空间曲线的切线与法平面

即
xz0
山东农业大学
高等数学
主讲人： 苏本堂
二、曲面的切平面与法线
设 有光滑曲面 :F (x,y,z)0
通过其上定点 M (x0,y0,z0)任意引一条光滑曲线
: x ( t ) ,y ( t ) , z ( t ) , 设tt0对应点 M, 且
( t0 ) ,( t0 ) ,( t0 ) 不全为0 . 则 在
切向量
T1,
dy dx
,
M
dz dx
(1,0,1) M
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点 M (1,–2, 1) 处的切向量 T(1,0,1)
切线方程
x1 y 2 z 1 1 0 1
即
xyz2200
法平面方程 1 ( x 1 ) 0 ( y 2 ) ( 1 ) ( z 1 ) 0
即 kyxRRz02Rk0
法平面方程 Rxk(z2k)0
o
即 Rxkz2k20
x
y
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曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向
量为T((t0) (t0) (t0))
讨论: 1. 若曲线的方程为y(x)z(x)则切向量T?
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2. 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量
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第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面和法线
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一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面.
T
M
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一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为
x(t), y(t), z(t), 这里假定(t), (t), (t)都在[ ]上可导
设tt0和tt0t分别对应于曲线上的 点M0(x0, y0, z0)和M(x0+x, y0+y, z0+z)
作曲线的割线MM0, 其方程为
x x x x 0 x x 0 y y y y 0 y y 0 z z z z 0 z z 0 或 或 x x x x 0 x x 0 y y y y 0 y y 0 z z z z 0 z z 0 t t t t t t
当MM0, 即t0时, 得曲线在点M0处的切线方程为 x ( t x 0 0 ) y ( t y 0 0 ) z ( t z 0 0 )
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一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线的参数方程为
x(t) y(t) z(t)
这里假定(t), (t), (t)都在[ ]上可导
过曲线上tt0所对应的点M0切线方
程为
x ( t x 0 0 ) y ( t y 0 0 ) z ( t z 0 0 )
向量T((t0)(t0)(t0))称为曲线在点M0的切向量.
通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法
平面, 其法平面方程为
(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
切向T量 n
由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以 n为法向量
的平面上 , 从而切平面存在 .
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曲面 在点 M 的法向量
n ( F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F z ( x 0 , y 0 , z 0 )) 切平面方程
T
点 M 的切向量为
T (( t 0 ) ,( t 0 ) ,( t 0 )) M
切线方程为 x (tx00 )y (ty00 ) z(tz00)
下面证明: 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
在同一平面上. 此平面称为 在该点的切平面.
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证: : x ( t ) ,y ( t ) ,z ( t ) 在 上,
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解. 方程组两边对 x 求导, 得 x z
ydyzdz x dx dx dy dz 1 dx dx y x
解得 d y 1 1 z x , dx y z y z
dz dx
1 1 yz
xy yz
11
11
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
n
T
M
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例1. 求圆柱螺旋线 x R c, o y R s s, i z n k 在
2
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于 xRsin ,yRco,szk,当2时,
对应的切向量为 T( R ,0,k), 故
切线方程
x
y
R
z
2
k
R 0
k
M0(0,zR,2k)
F x ( x 0 ,y 0 ,z 0 ) ( x x 0 ) F y (x 0 ,y 0 ,z 0 )(y y 0 )
法线方程
F z ( x 0 ,y 0 ,z 0 ) z ( z 0 ) 0
Fx(xx0 ,yx00,z0)Fy(xy0 ,yy00,z0)Fz(x z0 ,yz0 0,z0)
T?
提示:
1. 曲线的参数方程可视为: xxy(x)z(x) 切向量为T (1(x)(x))
2. 两方程可确定两个隐函数: y(x)z(x)
切向量为T (1(x)(x))而(x)(x)要通过解方程
组得到.
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例2. 求曲线 x 2 y 2 z 2 6 ,x y z 0 在点
F (( t ) ,( t ) ,( t ) ) 0
n
T
两边 t在 t0处求 ,注 导 t意 t0对应 M , 点 M
得 Fx(x0,y0,z0)(t0)Fy(x0,y0,z0)(t0)
F z(x0,y0,z0)(t0) 0
令 T (( t 0 ) ,( t 0 ) ,( t 0 ))
n ( F x ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F y ( x 0 , y 0 , z 0 ) , F z ( x 0 , y 0 , z 0 )