《高等数学》各章知识点总结——第1章

第1章 函数与极限总结

1、极限的概念

（1）数列极限的定义

给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数

不论它多么小

总存在正整数N

使得对于n >N 时的一切

n 恒有

|x n

a |<则称a 是数列{x n }的极限

或者称数列{x n }收敛于a 记为 a x n n =∞

→lim 或xn a (n )

（2）函数极限的定义

设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A 对于任意给定的正数 (不论它多么小) 总

存在正数

（或存在X ） 使得当x 满足不等式0<|x x 0|

时

（或当x X >时） 恒有 |f (x )A |

那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限 记为

A x f x x =→)(lim 0

或f (x )

A (当x x 0)（ 或lim ()x f x A →∞

=）

类似的有：如果存在常数A

对0,0,εδ∀>∃>当00

:x x x x δ-<<（00x x x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -

+

→→==或

显然有0

00lim ()lim ()lim ())x x

x x x x f x A f x f x A -+

→→→=⇔==

如果存在常数A 对0,0,X ε∀>∃>当

()x X x X <->或时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当

x →+∞）时的极限

记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞→+∞

==或

显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞→-∞→+∞=⇔== 2、极限的性质 （1）唯一性

若a x n n =∞

→lim ，lim n n x b →∞

=，则a b =

若0()

lim ()x x x f x A →∞→=0()

lim ()x x x f x B →∞

→=，则A B =

（2）有界性

（i ）若a x n n =∞

→lim ，则0M ∃>使得对,n N +

∀∈恒有n x M ≤

（ii ）若0

lim ()x x

f x A →=，则0M ∃>当0:0x x x δ<-<时，有()f x M ≤

（iii ）若lim ()x f x A →∞=，则0,0M X ∃>>当x X >时，有()f x M ≤

（3）局部保号性 （i ）若

a

x n n =∞

→lim 且0(0)a a ><或则N N +∃∈，当n N >时，恒有

0(0)n n x x ><或

（ii ）若0

lim ()x x

f x A →=，且0(0)A A ><或，则0δ∃>当0:0x x x δ

<-<时，有 ()0(()0)f x f x ><或 3、极限存在的准则

（i ）夹逼准则 给定数列{},{},{}n n n x y z

若①0,n N +∃∈当0n n >时有n n n y x z ≤≤ ②lim lim n n n n y z a →∞→∞==，

则lim n n x a →∞

=

给定函数(),(),()f x g x h x ，

若①当0

0(,)x U x r ∈（或x X >）时，有()()()g x f x h x ≤≤ ②00()

()

lim ()lim ()x x x x x x g x h x A →∞→∞

→→==，

则0()

lim ()x x x f x A →∞

→= （ii ）单调有界准则

给定数列{}n x ，若①对n N +∀∈有11()n n n n x x x x ++≤≥或②()M m ∃使

对n N +∀∈有()n n x M x m ≤≥或则lim n n x →∞

存在

若()f x 在点0x 的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则0lim ()

x x f x -

→（或0lim ()x x f x +

→）存在

4、极限的运算法则

（1）若0()

lim ()x x x f x A →∞→=，0()

lim ()x x x g x B →∞

→=

则(i)0()

lim [()()]x x x f x g x A B →∞

→±=± (ii)0()

lim [()()]x x x f x g x A B →∞

→⋅=⋅

(iii)0()

()lim

()x x x f x A

g x B

→∞

→=⋅（0B ≠） （2）设（i ）0

0()lim ()x x

u g x g x u →==且（ii ）当0

0(,)x U x δ∈时0()g x u ≠

（iii ）0

lim ()u u

f u A →=

则0

lim [()]lim ()x x u u

f g x f u A →→==

5、两个重要极限

（1）0

sin lim

1x x

x

→=()0sin ()

lim

1()u x u x u x →=

sin lim

0x x x ∞→=，1lim sin 1x x x →∞=，01

lim sin 0x x x

→=