第3讲 牛顿运动定律 转动定律

第3讲 牛顿运动定律 转动定律

一、质心力学（牛二定律）：C F ma =

质心运动定律：质点系质心运动的加速度与质点系所受全部外力的合力成正比，与质点系各质点的总质量成反比，这一定律称质心运动定律．C F ma =，C a

为质点系质心运动的加速度．该定理表明：不管物体的质量如何分布，也不管外力作用点在物体的哪个位置，质心的运动总等效于物体的质量全部集中在此、外力亦作用于此时应有的运动．

运动关联：绳、杆约束物系或接触物系各部分加速度往往有相关联系，称为约束．每个约束条件可用一个运动方程描写，称为约束方程．可用小量分析方法（微元法）确定它们的大小关系：设想物系各部分从静止开始匀加速运动极短时间t ∆，由()212

x a t ∆=∆可知，加速度与位移大小成正比，确定了相关物体在同时间内的位移比，便确定了两者加速度的大小关系． 加速度关联举例：

（1）如图a 所示A 和B 的加速度的关系：

a B =a A cot α．

（2）如图b 所示A 、B 、C 间的加速度关系：a C =

2

1(a A +a B ) ． （3）如图c 所示的加速度关系：

当A 不动时，a B =a C ，方向向上；当C 不动时，a B =

21a A ，方向向下． 则B 的加速度是A 和C 的叠加，即a B =c a a a -2．

1．质量为M 的不光滑三角形木块ABC ，放在

粗糙的地面上，如图所示，已知角度θ1和θ2，

在AB 和BC 上分别有质量为m 1和m 2的两个

滑块，它们分别以加速度a 1和a 2滑下，而三

角形木块保持静止不动．试求：地面对三角形

木块的支持力和摩擦力．

2．如图所示，用一细绳跨过光滑的定滑轮，而在绳的两端各悬质

量为m 1和m 2的物体，且有m 1＞m 2，求它们的加速度以及绳子两

端的张力F 1和F 2．

M

3．如图所示的系统中滑轮与细绳质量均可忽略不计，

细绳不可伸长，且它与滑轮间无摩擦．图中三个物体

A 、

B 、

C 的质量分别为m 1、m 2、m 3，它们的加速度方

向按图示设取，试求这三个加速度量的大小．

4．如图，质量为M ，倾角为θ的光滑斜面，放置

在光滑水平面上，另有质量为m 的小物块沿斜面

下滑．试求：斜面在水平桌面上运动的加速度的

大小．

二、刚体力学（转动定律）：M I α=

转动定律：刚体在合外力矩

M 作用下，所获得的角加速度α与合外力矩M 大小成正比，与转动惯量I 成反比，即M I α=（转动的牛二定律）．

转动惯量是物体在转动中惯性大小的量度，它等于刚体中每个质点的质量i m 与该质点到转轴的距离i r 的平方的乘积的总和，即21lim n i i n i I m r →∞=≡∑．从转动惯量的定义式可知，刚体的转

动惯量取决于刚体各部分的质量及对给定转轴的分布情况．在中学数学层面上，我们可以用微元法求一些质量均匀分布的几何体的转动惯量．在此，我们先由类比法引入转动惯量I ．

M

5．如图所示，考虑到滑轮是有质量（滑轮的半径R ，质量M ，且

质量只分布在圆的边缘）且是粗糙的．现用一细绳跨过定滑轮，

而在绳的两端各悬质量为m 1和m 2的物体，且有m 1＞m 2，求它们

的加速度以及绳子两端的张力F 1和F 2．假设细绳不可伸长，质

量可忽略，它与滑轮之间没有相对滑动．

6．一质量为m 半径为R 的均质圆筒，沿倾角为θ的粗糙斜面自静止无滑下滚，求静摩擦力、质心加速度，以及保证圆筒作无滑滚动所需最小摩擦系数？

三、惯性力与惯性力矩

牛顿运动定律只在一类特殊的参照系中成立，简称惯性系．实验证明，地面已经是一个相当接近惯性系的参照系．一般情况下，相对地面静止的或是匀速直线运动的参照系都可以看作惯性系．牛顿运动定律不成立的参照系叫做非惯性系，非惯性系相对惯性系必然做加速运动或旋转运动．

为了使牛顿运动定律在非惯性系中也能使用，必须引入一个惯性力-F ma 惯．

如果非惯性系相对惯性系有平动加速度a ，那么可以假想非惯性系中的所有物体都受到

一个大小为ma 、方向与a 的方向相反的惯性力，牛顿运动定律即可照用．

例如，一物块A 放在倾角为θ 的光滑斜面B 上，问斜面B 必须以多大的加速度运动，才能保持A 、B 相对静止？

可取B 作为参考系，A 在这个参照系中应静止．因为B 是相对地面有加速度的非惯性系，所以要加上一个惯性力F 惯=ma ，方向水平向右，a 的大小等于B 相对地面的加速度．由受力分析图可知：

ma =mgtan θ , ∴a =gtan θ

如在非惯性参考系中考虑物体的转动趋势，则应考虑惯性力的力矩——惯性力矩．

7．在铅垂平面内有半径为R 的光滑圆环，另有小环m 套在大圆环上，可自由滑动，当大圆环以角速度ω绕过O 的竖直轴旋转时，求小环的平衡位置θ=？

8．水平木板上有高度为H 的台阶，均质圆柱体放在面板上，自由地靠在台阶上，圆柱体的半径R ＞H ，木板在水平方向上以加速度a 向右运动，试问木板可能的最大加速度a max 为多大时，圆柱体尚未离开木板底座？（摩擦不计）

9．如图所示，质量为M

的光滑圆形滑块平放在桌面

惯

上，一细轻绳跨过此滑块后，两端各挂一个物体，物体质量分别为m′和m，绳子跨过桌边竖直向下，所有摩擦均不计，求滑块的加速度．