4.2 平均数的假设检验
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1 2
u > 2.58，P < 0.01
（4）推断 在0.01显著水平上，否定H0，接受HA；
两个橡胶品种的割胶产量存在极显著的差别，“4267XRRIM603” 割胶产量极显著高于“42-67XPB86”。
2、两个总体方差σ12 和σ22未知，但可假定σ12＝ σ22，且两 个样本都是小样本，即n1<30且n2<30时，用t检验法。
认为该次抽样所测结果与多年平均值无显著差别， 属于随机误差。
二、两个样本平均数 的假设检验
适用范围：检验两个样本平均数x1和x2所
属的总体平均数1和2是否来自同一总体。
样本1 X1
总体1 μ1 总体2 μ2
1、提出假设
样本2 X2 无效假设H0: μ1=μ2 ，两个平均数的差值 机误差所引起的；
割胶，平均产量分别为95.4ml/株和77.6ml／株，割胶产量的
方差分别为936.36（ml/株）2和800.89（ml/株） 2 试检验两个橡胶品种在割胶产量上是否有显著差别。
分 析
（１）这是两个样本（成组数据）平均数比较的假设检
验，σ 12和σ 22未知, n1>30且n2>30 ，用u检验。
（2）水平
HA: σ12 ≠ σ22
选取显著水平α＝0.05
（3）检验
s12 451 .97 F 2 1.063 s2 425 .33
F0.05(11,6) 4.03
（4）推断
F F0.05
两样本方差相等。
（１）假设
H0:μ1＝ μ2，即认为两种饲料饲养的大白鼠增 重无差异。 HA: μ1 ≠ μ2
30.2mm，标准差为2.5mm，
问该棉花品种的纤维长度是否符合纺织品的生产要求？
分 析
（１）这是一个样本平均数的假设检验，因总体σ2未知， n=400 > 30，可用s2代替σ2进行u检验； （２）棉花纤维只有>30mm才符合纺织品的生产要求，因 此进行单尾检验。
（１）假设
H0:μ≤ μ0=30(cm)， HA:μ>μ0
x1 x是随 2
备择假设HA: μ1=μ2 ，两个平均数的差值 x1 x2 除随 机误差外 还包含其真实的差异，即由处理引起的；
2、确定显著水平：0.05或0.01 3、检验统计量
两个样本平均数的差数 x1 x2
(1)样本平均数差数的平均数 = 总体平均数的差数.
x x x x 1 2
Aspin-Welch检验法。
x1 x 2 t sx x
1 2
sx
1 x2
s s n1 n2
df
2 2 ( s x1 s x2 ) 2 2 ( s x1 ) 2 2 ( s x2 ) 2
2 1
2 2
2 2 s x1 s x2
n1 1
பைடு நூலகம்
n2 1
例： 测定东方红3号的蛋白质含量（％）10次，x1=14.3，s12=1.621
即该棉花品种纤维长度达不到纺织品生产的要求。
（2）水平 （3）检验
选取显著水平α＝0.05
sx s 2.5 0.125 n 400
u x 30 .2 30 .0 1.6 sx 0.125
u <1.645，P> 0.05 （4）推断 接受H0，否定HA；
认为该棉花品种纤维长度不符合纺织品生产的要求。
1 1 ( ) n1 n2
2
n1=n2=n
2 x1 x2
2 1
2 2
n
2 n
2
σ12=σ22=σ n1=n2=n
2 x1 x2
当σ
1
2
和σ 22已知
u
( x1 x2 ) ( 1 2 )
x x
1
2
H0：μ1=μ2=μ时
N (0,1)
u
x1 x2
HA: μ≠ μ0
（2）水平
（3）检验
选取显著水平α＝0.05
x
x
n
4.421
s
x
2
( x ) 2 n 0.267
n 1
sx
s 0.084 n
t n 1
x1 0.94 sx
t 0.05(9) =2.262 （4）推断
P>0.05
在0.05显著水平上，接受H0，否定HA；
x x
1
2
当σ
1
2
和σ 22未知，两样本都为大样本时
( x1 x2 ) ( 1 2 ) u sx x 1 2 s x1 x
2
s s n1 n2
2 1
2 2
H0： μ1=μ2=μ时
N (0,1)
x1 x2 u s x1 x
2
当σ
1
2
和σ 22未知，两样本都为小样本时
试检验该次抽样测定的水中含氧量与多年平均值有无显著差别。
分 析
（１）这是一个样本平均数的假设检验，因总体σ2未知， n=10 < 30，可用s2代替σ2进行 t 检验； （２）该次测定的水中含氧量可能>或<多年平均值，用双 尾检验。
（１）假设 H0:μ＝ μ0=4.5(mg/L)，即认为该次测定与多年平均 值没有显著差别。
1 2
x1 x2 t 1.916 sx x
1 2
df=(n1-1)+(n2-1)=17 t 0.05(17) =2.110 P>0.05
（4）推断 在0.05显著水平上，接受H0，否定HA；
认为两种饲料饲养大白鼠的增重无显著差别，属于 随机误差。
3 σ12≠σ22，n1 ≠ n2，采用近似地t检验，即
（１）假设
H0:μ=μ0=7.25(cm)， HA:μ≠μ0
即新育苗方法与常规方法所育鱼苗一月龄体长相同；
（2）水平 （3）检验
选取显著水平α＝0.05
x
1.58 0.158 n 100
u
x
x
7.65 7.25 2.532 0.158
u >1.96，P<0.05 （4）推断 否定H0，接受HA；
1 2 1 2
(2)样本平均数差数的方差 = 两样本平均数方差之和.
2 x1 x2
2 1
n1
2 2
n2
2 x1
2 x2
x x
1 2
2 1
2 2
n1
n2
样本平均数差数的标准误
2 x1 x2
2 1
n1
2 2
n2
σ12=σ22=σ
2 x1 x2
例：用高蛋白和低蛋白两种饲料饲养一月龄大白鼠，在三个 月时，测定两组大白鼠的增重(g)
高蛋白组：134,146,106,119,124,161,107,83,113,129,97,123
低蛋白组：70,118,101,85,107,132,94
试问两种饲料饲养的大白鼠增重量是否有差别？ 分 析
（１）这是两个样本平均数的检验，σ 且为小样本，用t检验。
F F0.05
x
1 x2
1 1 0.598 n1 n2
u
x1 x2
x
1 x2
69 .5 70 .3 1.338 0.598
u < 1.96，P > 0.05
（4）推断 在0.05显著水平上，接受H0，否定HA； 认为两种方法所得黑麦从播种到开花天数没有显著 差别。
例：为了比较“42-67XRRIM603”和“42-67XPB86”两个橡 胶品种的割胶产量，两品种分别随机抽样55株和107株进行
接受H0否定HA
或
否定H0接受HA
成组数据平均数的比较
试 验 设 计
成对数据平均数的比较
成组数据平均数的比较
如果两个样本的各个变量是从各自总体中随机
抽取的，两个样本之间的变量没有任何关联，即两
个抽样样本彼此独立，则不论两样本的容量是否相
同，所得数据皆为成组数据。两组数据以组平均数 作为相互比较的标准，来检验其差异的显著性。 根据两样本所属的总体方差是否已知和样本大 小不同而采用不同的检验方法。
2和σ 2未知， 1 2
（２）事先不知两种饲料饲养大白鼠增重量孰高孰低， 用双尾检验。
2 2 x1 120 .17 ( g ) s1 451 .97( g ) 2 2 x2 101 .00( g ) s2 425 .33( g )
n1 12 n2 7
（１）假设 H0:σ12=σ22=σ2
（2）水平
选取显著水平α＝0.05
（3）检验
s (n1 1) s (n2 1) s 442 .568 (n1 1) (n2 1)
2 e 2 1 2 2
sx
1 x2
2 2 se se 10 .005 n1 n2
x1 x2 t 1.916 sx x
一、一个样本平均数 的假设检验
适用范围：检验某一样本平均数x所属的总体平
均数是否和某一指定的总体平均数0相同。若相 同，则说明该样本属于这个以0为平均数的指定 总体；若不相同，则说明该样本所属的总体与这 个指定总体（ 0 ）不同，即有显著或极显著差异。
1、总体方差σ2已知，无论n是否大于30都可采用u检验法
例：某鱼场按常规方法所育鲢鱼一月龄的平均体长为7.25cm，
标准差为1.58cm，现采用一新方法进行育苗，一月龄时随机抽 取100尾进行测量，其平均体长为7.65cm， 问新育苗方法与常规方法有无显著差异？
分 析
（１）这是一个样本平均数的假设检验，因总体σ2已知 采用u检验；
，
（２）新育苗方法的鱼苗体长≥ 或≤常规方法鱼苗体长， 应进行双尾检验。
( x1 x2 ) ( 1 2 ) t sx x 1 2 s x1 x
2
s s n1 n2
2 1
2 2
H0： μ1=μ2=μ时
t (n1 n2 2)
x1 x2 t s x1 x
2
4、作出推断，并解释之
u u u u
或
t t t t
3、总体方差σ2未知，且n<30时，可用样本方差s2来代替 总体方差σ2 ，采用 df=n-1的 t检验法
样本(n<30) x
s2
总体
(μ0)
σ2
x t sx
例：某鱼塘水中的含氧量，多年平均为4.5(mg/L)，该鱼塘设10 个点采集水样，测定含氧量为：
4.33,4.62,3.89,4.14,4.78,4.64,4.52,4.55,4.48,4.26(mg/L)
认为新育苗方法一月龄体长与常规方法有显著差异。
2、总体方差σ2未知，但n>30时，可用样本方差s2来代替 总体方差σ2 ，仍用u检验法
样本(n>30) x
s2
总体
(μ0)
σ2
x u sx
例：生产某种纺织品，要求棉花纤维长度平均为30mm以上， 现有一棉花品种，以n=400进行抽查，测得其纤维平均长度为
( x1 x2 ) ( 1 2 ) t sx x
1 2
H0: μ1＝μ2= μ
x1 x2 t sx x
1 2
df=(n1-1)+(n2-1)=n1+n2-2
2 e
sx
1 x2
s s n1 n2
2 e
2 s12 (n1 1) s2 (n2 1) se2 (n1 1) (n2 1)
1、两个总体方差σ12 和σ22已知，或σ12 和σ22未知，但两个样 本都是大样本，即n1>30且n2>30时，用u检验法。
例：某杂交黑麦从播种到开花的天数的标准差为6.9d
A法：调查400株，平均天数为69.5d B法：调查200株，平均天数为70.3d
差异？
试比较两种调查方法所得黑麦从播种到开花天数有无显著差别。
分 析
（１）这是两个样本（成组数据）平均数比较的假设检 验，σ 12=σ 22=(6.9d)2,样本为大样本，用u检验。
（２）因事先不知A、B两方法得到的天数孰高孰低，用 双尾检验。
（１）假设
H0:μ1＝ μ2，即认为两种方法所得天数相同。
HA: μ1≠ μ2 选取显著水平α＝0.05
（2）水平 （3）检验
测定农大193的蛋白质含量（％）5次，x2=11.7，s22=0.135 检验两品种小麦蛋白质含量是否有显著差异？ （１）假设 H0:σ12=σ22=σ2 HA: σ12 ≠ σ22
（2）水平 选取显著水平α＝0.05 （3）检验
s12 F 2 12 .01 s2
F0.05(9, 4) 6.00
（２）因事先不知两品种产量孰高孰低，用双尾检验。
（１）假设
H0:μ1＝ μ2，即认为两品种割胶产量没有显著差别。 HA: μ1≠ μ2
选取显著水平α＝0.01
sx
2 2 s1 s2 4.951 n1 n2
（2）水平 （3）检验
1 x2
( x1 x2 ) 95 .4 77 .6 u 3.595 sx x 4.951
u > 2.58，P < 0.01
（4）推断 在0.01显著水平上，否定H0，接受HA；
两个橡胶品种的割胶产量存在极显著的差别，“4267XRRIM603” 割胶产量极显著高于“42-67XPB86”。
2、两个总体方差σ12 和σ22未知，但可假定σ12＝ σ22，且两 个样本都是小样本，即n1<30且n2<30时，用t检验法。
认为该次抽样所测结果与多年平均值无显著差别， 属于随机误差。
二、两个样本平均数 的假设检验
适用范围：检验两个样本平均数x1和x2所
属的总体平均数1和2是否来自同一总体。
样本1 X1
总体1 μ1 总体2 μ2
1、提出假设
样本2 X2 无效假设H0: μ1=μ2 ，两个平均数的差值 机误差所引起的；
割胶，平均产量分别为95.4ml/株和77.6ml／株，割胶产量的
方差分别为936.36（ml/株）2和800.89（ml/株） 2 试检验两个橡胶品种在割胶产量上是否有显著差别。
分 析
（１）这是两个样本（成组数据）平均数比较的假设检
验，σ 12和σ 22未知, n1>30且n2>30 ，用u检验。
（2）水平
HA: σ12 ≠ σ22
选取显著水平α＝0.05
（3）检验
s12 451 .97 F 2 1.063 s2 425 .33
F0.05(11,6) 4.03
（4）推断
F F0.05
两样本方差相等。
（１）假设
H0:μ1＝ μ2，即认为两种饲料饲养的大白鼠增 重无差异。 HA: μ1 ≠ μ2
30.2mm，标准差为2.5mm，
问该棉花品种的纤维长度是否符合纺织品的生产要求？
分 析
（１）这是一个样本平均数的假设检验，因总体σ2未知， n=400 > 30，可用s2代替σ2进行u检验； （２）棉花纤维只有>30mm才符合纺织品的生产要求，因 此进行单尾检验。
（１）假设
H0:μ≤ μ0=30(cm)， HA:μ>μ0
x1 x是随 2
备择假设HA: μ1=μ2 ，两个平均数的差值 x1 x2 除随 机误差外 还包含其真实的差异，即由处理引起的；
2、确定显著水平：0.05或0.01 3、检验统计量
两个样本平均数的差数 x1 x2
(1)样本平均数差数的平均数 = 总体平均数的差数.
x x x x 1 2
Aspin-Welch检验法。
x1 x 2 t sx x
1 2
sx
1 x2
s s n1 n2
df
2 2 ( s x1 s x2 ) 2 2 ( s x1 ) 2 2 ( s x2 ) 2
2 1
2 2
2 2 s x1 s x2
n1 1
பைடு நூலகம்
n2 1
例： 测定东方红3号的蛋白质含量（％）10次，x1=14.3，s12=1.621
即该棉花品种纤维长度达不到纺织品生产的要求。
（2）水平 （3）检验
选取显著水平α＝0.05
sx s 2.5 0.125 n 400
u x 30 .2 30 .0 1.6 sx 0.125
u <1.645，P> 0.05 （4）推断 接受H0，否定HA；
认为该棉花品种纤维长度不符合纺织品生产的要求。
1 1 ( ) n1 n2
2
n1=n2=n
2 x1 x2
2 1
2 2
n
2 n
2
σ12=σ22=σ n1=n2=n
2 x1 x2
当σ
1
2
和σ 22已知
u
( x1 x2 ) ( 1 2 )
x x
1
2
H0：μ1=μ2=μ时
N (0,1)
u
x1 x2
HA: μ≠ μ0
（2）水平
（3）检验
选取显著水平α＝0.05
x
x
n
4.421
s
x
2
( x ) 2 n 0.267
n 1
sx
s 0.084 n
t n 1
x1 0.94 sx
t 0.05(9) =2.262 （4）推断
P>0.05
在0.05显著水平上，接受H0，否定HA；
x x
1
2
当σ
1
2
和σ 22未知，两样本都为大样本时
( x1 x2 ) ( 1 2 ) u sx x 1 2 s x1 x
2
s s n1 n2
2 1
2 2
H0： μ1=μ2=μ时
N (0,1)
x1 x2 u s x1 x
2
当σ
1
2
和σ 22未知，两样本都为小样本时
试检验该次抽样测定的水中含氧量与多年平均值有无显著差别。
分 析
（１）这是一个样本平均数的假设检验，因总体σ2未知， n=10 < 30，可用s2代替σ2进行 t 检验； （２）该次测定的水中含氧量可能>或<多年平均值，用双 尾检验。
（１）假设 H0:μ＝ μ0=4.5(mg/L)，即认为该次测定与多年平均 值没有显著差别。
1 2
x1 x2 t 1.916 sx x
1 2
df=(n1-1)+(n2-1)=17 t 0.05(17) =2.110 P>0.05
（4）推断 在0.05显著水平上，接受H0，否定HA；
认为两种饲料饲养大白鼠的增重无显著差别，属于 随机误差。
3 σ12≠σ22，n1 ≠ n2，采用近似地t检验，即
（１）假设
H0:μ=μ0=7.25(cm)， HA:μ≠μ0
即新育苗方法与常规方法所育鱼苗一月龄体长相同；
（2）水平 （3）检验
选取显著水平α＝0.05
x
1.58 0.158 n 100
u
x
x
7.65 7.25 2.532 0.158
u >1.96，P<0.05 （4）推断 否定H0，接受HA；
1 2 1 2
(2)样本平均数差数的方差 = 两样本平均数方差之和.
2 x1 x2
2 1
n1
2 2
n2
2 x1
2 x2
x x
1 2
2 1
2 2
n1
n2
样本平均数差数的标准误
2 x1 x2
2 1
n1
2 2
n2
σ12=σ22=σ
2 x1 x2
例：用高蛋白和低蛋白两种饲料饲养一月龄大白鼠，在三个 月时，测定两组大白鼠的增重(g)
高蛋白组：134,146,106,119,124,161,107,83,113,129,97,123
低蛋白组：70,118,101,85,107,132,94
试问两种饲料饲养的大白鼠增重量是否有差别？ 分 析
（１）这是两个样本平均数的检验，σ 且为小样本，用t检验。
F F0.05
x
1 x2
1 1 0.598 n1 n2
u
x1 x2
x
1 x2
69 .5 70 .3 1.338 0.598
u < 1.96，P > 0.05
（4）推断 在0.05显著水平上，接受H0，否定HA； 认为两种方法所得黑麦从播种到开花天数没有显著 差别。
例：为了比较“42-67XRRIM603”和“42-67XPB86”两个橡 胶品种的割胶产量，两品种分别随机抽样55株和107株进行
接受H0否定HA
或
否定H0接受HA
成组数据平均数的比较
试 验 设 计
成对数据平均数的比较
成组数据平均数的比较
如果两个样本的各个变量是从各自总体中随机
抽取的，两个样本之间的变量没有任何关联，即两
个抽样样本彼此独立，则不论两样本的容量是否相
同，所得数据皆为成组数据。两组数据以组平均数 作为相互比较的标准，来检验其差异的显著性。 根据两样本所属的总体方差是否已知和样本大 小不同而采用不同的检验方法。
2和σ 2未知， 1 2
（２）事先不知两种饲料饲养大白鼠增重量孰高孰低， 用双尾检验。
2 2 x1 120 .17 ( g ) s1 451 .97( g ) 2 2 x2 101 .00( g ) s2 425 .33( g )
n1 12 n2 7
（１）假设 H0:σ12=σ22=σ2
（2）水平
选取显著水平α＝0.05
（3）检验
s (n1 1) s (n2 1) s 442 .568 (n1 1) (n2 1)
2 e 2 1 2 2
sx
1 x2
2 2 se se 10 .005 n1 n2
x1 x2 t 1.916 sx x
一、一个样本平均数 的假设检验
适用范围：检验某一样本平均数x所属的总体平
均数是否和某一指定的总体平均数0相同。若相 同，则说明该样本属于这个以0为平均数的指定 总体；若不相同，则说明该样本所属的总体与这 个指定总体（ 0 ）不同，即有显著或极显著差异。
1、总体方差σ2已知，无论n是否大于30都可采用u检验法
例：某鱼场按常规方法所育鲢鱼一月龄的平均体长为7.25cm，
标准差为1.58cm，现采用一新方法进行育苗，一月龄时随机抽 取100尾进行测量，其平均体长为7.65cm， 问新育苗方法与常规方法有无显著差异？
分 析
（１）这是一个样本平均数的假设检验，因总体σ2已知 采用u检验；
，
（２）新育苗方法的鱼苗体长≥ 或≤常规方法鱼苗体长， 应进行双尾检验。
( x1 x2 ) ( 1 2 ) t sx x 1 2 s x1 x
2
s s n1 n2
2 1
2 2
H0： μ1=μ2=μ时
t (n1 n2 2)
x1 x2 t s x1 x
2
4、作出推断，并解释之
u u u u
或
t t t t
3、总体方差σ2未知，且n<30时，可用样本方差s2来代替 总体方差σ2 ，采用 df=n-1的 t检验法
样本(n<30) x
s2
总体
(μ0)
σ2
x t sx
例：某鱼塘水中的含氧量，多年平均为4.5(mg/L)，该鱼塘设10 个点采集水样，测定含氧量为：
4.33,4.62,3.89,4.14,4.78,4.64,4.52,4.55,4.48,4.26(mg/L)
认为新育苗方法一月龄体长与常规方法有显著差异。
2、总体方差σ2未知，但n>30时，可用样本方差s2来代替 总体方差σ2 ，仍用u检验法
样本(n>30) x
s2
总体
(μ0)
σ2
x u sx
例：生产某种纺织品，要求棉花纤维长度平均为30mm以上， 现有一棉花品种，以n=400进行抽查，测得其纤维平均长度为
( x1 x2 ) ( 1 2 ) t sx x
1 2
H0: μ1＝μ2= μ
x1 x2 t sx x
1 2
df=(n1-1)+(n2-1)=n1+n2-2
2 e
sx
1 x2
s s n1 n2
2 e
2 s12 (n1 1) s2 (n2 1) se2 (n1 1) (n2 1)
1、两个总体方差σ12 和σ22已知，或σ12 和σ22未知，但两个样 本都是大样本，即n1>30且n2>30时，用u检验法。
例：某杂交黑麦从播种到开花的天数的标准差为6.9d
A法：调查400株，平均天数为69.5d B法：调查200株，平均天数为70.3d
差异？
试比较两种调查方法所得黑麦从播种到开花天数有无显著差别。
分 析
（１）这是两个样本（成组数据）平均数比较的假设检 验，σ 12=σ 22=(6.9d)2,样本为大样本，用u检验。
（２）因事先不知A、B两方法得到的天数孰高孰低，用 双尾检验。
（１）假设
H0:μ1＝ μ2，即认为两种方法所得天数相同。
HA: μ1≠ μ2 选取显著水平α＝0.05
（2）水平 （3）检验
测定农大193的蛋白质含量（％）5次，x2=11.7，s22=0.135 检验两品种小麦蛋白质含量是否有显著差异？ （１）假设 H0:σ12=σ22=σ2 HA: σ12 ≠ σ22
（2）水平 选取显著水平α＝0.05 （3）检验
s12 F 2 12 .01 s2
F0.05(9, 4) 6.00
（２）因事先不知两品种产量孰高孰低，用双尾检验。
（１）假设
H0:μ1＝ μ2，即认为两品种割胶产量没有显著差别。 HA: μ1≠ μ2
选取显著水平α＝0.01
sx
2 2 s1 s2 4.951 n1 n2
（2）水平 （3）检验
1 x2
( x1 x2 ) 95 .4 77 .6 u 3.595 sx x 4.951