曲线Fx,y=0的切线与法线方程

k
Fy ( x0 , y0 ) Fx ( x0 , y0 )
法线： y y0
Fy ( x0 , y0 ) Fx ( x0 , y0 )
( x x0 )
即
四川大学数学学院
x x0 y y0 Fx ( x0 , y0 ) Fy ( x0 , y0 )
徐小湛
对称式
类似曲面 F(x, y, z)=0 法线方程
Santa II, p.163
曲线 F(x, y)=0 的切线和法线
四川大学数学学院
徐小湛
2 April 2012
Santa II, p.163
隐函数的导数的一个应用就是求曲线 F(x, y)=0 的切线和法线方程。 这里我们给出曲线F(x, y)=0 的切线和 法线方程的一般形式。 它们很类似曲面 F(x, y, z)=0 的切平面 和法线方程。
Santa II, p.163
曲线 F(x, y) = 0 的切向量与法向量 切向量
s { Fy , Fx }
法向量
n {Fx , Fy } F
( x0 , y0 )
F ( x, y) 0
四川大学数学学院
徐小湛
2 April 2012
Fx 切向量： {1, } Fy 或 { Fy , Fx }
Fx dy F ( x, y ) 0 dx Fy
法向量： {1, Fy Fx 或 {Fx , Fy } n
Santa II, p.163
}
( x0 , y0 )
F ( x, y) 0
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
即
Fx ( x0 , y0 )( x x0 ) Fy ( x0 , y0 )( y y0 ) 0
ຫໍສະໝຸດ Baidu点法式
四川大学数学学院 徐小湛
类似曲面 F(x, y, z)=0 的切平面方程
2 April 2012
Santa II, p.163
曲线 F(x, y) = 0 在 (x0, y0) 处的法线斜率：
四川大学数学学院
徐小湛
2 April 2012
Santa II, p.163
曲线 F(x, y) = 0 在 (x0, y0) 处的切线斜率：
Fx ( x0 , y0 ) （由隐函数的导数公式） y( x0 ) Fy ( x0 , y0 )
Fx ( x0 , y0 ) ( x x0 ) 切线方程： y y0 Fy ( x0 , y0 )
y ex 1
2 April 2012
Santa II, p.163
y ex 1
e xy e
y
x y 1 e
四川大学数学学院
徐小湛
2 April 2012
Santa II, p.163
曲线 F(x, y)=0 的切向量和法向量
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徐小湛
2 April 2012
四川大学数学学院 徐小湛 2 April 2012
Santa II, p.163
1 切线斜率 k切 y(0) e
1 e 法线斜率 k法 y(0)
1 切线方程： y 1 ( x 0) e
法线方程：
四川大学数学学院 徐小湛
x y 1 e
y 1 e( x 0)
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Santa II, p.163
例 求曲线 e xy e 0 在点 (0,1)处的
y
切线方程和法线方程。
解 令 F ( x, y) e xy e
y
则
Fx y
Fy e x
y
Fx (0,1) 1 得 y (0) e Fy (0,1)