25.物体的动态平衡问题解题技巧

物体的动态平衡问题解题技巧
湖北省恩施高中 陈恩谱
—、总论
1、 动态平衡问题的产生 ——三个平衡力中一个力已知恒定，另外两个力的大小或者方向不断变化，
但物体仍然平衡，典型关键词
一一缓慢转动、缓慢移动 ……
2、 动态平衡问题的解法一一解析法、图解法
解析法一一画好受力分析图后，正交分解或者斜交分解列平衡方程，将待求力写成三角函数形式，然 后由角度变化分析判断力的变化规律；
图解法一一画好受力分析图后，将三个力按顺序首尾相接形成力的闭合三角形，然后根据不同类型的 不同作图方法，作出相应的动态三角形，从动态三角形边长变化规律看出力的变化规律。

3、 动态平衡问题的分类一一动态三角形、相似三角形、圆与三角形（ 2类）、其他特殊类型
二、例析
1、第一类型：一个力大小方向均确定，一个力方向确定大小不确定，另一个力大小方向均不确定 一- 动态三角形
【例1】如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间。

设墙面对球的压力大小为
F NI ，球对木板的压力
大小为F N2。

以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置。

不 计摩擦，在此过程中
A . F NI 始终减小，F N 2始终增大
B . F NI 始终减小，F N 2始终减小
C . F NI 先增大后减小，F N 2始终减小
D . F NI 先增大后减小，F N 2先减小后增大
解法一：解析法一一画受力分析图，正交分解列方程，解出 F NI 、F N 2随夹角变化的函数，然后
由函数 讨论；
小。

选B 。

解法二： 图解法一一画受力分析图，构建初始力的三角形，然后
抓住不变，讨论变化 ”不变的是小
球重力和F NI 的方向，然后按 F N 2方向变化规律转动 F N 2，即可看出结果。

【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形 mg
成如右图所示闭合三角形，其中重力
mg 保持不变，F NI 的方向始终水平向右，
而F N2的方向逐渐变得竖直。

则由右图可知F NI 、F N 2都一直在减小。

【解析】小球受力如图，由平衡条件，有
F N2sin v - mg = 0
F N 2 cos r - F NI = 0 联立，解得：F N2 -
mg
mg
木板在顺时针放平过程中,
0角一直在增大，可知 F NI 、F N 2都一直在减
先减小后增大。

选 A 。

解法二：图解法——可将弹力和滑动摩擦力合成为一个力，这个力的方 向是确定的，然后按 动态三角形法”的思路分析。

【解析】小球受力如图，将支持力F N 和滑动摩擦力F f 合成为一个力F 合, 由 F f 二 J F N
可知，tan ：二 J
°
由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三
角形，其中重力 mg 保持不变，F 合的方向始终与竖直方向成 B 角。

则由右图可知，当 B 从0逐渐增大到90°的过程中，F 先减小后增大。

2、第二类型：一个力大小方向均确定，另外两个力大小方向均不确定，但是三个力均与一个几何三 角形的三边平行一一相似三
角形
【例2】半径为R 的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的小 滑轮，滑轮到球面 B 的距离为h ，轻绳的一端系
一小球，靠放在半球上的
A 点,
另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图所示，现缓慢地拉绳，在使小 球由A 到B 的过程中，半球对小球的支持力 F N 和绳对小球的拉力 F T 的大小变化
的情况是
A 、F N 变大，F T 变小
B 、F N 变小，F T 变大
C 、F N 变小，F T 先变小后变大
D 、F N 不变，F T 变小
解法一：解析法（略）
解法二：图解法一一画受力分析图，构建初始力的三角形，然后观察这个 力的三角形，发现这个力的三角形与某个几何三角形相似，可知两个三角形对
（X 。

v 1）。

现对木箱施加一拉力
F ,
使木相做匀速直线运动。

设 F 的方向与水平地面的夹角为
中，木箱的速度保持不变，
则
A . F 先减小后增大
B . F 一直增大
C . F 一直减小
D . F 先增大后减小
解法一：解析法一一
画受力分析图，
止父分解列方程,
如图所示，在 B 从0逐渐增大到90°的过程
解出F 随夹角B 变化的函数，然后由函数讨论;
F N F sin v -mg =0
其中
F f 二丁“
联立，解得:
J
mg
F =
cos 日 + 4 sin 日
J mg - 1 F ，其中 tan -<
耳1 + A 2 cos （日 _a ） 卩 1
当日=a =arctan ^时，F 最小，贝U B 从0逐渐增大到90。

的过程中,
由数学知识可知 A3
卜”
F f
【拓展】水平地面上有一木箱，木箱与地面间的动摩擦因数为
【解析】木箱受力如图，由平衡条件，有
F 合
O '
应边长比边长，三边比值相等，再看几何三角形边长变化规律，即可得到力的大小变化规律。

【解析】小球受力如图，由平衡条件可知，将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。

很容易发现，这三个力与.AO0 •的三边始终平行，即力的三角形与似。

则有。

其中，mg、R、h均不变，L逐渐减小，则由上式可知，F N 不变，
F T变小。

3、第三类型：一个力大小方向均确定，一个力大小确定但方向不确定，另一个力大小方向均不确定
――圆与三角形
【例3】在共点力的合成实验中，如图，用A，B两只弹簧秤把橡皮条上的节点拉到某一位置0,这时两绳套AO , B0的夹角小于90°现在保持弹簧秤A的示数不变而改变其拉力方向使a角变小，那么要使结点仍在位置0,就应该调整弹簧秤B的拉力的大小及B角，则下列调整方法中可行的是
A、增大B的拉力，增大B角
B、增大B的拉力，B角不变
C、增大B的拉力，减小B角
D、B的拉力大小不变，增大B角
解法一：解析法（略）
解法二：图解法一一画受力分析图，构建初始力的三角形，然后抓住不变，讨
论变化”一一呆持长度不变F A将F A绕橡皮条拉力F端点转动形成一个圆弧，F B的一个端点不动，另一个端
点在圆弧上滑动，即可看出结果。

【解析】如右图，由于两绳套A0、
F
B0的夹角小于90 °在力的三角形中，F A、
F B的顶角为钝角，当顺时针转动时，F A 、
F B的顶角逐渐减小为直角然后为锐角。

由图可知，这个过程中F B—直增大，但B角先减小，再增大。

故选ABC。

4、第四类型：一个力大小方向均确定，另两个力大小方向均不确定，但是另两个力的方向夹角保持
不变一一圆与三角形（正弦定理）
【例4】如图所示装置，若把整个装置顺时针缓慢转过力F T2的大小变化情况是
A、F TI先变小后变大
C、F T2一直变小两根细绳拴住一球，保持两细绳间的夹角0=120。

不变, 90°则在转动过程中，CA绳的拉力F T1, CB绳的拉
B、F TI先变大后变小
D、F T2最终变为零
解法一：解析法1 ――让整个装置顺时针转过一个角度a画受力分析图，水平竖直分解，由平衡条件列方程，解出F TI、F T2随a变化的关系式，然后根据的变化求解。

【解析】整个装置顺时针转过一个角度后，小球受力如图所示，设竖直方向夹角为a,则由平衡条件，有
F T1 cos ： F T2 cos（v _ -■） -mg 二0 AC绳与
几何三角形：A0^相
v mg
F T1 sin 匚-F T2 sin （ v 「）=0
联立，解得
sin
sin v
a 从90。

逐渐减小为0 °则由上式可知：F TI 先变大后变小，F T 2 —直变小。

解法二：解析法2——画受力分析图，构建初始力的三角形，在这个三角形中，小球重力不变，
F
F T 2的夹角（180 °- 9保持不变，设另外两个夹角分别为
a 、写出这个三角形的正弦定理方程，即可根据
B 的变化规律得到 F TI 、F T 2的变化规律。

90°过程的中B 角和mg 保持不变，a 角从30°增大,
B 角从90。

减小，易知F TI 先变大后变小，F T 2 —直变小。

解法三：图解法——画受力分析图，构建初始力的三角形，由于这个三角形中重力不变，另两个力的 夹角（180 - 9保持不变，这类似于圆周角与对应弦长的关系，因此，作初始三角形的 外接圆（任意两边的中垂线交点即外接圆圆心）
，然后让另两个力的交点在圆周上按
F TI 、F T 2的方向变化规律滑动，即可看出结果。

【解析】如右图，力的三角形的外接圆正好是以初态时的
F T2为直径的圆周，易
知F TI 先变大到最大为圆周直径，然后变小， F T 2 —直变小。

答案为：BCD
5、其他类型
【例5】如图所示•用钢筋弯成的支架，水平虚线
MN 的上端是半圆形，MN
的下端笔直竖立•一不可伸长的轻绳通过动滑轮悬挂一重物
G •现将轻绳的一端
固定于支架上的 A 点，另一端从 C 点处沿支架缓慢地向最高点 B 靠近（C 点与A 点等高），则绳中拉力
A .先变大后不变
B .先不变后变大
C .先不变后变小
D .保持不变
解法一：解析法一一分两个阶段画受力分析图， 绳端在CN 段、NB 段，在CN 段，正交分解列方程易算得左右两侧绳与水平方向夹角相同，再由几何关系易知 这个夹角保持不变，则易看出结果；在NB 段，左右两侧绳与水平方向夹角也相同， 但这个夹角逐渐
增大，由方程易看出结果。

（解析略）
画滑轮受力分析图，构建力的三角形，如前所述分析夹角变化规律，可知这是 个等腰三角形，其中竖直向下的拉力大小恒定，则易由图看出力的 变化规律。

【解析】如右图，滑轮受力如图所示，将三个力按顺序首尾相 接，形成一个等
腰三角形。

mg si n （日—ot ）
mg si n ot F T1
, F T2
（X 、 （X 、 【解析】如图，由正弦定理有
mg sin （ n-对
整个装置顺时针缓慢转动
解法二：图解法 F T =G&
T1
、
F TI
N
C
F 1
F 2
F T =G
F 1
由实际过程可知，这个力的三角形的顶角先保持不变，然后增大，则绳中张力先保持不变，后逐渐减
小。

选C。

、练习
1、如图1所示，一光滑水球静置在光滑半球面上，被竖直放置的光滑挡板挡住，现水平向右缓慢地
移动挡板，则在小球运动的过程中（该过程小球未脱离球面且球面始终静止），挡板对小球的推力F、半球面对小球的支持力F N的变化情况是（）
A . F增大，F N减小C . F减小，F N减小
B. F增大，F N增大D .
F减小，F N增大
N
将三个力按顺序首尾相接，可形成如上图所示闭合三角形,
其中重力mg保持不变，F的方向始终水平向左，而F N的方向逐渐变得水平。

则由上图可知F、F N都一直在增大。

故B正确
2、如图2所示是一个简易起吊设施的示意图，
滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。

现施加一拉力A . BC绳中的拉力F T越来越大
C . AC杆中的支撑力F N越来越大AC是质量不计的撑杆，A端与竖直墙用铰链连接，一F缓慢将重物P向上拉，在AC杆达到竖直前（）B. BC绳中的拉力F T 越来越小
D . AC杆中的支撑力F N越来越小
【解析】
F N 将三个力按顺序首尾相接，可形成如右图所示闭合三角形。

很
容易发现，这三个力与ABC的三边始终平行，即力的三角形与几何三角形ABC相似。

则有。

2=丘=旦
AB AC BC
其中，G、AC、AB均不变，BC逐渐减小，则由上式可知，F N不变，F T变小。

B正确
3、质量为M、倾角为B的斜面体在水平地面上，质量为m的小木块（可视为质点）放在斜面上, 现用一平行于斜面的、大小恒定的拉力F作用于小木块，拉力在斜面所在的平面内绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和木块始终保持静止状态，下列说法中正确的是（）
A.小木块受到斜面的最大摩擦力为JF2+（mgs in巧2zk
B .小木块受到斜面的最大摩擦力为 F-mgsin 0
C .斜面体受到地面的最大摩擦力为 F
D .斜面体受到地面的最大摩擦力为
Fcos 0
| /
巒
「/F © yi
/
乎亠
L _____ n 0. /
【解析】对小木块受力分析可得斜面上的受力如图所示，由于小木块始终静止则重力沿斜面向下的
分量mgs in 0始终不变，其与F 和F f 构成一个封闭的三角形，
当F 方向变化时可知当 F 与mgs in 0方向相反
时F f 最大，其值为F+mgsin 0对于C , D 选项一斜面和小木块为整体进行研究，当力 F 水平向左时摩擦
力最大值为F 。

故C 正确。

4、如图所示，圆弧形货架摆着四个完全相同的光滑小球,
【解析】座椅受力如图所示，将三个力按顺序首尾相接，形成一个封闭的三角形如图。

两根支架向内
发生了稍小倾斜，则这个力的三角形的顶角变小，
从图中可以得到则绳中张力 F 1逐渐减小，由于座椅仍静
止所受合力
F 始终为零。

选
A 。

6、如图所示，在倾角为0的固定粗糙斜面上， 一个质量为m 的物体被水平力F 推 着静止于斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为
卩，且卩＜ tan 0,求力F 的取值范
【解析】小球受力分析如图所示，其中小球重力相同,
F NI 方向始终指向圆心，F N 2方向始终垂直于
F N1,这三个力构成一个封闭的三角形如乙图所示，
从a 位置到d 位置F NI 与竖直方向夹角在变小，
做出里
的动态三角形，易得 a 球对圆弧面的压力最小。

A 正确。

5、目前，我市每个社区均已配备了公共体育健身器材.如图所示器材为一秋千，用两根等长轻绳将一座 椅悬挂在竖直支
架上等高的两点•由于长期使用，导致两根支架向内发生了稍小倾斜，如图中虚线所示, 但两悬挂点仍等高.座椅静止时用 相比（）
A . F 不变，F i 变小
F 表示所受合力的大小，F 1表示单根轻绳对座椅拉力的大小，与倾斜前 B . F 不变，F 1变大 C . F 变小，F 1变小
D . F 变大，F 1变大
O 为圆心•对圆弧面的压力最小的是
F NI
围。

【解析】物体受力如图所示，将静摩擦力
力F N 合成为一个力F 合，贝U F 合的方向允许在F N 两侧 最大偏角为a 的范围内，其中tan:- - 。

将这三个力 按顺序首尾相
接，形成如图所示三角形， 图中虚线即为
F 合的方向允许的变化范围。

由图可知：
mg tan （ J -：）乞 F 空 mg tan
sin 日 + A cosO < F mg
COS T + Asin 日
将三个力按顺序首尾相接，与三者的合力形成如图所示四边形，其中
当F 取不同方向时，F 的大小也不同，当 F 与F 合垂直时，F 取最小值。

向下的分力mgsin30的合力即向心力 ma 。

将这两个力按顺序首尾相接，
与它们的合力 ma 形成闭合三角形,
其中mgs in 30保持不变、ma 大小不变，静摩擦力 F f -，mgcos30。

F f 和弹
即:
sin v -」cos j
mg
COST -'sin J
7、如图所示，在倾角为
速直线运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数为 应的方
向。

0的固定粗糙斜面上，一个质量为
仏为使物体加速度大小为
m 的物体在拉力 F 的作用下沿斜面向上做匀加
a ,试求力F 的最小值及其对
【解析】物体受力如图,
F N mg
mg 、ma 不变，F 合的方向不变。

由几何关系，得：F min = mg sin （二 1
V ） maco^ ,解得：F mi
min
8、如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止。

最大
静摩擦力等于滑动摩擦力
3的最大值是
A . .5 rad/s C . 1.0 rad/s
mg （」cos sin 旳 ma
物体与盘面间的动摩擦因数为
），盘面与水平面的夹角为 30° g 取10 m/s 2。

则
J 」2
3转动，盘面上离转轴距离
2.5
宁（设
B . .3 rad/s D . 5 rad/s
【解析】垂直圆盘向下看，物体受力如图所示，静摩擦力
F f 和重力沿圆盘
F 合
F
将支持力F N 和滑动摩擦力
N
F fm 二mg sin 30 m 2
由图易知，当小物体转到最低点时，静摩擦最大，为
，乞1.0rad/s。

故选C。