高考数学数列题型之数列与函数交汇的综合题

高考数学数列题型之数列与函数交汇的综合题

四、数列与函数交汇的综合题

44(1)(1)xx，，,例27 已知函数()。 fx(),x,044(1)(1)xx，,,

(?)若且，则称为的实不动点，求的实不动点; fx()fx()fxx(),x,Rx

,a,2(错误～未找到引用源。II)在数列中，，afa,()()，求数列n,N{}a1nn，1n

的通项公式。 {}an

42xx，，61解:(?)由及得 fx(),fxx(),344xx，

421xx，，612422或(舍去)， x,,,,,,,,,xxxx321013344xx，

,1fx()所以或，即的实不动点为或; x,1x,1x,,1(错误～未找到引用源。II)由条件得

4444,,(1)(1)1(1)1aaaaa，，,，，，nnnnn，1，从而有 a,,,,,,n，

1444(1)(1)1(1)1aaaaa，,,,,,nnnnn，1,,

aa，，11nn，1ln4ln,， aa,,11nn，1

,,a，1a，11nlnln30,,4由此及知:数列是首项为，公比为的等比数列，故有ln3ln,,a,1a,11n,,

n,14n,1aa，，1131，n,14,nnln4ln33,,,,,an,N()。 n,1n4aa,,1131,nn

2fxfxfxxf()()0,()2(1)1符合且恒成立，,,,例28 二次函数

f(0)fx() (1)求并求的解析式;

fffn(1)(2)()1lim.S (2)若bnS前项和.求数列并求

ab,，，，,,,,,nnnnnn,,12nan

cfccTccc,,,,,,(),2,...,且记 (3)若求符合最小自然数n( T,2008nnnn，1112n

2f(0)0, 又:ff(0)200(0)0,，,？, .解:(1)

22fxaxbxxbfxax()00(),，,,？, 对称轴即

2fafxx(1)11(),？,？, 又

22221112(1)nnn，b,,,2()(2)an,，，，,，，，,12 nnnnnn(1)1，，122n

11，，limlim2(1)2.S,,, S,,2(1);nn,,,,,,nnn，1n，1，，

n,122？,C2(3) CC,()C,2. nnn，11

nnn,,1112482(1242)(21)，，，，, ？,,,,,,,T22222222008n

,,？,nn4,4min

1例29 已知函数，点，是函数图像上的两个点，，，，，，，，，

Px,yPx,yfx,x,R，，fx111222x4，2

1P且线段的中点的横坐标为( PP122

P?求证:点的纵坐标是定值;

n,,?若数列的通项公式为，求数列的前m项的和,,a,f，，

m,N,n,1,2,？,m,,aa,,nnnm,,

; Sm

1解:?由题可知:，所以， x，x,2，,1122

xx1211444，，，,，,，,yyf，，，，xfx1212xxxx12124，24，2，，，，4，24，2 xxxx12124，4，44，4，41,,,x，xxxxx1212122，，，，424442444，，，，，

y，y112P 点的纵坐标是定值，问题得证( y,,P24

nm,n1,,,,f，f,?由?可知:对任意自然数m,n，恒成立( ,,,,mm2,,,,

m,m,m1221,,,,,,,,,,S,f，f，，f，f，f 由于，故可考虑利用倒写求和的方？,,,,,,,,,,mmmmmm,,,,,,,,,,

m,m,m1221,,,,,,,,,,S,f，f，，f，f，f？,,,,,,,,,,mmmmmm,,,,,,,,,,法(即由于: mm,m,1221,,,,,,,,,,,f，f，f，，f，

f？,,,,,,,,,,mmmmm,,,,,,,,,,，，，，，，

1m,12m,2m,11m,,,,,,,,,,,,,,2S,f，f，f，f，，f，f，

2f？,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,mmmmmmmm,,,,,,,,,,,,,,，，，，，，所以，11,，，m,1，2f(1),3m,1，，26

1所以，，，S,3m,1m 12

f(0),12*n例30 设f(x)=，定义f (x)= f,f(x),，a=(n?N). 1n+11nn f(0)，21，xn(1) 求数列,a,的通项公式; n

24n，n*(2) 若，Q=(n?N)，试比较9T与 T,a，2a，3a，？，

2nan2n2n1232n24n，4n，1Q的大小，并说明理由. n

212,1解:(1)?f(0)=2，a==，f(0)= f,f(0),=, 11n+11n1，f(0)42，2n

2,11,f(0)f(0),1f(0),11，f(0)11nn，1nn?a==== -= -a. n+1n2f(0)，24，2f(0)f(0)，222n，1nn，21，f(0)n

1111n,1?数列,a,是首项为,公比为-的等比数列，?a=(,). nn4242(2)?T=

a+2a+3a+…+(2n-1)a+2na， 2 n 1 2 3 2 n,1 2 n

111111(,),?T= (-a)+(-)2a+(-)3a+…+(-)(2n-1)a+2na ,2 n1 2 32 n12

n222222

= a+2a+…+(2n,1)a,na. 2 32 n2 n

3两式相减，得T= a+a+a+…+a+na. 2 n12 32 n2 n2