利用椭圆的定义解题

高考数学复习点拨：利用椭圆的定义解

题

活用椭圆定义

山东杨道叶

椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在

解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义

求解，常会有事半功倍之效。

例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。

分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。

解析：∵、、成等差数列，∴，即，

又，∴。

根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。

又∵，∴，即，

∴，∴。

故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当时，点、、在

同一条直线上，不能构成三角形，∴。

∴点的轨迹方程为。

评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找

出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易

忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三

角形，故应剔除使、、共线的点。

例2 椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2，试判断的形状。

分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。

解析：由，解得。

又，故满足。

∴为直角三角形。

评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三

角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。练习：

1．椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于、两点，则的

周长为（）

．10．12．16．20

2．椭圆的焦点为和，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么是的（）

．7倍．5倍．4倍．3倍答案：1．2．