地基中的附加应力计算
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pn=p－γod＝140－18×0.5＝131kPa
-
（2）求O点下1m深处地基附加应力 σzo。O点是矩形面积OGbE，OGaF ，OAdF，OAcE的共同角点。这四块 面积相等，长度l宽度b均相同，故其 附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的 值可得
l／b=2 ／1=2 z／b=1／1=1 查表2－2得Ks=0.1999，所以 σzo=4 Kspn=4×0.1999 ×131＝
-
应力叠加原理应用
将基底面基底净压力 的分布划分为若干小 块面积并将其上的分 布荷载合成为小的集 中力，即可应用公式 （2-24）计算。
这种方法适用于基底 面不规则的情况，每 块面积划分得越小， 计算精度就越高。
-
二 矩形基础底面铅直荷载下的附加应力
1.竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力 根据等代荷载法原
x p pt b
dz 3z32ptRxd5bxdy
R x2y2z2
-
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
-
三 矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向 附加应力
-
四 圆形面积均布荷载作用中心的附加应力
-
五 竖直线荷载作用下的地基附加应力
-
角点法计算任意位置附加应力
ed
c
(c) O点在荷载面的边缘外侧：
o
荷载面（abcd）＝ 面积Ⅰ（ofbg）－ 面积Ⅱ（ofah）
h
g
+ 面积Ⅲ（oecg）－ 面积Ⅳ（oedh） f a b
则：
z ( K c K c K c K c V ) p
(d) O点在荷载面的角点外侧
ed
c
荷载面（abcd）＝ 面积Ⅰ（ohce）－ 面积Ⅱ（ohbf） f a
R r2z2
-
竖向集中力作用下地基附加应力
z
K
F z2
竖向集中力作用竖向附加应力系数
-
竖向集中力作用下地基附加应力
在竖向Hale Waihona Puke Baidu中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
-
应力叠加原理（等代荷载法）
由于集中力作用下地基中的附加应力 σz是荷载的一次函数，因此当若干竖 向集中力Fi作用于地表时，应用叠加 原理，地基中z深度任一点M的附加应 力σz应为各集中力单独作用时在该点 所引起的附加应力总和。
图4-3 集中荷载作用下地基中应力
-
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力 学和固体力学都有贡献。
-
竖向集中力作用下地基附加应力
弹性力学解答 Boussinesq 解
-
竖向集中力作用下地基附加应力
z
3Pz 3
2R 5
（4）求H点下1m深度处竖向应力σzH。 H点是HGbQ， HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。σzH是由四块面积各 自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积
，长度l宽度b均相同，由例图
l／b=2.5／2=1.25
z／b=1／2=0.5
查表2－2，利用双向线性插值得K-s=0.2350
b
则：
－ 面积Ⅲ（ogde）+ 面积Ⅳ（ogaf） o z ( K z K z K z K z V ) p
g
h
必须注意: 在角点法中，查附加应力系数时所用的 l 和 b 均指划分
后的新矩形（如ofbg、ohce等）的长和宽。
-
角点法计算任意位置附加应力
【例题2－2】如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基 础埋深为0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中 心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基 础中心O点下及A点下、H点下z＝1m深度处的竖向附加应 力。 【解】 （1）先求基底净压力（基底附加应力）pn，由已知条件
对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同，由例 图
l／b=2／0.5=4 z／b=1／0.5=2 查表2－2，得Ks=0.1350，则σzH可按叠加原理求得： σzH=（2×0.2350－ 2×0.1350 ）×131=26.2（kPa）
-
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
第二章 土体应力计算
地基中的附加应力计算
附加应力：由外荷引起的土中应力。
-
一 地表集中力下地基中附加应力
虽然理论上的集中力实际上是不存在的，但集中力作用下 弹性半空间地基理论解（即布辛涅斯克解）是求解其他 形式荷载作用下地基中附加应力分布的基础。 （一）布辛涅斯克解（法国Boussinesq，1885）
Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附 加应力系数，它是m，n的函数，其中 m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩 形的短边，z是从基底起算的深度，pn是 基底净压力。
Ks可直接查表
-
表4-4 矩形均布荷载角点下竖向附
加应力系数Kz1
-
角点法计算任意位置附加应力
角点法：即通过计算点o将原矩形荷载分成若干个新矩形荷载，从而使O 成为划分出的各个新矩形的公共角点，然后再根据迭加原理计算。共有
104.75（kPa）
（3）求A点下1m深处竖向附加应- 力σzA。
A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相
等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l
，b，z的值可得
l／b=2 ／2=1
z／b=1／2=0.5
查表2－1应用线性插值方法可得Ks=0.2315，所以
σzA=2 Kspn=2×0.2315 ×131=60.65（kPa）
以下四种情况：
Ⅱ
(a) O点在荷载面的边缘：
z o o ( K z K z )p
O
Ⅰ
其中KzI 、KzII 为相应于面积Ⅰ和Ⅱ的角点附加应力系数。 Ⅳ Ⅲ
(b) O点在荷载面内：
ⅠO Ⅱ
z ( K z K z K z K z V ) p
当 O 位于荷载中心，则有：z 4Kzp
其中KzI 、KzII、KzIII 、KzIV 为相应于面积 I、II、III、IV 的角点 附加应力系数。
理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷
小，将σz用积分 表示
-
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R x2y2z2
lb
z dz Kz1pn
00
代入并沿整个基底面
积积分，即可得到竖
直均布压力作用矩形
基底角点O下z深度处
所引起的附加应力
-
竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
-
（2）求O点下1m深处地基附加应力 σzo。O点是矩形面积OGbE，OGaF ，OAdF，OAcE的共同角点。这四块 面积相等，长度l宽度b均相同，故其 附加应力系数Ks相同。根据l，b，z的 值可得
l／b=2 ／1=2 z／b=1／1=1 查表2－2得Ks=0.1999，所以 σzo=4 Kspn=4×0.1999 ×131＝
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应力叠加原理应用
将基底面基底净压力 的分布划分为若干小 块面积并将其上的分 布荷载合成为小的集 中力，即可应用公式 （2-24）计算。
这种方法适用于基底 面不规则的情况，每 块面积划分得越小， 计算精度就越高。
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二 矩形基础底面铅直荷载下的附加应力
1.竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力 根据等代荷载法原
x p pt b
dz 3z32ptRxd5bxdy
R x2y2z2
-
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
-
三 矩形面积基底受水平荷载角点下的竖向 附加应力
-
四 圆形面积均布荷载作用中心的附加应力
-
五 竖直线荷载作用下的地基附加应力
-
角点法计算任意位置附加应力
ed
c
(c) O点在荷载面的边缘外侧：
o
荷载面（abcd）＝ 面积Ⅰ（ofbg）－ 面积Ⅱ（ofah）
h
g
+ 面积Ⅲ（oecg）－ 面积Ⅳ（oedh） f a b
则：
z ( K c K c K c K c V ) p
(d) O点在荷载面的角点外侧
ed
c
荷载面（abcd）＝ 面积Ⅰ（ohce）－ 面积Ⅱ（ohbf） f a
R r2z2
-
竖向集中力作用下地基附加应力
z
K
F z2
竖向集中力作用竖向附加应力系数
-
竖向集中力作用下地基附加应力
在竖向Hale Waihona Puke Baidu中力作用 下，地基附加应力 越深越小，越远越 小，Z=0为奇异点， 无法计算附加应力
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应力叠加原理（等代荷载法）
由于集中力作用下地基中的附加应力 σz是荷载的一次函数，因此当若干竖 向集中力Fi作用于地表时，应用叠加 原理，地基中z深度任一点M的附加应 力σz应为各集中力单独作用时在该点 所引起的附加应力总和。
图4-3 集中荷载作用下地基中应力
-
Valentin Joseph Boussinesq (1842-1929)
法国著名物理家和数学家，对数学物理、流体力 学和固体力学都有贡献。
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竖向集中力作用下地基附加应力
弹性力学解答 Boussinesq 解
-
竖向集中力作用下地基附加应力
z
3Pz 3
2R 5
（4）求H点下1m深度处竖向应力σzH。 H点是HGbQ， HSaG，HAcQ，HAdS的公共角点。σzH是由四块面积各 自引起的附加应力的叠加。对于HGbQ，HSaG两块面积
，长度l宽度b均相同，由例图
l／b=2.5／2=1.25
z／b=1／2=0.5
查表2－2，利用双向线性插值得K-s=0.2350
b
则：
－ 面积Ⅲ（ogde）+ 面积Ⅳ（ogaf） o z ( K z K z K z K z V ) p
g
h
必须注意: 在角点法中，查附加应力系数时所用的 l 和 b 均指划分
后的新矩形（如ofbg、ohce等）的长和宽。
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角点法计算任意位置附加应力
【例题2－2】如图所示，矩形基底长为4m、宽为2m，基 础埋深为0.5m，基础两侧土的重度为18kN/m3，由上部中 心荷载和基础自重计算的基底均布压力为140kPa。试求基 础中心O点下及A点下、H点下z＝1m深度处的竖向附加应 力。 【解】 （1）先求基底净压力（基底附加应力）pn，由已知条件
对于HAcQ，HAdS两块面积，长度l宽度b均相同，由例 图
l／b=2／0.5=4 z／b=1／0.5=2 查表2－2，得Ks=0.1350，则σzH可按叠加原理求得： σzH=（2×0.2350－ 2×0.1350 ）×131=26.2（kPa）
-
矩形面积基底受三角形分布荷载时角点下的附加 应力
第二章 土体应力计算
地基中的附加应力计算
附加应力：由外荷引起的土中应力。
-
一 地表集中力下地基中附加应力
虽然理论上的集中力实际上是不存在的，但集中力作用下 弹性半空间地基理论解（即布辛涅斯克解）是求解其他 形式荷载作用下地基中附加应力分布的基础。 （一）布辛涅斯克解（法国Boussinesq，1885）
Ks是竖直均布压力矩形基底角点下的附 加应力系数，它是m，n的函数，其中 m=l/b，n=z/b。l是矩形的长边，b是矩 形的短边，z是从基底起算的深度，pn是 基底净压力。
Ks可直接查表
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表4-4 矩形均布荷载角点下竖向附
加应力系数Kz1
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角点法计算任意位置附加应力
角点法：即通过计算点o将原矩形荷载分成若干个新矩形荷载，从而使O 成为划分出的各个新矩形的公共角点，然后再根据迭加原理计算。共有
104.75（kPa）
（3）求A点下1m深处竖向附加应- 力σzA。
A点是ACbG，AdaG两块矩形的公共角点，这两块面积相
等，长度l宽度b均相同，故其附加应力系数Ks相同。根据l
，b，z的值可得
l／b=2 ／2=1
z／b=1／2=0.5
查表2－1应用线性插值方法可得Ks=0.2315，所以
σzA=2 Kspn=2×0.2315 ×131=60.65（kPa）
以下四种情况：
Ⅱ
(a) O点在荷载面的边缘：
z o o ( K z K z )p
O
Ⅰ
其中KzI 、KzII 为相应于面积Ⅰ和Ⅱ的角点附加应力系数。 Ⅳ Ⅲ
(b) O点在荷载面内：
ⅠO Ⅱ
z ( K z K z K z K z V ) p
当 O 位于荷载中心，则有：z 4Kzp
其中KzI 、KzII、KzIII 、KzIV 为相应于面积 I、II、III、IV 的角点 附加应力系数。
理，将基底面积划 分成无穷多块，每 块面积趋向于无穷
小，将σz用积分 表示
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竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力
将 R x2y2z2
lb
z dz Kz1pn
00
代入并沿整个基底面
积积分，即可得到竖
直均布压力作用矩形
基底角点O下z深度处
所引起的附加应力
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竖直均布压力作用举行基底角点下的附加应力