11锐角三角函数1
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在边相的 似A夹BC角和对应A相B等C的中两个三A角形
AB AC
B
AB AC
A A
C A'
∴△ABC∽ △A\B\C\ B'
C'
(２)相似三角形对应边成比例，
对应角相等．
A
∵△ABC∽ △A\B\C\
A A B B B
C
C C
A'
AB AC BC
AB AC BC B'
C'
经常会听人们说“陡”这个字，比如这里摆 放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡吗？
自学指导:看课本第2页“想一想”，思考课本 上的三个问题，说明理由，总结你发现的结论。
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
B1
(2). B1C1 和 B2C2 有什么关系 ?
AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的 位置(如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论?
B2
B3
A
C3 C2
梯子越陡，倾斜角的对边与邻 边的比值越大。
tanA的值越大,梯子AB越陡.
梯子AB越陡，tanA的值越大。
在生活中,常用一个锐角的正切
表示梯子、电梯的倾斜程度.
A
B B1
C1
C
例1、图中表示甲、乙两个手扶电梯，哪个手 扶电梯比较陡？
B
D
13m 5m
甲梯
6m
乙梯
A
C
F 8m E
解:甲梯中, tanA
坡度越大，坡面越陡。
B B
60米
A
100米
C
A
C
D
tan A=
= 60
100
0.6
坡面与水平面夹角称为坡角。
坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(坡比).
即坡度等于坡角的正切.
巩固练习：
1.如图,小明从黄山百步云梯脚下的点A约走了1000m后 ，到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离约是 600m,求山坡的坡度.
C1
当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，
这个比只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关。
正切的定义：
在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边之比 叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA.
tanA=A的对边 A的邻边
1、tanA中常省去角的符号“∠”。 2、 tanA没有单位，它表示一个比值。 3、 tanA是一个完整的符号，不表示“tan”乘以“A”。 4、在初中阶段，tanA中,∠A是一个锐角。
（3）一个三角形一边上的中线等于 这边的一半，那么这个三角形是直 角三角形．
在△ABC中
A
CD AD BD 1 AB
2
∴ △ABC是Ｒt △ C
D B
(1)有两个角对应相等的两个三
角形相似
在ABC和ABC中
A
A A B B B
C
∴△ABC∽ △A\B\C\
A'
B'
C'
(２)有两边对应成比例，这两
A
C
BD
课堂小结：
• 这节课，你学会了什么？
1、正切的定义:
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比 叫做∠A的正切,记作tanA,即
B 斜边
∠A的对边 ┌ A ∠A的邻边 C
课堂小结：
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐 角（注意数形结合，构造直角三角形）. 2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯 省去“∠”号（注意tanA不表示tan乘以A). 3.tanA是一个比值（直角边之比，注意比的顺序, 且tanA﹥0,无单位）. 4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角 形的边长无关. 5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等, 则这两个锐角相等.
角边等于斜边的一半。 那么这条直
角所对的角是30°. A
在Rt△ABC中
AC 1 AB
C
B
2
∴∠Ｂ＝３０°
（１）一个三角形两个角之和等于
９０°，那么这个三角形是直角三
角形
△ABC中
A
∵∠A＋∠B=90°
∴ △ABC是Ｒt △
C
B
（2）勾股定理的逆A 定理：
a2 b2 c2 C
B
ABC是Rt
7
图2
3、如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时
扩大100倍,tanA的值（ C ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
B
C.不变 D.不能确定
┌
4、已知∠A,∠B为锐角
A
C
(1)若∠A=∠B,则tanA =tanB; (2)若tanA﹥tanB,则∠A﹥∠B.
正切通常也用来描述山坡的坡度.看课本第5页 最后一段内容，弄清坡度(或坡比)的概念及求法。
黄山 百步云梯
黄山 百步云梯
初三数学备课组
能力发展目标：
1.通过阅读课本，交流、讨论经历探索直
角三角形中边角关系的过程,理解锐角三角 函数正切的含义;
2.通过解决标杆题、解决实际问题能根据直角三 角形中的边角关系，进行简单的计算.
直角三角形各边的名称：
A
b 直角边
C 斜边
∟
C
a
B
直角边
（１）直角三角形两锐角之和等
（3）直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半。 A D
在Rt△ABC中
∵AD是斜边AB上 的中线.
C
∟
B
CD AD BD 1 AB 2
（4）在直角三角形中,30°角所对 的直角边等于斜边的一半。
A
在Rt△ABC中
∵∠Ｂ＝30° C
AC 1 AB 2
B
30o
（4）在直角三角形中,如果一条直
于９０°
A
C
B
ABC是Rt A B 90
（2）勾股定理： A
C
B
ABC是Rt
a2 b2 c2
（3）直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半。 A D
在Rt△ABC中
∵AD是斜边AB上 的中线.
C
∟
B
CD AD BD 1 AB 2
（2）勾股定理： A
C
B
ABC是Rt
a2 b2 c2
5 5. 132 - 52 12
Байду номын сангаас
乙梯中, tan E 6 3 .
84
∵tanE>tanA,∴乙梯更陡.
巩固练习：
1、在右图中: 求tanA的值
(1)tanA=3 4
(2)tanA=4
3
2、判断对错:
如图1:(1) tanA=（ BC） 错
AC
图1
如图2，(2) tanA= （0.7m） 错
(3) tanB= （ 10） 对
B
600m
A
C
黄山 百步云梯
tan A=
= 600
800
0.75
2、某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰。 现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来。请你 根据图中数据说明这一楼顶铺设的瓦片是否会滑落下来？
A
13m
B
H
24m
C
13m
24m
7、 如图，Rt△ABC是一防洪堤坝迎水坡的横截面图， 斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤 坝的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为1：1.5的斜 坡AD，求DB的长.(结果保留根号)
AB AC
B
AB AC
A A
C A'
∴△ABC∽ △A\B\C\ B'
C'
(２)相似三角形对应边成比例，
对应角相等．
A
∵△ABC∽ △A\B\C\
A A B B B
C
C C
A'
AB AC BC
AB AC BC B'
C'
经常会听人们说“陡”这个字，比如这里摆 放的两个梯子，你能辨别出那一个比较陡吗？
自学指导:看课本第2页“想一想”，思考课本 上的三个问题，说明理由，总结你发现的结论。
(1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系?
B1
(2). B1C1 和 B2C2 有什么关系 ?
AC1 AC2
(3)如果改变B2在梯子上的 位置(如B3C3 )呢?
由此你得出什么结论?
B2
B3
A
C3 C2
梯子越陡，倾斜角的对边与邻 边的比值越大。
tanA的值越大,梯子AB越陡.
梯子AB越陡，tanA的值越大。
在生活中,常用一个锐角的正切
表示梯子、电梯的倾斜程度.
A
B B1
C1
C
例1、图中表示甲、乙两个手扶电梯，哪个手 扶电梯比较陡？
B
D
13m 5m
甲梯
6m
乙梯
A
C
F 8m E
解:甲梯中, tanA
坡度越大，坡面越陡。
B B
60米
A
100米
C
A
C
D
tan A=
= 60
100
0.6
坡面与水平面夹角称为坡角。
坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度i(坡比).
即坡度等于坡角的正切.
巩固练习：
1.如图,小明从黄山百步云梯脚下的点A约走了1000m后 ，到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离约是 600m,求山坡的坡度.
C1
当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，
这个比只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关。
正切的定义：
在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边之比 叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA.
tanA=A的对边 A的邻边
1、tanA中常省去角的符号“∠”。 2、 tanA没有单位，它表示一个比值。 3、 tanA是一个完整的符号，不表示“tan”乘以“A”。 4、在初中阶段，tanA中,∠A是一个锐角。
（3）一个三角形一边上的中线等于 这边的一半，那么这个三角形是直 角三角形．
在△ABC中
A
CD AD BD 1 AB
2
∴ △ABC是Ｒt △ C
D B
(1)有两个角对应相等的两个三
角形相似
在ABC和ABC中
A
A A B B B
C
∴△ABC∽ △A\B\C\
A'
B'
C'
(２)有两边对应成比例，这两
A
C
BD
课堂小结：
• 这节课，你学会了什么？
1、正切的定义:
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比 叫做∠A的正切,记作tanA,即
B 斜边
∠A的对边 ┌ A ∠A的邻边 C
课堂小结：
1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐 角（注意数形结合，构造直角三角形）. 2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯 省去“∠”号（注意tanA不表示tan乘以A). 3.tanA是一个比值（直角边之比，注意比的顺序, 且tanA﹥0,无单位）. 4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角 形的边长无关. 5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等, 则这两个锐角相等.
角边等于斜边的一半。 那么这条直
角所对的角是30°. A
在Rt△ABC中
AC 1 AB
C
B
2
∴∠Ｂ＝３０°
（１）一个三角形两个角之和等于
９０°，那么这个三角形是直角三
角形
△ABC中
A
∵∠A＋∠B=90°
∴ △ABC是Ｒt △
C
B
（2）勾股定理的逆A 定理：
a2 b2 c2 C
B
ABC是Rt
7
图2
3、如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时
扩大100倍,tanA的值（ C ）
A.扩大100倍 B.缩小100倍
B
C.不变 D.不能确定
┌
4、已知∠A,∠B为锐角
A
C
(1)若∠A=∠B,则tanA =tanB; (2)若tanA﹥tanB,则∠A﹥∠B.
正切通常也用来描述山坡的坡度.看课本第5页 最后一段内容，弄清坡度(或坡比)的概念及求法。
黄山 百步云梯
黄山 百步云梯
初三数学备课组
能力发展目标：
1.通过阅读课本，交流、讨论经历探索直
角三角形中边角关系的过程,理解锐角三角 函数正切的含义;
2.通过解决标杆题、解决实际问题能根据直角三 角形中的边角关系，进行简单的计算.
直角三角形各边的名称：
A
b 直角边
C 斜边
∟
C
a
B
直角边
（１）直角三角形两锐角之和等
（3）直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半。 A D
在Rt△ABC中
∵AD是斜边AB上 的中线.
C
∟
B
CD AD BD 1 AB 2
（4）在直角三角形中,30°角所对 的直角边等于斜边的一半。
A
在Rt△ABC中
∵∠Ｂ＝30° C
AC 1 AB 2
B
30o
（4）在直角三角形中,如果一条直
于９０°
A
C
B
ABC是Rt A B 90
（2）勾股定理： A
C
B
ABC是Rt
a2 b2 c2
（3）直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半。 A D
在Rt△ABC中
∵AD是斜边AB上 的中线.
C
∟
B
CD AD BD 1 AB 2
（2）勾股定理： A
C
B
ABC是Rt
a2 b2 c2
5 5. 132 - 52 12
Байду номын сангаас
乙梯中, tan E 6 3 .
84
∵tanE>tanA,∴乙梯更陡.
巩固练习：
1、在右图中: 求tanA的值
(1)tanA=3 4
(2)tanA=4
3
2、判断对错:
如图1:(1) tanA=（ BC） 错
AC
图1
如图2，(2) tanA= （0.7m） 错
(3) tanB= （ 10） 对
B
600m
A
C
黄山 百步云梯
tan A=
= 600
800
0.75
2、某一建筑物的楼顶是“人”字型，并铺上红瓦装饰。 现知道楼顶的坡度超过0.5时，瓦片会滑落下来。请你 根据图中数据说明这一楼顶铺设的瓦片是否会滑落下来？
A
13m
B
H
24m
C
13m
24m
7、 如图，Rt△ABC是一防洪堤坝迎水坡的横截面图， 斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤 坝的防洪能力，现将背水坡改造成坡度为1：1.5的斜 坡AD，求DB的长.(结果保留根号)