矩形的定义及性质
18.2.1_矩形的定义与性质
A
120°
D O C C
4
B
D
2.已知:如图,过矩形ABCD的顶点作 CE//BD，交AB的延长线于E。 求证：∠CAE=∠CEA A
B
E
3．如图，矩形ABCD中，EF EB , EF EB , ABCD的周长为22cm，CE=3cm。求：DE的长。 先证DEF与CBE全等（AAS），
先证DEF与CBE全等（AAS）， D E C
F A B
4.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，使点A 落在点E处，BE交CD于点F。已知∠ABD=30度. (1) 求∠EBD的度数；（2）求证：EF=FC
A
B
D
F
E
C
5.设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别为S1、S2，• 则二者的大小关系是：S1____S2．
18.2 特殊的平行四边形
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角
是直角
矩形
：矩形是特殊的平行四边形
矩形的一般性质：
具有平行四边形所有的性质
边
A O B C D
对边平行且相等 对角相等，邻角互补 对角线互相平分
角
对角线
探索新知:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平 行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
矩形的对角线相等且互相平分；
对角线
P53 思考
A
如下图，矩形对角线AC与BD相交于点O，那么OB是 Rt △ ABC的一条什么线，BO与AC有什么关系？
初中数学矩形的性质及其判定
矩形中考要求知识点睛矩形的性质及判定1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：①边的性质：对边平行且相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：对角线互相平分且相等．④对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30 角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得．3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形．判定②：对角线相等的平行四边形是矩形．判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．例题精讲模块一矩形的概念【例1】矩形的定义：__________________的平行四边形叫做矩形．【答案】有一个角是直角；【例2】矩形的性质：矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．【答案】都是直角，相等，经过对边中点的直线；【例3】矩形的判定：一个角是直角的______是矩形；对角线______的平行四边形是矩形；有______个角是直角的四边形是矩形．【答案】平行四边形；对角线相等；三个角【例4】矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【解析】省略 【答案】A【巩固】矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH ⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形 【解析】省略 【答案】2BC AB =模块二 矩形的性质【例5】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠=FED CBA【解析】省略 【答案】15︒【例6】矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则BC ＝______cm ，周长为 ．【答案】，【例7】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =. 求证：ABE ∆≌CDF ∆.D EFCAB【解析】省略【答案】∵四边形ABCD 是矩形∴90AB AD B D =∠=∠=，. 在ABE ∆和CDF ∆中， 又∵BE DF =， ∴ABE ∆≌CDF ∆.【例8】如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。
二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。
求证：ABE ∆≌CDF ∆。
【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。
【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。
FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。
求证：四边形ADCE 是矩形。
【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。
ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定基础知识点1、矩形的性质和判定：定 义矩 形有一个内角是直角的平行四边形。
性质边对边平行，对边相等。
角 四个角相等，都是直角。
对角线互相平分，相等。
判定有一个角是直角的平行四边形是矩形。
有三个角是直角的四边形是矩形。
对角线相等的平行四边形是矩形。
2、在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
3、矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线。
例题剖析例1、 已知矩形ABCD 中，AB=2BC ，点E 在边DC 上，且AE=AB ，求∠EBC 的度数．【变式练习】矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，•求证：BE=CF ．【变式练习】在矩形ABCD 中，AC ，BD 是对角线，过顶点C 作BD•的平行线与AB 的延长线相交于点E ，求证：△ACE 是等腰三角形．例2、折叠矩形ABCD 纸片，先折出折痕BD ，再折叠使A 落在对角线BD 上A ′位置上，折痕为DG ，AB=2，BC=1。
求AG 的长。
GA`DCBA【变式练习】如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在F 的位置，BF 交AD 于E ，AD=8,AB=4，求△BED 的面积。
EDC BAF例3、在△ABC中，∠ABC=90°，BD是△ABC的中线，延长BD到E，•使DE=BD，连结AE，CE，求证：四边形ABCE是矩形．【变式练习】在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。
求证：四边形ADCE是矩形。
例4、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E．求证：四边形ADCE为矩形．【变式练习】（2011•青岛）在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC ，当CA=CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论【变式练习】E 为□ABCD 外一点，AE ⊥CE,BE ⊥DE ，求证：□ABCD 为矩形例5、□ABCD 中，AE 、BF 、CG 、DH 分别是各内角的平分线，E 、F 、G 、H 为它们的交点， 求证：四边形EFGH 的矩形。
矩形的性质ppt课件
05
矩形的面积和周长计算
矩形的面积计算公式
公式
如果矩形的长为a，宽为b，那么矩形的 面积S=a×b。
VS
解释
矩形的面积是其长和宽的乘积，这是因为 矩形的长和宽代表了平行四边形的底和高 。
矩形的周长计算公式
公式
如果矩形的长为a，宽为b，那么矩形的周 长P=2×(a+b)。
。如果四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形为矩形。
02
三个角是直角的四边形是矩形
如果一个四边形的三个角都是直角，则该四边形为矩形。
03
对角线相等的平行四边形是矩形
如果一个平行四边形的对角线相等，则该四边形为矩形。
矩形的证明方法
综合法
利用综合法证明三角形全等、平 行线性质等基本定理，以及利用 这些基本定理推导出其他定理，
矩形的边长关系
总结词
矩形的两边长度相等，相对的两边长度也相等。
详细描述
矩形的定义决定了其具有两边长度相等的特点。相对的两边长度也相等，这是由 于矩形的对称性所决定的。这种边长关系在几何学中有着重要的应用和意义。
04
矩形的判定和证明方法
矩形的判定方法
01
定义法
根据矩形的定义，通过测量四条边的长度来判断一个四边形是否为矩形
解释
矩形的周长是矩形四条边的长度之和，两条 长边各为a，两条短边各为b，所以周长 P=2×(a+b)。
矩形面积和周长的关系
关系
矩形的面积和周长之间没有直接的关系，但是它们都与矩形 的长和宽有关。
解释
矩形的面积和周长是两个不同的属性，面积关注的是矩形的 占据的空间大小，而周长关注的是矩形四条边的长度之和。 虽然它们都受到矩形长和宽的影响，但它们之间并没有直接 的关系。
矩形的定义和性质
矩形的定义和性质
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
也就是长方形。
矩形的性质：
由于矩形是特殊的平行四边形，故包含平行四边形的性质；矩形的性质大致总结如下：
1、矩形具有平行四边形的所有性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分、矩形的四个角都是直角。
2、矩形的对角线相等、具有不稳定性（易变形）。
矩形的常见判定方法：
1、有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形。
2、有三个角是直角的四边形是矩形、经过证明，在同一平面内，任意两角是直角，任意一组对边相等的四边形是矩形、对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定※知识回顾一、矩形的性质1、矩形的定义：有一个内角是的平行四边形是矩形.注意：（1）矩形是一种特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质；（2）根据定义能判定一个四边形是否是矩形：先证明它是平行四边形，再证明它有一个内角是直角.2、矩形的性质：（1）对称性：矩形是中心对称图形，它的对称中心是对角线的交点，矩形还是轴对称图形，它的对称轴是 .（2）边：矩形的对边 .（3）角：矩形的四个内角都是 .（4）对角线：矩形的对角线 .3、矩形的面积与周长（1）矩形的面积 = 长×宽.（2）矩形的周长 =（长+宽）×2.二、矩形的判定1、定义判定法：有一个角是直角的平行四边形是矩形.2、判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.3、判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.4、推论：对角线相等且互相平分的四边形是矩形.※典例剖析【例1】：如图，□ABCD的四个内角的平分线别交于点E、F、G、H. 求证：四边形EFGH是矩形.【例2】求证：顺次连结矩形四条边的中点，所得的四边形的四条边相等. 【例3】如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，P为边BC上一动点，B CD AHEGFPE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，求EF 的最小值.※培优训练1、（2011•绵阳）下列关于矩形的说法，正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分 2．（2011•临沂）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于 点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF ， 则四边形BCDE 的面积是（ ）A.32B.33C.4D.343．（2013•河北区）已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个4．在四边形ABCD 中，∠A=60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，AB=4cm ，CD=2cm ，求四边形ABCD 的周长（ ）A.3210+B.528+C.538+D. 5210+5．下列命题错误的是（ ）A ．平行四边形的对边相等B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．对角线相等的四边形是矩形D ．矩形的对角线相等 6．如图，在△ABC 中，AB=8，BC=6，AC=10，D 为边AC 上一动点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则EF 的最小值为（ ）A ．2.4B ．3C ．4.8D ．57．在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D 作DH ⊥AB 于H ，则DH 的长是（ ）A ．7.5B ．7C ．6.5D ．5.58．（2012•塘沽区）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°．D 是AC 的中点，DE ⊥AC ，AE ∥BD ，若BC=4，AE=5，求四边形ACBE 的周长.9．（2010•宝安区）如图，四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，E 、F 、G 、H 分别是各边的中点，求证四边形EFGH 是矩形.10、 如图，在□ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，点F 在DC 上，且AE=CF ，连结EF 、BD .求证：EF=BD .11、如图，已知：在△ABC 中，点D 是AB 的中点，E 是AC 上的点， EF ∥AB ，DF ∥BE ， ①请猜想DF 与AE 有什么关系,并证明你的猜想.②若∠ABE=∠BAC ，猜想DF 与AE 有什么关系,并证明你的猜想.※能力拓展1.如图，矩形ABCD 中，AB ＞AD ，AN 平分∠DAB ，DM ⊥AN 于点 M ，CN ⊥AN 于点N ，G 为MN 的中点，GH ⊥MN 交CD 于点H ，且 DM=a ，GH=b ，则CN 的值为（用含a 、b 的代数式表示）（ ）. A.b a +2 B.b a 2+ C.b a + D.b a 22+2.（2013•张湾区）如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，AD CBF E FE DCBAP为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点．设AM的长为x，则x的取值范围是.3.如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个_________三角形；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？。
第09课 矩形的定义与性质
AE
D F
O
B
C
跟进练习：如图，点 P 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，矩形的两条边 、 AB BC 的长分别是 6 和 8，则点
P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是 ． 知识点四 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例 4 如图，已知四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点 E 是 AC 中点，点
F 是 BD 中点．
(1)求证：EF⊥BD；
(2)过点 D 作 ⊥ DH AC 于 H 点，如果 BD 平分∠HDE，求证：BA＝BC．
D
A HF
E
C
B
不要让关心你的人失望。永远不要向困难低头，永远不要放弃自己的理想。
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知识改变命运
学习成就未来
奋斗改变人生。
人生只有走出来的美丽，没有等出来的辉煌。
跟进练习：如图，在锐角三角形 ABC 中，CD，BE 分别是 ， AB AC 边上的高，M，N 分别是线段 ， BC DE 的中点． (1)求证：MN⊥DE． (2)连接 DM，ME，猜想∠A 与∠DME 之间的关系，并证明你的猜想． 当∠ (3) BAC 变为钝角时，如图②，上述(1)(2)中的结论是否都成立？若 成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由．
则 MN 的长为( )
．A 3
．B 4
．C 5
．D 6
第1题
第2题
第3题
第4题
3．如图，△ABC 中，∠A＋∠B＝90°，AD＝DB，CD＝3，则 AB 的长度为( ) x
C
．A 3
．B 4
．C 5
．D 6
4．如图，点 P 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上一点，过点 P 作 EF∥BC，分别交 ， AB D E B
矩形的概念矩形的定义是什么
矩形的概念矩形的定义是什么矩形(rectangle)是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
矩形的定义是什么?以下是店铺分享给大家的关于矩形的定义，欢迎大家前来阅读!矩形的定义在几何中，矩形的定义为四个内角相等的四边形，即是说所有内角均为直角。
从这个定义可以得出矩形两条相对的边等长，也就是说矩形是平行四边形。
正方形是矩形的一个特例，它的四个边都是等长的。
同时，正方形既是长方形，也是菱形。
非正方形的矩形通常称之为oblong。
矩形的基本简介矩形(rectangle)是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
判定1.一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.对角线相等的平行四边形是矩形。
3.有三个内角是直角的四边形是矩形。
4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
说明：长方形和正方形都是矩形。
平行四边形的定义在矩形上仍然适用。
图形学"矩形必须一组对边与x轴平行，另一组对边与y轴平行。
不满足此条件的几何学矩形在计算机图形学上视作一般四边形。
"在高等数学里只提矩形，所以也就没提长方形的长与宽。
矩形的详细释义计算公式面积：S=ab(注:a为长,b为宽)周长：C=2(a+b)=2a+2b(注:a为长,b为宽)外接圆矩形矩形外接圆半径 R=矩形对角线的一半性质1.矩形的4个内角都是直角;2.矩形的对角线相等且互相平分;3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;4.矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线)，它至少有两条对称轴。
5.矩形具有平行四边形的所有性质6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形黄金矩形宽与长的比是(√5-1)/2(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形。
黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。
矩形的性质及判定
E D C B A A BC D F ED C BA 矩形性质和判定一、知识要点1.定义：有一个角是直角的 叫做矩形（通常也叫长方形）。
2.性质：矩形的特有性质：（1）矩形的四个角都是 ；（2）矩形的对角线 。
规律总结：矩形的性质：（从边、角、对角线三个方面总结出矩形的性质）（1）对边平行且相等；（2）四个角都是直角；（3）对角线相等且互相平分。
矩形是轴对称图形，它有 对称轴。
3.判定：（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
（2）有三个角都是直角的四边形是矩形。
（3）对角线相等的平行四边形是矩形。
(也可以表述成“对角线互相平分且 的四边形是矩形”)。
4、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．二、例题讲解1.矩形的性质例1.如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，图中有_______个直角三角形，•有 个等腰三角形．例2.矩形的两条邻边分别是5、2，则它的一条对角线的长是______．例3.如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若∠AOD=60°，OB=•4，•则DC=________．例4.矩形ABCD 的周长为56，对角线AC ，BD 交于点O ，△ABO 与△BCO 的周长差为4，•则AB 的长是（ ）A ．12B ．22C ．16D ．26例5.如图，有一矩形纸片ABCD ，106AB AD ==，，将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，在将AED ∆以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则CEF ∆的面积为例6.如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =. 求证：ABE ∆≌CDF ∆.D EF C A BC D B A 例7.如图所示，在矩形ABCD 中，AB=8，AD=10，将矩形沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上的点F 处，求CE 的长．例8.如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过顶点C 作CE ∥BD ，交A•孤延长线于点E ，求证：AC=CE ．例9.已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥2.矩形的判定例1.在坐标系中，A （-2，0），B （-2，3），C （3，0），若使以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是矩形，则符合条件的点D 的坐标是________．例2.若顺次连结一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（ ）A ．一般平行四边形B ．对角线互相垂直的四边形C ．对角线相等的四边形D ．矩形例3.如图所示，在四边形ABCD 中，∠A=∠ABC=90°，BD=CD ，E 是BC 的中点，求证：•四边形ABED 是矩形．例4.如图，在四边形ABCD 中，90ABC BCD ∠=∠=︒，AC BD =，求证：四边形ABCD 是矩形．A B C E FDM C D B A NM F ED C B A 例5.如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．例6.如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，AF 是BAC ∠的外角平分线，DE ∥AB 交AF 于E ，试说明四边形ADCE 是矩形．例7.如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！321F E D C B A。
矩形的定义性质
矩形的定义、性质一、知识要点引导1、矩形的定义： 定义的要素：（1） ，（2） .2、矩形的性质：（1）矩形是特殊的 ，具有 的一切性质.（2）矩形是轴对称图形，有 条对称轴，分别是经过 的直线；矩形也是中心对称图形，对称中心是 .（3）矩形的四个角都是 .（4）矩形的对角线 .3、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于 .(注：条件①直角三角形，②斜边的中点.二者缺一不可.)二、例题分析例1．如图，矩形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O,∠AOD=1200,AB=2cm.求矩形对角线的长.三、巩固练习1、如图, 矩形ABCD 的两条对角线AC 、BD 相交于点O,AB=6，OA=4.则BD= ，AD= .2、矩形ABCD 的周长是56cm,对角线AC 与BD 相交于点O,△OAB 与△ OBC 的周长差 是4cm,则矩形ABCD 的对角线长是.O D C BA3、如图,矩形纸片ABCD 中，已知AD=8,折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为 .4、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，点P 是BD 的中点.若AD=6，则CP 的长为 .5、如图，E 、F 分别是矩形ABCD 的对角线AC 和BD 上的点，且AE=DF.求证：BE=CF.6、如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ， 已知∠CAE=15 °，AB=2cm ,求∠BOE 的度数和矩形的面积.7、如图，E 是矩形ABCD 的边CB 延长线上的一点，CE=CA ，F 是AE 的中点. 求证：BF ⊥FD.F E D CB A P DC BA O E D CB A F E D CB A8、如图,在矩形ABCD中,AB＝3,AD＝4, P是AD上不与A、D重合的一动点,PE⊥AC，PF⊥BD，E、F为垂足, 求PE＋PF的值.。
矩形知识点总结归纳
矩形知识点总结归纳矩形是一种常见的几何形状，在我们的日常生活和学习中起到了重要的作用。
它具有一些独特的性质和特点，本文将对矩形的定义、性质和相关公式进行总结归纳。
以下是关于矩形的各方面知识点的介绍：一、定义矩形是一种拥有四条边长度相等且相对平行的四边形。
它是特殊的平行四边形，同时也属于特殊的四边形。
二、性质1. 对角线互相平分：矩形的两条对角线互相平分，即两条对角线的交点是对角线的中点。
2. 内角度数：矩形的四个内角度数均为90度。
3. 边长关系：矩形的相邻边相等且平行。
三、周长和面积计算1. 周长：矩形的周长等于两条长边与两条短边的和，可以用公式 C = 2(a + b) 来计算，其中 a 和 b 分别表示矩形的长和宽。
2. 面积：矩形的面积是长乘以宽，可以用公式 A = a * b 来计算，其中 a 和 b 也表示矩形的长和宽。
四、对角线长度计算1. 对角线的长度：矩形的两条对角线长度相等，可以使用勾股定理来计算。
设矩形的长边长为 a，宽边长为 b，那么对角线的长度 D 可以用公式D = √(a² + b²)来计算。
五、特殊矩形除了一般的矩形外，还存在几种特殊的矩形形式：1. 正方形：正方形是一种特殊的矩形，它的四条边长度相等，且内角均为90度。
正方形的周长和面积计算公式与矩形相同，即 C = 4a 和A = a²，其中 a 表示正方形的边长。
2. 长方形：长方形也是一种矩形，特点是两条边长度不相等。
长方形的周长和面积计算公式同样适用于一般的矩形。
六、应用矩形作为一种常见的几何形状，广泛应用于日常生活和各个领域。
以下是几个典型的应用场景：1. 建筑设计：矩形是建筑设计中常见的形状之一，例如房屋的平面布局、墙壁的设计等。
2. 地理测量：在地理测量中，矩形可以用来表示土地的边界和测量区域的大小。
3. 学术研究：矩形被广泛运用于几何学的研究中，有助于推演和证明其他几何形状的性质。
人教版八年级下册数学教案：18.2.1矩形的性质和判定
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“矩形的性质和判定在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的过程较为顺利。但我注意到，有些小组在讨论时，个别成员参与度不高。为了提高学生的参与度，我打算在下次课程中，对小组讨论的环节进行改进，比如设置明确的讨论主题和任务，让每个学生都有事可做。
学生小组讨论部分，总体来说效果还不错。大家能够围绕矩形在实际生活中的应用展开讨论，并提出自己的观点。但在引导与启发学生思考问题时，我发现有些问题可能设置得不够恰当，导致学生的思考方向有所偏离。因此，我需要继续优化问题设计，使问题更具针对性和启发性。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是有一个角是直角的平行四边形，它在我们的生活中有着广泛的应用。矩形的性质和判定方法对于我们解决实际问题非常重要。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了矩形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在上完这节关于矩形的性质和判定的课程后，我对教学过程进行了反思。首先，我觉得在导入新课的部分，通过提问的方式引发学生的思考，效果还不错。大家能够从日常生活中找到与矩形相关的例子，这有助于他们更好地理解矩形的概念。
在新课讲授环节，我发现学生们对矩形性质的理解还不够深入。虽然在讲解过程中我尽量用简练的语言和生动的例子进行解释，但仍有部分学生显得有些迷茫。我想在以后的课程中，可以尝试使用更多的教学辅助工具，如图形卡片、动画演示等，让学生更直观地感受矩形的性质。
矩形的判定与性质
-5-
A
M E
B
O
FN
C
23、如图，在矩形 ABCD 中，已知 AD=12,AB=5,P 是 AD 上任意一点，PE⊥BD,PF⊥AC,E、F 分别是垂足，
试求(PE+PF)的长度
-3-
17、如图：在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=5，E、P 分别在 AD、BC 上，且 DE=BP=1． 求证：四边形 EFPH 为矩形．
18、已知在△ ABC 中，AB=AC=5，BC=6，AD 是 BC 边上的中线，四边形 ADBE 是平行四边形． （1）求证：四边形 ADBE 是矩形； （2）求矩形 ADBE 的面积．
1、如图，在△ ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边 BC 上一动点（且点 P 不与点 B、C 重合），PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F．则 EF 的最小值为（ ）
A．4
B．4.8
C．5.2
D．6
1、下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
的最小值为（ ）
A．2
B．2.2
C．2.4
D．2.5
8、在四边形 ABCD 中，∠A=60°，AB⊥BC，CD⊥AD，AB=4cm，CD=2cm，求四边形 ABCD 的周长（ ）
A．10+2
B．8+2
C．8+3
D．10+2
9、如图，在 Rt△ ABC 中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P 为边 BC 上一动点，PE⊥AB 于 E，PF⊥AC 于 F，
21、如图 13,EB=EC,EA=ED,AD=BC, ∠AEB=∠DEC.求证：四边形 ABCD 是矩形.
矩形的定义及性质课件
矩形可以用于设计画布、画框 和展示板，提供稳定的支撑。
在平面设计和排版中，矩形常 被用于布局和组织内容。
在平面设计和排版中，矩形常 被用于布局和组织内容，提高
视觉效果。
其他应用场景
在包装和运输中，矩形纸箱和托 盘被广泛使用，便于堆叠和搬运
。
在科学实验中，矩形玻璃器皿常 被用于盛放液体或气体。
近代的矩形研究
近代数学家对矩形的深入 研究
随着数学的发展，人们对矩形的研究更加深 入。例如，矩形的一些重要性质被发现，如 矩形的对角线相等、矩形的面积等于长乘以 宽等。
近代的应用
在工业生产和建筑设计等领域中，矩形的应 用更加广泛。例如，在制造机器时，人们会 使用矩形的零件来确保机器的稳定性和精度
。
特殊情况下矩形的判定
总结词
在特殊情况下，如矩形的一条对角线被另一条对角线平分，则该四边形为矩形。
详细描述
如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线平分，则该四边形的两条对角线长度相等，因此该四边 形为矩形。此外，如果一个四边形的两条对角线互相平分且相等，则该四边形也一定是矩形。
04
矩形在实际生活中的 应用
详细描述
轴对称性意味着矩形沿一条垂直或水平的直线对折后两部分能够完全重合，而中 心对称性则意味着矩形关于其中心点对称。这两种对称性在建筑设计、图案设计 等领域有着广泛的应用，使得矩形成为一种非常受欢迎的几何图形。
03
矩形的判定
根据定义判定矩形
总结词
根据矩形定义，矩形是四个角都是直 角的平行四边形。
总结词
矩形的对角线长度相等，这是由矩形的基本性质推导出的一 个重要结论。
详细描述
由于矩形的两组相对边分别平行且等长，根据勾股定理，矩 形的两条对角线长度相等。这一性质在解决几何问题时非常 有用，特别是在证明和计算与矩形相关的定理和公式时。
矩形的性质与判定
矩形的性质及判定（修改）1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
（1）角：四个角都是 。
（2）对角线： 且 。
(3)矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； 矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
(4)直角三角形斜边上的中线性质根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的 。
（2）对角线 的平行四边形。
（3）有三个角是 的四边形。
4.矩形与平行四边形的区别与联系？ 说理题：下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形；（ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （4）对角线相等的四边形是矩形；（ ） (5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（ ）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( )【经典例题:】1如图，在矩形ABCD 中,AB=3,AD=4,P 是AD 上一动点,PF ⊥AC 于F,PE⊥BD 于E,则PE+PF 的值为（ ） A 、125B 、135C 、52D 、2例2、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒,求BOE ∠的度数。
变式：已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC=________.3、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．84.如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（ ）A.98B.196C.280D.2845、如图，已知BD 、CE 是ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，MN 与DE 有怎样的位置关系。
矩形的性质与特点
矩形的性质与特点矩形作为一种常见的几何图形，具有其独特的性质和特点。
在本文中，我们将探讨矩形的定义、特征和相关性质，并讨论其在数学和实际生活中的应用。
1. 矩形的定义和基本特征矩形是一种拥有四条边、四个角均为直角的平面图形。
它的两对相邻边长度相等，对角线相等且互为半对称线。
根据这些定义，我们可以得到矩形的一些基本特征。
2. 矩形的四个角均为直角由于矩形的定义，它的四个角均为直角。
这意味着矩形的内角和为360度，且每个角的度数都为90度。
这是矩形与其他四边形的明显区别。
3. 矩形的对边相等且平行矩形的两对相邻边长度都相等，即对边相等。
同时，这两对对边也是平行的。
这意味着当我们将矩形平移或旋转时，其形状和大小保持不变。
4. 矩形的对角线相等且互为半对称线矩形的两条对角线相等且互为半对称线。
其中，半对称线是指将矩形分为两个全等的三角形。
这个性质使得矩形的对角线成为了研究和计算矩形性质的重要工具。
5. 矩形的面积和周长计算矩形的面积可通过将矩形分为两个全等的直角三角形，并利用三角形的面积公式进行计算：面积 = 长 ×宽。
而矩形的周长则是四个边长之和。
6. 矩形的性质在数学和实际生活中的应用矩形的性质和特点在数学教学和实际生活中都有广泛的应用。
在数学中，矩形作为一个简单且易于研究的几何图形，常被用于引入面积和周长的概念，以及介绍平行四边形和其他四边形的概念。
在几何证明中，我们也可以利用矩形的性质来推导其他几何定理。
在实际生活中，我们可以发现矩形的身影随处可见。
建筑物的窗户、墙壁、地板以及家具等往往采用矩形形状，因为矩形更易于设计、制造和布局。
同时，矩形在工程测量、地图绘制、电子屏幕和平面设计等领域也得到广泛应用。
总结：矩形作为一种常见的几何图形，具有四个直角、对边相等且平行、对角线相等且互为半对称线等基本特点。
它的性质在数学教学和实际生活中有着广泛的应用。
通过深入了解和研究矩形的性质，我们能够更好地理解几何学的基础知识，并将其应用于实际问题的解决中。
中考数学复习----《矩形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
中考数学复习----《矩形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2.矩形的性质：①具有平行四边形的一切性质。
②矩形的四个角都是直角。
③矩形的对角线相等。
④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。
对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。
⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
练习题1．（2022•无锡）雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（）A．扇形B．平行四边形C．等边三角形D．矩形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；C．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．（2022•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（）A．α﹣90°B．α﹣45°C．180°﹣αD．270°﹣α【分析】根据矩形的性质和三角形外角的性质，可以用含α的式子表示出∠2．【解答】解：由图可得，∠1＝90°+∠3，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°，∵∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α，故选：C．3．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE ＝AE＝5即可；②当P1E＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出底边AP1即可．【解答】解：如图所示，①当AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝AE＝5；②当P1E＝AE＝5时，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝，∴底边AP1＝；综上所述：等腰三角形AEP1的底边长为5或4；故答案为：5或4．4．（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，∴S阴影＝6．故答案为6．5．（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的1AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．中点，点F在对角线AC上，且AF＝4【分析】由AF＝AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴点F为AO中点，又∵点E为边AD的中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF＝OD＝BD＝．故答案为：．6．（2022•黔东南州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是．【分析】先证四边形OCED是平行四边形，得OC＝DE，OD＝CE，再由矩形的性质得OC＝OD＝5，则OC＝OD＝CE＝DE，得平行四边形OCED是菱形，即可得出结论．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∴OC＝DE，OD＝CE，∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OC＝AC＝5，OD＝BD，BD＝AC，∴OC＝OD＝5，∴OC＝OD＝CE＝DE，∴平行四边形OCED是菱形，∴菱形OCED的周长＝4OC＝4×5＝20，故答案为：20．7．（2022•十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝°．【分析】利用矩形的性质可得∠DBC＝90°，从而利用平角定义求出∠ABC的度数，然后利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝35°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形BDEC为矩形，∴∠DBC＝90°，∵∠FBD＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠DBC﹣∠FBD＝35°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝35°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°，故答案为：110．8．（2022•宜昌）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面积为．【分析】由矩形的性质得出∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，由直角三角形斜边上中线的性质及三角形中位线的性质求出BE＝6，CE＝8，BC＝10，由勾股定理的逆定理得出△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，进而求出＝24，即可求出矩形ABCD 的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，∵F，G分别是BE，CE的中点，AF＝3，DG＝4，FG＝5，∴BE＝2AF＝6，CE＝2DG＝8，BC＝2FG＝10，∴BE2+CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，∴＝＝24，∵AD∥BC，∴S矩形ABCD＝2S△BCE＝2×24＝48，故答案为：48．9．（2022•邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为cm2．【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，∴另一边长＝＝8cm ，∴它的面积为8×6＝48cm 2．故答案为：48．10．（2022•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN ．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，且a ＞b ．（1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是 ；（2）若代数式a 2﹣2ab ﹣b 2的值为零，则PQMNABCD S S 矩形四边形的值是 ．【分析】（1）直接根据线段的差可得结论；（2）先把b 当常数解方程：a 2﹣2ab ﹣b 2＝0，a ＝b +b （负值舍），根据四个矩形的面积都是5表示小矩形的宽，最后计算面积的比，化简后整体代入即可解答．【解答】解：（1）由图可知：PQ ＝a ﹣b ，故答案为：a ﹣b ；（2）∵a 2﹣2ab ﹣b 2＝0，∴a 2﹣b 2＝2ab ，（a ﹣b ）2＝2b 2，∴a ＝b +b （负值舍），∵四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，∴EP ＝，EN ＝，则＝＝＝＝＝＝3+2．故答案为：3+2．11．（2022•日照）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（）A．27°B．53°C．57°D．63°【分析】根据题意可知AE∥BF，∠EAB＝∠ABF，∠ABF+27°＝90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．【解答】解：如图，∵AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ABF+27°＝90°，∴∠ABF＝63°，∴∠EAB＝63°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EAB＝63°．故选：D．12．（2022•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF ∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（）A．2OC＝5EF B．5OC＝2EF C．2OC＝3EF D．OC＝EF【分析】过点O作OH⊥BC于点H，得出四边形ABFE是正方形，再根据线段等量关系得出CF＝EF＝2OH，根据勾股定理得出OC＝OH，即可得出结论．【解答】解：过点O作OH⊥BC于点H，∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB，∴四边形ABFE是正方形，∴OH＝EF＝BF＝BH＝HF，∵BF＝2CF，∴CH＝EF＝2OH，∴OC＝＝＝OH，即2OC＝EF，故选：A．13．（2022•泰安）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝4，点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点，∠ADM ＝∠BAP ，则BM 的最小值为（ ）A ．25B ．512C ．13﹣23D ．13﹣2【分析】如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OM ．证明∠AMD ＝90°，推出OM ＝AD ＝2，点M 的运动轨迹是以O 为圆心，2为半径的⊙O ．利用勾股定理求出OB ，可得结论．【解答】解：如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OM ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝4，∴∠BAP +∠DAM ＝90°，∵∠ADM ＝∠BAP ，∴∠ADM +∠DAM ＝90°，∴∠AMD ＝90°，∵AO ＝OD ＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．。
矩形的定义和性质
有一个角是直角的平行四边形叫 做矩形。（通常也叫长方形 C
• ①当∠α变为直角时，平行四边形变为矩 形，这时其他内角是什么样的角？ • ② 当∠α为直角时，矩形的两条对角线是 什么样的关系？
A α O
B
D
C
性质1：矩形的四个角是直角。
对称性 中心对 称图形 中心对 称图形 轴对称 图形
矩形
性质2：矩形的对角线相等。
你能否给出具体的证明过程呢？
直角三角形的另外一个重要的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一 半。
A B
O
D
C
边 平行四 边形 对边平 行且相 等 对边平 行且相 等
角 对角相 等，邻 角互补 四个角 都是直 角
对角线 对角线 互相平 分 对角线 互相平 分且相 等
矩形的定义和性质
∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD
∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB
等腰三角形有： △OAB
△ OBC
△OCD
△OAD
直角三角形有： Rt△ABC
Rt△BCD Rt△CDA
全等三角形有：
Rt△ABC ≌ Rt△BCD ≌ Rt△CDA ≌ Rt△DAB
△OAB≌△OCD
△OAD≌△OCB
D C
D A
O
B
C
直角三角形性质定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知△ABC中∠ACB=90°，AD = BD
1
求证：CD = AB
A
E
D
2
证明：延长CD到E使DE=CD， C
B
连结AE、BE.
∵AD = BD ， DE =CD
∴四边形ACBE是平行四边形 又∵∠ACB = 90°
已知：四边形ABCD是矩形
A
D
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
B
C
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠C=90° ∴∠A=∠C=90° ∠B+∠C=180 ° ∴∠B=180－∠C=90° ∴∠D=∠B=90° 即∠A=∠B=∠C=∠D=90°
命题2:矩形的对角线相等；
已知：四边形ABCD是矩形 求证：AC = BD
如图，在矩形ABCD中，AE=BF=3，EF⊥ED交 BC于点F，矩形的周长为22， 求EF的长。
E
A
B
F
D
C
直角三角形斜边上的高和斜边上的中线分别 是5cm和6cm，则它的面积是——
A
∵∠ACB=90ο,中线CD=6cm
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1 ∴ BO= AC 2
再探新知
例2.已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的
1 中线.求证: BO = 2 AC
再探新知
例2.已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上的
1 中线.求证: BO = 2 AC
例3：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，
A
D
B
C
求证：矩形的对角线相等．
矩形的特殊性质
从角上看： 矩形的四个角都是直角 从对角线上看：矩形的对角线相等
A D
符号语言
∵四边形ABCD是矩形
B
C
∴∠A=∠B=∠C=∠D=900
∵四边形ABCD是矩形
∴AC = BD
边
角 对角相等 邻角互补
四个角 为直角
对角线 对角线 互相平分 对角线互相 平分且相等
∠AOB=60°,AB=4，求矩形对角线的长.
解：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴AC与BD相等且互相平分 ∴ OA=OB
B C A o D
∵ ∠AOB=60° ∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4 ∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8
1.在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交 D 于点O,已知AB=6，BC=8， A O (1)求AC= 10 ，BO= 5 ， B C
说一说这节课的收获？
作业：
作业ห้องสมุดไป่ตู้ 作业：
1.做思维导图 2.课本P531、2、3 3.练习册P28--30
谢谢大家！
谢 谢 大 家
温故知新
平行四边形的性质
边
角
对边平行且相等
对角相等邻角互补
对角线 对角线互相平分
矩形的性质
教学目标： 1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四 边形的区别与 联系． 2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质 解决简单的问题． 3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并 会简单的运用. 教学重点： 探究并掌握矩形的定义、性质。 教学难点： 灵活运用矩形的性质和推论进行论证和 计算
平行四 边形
矩形
对边平行 且相等
对边平行 且相等
这是矩形所 特有的性质
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一个矩 形的四个顶点处，目标物放在对角线的交点处, 这样的队形对每个人公平吗?为什么？
A D
O
B 公平,因为OA=OC=OB=OD C
探索新知
A
O
推论
B
C
直角三角形的一个性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(2)矩形ABCD的周长是 28 ，面积是 48 。
2.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900， BD是斜边AC上的中线
A D
B
┓
C
(1)若BD=3㎝ 则AC＝ 6 ㎝ (2) 若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ 10 ㎝， BD＝ 5 ㎝.
1.矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ． 2.已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角 线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ． 3.已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个夹角为 120°，则矩形的边长分别为 cm， cm， cm， cm． 4.下列说法错误的是（ ）． （A）矩形的对角线互相平分 （B）矩形的对角线相等 （C）有一个角是直角的四边形是矩形 （D）有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 5.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）． （A）2对 （B）4对 （C）6对 （D）8对
对角相等邻角互补
对角线 对角线互相平分
探索新知:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平 行四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
A D
B
C
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形， ∠A=90°
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90° 证明： ∵ 矩形ABCD是平行四边形 ∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D ∠A +∠B = 180° ∵ ∠A=90° ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90° 即矩形的四个角都是直角
讲授新课
一 矩形的性质
活动1：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行 四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.
矩形
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫矩形， 也叫长方形
有一个角 是直角
平行四边形
矩形
矩形是特殊的平行四边形
矩形
具备平行四边形所有的性质
A D
边 对边平行且相等 角
O B
C