2.(2)y=2x2+x-2=2(x+)2-∴顶点坐标为(-,),对称轴为x=-(3)图象略,画出正确图象2.解:(1)函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2)∴9+3b-1=2,解得b=-2 .∴函数解析式为y=x2-2x-1(2)y=x2-2x-1=(x-1)2-2 ,图象略,图象的顶点坐标为(1,-2)(3)当x=3 时,y=2,根据图象知,当x≥3时,y≥2∴当x>0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3.3.解: ()设点A(x1,0),B(x2,0) ,则x1 ,x2是方程 x2-mx+m-2=0的两根.∵x1+ x2 =m ,x1·x2 =m-2 <0 即m<2;又AB=∣x1 x2∣=,∴m2-4m+3=0 .解得:m=1或m=3(舍去) ,∴m的值为1 .()设M(a,b),则N(-a,-b) .∵M、N是抛物线上的两点,∴①+②得:-2a2-2m+4=0 .∴a2=-m+2.∴当m<2时,才存在满足条件中的两点M、N.∴.这时M、N到y轴的距离均为,又点C坐标为(0,2-m),而S△M N C = 27 ,∴2××(2-m)×=27 .∴解得m=-7 .4.解:(1)∵α,β是Rt△ABC的两个锐角,∴tanα·tanβ=1.tanα>0,tanβ>0.由题知tanα,tanβ是方程x2+kx-(2+2k-k2)=0的两个根,∴tanx·tanβ=(2=2k-k2)=k2-2k-2,∴k2-2k-2=1.解得,k=3或k=-1.而tanα+tanβ=-k>0,∴k<0.∴k=3应舍去,k=-1.故所求二次函数的解析式为y=-x2+x-1.(2)不在.过C作CD⊥AB于D.令y=0,得-x2+x-1=0,解得x1=,x2=2.∴A(,0),B(2,0),AB=.∴tanα=,tanβ=2.设CD=m.则有CD=AD·tanα=AD.∴AD=2CD.又CD=BD·tanβ=2BD,∴BD=CD.∴2m+m=.∴m=.∴AD=.∴C(,).当x=时,y=≠∴点C不在(1)中求出的二次函数的图象上.5.解:(1)解方程组得,.(2)顶点.(3)在中,令得,,令得或,.四边形(面积单位)6.解:(1)由图象,可知A(0,2),B(4,0),C(5,-3),得方程组解得∴抛物线的解析式为顶点坐标为(2)所画图如图.(3)由图象可知,当-1<x<4时,y>0.7.(1)解法一:由已知,直线CM:y=-x+2与y轴交于点C(0,2)抛物线过点C(0,2),所以c=2,抛物线的顶点M在直线CM上,所以若b=0,点C、M重合,不合题意,舍去,所以b=-2。

(专题精选)初中数学二次函数难题汇编及答案解析

(专题精选)初中数学二次函数难题汇编及答案解析

【解析】
【分析】
原抛物线顶点坐标为( 0, 0),平移后抛物线顶点坐标为( -1, 2),由此确定平移办法.
【详解】 y=x2+2x+3=( x+1) 2+2,该抛物线的顶点坐标是(
-1, 2),抛物线 y=x2 的顶点坐标是( 0,
0), 则平移的方法可以是:将抛物线
y=x2 向左平移 1 个单位长度,再向上平移 2 个单位长度.
故选: A.
【点睛】
此题考查二次函数图象与几何变换.解题关键是将抛物线的平移问题转化为顶点的平移,
寻找平移方法.
4.方程
2
x
3x
1
0 的根可视为函数
y = x+ 3的图象与函数 y
标,则方程 x 3 2x 1 0 的实根 x0 所在的范围是( )
1 的图象交点的横坐
x
1 A. 0<x 0 <
4
1
1
B. <x 0 <
对称轴 x=﹣ = 1,故 b< 0, bc< 0,即可判断一次函数 y= x+bc 的图象 .
【详解】 ① 由 x= 2 时, y= 4a+2b+c,由图象知: y= 4a+2b+c< 0,故正确; ② 方程 ax2+bx+c=0 两根分别为 1, 3,都大于 0,故正确; ③ 当 x< 2 时,由图象知: y 随 x 的增大而减小,故错误;
3
2
故选 C.
【点睛】
此题考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力.解决此类识图题,同学们要注意分析
其中的 “关键点 ”,还要善于分析各图象的变化趋势.
5.将抛物线 y x2 4x 3平移,使它平移后图象的顶点为

二次函数难题压轴题中考精选

二次函数难题压轴题中考精选

二次函数难题压轴题中考精选(含答案)第一部分:试题1.如图,二次函数c x y +-=221的图象经过点D ⎪⎭⎫ ⎝⎛-29,3,与x 轴交于A 、B 两点.⑴求c 的值;⑵如图①,设点C 为该二次函数的图象在x 轴上方的一点,直线AC 将四边形ABCD 的面积二等分,试证明线段BD 被直线AC 平分,并求此时直线AC 的函数解析式; ⑶设点P 、Q 为该二次函数的图象在x 轴上方的两个动点,试猜想:是否存在这样的点P 、Q ,使△AQP ≌△ABP ?如果存在,请举例验证你的猜想;如果不存在,请说明理由.(图②供选用)2.(2010福建福州)如图,在△ABC 中,∠C =45°,BC =10,高AD =8,矩形EFPQ 的一边QP 在BC 边上,E 、F 两点分别在AB 、AC 上,AD 交EF 于点H . (1)求证:AH AD =EFBC;(2)设EF =x ,当x 为何值时,矩形EFPQ 的面积最大?并求其最大值;(3)当矩形EFPQ 的面积最大时,该矩形EFPQ 以每秒1个单位的速度沿射线QC 匀速运动(当点Q 与点C 重合时停止运动),设运动时间为t 秒,矩形EFFQ 与△ABC 重叠部分的面积为S ,求S 与t 的函数关系式.3.(2010福建福州)如图1,在平面直角坐标系中,点B 在直线y =2x 上,过点B 作x 轴的垂线,垂足为A ,OA =5.若抛物线y =16x 2+bx +c 过O 、A 两点.(1)求该抛物线的解析式;(2)若A 点关于直线y =2x 的对称点为C ,判断点C 是否在该抛物线上,并说明理由; (3)如图2,在(2)的条件下,⊙O 1是以BC 为直径的圆.过原点O 作⊙O 1的切线OP ,P 为切点(点P 与点C 不重合).抛物线上是否存在点Q ,使得以PQ 为直径的圆与⊙O 1相切?若存在,求出点Q 的横坐标;若不存在,请说明理由4.(2010江苏无锡)如图,矩形ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别为(-4,0)和(2,0),BC =23.设直线AC 与直线x =4交于点E .(1)求以直线x =4为对称轴,且过C 与原点O 的抛物线的函数关系式,并说明此抛物线一定过点E ;(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为N ,M 是该抛物线上位于C 、N 之间的一动点,求△CMN 面积的最大值.x=4xyEDCBA O(第2题)(图1) (图2)5.(2010湖南邵阳)如图,抛物线y =2134x x -++与x 轴交于点A 、B ,与y 轴相交于点C ,顶点为点D ,对称轴l 与直线BC 相交于点E ,与x 轴交于点F 。

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二次函数经典难题(含精解)
一.选择题(共1小题)
1.顶点为P的抛物线y=x2﹣2x+3与y轴相交于点A,在顶点不变的情况下,把该抛物线绕顶点P旋转180°得到一个新的抛物线,且新的抛物线与y轴相交于点B,则△PAB的面积为()
A.1B.2C.3D.6
二.填空题(共12小题)
2.作抛物线C1关于x轴对称的抛物线C2,将抛物线C2向左平移2个单位,向上平移1个单位,得到的抛物线C的函数解析式是y=2(x+1)2﹣1,则抛物线C1所对应的函数解析式是_________.
3.抛物线关于原点对称的抛物线解析式为_________.
4.将抛物线y=x2+1的图象绕原点O旋转180°,则旋转后的抛物线解析式是_________.
5.如图,正方形ABCD的顶点A、B与正方形EFGH的顶点G、H同在一段抛物线上,且抛物线的顶点在CD上,若正方形ABCD边长为10,则正方形EFGH的边长为
_________.
6.如果一条抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”.在抛物线y=ax2+bx+c中,系数a、b、c为绝对值不大于1的整数,则该抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形的概率为_________.
7.抛物线y=ax2+bx+c经过直角△ABC的顶点A(﹣1,0),B(4,0),直角顶点C在y
轴上,若抛物线的顶点在△ABC的内部(不包括边界),则a的范围是_________.
8.已知抛物线y=x2﹣6x+a的顶点在x轴上,则a=_________;若抛物线与x轴有两个交点,则a的范围是_________.
9.抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线y=2上,则a=_________.
10.若抛物线y=x2﹣2x+a2的顶点在直线x=2上,则a的值是_________.
11.若抛物线的顶点在x轴上方,则m的值是_________.
12.如图,二次函数y=ax2+c图象的顶点为B,若以OB为对角线的正方形ABCO的另两个顶点A、C也在该抛物线上,则a•c的值是_________.
13.抛物线y=ax2+bx﹣1经过点(2,5),则代数式6a+3b+1的值为_________.
三.解答题(共17小题)
14.已知抛物线C1的解析式是y=2x2﹣4x+5,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,求抛物线C2的解析式.
15.将抛物线C1:y=(x+1)2﹣2绕点P(t,2)旋转180゜得到抛物线C2,若抛物线C1的顶点在抛物线C2上,同时抛物线C2的顶点在抛物线C1上,求抛物线C2的解析式.
16.如图,抛物线y1=﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2,回答下列问题:
(1)抛物线y2的顶点坐标_________;
(2)阴影部分的面积S=_________;
(3)若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3,求抛物线y3的解析式.
17.已知抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0),它的顶点P的坐标是
,与y轴的交点是M(0,c).我们称以M为顶点,对称轴是y轴且过点P的抛物线为抛物线L的伴随抛物线,直线PM为L的伴随直线.
(1)请直接写出抛物线y=2x2﹣4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式:
伴随抛物线的解析式_________,伴随直线的解析式_________;
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=﹣x2﹣3和y=﹣x﹣3,则这条抛物线的解析式是_________;
(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0)的伴随抛物线和伴随直线的解析式;
(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,x2>x1>0,它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点,且AB=CD.请求出a、b、c应满足的条件.
18.设抛物线y=x2+2ax+b与x轴有两个不同的交点
(1)将抛物线沿y轴平移,使所得抛物线在x轴上截得的线段的长是原来的2倍,求平移所得抛物线的解析式;
(2)通过(1)中所得抛物线与x轴的两个交点及原抛物线的顶点作一条新的抛物线,求新抛物线的表达式.
19.已知抛物线C:y=ax2+bx+c(a<0)过原点,与x轴的另一个交点为B(4,0),A为抛物线C的顶点.
(1)如图1,若∠AOB=60°,求抛物线C的解析式;
(2)如图2,若直线OA的解析式为y=x,将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线C′,求抛物线C、C′的解析式;
(3)在(2)的条件下,设A′为抛物线C′的顶点,求抛物线C或C′上使得PB=PA′的点P
的坐标.
20.如图,已知抛物线y=ax2+bx+交x轴正半轴于A,B两点,交y轴于点C,且∠CBO=60°,∠CAO=45°,求抛物线的解析式和直线BC的解析式.
21.已知:如图,抛物线y=﹣x2+bx+c经过直线y=﹣x+3与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点M为抛物线上的一个动点,求使得△ABM的面积与△ABD的面积相等的点M的坐标.
22.已知抛物线的顶点为P,与x轴正半轴交于点B,抛物线C2
与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式.
23.如图,抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与x 轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC:S△ACD=5:4的点P的坐标.
24.已知一抛物线经过O(0,0),B(1,1)两点,且解析式的二次项系数为﹣(a>0).
(Ⅰ)当a=1时,求该抛物线的解析式,并用配方法求出该抛物线的顶点坐标;
(Ⅱ)已知点A(0,1),若抛物线与射线AB相交于点M,与x轴相交于点N(异于原点),当a在什么范围内取值时,ON+BM的值为常数?当a在什么范围内取值时,ON﹣BM的值为常数?
(Ⅲ)若点P(t,t)在抛物线上,则称点P为抛物线的不动点.将这条抛物线进行平移,使其只有一个不动点,此时抛物线的顶点是否在直线y=x﹣上,请说明理由.
25.如图,已知抛物线C1:y=a(x+2)2﹣5的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A 在点B的左侧),点B的横坐标是1;
(1)求a的值;
(2)如图,抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,抛物线C3的顶点为M,当点P、M关于点O成中心对称时,求抛物线C3的解析式.
26.如图,抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3,0),B(﹣1,0)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为M,直线y=﹣2x+9与y轴交于点C,与直线OM交于点D.现将抛物线平移,保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)只有一个公共点,求它的顶点横坐标的值或取值范围.
27.如图,抛物线y=a(x+1)2的顶点为A,与y轴的负半轴交于点B,且OB=OA.(1)求抛物线的解析式;
(2)若点C(﹣3,b)在该抛物线上,求S△ABC的值.
28.如图,抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l:y=x﹣5上.
(1)求抛物线顶点A的坐标及c的值;
(2)设抛物线与y轴交于点B,与x轴交于点C、D(C点在D点的左侧),试判断△ABD 的形状.
29.如果抛物线m的顶点在抛物线n上,同时抛物线n的顶点在抛物线m上,那么我们就称抛物线m与n为交融抛物线.
(1)已知抛物线a:y=x2﹣2x+1.判断下列抛物线b:y=x2﹣2x+2,c:y=﹣x2+4x﹣3与已知抛物线a是否为交融抛物线?并说明理由;
(2)在直线y=2上有一动点P(t,2),将抛物线a:y=x2﹣2x+1绕点P(t,2)旋转180°得到抛物线l,若抛物线a与l为交融抛物线,求抛物线l的解析式;
(3)M为抛物线a;y=x2﹣2x+1的顶点,Q为抛物线a的交融抛物线的顶点,是否存在以MQ为斜边的等腰直角三角形MQS,使其直角顶点S在y轴上?若存在,求出点S的坐标;若不存在,请说明理由;
(4)通过以上问题的探究解决,相信你对交融抛物线的概念及性质有了一定的认识,请你提出一个有关交融抛物线的问题.
30.如图1所示,已知直线y=kx+m与x轴、y轴分别交于点A、C两点,抛物线y=﹣x2+bx+c
经过A、C两点,点B是抛物线与x轴的另一个交点,当x=﹣时,y取最大值.
(1)求抛物线和直线的解析式;
(2)设点P是直线AC上一点,且S△ABP:S△BPC=1:3,求点P的坐标;
(3)直线y=x+a与(1)中所求的抛物线交于点M、N,两点,问:
①是否存在a的值,使得∠MON=90°?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.
②猜想当∠MON>90°时,a的取值范围.(不写过程,直接写结论)
(参考公式:在平面直角坐标系中,若M(x1,y1),N(x2,y2),则M、N两点之间的距离为|MN|=)。

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