矩形的性质练习题

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初一下册矩形的性质与判定练习题含答案

矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也说是长方形。

矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形的对角线相等且互相平分。

特别提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半矩形具有平行四边形的一切性质。

矩形的判定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形【例题】专题一：矩形的性质矩形的性质性质1. 矩形的四个角都是直角。

几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°性质2. 矩形的对角线相等且平分。

几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴OA=OC=OB=OD=D B 21AC 21==性质3. 对边平行且相等几何语言：∵四边形ABCD 是矩形；∴AD=BC ， AD ∥BC 或者 AB=CD ， AB ∥CD3. 直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

几何语言：∵ 在Rt △ABC 中，OA=OC （OB 是AC 边上的中线）∴ OB=21AC在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。

矩形具有平行四边形的一切性质。

1．如图，矩形ABCD 中，BE ⊥AC 于E ，DF ⊥AC 于F ，若AE=1，EF ＝2，则FC ＝，AB ＝。

FEADBFC ＝1，AB ＝2.2．只用一把刻度尺检查一张四边形纸片是否是矩形，下列操作中最为恰当的是（）A. 先测量两对角线是否互相平分，再测量对角线是否相等 CB. 先测量两对角线是否互相平分，再测量是否有一个直角C. 先测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等D. 先测量两组对边是否互相平行，再测量对角线是否相等3.已知：如图3-32，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AC = 10cm ，∠ACB = 30°, 则∠AOB = °，AD = cm ；60 534.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF =DF .5.如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C = 90，AC = AB ，AB = 30，矩形 DEFG 的一边DE 在AB 上，顶点G 、F 分别在AC 、BC 上，若 DG ：GF = 1：4，则矩形DEFG 的面积是 100 ；专题二：矩形的判定图3-32OBACDABCDF G矩形的判定方法方法1：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质专项练习30题(有答案)ok

矩形的性质专项练习30题（有答案）1．已知：如图，在矩形ABCD中，AF=DE，求证：BE=CF．2．如下图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，作BE∥AC交DC的延长于点E．（1）请判断△DEB的形状，并说明理由；（2）若AD=8，DC=6，试△DEB的周长．3．如图，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O，以OB、OC为邻边作平行四边形OBB1C，求平行四边形OBB1C的面积．4．如图，已知在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，四边形AFCE为菱形，求菱形的面积．5．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=2cm（1）求证：△AOB是等边三角形；（2）求矩形ABCD的面积．6．如图，四边形ABCD是矩形，△EAD是等腰直角三角形，△EBC是等边三角形．已知AE=DE=2，求AB的长．7．如图，已知在矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=3cm，BC=7cm．（1）求证：△AEF≌△DCE；（2）请你求出EF的长．8．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，CE平分∠BED．（1）△BEC是否为等腰三角形？为什么？（2）若AB=1，∠DCE=22.5°，求BC长．9．如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上．设F、H分别是B、D落在AC上的点，E、G分别是折痕CE与AB、AG与CD的交点．（1）试说明四边形AECG是平行四边形；（2）若矩形的一边AB的长为3cm，当BC的长为多少时，四边形AECG是菱形？10．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD、AC、BC分别交于点E、O、F．（1）求证：四边形AFCE是菱形；（2）若AB=5，BC=12，EF=6，求菱形AFCE的面积．11．如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，∠1=∠2，OB=6（1）求∠BOC的度数；（2）求△DOC的周长．12．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，E是边AD的中点．（1）OE与AD垂直吗？说明理由；（2）若AC=10，OE=3，求AD的长度．13．如图，在矩形ABCD中，BM⊥AC，DN⊥AC，M、N是垂足．（1）求证：AN=CM；（2）如果AN=MN=2，求矩形ABCD的面积．14．如图，矩形ABCD中，角平分线AE交BC于点E，BE=5，CE=3．（1）求∠BAE的度数；（2）求△ADE的面积．15．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，CE=AE，F是AE的中点，AB=4，BC=8．求线段OF的长．16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，沿AE对折，点D恰好落在BC边上的F点处．17．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．（1）猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论；（2）若AB=3，AD=4，求线段GC的长．18．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC=2AB．求证：∠AOD=120°．19．在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=6cm，AC=8cm．（1）求BC的长；（2）画出△AOB沿射线AD方向平移所得的△DEC；（3）连接OE，写出OE与DC的关系？说明理由．20．如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少？21．如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE：EA=5：3，CE=15，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好与AD边上的点F重合，求AB、BC的长．22．已知，如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD上，AH=2，连接CF．（1）当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；（2）当△FCG的面积为1时，求DG的长；（3）当△FCG的面积最小时，求DG的长．23．设E，F分别在矩形ABCD边BC和CD上，△ABE、△ECF、△FDA的面积分别是a，b，c．求△AEF的面积S．24．如图，过矩形ABCD对角线AC的中点O作EF⊥AC，分别交AB、DC于E、F，点G为AE的中点，若∠AOG=30°，求证：OG=DC．25．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=4，E是AD边上一点（点E与A、D不重合）．BE的垂直平分线交AB 于M，交DC于N．（1）设AE=x，试把AM用含x的代数式表示出来；（2）设AE=x，四边形ADNM的面积为S．写出S关于x的函数关系式．（1）求∠COE的度数．（2）若AB=4，求OE的长．27．如图，在矩形ABCD中，AB=b，AD=a，过D和B作DE⊥AC，BF⊥AC，且AE=EF，试求a与b之间的关系．28．如图，设在矩形ABCD中，点O为矩形对角线的交点，∠BAD的平分线AE交BC于点E，交OB于点F，已知AD=3，AB=．（1）求证：△AOB为等边三角形；（2）求BF的长．29．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，G是边AB上的一点，过点G作GE∥DC交BC边于点E，F是EC 的中点，连接GF并延长交DC的延长线于点H．求证：BG=CH．30．已知，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F为DE的中点，连接AF、CF．求证：（1）∠ADF=∠BCF；（2）AF⊥CF．参考答案：1．连接BF 、CE ，已知矩形ABCD ，∴AB=CD ，∠BAF=∠CDE=90°，又AF=DE ，∴△AFB ≌△DEC ， ∴BF=CE ，∠AFB=∠DEC ， ∵矩形ABCD ，AD ∥BC ，∴∠CBF=∠AFB ，∠BCE=∠DEC ， ∴∠CBF=∠BCE ， BC=BC ，∴△BCF ≌△CBE ， ∴BE=CF2．（1）△DEB 的形状为等腰三角形．理由：∵矩形ABCD ， ∴DC ∥AB ，AC=BD ． ∵BE ∥AC ，∴四边形ABEC 为平行四边形． ∴AC=BE ． ∴BE=BD ．∴△DEB 的形状为等腰三角形．（2）∵AD=8，DC=6， ∴AC==10．∴BD=BE=10．∵BC ⊥DE ， ∴CD=DE=6．∴△DEB 的周长=2（CD+BD ）=2（6+10）=32 3．在Rt △ABC中，，∴，∵矩形ABCD 对角线相交于点O ， ∴，∵四边形OBB 1C 是平行四边形， ∴．4．∵四边形AFCE 为菱形， ∴AF=CF=EC=AE ，∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B=90°，设AE=x ，则BE=BC ﹣EC=4﹣x ，∴x=，∴S 菱形AFCE =EC •AB=×2=5．∴菱形的面积为55．1）证明：在矩形ABCD 中，AO=BO ，又∠AOB=60°，∴△AOB 是等边三角形．（2）解：∵△AOB 是等边三角形 ∴OA=OB=AB=2（cm ）， ∴BD=2OB=4cm ，在Rt △ABD ，（cm ）∴S 矩形ABCD =2×2=4（cm 2），答：矩形ABCD 的面积是4cm 2．6．过点E 作EF ⊥BC ，交AD 于G ，垂足为F ． ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ， ∴EG ⊥AD ．（1分）∵△EAC 是等腰直角三角形，EA=ED=2， ∴AG=GD ，AD=．∴EG==．（1分）∵EB=EC=BC=AD=2，∴BF=，（1分）∴EF=．（1分） ∴AB=GF=EF ﹣EG=7. （1）证明：在矩形ABCD 中，∠A=∠D=90°，∴∠ECD+∠CED=90°， ∵EF ⊥EC ，∴∠AEF+∠CED=90°， ∴∠ECD=∠AEF ，在△AEF 与△DCE 中，，∴△AEF ≌△DCE （AAS ）；∴AF=DE，∵DE=3cm，BC=7cm，∴AF=3cm，AE=AD﹣DE=BC﹣DE=7﹣3=4cm，在Rt△AEF中，EF===5．故答案为：58．（1）△BEC是等腰三角形，理由是：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DEC=∠ECB，∵CE平分∠BED，∴∠DEC=∠CEB，∴∠CEB=∠ECB，∴BE=BC，∴△BEC是等腰三角形．（2）解：∵矩形ABCD，∴∠A=∠D=90°，∵∠DCE=22.5°，∴∠DEB=2×（90°﹣22.5°）=135°，∴∠AEB=180°﹣∠DEB=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AE=AB=1，由勾股定理得：BE=BC==，答：BC 的长是9．（1）由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴∠GAH=∠ECF，∴AG∥CE，又∵AE∥CG∴四边形AECG是平行四边形；（2）∵四边形AECG是菱形，∴F、H重合，∴AC=2BC，在Rt△ABC中，设BC=x，则AC=2x，在Rt△ABC中AC2=AB2+BC2，即（2x）2=32+x2，解得x=，即线段BC 的长为cm．10．（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC，∴∠EAO=∠FCO，∵EF垂直平分AC，∴AO=CO，FE⊥AC，又∠AOE=∠COF，∴△AOE≌△COF，又∵FE⊥AC，∴平行四边形AFCE为菱形；（2）在Rt△ABC中，由AB=5，BC=12，根据勾股定理得：AC===13，又EF=6，∴菱形AFCE的面积S=AC•EF=×13×6=3911．（1）∵四边形ABCD为矩形，AE⊥BD，∴∠1+∠ABD=∠ADB+∠ABD=∠2+∠ABD=90°，∴∠ACB=∠ADB=∠2=∠1=30°，又AO=BO，∴△AOB为等边三角形，∴∠BOC=120°；（2）由（1）知，△DOC≌△AOB，∴△DOC为等边三角形，∴OD=OC=CD=OB=6，∴△DOC的周长=3×6=1812．（1）解：OE⊥AD，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC，DO=BO，∴AO=DO，又∵点E是AD的中点，∴OE⊥AD．（2）解：由（1）知OE⊥AD，AO=5，在Rt△AOE中，由勾股定理得：AE===4，∵E是边AD的中点，∴AD=2AE=8．答：AD的长度是813．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠DAC=∠BCA，又∵DN⊥AC，BM⊥AC，∴∠DNA=∠BMC，∴△DAN≌△BCM，∴AN=CM．（2）连接BD交AC于点O．∵AN=NM=2，∴AC=BD=6，又∵四边形ABCD是矩形，∴DN=，∴矩形ABCD的面积=，答：矩形ABCD的面积是12．14．（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠BAD=×90°=45°．（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠BAD=∠B=90°，∴∠DAE=∠AEB∵∠BAE=∠DAE=45°，∴∠AEB=45°，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=5，∴BC=3+5=8=AD，∴S△ADE =AD×AB=×8×5=2015．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AD=BC=8，CD=AB=4．（1分）设DE=x，那么AE=CE=8﹣x，（1分）∵在Rt△DEC中，CE2=DE2+CD2，（1分）∴（8﹣x）2=x2+42，（1分）∴x=3．（1分）∴CE=8﹣x=5．（1分）∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC中点．（1分）又∵F是AE 的中点，∴．16．（1）设BF=x，CE=y，则CF=10﹣x，EF=DE=8﹣y，在Rt△ABF中根据勾股定理可得x2+82=102，在Rt△CEF中根据勾股定理可得y2+（10﹣x）2=（8﹣y）2，解得x=6，y=3，即BF=6，CE=3；（2）△ABF 的面积为×8×6=24，△ADE 的面积为×10×5=25，∴四边形AFCE的面积为8×10﹣24﹣25=31，答：BF的长为6，CE的长度为3，四边形AFCE的面积为31∵E是BC的中点，∴BE=EC，∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，∴BE=EF，∴EF=EC，∵在△GFE和△GCE中，，∴△GFE≌△GCE（HL），∴GF=GC；（2）设GC=x，则AG=3+x，DG=3﹣x，在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2=（3+x）2，解得x=18．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角），∵在Rt△ABC中，AC=2AB，∴∠ACB=30°，∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD=BD，OC=OA=AC，AC=BD，∴BO=CO，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，∴∠BOC=120°，∴∠AOD=∠BOC=120°19．（1）∵矩形ABCD，∴∠CBA=90°，AB=6cm，AC=8cm，由勾股定理：BC===2（cm），答：BC的长是2cm．（2）解：如图所示（3）答：OE与DC的关系是互相垂直平分．理由是：∵矩形ABCD，∴OA=OC，OD=OB，AC=BD，∴OD=OC=DE=CE，∴四边形ODEC是菱形，∴OE⊥CD，OG=EG，CG=DG，即OE与DC的关系是互相垂直平分20．∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD=13cm，∵△AOB、△BOC、△COD和△AOD四个三角形的周长和为86cm，∴OA+OB+AB+OB+OC+BC+OC+OD+DC+OD+OA+A D=86cm，∴AB+BC+CD+DA=86﹣2（AC+BD）=86﹣4×13=34（cm）．答：矩形ABCD的周长等于34cm．21．∵四边形ABCD是矩形∴∠A=∠B=∠D=90°，BC=AD，AB=CD，∴∠AFE+∠AEF=90°（2分）∵F在AD上，∠EFC=90°，∴∠AFE+∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC，（3分）∴．（4分）∵BE：EA=5：3设BE=5k，AE=3k∴AB=DC=8k，由勾股定理得：AF=4k ，∴∴DF=6k∴BC=AD=10k（5分）在△EBC中，根据勾股定理得BE2+BC2=EC2∵CE=15，BE=5k，BC=10k∴∴k=3（6分）∴AB=8k=24，BC=10k=3022．∴HG=HE，∵∠DHG+∠AHE=90°，∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DGH=∠AHE，∴△AHE≌△DGH（AAS）∴DG=AH=2（2）作FM⊥DC，M为垂足，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG=∠MGE∵HE∥GF，∴∠HEG=∠FGE，∴∠AEH=∠MGF．在△AHE和△MFG中，∠A=∠M=90°，HE=FG，∴△AHE≌△MFG．∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2．因此S△FCG =GC=1，解得GC=1，DG=6．（3）设DG=x，则由第（2）小题得，S△FCG=7﹣x，又在△AHE中，AE≤AB=7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，x ≤，∴S△FCG 的最小值为，此时DG=23．设AB=x1，BE=x2，EC=x3，CF=x4，则FD=x1﹣x4，AD=x2+x3，由题意得x1•x2=2a，x3•x4=2b，（x1﹣x4）×（x2+x3）=2c，即x2•x3﹣x2•x4=2（b+c﹣a），又x1x2x3x4=4ab代入x2x4=x1x3﹣2（b+c﹣a）得关于x1x3的一元二次方程，即（x1x3）2﹣2（b+c﹣a）x1x3﹣4ab=0解之得x1x3=（b+c﹣a）+又S矩形=x1（x2+x3）=2a+（b+c﹣a）+=（a+b+c）+∴S△AEF=S矩形﹣S△ABE﹣S△CEF﹣S△ADF=（a+b+c）+﹣a﹣b﹣c=∴△AOE是直角三角形∴OG=AG=GE，∴∠BAC=∠AOG=30°，∠AEO=60°，∠GOE=∠AOE ﹣∠AOG=60°，∴△OEG是正三角形，∴OG=OE=GE，∴∠ABO=∠BAC=30°，∴∠AOB=180°﹣30°﹣30°=120°，∴∠BOE=∠AOB﹣90°=30°，∴△OEB是等腰三角形，∴OE=EB，∴OG=AG=GE=EB=OE，∴OG=AB=DC．25．（1）连接ME．∵MN是BE的垂直平分线，∴BM=ME=6﹣AM，在△AME中，∠A=90°，由勾股定理得：AM2+AE2=ME2，AM2+x2=（6﹣AM）2，AM=3﹣x．（2）连接ME，NE，NB，设AM=a，DN=b，NC=6﹣b，因MN垂直平分BE，则ME=MB=6﹣a，NE=NB，所以由勾股定理得AM2+AE2=ME2，DN2+DE2=NE2=BN2=BC2+CN2即a2+x2=（6﹣a）2，b2+（4﹣x）2=42+（6﹣b）2，解得a=3﹣x2，b=x2+x+3，所以四边形ADNM的面积为S=×（a+b）×4=2x+12，即S关于x的函数关系为S=2x+12（0＜x＜2），答：S关于x的函数关系式是S=2x+1226．（1）∵四边形ABCD是矩形，DE平分∠ADC，∴∠CDE=∠CED=45°；∴EC=DC，又∵∠ADB=30°，∴∠CDO=60°；又∵因为矩形的对角线互相平分，∴OD=OC；∴△OCD是等边三角形；∴∠DCO=60°，∠OCB=90°﹣∠DCO=30°；∵DE平分∠ADC，∠ECD=90°，∠CDE=∠CED=45°，∴CD=CE=CO，∴∠COE=∠CEO；∴∠COE=（180°﹣30°）÷2=75°；（2）过O作OF⊥BC于F，∵AO=CO，∴BF=CF，∴OF=AB=2，∵∠ADB=30°，AB=4，∴AC=8，∴BC==4，∴BF=CF=2，∵CD=CE=4，∴EF=CE﹣CF=4﹣2，在Rt△OFE中，OE==4．27．：a与b的关系是b=a，理由是：∵矩形ABCD，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠AED=∠CFB=90°，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴AE=CF，∵AE=EF，∴AE=EF=CF，∵矩形ABCD，∴∠ABC=90°=∠BFC，∴∠BCF+∠CBF=90°，∠ABF+∠CBF=90°，∴∠ABF=∠BCF，∵∠AFB=∠CFB=90°，∴△ABF∽△BCF，∴==，矩形的性质专项练习--11设AE=EF=CF=c，则BF2=AF•CF=2c2，∴BF=c，∵AB=b，BC=a，∴==，∴b=a，即a与b之间的关系是b= a28．（1）证明：在Rt△ABD中，BD===2，∵矩形ABCD，∴OA=OB=BD=，∴△AOB为等边三角形；（2）解：∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，△BEO是等腰三角形，又∠EBO=90°﹣60°=30°，∴∠BOE=（180°﹣30°）÷2=75°，在△BOC中∠COE=180°﹣30°×2﹣75°=45°，所以，在△BEF和△COE 中，∴△BEF≌△COE（ASA），∴BF=CE，又CE=BC﹣BE=3﹣，∴BF=3﹣．29．在△GEF和△HCF中，∵GE∥DC，∴∠GEF=∠HCF，∵F是EC的中点，∴FE=FC，而∠GFE=∠CFH（对顶角相等），∴△GEF≌△HCF，∴GE=HC，四边形ABCD为等腰梯形，∴∠B=∠DCB，∵GE∥DC，∴∠GEB=∠DCB，（2分）∴∠GEB=∠B，∴GB=GE=HC，∴BG=CH30．（1）在矩形ABCD中，∵AD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，∴∠DCE=90°，在Rt△DCE中，∵F为DE中点，∴DF=CF，∴∠FDC=∠DCF，∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF，即∠ADF=∠BCF；（2）连接BF，∵BE=BD，F为DE的中点，∴BF⊥DE，∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°，在△AFD和△BFC 中，∴△ADF≌△BCF，∴∠AFD=∠BFC，∵∠AFD+∠BFA=90°，∴∠BFC+∠BFA=90°，即∠AFC=90°，∴AF⊥FC．矩形的性质专项练习--12。

矩形性质和判定练习

一、选择题1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．两组对角分别相等C．两条对角线互相平分D．两条对角线相等2.在四边形ABCD中，AD∥BC，若四边形ABCD是平行四边形，则还应满足（）A．∠A+∠B＝180°B．∠A+∠C＝180°C．∠A+∠D＝180°D．∠A＝∠B 3.在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB＝3，OA＝2，则AD的长为（） A．5 B． C． D．4.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E，使AE＝AB，联结ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形ACDE成为矩形的是（）A．AC＝CD B．AB＝AD C．AD＝AE D．BC＝CE．5.如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（）A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3（4）（5）（6）6.如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，连接AE若CD＝6，AE＝10，则AD的长为（） A．12 B．14 C．16 D．207.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB 上的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（）A．4.8 B．6.4 C．9.6 D．2.48.如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（）A．36°B．30°C．27°D．18°（7）（8）（9）9.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（）A．B．C．2D．310．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是边AB上一点，且OE ⊥AC．设∠AOD＝α，∠AEO＝β，则α与β间的关系正确的是（）A．α＝β B．α+β＝180°C．2α+β＝180°D．α+2β＝180°二、填空题11.已知平面上四点A（0，0），B（4，0），C（4，2），D（0，2），直线y＝mx﹣m+2将四边形ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为__________ ．12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝4，BC＝8，则DE的长为_______ ．13．如图，在矩形ABCD中对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交AB于点E，连接OE，若AD＝6，AB＝8，则OE＝_______ ．(12) (13)14. 如图,在Rt△ABC中,∠A＝90°,AB＝6,BC＝10,P是BC边上的一点,作PE垂直AB,PF垂直AC,垂足分别为E、F,求EF的最小值是_______ .(14) (15)15.如图，长方形ABCD中，AD＝BC＝6，AB＝CD＝10．点E为射线DC上的一个动点，△ADE与△AD′E关于直线AE对称，当△AD′B为直角三角形时，DE的长为_______三、解答题16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，4），将△ABO向右平移到△CDE位置，A的对应点是C，O的对应点是E，函数y＝（k≠0）的图象经过点C和DE的中点F，则k的值是多少？17．如图，已知▱ABCD，延长AB到E，使BE＝AB，连接BD，ED，EC，若ED＝AD．（1）求证：四边形BECD是矩形；（2）连接AC，若AD＝6，CD＝3，求AC的长．18．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠DAB＝60°，AF是∠DAB的平分线，若AD＝4，求▱ABCD的面积．19.如图,四边形ABCD是矩形,E是BC边上一点,点F在BC的延长线上,且CF＝BE.(1)求证:四边形AEFD是平行四边形;(2)连接ED,若∠AED＝90°,AB＝4,BE＝2,求四边形AEFD的面积.20．（10分）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A落在点P 处，折痕为EF．（1）求证：△PDE≌△CDF；（2）若CD＝4cm，EF＝5cm，求BC的长．21．如图，已知在△ABC中，D为BC的中点，连接AD，E为AD的中点，过点A 作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF为平行四边形．（2）当四边形ADCF为矩形时，AB与AC应满足怎样的数量关系？请说明理由．22．如图1，已知AD∥BC，AB∥DC，∠B＝∠C．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）如图2，M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2．若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．23．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O 的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t．（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3，则t的值可以是（请直接写出两个不同的值即可）．。

(完整版)矩形练习题及答案

矩形课后练习1、矩形具有而平行四边形不具有的性质是()A．内角和为360°B．对角线相等C．对角相等D．相邻两角互补2、平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质()A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直3、下列关于矩形的说法中正确的是()A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是矩形下列说法正确的有()①两条对角线相等的四边形是矩形；②有一组对边相等，一组对角是直角的四边形是矩形；③一个角为直角，两条对角线相等的四边形是矩形；④四个角都相等的四边形是矩形；⑤对角线相等且垂直的四边形是矩形；⑥有一个角是直角的平行四边形是矩形．A．1个B．2个C．3个D．4个4、如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠DAE：∠BAE=1：2，试求∠CAE的度数．5、如图，已知矩形ABCD中，AC与BD相交于O，DE平分∠ADC交BC于E，∠BDE=15°，试求∠COE的度数．6、Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM 的最小值为．7、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2，E是AB边的中点，F是AC边的中点，D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是．8、如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．9、(1)线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．10、如图，以△ABC的各边向同侧作正△ABD，正△BCF，正△ACE．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)当∠BAC=______时，四边形AEFD是矩形；(3)当∠BAC=______时，以A、E、F、D为顶点的四边形不存在．11、如图，已知平行四边形ABCD，延长AD到E，使DE=AD，连接BE与DC交于O点．(1)求证：△BOC≌△EOD；(2)当∠A=12∠EOC时，连接BD、CE，求证：四边形BCED为矩形．12、已知四边形ABCD中，AB=CD，BC=DA，对角线AC、BD交于点O．M是四边形ABCD外的一点，AM⊥MC，BM⊥MD．试问：四边形ABCD是什么四边形，并证明你的结论．13、如图，△ABC中，AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，延长DF交AN于点E．(1)判断四边形ABDE的形状，并说明理由；(2)问：线段CE与线段AD有什么关系？请说明你的理由．14、已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．15、如图，矩形纸片ABCD的宽AD=5，现将矩形纸片ABCD沿QG折叠，使点C落到点R的位置，点P是QG上的一点，PE⊥QR于E，PF⊥AB于F，求PE+PF．16、如图，已知，E是矩形ABCD边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G，你知道PF+PG与AB有什么关系吗？并证明你的结论．矩形课后练习参考答案题一： B ．详解：A ．内角和为360°矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；B ．对角线相等只有矩形具有，而平行四边形不具有，故此选项正确；C ．对角相等矩形与平行四边形都具有，故此选项错误；D ．相邻两角互补矩形与平行四边形都具有，故此选项错误．故选B ．题二： B ．详解：因为平行四边形的对角线互相平分、正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分．故选B ．题三： B ．详解：A ．矩形的对角线互相平分，且相等，但不一定互相垂直，本选项错误；B ．矩形的对角线相等且互相平分，本选项正确；C ．对角线相等的四边形不一定为矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，本选项错误；D ．对角线互相平分的四边形为平行四边形，不一定为矩形，本选项错误．故选B ．题四： C ．详解：两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故①③⑤错；有一个角为直角的平行四边形为矩形，故②④⑥正确．故选C ．题五： 30°．详解：∵∠DAE ：∠BAE =1：2，∠DAB =90°，∴∠DAE =30°，∠BAE =60°，∴∠DBA =90°-∠BAE =90°-60°=30°，∵OA =OB ，∴∠OAB =∠OBA =30°，∴∠CAE =∠BAE -∠OAB =60°-30°=30°．题六： 75°．详解：∵四边形ABCD 是矩形，DE 平分∠ADC ，∴∠CDE =∠CED = 45°，∴EC =DC ，又∵∠BDE =15°，∴∠CDO =60°，又∵矩形的对角线互相平分且相等，∴OD =OC ，∴△OCD 是等边三角形，∴∠DCO =60°，∠OCB =90°-∠DCO =30°，∵DE 平分∠ADC ，∠ECD =90°，∠CDE =∠CED = 45°，∴CD =CE =CO ，∴∠COE =∠CEO ；∴∠COE =(180°-30°)÷2=75°．题七： 65．详解：由题意知，四边形AFPE 是矩形，∵点M 是矩形对角线EF 的中点，则延长AM 应过点P ，∴当AP 为Rt △ABC 的斜边上的高时，即AP ⊥BC 时，AM 有最小值，此时AM =12AP ，由勾股定理知BC =22AB AC +=5，∵S △ABC =12AB •AC =12BC •AP ，∴AP =345⨯=125，∴AM =12AP =65．题八： 1+13．详解：作点F 关于BC 的对称点G ，连接EG ，交BC 于D 点，D 点即为所求，∵E 是AB 边的中点，F 是AC 边的中点，∴EF 为△ABC 的中位线，∵BC =2，∴EF =12BC =12×2=1；∵EF 为△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∴∠EFG =∠C =90°，又∵∠ABC =60°，BC =2，FG =AC =23，EG =22EF FG +=13，∴DE +FE +DF =EG +EF =1+13．题九：见详解．详解：(1)BD =CD ．理由：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DCE ，∵E 是AD 的中点， ∴AE =DE ，在△AEF 和△DEC 中，∠AFE =∠DCE ，∠AEF =∠DEC ，AE =DE ，∴△AEF ≌△DEC (AAS)，∴AF =CD ，∵AF =BD ，∴BD =CD ；(2)当△ABC 满足：AB =AC 时，四边形AFBD 是矩形．理由：∵AF ∥BD ，AF =BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB =AC ，BD =CD ，∴∠ADB =90°，∴平行四边形AFBD 是矩形．题十：见详解．详解：(1)∵△BCF 和△ACE 是等边三角形，∴AC =CE ，BC =CF ，∠ECA =∠BCF =60°，∴∠ECA -∠FCA =∠BCF -∠FCA ，即∠ACB =∠ECF ，∵在△ACB 和△ECF 中，AC =CE ，∠ACB =∠ECF ，BC =CF ，∴△ACB ≌△ECF (SAS)，∴EF =AB ，∵三角形ABD 是等边三角形，∴AB =AD ，∴EF =AD =AB ，同理FD =AE =AC ，即EF =AD ，DF =AE ，∴四边形AEFD 是平行四边形；(2)当∠BAC =150°时，平行四边形AEFD 是矩形，理由：∵△ADB 和△ACE 是等边三角形，∴∠DAB =∠EAC =60°，∵∠BAC =150°，∴∠DAE =360°-60°-60°-150°=90°，∵由(1)知：四边形AEFD 是平行四边形，∴平行四边形AEFD 是矩形．(3)当∠BAC =60°时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在，理由如下：∵∠DAB =∠EAC =60°，∠BAC =60°，∴∠DAE =60°+60°+60°=180°，∴D 、A 、E 三点共线，即边DA 、AE 在一条直线上，∴当∠BAC =60°时，以A 、E 、F 、D 为顶点的四边形不存在．题十一：见详解．详解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，AD =BC ，AD ∥BC ，∴∠EDO =∠BCO ，∠DEO =∠CBO ，∵DE =AD ，∴DE =BC ，在△BOC 和△EOD 中，∠OBC =∠OED ，BC =DE ，∠OCB =∠ODE ，∴△BOC ≌△EOD (ASA)；(2)∵DE =BC ，DE ∥BC ，∴四边形BCED 是平行四边形，在平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，∴∠A =∠ODE ，∵∠A =12∠EOC ，∴∠ODE =12∠EOC ， ∵∠ODE +∠OED =∠EOC ，∴∠ODE =∠OED ，∴OE =OD ，∵平行四边形BCED 中，CD =2OD ，B E =2OE ，∴CD =BE ，∴平行四边形BCED 为矩形．题十二：见详解．详解：矩形．理由：连接OM，∵AB=CD，BC=DA，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵AM⊥MC，BM⊥MD，∴∠AMC=∠BMD=90°，∴OM=12BD，OM=12AC，∴BD=AC，∴四边形ABCD是矩形．题十三：见详解．详解：(1)四边形ABDE是平行四边形，理由：∵AB=AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，∵AB=AC，D是BC 中点，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥DC，∵AN是△ABC的外角∠MAC的角平分线，∴∠MAE=∠CAE，∴∠NAD=90°，∴AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形；(2)CE∥AD，CE=AD；理由：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC=∠B+∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠MAE=∠B，∴AN∥BC，∵AB=AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∵CE⊥AN，∴AD∥CE，∴四边形ADCE为平行四边形，∵CE⊥AN，∴∠AEC=90°，∴四边形ADCE为矩形，∴CE∥AD，CE=AD．题十四：见详解．详解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠4=∠C，AD=CB，AB=CD，∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE=12 AB，CF=12CD．∴AE=CF，在△AED与△CBF中，AD=CB，∠4=∠C，AE=CF，∴△ADE≌△CBF(SAS)，(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形，∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE，∵AE=BE，∴AE=BE=DE，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，即∠ADB=90°，∴四边形AGBD是矩形．题十五：5．详解：把折叠的图展开，如图所示：EF=AD，∵AD=5，∴EF=5，∴PF+PE=5．题十六：PF+PG =AB．详解：PF+PG=AB．理由如下：连接PE，则S△BEP+S△DEP=S△BED，即12BE•PF+12DE•PG =12DE•AB．又∵BE=DE，∴12DE•PF+12DE•PG=12DE•AB，即12DE(PF+PG)=12DE•AB，∴PF+PG =AB．。

矩形的性质相关练习题

矩形的性质相关练习题矩形的性质相关练习题矩形是一种常见的几何形状，具有一些独特的性质和特点。

在数学学习中，我们经常会遇到与矩形相关的练习题，通过解答这些问题，我们可以更好地理解和应用矩形的性质。

在本文中，我将为大家分享一些与矩形相关的练习题，并解答这些问题，帮助大家更好地掌握矩形的性质。

第一题：已知一个矩形的长为12 cm，宽为8 cm，求其周长和面积。

解答：矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，所以周长为（12 + 8）× 2 = 40 cm。

矩形的面积等于长乘以宽，所以面积为12 × 8 = 96cm²。

第二题：一个矩形的周长为30 cm，面积为84 cm²，求其长和宽。

解答：设矩形的长为x cm，宽为y cm。

根据题意，2x + 2y = 30，xy = 84。

解这个方程组可以得到x = 12 cm，y = 7 cm。

所以该矩形的长为12 cm，宽为7 cm。

第三题：一个矩形的长是宽的2倍，且周长为30 cm，求其长和宽。

解答：设矩形的宽为x cm，则长为2x cm。

根据题意，2(2x) + 2x = 30，解这个方程可以得到x = 5 cm。

所以该矩形的长为10 cm，宽为5 cm。

第四题：一个矩形的长和宽的比为5:3，且面积为120 cm²，求其长和宽。

解答：设矩形的长为5x cm，宽为3x cm。

根据题意，5x × 3x = 120，解这个方程可以得到x = 4 cm。

所以该矩形的长为20 cm，宽为12 cm。

通过解答以上练习题，我们可以看出，矩形的性质与其周长、面积之间存在一定的关系。

矩形的周长等于两倍的长加两倍的宽，面积等于长乘以宽。

通过利用这些性质，我们可以解决与矩形相关的各种问题。

除了上述练习题，我们还可以进一步探索矩形的其他性质，如对角线的长度、内角和等。

通过不断练习和思考，我们可以更加深入地理解矩形的性质，并能够灵活地运用到实际问题中。

北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题

北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ，即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形．在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。

矩形的性质练习题及答案

矩形的性质练习题及答案
练题
1. 矩形是一种特殊的四边形，具有哪些特点？
2. 矩形的四边分别叫什么？
3. 矩形的对角线有什么特点？
4. 如何判断一个四边形是否为矩形？
5. 下列哪个形状不是矩形？
- (A) 正方形
- (B) 长方形
- (C) 梯形
- (D) 菱形
6. 一个矩形的长和宽分别为8cm和6cm，求他的面积和周长。

答案
1. 矩形具有以下特点：
- 四个角都是直角（90°）
- 两对相邻边相等
- 对角线相等
2. 矩形的四边分别叫：
- 上边（或上底）
- 下边（或下底）
- 左边（或左底）
- 右边（或右底）
3. 矩形的对角线有以下特点：
- 对角线长度相等
- 对角线互相垂直（成直角）
4. 判断一个四边形是否为矩形，需满足以下条件：- 四个角都是直角
- 两对相邻边相等
5. 下列哪个形状不是矩形？
- (C) 梯形
6. 长为8cm，宽为6cm的矩形的面积和周长计算如下：
- 面积：8cm × 6cm = 48cm²
- 周长：2 × (8cm + 6cm) = 28cm
注意：矩形的面积单位为平方单位，周长单位为长度单位。

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以上为矩形的性质练习题及答案。

了解矩形的特点和计算方法能够帮助我们更好地理解和应用矩形的性质。

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中考数学复习之矩形的性质与判定,考点过关与基础练习题

25.矩形➢考点分类考点1矩形的性质例1如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BD，交BC于点E，若CO=√3，CE＝1，则BE的长为．考点2矩形的判定例2如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE=12 AC，连接CE．（1）求证：四边形OCED为矩形；（2）连接AE，若DB＝6，AC＝8，求AE的长．➢真题演练1．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形2．如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝9，BC＝12，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．3B．3.6C．3.75D．43．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2D．2.44．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．2√2C．√10D．45．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BD ，AB ＝5，BD ＝4，CD ＝3，点E 是AC 的中点，则BE 的长为（）A ．2B ．52C ．√5D ．36．如图，在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ，点D 是△ABC 内部一点，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，若CE ＝3DE ，5DF ＝3AF ，DE ＝2.5，则AF ＝（）A ．8B ．10C ．12.5D ．157.如图：在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，延长BC 至点F ，使CF ＝BE ，连接DF ．（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）若BF ＝16，DF ＝8，求CD 的长．8.如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，E 是射线AB 上一动点，连结DE 交对角线AC 于点F ，当DE 把△ABC 分成一个三角形和一个四边形时，这个三角形的面积恰好是△ABC 面积的13，则AE 的长为．36．9．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝4，点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点，∠ADM ＝∠BAP ，则BM 的最小值为．10．如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 中点，连接AE ，过B 作BF ⊥AE 交于点F ，若AF AE=15，BF ＝3，则BC 的长为．11．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE ⊥BD ，交AD 于点E ，若∠ACB ＝20°，则∠AOE 的大小为．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，P 是AD 上不与A 和D 重合的一个动点，过点P 分别作AC 和BD 的垂线，垂足分别为E 、F ．则PE +PF ＝．13．矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点A是y轴正半轴上任意一点，点B在x轴正半轴上．连接OD．则OD的最大值是．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E、F分别在边AB、CD上，点M为线段EF上一动点，过点M作EF的垂线分别交边AD、BC于点G、点H．若线段EF恰好平分矩形ABCD的面积，且DF＝1，则GH的长为．15．如图，在矩形ABCD中，E在CB延长线上，连接DE，交AB于点F，∠AED＝2∠CED，若BE＝1，DF＝8，则CD的长为．➢课后练习1．如图，在等边△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，以AD，CD为邻边作矩形ADCE，连接BE交CD边于点F，则cos∠CBE的值为（）A．514√7B．27√7C．114√21D．17√212．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝124°，则∠CDE 的度数为（）A．62°B．56°C．28°D．30°3．如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，则DE的长为（）A．2√2−2B．√12−1C．√3−1D．2√24．如图，在矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连结CP、QD，则PC+QD的最小值为（）A．22B．24C．25D．265．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD、BC 于E、F两点．若AC＝2√3，∠DAO＝30°，则FC的长度为（）A．1B．2√2C．√2D．36．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E、F分别在边AB、BC上，DE⊥AB，DE＝AB，AE＝BE＝3，BF＝2，△ADF的面积等于15．（1）求DF的长度．（2）求证：∠ADE+∠BAF＝∠DAF．7．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，点E是菱形外一点，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形DECO是矩形；（2）连接AE交BD于点F，当∠ADB＝30°，DE＝2时，求AF的长度．8．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝2，E是BC的中点，连接AE，∠DAE的平分线AF与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F，则CF的长为．9．如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AB、BC的中点，AF与ED、EC分别交于点P、Q．已知AB＝6，BC＝8，则AP的长为．10．如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段AD的延长线上，连接BE交CD于点F，∠BEC＝2∠AEB，点G是BF的中点，若DE＝1，BF＝10，则AB的长为．11.如图：在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使CF＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若BF＝16，DF＝8，求CD的长．➢冲击A+某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：̂的中点，过C作【问题探究】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为ABCE⊥BD、垂足为E．求证：BE＝DE+AD．小明同学的思路是：如图2．在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．̂上一点，∠ACD＝45°，【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是AB连接BD，CD．过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝6√2，求△BCD的周长．̂的中点”改为“点C为优弧ACB 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点C为AB的中点”，其他条件不变，请写出BE、AD、DE之间的等量关系，并加以证明．。

矩形的练习题

矩形的练习题一、选择题1. 矩形的对角线相等，这个说法是：A. 正确B. 错误2. 如果矩形的长是宽的两倍，那么这个矩形可以被称为：A. 正方形B. 菱形C. 长方形D. 梯形3. 矩形的内角和是：A. 180°B. 360°C. 540°D. 720°4. 矩形的周长计算公式是：A. 2(长+宽)B. 长×宽C. 长+宽D. 长×2 + 宽×25. 如果一个矩形的长为10厘米，宽为5厘米，那么它的面积是：A. 25平方厘米B. 50平方厘米C. 100平方厘米D. 200平方厘米二、填空题6. 矩形的四个角都是________角。

7. 矩形的对角线将矩形分成四个________三角形。

8. 矩形的长和宽的比为3:2，如果长是12厘米，那么宽是________厘米。

9. 矩形的长和宽的比为4:1，如果周长是28厘米，那么长是________厘米。

10. 一个矩形的长是15厘米，宽是10厘米，它的对角线长度可以通过勾股定理计算，公式是________。

三、计算题11. 已知矩形的长是20厘米，宽是15厘米，求矩形的周长和面积。

四、解答题12. 一个矩形的长是18厘米，宽是12厘米，求它的对角线长度。

五、证明题13. 证明矩形的对角线互相平分。

六、应用题14. 一个房间的地面是一个矩形，长是6米，宽是4米。

如果需要铺设地砖，每块地砖的面积是0.5平方米，那么需要多少块地砖？七、探究题15. 假设你有一个矩形的纸板，长是30厘米，宽是20厘米。

如果需要裁剪出一个最大的正方形，应该如何操作？裁剪后的剩余部分是什么形状？八、设计题16. 设计一个矩形的花坛，其长是花坛宽度的两倍，如果花坛的周长不超过100米，求花坛的长和宽，并计算其面积。

九、开放性问题17. 在矩形的四个角上各放置一个点，连接这四个点形成一个四边形。

请说明这个四边形可能是什么形状，并给出理由。

人教版八年级数学下册第02课矩形的性质与判定同步练习题

初中数学试卷第02课矩形的性质与判定同步练习题【例1】如图,在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE＝AD,DF⊥AE,垂足为F.求证：DF＝DC.【例2】如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM,DN．（1）求证：四边形BMDN是菱形；（2）若AB=4,AD=8,求MD的长．【例3】如图,已知在△ABC中,AC＝3,BC＝4,AB＝5,点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PE⊥AC,PF⊥BC,垂足分别是E、F,连接EF,M为EF的中点．(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围．【例4】如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E，F分别在边AD,BC上,且DE＝CF,连接OE,OF.求证:OE＝OF.【例5】如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证:OE＝OF；(2)若CE＝12,CF＝5,求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形？并说明理由．课堂同步练习一、选择题：1、如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E，使DE＝AD,连接EB,EC,DB,添加一个条件,不能使四边形DBCE 成为矩形的是( )A.AB＝BEB.DE⊥DCC.∠ADB＝90°D.CE⊥DE第1题图第2题图第4题图2、如图是一张矩形纸片ABCD,AD=10cm,若将纸片沿DE折叠,使DC落在DA上,点C的对应点为点F,若BE=6cm,则DC的长是（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm3、若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得到的四边形是矩形，则该四边形ABCD一定是（）A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形4、如图,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D、C分别落在D′、C′的位置,若∠EFB=65°,则∠AED′等于（）A.50°B.55°C.60°D.65°5、如图.矩形ABCD中.E在AD上.且EF⊥EC.EF=EC.DE=2.矩形的周长为16.则AE的长是（）A.3B.4C.5D.7第5题图第6题图第7题图6、如图,E是矩形ABCD中BC边的中点,将△ABE沿AE折叠到△AFE,F在矩形ABCD内部,延长AF交DC于G 点,若∠AEB＝55°,则∠DAF＝( )A.40°B.35°C.20°D.15°7、如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B与CD的中点重合,若AB=2,BC=3,则△FCB′与△B′DG的面积之比为( )A.9：4B.3：2C.4：3D.16：98、如图,矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C′处,BC′交AD于E,AD=8,AB=4,则DE长为( )A.3B.4C.5D.6第8题图第9题图9、如图,在矩形ABCD中,AB＝2,BC＝4,对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接CE，则CE的长为( )A.3B.3.5C.2.5D.2.810、如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°，则下列结论：△ODC是等边三角形;②BC=2AB;③∠AOE=135°;④S△AOE=S△COE.其中正确的结论的个数有( )A.1B.2C.3D.4第10题图第11题图第12题图11、在矩形ABCD中,点A关于∠B的角平分线的对称点为E,点E关于∠C的角平分线的对称点为F,若AD=,AB=3,则S △ADF=（）A.2B.3C.3D.12、如图,在矩形ABCD中,O为AC中点,EF过O点,且EF⊥AC分别交DC于F,交AB于E,点G是AE中点,且∠AOG＝30°.①DC＝3OG；②OG＝BC；③△OGE是等边三角形；④S△AOE＝S矩形ABCD.则结论正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题:13、若矩形的一个角的平分线分一边为4cm和3cm的两部分，则矩形的周长为cm．14、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4 cm，则四边形CODE的周长为。

矩形的性质和判定同步练习及答案

矩形的性质和判定一．填空题1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为．题1 题3 题42．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= ．题5 题6 题76．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加条件，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为（填一个即可）．题8 题11 题129．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框（填“合格”或“不合格”）11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是．12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件，使四边形DBCE是矩形．二．解答题13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．矩形的性质和判定解析一．填空题（共12小题）1．如图，矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD边于点E，点F是CD的中点，连接EF．若AB=8，且EF平分∠BED，则AD的长为12 ．【分析】根据两直线平行，内错角相等求出∠AEB=∠EBC，再求出∠ABE=∠EBC，根据等角对等边可得AE=AB，然后根据AD=AE+ED代入数据计算即可得解．【解答】解：∵矩形ABCD中，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABC的平分线交AD边于点E，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=8，同理得出ED=DF=DC=4，∴AD=AE+ED=8+4=12，故答案为：12．2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是80°．【分析】因为两条对角线相交所成的锐角只有一个，直接应用三角形的内角和定理求解即可．【解答】解：由矩形的对角线相等且互相平分，所构成的三角形为等腰三角形，利用等边对等角，所以另一底角为40°，两条对角线相交所成的钝角为：180°﹣40°×2=100°故它们所成锐角为：180°﹣100°=80°．故答案为80．3．如图，在矩形ABCD中，AB=，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是．【分析】根据四边形ABCD是矩形，得到∠ABE=∠BAD=90°，根据余角的性质得到∠BAE=∠ADB，根据相似三角形的性质得到BE=1，求得BC=2，根据勾股定理得到AE==，BD==，根据三角形的面积公式得到BF==，过F作FG⊥BC于G，根据相似三角形的性质得到CG=，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=∠BAD=90°，∵AE⊥BD，∴∠AFB=90°，∴∠BAF+∠ABD=∠ABD+∠ADB=90°，∴∠BAE=∠ADB，∴△ABE∽△ADB，∴，∵E是BC的中点，∴AD=2BE，∴2BE2=AB2=2，∴BE=1，∴BC=2，∴AE==，BD==，∴BF==，过F作FG⊥BC于G，∴FG∥CD，∴△BFG∽△BDC，∴==，∴FG=，BG=，∴CG=，∴CF==．故答案为：．4．如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为．【分析】由AAS证明△ABM≌△DEA，得出AM=AD，证出BC=AD=3EM，连接DM，由HL证明Rt △DEM≌Rt△DCM，得出EM=CM，因此BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC=1，∠B=∠C=90°，AD∥BC，AD=BC，∴∠AMB=∠DAE，∵DE=DC，∴AB=DE，∵DE⊥AM，∴∠DEA=∠DEM=90°，在△ABM和△DEA中，，∴△ABM≌△DEA（AAS），∴AM=AD，∵AE=2EM，∴BC=AD=3EM，连接DM，如图所示：在Rt△DEM和Rt△DCM中，，∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL），∴EM=CM，∴BC=3CM，设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，在Rt△ABM中，由勾股定理得：12+（2x）2=（3x）2，解得：x=，∴BM=；故答案为：．5．如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE= 5 ．【分析】首先证明AB=AE=CD=4，在Rt△CED中，根据CE=计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AB=CD，BC=AD=7，∠D=90°，∴∠AEB=∠EBC，∵∠ABE=∠EBC，∴AB=AE=CD=4，在Rt△EDC中，CE===5．故答案为56．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则EF= cm．【分析】根据勾股定理求出AC，根据矩形性质得出∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，求出BD、OD，根据三角形中位线求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD，∵AB=6cm，BC=8cm，∴由勾股定理得：BD=AC==10（cm），∴DO=5cm，∵点E、F分别是AO、AD的中点，∴EF=OD=，故答案为：．7．如图，连接四边形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，还要添加AC⊥BD 条件，才能保证四边形EFGH是矩形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边，HG∥BD，EH∥AC，根据平行线的性质∠EHG=∠1，∠1=∠2，根据矩形的四个角都是直角，∠EFG=90°，所以∠2=90°，因此AC⊥BD．【解答】解：∵G、H、E分别是BC、CD、AD的中点，∴HG∥BD，EH∥AC，∴∠EHG=∠1，∠1=∠2，∴∠2=∠EHG，∵四边形EFGH是矩形，∴∠EHG=90°，∴∠2=90°，∴AC⊥BD．故还要添加AC⊥BD，才能保证四边形EFGH是矩形．8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AO=CO，BO=DO，要使四边形ABCD 为矩形，则需添加的条件为∠DAB=90°（填一个即可）．【分析】根据对角线互相平分线的四边形为平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，添加条件∠DAB=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行判定．【解答】解：可以添加条件∠DAB=90°，∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵∠DAB=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠DAB=90°．9．已知四边形ABCD为平行四边形，要使得四边形ABCD为矩形，则可以添加一个条件为∠BAD=90°．【分析】根据矩形的判定方法：已知平行四边形，再加一个角是直角填空即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为：∠BAD=90°（答案不唯一）．10．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框合格（填“合格”或“不合格”）【分析】只要算出桌面的长与宽的平方和是否等于对角线的平方，如果相等可得长、宽、对角线构成的是直角三角形，由此可得到每个角都是直角，根据矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形，可得此桌面合格．【解答】解：解：∵802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，∴∠D=90°，同理：∠B=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是矩形，故答案为合格．11．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥DC，AB=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使四边形ABCD成为矩形，这个条件是∠A=90°．【分析】根据有一个角是90°的平行四边形是矩形，即可解决问题．【解答】解：∵AB∥DC，AB=DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴当∠A=90°时，四边形ABCD是平行四边形．故答案为∠A=90°．（填∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°也可以）12．如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE=AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件EB=DC ，使四边形DBCE是矩形．【解答】解：添加EB=DC．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC，∴DE∥BC，又∵DE=AD，∴DE=BC，∴四边形DBCE为平行四边形．又∵EB=DC，∴四边形DBCE是矩形．故答案是：EB=DC．二．解答题（共6小题）13．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=14，DE=8，求sin∠AEB的值．【分析】（1）欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角；（2）如图，过点B作BH⊥AE于点H．构建直角△BEH．通过解该直角三角形可以求得sin ∠AEB的值．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，BH=AB•sin45°=7．所以通过解Rt△BHE得到：sin∠AEB=．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAF=∠F．∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°．∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．（2）解：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠DCB=∠D=90°．∵AB=14，DE=8，∴CE=6．在Rt△ADE中，∠DAE=45°，∴∠DEA=∠DAE=45°．∴AD=DE=8．∴BC=8．在Rt△BCE中，由勾股定理得．在Rt△AHB中，∠HAB=45°，∴BH=AB•sin45°=7．∵在Rt△BHE中，∠BHE=90°，∴sin∠AEB=．14．如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高．点O是AC中点，延长DO到E，使OE=OD，连接AE，CE．（1）求证：四边形ADCE的是矩形；（2）若AB=17，BC=16，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；（2）求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵点O是AC中点，∴AO=OC，∵OE=OD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形；（2）解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，由勾股定理得：AD===15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，F为DC上一点，且FC=AB，E为AD上一点，EC交AF于点G．（1）求证：四边形ABCF是矩形；（2）若EA=EG，求证：ED=EC．【分析】（1）由条件可先证得四边形ABCF为平行四边形，再由∠B=90°可证得结论；（2）利用等腰三角形的性质可求得∠EAG=∠EGA=∠FGC，再利用直角三角形的性质可求得∠D=∠ECD，可证得ED=EC．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，且FC=AB，∴四边形ABCF为平行四边形，∵∠B=90°，∴四边形ABCF是矩形；（2）∵EA=EG，∴∠EAG=∠EGA=∠FGC，∵四边形ABCF为矩形，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴∠D+∠DAF=∠FGC+∠ECD=90°，∴∠D=∠ECD，∴ED=EC．16．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E点，延长BC至F点使CF=BE，连接AF，DE，DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AB=6，DE=8，BF=10，求AE的长．【分析】（1）先证明四边形AEFD是平行四边形，再证明∠AEF=90°即可．（2）证明△ABF是直角三角形，由三角形的面积即可得出AE的长．【解答】（1）证明：∵CF=BE，∴CF+EC=BE+EC．即 EF=BC．∵在▱ABCD中，AD∥BC且AD=BC，∴AD∥EF且AD=EF．∴四边形AEFD是平行四边形．∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°．∴四边形AEFD是矩形；（2）解：∵四边形AEFD是矩形，DE=8，∴AF=DE=8．∵AB=6，BF=10，∴AB2+AF2=62+82=100=BF2．∴∠BAF=90°．∵AE⊥BF，∴△ABF的面积=AB•AF=BF•AE．∴AE===．17．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．【分析】（1）根据有一个角是90度的平行四边形是矩形即可判定．（2）首先证明AD=DF，求出AD即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，∴DF∥BE，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）∵AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠AFD，∴AD=DF，在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，∴AD==5，∴矩形的面积为20．18．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD．【分析】（1）先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明∠DEB=90°即可．（2）欲证明AF平分∠BAD，只要证明∠DAF=∠BAF即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，∵CF=AE，∴DF=BE，∴四边形BFDE是平行四边形，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形．（2）由（1）可知AB∥CD，∴∠BAF=∠AFD，∵AD=DF，∴∠DAF=∠AFD，∴∠BAF=∠DAF，即AF平分∠BAD．。

18.2.1矩形的性质与判定练习题(修订版)

18.2.1矩形的性质与判定练习题（修订版）矩形的性质与判定练习题2一、选择题1、下面的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A.角B.任意三角形C.矩形D.等腰三角形2、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分3、能够判断一个四边形是矩形的条件是（）A.对角线相等 B •对角线垂直 C .对角线互相平分且相等D •对角线垂直且相等.4、四边形ABCD勺对角线交于点0,在下列条件中，不能说明它是矩形的是（）A. AB=CD, AD=BCZ BAI=90°B. Z BAD艺ABC =90° , Z BADZ ADC=18°C Z BAD=Z BCD, Z ABC+Z ADC=10° D. AO=CO,BO=DO,AC=BD5、若顺次连结一个四边形的四边中点所组成的四边形是矩形，则原四边形一定是（）A. —般平行四边形 B •对角线互相垂直的四边形C对角线相等的四边形D•矩形6、两条平行线被第三条直线所截，两组内错角的交所成的四边形是（）A. 一般平行四边形B.菱形C. 矩形D.正方形7、若矩形的一条角平分线分一边为则矩形的周长为（）cm.A • 22B • 26C 3cm和5cm两部分, 第13题22 或26D . 28由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1: 3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（A 22.5 °、45° C 、30°609、如图，在矩形ABCD中, DEI AC,/ADE=| / CDE 那么/勺BDC等于( )A . 60 °B . 45 °C . 30D. 22.5 °二、填空题第16题1、矩形是轴对称图形，它有 _____ 条对称轴.2、已知矩形的一条对角线长是8cm两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为 ___________ .3、矩形的两条对角线夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是—，对角线长是—.4、矩形ABCD勺对角线相交于点O AC=2AB则厶COD为三角形.5、矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm对角线是13cm那么矩形的周长是6、已知直角三角形的周长为14,斜边上的中线长为3•则直角三角形的面积为.7、一个矩形周长是12cm,对角线长是5cm,那么它的面积为____________ .&直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm则它的面积为.9、如果一个矩形较短的边长为5cm两条对角线所夹的角为60°,则这个矩形的面积是_______ 亦.10、矩形一个角的平分线分矩形一边成2cm和3cm,则这个矩形的面积为11、如图，在矩形ABCD中，已知AB=8crp BC=10crp折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，折痕为AE 则CE的长为________________ .12、已知：如图，矩形ABCD中, E在DC上, AB=AE=2BC贝0Z EBC= .13、如图，两张宽为1cm的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD, 已知/ BAD=60则重叠部分的面积是2cm.三、解答题1、已知，如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD 上的点，且AE=BF.求证：DE=CF.知，如图，矩形ABCD 勺对角线AG BD 相交于点Q E 、 GH 分别是QA QB QC QD 的中点，顺次连结E 、 G H 所得的四边形EFGH 是矩形吗？说明理由.4、已 EQ 交求证：四边形AECF 是矩形.5、已知，如图，△ ABC 中，/ C=90°, AC=BC ADpDB PE 丄AC PF 丄 BC.求证：DE=DF3、如中占 I图，矩形 ABCD 中, AB=2 cmD 点到AM 的距离.知，AD 于如图，□ ABCD 中, AG BD 交于 Q A B6、已知，如图，矩形ABCD中, BE平分/ ABC交DC于E, EF±AE交BC于F.求证：AE=EF7、已知，如图，矩形ABC冲，F在CB延长线上，AE=EF CF=CA 求证：BE丄DE8、矩形ABC［中, AE!BD于E, BE： ED=：3,求证：AC=2AB.9、如图，将矩形纸片折叠，先折出折痕（对角线）BD,使AD边与对角线BD重合，A点落到A'处，得折痕DG 若AB=2 BC=1求AG的长.再折10、已知，如图，矩形ABC冲，E是BC上一点，于F.若AE=BC 求证：CE=FE11、已知，如图，等边△ ABC中, AD=DC BF=FC △ BDE是等边三角形•求证：四边形AEBF是矩形.12、如图，矩形ABCD勺两边AB=3 BC=4 P是AD上任点，PE!AC于点E, PF丄BD于点F。

矩形的性质练习(一)-最新,经典试题,通用

第1题第2题第4题第6题第9题第12题《18.2.1 矩形的性质》练习一、选择——基础知识运用1．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm ，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A ．10cmB ．8cmC ．6cmD ．5cm 2．如图，在矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，EF ⊥AD交AD 于点F ，若EF =3，AE =5，则AD 等于（）A ．5B ．6C ．7D ．83．Rt △ABC 中，∠C =90°，锐角为30°，最短边长为5cm ，则最长边上的中线是（）A ．5cmB ．15cmC ．10cmD ．2.5cm4．如图，在△ABC 中，CF ⊥AB 于F ，BE ⊥AC 于E ，M 为BC 的中点，EF =7，BC=10，则△EFM 的周长是（）A ．17B ．21C ．24D ．27 5．如图，在矩形ABCD 中，AF ⊥BD 于E ，AF 交BC 于点F ，连接DF ，则图中面积相等但不全等的三角形共有（）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC ，OA =3，OC =6，将△ABC沿对角线AC 翻折，使点B 落在点B ′处，AB ′与y 轴交于点D ，则点D的坐标为（）A ．（0，-）B ．（0，-）C ．（0，-）D ．（0，-）7.一个长方形在平面直角坐标系中三个顶点的坐标为（﹣1，﹣1），（﹣1，2），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标为（）A.（2，2）B.（3，2）C.（3，3）D.（2，3）8.已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（）A .B .C .D .9.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5．过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是（）A .1.6B .2.5C .3D .3.410.一次数学课上，老师请同学们在一张长为18厘米，宽为16厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为10厘米的等腰三角形，且要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其它两个顶点在矩形的边上，则剪下的等腰三角形的面积为多少平方厘米（）A.50B.50或40C.50或40或30D.50或30或2011.菱形具有而矩形不具有性质是（）第5题第13题第14题第15题第16题第18题 A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分且相等12.在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝3，AF 平分∠DAB ，过C 点作CE ⊥BD 于E ，延长AF .EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED ．正确的是（）A.②③B.③④C.①②④D.②③④13.如图，在矩形ABCD 中，EF ∥AB ，GH ∥BC ，EF 、GH 的交点P 在BD上，图中面积相等的四边形有（）A.3对B.4对C.5对D.6对14. 将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示的图形，已知∠CED′＝60°，则∠AED 的大小是（）A.60°B.50°C.75°D.55°15.如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD ，BC 于E ，F 点，连接CE ，则△CDE 的周长为（）A.5cmB.8cmC.9cmD.10cm16.如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，则图中全等的直角三角形共有（）A.6对B.5对C.4对D.3对17.矩形ABCD 中的顶点A 、B 、C 、D 按顺时针方向排列，若在平面直角坐标系内，B 、D 两点对应的坐标分别是（2，0）.（0，0），且A 、C 两点关于x 轴对称，则C 点对应的坐标是（）A.（1，1）B.（1，﹣1） C .（1，﹣2） D.（，﹣）18.如图，在宽为20m ，长为30m 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．根据图中数据，计算耕地的面积为（）A.600m 2B.551m 2C.550m 2D.500m 2二、填空——知识巩固运用19．如果把电视屏幕看作一个长方形平面，建立一个直角坐标系，若左下方的点的坐标是（0，0），右下方的点的坐标是（32，0），左上方的点的坐标是（0，28），则右上方的点的坐标是 .20．长方形ABCD 面积为12，周长为14，则对角线AC 的长为 .21.如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在A ′的位置上．若OB ＝，21＝OC BC ，求点A ′的坐标为．22.在矩形ABCD 中，A （4，1），B （0，1），C （0，3），则点D 的坐标为．23.如图，一张矩形纸片沿AB 对折，以AB 中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形），则∠OCD 等于_________．第21题第22题第24题第23题24.如图，点A、D、G、M在半⊙O上，四边形ABOC、DEOF、HMNO均为矩形．设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则a、b、c的大小关系为______________．三、解答——知识提高运用25．如图，自矩形ABCD的顶点C作CE⊥BD，E为垂足，延长EC至F，使CF =BD，连接AF，求∠BAF的大小.26．如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，DC⊥DB，BE⊥EC，F为BC上的一个动点，猜想：当F为于BC上的什么位置时，△FDE是等腰三角形，并证明你的猜想是正确的.27．如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF.（1）求证：AF=EF；（2）求EF长．第27题28．八年级（12）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线，如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？29.如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积是多少？30.如图，顺次连接圆内接矩形各边的中点，得到菱形ABCD，若BD＝8，DF＝4，则菱形ABCD的边长为多少？31.如图，矩形的长与宽分别为a和b，在矩形中截取两个大小相同的圆作为圆柱的上下底面，剩余的矩形作为圆柱的侧面，刚好能组合成一个没有空隙的圆柱，则a和b要满足什么数量关系？32.如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是CD上一点，且AE＝AB，则∠CBE的度数是多少？4.参考答案一、选择——基础知识运用1．【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC= AC，OD=OB= BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=OB=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D。

矩形的判定专项练习30题

矩形的判定专项练习30题1.在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F为AB上两点，且△DAF≌△XXX。

证明：（1）∠A=90°；（2）四边形ABCD 是矩形。

1）因为AD∥BC，所以∠DAB = ∠CBA，又因为△DAF≌△XXX，所以∠DAF = ∠XXX，∠AFD = ∠XXX。

因此，∠FAB = ∠ECB，∠AFD = ∠XXX，所以∠BAD =∠CBD。

因为∠BAD + ∠ABC = 180°，所以∠ABC + ∠CBD= 180°，即ABCD为平行四边形，所以∠A = 90°。

2）因为ABCD为平行四边形，所以∠A = ∠C，∠B =∠D。

又因为AD∥BC，所以∠BAD + ∠ABC = 180°，即∠BAD = ∠DCB。

因此，∠A = ∠C = 90°，所以ABCD为矩形。

2.在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线BE、CF分别交AD于E、F，BE、CF交于点G，点H为BC的中点，GH的延长线交GB的平行线CM于点M。

证明：（1）∠BGC=90°；（2）四边形GBMC为矩形。

1）因为ABCD为平行四边形，所以∠ABC = ∠BCD，又因为BE、CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，所以∠ABE = ∠XXX。

因此，△ABE≌△CBF，所以AE = CF，因为GH 为BC的中点，所以GH = HB。

又因为BE、CF交于点G，所以XXX GF。

因此，△GHE≌△GFB，所以∠BGC = 90°。

2）因为ABCD为平行四边形，所以∠ABC = ∠BCD，又因为BE、CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线，所以∠ABE = ∠XXX。

因此，△ABE≌△CBF，所以AE = CF。

因为点H 为BC的中点，所以HM∥AB，又因为GB∥AB，所以HM∥GB。

因为GH = HB，所以GM = MB。

因此，GBMC为平行四边形，又因为∠BGC = 90°，所以GBMC为矩形。

矩形和菱形的性质与判定经典例题练习

例3、如图，延长矩形的边CB至E,使CE=CA,F是AE的中点，求证：BF_FD
、用中学习:
1.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD勺面积为()
形的较小的内角是度.
精讲精练
例1如图，在矩形ABCD中，AC、BD相较于点O,AE平分.BAD交BC于E,若
.
变式：已知矩形ABCD中，如图2,对角线AC、BD相交于O,AE丄BD于E,若∠DAE:
∠BAE=3：1,则∠EAC=.
例2、如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4 ,P是AD上的动点，PE_AC于E,PF_BD于F,求PE+PF的值。
D.75°
【探究三】直角三角形斜边上的中线性质
1、根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：
2、归纳我们已学过的直角三角形的性质：
角：
边：
斜边上的中线：
边与角：
练一练：1、已知直角三角形的周长为14,斜边上的中线长为3.则直角三角形的面积为()
A.5 B.6 C.7 D.8
2、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°那么这个直角三角
第一课时一一矩形的性质
矩形的性质：
边
角
对角线
对称性
练一练：
1矩形的两条对角线把矩形分成个等腰三角形•
2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是()
A对角线互相平分B•两组对边分别相等C•相邻两角互补D•对角线相等
3.已知E是矩形ABCD的Байду номын сангаасBC的中点，那么SUed=S矩形ABCD()
1
6
E,且CE=DE若AB=2AD,贝q∠ADE等于()

矩形性质综合练习题

矩形性质综合练习题矩形是我们学习几何学时经常遇到的一种形状。

它的特点是四个内角都是直角，对边相等，并且对角线相等。

在本文中，我们将通过几个综合练习题来巩固对矩形性质的理解。

练习题1：已知矩形ABCD的边长分别为10 cm和6 cm。

求矩形ABCD的对角线长度。

解答：根据矩形的性质，对角线相等。

所以，我们只需要计算其中一条对角线的长度即可。

设对角线AC为x cm。

根据勾股定理，可得：AC² = AB² + BC²= 10² + 6²= 100 + 36= 136因此，AC = √136 ≈ 11.66 cm。

练习题2：已知矩形EFGH的周长为32 cm，且其中一条边长为8 cm。

求矩形EFGH的面积。

解答：设矩形EFGH的长为x cm，宽为y cm。

根据周长的性质，我们可以得到方程2x + 2y = 32。

又已知其中一条边长为8 cm，所以可以得到另一个方程2x + y = 16。

解方程组，得x = 6，y = 4。

矩形EFGH的面积为6 cm × 4 cm = 24 cm²。

练习题3：已知矩形IJKL的长为12 cm，宽为8 cm。

求矩形IJKL的对角线长度。

解答：设对角线IK为x cm。

根据勾股定理，可得：IK² = IJ² + JK²= 12² + 8²= 144 + 64= 208因此，IK = √208 ≈ 14.42 cm。

练习题4：已知矩形MNOP的对角线长度为15 cm，且其中一条边长为9 cm。

求矩形MNOP的面积。

解答：设矩形MNOP的长为x cm，宽为y cm。

由题可得方程组：x² + y² = 15²x = 9将x = 9代入第一个方程，得到：9² + y² = 15²81 + y² = 225y² = 144因此，y = √144 = 12。

中考数学总复习《矩形的性质》练习题及答案

中考数学总复习《矩形的性质》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，动点A在抛物线y＝﹣x2+2x+3（0≤x≤3）上运动，直线l经过点（0，6），且与y轴垂直，过点A作AC⊥l于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，则另一对角线BD的取值范围正确的是（）A．2≤BD≤3B．3≤BD≤6C．1≤BD≤6D．2≤BD≤62．如图，已知矩形ABCD中，BC＝2AB，点E在BC边上，连接DE、AE，若EA平分⊥BED，则S△ABES△CDE的值为（）A．2−√32B．2√3−32C．2√3−33D．2−√333．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，对角线AC，BD交于点O，过点O作OG⊥AB于点G.延长AB至E，使BE= 14AB，连接OE交BC于点F，则BF的长为（）A．45B．1C．32D．24．如图2，⊥MON=900，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A 随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1。

运动过程中，点D到点O 的最大距离为（）A．√2+1B．√5C．√145D．5255．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD＝√3，AB＝1，则⊥BOC的度数为（）A．60°B．120°或60°C．120°D．30°或60°6．如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC 上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（）A．2 √5B．3 √5C．92D．2547．四边形中，一定有内切圆的是（）A．平行四边形B．菱形C．矩形D．以上答案都不对8．如图，在矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，EO⊥AC于点O，交BC于点E，若ΔABE的周长为8，AB=3，则AD的长为（）A．2B．5.5C．5D．49．若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为对角线四边形．下列图形不是对角线四边形的是（）A．平行四边形B．矩形C．正方形D．等腰梯形10．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分⊥DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED；正确的是（）.A．②③B．③④C．①②④D．②③④11．如图，在矩形ABCD中，AB＝a（a <2），BC＝2.以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AD 于点E，交BD于点F.下列哪条线段的长度是方程x2+2ax−4=0的一个根（）A．线段AE的长B．线段BF的长C．线段BD的长D．线段DF的长12．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将⊥ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A．95B．125C．165D．185二、填空题13．如图，P为双曲线y= 1x上的一点，过P作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=-2x+m于C，B两点，若直线y=-2x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点D，则AC·BD的值为。

矩形的性质与判定练习题

矩形的性质与判定练习题1．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=3，AE ⊥BD 于E ，则EC=（）A ． 27B ． 25C ． 215D ． 221 2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②两条对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤两条对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为（）A ．2B ．2.2C ．2.4D ．2.54．如图∠BOP=∠AOP=15°，PC ∥OB ，PD ⊥PB 于D ，PC=2，则PD 的长度为（）A ．4 B ．3 C ．2 D ．15．下列说法中，错误的是（）A ．矩形的四个内角都相等 B ．四个内角都相等的四边形是矩形 C ．菱形的对角线互相垂直D ．对角线互相垂直的四边形是菱形6．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（）A ． 45 B ． 25 C ． 35 D ． 56 7．在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若CD=2，∠C=60°，∠B=90°，则AB=（）A ．4 B ．2 C ． 3 D ．38．如图，在△ABC 中，AB=6，AC=8，BC=10，P 为边BC上一动点（且点P 不与点B 、C 重合），PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC于F ．则EF 的最小值为（）A ．4B ．4.8C ．5.2D ．69．如图是一把30°的三角尺，外边AC=8，内边与外边的距离都是2，那么EF 的长度是（）A ．4 B ．43 C ．2.5 D ．6-2310．下列命题错误的是（）A ．平行四边形的对边相等 B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C ．对角线相等的四边形是矩形 D ．矩形的对角线相等11．△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点D 是BC 上的一点，那么点D 到AB 与AC 的距离的和为（）A ．5 B ．6 C ．4 D ．524 12．（2013•河北区二模）已知下列命题中：（1）矩形是轴对称图形，且有两条对称轴；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）有两个角相等的平行四边形是矩形；（4）两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形．其中正确的有（）A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个13．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，BC=2AD ，F 、E 分别是BA 、BC 的中点，则下列结论不正确的是（）A ．△ABC 是等腰三角形 B ．四边形EFAM 是菱形 C ．S △BEF = 21S △ACD D ．DE 平分∠CDF 14．（2012•冷水江市三模）下列关于矩形的说法中正确的是（）A ．矩形的对角线互相垂直且平分 B ．矩形的对角线相等且互相平分C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线互相平分的四边形是矩形15．直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2．BC=DC=5，P 在BC 上运动，则PA+PD 取最小值时，△APD 边AP 上的高是多少（）A ． 17174 B ．17178 C ． 17177 D ． 81717 16．如图，四边形ABCD 中，AC=a ，BD=b ，且AC 丄BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n ．下列结论正确的有（）①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形； ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；③四边形A 5B 5C 5D 5的周长是4ba + ④四边形A n B n C n D n 的面积是12+n abA ．①②B ．②③C ．②③④D ．①②③④17.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF ，则四边形BCDE 的面积是（）A ．23B ．33C ．4D ．4318.．下列关于矩形的说法，正确的是（） A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线互相垂直且平分 D ．矩形的对角线相等且互相平分19．下列命题中，正确的是（）A ．等腰梯形的对角线相等 B ．矩形的对角线互相垂直平分 C ．有两个角为直角的四边形是矩形 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形20.下列说法正确的是（）A ．有两个角为直角的四边形是矩形 B ．矩形的对角线互相垂直 C ．等腰梯形的对角线相等 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形21．时钟的表面为圆形，在它的圆周上有12个用于表示整点的等分点．以这些等分点为顶点的矩形共有（）A ．6个B ．12个C ．15个D ．18个22．四边形ABCD 中，∠BAD=90°，DC ⊥AC ，AC 交BD 于点O ，AO=AB ，过B 作BN ∥CD 交AC 于E ，交AD 于N ，下列结论：①∠NBD=21 ∠ADC ；②CD+BE=AD ；③若AO=2CO ，则BE=CD ；④S △ABD =S △ADC ，其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个23．如图，四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD ，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A 1、B 1、C 1、D 1，顺次连接得到四边形A 1B 1C 1D 1，再取各边中点A 2、 B 2、C 2、D 2，顺次连接得到四边形A 2B 2C 2D 2，…，依此类推，这样得到四边形A n B n C n D n ，则四边形A n B n C n D n 的面积为（）A ．n 216 B ． 128-n C ．421-n D ．不确定 24．下列各组条件中，能判定四边形ABCD 为矩形的是（）A ．∠A+∠B=90°B ．AB ∥CD ，AB=CD ，AC=BDC ．AB ∥CD ，AD=BC ，AC=BD D ．AC=BD ，∠A=90°25．顺次连接四边形ABCD 的四条边的中点，得到一个矩形，那么（）A ．AC=BDB ．AC ⊥BD C ．AB=CD D ．AB ⊥CD26．在四边形ABCD 中，∠A=60°，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，AB=4cm ，CD=2cm ，求四边形ABCD 的周长（）A ．10+23 B ．8+25 C ．8+35 D ．10+2531．如图，在△ABC 中，AB=8，BC=6，AC=10，D 为边AC 上一动点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥BC 于点F ，则EF 的最小值为（）A ．2.4 B ．3C ．4.8D ．532．等腰梯形的一内角为45°，高等于上底，下底为9，那么梯形的面积为（）A ．27 B ．18 C ．36 D ．2433．下列命题：（1）两条对角线相等的四边形是矩形（2）圆心角相等则所对的弦也相等．（3）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形（4）垂直于弦的直径平分这条弦．其中真命题的个数是（） A ．3B ．2C ．1D ．034．比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到因式分解公式（）A ．a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）B ．（a+b ）2=a2+2ab+b2 C．（a-b）2=a2-2ab+b2 D．a2-ab=a（a-b）35．取四边形ABCD的各边中点E、F、G、H，依次连接EFGH得到四边形EFGH，现知四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD的对角线（）A．相等B．相等且平分C．垂直D．垂直且平分36．如图，矩形ABCD中，AB＞AD，AN平分∠DAB，DM⊥AN于点M，CN⊥AN于点N，G为MN的中点，GH⊥MN交CD于点H，且DM=a，GH=b，则CN的值为（用含a、b的代数式表示）（）A．2a+b B．a+2b C．a+b D．2a+2b37．下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相平分B．平行四边形的对角线相等C．有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形39．已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（）A．40 B．202C．20 D．10240．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB 于H，则DH的长是（）A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.5。

中考数学复习----《矩形的性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《矩形的性质》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.矩形的性质：①具有平行四边形的一切性质。

②矩形的四个角都是直角。

③矩形的对角线相等。

④矩形既是一个中心对称图形，也是轴对称图形。

对角线交点是对称中心，过一组对边中点的直线是矩形的对称。

⑤由矩形的对角线的性质可知，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

练习题1．（2022•无锡）雪花、风车……展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质．请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（）A．扇形B．平行四边形C．等边三角形D．矩形【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B．平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；C．等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．（2022•安徽）两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（）A．α﹣90°B．α﹣45°C．180°﹣αD．270°﹣α【分析】根据矩形的性质和三角形外角的性质，可以用含α的式子表示出∠2．【解答】解：由图可得，∠1＝90°+∠3，∵∠1＝α，∴∠3＝α﹣90°，∵∠3+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠3＝90°﹣（α﹣90°）＝90°﹣α+90°＝180°﹣α，故选：C．3．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．【分析】分情况讨论：①当AP＝AE＝5时，则△AEP是等腰直角三角形，得出底边PE ＝AE＝5即可；②当P1E＝AE＝5时，求出BE，由勾股定理求出P1B，再由勾股定理求出底边AP1即可．【解答】解：如图所示，①当AP＝AE＝5时，∵∠BAD＝90°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴底边PE＝AE＝5；②当P1E＝AE＝5时，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣5＝3，∠B＝90°，∴P1B＝，∴底边AP1＝；综上所述：等腰三角形AEP1的底边长为5或4；故答案为：5或4．4．（2022•青海）如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线交AD，BC于点E，F，若AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为．【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE≌△COF，得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为△BDC的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，∴OA＝OC，AB＝CD＝3，AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO；又∵∠AOE＝∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE＝S△COF，∴S阴影＝S△AOE+S△BOF+S△COD＝S△COF+S△BOF+S△COD＝S△BCD，∵S△BCD＝BC•CD＝＝6，∴S阴影＝6．故答案为6．5．（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的1AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．中点，点F在对角线AC上，且AF＝4【分析】由AF＝AC可得点F为AO中点，从而可得EF为△AOD的中位线，进而求解．【解答】解：在矩形ABCD中，AO＝OC＝AC，AC＝BD＝10，∵AF＝AC，∴AF＝AO，∴点F为AO中点，又∵点E为边AD的中点，∴EF为△AOD的中位线，∴EF＝OD＝BD＝．故答案为：．6．（2022•黔东南州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是．【分析】先证四边形OCED是平行四边形，得OC＝DE，OD＝CE，再由矩形的性质得OC＝OD＝5，则OC＝OD＝CE＝DE，得平行四边形OCED是菱形，即可得出结论．【解答】解：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∴OC＝DE，OD＝CE，∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OC＝AC＝5，OD＝BD，BD＝AC，∴OC＝OD＝5，∴OC＝OD＝CE＝DE，∴平行四边形OCED是菱形，∴菱形OCED的周长＝4OC＝4×5＝20，故答案为：20．7．（2022•十堰）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB＝AC，侧面四边形BDEC为矩形．若测得∠FBD＝55°，则∠A＝°．【分析】利用矩形的性质可得∠DBC＝90°，从而利用平角定义求出∠ABC的度数，然后利用等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝35°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：∵四边形BDEC为矩形，∴∠DBC＝90°，∵∠FBD＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠DBC﹣∠FBD＝35°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝35°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°，故答案为：110．8．（2022•宜昌）如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，F，G分别是BE，CE的中点，连接AF，DG，FG，若AF＝3，DG＝4，FG＝5，矩形ABCD的面积为．【分析】由矩形的性质得出∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，由直角三角形斜边上中线的性质及三角形中位线的性质求出BE＝6，CE＝8，BC＝10，由勾股定理的逆定理得出△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，进而求出＝24，即可求出矩形ABCD 的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠CDE＝90°，AD∥BC，∵F，G分别是BE，CE的中点，AF＝3，DG＝4，FG＝5，∴BE＝2AF＝6，CE＝2DG＝8，BC＝2FG＝10，∴BE2+CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，∠BEC＝90°，∴＝＝24，∵AD∥BC，∴S矩形ABCD＝2S△BCE＝2×24＝48，故答案为：48．9．（2022•邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为cm2．【分析】利用勾股定理列式求出另一边长，然后根据矩形的面积公式列式进行计算即可得解．【解答】解：∵长方形的一条对角线的长为10cm，一边长为6cm，∴另一边长＝＝8cm ，∴它的面积为8×6＝48cm 2．故答案为：48．10．（2022•丽水）如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN ．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，且a ＞b ．（1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是；（2）若代数式a 2﹣2ab ﹣b 2的值为零，则PQMNABCD S S 矩形四边形的值是．【分析】（1）直接根据线段的差可得结论；（2）先把b 当常数解方程：a 2﹣2ab ﹣b 2＝0，a ＝b +b （负值舍），根据四个矩形的面积都是5表示小矩形的宽，最后计算面积的比，化简后整体代入即可解答．【解答】解：（1）由图可知：PQ ＝a ﹣b ，故答案为：a ﹣b ；（2）∵a 2﹣2ab ﹣b 2＝0，∴a 2﹣b 2＝2ab ，（a ﹣b ）2＝2b 2，∴a ＝b +b （负值舍），∵四个矩形的面积都是5．AE ＝a ，DE ＝b ，∴EP ＝，EN ＝，则＝＝＝＝＝＝3+2．故答案为：3+2．11．（2022•日照）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（）A．27°B．53°C．57°D．63°【分析】根据题意可知AE∥BF，∠EAB＝∠ABF，∠ABF+27°＝90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED．【解答】解：如图，∵AE∥BF，∴∠EAB＝∠ABF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠ABC＝90°，∴∠ABF+27°＝90°，∴∠ABF＝63°，∴∠EAB＝63°，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EAB＝63°．故选：D．12．（2022•包头）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，点E，F分别在AD，BC边上，EF ∥AB，AE＝AB，AF与BE相交于点O，连接OC．若BF＝2CF，则OC与EF之间的数量关系正确的是（）A．2OC＝5EF B．5OC＝2EF C．2OC＝3EF D．OC＝EF【分析】过点O作OH⊥BC于点H，得出四边形ABFE是正方形，再根据线段等量关系得出CF＝EF＝2OH，根据勾股定理得出OC＝OH，即可得出结论．【解答】解：过点O作OH⊥BC于点H，∵在矩形ABCD中，EF∥AB，AE＝AB，∴四边形ABFE是正方形，∴OH＝EF＝BF＝BH＝HF，∵BF＝2CF，∴CH＝EF＝2OH，∴OC＝＝＝OH，即2OC＝EF，故选：A．13．（2022•泰安）如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝4，点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点，∠ADM ＝∠BAP ，则BM 的最小值为（）A ．25B ．512C ．13﹣23D ．13﹣2【分析】如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OM ．证明∠AMD ＝90°，推出OM ＝AD ＝2，点M 的运动轨迹是以O 为圆心，2为半径的⊙O ．利用勾股定理求出OB ，可得结论．【解答】解：如图，取AD 的中点O ，连接OB ，OM ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝90°，AD ＝BC ＝4，∴∠BAP +∠DAM ＝90°，∵∠ADM ＝∠BAP ，∴∠ADM +∠DAM ＝90°，∴∠AMD ＝90°，∵AO ＝OD ＝2，∴OM＝AD＝2，∴点M的运动轨迹是以O为圆心，2为半径的⊙O．∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值为﹣2．故选：D．。

矩形的性质与判定经典例题练习

矩形第一课时1、矩形的定义2、矩形的性质 1)边 2）角 3）对角线4）对称性3.已知矩形ABCD 中，S 矩形ABCD =24 cm 2，若BC =6 cm ，则对角线AC 的长是________ cm.练一练： 1、矩形的两条对角线把矩形分成个等腰三角形．2、矩形具有而平行四边形不具有的性质是（）A ．对角线互相平分B ．两组对边分别相等C ．相邻两角互补D ．对角线相等3.已知E 是矩形ABCD 的边BC 的中点，那么S △AED =________S 矩形ABCD （）A.21B.41C.51D.61 4.在矩形ABCD 的边AB 上有一点E ，且CE =DE ，若AB =2AD ，则∠ADE 等于（）A.45°B.30°C.60°D.75°【探究三】直角三角形斜边上的中线性质1、根据矩形对角线性质可得到直角三角形斜边上的中线性质：练一练：1、已知直角三角形的周长为14，斜边上的中线长为3．则直角三角形的面积为（） A ．5B ．6C ．7D ．82、如果一个直角三角形斜边上的中线与斜边上的高所夹的锐角为34°，那么这个直角三角形的较小的内角是度．精讲精练例1、如图，在矩形ABCD 中，AC 、BD 相较于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若15CAE ∠=︒,求BOE ∠的度数。

变式：已知矩形ABCD 中，如图2，对角线AC 、BD 相交于O ，AE ⊥BD 于E ，若∠DAE ∶∠BAE =3∶1，则∠EAC =________.例题2、如图，已知BD 、CE 是ABC 的两条高，M 、N 分别是BC 、DE 的中点，MN 与DE 有怎样的位置关系。

请证明。

例题3.如图，周长为68的矩形ABCD 被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD 的面积为（）A.98B.196C.280D.284三、用中学习： 1．（2013•老河口市模拟）由10块相同的长方形地砖拼成面积为1.6m 2的矩形ABCD （如图），则矩形ABCD 的周长为多少？2.矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是（）A.16B.22C.26D.22或263.矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.O N M D CBA 4.矩形ABCD 的周长是56 cm ，它的两条对角线相交于O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长少 4 cm ，则AB =_______，BC =_______.5、矩形是轴对称图形，它有______条对称轴．6、在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若对角线AC=10cm ，•边BC=•8cm ，•则△ABO 的周长为________．7、如图2，根据实际需要，要在矩形实验田里修一条公路（•小路任何地方水平宽度都相等），则剩余实验田的面积为________．（1） (2)8、在矩形ABCD 中, 对角线交于O 点，AB=0.6, BC=0.8, 那么△AOB 的面积为_______________; 周长为_______9、一个矩形周长是12cm, 对角线长是5cm, 那么它的面积为__________________.10.在△ABC 中, AM 是中线, ∠BAC=90︒, AB=6cm, AC=8cm, 那么AM 的长为_____________________.11.在矩形ABCD 中, AB=3, BC=4, P 为形内一点, 那么PA+PB+PC+PD 的最小值为______12.如图, 矩形ABCD 对角线交于O 点, 且满足AM=BN, 给出以下结论: ①MN //DC; ②∠DMN=∠MNC; ③OMD ONC S S =. 其中正确的是______________.13、已知，如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是OA ，OB 的中点．（1）求证：△ADE ≌△BCF ；（2）若AD=4cm ，AB=8cm ，求OF 的长．14、如图，在矩形ABCD 中，已知AB=8cm ，BC=10cm ，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边的中点F 处，折痕为AE ，求CE 的长．矩形的判定典型例题及练习归纳矩形的三种判定方法：精讲精练例1、已知：如图，ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E 、F 、G 、H 。