中南大学信息论与编码讲义-第八章

8.1 引言
• 定理8.1
如果C=(C0,C1,C2,…,Cn-1)是一个码字，其生成函数为 C(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-1xn-1 ，则右循环移位CR的生成函数 CR(x)可以由下面公式给出： CR(x)=xC(x) mod (xn-1) •该定理说明了循环码的产生方法非常简单。 为了方便，引入符号： [P(x)]n 作为P(x) mod (Xn-1)的缩写。
~ h ( x) = hk + hk −1 x + ... + h0 x k 为h(x)的“反”多项式。 其中 如果矢量I=(I0,I1,...,Ik-1)编码为C=IG1，则生成函数 I(x)=I0+I1x+...+Ik-1xk-1与C(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-1xn-1之间的关 系为： C(x)=I(x)g(x) •该推论给出了循环码的一种简单的编码方式
8.1 引言
例8.3 考虑GF(3)上的一个(4,2)线性码，其生成矩阵为：
1 0 2 0 G= 1 1 2 2
这个码有9个码字。如果以C1，C2表示G的行， 9个码字构成 循环码： C1→2C1+C2→2C1→C1+2C2→C1 C2→C1+C2 →2C2→2C1+2C2 →C2
8.1 引言
• 生成函数
离散数学告诉我们一个有序的数组既可以用矢量表示 , 也 可以用多项式表示。一个码字矢量C=(C0,C1,C2,…,Cn-1)也可以 表示成码字多项式C(x) , 即 C(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-1xn-1 我们把C(x)称为码C的生成函数.
8.1 引言
• 多项式mod运算的重要性质
第二部分 编码理论
第8章 循环码
第8章 循环码
• • • • • 8.1 引言 8.2 循环码的移位寄存编码器 8.3 循环码汉明码 8.4 纠正突发错误 8.5纠正突发错误循环码的译码
第8章 循环码
• 8.1 引言
定义：对于域F上的一个(n,k)线性码，如果每个码字 C=(C0,C1,…,Cn-1)的右循环移位，即CR=(Cn-1,C0,…,Cn-2),也是一 个码字，那么就称这个码为循环码。 有许多不同类型的循环码，但是与线性码比起来，他们 所占的比例却非常小。例如，在GF(2)上有11811个(7,3)线性码， 但其中只有两个是循环的。 循环码在线性码中占有重要的位 置。现 在已 知的好 的 线 性码 , 从最 简单 的汉 明 码 到 线 性 码 中 性 能 最 好 的 BC H 码 都 是 循 环 码 。
8.1 引言
• 一致校验多项式
循环码的一致校验多项式用h(x)表示： h(x)=(xn-1)/g(x)
8.1 引言
• 推论1
如果C是一个(n,k)循环码，具有生成多项式g(x)=g0+g1x+...+grxr (其中r=n-k),以及一致校验多项式h(x)=h0+h1x+...+hkxk，则C的 生成矩阵和一致校验矩阵为：
8.1 引言
• 引理2
设C是一个循环码，具有生成多项式g(x)。 (a)如果g′(x)是另一个多项式，则存在某个非零元素λ∈F，使 g′(x)= λg(x)。 (b)如果P(x)是一个多项式，而[P(x)]n是一个码字，则g(x)能整 除P(x)。 •该引理说明了：(a) 相差常数因子的两个生成多项式是等价的 (b)作为一个码字的条件
8.1 引言
例8.8
8.1 引言
根据定理8.3，在一个给定的域F上，码长为n的循环码与域F 上xn-1的首项系数为1的因式是一一对应的。故了解在F域上因 式分解xn-1非常重要。 P136页中的表8.1给出了GF(2)上xn-1(n≤31)的因式分解。 例8.9 根据表8.1给出了n=7的所有编码。
8.1 引言
代数学知识告诉我们,若m能被n整除,则xm-1也能被xn-1整除, 因此能被g(x)整除的xn-1多项式将远不止一个。在这些能被g(x) 整除的xn-1 中最小的n值是循环码可用码字长的最大值。 否则必含生成函数为xn-1的码（因xn-1能被g(x)整除），即 最小重量等于2。则只能纠正0个错误。不难证明 , 若生成多项 式为 m 次 , 则 nm 的最大值为 2m-1 。
8.1 引言
例8.7 例8.2中的(7,3)循环码的生成多项式为g(x)=x4+x3+x2+1。 则相应的一致校验多项式h(x)=(x7-1)/g(x)=x3+x2+1。作为g(x)倍 式的8个码字分别为： C0=0•g(x), C1=1•g(x),...,C7=(1+x+x2)•g(x)
1 0 1 1 1 0 0 g ( x ) G1 = 0 1 0 1 1 1 0 = xg ( x) 2 0 0 1 0 1 1 1 x g ( x ) ~ 1 1 0 1 0 0 0 h ( x) 0 1 1 0 1 0 0 ~ = xh ( x) H1 = ~ 0 0 1 1 0 1 0 x 2 h ( x ) 3~ 0 0 0 1 1 0 1 x h ( x )
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0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 = 1, x, x 2 ,..., x 6 mod g ( x) 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1
[
]
如果利用G1对矢量I=[101]进行编码得：[1001011]。而利用 G2，则编码为：[1100101]。矢量R=[1010011]对应H1的伴随 式为[1101]。利用H1的伴随式为S(x)=R(x)g(x)=x3+x2,即 S=[1101]。
8.1 引言
• 推论2
令C是一个(n,k)循环码，具有生成多项式g(x)。对i=0,1,…,k-1， 令G2,i是长度为n的矢量，它的生成函数是G2,i(x)=xr+i-xr+i mod g(x)。则k×n阶矩阵：
G2, 0 G 2 ,1 G2 = ... G2, k −1
因C(x)=I(x)g(x)的 各系数为： C0=I0g0 C1=I0g1+I1g0 C2=I0g2+I1g1+I2g0 .... Cj=I0gj+I1gj-1+Ijg0 .... Cn-1=Ik-1gr
是码C的生成矩阵。
8.1 引言
类似地，如果H2,j是长度为r的矢量，它的生成函数是H2,j(x)=xj mod g(x),则r×n矩阵： T T T H 2 = [ H 2, 0 , H 2,1 ,..., H 2, n −1 ] 是码C的一个一致校矩阵。此外，如果矢量I=(I0,I1,...,Ik-1)编码为 C=IG2,则生成函数I(x)与C(x)的关系为： C(x)=xrI(x)-[xrI(x)] mod g(x) 并且，如果矢量R=(R0,R1,...,Rn-1)的伴随式计算公式为ST=H2RT， 则生成函数R(x)与S(x)的关系为： S(x)=R(x) mod g(x) •该推论给出了循环码的另一种具有系统形式的编码方式 •该编码方式的伴随式的计算非常容易
8.1 引言
hk 0 H1 = ... 0 hk −1 hk ... ... ... ... h0 hk −1 ... ... ... ... ... ... 0 hk 0 h0 ... hk −1 0 0 ... ... ~ ... 0 h ( x) ~ ... 0 xh ( x) = ... ... ... r −1 ~ ... h0 x h ( x)
8.1 引言
• 定理8.2
如果C是一个(n,k)循环码，并且C(x)是C中的一个码字，那 么对任意多项式P(x)，[P(x)C(x)]n也是C中的一个码字。
• 生成多项式
如果C是一个循环码，那么C中的一个最低次非零多项式 被称为它的一个生成多项式。通常用符号表示生成多项式。
8.1 引言
• 生成多项式
引理1 (a)如果degP(x)<degM(x),则P(x) mod M(x)=P(x)。 (b)如果M(x)|P(x),则P(x) mod M(x)=0; (c)(P(x)+Q(x)) mod M(x)=P(x) mod M(x)+Q(x) mod M(x)。 (d) (P(x)Q(x)) mod M(x)=(P(x)(Q(x)mod M(x))) mod M(x)。 (e)如果M(x)|N(x),则(P(x)mod N(x))mod M(x)=P(x)mod M(x)。
8.1 引言
4 4 1 0 1 1 1 0 0 x − x g ( x ) G2 = 1 1 1 0 0 1 0 = x 5 − x 5 g ( x) 0 1 1 1 0 0 1 x 6 − x 6 g ( x )
1 0 H2 = 0 0
8.2 循环码的移位寄存编码器
... g0 输入 g1 g2 ... gr-1 gr 输出
I(x)→I(x)g(x)。生成多项式为g(x)的循环码的编码器。r=n-k 如果只考虑域GF(2)，这些设备非常简单。即 触发器 = D触发器 0乘法器=不连接 加法器 = 异或门 0乘法器=直接连线
8.2 循环码的移位寄存编码器
8.1 引言
例8.1 如果域F是任意域，n是一个≥3的整数，那么域F上至少存在4个 长度为n的循环码，称之为4个最简单循环码： （a）一个(n,0)码，仅含全零码字，称为无信息码。 （b）一个(n,1)码，所有码形式都是(aa...a)形式，称为重复码。 （c）一个(n,n-1)码，称为单奇偶校验码。 （d）一个(n,n-1)码，包含所有长度为n的矢量，称为无奇偶码。
如果C是一个循环码，那么C中的一个最低次非零多项式 被称为它的一个生成多项式。通常用符号g(x)表示生成多项式。 例8.6 在例8.2中，码字C1所对应的多项式，是所有非零码字多 项式中次数最低的，因此g(x)=1+x2+x3+x4是该码的生成多项式。 而例8.3中的码，有两个最低次数的多项式，即 C1=2x2+1,2C1=x2+2。 下面的引理说明，他们是等价的。一次我们所指的循环码的 生成多项式，是一个首项系数为1的多项式。 g(x)= x2+2。
8.1 引言
例8.2 考虑GF(2)上的一个(7,3)线性码，其生成矩阵为：
1 0 1 1 1 0 0 G = 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1
这个码有8个码字。如果以C1，C2和C3表示G的行， 8个码 字构成循环码： C1→C2→C3→C1+C3→C1+C2+C3→C1+C2 →C2+C3→C1
g0 0 G1 = ... 0 g1 g0 ... ... g 2 ... g r g1 ... g r −1 ... ... ... ... 0 g 0 0 g ( x) g r 0 ... 0 xg ( x) = ... ... ... ... ... g1 ... ... g r x k −1 g ( x) 0 0 ...
8.1 引言
• 定理8.3
(a)如果C是F上的一个(n,k)循环码，则它的生成多项式是xn-1的 一个因式。而矢量C=(C0,C1,C2,…,Cn-1)属于该码，当且仅当它 所对应的生成函数C(x)=C0+C1x+C2x2+…+Cn-1xn-1能被g(x)整除。 如果用k表示C的维数，则k=n-deg g(x)。 (b)反之，如果g(x)是xn-1的一个因式，则存在一个以g(x)为生 成多项式，且k=n-deg(x)的(n,k)循环码，该码中所有矢量 =(C0,C1,C2,…,Cn-1)的生成函数都能够被g(x)整除。 •说明了，生成多项式g(x)的重要性。 （a）说明了码字与g(x)的关系，或者是作为一个码字的条件。 （b）说明了作为g(x)的条件。