中考数学压轴题-抛物线与圆(含答案)

中考数学压轴题分类强化训练3-抛物线与圆

1、如图①②，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△CDE 恰好与坐标系中的△OAB 重合，

现将△CDE 绕边AB 的中点G (G 点也是DE 的中点)，按顺时针方向旋转180°到△C 1DE 的位置。

(1)求C 1点的坐标；

(2)求经过三点O 、A 、C 1的抛物线的解析式；

(3)如图③，⊙G 是以AB 为直径的圆，过B 点作⊙G 的切线与x 轴相交于点F ，求切线BF 的解析式； (4)抛物线上是否存在一点M ，使得3:16:=∆∆OAB AMF S S ．若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

解(1)C 1(3，3)

(2)∵抛物线过原点O(0，0)，设抛物线解析式为y ＝ax 2

＋b x

把

A(2，0)，C`(3，3)带入，得420

933

a b a b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 解得a ＝3，b ＝－23

∴抛物线解析式为y ＝

3x 2－23

x (3)∵∠ABF＝90°，∠BAF＝60°，∴∠AFB＝30°

又AB ＝2 ∴AF＝4 ∴OF＝2 ∴F (－2，0) 设直线BF 的解析式为y ＝k x ＋b

把B(1，3)，F(－2，0)带入，得3

20

k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得k ＝33，b ＝233

∴直线BF 的解析式为y ＝

33x ＋23

3

(4)①当M 在x 轴上方时，存在M(x ，

3x 2－23

x )

S△AMF：S△OAB＝[

12×4×(3x 2－23x )]：[1

2

×2×4]＝16：3

得x 2

－2x －8＝0，解得x 1＝4，x

2＝－2 当x 1＝4时，y ＝

3×42

－23×4＝83；

当x 1＝－2时，y ＝

3×(－2)2

－23×(－2)＝83

∴M 1(4，

83)，M 2(－2，83

) ②当M 在x 轴下方时，不存在，设点M(x ，

33x 2－23

3

x ) S△AMF：S△OAB＝[－

12×4×(33x 2－233x )]：[1

2

×2×4]＝16：3

得x 2

－2x ＋8＝0，b 2

－4a c ＜0 无实解 综上所述，存在点的坐标为M 1(4，

83)，M 2(－2，83

)． 2．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点P （2，3）为圆心的圆与y 轴相切于 点A ，与x 轴相交于B 、C 两点（点B 在点C 的左边）．

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）在（1）中的抛物线上是否存在点M ，使△MBP 的面积是菱形ABCP 面积的

2

1

．如果 存在，请直接写出所有满足条件的M 点的坐标；如果若不存在，请说明理由； （3）如果一个动点D 自点P 出发，先到达y 轴上的某点，再

到达x 轴上某点，最后运动到（1）中抛物线的顶点Q 处，求使点D 运动的总路径最短的路径的长．.

解：（1）联结P A ，PB ，PC ，过点P 作PG ⊥BC 于点G ．

∵⊙P 与y 轴相切于点A ， ∴P A ⊥y 轴，

∵P （2，3），

∴OG =AP =2，PG =OA =3 ∴PB =PC =2． ∴BG =1．

∴CG =1，BC =2． ∴OB =1，OC =3．

∴ A （0，3），B （1，0），C （3，0）

根据题意设二次函数解析式为：(1)(3)y a x x =--，

∴(01)(03)3a --=，解得a =

3

3

． ∴二次函数的解析式为：23433y x x =

-+ （2）存在．点M 的坐标为（0，3），（3，0），（4，3），（7，83）

（3）∵23433y x x =

-+=33

)2(33)34(3322--=+-x x x ，

∴抛物线的顶点Q （2，3

3-

）． 作点P 关于y 轴的对称点P ’，则P ’（-2，3）．

联结P ’ Q ，则P ’ Q 是最短总路径， 根据勾股定理，可得P ’ Q =

83

3．如图，在直角坐标系xoy 中，已知点)3,2(P ，过P 作轴y PA ⊥交y 轴于点A ，以点P 为圆心PA 为半径作⊙P ，交x 轴于点C B ,，抛物线c bx ax y ++=2经过A ，B ，C 三点． （1）求点A ，B ，C 的坐标；

（2）求出该抛物线的解析式；

（3）抛物线上是否存在点Q ，使得四边形ABCP 的面积是BPQ ∆面积

的2倍？若存在，请求出所有满足条件的点；若不存在，请说明理由．

解：（1）过P 作BC PD ⊥交BC 于D ,

由题意得:2===PC PB PA ,3==OA PD

∴1==CD BD ,

∴1=OB

∴)3,0(A ,)0,1(B ,)0,3(C

y x

P

A

B

C

Q

O

（2）设该抛物线解析式为：)3)(1(--=x x a y ，则有

)30)(10(3--=a 解之得3

3=

a 故该抛物线的解析式为)3)(1(3

3

--=x x y （3）存在

∵︒=∠90BDP ,2,1==BP BD ∴2

1

cos ==

∠BP BD DBP ∴︒=∠60DBP ∴︒=∠60BPA

∴ABP ∆与BPC ∆都是等边三角形 ∴BCP ABP ABCP S S S ∆∆==22四边形 ∵)0,1(B ，)3,2(P

∴过P B ,两点的直线解析式为：33-=

x y

则可设经过点A 且与BP 平行的直线解析式为：13b x y +=

且有1033b +⨯=

解之得31=b 即33+=x y

解方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧--=+=)3)(1(33

3

3x x y x y 得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==38730y x y x 或 也可设经过点C 且与BP 平行的直线解析式为：23b x y +=

且有2330b +=解之得332-=b 即333-=

x y

解方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧--=-=)3)(1(33

3

33x x y x y 得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==3403y x y x 或 ∴)3,4(),0,3(),38,7(),3,0(Q

4．如图，在直角坐标系中，

以点A 为圆心，

以x 轴相交于点B C ，，

与y 轴相交于点D E ，．