ch7-静电场中的导体和电介质-习题及答案

ch7-静电场中的导体和电介质-习题及答案

第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案

1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。试证明：

R

r

=21σσ 。 证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以

半径为R 的导体球的电势为

R R V 0211π4επσ=

14εσR

= 半径为r 的导体球的电势为

r r V 0222π4επσ=

24εσr

= 用细导线连接两球，有21V V =，所以

R

r =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ

（1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得

S S d E S

∆+==⋅⎰)(1

0320

σσε

故 +2σ03=σ

上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。

（2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

022220

4

030201=---εσεσεσεσ

又 +2σ03=σ 故 1σ4σ=

3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。

解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V 由电势叠加原理，球心电势为

=

O V R

q dq R

3π4π4100εε+

⎰

03π4π400=+'=

R

q

R q εε 故 -

='q 3

q 4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有内外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳带有电量Q 。

（1）求导体球和球壳的电势1V 和2V ； （2）如果将球壳接地，求1V 和2V ；

（3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求1V 和2V 。

解：（1）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。 半径为R 、带电量为q 的均匀带电球面产生的电势分布为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤=)( 4)(

400

R r r

q R r R q

V πεπε

导体球外表面均匀带电q ；导体球壳内表面均匀带电q -，外表面均匀带电Q q +，由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳内表面和外表面电荷在该点产生的电势的代数和。

导体球是等势体，其上任一点电势为

)(

413

210

1R Q

q R q R q V ++-=

πε 球壳是等势体，其上任一点电势为

+

=

r

q V 024πεr

q 04πε-304R Q q πε++

3

04R Q

q πε+=

（2）球壳接地0π43

02=+=

R Q

q V ε，表明球壳外表面电荷Q q +入地，球壳外表面不带

电，导体球外表面、球壳内表面电量不变，所以

)11(

42

10

1R R q V -=

πε （3）导体球接地01=V ，设导体球表面的感应电荷为q '，则球壳内表面均匀带电

q '-、外表面均匀带电Q q +'，所以

0)(

413

210

1=+'+'-'=

R Q q R q R q V πε 解得 21313221R R R R R R Q

R R q +--

='

3024R Q

q V πε+'=

)

(4)(213132012R R R R R R Q R R +--=πε

5. 两个半径分别为1R 和2R （1R ＜2R )的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+q ，试求：

(1)外球壳上的电荷分布及电势大小；

(2)先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势； (3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电量以及外球壳上的电势。

解：(1)内球壳外表面带电q +；外球壳内表面带电为q -,外表面带电为q +，且均匀分布，外球壳上电势为

⎰⎰∞∞=

=⋅=2

2

2

02

0π4π4d R R R q dr r

q r E V εε

(2)外球壳接地时，外表面电荷q +入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q -。所以球壳电势由内球q +与外球壳内表面q -产生，其电势为

0π4π42

02

0=-

=

R q R q V εε

(3)如图所示，设此时内球壳带电量为q '；则外壳内表面带电量为q '-，外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且