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中考数学压轴题-抛物线与圆(含答案)

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二次函数与圆的综合题(中考数学必考压轴题)

二次函数与圆的综合题(中考数学必考压轴题)

二次函数与圆的综合题（中考数学压轴题必考）例1.如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A在左边），抛物线经过点D以AB为直径画⊙P，试判定点D与⊙P的位置关系，并证明．练习1.如图，二次函数y＝ax2﹣（a+1）x（a为常数，且0＜a＜1）的图象过原点O并与x轴交于点P；过点A（1，﹣1）的直线l垂直y轴于点B，并与二次函数的图象交于点Q，以OA为直径的⊙C交x轴于点D，连接DQ．（1）点B与⊙C的位置关系是；（2）点A是否在二次函数的图象上；（填“是”或“否”）（3）若DQ恰好为⊙C的切线，①猜想：四边形OAQD的形状是，证明你的猜想；②求二次函数的表达式．例2.如图示已知点M的坐标为（4，0），以M为圆心，以2为半径的圆交x轴于A、B，抛物线过A、B两点且与y轴交于点C．过C点作⊙M 的切线CE，求直线OE的解析式．练习2.平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴，设平行于x轴的直线交抛物线y＝﹣x2﹣x+2于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径；若不存在，请说明理由．练习3.如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y 轴交于点C（0，2）．以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．练习4.如图，抛物线y＝﹣x2+x+2．经过A、B、C三点，A点坐标为（4，0），B点坐标为（﹣1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P的正半轴交于点C，M为抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．练习5.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．以AB为直径作⊙M．（1）求出M的坐标并证明点C在⊙M上；（2）若P为抛物线上一动点，求出当CP与⊙M相切时P的坐标；练习6.在平面直角坐标系中，已知A（﹣4，0），B（1，0），且以AB为直径的圆交y轴的正半轴于点C，过点C作圆的切线交x轴于点D．（1）求点C的坐标和过A，B，C三点的抛物线的析式；（2）求点D的坐标：（3）设平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆，恰好与x轴相切？若存在，求出该圆的半径，若不存在，请说明理由．练习7.如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝n，OC＝m，⊙M与y轴相切于点C，与x轴交于A，B两点，∠ACD＝90°，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，B，C三点．（1）求证：∠OCA＝∠OBC；（2）若A（x1，0），B（x2，0），且x1，x2满足x1+x2＝5，x1•x2＝4，求点C 的坐标和抛物线的解析式；（3）若△ACD≌△ABD，在四边形ABDC内有一点P，且点P到四边形四个顶点的距离之和P A+PB+PC+PD最小，求此时距离之和的最小值及P点的坐标（用含n的式子表示）．练习8.已知二次函数y＝mx2+（m﹣3）x﹣3（m＞0）（1）求证：它的图象与x轴必有两个交点；（2）这条抛物线与x轴交于两点A、B（A在B左），与y轴交于点C，顶点为D，sin∠ABD＝，⊙M过A、B、C三点，求⊙M的面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使P A是⊙M的切线？若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由．例3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过（0，0）和（，）两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A（0，2）．（1）求a，b，c的值；（2）求证：在点P运动的过程中，⊙P始终与x轴相交；（3）设⊙P与x轴相交于M（x1，0），N（x2，0）（x1＜x2）两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标．练习9.已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+1的图象关于y轴对称，且抛物线过点（2，2），点P为抛物线上的动点，以点P为圆心的⊙P与x轴相切，当点P运动对，⊙P始终经过y轴上的一个定点E．（1）求抛物线的解析式；（2）当⊙P的半径为时，⊙P与y轴交于M、N两点，求MN的长；（3）求定点E到直线y＝kx﹣8k的距离的最大值．练习10.已知：直线y＝﹣x﹣4分别交x、y轴于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx （a＞0）经过A、O两点，且顶点B的纵坐标为﹣2（1）判断点B是否在直线AC上，并求该抛物线的函数关系式；（2）以点B关于x轴的对称点D为圆心，以OD为半径作⊙D，试判断直线AC与⊙D的位置关系，并说明理由；（3）若E为⊙D的优弧AO上一动点（不与A、O重合），连接AE、OE，问在抛物线上是否存在点P，使∠POA：∠AEO＝2：3？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．练习11.已知A是x轴正半轴上一个动点，以线段OA为直径作⊙B，圆心为点B，直径OA＝m，线段EF是⊙B的一条弦，EF∥x轴，点C为劣弧EF的中点，过点E作DE垂直于EF，交抛物线C1：y＝ax2+bx（a＞0）于点G，抛物线经过点O和点A．（1）求证：DG＝m；（2）拖动点A，如果抛物线C1与⊙B除点O和点A外有且只有一个交点，求b的值；（3）拖动点A，抛物线C1交⊙B于点O、E、F、A，①求证：DE＝m﹣；②直接写出FC2的值（用a，m的代数式表示）练习13.如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A．B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3），求出抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D点，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．例4.如图1，抛物线y＝ax2+3ax（a为常数，a＜0）与x轴交于O，A两点，点B 为抛物线的顶点，点D是线段OA上的一个动点，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C，过点C作⊙P的切线交x轴于点E．（1）①求点A的坐标；②求证：CE＝DE；（2）如图2，连接AB，AC，BE，BO，当，∠CAE＝∠OBE时，①求证：AB2＝AC•BE；②求的值．练习14.如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E 四点，B为OD中点．（1）求过A，B，C三点的抛物线解析式；（2）如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；（3）如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．练习15.如图，二次函数与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．过点B作BM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得∠ADB＝∠ABM，连接AE，求证：AE＝AD；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请求出k的值．例5.已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y 轴交于点C．（1）求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；（2）如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P点的坐标；（3）如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．练习16.如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣5，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求b，c的值．（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面积最大值．若不存在，请说明理由．（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O 三点的圆与过点B且垂直于BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．练习17.如图1，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为G，P为半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．①判断点C、D与⊙G的位置关系，并说明原因；②当点P沿半圆从点B运动到点A时，求线段AQ的最小值．练习18.如图1，二次函数y＝ax2﹣3ax+b（a、b为参数，其中a＜0）的图象与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．（1）若b＝﹣10a，求tan∠CBA的值（结果用含a的式子表示）；（2）若△ABC是等腰三角形，直线AD与y轴交于点P，且AP：DP＝2：3．求抛物线的解析式；（3）如图2，已知b＝﹣4a，E、F分别是CA和CB上的动点，且EF＝AB，若以EF为直径的圆经过点C，并交x轴于M、N两点，求MN的最大值．课后练习1.抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是介于B、C之间的抛物线上的动点（包括B、C两点），点E是△ABP 的外接圆圆心．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当P为抛物线的顶点时，求圆心E的坐标；（3）如图2，作PH⊥x轴于点H，延长PH交⊙E于点Q，当P从C点出发，沿该抛物线运动到B点，求点Q在这个运动过程中的路径长．2.如图，在正方形OABC中，AB＝4，点E是线段OA（不含端点）边上一动点，作△ABE的外接圆交AC于点D．抛物线y＝ax2﹣x+c过点O，E．（1）求证：∠BDE＝90°；（2）如图1，若抛物线恰好经过点B，求此时点D的坐标；（3）如图2，AC与BE交于点F．①请问点E在运动的过程中，CF•AD是定值吗？如果是，请求出这个值，如果不是，请说明理由；②若，求点E坐标及a的值．。

2024广东中考数学压轴题

2024广东中考数学压轴题

2024广东中考数学压轴题一、在直角坐标系中，抛物线y = ax2 + bx + c与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0)，且与y 轴交于点C(0,3)。

下列说法正确的是：A. a > 0B. b < 0C. c = 0D. 抛物线的对称轴是直线x = -1（答案：D）二、已知三角形ABC的三边长为a，b，c，且满足a2 + b2 + c2 = 10a + 6b + 8c - 50。

则下列判断三角形ABC的形状中，正确的是：A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形（答案：D）三、函数y = (x - 1)/(x + 2)中，当x的值增大时，y的值会：A. 一直增大B. 一直减小C. 在某个区间内增大，在另一个区间内减小D. 保持不变（答案：C）四、已知四边形ABCD是平行四边形，且AB = 6，BC = 8，对角线AC与BD相交于点O，则下列关于O点到AB和BC的距离d1和d2的说法正确的是：A. d1 + d2 = 14B. d1 × d2 = 24C. d1/d2 = AB/BCD. d12 + d22 = AB2 + BC2（答案：B）五、圆O的半径为5，点P在圆O外，且OP = 8。

过点P作圆O的两条切线，分别与圆O 相切于点A和B。

则弦AB的长度为：A. 6B. 4√3C. 5√2D. 2√15（答案：A）六、在数轴上，点A表示的数为-2，点B表示的数为3。

若点C表示的数为x，且满足AC + BC = 8，则x的值为：A. -3或4B. -4或3C. -3或-1D. 2或-5（答案：B）七、已知二次函数y = ax2 + bx + c的图像经过点(1,0)，(2,0)和(3,4)。

下列说法正确的是：A. a > 0B. b < 0C. c = 0D. 函数的顶点在x轴上（答案：A）八、正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，且AE = 1。

2023年九年级数学中考专题：二次函数与圆综合压轴题(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数与圆综合压轴题(含简单答案)

2023年九年级数学中考专题：二次函数与圆综合压轴题1．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线解析式；(2)如图2，M是抛物线顶点，的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．①求；②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线上是否存在点P，使得与相似？如果存在，请求出点P的坐标；(3)点Q是拋物线对称轴上一动点，若为锐角，且，请直接写出点Q 纵坐标的取值范围．2．【概念学习】在平面直角坐标系中，对于已知的点和图形，给出如下定义：如果图形上存在一点，使得当时，，则称点为图形的一个“垂近点”．(1)【初步理解】若图形为线段，，，在点、、、中，是线段的“垂近点”的为________；(2)【知识应用】若图形为以坐标原点为圆心，2为半径的圆，直线与轴交于点、与轴交于点，如果线段上的点都是的“垂近点”，求的取值范围；(3)若图形为抛物线，以点为中心，半径为的四边形，轴，轴，如果正四边形上存在“垂近点”，直接写出的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，D为抛物线顶点．(1)连接AD，交y轴于点E，P是抛物线上的一个动点．①如图一，点P是第一象限的抛物线上的一点，连接PD交x轴于F，连接，若，求点P的坐标．②如图二，点P在第四象限的抛物线上，连接AP、BE交于点G，若，则w 有最大值还是最小值？w的最值是多少？(2)如图三，点P是第四象限抛物线上的一点，过A、B、P三点作圆N，过点作轴，垂足为I，交圆N于点M，点在运动过程中，线段是否变化？若有变化，求出MI的取值范围；若不变，求出其定值．(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，连接OQ、AQ，设AOQ外接圆圆心为H，当的值最大时，请直接写出点H的坐标．4．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)经过点A(－2，0)和点B(4，0)．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；（2）点P为抛物线上第一象限内一点，若S△ABC＝2S△PBC，求点P的坐标；（3）如图2，点D是第二象限内抛物线上一点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD 的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．5．如图，抛物线经过点，，直线AC的解析式为，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作轴交AC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）点H是y轴上一动点，连结EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH 是矩形?求出此时点E，H的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为上以动点，求的最小值．6．已知二次函数的图象经过点A（2，0），B（，0），C（0，4），点为二次函数第二象限内抛物线上一动点，轴于点，交直线于点，以为直径的圆⊙M与交于点．（1）求这个二次函数的关系式；（2）当三角形周长最大时．求此时点点坐标及三角形的周长；（3）在（2）的条件下，点N为⊙M上一动点，连接BN，点Q为BN的中点，连接HQ，求HQ的取值范围．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线，y与轴交于A、B两点，与轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）如图1，连接BC，点D是抛物线上一点，若∠DCB=∠ABC，求点D的坐标；（3）如图2，若点P在以点O为圆心，OA长为半径作的圆上，连接BP、CP，请你直接写出CP+BP的最小值．8．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于、、、四点，点坐标为．抛物线与轴交于点，与直线交于点、，且、分别与圆相切于点和点．（1）求抛物线的解析式．（2）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．（3）抛物线对称轴交轴于点，连接并延长交于点，求点的坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交y轴于点，交x轴于两点．(1)求此抛物线的解析式；(2)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A、C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时P点的坐标和的最大面积；(3)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明．10．如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，且与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段BC下方的抛物线上的动点（不与点B、C重合），过P作PD∥y轴交BC 于点D，以PD为直径的圆交BC于另一点E，求DE的最大值及此时点P的坐标；（3）当（2）中的DE取最大值时，将△PDE绕点D旋转，当点P落在坐标轴上时，求点E的坐标．11．直角坐标系xOy中，有反比例函数上的一动点P，以点P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切时，求OP2的值．（2）设圆P运动时与x轴相交，交点为B、C，如图2，当四边形ABCP是菱形时，①求出A、B、C三点的坐标．②设一抛物线过A、B、C三点，在该抛物线上是否存在点Q，使△QBP的面积是菱形ABCP 面积的？若存在，求出所有满足条件的Q点的坐标；若不存在，说明理由．12．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P（2，）为圆心的圆与y轴相切于点A，与x轴相交于B、C两点（点B在点C的左边）．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．如果存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果若不存在，请说明理由；（3）如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．13．已知，如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R.(1)求这个二次函数关系式.(2)当△EFR周长最大时.①求此时点E点坐标及△EFR周长.②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，求HQ的最大值.14．如图所示，对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点在抛物线对称轴上并且位于轴的下方，以点为圆心作过、两点的圆，恰好使得弧的长为周长的．(1)求该抛物线的解析式；(2)求的半径和圆心的坐标，并判断抛物线的顶点与的位置关系；(3)在抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．15．已知抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）经过A（5，0），B（6，1）两点，且与y轴交于点C．(1)求抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）的函数关系式；(2)如图1，连接AC，E为线段AC上一点且横坐标为1，⊙P是△OAE外接圆，求圆心P 点的坐标；(3)如图2，连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F；①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；②求出当△AEF的面积取得最大值时，点E的坐标．16．如图1，已知圆O的圆心为原点，半径为2，与坐标轴交于A，C，D，E四点，B 为OD中点．(1)求过A，B，C三点的抛物线解析式；(2)如图2，连接BC，AC．点P在第一象限且为圆O上一动点，连接BP，交AC于点M，交OC于点N，当MC2＝MN•MB时，求M点的坐标；(3)如图3，若抛物线与圆O的另外两个交点分别为H，F，请判断四边形CFEH的形状，并说明理由．17．已知一次函数：与轴交于点，与轴交于点．抛物线（、为常数）过定点，连接，点为线段上一动点．（1）求出点的坐标；（2）过作于点，于点，设点横坐标为，长度为，试求关于的函数解析式；（3）①当，时，该抛物线上存在唯一的点使，求此时抛物线的解析式；②过点作交线段于点，连接并延长交的外接圆于点，当点在上移动时，求的最大值．18．已知抛物线经过，，三个点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，作的外接圆，为上方半圆上一点，当时，求的长；（3）如图2，直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，作轴的平行线，分别与线段、抛物线交于，两点（点与点，不重合），点为射线上一点，当与相似时，求的最大面积．参考答案：1．(1)(2)①；②存在，或或或(3)或2．(1)，；(2)；(3)或时，正方形上存在抛物线的“垂近点”．3．(1)①，②w有最小值，w的最值是(2)不变，(3)或4．（1）；（2）；（3）为定值．5．（1）；（2），；（3）6．（1）；（2）F（，4），△EFD的周长为；（3）．7．（1），，；（2），；（3）8．（1）；（2）点在抛物线上；（3）9．（1）；（2），；（3）相交，10．（1）y=x2﹣x﹣2；（2）m=2时，DE有最大值，此时P；（3），或E或11．（1）16；（2）①A（0，），B（2，0），C（6，0）；②存在，满足条件的Q点有（0，），（14，），（8，）和（6，0）．12．（1）．（2）存在，点M的坐标为（0，），（3，0），（4，），（7，）．（3）．13．(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)①E(，)，周长为+；②HQ的最大值大为：+.14．(1)(2)2，，点在上(3)存在，，，15．(1)抛物线解析式为y＝x2﹣x+5(2)圆心P点的坐标为（，）(3)①四边形OEAF的面积是定值，这个定值为；②当△OEF的面积取得最小值时，E点坐标为（，）16．(1)y＝﹣x2+x+2；(2)M（，）；(3)四边形CFEH是矩形．17．（1）；（2）（）；（3）①；②18．（1）；（2）；（3）．。

中考数学压轴题--有关圆的压轴题汇编含答案Word版

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2020中考数学押题--有关圆的压轴题汇编含答案（53页）1.如图，在M e 中，»AB 所对的圆心角为120o ，已知圆的半径为2cm ，并建立如图所示的直角坐标系． （1）求圆心M 的坐标； （2）求经过A B C ，，三点的抛物线的解析式；（3）点D 是弦AB 所对的优弧上一动点，求四边形ACBD 的最大面积； （4）在（2）中的抛物线上是否存在一点P ，使PAB△和ABC △相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．[解] （1）如图（1），连结MA MB ，． 则120AMB ∠=o 60CMB ∴∠=o ，30OBM ∠=o ．112OM MB ∴==，(01)M ∴，． （2）由A B C ，，三点的特殊性与对称性， 知经过A B C ，，三点的抛物线的解析式为2y ax c =+．1OC MC MO =-=Q ，223OB MB OM =-=，(01)(30)C B ∴-，，，．113c a ∴=-=，2113y x ∴=-．（3）ABC ABD ACBD S S S =+Q △△四边形，又ABC S △与AB 均为定值，∴当ABD △边AB 上的高最大时，ABD S △最大，此时点D 为M e 与y 轴的交点，如图1．211143cm 222ABC ABD ACBD S S S AB OC AB OD AB CD ∴=+=+==△△四边形···． （4）方法1：如图2，ABC Q △为等腰三角形，303ABABC BC∠==o ，，ABC PAB ∴△∽△等价于302336PAB PB AB PA PB ∠=====o ，，．设()P x y ，且0x >，则cos3033323x PAAO =-=-=o ·，sin 303y PA ==o ·． 又(233)P Q ，的坐标满足2113y x =-，∴在抛物线2113y x =-上，存在点(233)P ，，使ABC PAB △∽△． y xAM O BCy xB C A MP 图2O yxAM OBCD图1由抛物线的对称性，知点(233)-，也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为(233)，或(233)-，． 方法2：如图（3），当ABC PAB △∽△时，30PAB BAC ∠=∠=o ，又由（1）知30MAB ∠=o ，∴点P 在直线AM 上．设直线AM 的解析式为y kx b =+，将(30)(01)A M -，，，代入，解得31.k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AM 的解析式为31y x =+． 解方程组231113y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得(233)P ，． 又tan 3233PBx ∠==-Q ，60PBx ∴∠=o ．30P ∴∠=o ，ABC PAB ∴△∽△．∴在抛物线2113y x =-上，存在点(233)P ，，使ABC PAB △∽△． 由抛物线的对称性，知点(233)-，也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为(233)，或(233)-，． 方法3：如图3，ABC Q △为等腰三角形，且3ABBC=，设()P x y ，则 图3 ABC PAB △∽△等价于23PB AB ==，36PA AB ==．当0x >时，得2222(3)23(3) 6.x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩，解得(233)P ，． 又Q (233)P ，的坐标满足2113y x =-，∴在抛物线2113y x =-上，存在点(233)P ，，使ABC PAB △∽△． 由抛物线的对称性，知点(233)-，也符合题意．∴存在点P ，它的坐标为(233)，或(233)-，． [点评]本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题，涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识，解这类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识，须注意的是在第4小问中涉及了相似三角形的问题，很有可能会有多解的情况出现，此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。

圆与二次函数结合型压轴题专题(解析版)--2024年中考数学重难点

圆与二次函数结合型压轴题专题(解析版)--2024年中考数学重难点

圆与二次函数结合型压轴题专题通用的解题思路：一、点在圆上的使用技巧：①没告诉半径，利用圆上的点到圆心的距离等于半径可以表示出半径的长度；②告诉半径，圆上的点到圆心的距离等于半径这个等量关系可以求出一个参数。

二、判断直线与圆的位置关系的标准流程：第一步，利用圆上的点到圆心的距离等于半径表示出半径r ，第二步，表示出圆心到直线的距离d ，第三步，比较半径r 和距离d 的大小：若半径r >距离d ，则直线与圆相交，若半径r =距离d ，则直线与圆相切，若半径r <距离d ，则直线与圆相离。

三、记直线l 被圆C 截得的弦长为|AB |的常用方法弦长公式：AB =2r 2-d 21(长沙中考)如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，点P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点A (0，2)．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设⊙P 与x 轴相交于M (x 1，0)，N (x 2，0)(x 1<x 2)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标．【解答】解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的对称轴为y 轴，且经过(0，0)和(a ，116)两点，∴抛物线的一般式为：y =ax 2，∴116=a (a )2，解得：a =±14，∵图象开口向上，∴a =14，∴抛物线解析式为：y =14x 2，故a =14，b =c =0；(2)设P (x ，y )，⊙P 的半径r =x 2+y -2 2，又∵y =14x 2，则r =x 2+14x 2-2 2，化简得：r =116x 4+4>14x 2，∴点P 在运动过程中，⊙P 始终与x 轴相交；(3)设P (t ，14t 2)，∵r 2-y 2=4，∴MH =NH =2，∴M (t -2，0)，N (t +2，0)，A (0，2)，∵△AMN 为等腰三角形，∴AM =AN ，AM =MN ，AN =MN ，(t -2)2+(2-0)2=(t +2)2+(2-0)2，∴t =0，(t -2)2+(2-0)2=42，∴t =2±23，(t +2)2+(2-0)2=42，∴t =-2±23，①当t =0时，P 的纵坐标为0，②当t =2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，③当t =-2±23时，P Y =14(2±23)2=4±23，∴P 的纵坐标为4±23，综上所述，P 的纵坐标为：0或4+23或4-23．2(岳麓区校级月考)如图，已知直线l ：y =-1和抛物线L ：y =ax 2+bx +c (a ≠0)，抛物线L 的顶点为原点，且经过点A 2a ,14，直线y =kx +1与y 轴交于点F ，与抛物线L 交于点B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，且x 1<x 2．(1)求抛物线L 的解析式；(2)点P 是抛物线L 上一动点．①以点P 为圆心，PF 为半径作⊙P ，试判断⊙P 与直线l 的位置关系，并说明理由；②若点Q (2，3)，当|PQ -PF |的值最大时，求点P 的坐标；(3)求证：无论k 为何值，直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．【解答】解：(1)抛物线的表达式为：y =ax 2，将点A 坐标代入上式得：14=a (2a )2，解得：a =14，故抛物线的表达式为：y =14x 2⋯①；(2)①点F (0，1)，设：点P (m ，14m 2)，则PF =m 2+14m 2-1 2=14m 2+1，而点P 到直线l 的距离为：14m 2+1，则⊙P 与直线l 的位置关系为相切；②当点P 、Q 、F 三点共线时，|PQ -PF |最大，将点FQ 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +b 并解得：直线FQ 的函数表达式为：y =x +1⋯②，联立①②并解得：x =2±22，故点P 的坐标为：(2+22，3+22)或(2-22，3-22)；(3)将抛物线的表达式与直线y =kx +1联立并整理得：x 2-4kx -4=0，则x 1+x 2=4k ，x 1x 2=-4，则y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2=4k 2+2，则x 2-x 1=x 1+x 2 2-4x 1x 2=4，设直线BC 的倾斜角为α，则tan α=k ，则cosα=1k 2+1，则BC =x 2-x 1k 2+1=4(k 2+1)，则12BC =2k 2+2，设BC 的中点为M (2k ，2k 2+1)，则点M 到直线l 的距离为：2k 2+2，故直线l 总是与以BC 为直径的圆相切．3在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y =14x 2+mx +n 的图象经过点A (2，0)和点B (1，-34)，直线l 经过抛物线的顶点且与y 轴垂直，垂足为Q ．(1)求该二次函数的表达式；(2)设抛物线上有一动点P 从点B 处出发沿抛物线向上运动，其纵坐标y 1随时间t (t ≥0)的变化规律为y 1=-34+2t ．现以线段OP 为直径作⊙C ．①当点P 在起始位置点B 处时，试判断直线l 与⊙C 的位置关系，并说明理由；在点P 运动的过程中，直线l 与⊙C 是否始终保持这种位置关系？请说明你的理由．②若在点P 开始运动的同时，直线l 也向上平行移动，且垂足Q 的纵坐标y 2随时间t 的变化规律为y 2=-1+3t ，则当t 在什么范围内变化时，直线l 与⊙C 相交？此时，若直线l 被⊙C 所截得的弦长为a ，试求a 2的最大值．【解答】解：(1)将点A (2，0)和点B (1，-34)分别代入y =14x 2+mx +n 中，得：14×4+2m +n =014+m +n =-34 ，解得：m =0n =-1 ，∴抛物线的解析式：y =14x 2-1；(2)①将P 点纵坐标代入(1)的解析式，得：14x 2-1=-34+2t ，x =8t +1，∴P (8t +1，-34+2t )，∴圆心C (8t +12，-38+t )，∴点C 到直线l 的距离：-38+t -(-1)=t +58；而OP 2=8t +1+(-34+2t )2，得OP =2t +54，半径OC =t +58；∴直线l 与⊙C 始终保持相切．②Ⅰ、由①可知，若直线l 与⊙C 相切，则：2t -58=t +58，t =54；∴当0<t <54时，直线l 与⊙C 相交；Ⅱ、∵0<t <54时，圆心C 到直线l 的距离为d =|2t -58|，又半径为r =t +58，∴a 2=4(r 2-d 2)=4[(t +58)2-|2t -58|2]=-12t 2+15t ，∴t =58时，a 的平方取得最大值为7516．4(长沙中考)如图半径分别为m ，n (0<m <n )的两圆⊙O 1和⊙O 2相交于P ，Q 两点，且点P (4，1)，两圆同时与两坐标轴相切，⊙O 1与x 轴，y 轴分别切于点M ，点N ，⊙O 2与x 轴，y 轴分别切于点R ，点H ．(1)求两圆的圆心O 1，O 2所在直线的解析式；(2)求两圆的圆心O 1，O 2之间的距离d ；(3)令四边形PO 1QO 2的面积为S 1，四边形RMO 1O 2的面积为S 2．试探究：是否存在一条经过P ，Q 两点、开口向下，且在x 轴上截得的线段长为s 1-s 2 2d 的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【解答】解：(1)由题意可知O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，设过点O 1，O 2的直线解析式为y =kx +b ，则有：mk +b =m nk +b =n (0<m <n )，解得k =1b =0 ，∴所求直线的解析式为：y =x ．(2)由相交两圆的性质，可知P 、Q 点关于O 1O 2对称．∵P (4，1)，直线O 1O 2解析式为y =x ，∴Q (1，4)．如解答图1，连接O 1Q ．∵Q (1，4)，O 1(m ，m )，根据两点间距离公式得到：O 1Q =m -1 2+m -4 2=2m 2-10m +17，又O 1Q 为小圆半径，即QO 1=m ，∴2m 2-10m +17=m ，化简得：m 2-10m +17=0①如解答图1，连接O 2Q ，同理可得：n 2-10n +17=0②由①，②式可知，m 、n 是一元二次方程x 2-10x +17=0③的两个根，解③得：x =5±22，∵0<m <n ，∴m =5-22，n =5+22．∵O 1(m ，m )，O 2(n ，n )，∴d =O 1O 2=m -n 2+m -n 2=8．(3)假设存在这样的抛物线，其解析式为y =ax 2+bx +c ，因为开口向下，所以a <0．如解答图2，连接PQ ．由相交两圆性质可知，PQ ⊥O 1O 2．∵P (4，1)，Q (1，4)，∴PQ =4-1 2+1-4 2=32，又O 1O 2=8，∴S 1=12PQ •O 1O 2=12×32×8=122；又S 2=12(O 2R +O 1M )•MR =12(n +m )(n -m )=202；∴s 1-s 2 2d =122-202 2×8=1，即抛物线在x 轴上截得的线段长为1．∵抛物线过点P (4，1)，Q (1，4)，∴16a +4b +c =1a +b +c =4 ，解得b =-5a +1 c =5+4a，∴抛物线解析式为：y =ax 2-(5a +1)x +5+4a ，令y =0，则有：ax 2-(5a +1)x +5+4a =0，设两根为x 1，x 2，则有：x 1+x 2=5a +1a ，x 1x 2=5+4a a，∵在x 轴上截得的线段长为1，即|x 1-x 2|=1，∴(x 1-x 2)2=1，∴(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1，即(5a +1a )2-4(5+4a a )=1，化简得：8a 2-10a +1=0，解得a =5±178，可见a 的两个根均大于0，这与抛物线开口向下(即a <0)矛盾，∴不存在这样的抛物线．5(广益)如图1，已知一次函数y =-x +4与反比例函数y =3x相交于P ，Q 两点(P 在Q 的右侧)．(1)求P ，Q 的坐标并写出△OPQ 的面积；(2)如图2，已知M (m ，m )，N (n ，n )，其中(0<m <n )，若分别以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，并且点P 既在⊙M 上又在⊙N 上．①求直线MN 的解析式；②求出线段MN 的长度d ；(3)在(2)的前提上，记四边形PMQN 的面积为S 1，四边形AMNB 的面积为S 2，已知抛物线y =ax 2+bx +c 满足两个条件：①经过点P 和点Q ，②该抛物线截x 轴得到的线段长度为s 1-s 2 d，请求出抛物线二次项系数a 的值．【解答】解：(1)由题意得：y =-x +4y =3x．解这个方程组得：x 1=1y 1=3 ，x 2=3y 2=1 ．∵P 在Q的右侧，∴P (3，1)，Q (1，3)．设直线PQ 交x 轴于点C ，如图，则C (4，0)．∴OC =4．过点Q 作QE ⊥OC 于E ，过点P 作PF ⊥OC 于F ，则QE =3，PF =1．∴S △OPQ =S △OQC -S △OPC =12×OC ×QE -12OC ×PF =6-2=4．(2)①∵M (m ，m )，N (n ，n )，∴直线MN 的解析式为：y =x ．②∵以M ，N 为圆心的圆均与x 轴相切，切点分别为A ，B ，∴MA ⊥AB ，NB ⊥AB ．过点P 作PE ⊥MA 于E ，PF ⊥NB 与，过点M 作MG ⊥NB 于G ，如图，则∠NMG =45°．∴MN =2MG ．∵M (m ，m )，N (n ，n )，P (3，1)，∴MA =m ，NB =n ，PE =3-m ，PM =3-m 2+m -1 2，ME =m -1，PF =n -3，NF =n -1．∵点P 既在⊙M 上又在⊙N 上，∴PM =MA ，PN =NB ．∴PM 2=MA 2，PN 2=NB 2．∴(3-m )2+(m -1)2=m 2，(n -3)2+(n -1)2=n 2．整理得：m 2-8m +10=0，n 2-8n +10=0．∴m ，n (0<m <n )是方程x 2-8x +10=0的两个根．∴m +n =8，mn =10．∴(n -m )2=(m +n )2-4mn =24．∴n -m =26．∵MG =AB =n -m ，∴MG =26．∴MN =2MG =43，∴d =43．(3)抛物线y =ax 2+bx +c 满足经过点P 和点Q ，∴a +b +c =39a +3b +c =1．∴b =-1-4a c =3a +4 ．∵S 1=12PQ ×MN =12×22×43=46，S 2=12MA +MB ⋅AB =12m +n ×n -m =12×8×26=86，∴s 1-s 2 d =4643=2．设抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴的交点为(x 1，0)，(x 2，0)，∴|x 1-x 2|=2．∴x 1-x 2 2=2．∴x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=2．∵x 1，x 2是方程ax 2+bx +c =0的两个根，∴x 1+x 2=-b a ，x 1⋅x 2=c a ．∴-b a 2-4×c a =2．∴-1-4a a 2-4×3a +4a=2．整理得：2a 2-8a +1=0．解得：a =4±14．∴抛物线二次项系数a 的值为：4+14或4-14．6已知：如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠O )经过X 轴上的两点A (x 1，0)、B (x 2，0)和y 轴上的点C (0，-32)，⊙P 的圆心P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若b =3a ，AB =23，(1)求抛物线的解析式；(2)设D 在抛物线上，且C ，D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆心P ，并说明理由；(3)设直线BD 交⊙P 于另一点E ，求经过E 点的⊙P 的切线的解析式．【解答】解：(1)∵轴上的点C (0，-32)，∴c =-32，又∵b =3a ，AB =23，令ax 2+3ax -32=0，|x 1-x 2|=23，解得：a =23，b =233；∴抛物线的解析式是：y =23x 2+233x -32．(4分)(2)D (-3，-32)，直线B D 为：y =33x -12，连接BP ，设⊙P 的半径为R ，R 2=32 2+32-R 2，R =1，P (0，-12)，点P 的坐标满足直线BD 的解析式y =33x -12．∴直线B D 经过圆心P ．(3)过点E 作EF ⊥y 轴于F ，得△OPB ≌△FPE ，E (-32,-1)，设经过E 点⊙P 的切线L 交y 轴于点Q ．则∠P EQ =90°，EF ⊥PQ ，∴P E 2=P F •PQ ，∴PQ =2，Q (0，-2.5)，∴切线L 为：y =-3x -2.5．7(青竹湖)定义：如果一条直线与一条曲线有且只有一个交点，且曲线位于直线的同旁，称之为直线与曲线相切，这条直线叫做曲线的切线，直线与曲线的唯一交点叫做切点．(1)如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，以点A (0，-3)为圆心，5为半径作圆A ，交x 轴的负半轴于点B ，求过点B 的圆A 的切线的解析式；(2)若抛物线y =ax 2(a ≠0)与直线y =kx +b (k ≠0)相切于点(2，2)，求直线的解析式；(3)若函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，且当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，求k 的值．【解答】解：(1)如图1，连接AB ，记过点B 的⊙A 切线交y 轴于点E ，∴AB =5，∠ABE =90°，∵A (0，-3)，∠AOB =90°，∴OA =3，∴OB =AB 2-OA 2=52-32=4，∴B (-4，0)，∵∠OAB =∠BAE ，∠AOB =∠ABE =90°，∴△OAB ∽△BAE ，∴AB AE =OA BA ，∴AE =AB ⋅BA OA =253，∴OE =AE -OA =253-3=163，∴E (0，163)，设直线BE 解析式为：y =kx +163，∴-4k +163=0，解得：k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163，方法二：设直线BE 的解析式为y =k (x +4)，∴E (0，4k )，∴AB =5，AE =4k +3，BE =42+4k 2，由勾股定理可得，AB 2+BE 2=AE 2，∴25+16+16k 2=16k 2+9+24k ，∴k =43，∴过点B 的⊙A 的切线的解析式为y =43x +163；(2)∵抛物线y =ax 2经过点(2，2)，∴4a =2，解得：a =12，∴抛物线解析式：y =12x 2，∵直线y =kx +b 经过点(2，2)，∴2k +b =2，可得：b =2-2k ，∴直线解析式为：y =kx +2-2k ，∵直线与抛物线相切，∴关于x 的方程12x 2=kx +2-2k 有两个相等的实数根，方程整理得：x 2-2kx +4k -4=0，∴△=(-2k )2-4(4k -4)=0，解得：k 1=k 2=2，∴直线解析式为y =2x -2，(3)∵函数y =14x 2+(n -k -1)x +m +k -2的图象与直线y =-x 相切，∴关于x 的方程14x 2+(n -k -1)x +m +k -2=-x 有两个相等的实数根，方程整理得：14x 2+(n -k )x +m +k -2=0，∴△=(n -k )2-4×14(m +k -2)=0，整理得：m =(n -k )2-k +2，可看作m 关于n 的二次函数，对应抛物线开口向上，对称轴为直线x =k ，∵当-1≤n ≤2时，m 的最小值为k ，①如图2，当k <-1时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而增大，∴n =-1时，m 取得最小值k ，∴(-1-k )2-k +2=k ，方程无解，②如图3，当-1≤k ≤2时，n =k 时，m 取得最小值k ，∴-k +2=k ，解得：k =1，③如图4，当k >2时，在-1≤n ≤2时m 随n 的增大而减小，∴n =2时，m 取得最小值k ，∴(2-k )2-k +2=k ，解得：k 1=3+3，k 2=3-3(舍去)，综上所述，k 的值为1或3+3．8(麓山国际)如图，经过定点A 的直线y =k (x -2)+1(k <0)交抛物线y =-x 2+4x 于B ，C 两点(点C 在点B 的右侧)，D 为抛物线的顶点．(1)直接写出点A 的坐标；(2)如图(1)，若△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，求k 的值；(3)如图(2)，以AC 为直径作⊙E ，若⊙E 与直线y =t 所截的弦长恒为定值，求t 的值．【解答】解：(1)∵A 为直线y =k (x -2)+1上的定点，∴A 的坐标与k 无关，∴x -2=0，∴x =2，此时y =1，∴点A 的坐标为(2，1)；(2)∵y =-x 2+4x =-(x -2)2+4，∴顶点D 的坐标为(2，4)，∵点A 的坐标为(2，1)，∴AD ⊥x 轴．如图(1)，分别过点B ，C 作直线AD 的垂线，垂足分别为M ，N ，设B ，C 的横坐标分别为x 1，x 2，∵△ACD 的面积是△ABD 面积的两倍，∴CN =2BM ，∴x 2-2=2(2-x 1)，∴2x 1+x 2=6．联立y =x 2+4x y =kx -2k +1 ，得x 2+(k -4)x -2k +1=0，①解得x 1=4-k -k 2+122，x 2=4-k +k 2+122，∴2×4-k -k 2+122+4-k +k 2+122=6，化简得：k 2+12=-3k ，解得k =-62．另解：接上解，由①得x 1+x 2=4-k ，又由2x 1+x 2=6，得x 1=2+k ．∴(2+k )2+(k -4)(2+k )-2k +1=0，解得k =±62．∵k <0，∴k =-62；(3)如图(2)，设⊙E 与直线y =t 交于点G ，H ，点C 的坐标为(a ，-a 2+4a )．∵E 是AC 的中点，∴将线段AE 沿AC 方向平移与EC 重合，∴x E -x A =x C -x E ，y E -y A =y C -y E ，∴x E =12(x A +x C )，y E =12(y A +y C )．∴E (1+a 2，-a 2+4a +12)．分别过点E ，A 作x 轴，y 轴的平行线交于点F ，在Rt △AEF 中，由勾股定理得：EA 2=1+a 2-2 2+-a 2+4a +12-1 2=a 2-1 2+-a 2+4a +12-1 2，过点E作PE⊥GH，垂足为P，连接EH，∴GH=2PH，EP2=-a2+4a+12-t 2，又∵AE=EH，∴GH2=4PH2=4(EH2-EP2)=4(EA2-EP2)=4[a2-12+-a2+4a+12-12--a2+4a+12-t2]=4[a24-a+1+-a2+4a+12-12-(-a2+4a+1)+1--a2+4a+122+t(-a2+4a+1)-t2]=4[(54-t)a2+(4t-5)a+1+t-t2]．∵GH的长为定值，∴5 4-t=0，且4t-5=0，∴t=54．9(长郡)如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标是(5，4)，⊙M与y轴相切于点C，与x轴相交于A、B两点．(1)分别求A、B、C三点的坐标；(2)如图1，设经过A、B两点的抛物线解析式为y=14x-52+k，它的顶点为E，求证：直线EA与⊙M相切；(3)如图2，过点M作直线FG∥y轴，与圆分别交于F、G两点，点P为弧FB上任意一点(不与B、F重合)，连接FP、AP，FN⊥BP的延长线于点N．请问AP-BPPN是否为定值，若为定值，请求出这个值，若不为定值，请说明理由．【解答】解：(1)如图1，连接CM、AM，连接ME交x轴于点D，则ME⊥x轴，∵⊙M与y轴相切于点C，点M的坐标是(5，4)，∴CM⊥y轴，即C(0，4)，⊙M的半径为5，∴AM=5，DM=4，∴AD=DB=AM2-DM2=52-42=3，∴OA=5-3=2，∴A(2，0)，B(8，0)；(2)证明：将A(2，0)代入y=14x-52+k中，可得k=-94，∴E(5，-94)，∴DE=94，∴ME=DE+MD=94+4=254，则AE2=32+942=22516，MA2+AE2=52+22516=62516，ME2=254 2=62516，∴MA2+AE2=ME2，∴MA⊥AE，又∵MA为半径，∴直线EA与⊙M相切；(3)AP-BPPN为定值，理由如下：连接AF、BF，作FQ⊥AP于点Q，∵∠FPN为圆内接四边形ABPF的外角，∴∠FPN=∠FAB，又∵MF⊥AB，∴AF=BF，∴∠FAB=∠FBA=∠FPA，∴∠FPN=∠FPA，∵FQ⊥AP，FN⊥PN，∴FQ=FN，又∵FP=FP，∴Rt△FPQ≌Rt△FPN(HL)，∴PQ=PN，又∵AF=BF，FQ=FN，∴Rt△AFQ≌Rt△BFN(HL)，∴AQ=BN，∴AP-BPPN =AQ+PQ-BPPN=BP+PN+PQ-BPPN=2PNPN=2．10(长郡)如图1，抛物线y=14x2-2x与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．(1)求∠AOB的度数；(2)如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．【解答】解：(1)令y=0，则14x2-2x=0，解得：x=0或8．∴A(8，0)．∴OA=8．∵y=14x2-2x=14x-42-4，∴B(4，-4)．过点B作BD⊥OA于点D，如图，则OD =4，BD =4，∴OD =BD ，∴∠AOB =∠OBD =45°；(2)①设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，如图，∵B (4，-4)，∴BC ⊥OA ．∵CO =CB =4，∴△CBO 是以OB 为底的等腰三角形．∴点M 与点C 重合时，△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (4，0)；过点A 作AM ⊥x 轴，交⊙A 于点M ，延长MA 交⊙A 于点E ，连接BE ，过点M 作MF ⊥y 轴于点F ，如图，则M (8，4)，E (8，-4)，F (0，4)．∴MF =ME =8．∵B (4，-4)，∴BE ∥x 轴．∴BE ⊥ME ，BE =4．∴∠BEM =∠MFO =90°，BE =OF =4．在△MOF 和△MBE 中，MF =ME∠MFO =∠BEM =90°OF =BE，∴△MOF ≌△MBE (SAS )．∴MO =MB ．∴△MBO 是以OB 为底的等腰三角形．此时点M (8，4)；综上，当△OBM 是以OB 为底的等腰三角形时，点M 的坐标为(4，0)或(8，4)；②设⊙A 与x 轴交于点C ，则C (4，0)．连接BC ，CN ，AM ，如图，AM=2．∵A(8，0)，∴点C是OA的中点．∵N为OM的中点，∴CN是△OMA的中位线．∴CN=12当点M在⊙A上运动时，由三角形的三边的关系定理可知：BC-CN≤BN≤BC+CN．∵BC=4，∴4-2≤BN≤4+2．∴线段BN长度的取值范围为：2≤BN≤6．。

中考数学圆-经典压轴题(含答案)

中考数学圆-经典压轴题(含答案)

初三中考数学与圆有关的压轴题1．如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF．（1）求证：△BFG≌△DCG；（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长；（3）在（2）的条件下，P为⊙O上一点，连接BP，CP，弦CP交直径AB于点H，若△BPH与△CPB相似，求CP的长．2．如图，AB为⊙O的直径，D是的中点，BC与AD，OD分别交于点E，F．（1）求证：OD∥AC；（2）求证：DC2＝DE•DA；（3）若⊙O的直径AB＝10，AC＝6，求BF的长．3．如图1，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点E，BD平分∠ABE交AC于F，交⊙O于点D，且∠BDE＝∠CBE．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）如图2，延长ED交直线AB于点P，若P A＝AO，DE＝2，求的值及AO的长．4．如图，已知直角△ABC中，∠ABC＝90°，BC为⊙O的直径，D为⊙O与斜边AC的交点，作∠ECB使得CA平分∠ECB，且CE⊥DE；DE与AB交与点F．（1）猜想并证明直线DE与⊙O的位置关系；（2）若DE＝3，CE＝4，求⊙O的半径；（3）记△BCD的面积为S1，△CDE的面积为S2，若S1：S2＝3：2．求sin∠AFD的值．5．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．（1）利用尺规作图，过点A作AD⊥CP于点D（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：△PCF是等腰三角形；（3）若tan∠ABC＝，BE＝7，求线段PC的长．6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC是⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E，F为CE的中点，连接BD，DF，BD与AC交于点P．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值；（3）若∠DPC＝45°，PD2+PB2＝8，求AC的长．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，∠BAD＝90°，延长AD、BC交于点F．点E在BF上，且DE＝EF．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）已知CE＝3，EF＝5，求AB的长；（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接AD，过点D作DM⊥AC，垂足为M，AB、MD的延长线交于点N．（1）求证：MN是⊙O的切线；（2）求证：DN2＝BN•（BN+AC）；（3）若BC＝6，cos C＝，求DN的长．1【解答】解：（1）∵D是的中点，则，∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，∴，∴，∴BF＝CD，又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，∴△BFG≌△DCG（AAS）；（2）如图1，连接OD交BC于点M，∵D为的中点，∴OD⊥BC，∴BM＝CM，∵OA＝OB，∴OM是△ABC的中位线，∴OM＝AC＝5，∵，∴，∴OE＝OM＝5，∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，∴EF＝DE＝＝12，∴BF＝＝＝4；（3）如图2，∵弦CP交AB于点H，则点P与点C在直径的两侧，则∠CBP＞∠HBP，∵△BPH与△CPB相似，∴∠ABP＝∠PCB，又∵∠CPB＝∠BPH，∴∠ACP＝∠BCP，∵AB是直径，则∠ACB＝∠APB＝90°，∴∠ACP＝∠BCP＝45°，过点B作BN⊥PC于点N，由（2）得AB＝26，在Rt△CBN中，CN＝BN＝BC＝12，∵∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CAB＝tan∠CPB＝，即，故PN＝5，∴PC＝CN+PN＝5+12＝17．2【解答】解：（1）因为点D是弧BC的中点，所以∠CAD＝∠BAD，即∠CAB＝2∠BAD，而∠BOD＝2∠BAD，所以∠CAB＝∠BOD，所以DO∥AC；（2）∵D是的中点，∴∠CAD＝∠DCB，∴△DCE∽△DAC，∴CD2＝DE•DA；（3）∵AB为⊙O的直径∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，BC＝.＝8，∵OD∥AC，∴△BOF∽△BAC，∴，即＝，∴BF＝4．即BF的长为4．3【解答】（1）证明：如图1中，连接BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠A+∠ABE＝90°，∵∠A＝∠D＝∠EBC，∴∠ABE+∠EBC＝90°，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）如图2中，连接OD、BE．∵BD平分∠ABE，∴D是的中点，∴OD⊥AE，∵AE⊥BE，∴BE∥OD，∵P A＝OA＝OB，∴OP＝2OB，∴＝＝2，∴PD＝2DE＝4，∵△PDB∽∠P AE，∴＝，∴PD•PE＝P A•PB，∴．4【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，证明如下：连接OD，∵CA平分∠ECB，∴∠ECD＝∠OCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ODC＝∠ECD，∴OD∥CE，∴OD⊥DE，∵D为⊙O与斜边AC的交点，∴直线DE与⊙O相切；（2）如图2，连接BD，OD，在Rt△CED中，DE＝3，CE＝4，∴DC＝＝5，∵BD为直径，∴∠BDC＝90°，∵CE⊥DE，∴∠E＝90°∴∠BDC＝∠E＝90°，∵由（1）知∠ECD＝∠DCB，∴△BDC∽△DEC，∴，即，∴BC＝，即⊙O的半径为；（3）在四边形BODF中，∠FBO＝∠FDO＝90°，∴∠BFD+∠BOD＝180°＝∠BFD+∠AFD，∴∠BOD＝∠AFD，∴sin∠BOD＝sin∠AFD，∵△BDC∽△DEC，∴＝，，∴，设BC＝2，CD＝2，∴BD＝＝＝2，过点D作DG⊥BC于G，如图3，∵S△EDC＝BC•DG＝BD•CD，∴2×DG＝2×2．∴DG＝，在Rt△ODG中，sin∠GOD＝，∴sin∠AFD＝．5【解答】（1）解：如图，（2）证明：∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD＝90°．又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠PCB+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠PCB．又∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝∠DAC．∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB．∵CE平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴∠CAO+∠ACF＝∠PCB+∠BCF，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF，即△PCF是等腰三角形；（3）解：连接AE，∵CE平分∠ACB，∴＝，∴AE＝BE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵BE＝7，∴AB＝BE＝14，∵∠P AC＝∠PCB，∠CPB＝∠APC，∴△P AC∽△PCB，∴．又∵tan∠ABC＝，∴，∴，设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k+7，OC＝7，∵PC2+OC2＝OP2，∴（4k）2+72＝（3k+7）2，∴k＝6 （k＝0不合题意，舍去）．∴PC＝4k＝4×6＝24．6、【解答】证明：（1）证明：如图，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°，∵F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵AC⊥CE，∴∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠FCD＝∠OCF＝90°，即DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）∵∠CAE+∠E＝90°，∠CAE+∠ACD＝90°，∴∠E＝∠ACD，又∠ACE＝∠ADC＝90°，∴△ACE∽△ADC，∴，即AC2＝AD•AE．设DE＝x，则AC＝x，即（x）2＝AD（AD+x）．整理，得AD2+AD•x﹣20x2＝0．解得AD＝4x或AD＝﹣5x（舍去）．∴DC＝＝2x．∴tan∠ABD＝tan∠ACD＝＝＝2；（3）如图，过点O作OG⊥BD于点G，由垂径定理，得BG＝DG，设BG＝DG＝m，则PD＝m+PG，PB＝m﹣PG，∵PD2+PB2＝8，∴（m+PG）2+（m﹣PG）2＝8，整理，得2m2+2PG2＝8，即m2+PG2＝4．∵∠DPC＝45°，∴OG＝PG．∴OD2＝DG2+OG2＝m2+PG2＝4，∴⊙O的半径为2．∴AC＝4．7、【解答】证明：（1）连接BD，∵∠BAD＝90°，∴BD是直径，∠ABF+∠F＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ACB＝∠ADB，∴∠ADB＝∠ABC，∴∠ADB+∠F＝90°，∵DE＝EF，∴∠F＝∠EDF，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠BDE＝90°，∴DE⊥BD，又∵BD是直径，∴DE是⊙O的切线；（2）∵BD是直径，∴∠BCD＝90°＝∠DCE，∵CE＝3，DE＝EF＝5，∴CD＝＝＝4，∴DF＝＝＝4，∵∠F+∠ADB＝90°，∠ADB+∠ABD＝90°，∴∠F＝∠ABD，又∵∠BAD＝∠DCF＝90°，∴△DCF∽△DAB，∴，∴AB＝2AD，∵∠ABD＝∠F，∠BAD＝∠BAD，∴△ABD∽△AFB，∴，∴＝＝，∴AB＝；（3）∵AB＝，AB＝2AD，∴AD＝，∴BD＝＝＝，∴BO＝∵S阴影＝×π×（）2﹣×AB×AD＝π﹣××，∴S阴影＝π﹣．8、【解答】证明：（1）如图，连接OD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∵AO＝BO，BD＝CD，∴OD∥AC，∵DM⊥AC，∴OD⊥MN，又∵OD是半径，∴MN是⊙O的切线；（2）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ABC+∠BAD＝90°，∠ACB+∠CDM＝90°，∴∠BAD＝∠CDM，∵∠BDN＝∠CDM，∴∠BAD＝∠BDN，又∵∠N＝∠N，∴△BDN∽△DAN，∴，∴DN2＝BN•AN＝BN•（BN+AB）＝BN•（BN+AC）；（3）∵BC＝6，BD＝CD，∴BD＝CD＝3，∵cos C＝＝，∴AC＝5，∴AB＝5，∴AD＝＝＝4，∵△BDN∽△DAN，∴＝＝，∴BN＝DN，DN＝AN，∴BN＝（AN）＝AN，∵BN+AB＝AN，∴AN+5＝AN∴AN＝，∴DN＝AN＝．。

中考数学 抛物线-压轴题

中考数学 抛物线-压轴题

数学中考题精选----------抛物线1、在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （－4，0），B （0，－4），C （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值． （3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 直接写出相应的点Q 的坐标．2、已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A （0，4），且抛物线的对称轴为直 线x ＝2． （1）求该抛物线的解析式； （2）若该抛物线的顶点为B ，在抛物线上是否存在点C ，使得A 、B 、O 、C 点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C （3）试问在抛物线上是否存在着点P ，使得以3为半径的⊙P 既与x 又与对称轴相交？若存在，请求出点P 的坐标，并求出对称轴被⊙P 的弦EF 的长度；若不存在，请说明理由．3、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的顶点坐标为Q （2，－1），且与y 轴交于点C （0，3），与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． （1）求该抛物线的函数关系式；（2）当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标； （3）在题（2）的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．．4、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴上，OA ＝OD ＝2，OC ＝OE ＝4，DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其对称轴交于M .点，P 为线段FG 上一个动点（与F 、G 不重合），PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q ．（1）求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若抛物线的顶点为N ，连接QN ，探究四边形PMNQ 的形状：①能否成为菱形；②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．5、如图，把抛物线y＝－x2（虚线部分）向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到抛物线l1，抛物线l2与抛物线l1关于y轴对称．点A、O、B分别是抛物线l1、l2与x轴的交点，D、C分别是抛物线l1、l2的顶点，线段CD交y轴于点E．（1）分别写出抛物线l1与l2的解析式；（2）设P是抛物线l1上与D、O两点不重合的任意一点，Q点是P 点关于y轴的对称点，试判断以P、Q、C、D为顶点的四边形是什么特殊的四边形？说明你的理由．（3）在抛物线l1上是否存在点M，使得S△ABM ＝S四边形AOED ，如果存在，求出M点的坐标；如果不存在，请说明理由．6、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（3，0），B（2，－3），C（0，－3）．（1）求此函数的解析式及图象的对称轴；（2）点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．说明理由．7、如图，二次函数y＝－x2＋ax＋b的图象与x轴交于A（－21，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；（2）在x轴上方的抛物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．8、如图，Rt△ABC的顶点坐标分别为A（0，3），B（－21，23），C（1，0），∠ABC＝90°，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，33），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B．（1）求该抛物线的解析式；（2）将△ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B′，求证：四边形AOCB′是矩形，并判断点B′是否在（1）的抛物线上；（3）延长BA交抛物线于点E，在线段BE上取一点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点F，是否存在这样的点P，使四边形PADF是平行四边形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．9、如图，矩形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，A （－3，0），过点C 的直线y ＝－2x ＋4与x 轴交于点D ，二次函数y ＝－21x 2＋bx ＋c 的图象经过B 、C 两点． （1）求B 、C 两点的坐标；（2）求二次函数的解析式；（3）若点P 是CD 的中点，求证：AP ⊥CD ；（4）在二次函数的图象上是否存在这样的点M ，使以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10、如图，在平面直角坐标系中，以点A (－3，0)为圆心、5为半径的圆与x 轴相交于点B 、C 两点（点B 在点C 的左边），与y 轴相交于D 、M 两点（点D 在点M 的下方）．（1）求以直线x ＝－3为对称轴、且经过D 、C 两点的抛物线的解析式；（2）若点P 是这条抛物线对称轴上的一个动点，求PC ＋PD 的取值范围；（3）若点E 为这条抛物线对称轴上的点，则在抛物线上是否存在这样的点F ，使得以点B 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F11、如图，已知抛物线y ＝ax 2－2ax －b （a ＞0）与x 轴的一个交点为B (－1，0)，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标； （2）以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的解析式；②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．12、如图，已知抛物线与x 轴交于点A (－1，0)和点B (1，0)，与y 轴交于点C (0，－2)，直线x ＝m (m ＞1)与x 轴交于点D ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线x ＝m (m ＞1)上有一点P （点P 在第一象限），使得以P 、D 、B 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似，求点P 的坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在点Q ，使得四边形ABPQ 为平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．13、已知抛物线： x x y 22121+-= （1）求抛物线y 1的顶点坐标；（2）将抛物线y 1向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线y 2，求抛物线y 2的解析式；（3）如下图，抛物线y 2的顶点为P ，x 轴上有一动点M ，在y 1、y 2这两条抛物线上是否存在点N ，使O （原点）、P 、M 、N 四点构成以OP 为一边的平行四边形？若存在，求出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．14如图，在水平地面点A 处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B ．有人在直线AB 上点C （靠点B 一侧）竖直向上摆放无盖的圆柱形桶，试图让网球落入桶内．已知AB ＝4米，AC ＝3米，网球飞行最大高度OM =5米，圆柱形桶的直径为0.5米，高为0.3米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．（1）如果竖直摆放5个圆柱形桶时，网球能不能落入桶内？ （2）当竖直摆放圆柱形桶多少个时，网球可以落入桶内？15、已知抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 交y 轴于点A ，点A 关于抛物线对称轴的对称点为B （3，－4），直线y ＝41x 与抛物线在第一象限的交点为C ，连结OB ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点P 在射线．．OC ．．上运动，连结BP ，设点P 的横坐标为x ，△OBP 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式； （3）如图（2），点P 在直线．．OC ．．上运动，点Q 在抛物线上运动，试问点P 、Q 在运动过程中是否存在以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图（1） 图（2） 备用图。

中考数学压轴题20题(含答案_)

中考数学压轴题20题(含答案_)

中考数学压轴题复习20题1．在平面直角坐标系xO y 中，抛物线y ＝－41 m x2＋45mx ＋m2－3m ＋2与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q 点运动时，M 点、N 点也随之运动）．若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．2．在平面直角坐标系中，矩形OACB 的顶点O 在坐标原点，顶点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，OA ＝3，OB ＝4，D 为边OB 的中点．（Ⅰ）若E 为边OA 上的一个动点，当△CDE 的周长最小时，求点E 的坐标；（Ⅱ）若E 、F 为边OA 上的两个动点，且EF ＝2，当四边形CDEF 的周长最小时，求点E 、F 的坐标．3．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－x2＋bx ＋c 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E ．（Ⅰ）若b ＝2，c ＝3，求此时抛物线顶点E 的坐标；（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE＝S △ABC，求此时直线BC的解析式；（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE＝2S △AOC，且顶点E 恰好落在直线y ＝－4x ＋3上，求此时抛物线的解析式．4．如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，半径为1的圆A 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，连结DE 并延长，与线段BC 的延长线交于点P ． （1）当∠B ＝30°时，连结AP ，若△AEP 与△BDP 相似，求CE 的长； （2）若CE ＝2，BD ＝BC ，求∠BPD 的正切值；（3）若tan ∠BPD ＝31，设CE ＝x ，△ABC 的周长为y ，求y 关于x 的函数关系式．5．已知：如图①，在平面直角坐标系xO y 中，边长为2的等边△OAB 的顶点B 在第一象限，顶点A 在x 轴的正半轴上．另一等腰△OCA 的顶点C 在第四象限，OC ＝AC ，∠C ＝120°．现有两动点P ，Q 分别从A ，O 两点同时出发，点Q 以每秒1个单位的速度沿OC 向点C 运动，点P 以每秒3个单位的速度沿A →O →B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止. （1）求在运动过程中形成的△OPQ 的面积S 与运动的时间t 之间的函数关系，并写出自变量t 的取值范围； （2）在等边△OAB 的边上（点A 除外）存在点D ，使得△OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点D 的坐标；（3）如图②，现有∠MCN ＝60°，其两边分别与OB ，AB 交于点M ，N ，连接MN ．将∠MCN 绕着C 点旋转（0°＜旋转角＜60°），使得M ，N 始终在边OB 和边AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化？若没变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．6．已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ＞0）的图象经过点B （12，0）和C （0，－6），对称轴为x ＝2． （1）求该抛物线的解析式：（2）点D 在线段AB 上且AD ＝AC ，若动点P 从A 出发沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q 以某一速度从C 出发沿线段CB 匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ 被直线CD 垂直平分？若存在，请求出此时的时间t （秒）和点Q 的运动速度；若不存在，请说明理由；AE C B P D 图2（备用） B PE C D A 图3（备用） A B C P E D 图1图②图①（3）在（2）的结论下，直线x ＝1上是否存在点M ，使△MPQ 为等腰三角形？若存在，请求出所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线y ＝ax2＋bx ＋1与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y ＝21x2＋bx ＋c 与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，－1）．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由．9．如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为k （k ＞1），且△ABC 的三边长分别为a 、b 、c （a ＞b ＞c ），△A 1B 1C 1的三边长分别为a 1、b 1、c 1． （1）若c ＝a 1，求证：a ＝kc ；（2）若c ＝a 1，试给出符合条件的一对△ABC 和△A 1B 1C 1，使得a 、b 、c 和a 1、b 1、c 1都是正整数，并加以说明；（3）若b ＝a 1，c ＝b 1，是否存在△ABC 和△A 1B 1C 1，使得k ＝2？请说明理由．10．如图，Rt △ABC 内接于⊙O ，AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 与⊙O 交于点D ，与BC 交于点E ，延长BD ，与AC 的延长线交于点F ，连结CD ，G 是CD 的中点，连结OG ． （1）判断OG 与CD 的位置关系，写出你的结论并证明； （2）求证：AE ＝BF ； （3）若OG ·DE ＝3(2－2)，求⊙O 的面积．11．已知：抛物线y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的对称轴为x ＝－1，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中A （－3，0）、C （0，－2）． （1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点P 的坐标．（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E ，连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，△PDE 的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．12．（本小题满分12分）如图，BD 是⊙O 的直径，OA ⊥OB ，M 是劣弧上一点，过M 点作⊙O 的切线MP 交OA 的延长线于P 点，MD 与OA 交于N 点． （1）求证：PM ＝PN ； （2）若BD ＝4，P A ＝23AO ，过B 点作BC ∥MP 交⊙O 于C 点，求BC 的长． B C AA 1 a b cB 1C 1 a 1b 1c 1 A C B F D EO G13．如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO ，其顶点为A （0，1）、B （－33，1）、C （－33，0）、O （0，0）．将此矩形沿着过E （－3，1）、F （－334，0）的直线EF 向右下方翻折，B 、C 的对应点分别为B ′、C ′．（1）求折痕所在直线EF 的解析式；（2）一抛物线经过B 、E 、B ′三点，求此二次函数解析式；（3）能否在直线EF 上求一点P ，使得△PBC 周长最小？如能，求出点P 的坐标；若不能，说明理由．14．已知：甲、乙两车分别从相距300（km ）的M 、N回，图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y （km ）与行驶时间x （h ）之间的函数图象． （1）试求线段AB所对应的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当它们行驶到与各自出发地的距离相等时，用了29h ，求乙车的速度； （3）在（2）的条件下，求它们在行驶的过程中相遇的时间．y h图1y h图215．如图1，在△ABC 中，AB ＝BC ，且BC ≠AC ，在△ABC 上画一条直线，若这条直线．．既平分△ABC 的面积，又平分△ABC 的周长，我们称这条线为△ABC 的“等分积周线”． （1）请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC 的“等分积周线”；（2）在图1中过点C 能否画出一条“等分积周线”？若能，说出确定的方法；若不能，请说明理由； （3）如图2，若AB ＝BC ＝5cm ，AC ＝6cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要说明确定的方法．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，点P 以一定的速度沿AC 边由A 向C 运动，点Q 以1cm/s 的速度沿CB 边由C 向B 运动，设P 、Q 同时运动，且当一点运动到终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t （s ）． （1）若点P 以43cm/s 的速度运动 ①当PQ ∥AB 时，求t 的值；②在①的条件下，试判断以PQ 为直径的圆与直线AB 的位置关系，并说明理由．（2）若点P 以1cm/s 的速度运动，在整个运动过程中，以PQ 为直径的圆能否与直线AB 相切？若能，请求出运动时间t ；若不能，请说明理由．17．青海玉树发生7.1级强震后，为使人民的生命财产损失降到最低，部队官兵发扬了连续作战的作风。

中考数学压轴题 (附答案)

中考数学压轴题 (附答案)

一、中考数学压轴题1．附加题：在平面直角坐标系中，抛物线21y ax a =-与y 轴交于点A ，点A 关于x 轴的对称点为点B ，（1）求抛物线的对称轴；（2）求点B 坐标（用含a 的式子表示）；（3）已知点11,P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(3,0)Q ，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求a 的取值范围． 2．已知：如图，AB 为O 的直径，弦CD AB ⊥垂足为E ，点H 为弧AC 上一点．连接DH 交AB 于点F ，连接HA 、BD ，点G 为DH 上一点，连接AG ，HAG BDC ∠=∠． （1）如图1，求证：AG HD ⊥；（2）如图2，连接HC ，若HC HF =，求证：HC HA =；（3）如图3，连接HO 交AG 于点K ，若点F 为DG 的中点，HC 2HG =，求KG AK的值．3．如图，已知抛物线()2y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值；（3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ．（1）求证：EDO EAO ∆≅∆；（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）连接AG ，当AEG ∆是等腰三角形时，求BF 的长．5．如图①，四边形ABCD 中，//,90AB CD ADC ∠=︒．（1）动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿路线A B C D →→→运动到点D 停止，设运动时间为a ，AMD ∆的面积为,S S 关于a 的函数图象如图②所示，求AD CD 、的长．（2）如图③动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿路线A D C →→运动到点C 停止，同时，动点Q 从点C 出发，以每秒5个单位的速度沿路线C D A →→运动到点A 停止，设运动时间为t ，当Q 点运动到AD 边上时，连接CP CQ PQ 、、，当CPQ ∆的面积为8时，求t 的值．6．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B -，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范围；（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围．7．∠MON=90°，点A ，B 分别在OM 、ON 上运动（不与点O 重合）．（1）如图①，AE 、BE 分别是∠BAO 和∠ABO 的平分线，随着点A 、点B 的运动，∠AEB= °（2）如图②，若BC 是∠ABN 的平分线，BC 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点D ①若∠BAO=60°，则∠D= °．②随着点A ，B 的运动，∠D 的大小会变吗？如果不会，求∠D 的度数；如果会，请说明理由．（3）如图③，延长MO 至Q ，延长BA 至G ，已知∠BAO ，∠OAG 的平分线与∠BOQ 的平分线及其延长线相交于点E 、F ，在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的3倍，求∠ABO 的度数．8．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”．（1）当2≤a ≤3时，①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________；②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围；（2）已知函数()10Z x x x=+>，请利用特征点求出该函数的最小值．9．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点．已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝12x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．10．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若161A E EC=-，求n m 的值． （3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持BE n BG m =，设AB=33，试探究点E 移动过程中，PF 是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点B 与点C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式．（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围．②当S 取得最值时，求点P 的坐标．（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．12．如图1，平面直角坐标系xoy 中，A (－4，3)，反比例函数(0)k y k x=<的图象分别交矩形ABOC 的两边AC ，BC 于E ，F （E ，F 不与A 重合），沿着EF 将矩形ABOC 折叠使A ，D 重合．（1）①如图2，当点D 恰好在矩形ABOC 的对角线BC 上时，求CE 的长；②若折叠后点D 落在矩形ABOC 内（不包括边界），求线段CE 长度的取值范围． （2）若折叠后，△ABD 是等腰三角形，请直接写出此时点D 的坐标．13．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，60C ︒∠=（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直接写出此时,H I 点的坐标.14．（1）探究发现数学活动课上，小明说“若直线21y x =-向左平移3个单位，你能求平移后所得直线所对应函数表达式吗？”经过一番讨论，小组成员展示了他们的解答过程：在直线21y x =-上任取点()01A -，， 向左平移3个单位得到点()31，'--A 设向左平移3个单位后所得直线所对应的函数表达式为2y x n =+．因为2y x n =+过点()31，'--A ， 所以61n -+=-，所以5n =，填空：所以平移后所得直线所对应函数表达式为（2）类比运用已知直线21y x =-，求它关于x 轴对称的直线所对应的函数表达式；（3）拓展运用将直线21y x =-绕原点顺时针旋转90°，请直接写出：旋转后所得直线所对应的函数表达式 ．15．已知：菱形 ABCD ，点 E 在线段 BC 上，连接 DE ，点 F 在线段 AB 上，连接 CF 、DF ， CF 与 DE 交于点 G ，将菱形 ABCD 沿 DF 翻折，点 A 恰好落在点 G 上．（1）求证：CD=CF ；（2）设∠CED = x ，∠DCF = y ，求 y 与 x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） （3）在（2）的条件下，当 x =45°时，以 CD 为底边作等腰△CDK ，顶角顶点 K 在菱形 ABCD 的内部，连接 GK ，若 GK ∥CD ，CD =4 时，求线段 KG 的长．16．如图，抛物线214y x bx c =++与x 轴交于点A （-2，0），交y 轴于点B （0，52-）．直线32y kx =+过点A 与y 轴交于点C ，与抛物线的另一个交点是D ．(1) 求抛物线214y x bx c =++与直线32y kx =+的解析式； (2)点P 是抛物线上A 、D 间的一个动点，过P 点作PM ∥CE 交线段AD 于M 点.①过D 点作DE ⊥y 轴于点E ，问是否存在P 点使得四边形PMEC 为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由;②作PN ⊥AD 于点N ，设△PMN 的周长为m ，点P 的横坐标为x ，求m 关于x 的函数关系式，并求出m 的最大值．17．如图，在等边△ABC 中，AB =BC =AC =6cm ，点P 从点B 出发，沿B →C 方向以1．5cm/s 的速度运动到点C 停止，同时点Q 从点A 出发，沿A →B 方向以1cm/s 的速度运动，当点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动，连接PQ ，过点P 作BC 的垂线，过点Q 作BC 的平行线，两直线相交于点M ．设点P 的运动时间为x （s ），△MPQ 与△ABC 重叠部分的面积为y （cm 2）（规定：线段是面积为0的图形）．（1）当x = （s ）时，PQ ⊥BC ；（2）当点M 落在AC 边上时，x = （s ）；（3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．18．在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，且60ECF ∠=︒．（1）如图1，若AB BC =，求证：AE AF BC +=；（2）如图2，若4AB BC ==，且点E 为AB 的中点，连接BF 交CE 于点M ，求FM ；（3）如图3，若AB kBC =，探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系，说明理由．19．ABC 内接于O ，AB BC =，连接BO ；（1）如图1，连接CO 并延长交O 于点M ，连接AM ，求证：//AM BO ；（2）如图2，延长BO 交AC 于点H ，点F 为BH 上一点，连接AF ，若AH HF AB BF =，求证：BAF HAF ∠=∠；（3）在（2）的条件下，如图3，点E 为AB 上一点，点D 为O 上一点，连接ED 、OE ，若CBD 3ABH 90∠+∠=︒，若OF 3=，FH 4=，13623EBD S ∆=，连接OE ，求线段OE 的长．20．如图①，△ABC 是等腰直角三角形，在两腰AB 、AC 外侧作两个等边三角形ABD 和ACE ，AM 和AN 分别是等边三角形ABD 和ACE 的角平分线，连接CM 、BN ，CM 与AB 交于点P ．（1）求证：CM ＝BN ；（2）如图②，点F 为角平分线AN 上一点，且∠CPF ＝30°，求证：△APF ∽△AMC ； （3）在（2）的条件下，求PF BN的值． 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ，斜边AB 在x 轴上，且点A 的坐标为()9,0-，点D 是AC 的中点，点E 是BC 边上的一个动点，抛物线212y ax bx =++过D ，C ，E 三点．（1）当//DE AB 时，①求抛物线的解析式；②平行于对称轴的直线x m =与x 轴，DE ，BC 分别交于点F ，H ，G ，若以点D ，H ，F 为顶点的三角形与GHE △相似，求点m 的值．（2）以E 为等腰三角形顶角顶点，ED 为腰构造等腰EDG △，且G 点落在x 轴上.若在x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时，请直接写出．．．．点E 的坐标． 22．如图，直角梯形ABCD 中，1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ︒︒∠∠＝＝＝＝的圆心1O 从点A 开始沿折线——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动，2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以3/cm s 的速度向点A 运动，1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ，若12,O O 分别从点A 、点B 同时出发，运动的时间为ts（1）请求出2O 与腰CD 相切时t 的值； （2）在03s t s ≤＜范围内，当t 为何值时，1O 与2O 外切？23．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数()4x 0xy =>的图像上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将()4x 0xy =>的图像绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A’，B 点的对应点为B’．（1）点A’的坐标是 ，点B’的坐标是 ；（2）在x 轴上取一点P ，使得PA+PB 的值最小，直接写出点P 的坐标． 此时在反比例函数()4x 0xy =>的图像上是否存在一点Q ，使△A’B’Q 的面积与△PAB 的面积相等，若存在，求出点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AB’，动点M 从A 点出发沿线段AB’以每秒1个单位长度的速度向终点B’运动；动点N 同时从B’点出发沿线段B’A’以每秒1个单位长度的速度向终点A’运动．当其中一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒，试探究：是否存在使△MNB’为等腰直角三角形的t 值．若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．24．（操作发现）如图1，ABC ∆为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，先将三角板的90︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于45︒），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ．在三角板另一直角边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使45DCE ∠=︒，连接AF ，EF ．（1）请求出EAF ∠的度数？ （2）DE 与EF 相等吗？请说明理由；（类比探究）如图2，ABC ∆为等边三角形，先将三角板中的60︒角与ACB ∠重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0︒且小于30）.旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D .在三角板斜边上取一点F ，使CF CD =，线段AB 上取点E ，使30DCE ∠=︒，连接AF ，EF .（3）直接写出EAF∠=_________度；（4）若1AE =，2BD =，求线段DE 的长度.25．问题背景：如图（1），ABC 内接于O ，过点A 作O 的切线l ，在l 上任取一个不同于点A 的点P ，连接PB PC 、，比较BPC ∠与BAC ∠的大小，并说明理由．问题解决：如图（2），A （0，2）、B （0，4），在x 轴正半轴上是否存在一点P ，使得cos APB ∠最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．拓展应用：如图（3），四边形ABCD 中，//AB CD ，AD CD ⊥于D ，E 是AB 上一点，AE AD =，P 是DE 右侧四边形ABCD 内一点，若8AB =，11CD =，tan 2C =，9DEPS=，求sin APB ∠的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、中考数学压轴题 1．B解析：（1）直线x=0；（2）B （0，1a ）；（3）2-≤a ≤13-或13≤a 2 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的表达式直接得出对称轴即可；（2）根据题意得出点A 的坐标，再利用关于x 轴对称的点的坐标规律得出点B 坐标； （3）分a ＞0和a ＜0两种情况分别讨论，画图图像，求出a 的范围. 【详解】解：（1）在抛物线21y ax a=-中， 002a-=， ∴对称轴为直线x=0，即y 轴； （2）∵抛物线与y 轴交于点A ，∴A （0，1a-）， ∵点A 关于x 轴的对称点为点B ，∴B （0，1a）； （3）当a ＞0时，点A （0，1a-）在y 轴负半轴上， 当点P 恰好在抛物线上时，代入得：11a a a-=，解得：2a=或2-（舍），当点Q恰好在抛物线上时，代入得：190 aa-=，解得：13a=或13-（舍），∴当13≤a≤2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；当a＜0时，点A（0，1a-）在y轴正半轴上，同理可知：当点P恰好在抛物线上时，代入得：11aa a -=，解得：2a=（舍）或2-，当点Q恰好在抛物线上时，代入得：190 aa-=，解得：13a=（舍）或13-，∴当2-≤a≤13-时，抛物线与线段PQ只有一个公共点；综上：若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，a的取值范围是2-≤a≤13 -或13≤a2.【点睛】本题是一道二次函数的综合题目，主要考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用分类讨论的方法和数形结合的思想解答．2．A解析：（1）详见解析；（2）详见解析；（3）15KG AK = 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得90AHG HAG ∠+∠=︒，进而得到90AGH ∠=︒，即可证明AG HD ⊥；（2）连接AC 、AD 、CF ，根据同弧所对的圆周角相等，进行角度计算，得HFA HAF ∠=∠，进而得到HF HA =，再根据已知HC HF =，得到HC HA =； （3）在DH 上截取DT HC =，过点C 作CM HD ⊥于点M ，通过证明AHC ≌ATD 得到AH AT =，进而得到HG CH GD +=，再根据F 为DG 中点，得到GF DF =，通过勾股定理逆用，证明90HCF ∠=︒，再通过解ACE △得1tan 3CAB ∠=，解△CDH 得1tan 2CDF ∠=，求得OF 、OH ，逆用勾股定理证明90HOF ∠=︒，易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=，最后求得KGAK的值． 【详解】（1）证明：如图，设HAG ∠为α，∵HAG BDC ∠=∠， ∴HAG BDC α∠=∠=， ∵CD AB ⊥，∴90BDC DBE ∠+∠=︒ ∴90DBE α∠=︒-，∵AHG ∠与ABD ∠为同对弧AD 所对的圆周角， ∴90AHG ABD α∠=∠=︒-， ∴90AHG HAG ∠+∠=︒，∴18090AGH AHG HAG ∠=︒-∠-∠=︒ ∴AG HD ⊥（2）如图，连接AC 、AD 、CF ，∵AB 为直径，AB CD ⊥， ∴CE DE =， ∴AB 垂直平分CD ， ∴AC AD =，FC FD =，∴ACD ADC ∠=∠，FCD FDC ∠=∠，∴ACD FCD ADC FDC ∠-∠=∠-∠，即ACF ADF ∠=∠， 设FCD FDC α∠=∠=，ACF ADF β∠=∠=， ∵ADH ∠与ACH ∠为同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH β∠=∠=， ∴2HCF HCA ACF β∠=∠+∠=， ∵HFC FCD FDC ∠=∠+∠， ∴2HFC α∠=， ∵HC HF =， ∴HCF HFC ∠=∠， ∴22αβ=， ∴αβ=， ∵AB 为直径， ∴90ADB ∠=︒， ∴90HDB β∠=︒-，∵HAB ∠与为HDB ∠同对弧BH 所对的圆周角， ∴90HAB HDB β∠=∠=︒-， ∵AB CD ⊥，∴9090BFD αβ∠=︒-=︒-， ∵9090HFA BFD αβ∠=∠=︒-=︒-， ∴HFA HAF ∠=∠， ∴HF HA =， ∴HC HA =；（3）如图，在DH 上截取DT HC =，∵ADH ∠与ACH ∠同对弧AH 所对的圆周角， ∴ADH ACH ∠=∠， ∵AB 为直径，且AB CD ⊥ ∴AC =AD ， ∴AC AD =， ∴AHC ≌ATD ， ∴AH AT =， ∵AG HT ⊥， ∴HG TG =，∴HG CH GT DT GD +=+=， 设2HG k =，则4CH k =，GD 6k =， ∵F 为DG 中点， ∴3GF DF k ==，∴5HF HG GF k =+=，FD =CF =3k ，在HCF 中，由勾股定理逆定理得90HCF ∠=︒， 过点C 作CM HD ⊥于点M ， 由△HCF 面积，可求CM =125k ， ∴229=5MF CF CM k -=， ∴1tan 2CM CM CDF MD MF FD ∠===+， 解ACE △得1tan 3CAB ∠=， 易求OF ，OH ，由勾股定理逆定理得90HOF ∠=︒， 易求1tan 2KHG ∠=，1tan 3HAG ∠=， ∴15KG AK =． 【点睛】本题考查圆与三角形综合，主要考查知识点有同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形全等的判定与性质，勾股定理的逆用，解直角三角形，锐角三角函数等，知识点跨度大，计算量多；熟练掌握圆的性质和三角形相关知识是解决本题的关键．3．B解析：（1）213y x x 222=+-；（2）4；（3）存在，Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】 【分析】()1根据题意将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式，即可求解；()2由题意设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，BMC1SMK OB 2=⋅⋅，即可求解； ()3由题意和如图所示可知，1tan QHN 2∠=，在RtQNH 中，QH m 6=+，222QN OQ (2)m m 4==-+=+，2QN m 4sin QHN QH5∠+===，进行分析计算即可求解． 【详解】解：()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得：422316420a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则抛物线的解析式为：213y x x 222=+-； ()2过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点K ，将点B 、C 的坐标代入一次函数表达式：y k'x b'=+得：04'''2k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得：1'2'2k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， 则直线BC 的表达式为：1y x 22=--， 设点M 的坐标为213x,x x 222⎛⎫+- ⎪⎝⎭，则点1K x,x 22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 22BMC1113SMK OB 2x 2x x 2x 4x 2222⎛⎫=⋅⋅=----+=-- ⎪⎝⎭， a 10=-<，BMC S∴有最大值，当bx 22a=-=-时， BMCS最大值为4，点M 的坐标为()2,3--；()3如图所示，存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆，切点为N ，过点M 作直线平行于y 轴，交直线AC 于点H ，点M 坐标为()2,3--，设：点Q 坐标为()2,m -， 点A 、C 的坐标为()1,0、()0,2-，OA 1tan OCA OC 2∠==， QH //y 轴， QHN OCA ∠∠∴=， 1tan QHN 2∠∴=，则sin QHN 5∠=将点A 、C 的坐标代入一次函数表达式：y mx n =+得：02m n n +=⎧⎨=-⎩，则直线AC 的表达式为：y 2x 2=-， 则点()H 2,6--，在Rt QNH 中，QH m 6=+，QN OQ ===QN sin QHNQHm 6∠===+， 解得：m 4=或1-，即点Q 的坐标为()2,4-或()2,1--． 【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本知识，本题难点是()3，核心是通过画图确定圆的位置，本题综合性较强．4．A解析：（1）详见解析；（2）y =（04x <<）；（3）当AEG ∆是等腰三角形时，2BF =或43【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到122AN BN ON AB ====，根据勾股定理得到OF ===线段成比例定理即可得到结论；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论． 【详解】（1）∵四边形ABCD 是正方形，,OA OD AC BD ∴=⊥，90AOD ∴∠=︒，∵四边形OEGH 是正方形，,90OE OH EOH ∴=∠=︒，AOD EOH ∴∠=∠，AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠， 即HOD EOA ∠=∠， HDO EAO ∴∆≅∆．（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，则122AN BN ON AB ====， ∵BF=x， ∴AF=4-x ， ∴FN=2-x ， ∴()222222248OF FN ON x x x =+=-+=-+，∴248EF y x x =--+， ∵AM⊥A C ， ∴AE∥OB， ∴BF OF AF EF＝， ∴2248448x x x x y x x -+=---+， ∴()244804x x y x -+≤＝＜；（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，则AE=OE ， ∵∠EAO=90°， ∴这种情况不存在；②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形， 如图2，过A 作AP⊥EG 于P ，则AP∥OE，∴∠PAE=∠AEO，∴△APE∽△EAO，∴PE AE OA OE=，∵AE=AG，∴241482x xPE y-+==，()22248xAE yx-=-=，∴()22222224448448xx xxx xxx---+=+，解得：x=2，②当GE=AG时，△AEG是等腰三角形，如图3，过G作GQ⊥AE于Q，∴∠GQE=∠EAO=90°，∴∠GEQ+∠EGQ=∠GEQ+∠AEO=90°，∴∠EGQ=∠AEO，∵GE=OE，∴△EGQ≌△OEA（AAS），∴22EQ AO==∴24242()xAE ExQ-===，∴43x=，∴BF=2或43．【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．5．C解析：（1）12,16AD CD ==；（2）277和297. 【解析】 【分析】（1）根据题意由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时16秒求出CD ，再利用三角形面积公式求得AD 即可；（2）由题意可知只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时分当P 在Q 上方时以及当P 在Q 下方时两种情况运用数形结合思维进行分析得出答案. 【详解】解：（1）由函数图象可知动点M 从A 出发，以每秒1个单位的速度从C 到D 耗时36-20=16秒，即CD=16，而此时AMD ∆的面积为96，又因为90ADC ∠=︒，即有11169622CD AD AD =⨯=,解得12AD =. 所以12,16AD CD ==.（2）由题意可知Q 运动到点A 停止的时间为285，而P 运动到点D 停止的时间为6， 所以只能有P 和Q 点都在AD 边上，此时以PQ 为底边，CD 为高，设运动时间为t ，则AP=2t ，QD=5t-16，（162855t ≤<）， ①当P 在Q 上方时，则有PQ=AD-AP-QD= 122516287t t t --+=-，可知CPQ ∆的面积为8时即11(287)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得277t =（满足条件）；②当P 在Q 下方时，则有PQ=QD-（AD-AP ）= 516(122)728t t t ---=-， 可知CPQ ∆的面积为8时即11(728)16822PQ CD t =⨯-⨯=，解得297t =（满足条件）. 所以当CPQ ∆的面积为8时，t 的值为277和297. 【点睛】本题考查四边形动点问题和一次函数结合，熟练掌握四边形动点问题的解决办法和一次函数图象的相关性质，运用数形结合思维分析是解题的关键.6．A解析：（1）()1,1E -；（2）12m -≤≤-或01m ≤≤3）9t ≤≤. 【解析】 【分析】（1）首先要理解点A 是图形M 的“倍增点”的定义，将三个点逐一代入验证即可； （2）分两种情况:①点"倍增点”在O 的外部，分别求得“倍增点”横坐标的最大值和最小值，②点"倍增点"在O 的内部，依次求得“倍增点"横坐标的最大值和最小值，即可确定“倍增点”横坐标的范围；（3）分别求得线段GH 两端点为T "倍增点”时横坐标的最大值和最小值即可． 【详解】（1）()1,2D -到线段BC 的距离为2，22(12)(20)1332DC =--+-=<⨯ ∴()1,2D -不是线段BC 的倍增点；()1,1E -到线段BC 的距离为1，22(12)(10)103EC =--+-=>,∴在线段BC 上必存在一点P 使EP=3，∴()1,1E -是线段BC 的倍增点；()0,2F 到线段BC 的距离为2，22(02)(20)2232FC =-+-=<⨯ ∴()0,2F 不是线段BC 的倍增点；综上，()1,1E -是线段BC 的倍增点； （2）设直线l 上“倍增点”的横坐标为m ， 当点在O 外时，222(2)8,m m +-+≤解方程222(2)8m m +-+=， 得1131m =+，2131m =- 当点在O 内部时，22224(2)3(44(2))m m m m ++-+≥--+-+解得：m≥0或m≤-2∴直线l 上“倍增点”的橫坐标的取值范围为1312m -≤≤-或0131m ≤≤+；（3）如图所示，当点G(1,0)为T "倍增点"时， T(9,0)，此时T 的横坐标为最大值， 当点H(0,1)为T “倍增点”时，则T(63-,0)，此时T 的横坐标为最小值；∴圆心T(t, 0)的横坐标的取值范围为：639t -≤≤．【点睛】在正确理解点A 是图形M 的“倍增点”定义的基础上，利用（1）判断是否是倍增点的不等关系式，即可列不等式组求解范围．7．A解析：（1）135°；（2）①45°，②不发生变化，45°；（3）60°或45° 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理、两角互余、角平分线性质即可求解； （2）①利用对顶角相等、两角互余、两角互补、角平分线性质即可求解； ②证明和推理过程同①的求解过程；（3）由（2）的证明求解思路，不难得出EAF ∠=90°，如果有一个角是另一个角的3倍，所以不确定是哪个角是哪个角的三倍，所以需要分情况讨论；值得注意的是，∠MON=90°，所以求解出的∠ABO 一定要小于90°，注意解得取舍. 【详解】（1）()11801802118090180451352AEB EBA BAE OBA BAO ∠=︒-∠-∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒-︒=︒（2）①如图所示AD 与BO 交于点E ，()9060301180307521909030602180180756045OBA DBO NBC DEB OEA OAB D DBE DEB ∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-︒=︒∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒②∠D 的度数不随A 、B 的移动而发生变化设BAD α∠=，因为AD 平分∠BAO ，所以2BAO α∠=，因为∠AOB=90°，所以180902ABN ABO AOB BAO α∠=︒-∠=∠+∠=+。

中考数学压轴题100题精选(附答案解析)

中考数学压轴题100题精选(附答案解析)

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学压轴题100题精选含答案【001】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【002】如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ； （2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED为直角梯形？若能，求t （4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．图16【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。

专题：抛物线与圆综合探究题(含问题详解)

专题：抛物线与圆综合探究题(含问题详解)

3专题：抛物线与圆综合探究题抛物线与圆综合探究题，综合性强，难度较大，通常都作为“压轴题” ，解此类题通常需要熟练掌握抛 物线与圆相关的基本知识和基本技能，求解时注意运用有关性质，进行综合、分析、探究解题思路。

例1、抛物线y B(3,0) , C(0, 3)， (2) 在抛物线对称轴上是否存在一点 坐标；若不存在，请说明理由； (3) 平行于x 轴的一条直线交抛物线于 圆的半径. ax 2bx c 交X 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ,已知抛物线的对称轴为 x 1， 2 (1)求二次函数 y ax bx c 的解析式； P ，使点P 到B 、C两点距离之差最大？若存在，求出 P 点 M 、N 两点，若以 MN为直径的圆恰好与 x 轴相切，求此 解：(1)将C(0, 3)代入y 2 ax bx c ，得c 3 .将c2 B(3,0)代入 y ax bx c ，得 9a 3b c 0.T1是对称轴，2.二次函数得解析式是 —1 •因此，可得a 1，b2a (2) AC与对称轴的交点P 即为到B 、C 的距离之差最大的点. x 22x 3 .c 点的坐标为(0, 3), A 点的坐标为(1,0)，二直线AC的解析式是y 3x 3，又对V +■111fl\ 1XrG1称轴为x 1,二点P 的坐标(1, 6). (3)设M(X 1,y)、N(X 2,y)，所求圆的半径为r ，则X 2 X 1 2r ①，•对称轴为 X 1，二X 2 X 1 2②。

由①②得: X 2 r 1③。

将N(r21, y)代入解析式y X 2x 3，得y (r1)2 2(r 1) 3④。

整理得：y r 2 4由于圆与 x 轴相切，即有r= ± y 。

y 0时，r 2 0，解得，口「21 J 17 2(舍去);2 当y 0时，r r 4 0，解得, 「11寸17 —2 r 2 护(舍去). 所以圆的半径是 例2、已知： 点A,抛物线y (1) 试用含 1 717 或 1 V 172 2 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 ax 2 bx c 经过OA 两点。

中考数学压轴题100题含答案解析

中考数学压轴题100题含答案解析

中考数学压轴题100题精选【含答案】【001】如图，已知抛物线y a(x 3 3( a z 0)经过点A2 °)，抛物线的顶点为D , 过O作射线OM // AD •过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC •(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点0出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s) •问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若0C °B，动点P和动点Q分别从点0和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2 个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动•设它们的运动的时间为t (s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.【002】如图16,在Rt A ABC中，/ C=90 , AC = 3 , AB = 5 .点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动.伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ,且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E.点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动,点P也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t >0).(1) 当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是:(2) 在点P从C向A运动的过程中，求△ APQ的面积S与t的函数关系式；(不必写出t的取值范围)(3) 在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值.若不能，请说明理由；(4) 当DE经过点C时，请直接写出t的值.【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B (4, 0)、C ( 8, 0)、D ( 8,8) •抛物线y=ax2+bx过A、C两点.(1) 直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2) 动点P从点A出发.沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动.速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒•过点P作PE丄AB交AC于点E,①过点E作EF丄AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?②连接EQ.在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△ CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值。

2024年中考数学压轴题型-专题03 与圆有关问题的压轴题之五大题型(解析版)

2024年中考数学压轴题型-专题03 与圆有关问题的压轴题之五大题型(解析版)

专题03与圆有关问题的压轴题之五大题型目录【题型一与圆中三角形全等的有关问题】 (1)【题型二与圆中三角形相似问题的有关问题】 (5)【题型三与圆中证明直线是切线的有关问题】 (29)【题型四与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】 (40)【题型五与圆中求函数表达式的有关问题】 (50)【题型一与圆中三角形全等的有关问题】【变式训练】(1)求证：CD BF =．(2)若14BE BF ==，，求GE 的长．(3)连结GO OF ，，如图2，求证：122+EOG AOF ∠∠=【答案】(1)见解析(2)的长为3，由（1）得： CFBD =，FBC BCD ∴∠=∠，BG CG ∴=，AB 为O 的直径，CD 12DE CE CD ∴===，，AF AF =，12AOF OBF ∴∠=∠，在OCG 和OBG △中，OC OB =⎧⎪【题型二与圆中三角形相似问题的有关问题】例题：（2023·浙江宁波·校考一模）如图，已知BC 是O 的直径，点D 为BC 延长线上的一点，点A 为圆上一点，且AB AD =，AC CD =．(1)求证：ACD BAD ∽ ；(2)求证：AD 是O 的切线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到CAD B ∠=∠，由于D D ∠=∠，于是得到ACD BAD ∽ ；（2）连接OA ，根据等腰三角形的性质得到B OAB ∠=∠，得到OAB CAD ∠=∠，由BC 是O 的直径，得到90BAC ∠=︒，即可得到结论．【详解】（1）证明：（1）∵AB AD =，∴B D ∠=∠，∵AC CD =，∴CAD D ∠=∠，∴CAD B ∠=∠，∵D D ∠=∠，∴ACD BAD ∽ ；（2）连接OA ，∵OA OB =，∴B OAB ∠=∠，∴OAB CAD ∠=∠，∵BC 是O 的直径，∴90BAC ∠=︒，∴OA ⊥AD ，∴AD 是O 的切线．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式训练】(1)求证：BDE DCE △∽△．(2)若2,DE C =为BE 中点，求【答案】(1)见解析(2)3AC =【分析】（1）根据CD 平分∠BDE DCE △∽△；（2）由BDE DCE △∽△得BE DE 在由Rt DCE V 中，cos ACD ∠【详解】（1）∵CD 平分ACE ∠∴ACD DCE∠=∠∵AB DE ∥，（2）∵BDE DCE △∽△，∴BE DE DE CE=，∵点C 为BE 中点，设BC =则2a DE DE a=，∴22D E a ==，即1a =∵90ABC ∠=︒，∴90E ADC ∠=∠=︒在Rt DCE V 中，1CE CD =，∴cos cos ACD DCE ∠=∠=∴3AC =．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆等，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例，难点是正确的作出辅助线．2．（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考三模）如图，AC ，BD 交于点E ，P 为DB(1)求证：ABE DBA∽；的切线；(2)求证：PA是O(3)若E为BD的中点，求tan 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)2(1)求B D ∠-∠的值．(2)当75B ∠=︒时，求(3)若BC CE =，DOE 【答案】(1)45︒∵AB是O的直径，半径∴OAD ODA∠=∠=∵ AC AC=，∴ABC ADC∠=∠，（3）解：如图所示，连接∵ BDBD =，∴12BCD BOD =∠∠∵BC CE =，∴B CEB ∠=∠67.5=(1)求BGC ∠的度数．(2)①求证：AF BC =．②若AG DF =，求tan GBC ∠的值，(3)如图2，当点O 恰好在BG 上且1OG =时，求AC 的长．【答案】(1)90︒(2)①证明见解析；②15tan 5GBC ∠=；(3)3172+∵OB OC =，∴CBE OBC OCB ∠=∠=∠，∴OC BE ∥，∵BD CD =，BDE CDN ∠=∠∴EBD NCD ≌，∴BE CN =，DB DG = ，DBG DGB ∠=∠∴．又,DBG CAG BGD ∠=∠∠=∠ CAG AGM ∴∠=∠，MA MG ∴=．OB OC = ，OBC OCB ∴∠=∠，(1)求ACB ∠的大小（用α，β表示）；(2)连接CF ，交AB 于H （如图2）．若45β=︒，且BC EF AE CF ⨯=⨯．求证：(3)在（2）的条件下，取CH 中点M ，连接OM 、GM （如图3），若OGM ∠①求证：GM BC ∥，12GM BC =；②OM∵AF AG =，∴AFG AGF ∠∠==∴ACF AGF ∠∠==∵FAB ∠β=，∴ACB ACF ∠=∠+∠∵AF AG =，45β=︒，∴AFG G ACH ∠=∠=∠∵EAF FAC ∠=∠，∴EAF FAC ∽，∴EF AE CF FA=，∴AE CF EF FA ⨯=⨯，∵BC EF AE CF ⨯=⨯，∴BC EF EF AF ⨯=⨯，∴BC AF =，∴ AF BC=，∴45BAC AGF ∠=∠=︒，∴180454590AHC ∠=︒-︒-︒=︒，∴2AHC BAC ∠=∠；（3）①证明：如图3中，连接CG ，延长GM 交AB 于点I ．∵245OGM α∠=-︒，45AGF ∠=︒，∴2AGM α∠=，∵45AFG G ACH ∠=∠=∠=︒，∴90FAG ∠=︒，∴FG 是直径，∴90FCG ∠=︒，∵90AHC ∠=︒，∴180AHC GCH ∠+∠=︒，∴AB CG ∥，∴MHI MCG ∠=∠，∵MH MC =，HMI CMG ∠∠=，∴ASA MHI MCG ≌（），∴MI MG =，HI CG =，MGC HIM ∠=∠，∵90FAG ∠=︒，∴90FAG BAF BAG BAG α∠=∠+∠=+∠=︒，在AIG V 中，180AGM BAG HIM ∠+∠+∠=︒，∴2180BAG HIM α+∠+∠=︒即()22BAG HIM BAG αα+∠+∠=+∠，∴HIM BAG ∠=∠，又45BAC ∠=︒，【点睛】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形或全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．6．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在径CE 交AB 于点F ，连结(1)求证：AD HC ∥；(2)若2OG GC=，求tan FAG ∠的值；(3)连结BC 交AD 于点N ，若O ①若52OF =，求BC 的长；②若10AH =，求ANB 的周长；∠=∠．∴BAD CAD∴52CF =．∴54CG FG ==，∴154OG =，∴22574AG OA OG =-=．∵CE AD ⊥，∴5272AD AG ==．∵ ==AC CDDB ，∴ AD CB=，∵,AD HC FG GC =∥，∴AH AF =．∵90HCF ∠=︒，∴10AC AH AF ===．设CG x =，则,5FG x OG ==-由勾股定理得222AG AO OG =-2225(5)10x x --=-，设CG x =，则,5FG x OG x ==-由勾股定理得222AG AO OG =-2222210AF AG FG x x x =+=-+∵,AD HC FG GC =∥，∴12AH AF HF ==，∴12AG HC =．(1)设E ∠为α，请用α表示BAC ∠的度数．(2)如图1，当BE AD ⊥时，①求证：DE BG =．②当3tan ,54ABE BG ∠==时，求半径的长．(3)如图2，当BE 过圆心O 时，若tan ABE k ∠=90 ABC ADC∴∠=∠=又AB AD=，AC=∴ABC ADC△≌△．∴12 BAC CAD∠=∠=∠E BADα∠=∠=，3tan 4ABE ∠=，BG =∴3tan 4FDE ∠=，DE 3EF FG ∴==，FD =8BF BG GF ∴=+=．AB AD = ，BAC ∠AC BD ∴⊥，【题型三与圆中证明直线是切线的有关问题】(1)求证：DE 为圆O 的切线；(2)连接OC 交DE 于点F ，若cos ABC ∠O为AB中点，D为BC中点，OD AC∴∥．DE AC⊥，DE OD∴⊥，且点D在O上，DE∴是O的切线；OD AC∥，∴OF OD FC EC=．AB为O的直径，90ADB ADC∴∠=∠=︒．又D为BC的中点，【变式训练】1．（2023·浙江台州·台州市书生中学统考一模）如图，直线AB 经过O 上的点M ，并且,OA OB MA MB ==，OA 交O 于点N ．(1)求证：直线AB 是O 的切线；(2)当ON AN =时，求AOB ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)120AOB ∠=︒【分析】（1）连接OM ，根据等腰三角形的性质与判定推出OM AB ⊥，即可证明结论；（2）连接MN ，根据直角三角形的性质和圆的基本性质得出OMN 是等边三角形，从而得到60MON ∠=︒，即可求解．【详解】（1）连接OM ，∵OA OB =，∴OAB 是等腰三角形，∵MA MB =，∴OM AB ⊥，又点M 在O 上，∴直线AB 是O 的切线；（2）连接MN ，∵,OM AB ON AN ⊥=，∴MN AN ON ==，又OM ON =，∴OMN 是等边三角形，∴60MON ∠=︒，∴906030A B ==︒-︒=︒∠∠，∴120AOB ∠=︒．【点睛】本题考查了圆的性质，圆的切线证明，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．2．（2023·浙江金华·校联考模拟预测）如图，BC 是O 的直径，PB 是O 的切线，切点为B ，连接PO ，过点C 作AC PO 交O 于点A ，连接PA ．(1)求证：AP是O的切线；(2)若4cos5APO∠=，O的半径为∵OA OC=，∴OAC OCA∠=∠．∵O 的半径为3，∴3,6OA BC ==．∵POB POA △≌△，(1)求证：DG 是O 的切线．(2)已知3DG =，1EG =，求【答案】(1)见解析(2)O 的半径为5【分析】（1）连接OD ，根据（2）解：∵OD DG ⊥∴四边形ODGF 为矩形，∴3OF DG ==，OD 设O 的半径为r ，即∵1EG =，(1)求证：DC 为O 的切线；(2)若ACB ∠的角平分线CE 交线段AB 于点F ，交O 于点E ，连接BE ，求CF CE ⋅．OA OC，=∴∠=∠，OAC OCA ，DCB OAC ∠=∠∴∠=∠，OCA DCB 是直径，AB(1)求证：直线AB 是O 的切线；(2)若2BC OC =，①求tan ADB ∠的值；②作CAD ∠的平分线AP 交O 于点P 的代数式表示）．∴90OAC OAD ∠+∠=︒，又∵OA OD =，∴OAD ODA ∠=∠，∵BAC ADB ∠=∠，∴OAD BAC ∠=∠，∴90BAC OAC ∠+∠=°，即90BAO ∠=∴AB OA ⊥，又∵OA 为半径，∴直线AB 是O 的切线；（2）解：①解：∵BAC ADB ∠=∠，∴BCA BAD △∽△，∴AC BC AD BA=，2②在Rt CAD △中，22AC AD =，2AC +∴()()222222AC AC CD r +==解得233AC r =，263AD r =，∵AP 平分CAD ∠，∴CAP EAD ∠=∠，又∵APC ADE ∠=∠，∴CAP EAD △∽△，∴AC AP AE AD=，∴2423AE AP AC AD r ⋅=⋅=，∵22AB r k ==，∴24r k =，∴224212386AE AP k k ⋅=⋅=．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，会利用相似三角形的性质求解是解答的关键．【题型四与圆中求弧长、扇形面积的有关问题】(1)求证：BC BD =．(2)若,2OB OA AE ==．①求半圆O 的半径．②求图中阴影部分的面积．【变式训练】1．（2023·浙江绍兴·校联考三模）如图，已知，在ABC 中，4AB =，以AB 为直径作O ，交边BC 的中点D ．DE AC ⊥于点E ，连结AD ．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)请你给ABC 添加一个条件，并求弧【答案】(1)证明过程见详解(2)添加条件为：60DAB ∠=︒（添加条件不唯一）【分析】（1）如图所示，连接OD 由此即可求证；（2）根据圆周角的性质，可求出∵点D 是BC 的中点，点O 是∴12BD BO BC BA ==，∴OD AC ∥，∴ADO DAE ∠=∠，∵DE AC ⊥，∴90ADE DAE ∠+∠=︒，∴90ADE ADO ∠+∠=︒，∴OD DE ⊥，点D 在O 上，∥；(1)求证：OD ACAB=，求阴影部分的面积．(2)若6【答案】(1)见解析393∵OA OC =，60A ∠=︒，∴AOC 是等边三角形，过点C 作CF AO ⊥，(1)证明： BDCE =；(2)若60A ∠=︒，2BC =，求阴影部分面积．【答案】(1)证明见解析∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵BC 为O 的直径，∵AB AC =，60BAC ∠=︒，OB ∴ABC 为等边三角形，AO ∴60ABC ACB ∠=∠=︒，OB(1)求证:DE AB ⊥．(2)若3DE =，30C ∠=︒，求阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)332π23-∵AC 为直径，∴AD BC ⊥，∵AB AC =，(1)求证：ACD E∠=∠；(2)若3AC=，1AD=，求弧【答案】(1)见解析(2)π3∵直线AC与O相切于点C ∴OC CA⊥，∴190ACD︒∠+∠=，∵ED为直径，【题型五与圆中求函数表达式的有关问题】(1)求CD 的长；(2)如图2，当90PQD ∠=︒时，求PEC 的正切值；(3)如图1，设PE x DF y ==，．①求y 关于x 的函数解析式；②若20PF DQ ⨯=，求y 的值．【答案】(1)8(2)322x 73。

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合(含答案)

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合(含答案)

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F﹐且∠BOD=∠BCD，连结BD、AC、CE.（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；（3）如果AF=1，sin∠FCA=√33，求EG的长.2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−23x 2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C(52,34).（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO=∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N(n,0) (0<n<52)在x轴的正半轴上，点M(0,m)是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC=90°.①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？3．综合与探究如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，D(3,4)两点，直线AD与y 轴交于点Q．点P(m,n)是直线AD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，并且交直线AD于点E．（1）请直接写出抛物线与直线AD的函数关系表达式；（2）当CP//AD时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，∠CPE=∠QFE？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．4．如图，在梯形ABCD中，AD⊙BC，⊙B=90°，BC=6，AD=3，⊙DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边⊙EFG，设E点移动距离为x（x＞0）．（1）⊙EFG的边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在；（2）若⊙EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求y与x之间的函数关系式；（3）探究（2）中得到的函数y在x取何值时，存在最大值？并求出最大值．5．如图，抛物线y=−34x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴；（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；（3）若△BPN与△OPM面积相等，直接写出点M的坐标．6．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r＞1)，点P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A，B，若满足|PA﹣PB|＝2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图点P为⊙C的一个“完美点”.（1）当⊙O的半径为2时，﹣12)⊙O的“完①点M( 32，0)⊙O的“完美点”，点(﹣√32美点”；(填“是”或者“不是”)②若⊙O的“完美点”P在直线y＝34x上，求PO的长及点P的坐标；（2）设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围.7．平面直角坐标系xOy中有点P和某一函数图象M，过点P作x轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点P ，Q 的纵坐标分别为 y P ， y Q ．如果 y P >y Q ，那么称点P 为图象M 的上位点；如果 y P =y Q ，那么称点P 为图象M 的图上点；如果 y P <y Q ，那么称点P 为图象M 的下位点． （1）已知抛物线 y =x 2−2 .① 在点A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；② 如果点D 是直线 y =x 的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标 x D 的取值范围；（2）将直线 y =x +3 在直线 y =3 下方的部分沿直线 y =3 翻折，直线 y =x +3 的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G ．⊙H 的圆心H 在x 轴上，半径为 1 ．如果在图象G 和⊙H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的横坐标 x H 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点A 在⊙O 上，点P 在⊙O 内，给出如下定义：连接AP 并延长交⊙O 于点B ，若AP =kAB ，则称点P 是点A 关于⊙O 的k 倍特征点．（1）如图，点A 的坐标为(1，0)．①若点P 的坐标为(−12，0)，则点P 是点A 关于⊙O 的 ▲倍特征点；②在C 1(0，12)，C 2(12，0)，C 3(12，−12)这三个点中，点 ▲是点A 关于⊙O 的12倍特征点； ③直线l 经过点A ，与y 轴交于点D ，∠DAO =60°.点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于⊙O 的12倍特征点，求点E 的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y=−x+1(0<x<1)的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．9．如图，已知抛物线y=x2+bx-3c经过点A(1,0)和点B(0,-3)，与x 轴交于另一点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是抛物线对称轴上的动点，是否存在这样的点P ，使以点A、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在⊙ABC中，⊙ACB =90°，AB=10，AC=8，CD是边AB的中线．动点P 从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动．过点P作PQ⊙AC于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使点C、N始终在PQ的异侧，且PN= 2．设矩形PQMN与⊙ACD重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间为t(s)3PQ（t>0）．（1）当点P在边CD上时，用含t的代数式表示PQ的长．（2）当点N落在边AD上时，求t的值．（3）当点P在CD上时，求S与t之间的函数关系式．（4）连结DQ，当直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分时，直接写出t的值．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= √36x2﹣114x+3 √3与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊙x轴，且交抛物线于点D，连接AD，交y轴于点E，连接AC．（1）求S⊙ABD的值；（2）如图2，若点P是直线AD下方抛物线上一动点，过点P作PF⊙y轴交直线AD于点F，作PG⊙AC交直线AD于点G，当⊙PGF的周长最大时，在线段DE上取一点Q，当PQ+ 35QE的值最小时，求此时PQ+35QE的值；（3）如图3，M是BC的中点，以CM为斜边作直角⊙CMN，使CN⊙x轴，MN⊙y 轴，将⊙CMN沿射线CB平移，记平移后的三角形为⊙C′M′N′，当点N′落在x轴上即停止运动，将此时的⊙C′M′N′绕点C′逆时针旋转（旋转度数不超过180°），旋转过程中直线M′N′与直线CA交于点S，与y轴交于点T，与x轴交于点W，请问⊙CST是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的WN′的长度；若不能，请说明理由．12．在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2−32x−2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若⊙DPQ与⊙ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．13．如图，已知抛物线与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x 轴于点F，交BC于点E，过点D作DM⊥BC，垂足为M．求线段DM的最大值；（3）已知P为抛物线对称轴上一动点，若△PBC是直角三角形，求出点P的坐标．14．如图，D是⊙ABC的BC边上一点，连接AD，作⊙ABD的外接圆，将⊙ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上.（1）求证：AE＝AB.（2）填空：①当⊙CAB＝90°，cos⊙ADB＝13，BE＝2时，边BC的长为.②当⊙BAE＝时，四边形AOED是菱形.15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连结AB，过点A作AC⊙AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连结BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连结AE并延长交x轴于点F，连结DF.（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan⊙AFC的值；（3）若⊙DEF与⊙AEB相似，求BEDE的值.16．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BG与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点D（点D在线段BG上），AC = 8，tan⊙BDC = 4 3（1）求⊙O的直径；（2）当DG= 52时，过G作GE//AD，交BA的延长线于点E，说明EG与⊙O相切.答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图，连结OC ，∵OE⊙BC ， ∴⊙OHB=90°， ∴⊙OBH+⊙BOD=90°， ∵OB=OC ， ∴⊙OBH=⊙OCB ， ∵⊙BOD=⊙BCD ， ∴⊙BCD+⊙OCB=90°， ∴OC⊙CD ，∵点C 为⊙O 上一点， ∴DF 为⊙O 的切线（2）证明：∵⊙OCD=90°， ∴⊙ECG+⊙OCE=90°， ∵OC=OE ， ∴⊙OCE=⊙OEC ， ∴⊙ECG+⊙OEC=90°， ∵⊙OEC+⊙HCE=90°， ∴⊙ECG=⊙HCE ， 在⊙CHE 和⊙CGE 中， {∠CHE ＝∠CGE ＝90°∠ECG ＝∠HCE CE ＝CE，∴⊙CHE⊙⊙CGE （AAS ） （3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB=90°， ∴⊙ABC+⊙BAC=90°， ∵DF 为⊙O 的切线， ∴⊙OCA+⊙FCA=90°， ∵OA=OC ， ∴⊙OAC=⊙OCA ， ∴⊙FCA=⊙ABC ，∴sin∠ABC =sin∠FCA =√33，设AC= √3a ，则AB=3a ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(3a)2−(√3a)2=√6a ， ∵⊙FCA=⊙ABC ，⊙AFC=⊙CFB ， ∴⊙ACF⊙⊙CFB ，∴AF CF =CF BF =AC BC =1√2，∵AF=1， ∴CF= √2 ， ∴BF =(√2)21=2 ，∴BF-AF=AB=1，∴OC =12,BC =√63，∵OE⊙BC ，∴CH =12BC =√66，∴OH =√OC 2−CH 2=(12)2−(√66)2=√36，∴HE=OE-OH= 12−√36，∵⊙CHE⊙⊙CGE ，∴EG=HE= 12−√36.2．【答案】（1）解：∵直线 y =−12x +2 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令x=0，则y=2，令y=0，则x=4， ∴A （4，0），B （0，2），∵抛物线 y =−23x 2+bx +c 经过B （0，2）， C(52,34) ，∴{2=c 34=−23×254+52b +c ，解得： {b =76c =2 ， ∴抛物线的表达式为： y =−23x 2+76x +2 ； （2）解：当点P 在x 轴上方时，点P 与点C 重合，满足 ∠PAO =∠BAO ， ∵C(52,34) ，∴P(52,34) ，当点P 在x 轴下方时，如图，AP 与y 轴交于点Q ，∵∠PAO =∠BAO ，∴B ，Q 关于x 轴对称，∴Q （0，-2），又A （4，0），设直线AQ 的表达式为y=px+q ，代入，{−2=q0=4p +q ，解得： {p =12q =−2 ，∴直线AQ 的表达式为： y =12x −2 ，联立得：{y =12x −2y =−23x 2+76x +2，解得：x=3或-2，∴点P 的坐标为（3， −12 ）或（-2，-3），综上，当 ∠PAO =∠BAO 时，点P 的坐标为： (52,34) 或（3，−12 ）或（-2，-3）； （3）解：①如图，⊙MNC=90°，过点C 作CD⊙x 轴于点D ，∴⊙MNO+⊙CND=90°，∵⊙OMN+⊙MNO=90°，∴⊙CND=⊙OMN,又⊙MON=⊙CDN=90°，∴⊙MNO⊙⊙NCD ，∴MO ND =NO CD ，即 m 52−n =n 34 ， 整理得： m =−43n 2+103n ； ②如图，∵⊙MNC=90°，以MC 为直径画圆E ，∵N(n,0) (0<n <52) ， ∴点N 在线段OD 上（不含O 和D ），即圆E 与线段OD 有两个交点（不含O 和D ）， ∵点M 在y 轴正半轴，当圆E 与线段OD 相切时，有NE= 12 MC ，即NE 2= 14MC 2， ∵M （0，m ）， C(52,34) ， ∴E （ 54， 38+m 2 ）， ∴(38+m 2)2 = 14[(52)2+(m −34)2] ， 解得：m= 2512， 当点M 与点O 重合时，如图，此时圆E 与线段OD （不含O 和D ）有一个交点，∴当0＜m ＜ 2512时，圆E 与线段OD 有两个交点， 故m 的取值范围是：0＜m ＜ 2512. 3．【答案】（1）解：∵抛物线 y =−x 2+bx +c 经过 A(−1,0) ， D(3,4) 两点，∴{−(−1)2+b ×(−1)+c =0−32+b ×3+c =4，解之得： {b =3c =4 ∴抛物线的函数关系表达式为 y =−x 2+3x +4 ，设直线 AD 的函数关系表达式为 y =kx +b ，∵直线 AD 经过 A(−1,0) ， D(3,4) 两点，∴{k ×(−1)+b =0k ×3+b =4，解之得： {k =1b =1 ∴直线 AD 的函数关系表达式为 y =x +1 ．（2）解：把 x =0 代入 y =−x 2+3x +4 ，得 y =4 ．∴点 C 坐标是（0，4），∵CP//AD∴k CP =k AD =1 ，设直线 CP 的函数关系表达式为 y =x +b ，∵将点 C （0，4），代入 y =x +b 得： b =4 ，∴直线 CP 的函数关系表达式为 y =x +4 ，∵直线 CP 与抛物线 y =−x 2+3x +4 相交于 P ，则有： x +4=−x 2+3x +4 ，解之得： x 1=0 ， x 2=2 ，把 x =2 代入 y =x +4 ，得 y =6 ，∴点P 的坐标是（2，6）．（3）解：存在点 P ，使得 ∠CPE =∠QFE ．过点 C 作 CG ⊥PF ，垂足为 G ．过点 Q 作 QH ⊥PF ，垂足为 H ．则四边形CGHQ为矩形．∴CG=QH，∠CGP=∠QHF=90°．∴当PG=HF时，△CGP≌△QHF，这时∠CPG=∠QFH，即∠CPE=∠QFE．设P(m,−m2+3m+4)，则PG=−m2+3m+4−4=−m2+3m．∵HF=QO=1．∴−m2+3m=1，解得m=3+√52或m=3−√52．4．【答案】（1）x；D（2）解：①当0＜x≤2时，⊙EFG在梯形ABCD内部，所以y= √34x2；②分两种情况：⊙．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，⊙EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，∵⊙FNC=⊙FCN=30°，∴FN=FC=6﹣2x．∴GN=3x﹣6．∵在Rt⊙NMG中，⊙G=60°，GN=3x﹣6，∴GM= 12（3x﹣6），由勾股定理得：MN= √32（3x﹣6），∴S⊙GMN= 12×GM×MN= 12× 12（3x﹣6）× √32（3x﹣6）= √38（3x﹣6）2，所以，此时y= √34x2﹣√38（3x﹣6）2=﹣7√38x2+9√32x−9√32；⊙．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，⊙EFG与梯形ABCD重叠部分为⊙ECP，∵EC=6﹣x，∴y= √38（6﹣x）2= √38x2﹣3√32x+ 9√32，⊙．当x＞6时，点E，F都在线段BC的延长线上，没公共部分，∴y=0（3）解：当0＜x≤2时，∵y= √34x2，在x＞0时，y随x增大而增大，∴x=2时，y最大= √3；当2＜x＜3时，∵y=﹣9√37x 2+9√32x−9√32在x= 187时，y最大= 9√37；当3≤x≤6时，∵y= √38x−3√32x+9√32，在x＜6时，y随x增大而减小，∴x=3时，y最大= 9√38．综上所述：当x= 187时，y最大=9√37．5．【答案】（1）解：∵抛物线y=−34x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，∴{−34×16+4 b+c=0c=3，解得{b=94c=3，∴抛物线y=−34x 2+94x+3=−34(x−32)2+7516；∴抛物线的对称轴为直线x=32（2）解：设直线A(4，0)，B(0，3)的解析式为y=ax+d，∴{4a+d=0d=3，解得{a=−34 d=3，∴直线AB的表达式为：y=−34x+3；∵点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴PN//y轴，即PN//OB，且点N在点P上方，若以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，则只需要PN=OB，∴−34m2+94m+3−(−34m+3)=3，解得m=2；即当m=2时，以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形．（3）解：M（1，0）6．【答案】（1）不是；是；解：如图1，根据题意，|PA−PB|＝2，∴|OP+2−(2−OP)|＝2，∴OP＝1. 若点P在第一象限内，作PQ⊙x轴于点Q，∵点P在直线y＝34x上，OP＝1，∴OQ=45,PQ=3 5 .∴P( 45,35). 若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣45，﹣35). 综上所述，PO的长为1，点P的坐标为( 45,35)或（−45,−35）).（2）解：对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2.∴CP＝1.∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”.因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆.设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，当⊙C 移动到与y 轴相切且切点在点D 的上方时，t 的值最大.设切点为E ，连接CE ，∵⊙C 的圆心在直线y ＝﹣2x+1上，∴此直线和y 轴，x 轴的交点D(0，1)，F( 12，0)， ∴OF ＝ 12，OD ＝1， ∵CE⊙OF ，∴⊙DOF⊙⊙DEC ，∴OD DE =OF CE， ∴1DE =12， ∴DE ＝2，∴OE ＝3，t 的最大值为3，当⊙C 移动到与y 轴相切且切点在点D 的下方时，t 的值最小.同理可得t 的最小值为﹣1.综上所述，t 的取值范围为﹣1≤t≤3.7．【答案】（1）解：① A ，C ②∵点D 是直线 y =x 的图上点，∴点D 在 y =x 上. 又∵点D 是 y =x 2−2 的上位点， ∴点D 在 y =x 与y =x 2−2 的交点R ，S 之间运动. ∵{y =x 2−2,y =x.∴{x 1=−1,y 1=−1. {x 2=2,y 2=2.∴点R( −1 ， −1 )，S( 2 ， 2 ). ∴−1<x D <2 .（2）解：如图，当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求.将y=x+3沿直线y=3翻折后的直线的解析式为y=−x+3当y=x+3=0时，x=−3，∴A(-3,0),OA=3当x=0时，y=x+3=3∴C(0,3),OC=3∴OA=OC∵∠AOC=90°∴∠CAO=45°∴AH1=rsin45°=1√22=√2∵A(-3,0)∴x H1=−3+√2同理可得x H2=3−√2∴线段EF上同时存在图象G的上位点，图上点和下位点，圆心H的横坐标x H的取值范围为x H>3−√2或x H<−3+√2.8．【答案】（1）解：①34②C3③如图所示，设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊙x轴于F，∵点E 是点A 关于⊙O 的12倍的特征点， ∴AE AB =12， ∴E 是AB 的中点，∴OE⊙AB ，∵⊙EAO=60°，∴⊙EOA=30°，∴AE =12OA =12，EF =12OE ， ∴OE =√OA 2−AE 2=√32， ∴EF =√34， ∴OF =√OE 2−EF 2=34， ∴点E 的坐标为（34，√34）； （2）k 的最小值为2−√24，k 有最大值为2+√249．【答案】（1）解：把A （1，0），B （0，-3）代入 y=x 2+bx-3c ，得 {1+b −3c =0−3c =−3解得 {b =2c =1∴抛物线的解析式为y=x 2+2x-3；（2）解：对于y=x 2+2x-3，∵x =−b 2a=−1 ，A(1，0)∴C 点坐标为（-3,0），AC=4，Q点的横坐标为-1.如图所示：若以点A、C、P、Q 为顶点的平行四边形以AC为边，则PQ=AC=4.①当P点的横坐标为x1=-1-4=-5时，y1=x2+2x−3=25−10−3=12，即P1(-5,12）②当P点的横坐标为x2=-1+4=3时，y2=x2+2x−3=9+6−3=12，即P2(3,12）；若以点A、C、P、Q为顶点的平行四边形以AC为对角线，则设P3的横坐标为x3，则有x3−12=−3+12，解得x3=-1，y3=x2+2x−3=1−2−3=−4，即P3(-1，-4)。

中考数学专题复习――压轴题(含答案)

中考数学专题复习――压轴题(含答案)

中考数学专题复习――压轴题(含答案)中考数学专题复习――压轴题1.已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D.（1）求该抛物线的解析式；（2）若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE 的面积；（3）△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.b4ac b2（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为2a,4a ）2.2. 已知直角梯形纸片OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(10，0)，B(8，23)，C(0，2)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t 的函数关系式；(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t 的值；若不存在，请说明理由.3. 如图，在Rt△ABC中，A 90，AB 6，AC 8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ x，QR y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．H QC4.在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．以MN 为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代数式表示△ＭNP的面积S；（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？（3）在动点M的运动过程中，记△ＭNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数表达式，并求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？P 图35、如图1，已知双曲线y=BD 图2B图1k(k0)与直线y=k′x交于A，B两点，点A在第一象限.试x解答下列问题：(1)若点A的坐标为(4，2).则点B的坐标为；若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为；（2）如图2，过原点O作另一条直线l，交双曲线y=k(k0)于P，Q两点，点P在第一x象限.①说明四边形APBQ一定是平行四边形；②设点A.P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn应满足的条件；若不可能，请说明理由.6. 如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D 的坐标；（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于3，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. 47.如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图4―6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb (a b，k 0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．（3）在第(2)题图5中，连结DG、BE，且a=3，b=2，k= 1，求BE2 DG2的值．28.如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上.过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．（1）将直线l向右平移，设平移距离CD为t(t 0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．①求梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积；②当2 t 4时，求S关于t的函数解析式；（2）在第（1）题的条件下，当直线l向左或向右平移时（包括l与直线BC重合），在直线上是否存在点P，使PDE为等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有满．．AB．．足条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由．9.如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△B EF的面积为S，求S的取值范围.10.如图，抛物线L1:y x2 2x 3交x轴于A、B两点，交y轴于M点.抛物线L1向右平移2个单位后得到抛物线L2，L2交x 轴于C、D两点. （1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A、B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线L2上，请说明理由.11 20XX年5月1日，目前世界上最长的跨海大桥――杭州湾跨海大桥通车了．通车后，苏南A地到宁波港的路程比原来缩短了120千米．已知运输车速度不变时，行驶时间将从原来的3时20分缩短到2时．（1）求A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的路程．（2）若货物运输费用包括运输成本和时间成本，已知某车货物从A地到宁波港的运输成本是每千米1.8元，时间成本是每时28元，那么该车货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的运输费用是多少元？（3）A地准备开辟宁波方向的外运路线，即货物从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港，再从宁波港运到B地．若有一批货物（不超过10车）从A地按外运路线运到B地的运费需8320元，其中从A地经杭州湾跨海大桥到宁波港的每车运输费用与（2）中相同，从宁波港到B地的海上运费对一批不超过10车的货物计费方式是：一车800元，当货物每增加1车时，每车的海上运费就减少20元，问这批货物有几车？12.如图1，把一张标准纸一次又一次对开，得到“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸、“16开”纸．已知标准纸的短边长为a．．．．（1）如图2，把这张标准纸对开得到的“16开”张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB与长边AD对齐折叠，点B落在AD上的点B 处，铺平后得折痕AE；第二步将长边AD与折痕AE对齐折叠，点D正好与点E重合，铺平后得折痕AF．则AD:AB的值是，AD，AB的长分别是，．（2）“2开”纸、“4开”纸、“8开”纸的长与宽之比是否都相等？若相等，直接写出这个比值；若不相等，请分别计算它们的比值．（3）如图3，由8个大小相等的小正方形构成“L”型图案，它的四个顶点E，F，G，H分别在“16开”纸的边AB，BC，CD，DA上，求DG的长．（4）已知梯形MNPQ中，MN∥PQ，∠M 90，MN MQ 2PQ，且四个顶点M，N，P，Q都在“4开”纸的边上，请直接写出2个符合条件且大小不同的直角梯形的面积．4开a2开8开开图1D FA ED GBE 图2CBF 图3C13.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD ＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．C A E F B14．如图，点A（m，m＋1），B（m＋3，m－1）都在反比例函数y （1）求m，k的值；（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．友情提示：本大题第（1）小题4分，第（2）小题7分．对完成第（2）小题有困难的同学可以做下面的（3）选做题．选做题2分，所得分数计入总分．但第（2）、（3）小题都做的，第（3）小题的得分不重复计入总分．（3）选做题：在平面直角坐标系中，点P的坐标为（5，0），点Q的坐标为（0，3），把线段PQ向右平移4个单位，然后再向上平移2个单位，得到线段P1Q1，则点P1的坐标为，点Q1的坐标为．k的图象上．x15．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.0)，A(6，0)，C(0，3)．动点Q从点16.将一矩形纸片OABC 放在平面直角坐标系中，O(0，2秒时，动点P从点A出发以3相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示OP，OQ；PQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D （2）当t 1时，如图1，将△O的坐标；（4）连结AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．图117.如图16，在平面直角坐标系中，直线y x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y ax2x c(a 0)经过A，B，C三点．3（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）试探究在直线AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．18.(20XX年沈阳市)如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且AB1，OB ABOC绕点O按顺时针方向旋转60后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C 的对应点为点D，抛物线y ax2 bx c过点A，E，D．（1）判断点E 是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P 在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．19.(20XX年四川省巴中市) 已知：如图14，抛物线y 与直线y32x 3与x轴交于点A，点B，433x b相交于点B，点C，直线y x b与y轴交于点E．44（1）写出直线BC的解析式．（2）求△ABC的面积．（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A 向B运动（不与A，B重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？20.(20XX年成都市)如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB 的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且AB sin∠OAB=. 5（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k ,0）、点R（5k，0）（k1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S QMN，△QNR的面积S QNR，求S QMN∶S QNR的值.21.(20XX年乐山市)在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x 轴上，且OAOB,以AB为直径的圆过点C若C的坐标为(0,2),AB=5,A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程x2 (m 2)x n 1 0的两根:(1) 求m，n的值(2) 若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D，试求直线l对应的一次函数的解析式(3) 过点D任作一直线l分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由`11 的值CMCNL`22.(20XX年四川省宜宾市)已知:如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A（-1，0）、B（0，3）两点，其顶点为D. (1)求该抛物线的解析式；(2)若该抛物线与x轴的另一个交点为E. 求四边形ABDE的面积；(3)△AOB与△BDE是否相似？如果相似，请予以证明；如果不相似，请说明理由.b4ac b2（注：抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的顶点坐标为2a,4a ）223.(天津市20XX年)已知抛物线y 3ax2 2bx c，（Ⅰ）若a b 1，c 1，求该抛物线与x轴公共点的坐标；（Ⅱ）若a b 1，且当1 x 1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求c的取值范围；x2 1时，（Ⅲ）若a b c 0，且x1 0时，对应的y1 0；对应的y2 0，试判断当0 x 1时，抛物线与x轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．24.(20XX年大庆市)如图①，四边形AEFG和ABCD都是正方形，它们的边长分别为a，b（b≥2a），且点F在AD上（以下问题的结果均可用a，b的代数式表示）．（1）求S△DBF；（2）把正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转45°得图②，求图②中的S△DBF；（3）把正方形AEFG绕点A旋转一周，在旋转的过程中，S△DBF是否存在最大值、最小值？如果存在，直接写出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由． .GAF①GAB② ECDC25. （20XX年上海市）已知AB 2，AD 4，DAB 90，AD∥BC （如图13）．E是射线BC上的动点（点E与点B不重合），M是线段DE的中点．（1）设BE x，△ABM的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（2）如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切，求线段BE的长；（3）联结BD，交线段AM于点N，如果以A，N，D为顶点的三角形与△BME相似，求线段BE的长．AC B B E C备用图图1326. （20XX年陕西省）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站．由供水站直接铺设A管道到另外两处．如图，甲，乙两村坐落在夹角为30的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学．点B在点M的北偏西30的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60的处．为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道建设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值．综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？27. （20XX年山东省青岛市）已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC？（2）设△AQP的面积为y（cm），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．2图①P28. （20XX年江苏省南通市）已知双曲线yk1与直线y x相交于A、B两点.第一象限x4k上的点M（m，n）（在A点左侧）是双曲线y 上的动点.过点B作BD∥y轴于点D.过Nxk（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y 于点E，交BD于点C.x（1）若点D坐标是（－8，0），求A、B两点坐标及k的值.（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式.（3）设直线AM、BM分别与y轴相交于P、Q两点，且MA ＝pMP，MB＝qMQ，求p－q的值.29. （20XX年江苏省无锡市）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）图1 图2 图3 图4压轴题答案c 31. 解：（1）由已知得：解得1 b c 0c=3,b=2∴抛物线的线的解析式为y x 2x 3 (2)由顶点坐标公式得顶点坐标为（1，4）所以对称轴为x=1,A,E关于x=1对称，所以设对称轴与x轴的交点为F所以四边形ABDE的面积=S ABO S梯形BOFD S2111AO BO (BO DF) OF EF DF*****= 1 3 (3 4) 1 2 4 222==9（3）相似如图，222所以BD BE 20, DE 20即：BD BE DE,所以BDE是直角三角形222所以AOB DBE 90 ,且所以AOBAOBO,BDBE2DBE.2. (1) ∵A，B两点的坐标分别是A(10，0)和B(8，23)，∴tan OAB233，10 8∴ OAB 60当点A在线段AB上时，∵ OAB 60 ，TA=TA，∴△ATA是等边三角形，且TP TA ，∴TP (10 t)sin60113(10 t)，A P AP AT (10 t)，222∴S S A TP1 A P TP (10 t)2，282 当A与B重合时，AT=AB= 4，sin60所以此时6 t 10.(2)当点A在线段AB的延长线，且点P在线段AB(不与B重合)上时，纸片重叠部分的图形是四边形(如图(1)，其中E是TA 与CB的交点)，当点P与B重合时，AT=2AB=8，点T的坐标是(2，又由(1)中求得当A与B重合时，T的坐标是(6，0) 所以当纸片重叠部分的图形是四边形时，2 t 6.(3)S存在最大值1当6 t 10时，S ○(10 t)2，8在对称轴t=10的左边，S的值随着t的增大而减小，∴当t=6时，S的值最大是23.2当2 t 6时，由图○1，重叠部分的面积S S○ A TP S A EB ∵△AEB的高是A Bsin60 ，∴S31(10 t)2 (10 t 4)2 822( t2 4t 28) (t 2)2 43 88当t=2时，S的值最大是4；3当0 t 2，即当点A和点P都在线段AB的延长线是(如图○2，其中E是TA与○CB的交点，F是TP与CB的交点)，∵ EFT FTP ETF，四边形ETAB是等腰形，∴EF=ET=AB=4，∴S11EF OC 4 23 43 22综上所述，S的最大值是4，此时t的值是0 t 2. 3. 解：（1）A Rt ，AB 6，AC 8，BC 10．1点D为AB中点，BD AB 3．DHB A 90，B B．△BHD∽△BAC，*****12 AC 8 ．，DH *****05（2）QR∥AB，QRC A 90．C C，△RQC∽△ABC，RQQCy10 x，，*****3x 6．5即y关于x的函数关系式为：y （3）存在，分三种情况：①当PQ PR时，过点P作PM QR于M，则QM RM．1 2 90，C 2 90，1 C．H QC84QM4cos 1 cosC ，，105QP51 3x 6 425 ，x 18．*****②当PQ RQ时，HQCQ312x 6 ，55x 6．③当PR QR时，则R为PQ中垂线上的点，于是点R为EC 的中点，11CR CE AC 2．24QRBAtanC ，CRCA3x 6156 ，x ．2281815综上所述，当x为或6或时，△PQR为等腰三角形．524. 解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴ △AMN ∽ △ABC．图1xAN∴ AM AN，即．43ABAC3∴ AN＝x．……………2分4∴ S=S MNP S AMN133x x x2．（0＜x＜4）……………3分2481MN．2（2）如图2，设直线BC与⊙O相切于点D，连结AO，OD，则AO =OD =在Rt△ABC中，BC．由（1）知△AMN ∽ △ABC．BQD 图2xMN∴ AM MN，即．45ABBCx，45∴ OD x．…………………5分8∴ MN过M点作MQ⊥BC 于Q，则MQ OD5x．8在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴ △BMQ∽△BCA．∴ BM QM．BCAC55 x25x，AB BM MA 25x x 4．∴ BM*****96．4996∴ 当x＝时，⊙O与直线BC相切． (7)分49（3）随点M的运动，当P点落在直线BC上时，连结AP，则O点为AP的中点．∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP．∴ x＝∴ AM AO 1．AM＝MB＝2．ABAP2故以下分两种情况讨论：3① 当0＜x≤2时，y SΔPMN x2．8∴ 当x＝2时，y最大3232 . ……………………………………8分82P② 当2＜x＜4时，设PM，PN分别交BC于E，F．∵ 四边形AMPN是矩形，∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．又∵ MN∥BC，∴ 四边形MBFN是平行四边形．∴ FN＝BM＝4－x．∴ PF x 4 x 2x 4．又△PEF ∽ △ACB．图4PF S PEF∴ ．AB S ABC∴ S PEF232x 2 ．……………………………………………… 9分23392y S MNP S PEF＝x2 x 2 x2 6x 6．……………………10分8282929 8当2＜x＜4时，y x 6x 6 x 2．88 38时，满足2＜x＜4，y最大2．……………………11分38综上所述，当x 时，y值最大，最大值是2．…………………………12分3k5. 解：（1）（-4，-2）；（-m,-）m∴ 当x(2) ①由于双曲线是关于原点成中心对称的，所以OP=OQ,OA=OB,所以四边形APBQ。

2024年中考数学重难点押题预测《隐圆问题》含答案解析

2024年中考数学重难点押题预测《隐圆问题》含答案解析

隐圆问题3种模型通用的解题思路：隐圆一般有如下呈现方式：(1)定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；(2)定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。

当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。

(3)四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。

隐圆常与线段最值结合考查。

类型1：定点定长1(2023•新城区校级三模)圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．(1)已知：如图1，OA=OB=OC，请利用圆规画出过A、B．C三点的圆．若∠AOB=70°，则∠ACB=　35°　．如图，RtΔABC中，∠ABC=90°，∠BCA=30°，AB=2．(2)已知，如图2．点P为AC边的中点，将AC沿BA方向平移2个单位长度，点A、P、C的对应点分别为点D、E、F，求四边形BDFC的面积和∠BEA的大小．(3)如图3，将AC边沿BC方向平移a个单位至DF，是否存在这样的a，使得直线DF上有一点Q，满足∠BQA=45°且此时四边形BADF的面积最大？若存在，求出四边形BADF面积的最大值及平移距离a，若不存在，说明理由．【分析】(1)利用圆的定义知A，B，C三点共圆，再利用圆周角定理求解．(2)根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．(3)因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出D点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．【解答】(1)以O为圆心，OA为半径作辅助圆，如图，，∵∠AOB =70°，∴∠ACB =35°，故答案为35°．(2)连接PB ，PE ，如图，Rt ΔABC 中，∠ABC =90°，∠BCA =30°，AB =2．∴AC =4，∠BAC =60°，BC =23．∵P 为Rt ΔABC 斜边AC 中点，∴BP =12AC =2，线段AC 平移到DF 之后，AB =AD =PE =2，BP =AE =2，∴四边形ABPE 为菱形，∵∠BAC =60°，∴∠BEA =30°，∵CF ⎳BD ，且∠ABC =90°，∴四边形BDFC 为直角梯形，∴S =12(BD +CF )×BC =12×6×23=63，(3)如图所示，以AB 为斜边在AB 的右侧作等腰直角三角形OAB ，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，当AC 边沿BC 方向平移a 个单位至DF 时，满足∠BQA =45°且此时四边形BADF 的面积最大，∴直线DF 与⊙O 相切于点Q ，连接OQ 交AD 于G ，过点O 作OH ⊥AD 于H ，则∠AHO =∠OHG =∠DQG =90°，∠OAH =45°，∠GDQ =30°，∵∠ABC =90°，∠BCA =30°，AB =2，∴BC =23，OA =OB =OQ =2，∴AH =OH =1，HG =33，OG =233，∴GQ =2-233，DG =2GQ =22-433，∴AD =AH +HG +GD =1+33+22-433=1+22-3，∴a =1+22-3，此时直角梯形ABFD 的最大面积为：S =12×(BF +AD )×AB =12×(23+1+22-3+1+22-3)×2=42+2．【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．2(2024•兰州模拟)综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在ΔABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，点D 为平面内一点(点A ，B ，D 三点不共线)，AE 为ΔABD 的中线．【初步尝试】(1)如图1，小林同学发现：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：①DM =AC ；②∠MDA +∠DAB =180°；【类比探究】(2)如图2，将AD 绕点A 顺时针旋转90°得到AF ，连接CF ．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：AE =12CF ，请你帮他证明；【拓展延伸】(3)如图3，在(2)的条件下，王老师提出新的探究方向：点D 在以点A 为圆心，AD 为半径的圆上运动(AD >AB )，直线AE 与直线CF 相交于点G ，连接BG ，在点D 的运动过程中BG 存在最大值．若AB =4，请直接写出BG 的最大值．【分析】(1)利用SAS 证明ΔABE ≅ΔMDE ，可得AB =DM ，再结合AB =AC ，即可证得DM =AC ；由全等三角形性质可得∠BAE =∠DME ，再运用平行线的判定和性质即可证得∠MDA +∠DAB =180°；(2)延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．利用SAS 证得ΔACF ≅ΔDMA ，可得CF =AM ，再由AE =12AM ，可证得AE =12CF ；(3)延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，可证得ΔACF ≅ΔABM (SAS )，利用三角形中位线定理可得AE ⎳BM ，即AG ⎳BM ，利用直角三角形性质可得GP =12AC =12AB =2，得出点G 在以P 为圆心，2为半径的⊙P 上运动，连接BP 并延长交⊙P 于G ′，可得BG ′的长为BG 的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】(1)证明：①∵AE 为ΔABD 的中线，∴BE =DE ，在ΔABE 和ΔMDE 中，BE =DE∠AEB =∠MED AE =ME，∴ΔABE ≅ΔMDE (SAS )，∴AB =DM ，∵AB =AC ，∴DM =AC ；②由①知ΔABE ≅ΔMDE ，∴∠BAE =∠DME ，∴AB ⎳DM ，∴∠MDA +∠DAB =180°；(2)证明：延长AE 至点M ，使得ME =AE ，连接DM ．由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∵∠BAC =90°，∠DAF +∠BAC +∠BAD +∠CAF =360°，∴∠BAD +∠CAF =180°，由(1)②得：∠MDA +∠DAB =180°，DM =AB =AC ，∴∠CAF =∠MDA ，在ΔACF 和ΔDMA 中，AF =AD∠CAF =∠MDA AC =DM，∴ΔACF ≅ΔDMA (SAS )，∴CF =AM ，∵AE =12AM ，∴AE =12CF ；(3)如图3，延长DA 至M ，使AM =AD ，设AM 交CF 于N ，连接BM 交CF 于K ，取AC 中点P ，连接GP ，由旋转得：AF =AD ，∠DAF =90°，∴AF =AM ，∠MAF =180°-90°=90°，∵∠BAC =90°，∴∠MAF +∠CAM =∠BAC +∠CAM ，即∠CAF =∠BAM ，在ΔACF 和ΔABM 中，AC =AB∠CAF =∠BAM AF =AM，∴ΔACF ≅ΔABM (SAS )，∴∠AFC =∠AMB ，即∠AFN =∠KMN ，∵∠ANF =∠KNM ，∴∠FAN =∠MKN =90°，∴BM ⊥CF ，∵E 、A 分别是DB 、DM 的中点，∴AE 是ΔBDM 的中位线，∴AE ⎳BM ，即AG ⎳BM ，∴AG ⊥CF ，∴∠AGC =90°，∵点P 是AC 的中点，∴GP =12AC =12AB =2，∴点G在以P为圆心，2为半径的⊙P上运动，连接BP并延长交⊙P于G′，∴BG′的长为BG的最大值，在RtΔABP中，BP=AB2+AP2=42+22=25，∴BG′=BP+PG′=25+2，∴BG的最大值为25+2．【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．3(2022•番禺区二模)已知抛物线y=ax2+bx-32(a>0)与x轴交于点A，B两点，OA<OB，AB=4．其顶点C的横坐标为-1．(1)求该抛物线的解析式；(2)设点D在抛物线第一象限的图象上，DE⊥AC垂足为E，DF⎳y轴交直线AC于点F，当ΔDEF面积等于4时，求点D的坐标；(3)在(2)的条件下，点M是抛物线上的一点，M点从点B运动到达点C，FM⊥FN交直线BD于点N，延长MF与线段DE的延长线交于点H，点P为N，F，H三点构成的三角形的外心，求点P经过的路线长．【分析】(1)利用对称性，求得A和B的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；(2)证明ΔCGA和ΔDEF都为等腰直角三角形，利用等面积法求得DF=4，再求得直线AC的解析式为y =x-1，设点D的坐标，得到点F的坐标，然后求解即可；(3)先求得∠BDF=45°，推出点P的运动路径时H1N1的中点绕点F逆时针旋转90°得到N2H的中点之间的弧长，证明四边形DN2FE为正方形，即可求解．【解答】解：(1)∵点A，点B两点关于直线x=-1对称，AB=4，∴A(1,0)，B(-3,0)，代入y=ax2+bx-32得，a+b-32=09a-3b-32=0，解得：a=12b=1，∴抛物线的解析式为y=12x2+x-32．(2)如图1所示：∵DF⎳y轴⎳GC，∴∠GCA=∠DFE，∵抛物线的解析式为y=12x2+x-32=12(x+1)2-2，∴顶点C(-1,-2)，∵A(1,0)，∴AG=2，CG=2，∴ΔCGA为等腰直角三角形，∴∠GCA=∠DFE=45°，∵DE⊥AC，∴ΔDEF为等腰直角三角形，∴DE=EF，DF=2DE，∵SΔDEF=12DE⋅EF=4，∴DE=22，∴DF =2×22=4，设直线AC 的解析式为y =kx +b ，则k +b =0-k +b =-2 ，解得：k =1b =-1 ，∴直线AC 的解析式为y =x -1，设点D x ,12x 2+x -32 ，则F (x ,x -1)，∴DF =12x 2+x -32-(x -1)=12x 2-12=4，解得：x =3或x =-3(舍)，∴D (3,6)，F (3,2)．(3)如图2所示，∵ΔNFH 是直角三角形，∴ΔNFH 的外心是斜边NH 的中点，当点M 位于点B 时，△N 1FH 1，其外心是斜边H 1N 1的中点，当点M 位于点C 时，得△N 2FE ，其外心是斜边N 2H 2的中点，即N 2E 的中点，∵D (3,6)，B (-3,0)，∴tan ∠BDF =3+36=1，∴∠BDF =45°，由(2)得，∠FDE =45°，∴∠DBA =∠BAC =45°，∴BD ⎳AC ，∴FN ⊥BD ，∴DF 平分∠BDE ，∠BDE =90°，∴点D ，N ，F ，H 四点共圆，∴点P 在线段DF 的垂直平分线上，即点P 在N 2E 上运动，即点P 的运动轨迹是一条线段．∵∠DN 2F =∠N 2DH =∠DHF =90°，FN 2=FE ，∴四边形DN 2FE 为正方形，此时点P 在DF 上，且EP =2；当点M 与点C 重合时，此时点P 在DF 上，即为P 2，且FP 2=EP 2=2，由题意，BN 2=BD -DN 2=4，BF =210，N 2F =22，FN 2⎳DH 1，∴ΔBFN 2∽△BH 1D ，∴BN 2BD =BF BH 1，解得FH 1=10，∴FP 1=5，由勾股定理可得：P 1P 2=1，即点P 的运动轨迹长为1．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．4(2021•红谷滩区校级模拟)(1)学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ΔABC中，AB=AC，∠BAC=80°，D是ΔABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助圆⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=　40°　．(2)问题解决：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠BDC=25°，求∠BAC的度数．(3)问题拓展：抛物线y=-14(x-1)2+3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C，点P在抛物线上，直线PQ⎳BC交x轴于点Q，连接BQ．①若含45°角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，求Q的坐标；②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，点D与点B，点Q不重合，求点P的坐标．【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．(2)由A、B、C、D共圆，得出∠BDC=∠BAC，(3)①先求出抛物线顶点的坐标，再由点D、C、Q、E共圆，得出∠CQB=∠OED=45°，求出CQ，再求点Q的坐标．②分两种情况，Ⅰ、当30°的角的顶点与点C重合时，Ⅱ、当60°的角的顶点与点C重合时，运用点D、C、Q、E共圆，求出CQ即点P的横坐标，再代入抛物线求出点P的纵坐标，即可求出点P的坐标．【解答】解：(1)∵AB=AC，AD=AC，∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC=12∠BAC=40°，(2)如图2，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC=∠BAC，∵∠BDC=25°，∴∠BAC=25°，(3)①如图3∵点B为抛物线y=-14(x-1)2+3的顶点，∴点B的坐标为(1,3)，∵45°角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与C重合，直角顶点D在BQ上，另一顶点E在PQ上，∴点D 、C 、Q 、E 共圆，∴∠CQB =∠CED =45°，∴CQ =BC =3，∴OQ =4，∴点Q 的坐标为(4,0)，②如图4，Ⅰ、当30°的角的顶点与点C 重合时，∵直角三角板30°角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，∴∠CQB =∠CED =60°，∴CQ =33BC =3，∴OQ =1+3，∴把1+3代入y =-14(x -1)2+3得y =94，∴点P 的坐标是1+3，94Ⅱ、如图5，当60°的角的顶点与点C 重合时，∵直角三角板60°角的顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上∴点D 、C 、Q 、E 共圆，∴∠CQB =∠CED =30°，∴CQ =3BC =33，∴OQ =1+33，∴把1+33代入y =-14(x -1)2+3得y =-154，∴点P 的坐标是1+33，-154综上所述，点P 的坐标是1+3，94 或1+33，-154 ．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等．类型2：定弦定角5(2022•雁塔区校级三模)问题提出(1)如图①，已知ΔABC 为边长为2的等边三角形，则ΔABC 的面积为　3　；问题探究(2)如图②，在ΔABC 中，已知∠BAC =120°，BC =63，求ΔABC 的最大面积；问题解决(3)如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形ABCD ，其宽AB =20米，长BC =24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD 上安装一台摄像头M 进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB 区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M 出发的观测角∠AMB =45°，请你通过所学知识进行分析，在墙面CD 区域上是否存在点M 满足要求？若存在，求出MC 的长度；若不存在，请说明理由．【分析】(1)作AD ⊥BC 于D ，由勾股定理求出AD 的长，即可求出面积；(2)作ΔABC 的外接圆⊙O ，可知点A 在BC上运动，当A O ⊥BC 时，ΔABC 的面积最大，求出A H 的长，从而得出答案；(3)以AB 为边，在矩形ABCD 的内部作一个等腰直角三角形AOB ，且∠AOB =90°，过O 作HG ⊥AB 于H ，交CD 于G ，利用等腰直角三角形的性质求出OA ，OG 的长，则以O 为圆心，OA 为半径的圆与CD 相交，从而⊙O 上存在点M ，满足∠AMB =45°，此时满足条件的有两个点M ，过M 1作M 1F ⊥AB 于F ，作EO ⊥M 1F 于E ，连接OF ，利用勾股定理求出OE 的长，从而解决问题．【解答】解：(1)作AD ⊥BC 于D ，∵ΔABC 是边长为2的等边三角形，∴BD =1，∴AD =AB 2-BD 2=3，∴ΔABC 的面积为12×2×3=3，故答案为：3；(2)作ΔABC 的外接圆⊙O ，∵∠BAC =120°，BC =63，∴点A 在BC 上运动，当A O ⊥BC 时，ΔABC 的面积最大，∴∠BOA =60°，BH =CH =33，∴OH =3，OB =6，∴A H =OA -OH =6-3=3，∴ΔABC的最大面积为1×63×3=93；2(3)存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB=20米，∴AH=OH=10米，OA=102米，∵BC=24米，∴OG=14米，∵102>14，∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，∴⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，∴EF=OH=10米，OM1=102米，∴EM1=14米，∴OE=OM12-M1E2=2米，∴CM1=BF=8米，同理CM2=BH+OE=10+2=12(米)，∴MC的长度为8米或12米．【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．6(2023•灞桥区校级模拟)问题提出：(1)如图①，ΔABC为等腰三角形，∠C=120°，AC=BC=8，D 是AB上一点，且CD平分ΔABC的面积，则线段CD的长度为4．问题探究：(2)如图②，ΔABC 中，∠C =120°，AB =10，试分析和判断ΔABC 的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．问题解决：(3)如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃ABCD ，满足BC =600米，CD =300米，∠C =60°，∠A =60°，主办方打算过BC 的中点M 点(入口)修建一条径直的通道ME (宽度忽略不计)其中点E (出口)为四边形ABCD 边上一点，通道ME 把四边形ABCD 分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道ME ？若存在，请求出点A 距出口的距离AE 的长；若不存在，请说明理由．【分析】(1)由题意可知，CD 是ΔABC 的中线，利用等腰三角形的性质推出CD ⊥AB ，利用三角函数求解即可解决问题；(2)当ΔABC 的AB 边上的高CD 最大时，三角形ABC 的面积最大，即CD 过圆心O ，连接AO ．求出CD 的最大值即可得出答案；(3)连接DM ，BD ．首先证明∠BDC =90°，求出BD ，推出ΔBDC 的面积是定值，要使得四边形ABCD 的面积最大，只要ΔABD 的面积最大即可，因为BD 为定值，∠A 为定角=60°，推出当ΔABD 是等边三角形时，求出四边形ABCD 的面积最大值，然后再求出∠MDE =90°，构建方程解决问题即可．【解答】解：(1)如图①，∵CD 平分ΔABC 的面积，∴AD =DB ，∵AC =BC =8，∴CD ⊥AB ，∠ACD =∠BCD =12∠ACB =60°，∴CD =AC cos ∠ACD =8cos60°=4，∴CD 的长度为4，故答案为：4；(2)存在．如图②，∵AB =10，∠ACB =120°都是定值，∴点C 在AB 上，并且当点C 在AB的中点时，ΔABC 的面积最大；连接OC 交AB 于点D ，则CD ⊥AB ，AD =BD =12AB =5，∠ACD =12∠ACB =60°，∴tan ∠ACD =AD CD ，CD =AD tan60°=533，∴S ΔABC =12AB ⋅CD =2533，答：ΔABC 的面积最大值是2533；(3)存在．如图③，连接DM ，BD ，∵M 是BC 的中点，∴CM =12BC =300，∴CM =CD ，又∵∠C =60°，∴ΔCMD 是等边三角形，∴∠MDC =∠CMD =60°，CM =DM =BM ，∴∠CBD =∠MDB =30°，∴∠BDC =90°，∴BD =CD ⋅tan60°=3003米，在ΔABD 中，BD =3003米，∠A =60°为定值，由(2)可知当AB =AD 时，即ΔABD 为等边三角形时ΔABD 的面积最大，此时也为四边形ABCD 的最大值(ΔBDC 的面积不变)，S max =S ΔBDC +S ΔBDA =12×300×3003+34(3003)2=1125003；∵ΔABD 是等边三角形，∴∠ADB =60°，∴∠ADM =∠ADB +∠BDM =90°，由S ΔEMD +S ΔCDM =12S max ，得：12DE ×300+34×3002=12×1125003，解得：DE =2253，∴AE =AD -DE =3003-2253=753(米)，答：点A 距出口的距离AE 的长为753米．【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题．7(2023•柯城区校级一模)如图，点A 与点B 的坐标分别是(1,0)，(5,0)，点P 是该直角坐标系内的一个动点．(1)使∠APB =30°的点P 有无数个；(2)若点P 在y 轴上，且∠APB =30°，求满足条件的点P 的坐标；(3)当点P 在y 轴上移动时，∠APB 是否有最大值？若有，求点P 的坐标，并说明此时∠APB 最大的理由；若没有，也请说明理由．【分析】(1)已知点A 、点B 是定点，要使∠APB =30°，只需点P 在过点A 、点B 的圆上，且弧AB 所对的圆心角为60°即可，显然符合条件的点P 有无数个．(2)结合(1)中的分析可知：当点P 在y 轴的正半轴上时，点P 是(1)中的圆与y 轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P 的坐标；当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点P 的坐标．(3)由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要∠APB 最大，只需构造过点A 、点B 且与y 轴相切的圆，切点就是使得∠APB 最大的点P ，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．【解答】解：(1)以AB 为边，在第一象限内作等边三角形ABC ，以点C 为圆心，AC 为半径作⊙C ，交y 轴于点P 1、P 2．在优弧AP 1B 上任取一点P ，如图1，则∠APB =12∠ACB =12×60°=30°．∴使∠APB =30°的点P 有无数个．故答案为：无数．(2)①当点P 在y 轴的正半轴上时，过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，如图1．∵点A (1,0)，点B (5,0)，∴OA =1，OB =5．∴AB =4．∵点C 为圆心，CG ⊥AB ，∴AG =BG =12AB =2．∴OG =OA +AG =3．∵ΔABC 是等边三角形，∴AC =BC =AB =4．∴CG =AC 2-AG 2=42-22=23．∴点C 的坐标为(3，23)．过点C 作CD ⊥y 轴，垂足为D ，连接CP 2，如图1，∵点C 的坐标为(3，23)，∴CD =3，OD =23．∵P 1、P 2是⊙C 与y 轴的交点，∴∠AP 1B =∠AP 2B =30°．∵CP 2=CA =4，CD =3，∴DP 2=42-32=7．∵点C 为圆心，CD ⊥P 1P 2，∴P 1D =P 2D =7．∴P 2(0，23-7)．P 1(0，23+7)．②当点P 在y 轴的负半轴上时，同理可得：P3(0,-23-7)．P 4(0,-23+7)．综上所述：满足条件的点P的坐标有：(0，23-7)、(0，23+7)、(0,-23-7)、(0,-23+7)．(3)当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大．理由：可证：∠APB=∠AEH，当∠APB最大时，∠AEH最大．由sin∠AEH=2AE得：当AE最小即PE最小时，∠AEH最大．所以当圆与y轴相切时，∠APB最大．①当点P在y轴的正半轴上时，连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2．∵⊙E与y轴相切于点P，∴PE⊥OP．∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°．∴四边形OPEH是矩形．∴OP=EH，PE=OH=3．∴EA=3．∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3，∴EH=EA2-AH2=32-22=5∴OP=5∴P(0,5)．②当点P在y轴的负半轴上时，同理可得：P(0,-5)．理由：①若点P在y轴的正半轴上，在y轴的正半轴上任取一点M(不与点P重合)，连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示．∵∠ANB是ΔAMN的外角，∴∠ANB>∠AMB．∵∠APB=∠ANB，∴∠APB>∠AMB．②若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：∠APB>∠AMB．综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值，此时点P的坐标为(0,5)和(0,-5)．【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．类型3：四点共圆8(2022•中原区校级模拟)阅读下列材料，并完成相应的任务．西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线(此线常称为西姆松线)．某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图(1)，已知ΔABC 内接于⊙O ，点P 在⊙O 上(不与点A ，B ，C 重合)，过点P 分别作AB ，BC ，AC 的垂线，垂足分别为点D ，E ，F ．求证：点D ，E ，F 在同一条直线上．如下是他们的证明过程(不完整):如图(1)，连接PB ，PC ，DE ，EF ，取PC 的中点Q ，连接QE ．QF ，则EQ =FQ =12PC =PQ =CQ ，(依据1)∵点E ，F ，P ，C 四点共圆，∴∠FCP +∠FEP =180°．(依据2)又∵∠ACP +∠ABP =180°，∴∠FEP =∠ABP ．同上可得点B ，D ，P ，E 四点共圆，⋯⋯任务：(1)填空：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②依据2指的是．(2)请将证明过程补充完整．(3)善于思考的小虎发现当点P 是BC 的中点时，BD =CF ，请你利用图(2)证明该结论的正确性．【分析】(1)利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；(2)利用直角三角形斜边上中线的性质证明点E ，F ，P ，C 和点B ，D ，P ，E 四点分别共圆，再说明∠FEP +∠DEP =180°，可证明结论；(3)连接PA ，PB ，PC ，利用HL 证明Rt ΔPBD ≅Rt ΔPCF ，从而得出结论．【解答】(1)解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，②依据2指的是圆内接四边形对角互补，故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；(2)解：如图(1)，连接PB ，PC ，DE ，EF ，取PC 的中点Q ，连接QE ．QF ，则EQ =FQ =12PC =PQ =CQ ，∴点E ，F ，P ，C 四点共圆，∴∠FCP +∠FEP =180°，又∵∠ACP +∠ABP =180°，∴∠FEP =∠ABP ，同上可得点B ，D ，P ，E 四点共圆，∴∠DBP =∠DEP ，∵∠ABP +∠DBP =180°，∴∠FEP +∠DEP =180°，∴点D ，E ，F 在同一直线上；(3)证明：如图，连接PA ，PB ，PC ，∵点P 是BC的中点，∴BP =PC ，∴BP =PC ，∠PAD =∠PAC ，又∵PD ⊥AD ，PF ⊥AC ，∴PD =PF ，∴Rt ΔPBD ≅Rt ΔPCF (HL )，∴BD =CF ．【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明Rt ΔPBD ≅Rt ΔPCF 是解题的关键．9(2021•哈尔滨模拟)(1)【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在ΔABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，D 是ΔABC 外一点，且AD =AC ，求∠BDC 的度数．若以点A 为圆心，AB 为半径作辅助⊙A ，则点C 、D 必在⊙A 上，∠BAC 是⊙A 的圆心角，而∠BDC 是圆周角，从而可容易得到∠BDC =45°．(2)【问题解决】如图2，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，∠BDC =25°，求∠BAC 的度数．(3)【问题拓展】如图3，如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是．【分析】(1)利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．(2)由A 、B 、C 、D 共圆，得出∠BDC =∠BAC ，(3)根据正方形的性质可得AB =AD =CD ，∠BAD =∠CDA ，∠ADG =∠CDG ，然后利用“边角边”证明ΔABE 和ΔDCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“SAS ”证明ΔADG 和ΔCDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB =90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH =12AB =1，利用勾股定理列式求出OD ，然后根据三角形的三边关系可知当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小．【解答】解：(1)如图1，∵AB =AC ，AD =AC ，∴以点A 为圆心，AB 为半径作圆A ，点B 、C 、D 必在⊙A 上，∵∠BAC 是⊙A 的圆心角，而∠BDC 是圆周角，∴∠BDC =12∠BAC =45°，故答案为：45；(2)如图2，取BD 的中点O ，连接AO 、CO ．∵∠BAD =∠BCD =90°，∴点A 、B 、C 、D 共圆，∴∠BDC =∠BAC ，∵∠BDC =25°，∴∠BAC =25°，(3)如图3，在正方形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠BAD =∠CDA ，∠ADG =∠CDG ，在ΔABE 和ΔDCF 中，AB =CD∠BAD =∠CDA AE =DF，∴ΔABE ≅ΔDCF (SAS )，∴∠1=∠2，在ΔADG 和ΔCDG 中，AD =CD∠ADG =∠CDG DG =DG，∴ΔADG ≅ΔCDG (SAS )，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∵∠BAH +∠3=∠BAD =90°，∴∠1+∠BAH =90°，∴∠AHB =180°-90°=90°，取AB 的中点O ，连接OH 、OD ，则OH =AO =12AB =1，在Rt ΔAOD 中，OD =AO 2+AD 2=12+22=5，根据三角形的三边关系，OH +DH >OD ，∴当O 、D 、H 三点共线时，DH 的长度最小，最小值=OD-OH=5-1．(解法二：可以理解为点H 是在Rt ΔAHB ，AB 直径的半圆AB上运动当O 、H 、D 三点共线时，DH 长度最小)故答案为：5-1．【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．10(2022•潢川县校级一模)如图1，点B在直线l上，过点B构建等腰直角三角形ABC，使∠BAC= 90°，且AB=AC，过点C作CD⊥直线l于点D，连接AD．(1)小亮在研究这个图形时发现，∠BAC=∠BDC=90°，点A，D应该在以BC为直径的圆上，则∠ADB的度数为45°，将射线AD顺时针旋转90°交直线l于点E，可求出线段AD，BD，CD的数量关系为；(2)小亮将等腰直角三角形ABC绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段AD，BD，CD的数量关系是否变化，请说明理由；(3)在旋转过程中，若CD长为1，当ΔABD面积取得最大值时，请直接写AD的长．【分析】(1)由∠BAC=90°，且AB=AC，可得∠ACB=∠ABC=45°，由∠BAC=∠BDC=90°，推出A、B、C、D四点共圆，所以∠ADB=∠ACB=45°；由题意知ΔEAB≅ΔDAC，所以BE=CD，由AE=AD，∠EAD=90°，可知ΔADE是等腰直角三角形，推出CD+DB=EB+BD=DE=2AD；(2)如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．易证ΔEAB≅ΔDAC(SAS)，则BE=CD，由AE=AD，∠EAD=90°，所以ΔADE是等腰直角三角形，则DE=2AD，由BD-CD=BD-BE=DE，推出BD-CD=2AD；(3)当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，ΔABD的面积最大．【解答】解：(1)①如图，在图1中．∵∠BAC=90°，且AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵∠BAC=∠BDC=90°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ADB=∠ACB=45°；②由题意可知，∠EAD=∠BAC=90°，∴∠EAB=∠DAC，又AE=AD，AB=AC，∴ΔEAB≅ΔDAC(SAS)，∴BE=CD，∵AE=AD，∠EAD=90°，∴ΔADE是等腰直角三角形，∴DE=2AD，∵CD+DB=EB+BD=DE，∴CD+DB=2AD；故答案为45°，CD+DB=2AD；(2)线段AD，BD，CD的数量关系会变化，数量关系为BD-CD=2AD．理由如下：如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°交直线l于点E．则∠DAE=∠CAB=90°，∴∠DAC=∠EAB，又AD=AE，AC=AB，∴ΔEAB≅ΔDAC(SAS)，∴BE=CD，∵AE=AD，∠EAD=90°，∴ΔADE是等腰直角三角形，∴DE=2AD，∵BD-CD=BD-BE=DE，∴BD-CD=2AD；(3)由(2)知，ΔCDA≅ΔBEA，∴∠CDA=∠AEB，∵∠DEA=45°，∴∠AEB=180°-45°=135°，∴∠CDA=∠AEB=135°，∴∠CDA+∠ABC=135°+45°=180°，∴A、B、C、D四点共圆，于是作A、B、C、D外接圆⊙O，如图，当点D在线段AB的垂直平分线上且在AB的左侧时，DG经过圆心，此时DG最长，因此ΔABD的面积最大．作DG⊥AB，则DG平分∠ADB，DB=DA，在DA上截取一点H，使得CD=DH=1，∵∠ADB=∠ACB=45°，∴∠GDB=22.5°，∠DBG=67.5°，∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°，∠HCB=∠DHC-∠HBC=45°-22.5°=22.5°，∴∠HCB=∠HBC，∴HB=CH=2，∴AD=BD=DH+BH=1+2．【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．。

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用(抛物线型问题)(含答案)

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用(抛物线型问题)(含答案)

2024年九年级中考数学专题复习：二次函数实际应用（抛物线型问题）一、单选题 1．飞机着陆后滑行的距离s （单位：m ）关于滑行的时间t （单位：s ）的函数解析式是21.560s t t =-+．飞机着陆后到停下来滑行的距离是（ ）mA ．300B ．400C ．500D ．6002．如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数2142y x x =-刻画，斜坡可以用一次函数12y x =刻画．下列结论错误的是（ ）A ．小球距O 点水平距离超过4米呈下降趋势B ．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米C ．小球落地点距O 点水平距离为7米D ．当小球拋出高度达到8m 时，小球距O 点水平距离为4m3．小康在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为()2116399y x =--+，其中y 是实心球飞行的高度，x 是实心球飞行的水平距离，则小康此次掷球的成绩（即OA 的长度）是（ ）A ．8mB ．7mC ．6mD ．5m4．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心O 点竖直安装一根水管，在水管的顶端A 处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与水池中心O 点的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离池中心O 点3m ，则水管OA 的高是（ ）A．2m B．2.25m C．2.5m D．2.8m5．学校组织学生去同安进行研学实践活动，小王同学发现在宾馆房间的洗手盘台面上有一瓶洗手液（如图①）.于是好奇的小王同学进行了实地测量研究.当小王用一定的力按住顶部A下压如图②位置时，洗手液从喷口B 流出，路线近似呈抛物线状，且喷口B为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形CGHD．小王同学测得：洗手液瓶子的底面直径12cmGH=，喷嘴位置点B距台面的距离为16cm，且B、D、H三点共线．小王在距离台面15.5cm处接洗于液时，手心Q到直线DH的水平距离为3cm，若小王不去接，则洗手液落在台面的位置距DH的水平距离是（）A．122cm B．123cm C．62cm D．6cm6．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流呈抛物线形，一条水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的函数解析式为2305h t t=-，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是（）A．6s B．4s C．3s D．2s7．如图所示，某工厂的大门是抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一壁灯，两壁灯间的水平距离为6m，则厂门的高度约为（）A．307B．387C．487D．5078．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，桥高10米，拱高8米，跨度24米，相邻两支柱间的距离均为6米，则支柱MN的长度为（）A．6米B．5米C．4.5米D．4米二、填空题9．如图，已知一抛物线形大门，其地面宽度AB长10米，一位身高1.8米的同学站在门下离门角B点1米的D 处，其头顶刚好顶在抛物线形门上C处．则该大门的最高处离地面高h为米．10．如图所示，抛物线形拱桥的顶点距水面2m时，测得拱桥内水面宽为12m．当水面升高1m后，拱桥内水面的宽度减少m．11．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间（秒）之间的关系式是()2h t t t=-≤≤，若抛出小球1秒钟后再抛出同样的第二个小球．则第二个小球抛出秒时，两个30506小球在空中相撞．12．从地面竖直向上跑出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是()2=-≤≤，小球运动到s时，达到最大高度．h t t t3020613．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系2=-+，小520h t t球飞行过程中能达到的最大高度为m．14．如图，在喷水池的中心A处竖直安装一个水管AB，水管的顶端B处有一个喷水孔，喷出的抛物线形水柱在与池中心A的水平距离为1m处达到A最高点C，高度为3m，水柱落地点D离池中心A处3m，则水管AB的长为m．15．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点为m．16．某次踢球，足球的飞行高度h（米）与水平距离x（米）之间满足2=-+，则足球从离地到落地的560h x x水平距离为米．三、解答题AA的17．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为16m，宽为6m，抛物线的最高点C离地面1距离为8m.(1)按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.(2)一大型汽车装载某大型设备后，高为7m ，宽为4m ，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？18．掷实心球是中考体育考试的项目．如图是一男生所掷实心球的行进路线（抛物线的一部分）的高度()y m 与水平距离()x m 之间的函数图象，且掷出时起点处高度为2m ，当到起点的水平距离为4m 时，实心球行进至最高点，此时实心球与地面的距离为3m ．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在该市的评分标准中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10m 时，即可得满分，试判断该男生在此项考试中能否得满分，并说明理由（参考数据：3 1.73≈）．19．南湖大桥作为我市首个全面采用数控技术的桥体音乐喷泉项目，历经多年已经成为长春市民夜间休闲放松的网红打卡地．其中喷水头喷出的水柱轨迹呈抛物线形状，喷水头P 距水面7.5m ，水柱喷射水平距离为5m 时，达到最大高度，此时距水面10m ，水柱落在水面A 点处．将收集到数据建立如图所示的平面直角坐标系，水柱喷出的高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是21()y a x h k =-+．(1)求抛物线的表达式．(2)现调整P 的出水角度，其喷出的水柱高度()m y 与水平距离()m x 之间的函数关系式是220.1 1.2y x x m =-++，落点恰好在A 点右边的B 点处，求AB 的长．（结果精确到0.1m ，参考数据：11110.54=）20．图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA 的底部点O 处，石块从投石机竖直方向上的点C 处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是()50,25，5OC =．(1)求抛物线的表达式；(2)在斜坡上的点A 建有垂直于水平线OD 的城墙AB ，且75OD =，12AD =，9AB =，点D ，A ，B 在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB ．参考答案：1．D2．B3．B4．B。

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中考数学压轴题分类强化训练3-抛物线与圆
1、如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE 恰好与坐标系中的△OAB 重合，
现将△CDE 绕边AB 的中点G (G 点也是DE 的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C 1DE 的位置。

(1)求C 1点的坐标；
(2)求经过三点O 、A 、C 1的抛物线的解析式；
(3)如图③，⊙G 是以AB 为直径的圆，过B 点作⊙G 的切线与x 轴相交于点F ，求切线BF 的解析式； (4)抛物线上是否存在一点M ，使得3:16:=∆∆OAB AMF S S ．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

解(1)C 1(3，3)
(2)∵抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解析式为y ＝ax 2
＋b x
把
A(2，0)，C`(3，3)带入，得420
933
a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得a ＝3，b ＝－23
∴抛物线解析式为y ＝
3x 2－23
x (3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°
又AB ＝2 ∴AF＝4 ∴OF＝2 ∴F (－2，0) 设直线BF 的解析式为y ＝k x ＋b
把B(1，3)，F(－2，0)带入，得3
20
k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得k ＝33，b ＝233
∴直线BF 的解析式为y ＝
33x ＋23
3
(4)①当M 在x 轴上方时，存在M(x ，
3x 2－23
x )
S△AMF：S△OAB＝[
12×4×(3x 2－23x )]：[1
2
×2×4]＝16：3
得x 2
－2x －8＝0，解得x 1＝4，x
2＝－2 当x 1＝4时，y ＝
3×42
－23×4＝83；
当x 1＝－2时，y ＝
3×(－2)2
－23×(－2)＝83
∴M 1(4，
83)，M 2(－2，83
) ②当M 在x 轴下方时，不存在，设点M(x ，
33x 2－23
3
x ) S△AMF：S△OAB＝[－
12×4×(33x 2－233x )]：[1
2
×2×4]＝16：3
得x 2
－2x ＋8＝0，b 2
－4a c ＜0 无实解 综上所述，存在点的坐标为M 1(4，
83)，M 2(－2，83
)． 2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点P （2，3）为圆心的圆与y 轴相切于 点A ，与x 轴相交于B 、C 两点（点B 在点C 的左边）．
（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的
2
1
．如果 存在，请直接写出所有满足条件的M 点的坐标；如果若不存在，请说明理由； （3）如果一个动点D 自点P 出发，先到达y 轴上的某点，再
到达x 轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q 处，求使点D 运动的总路径最短的路径的长．.
解：（1）联结P A ，PB ，PC ，过点P 作PG ⊥BC 于点G ．
∵⊙P 与y 轴相切于点A ， ∴P A ⊥y 轴，
∵P （2，3），
∴OG =AP =2，PG =OA =3 ∴PB =PC =2． ∴BG =1．
∴CG =1，BC =2． ∴OB =1，OC =3．
∴ A （0，3），B （1，0），C （3，0）
根据题意设二次函数解析式为：(1)(3)y a x x =--，
∴(01)(03)3a --=，解得a =
3
3
． ∴二次函数的解析式为：23433y x x =
-+ （2）存在．点M 的坐标为（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）
（3）∵23433y x x =
-+=33
)2(33)34(3322--=+-x x x ，
∴抛物线的顶点Q （2，3
3-
）． 作点P 关于y 轴的对称点P ’，则P ’（-2，3）．
联结P ’ Q ，则P ’ Q 是最短总路径， 根据勾股定理，可得P ’ Q =
83
3．如图，在直角坐标系xoy 中，已知点)3,2(P ，过P 作轴y PA ⊥交y 轴于点A ，以点P 为圆心PA 为半径作⊙P ，交x 轴于点C B ,，抛物线c bx ax y ++=2经过A ，B ，C 三点． （1）求点A ，B ，C 的坐标；
（2）求出该抛物线的解析式；
（3）抛物线上是否存在点Q ，使得四边形ABCP 的面积是BPQ ∆面积
的2倍？若存在，请求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由．
解：（1）过P 作BC PD ⊥交BC 于D ,
由题意得:2===PC PB PA ,3==OA PD
∴1==CD BD ,
∴1=OB
∴)3,0(A ,)0,1(B ,)0,3(C
y x
P
A
B
C
Q
O
（2）设该抛物线解析式为：)3)(1(--=x x a y ，则有
)30)(10(3--=a 解之得3
3=
a 故该抛物线的解析式为)3)(1(3
3
--=x x y （3）存在
∵︒=∠90BDP ,2,1==BP BD ∴2
1
cos ==
∠BP BD DBP ∴︒=∠60DBP ∴︒=∠60BPA
∴ABP ∆与BPC ∆都是等边三角形 ∴BCP ABP ABCP S S S ∆∆==22四边形 ∵)0,1(B ，)3,2(P
∴过P B ,两点的直线解析式为：33-=
x y
则可设经过点A 且与BP 平行的直线解析式为：13b x y +=
且有1033b +⨯=
解之得31=b 即33+=x y
解方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧--=+=)3)(1(33
3
3x x y x y 得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==38730y x y x 或 也可设经过点C 且与BP 平行的直线解析式为：23b x y +=
且有2330b +=解之得332-=b 即333-=
x y
解方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧--=-=)3)(1(33
3
33x x y x y 得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==3403y x y x 或 ∴)3,4(),0,3(),38,7(),3,0(Q
4．如图，在直角坐标系中，
以点A 为圆心，
以x 轴相交于点B C ，，
与y 轴相交于点D E ，．
（1）若抛物线2
13
y x bx c =++经过C D ，两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上．
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得PBD △的周长最小．
（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
解：（1
）
OA =∵
AB AC ==
(B ∴
，C 又在Rt AOD △
中，AD =
OA =
3OD =
=∴, D ∴的坐标为(03)-，
又D C ，两点在抛物线上，
2
3103c c =-⎧⎪⎨++=⎪⎩g ∴
解得3
b c ⎧
=⎪
⎨⎪=-⎩ ∴
抛物线的解析式为：2133y x x =
-
当x =0y =, ∴
点(B 在抛物线上 （2
）2133y x x =
-
∵21
(43x =- ∴
抛物线21333
y x x =
--
的对称轴方程为x = 在抛物线的对称轴上存在点P ，使PBD △的周长最小．
BD ∵的长为定值 ∴要使PBD △周长最小只需PB PD +最小． 连结DC ，则DC 与对称轴的交点即为使PBD △周长最小的点． 设直线DC 的解析式为y mx n =+．
由30n n =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩
得3
m n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
, ∴直线DC
的解析式为33y x =-
由33
y x x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
得2x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 故点P
的坐标为2)- （3
）存在，设)Q t
为抛物线对称轴x =
M 在抛物线上要使四边形
BCQM 为平行四边形，则BC QM ∥且BC QM =，点M 在对称轴的左侧．
于是，过点Q 作直线L BC ∥与抛物线交于点()m M x t ， 由BC QM =
得QM =
从而m x =-12t =
故在抛物线上存在点(M ，使得四边形BCQM 为平行四边形．。

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