必修五不等式专题复习

《不等式》专题复习

知识回顾

一.不等式的主要性质:

(1)对称性：

(2)传递性：

(同向可加)

(3)加法法则：

(4)乘法法则：

(同向同正可乘)

(5)倒数法则:

(6)乘方法则:

(7)开方法则：

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：

作差法(作差一一变形一一判断符号一一结论)

3、应用不等式性质证明不等式

二.解不等式

1.一元二次不等式乩/ + bx + c > O或mF + bx + c < θ(a ≠ 0)的解集:

2、简单的一元髙次不等式的解法：(穿根法)其步骤是：

(1)分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；

(2)将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶不过；

(3 )根据曲线显现/(x)的符号变化规律，写出不等式的解集。

女Ih (X + IXX — 1)~ (X 一2)3 < O

1是偶重根

3、分式不等式的解法(转化为常规不等式)

供 > O O ∕ω,ω >0；孕≥ 0 O 贈（：）"0

g（χ）g（χ）Ig（X）HO

注意：右边不是零时，先移项再通分，化为上两种情况再处理

4、不等式的恒成立问题：

应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题

若不等式f（x）> A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上/（x）ιnin>A 若不等式f3

三、线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：定点法

3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件②线性目标函数

③线性规划问题④可行解.可行域和最优解：

4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）依据线性目标函数作参照直线^y=O9在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解

四.均值不等式

1.若7方∈R,则孑+厅$2动，当且仅当应时取等号.

2.如果⑦方是正数，那么—≥√^（当且仅% = b时取”=”号）.

2

变形：① a+b^ 2y[αb J

②动Wl罗！，当且仅当包时取等号.

注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”.

（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

3.常用不等式有：

（1）卩尹n呼n皿n~f2τ（根据目标不等式左右的运算结构选用）；

7i +b

（2）爪b、c∈R, Cr -^-b2 +c2≥αb +be + cα（当且仅当α=Z? = C时，取等号）；

（3）若α>b>O,加>0,则？<口（糖水的浓度问题）。

a a + m

典例剖析

题型一：不等式的性质

1.对于实数a,b,c 中，给出下列命题：

• ••

①若G > h y 则GC ' > bc 1 ； ②若cu" > bc 2,则G > b ；

题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式） 2. 设α>2, P = G + —1—, q = 2~t,'+4t,~2,试比较 p,q 的大小

a-2 3. 比较 1+1Og r 3 与 21OgX 2（x > OfiX ≠ 1）的大小

4. 若 α > b > 1,P = Jlga. IgAQ =丄（Igd + lgb ）,R =以上竿）,则 PQR 的大小关

2 2 系是 •

题型三：解不等式

5. 解不等式 2X 2 + 7X +4>0 4X 2-47+1>0

6. 解不等式 CV-I)(X+ 2)2

≥0o

1 y=3*+丄 (2) 7=-Y +-

③ 若 U ab > b"； ⑤ 若d —; a b

⑦若 C > a>b>0,贝 IJ " > —

^―

④ ⅛α

⑥若 QVbv 0, MlJPl >

|/?| ；

则 a >0.b<0 o

7•解不等式；⅛Γ-

8.不等式ax1 2 +/?x + 12 > O 的解集为{x[T

9.关于X的不等式ax-b> O的解集为(I,+"),则关于X的不等式竺竺>0的解

x-2 集为_____

10.解关于X的不等式ax2-(Λ +1)X+1<0

题型四：恒成立问题

11.关于X的不等式3Λ2+aA÷l>0恒成立，则a的取值范围是_________________

12.若不等式x2-2nιx + 2m + ∖> O对0 ≤^≤1的所有实数X都成立，求加的取

值范围.

1 9

13.已知x>0,y >0且丄+- = 1,求使不等式x + y≥∕π恒成立的实数加的取值范

Λ∙ y

围。

三•基本不等式

题型五：求最值

2x X

14.(直接用注正数)求下列函数的值域

15.（配凑项）

（I）已知Y'求函数7-2 +召的最大值。

(2)当O <4 ⅛,求y = Ar(8-2x)的最大值。

16.求y = λ-^λ ~ 1(-(x > -1)的值域。

x + 1

注意：在应用均值不等式求最值时，若等号取不到，应结合函数f（x） = x + -的

X 单调性。

Y* + 5

17.求函数y = 4=的值域。

√X2+4

18.（条件不等式）

（1）若实数满足α + b = 2,则3fl+3i的最小值是__________ .

1 9

（2）已知x>O,y>O,且一+ —= 1,求x+y的最小值。

X y 3

3 已知池y为正实数，且=1,求A√TTF的最大值.