高等数学 第六章定积分的应用习题课(课堂PPT)
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高等数学(同济第六版)课件 第六章 6.3定积分物理应用
第三节 定积分在物理学上的应用
一、变力沿直线所作的功
F a x
F
x+dx b
常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F · S 若力是变力： F F ( x )
dW F ( x )dx
W F ( x )dx
a
b
例1 一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处, 产生一个电场． 若将一个单位正电荷从r 轴上r = a 处 沿 r 轴移动到 r = b处，求场力 F 所作的功． 解 取r为积分变量，
20 x 20 x dW2 (10 0.05)dx (10 )dx 4 80
x
功元素
1 20 x dW [ x (10 )]dx 10 80
20
功
W
0
1 20 x [ x (10 )]dx 10 80
＝217.5(千克米) ＝2131.5(焦耳)
l l 解 取y为积分变量 y [ , ], 2 2 取任一小区间[ y , y+dy ] 小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为 r a y ,
2 2
m dx 引力 dF k 2 , 2 a y amdy dFx k 2 , 2 (a y )
3 2
l y 2 y dy
解 建立坐标系如图
面积元素 2(a x )dx ,
dP ( x 2a ) 2(a x )dx
2a
o
a
2a
7 3 P 2( x 2a )(a x )dx a . 0 3
a
x
三、 引力
质量分别为m1, m2相距为 r 的两个质点间的引力 大小：F k m1m2 , 其中k为引力系数， r2 引力的方向沿着两质点的连线方向． 例6 有一长度为l、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的 质点M， 计算该棒对质点 M 的引力．
一、变力沿直线所作的功
F a x
F
x+dx b
常力 F 沿直线对物体所作的功为：W=F · S 若力是变力： F F ( x )
dW F ( x )dx
W F ( x )dx
a
b
例1 一个带 +q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点处, 产生一个电场． 若将一个单位正电荷从r 轴上r = a 处 沿 r 轴移动到 r = b处，求场力 F 所作的功． 解 取r为积分变量，
20 x 20 x dW2 (10 0.05)dx (10 )dx 4 80
x
功元素
1 20 x dW [ x (10 )]dx 10 80
20
功
W
0
1 20 x [ x (10 )]dx 10 80
＝217.5(千克米) ＝2131.5(焦耳)
l l 解 取y为积分变量 y [ , ], 2 2 取任一小区间[ y , y+dy ] 小段的质量为 dy ,
小段与质点的距离为 r a y ,
2 2
m dx 引力 dF k 2 , 2 a y amdy dFx k 2 , 2 (a y )
3 2
l y 2 y dy
解 建立坐标系如图
面积元素 2(a x )dx ,
dP ( x 2a ) 2(a x )dx
2a
o
a
2a
7 3 P 2( x 2a )(a x )dx a . 0 3
a
x
三、 引力
质量分别为m1, m2相距为 r 的两个质点间的引力 大小：F k m1m2 , 其中k为引力系数， r2 引力的方向沿着两质点的连线方向． 例6 有一长度为l、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m 的 质点M， 计算该棒对质点 M 的引力．
6-1,6-2元素法,定积分在几何上的应用
2 3
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
问题：积分变量只能选 x吗？
y x2
x x+dx
9
解法2. 两曲线的交点 (0,0)，(1,1)
选 y为积分变量，y [0,1]
y dy
y
x y2 y x2
面积元素 dA ( y y2 )dy
A
1(
0
y
y2 )dy
2
3
3
y2
y3 1
3
0
1. 3
14
例4 求椭圆 x2 y2 1的面积.
a2 b2
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A 4
a
ydx 4
0
bsintd(a cost)
o
上曲线 下曲线
y g(x)
a xx xb x
6
(3)以 x ( y) 为曲边，以[c,d]为底的曲边梯形的面积A.
d
d
A c ( y)dy
xdy
c
(4)由曲线x ( y)，x ( y), c y d,
[ ( y) ( y)] 所围图形的面积.
其面积元素为：
dA [ ( y) ( y)]dy，则面积为
第六章 定积分的应用
6-1、定积分的元素法 回顾(求曲边梯形的面积)
设函数 y f (x)( f (x) 0) 在[a,b]上连续，求以 y f (x)为
曲边， 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A.
b
A a f ( x)dx
y
y f (x)
A
oa
高等数学上册第六章课件.ppt
(2 , 2)
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
4
AdA ( y 4 12 y 2 ) d y
2
18
(8 , 4)
x
第二节 定积分在几何中的应用
例
求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解
2π
dAA
ydx 0 a (1 cos t ) a (1 cos t ) d t
a
2
4a
X -型绕x轴旋转所围成的立体的体积：
y 2 ( x)
b
b
Vx π ( x)dx π ( x)dx
a
b
2
2
a
2
1
2
2
y 1 ( x)
π [2 ( x) 1 ( x)]dx
a
a
bx
Y-型绕y轴旋转所围成的立体的体积：
d
Vy π [ g g ]dy
2
5 3 1 π
32π a sin u du 32π a 5π 2 a3
0
6 4 2 2
3
2
6
3
第二节 定积分在几何中的应用
y
x x2 ( y )
2a
绕 y 轴旋转而成的体积为
π
π a 2 (t sin t ) 2 a sin t d t
2π
o
πa
πa
4 2 2
2
所围图形的
(利用对称性)
d
o
2a x
第二节 定积分在几何中的应用
心形线(外摆线的一种)
2
2
2
x y ax a x y
2
即 r a(1 cos )
2010(新) 第6章、定积分的应用 高等数学上课件
a2
2
(1c
ot)s2d ta2
2(12co tsco 2t)sd
t
0
0
a2 2 12co t s1co 2ts d t
0
2
a 22 d 2 ta 22 cto d a s 2 t2 1 d a t22 c2 o td st
0
0
02 20
2a2a23a2
二、极坐标情形
a
a
c
若b f(x)dx收敛 ,则:
b
f(x)dx
c
f(x)dx
b
f(x)dx.
a
a
a
c
第6章、定积分的应用
第一节、定积分的微元法
一般,如 地果某一实际所 问求 题U量 符 中合 的以下: 条件
( 1 )、分割:U在区[间 a,b]的分割子区间上具 加有 性. 可
( 2 )、取近:似 在子区间上任出 取部 一分 点量 求的. 近似
0
0
3 2[R (2x2)32]0 R
2 3
R3.
第五节、平均值
连续函f(数 x)在[a,b]上的平均:值 y为1
b
f(x)dx
ba a
例5、求 纯R电 电路 阻 ,交中 流 II电 msi nt在 一 个 周 期
的 平 均 . 功 率
解 : UI2RIm 2Rsin2t
U 2 1 0 2 U d2t
的底圆中心,并与底面交成角(如
图所示),计算这平面截圆柱体得 所
立体的体积.
解： A (x)1 2(R 2x2)ta;n
于是所求立体的体积为
V
RRA(x)dx1 2
R(R2x2)tan dx
R
定积分的应用93820-PPT文档资料59页
y1 f1(x)
所围成，则其面积公式为：
b
A f1 ( x ) f 2 ( x ) d x .
a
o
y2 f2(x)
a
b
x
3 、若平面区域是 y—区域：
由左曲线 x1 g1( y) 、
右曲线 x2 g2( y) 、下
y
直线 y a 、上直线y b b
所围成, 则其面积公式为：
2
或
22
2
A 2 0
2x2 x2
dx
1 2
1 x2
dx
2
练习写出下列给定曲线所围成的图形面来自的定积分表达式。（7）
y2 42x
2
法一：以 y 作积分变量
1
2
A202(2y42)(1y42)dy
4
2 3
法二：以 x 作积分变量
2
y2 4x1
f(x)=x2
y
f(x)=x2
y
y f(x)=(x-1)2-1
f(x)=1
0a
①
x -1 0 2
②
x a 0 b x -1 0 2 x
③
④
解：（3）在图③中，被积f (函 x) 数1在[a，b]
上连续，f且 (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分积的为面A badx
y
f(x)=x2
A 0 1 [x (1 ) 2 1 ] d x 0 2 [x (1 ) 2 1 ] dx
授新课：一、直角坐标系情况
1 、 若 f ( x )在 [a , b ]上 不 都 是 非 负 的 ,
则所围成图形（如右图）
b
y
高等数学上6.2定积分在几何学上的应用PPT课件
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
M i1M i
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y M i1
A M0 o
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出: y f (x) (a x b)
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2 1 y2 dx (P170)
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a b 1 f 2 (x) dx a
y
y f (x)
ds
o a xxdx b x
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(2) 曲线弧由参数方程给出:
x y
(t) (t)
( t )
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
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(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r r( ) ( ) 令 x r( )cos , y r( )sin , 则得
0
4
a
2
b
12
2
ab
当 a = b 时得圆面积公式
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结束
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
x y
(t) (t)
给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 t1 , t2
六章定积分应用ppt课件
WF(ba)
F
a
b
若F 为变力，力对
物体所作的功W=？
例1 带电量为q0与q1的正电荷分别放在空间两点， 求当q1沿a与b连线从a移到b时电场力所作的功。
解: 如图建立坐标系：在上述移动过程中，电场
对q1作用力是变化的。
(i)取r为积分变量，则 r[a,b] q0
q1
(ii)相应于[a,b]上任一小区间[r,r+dr] o a
br
的功元素
dW Fdrkq0q1dr
(iii)所求功
r2
W
b
k
a
qr0q21dr
kq0q1
(1) r
b a
kq0q1(1ab1)
例2 在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体。在等 温条件下，由于气体膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S） 从点a推移至b，计算在移动过程中气体压力所作的功。
解: 如图建立坐标系，活塞位置可用坐标x表示。
引力
问题的提出：从物理学知道，质量分别为m1、m2，相
距为r的两质点间的引力大小为
F Gmr1m2 2
其中G为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线。
如何计算一根
细棒对一个质点的 引力F=？
r
o
m1
m2 x
例6 设有一长度为l、线密度为的均匀细棒，在
其中垂线上距棒a单位处有一质量为m 的质点M。
试计算该棒对质点M的引力。
x
问题的解决方法： 定积分元素法
以液面为y轴，x轴铅直向下。
设平板铅直位于液体中形状如图。
o
距离液面x、高为dx、宽为f(x) 的
矩形平板所受压力的近似值，即压力 元素为
a x x+dx
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
高等数学-定积分及其应用ppt课件.ppt
一、引例
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
在变速直线运动中, 已知位置函数
与速度函数
之间有关系:
物体在时间间隔
内经过的路程为
这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .
5.3 定积分的计算
则积分上限函数
证:
则有
定理1. 若
5.3.1 牛顿 – 莱布尼兹公式
说明:
1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.
2) 变限积分求导:
5.6.1 广义积分
引例. 曲线
和直线
及 x 轴所围成的开口曲
边梯形的面积
可记作
其含义可理解为
1 连续函数在无限区间上的积分
定义1. 设
若
存在 ,
则称此极限为 f (x) 在区间 的广义积分,
记作
这时称广义积分
收敛 ;
如果上述极限不存在,
就称广义积分
发散 .
类似地 , 若
公式, 复化求积公式等,
并有现成的数学软件可供调用.
性质1 常数因子可提到积分号外 性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
5.2 定积分的简单性质
性质3 若在区间 [ a , b ]上 f (x)≡K，则 性质4 定积分的区间可加性 若 c 是 [ a , b ] 内的任一点，则
的面积 .
解:
例3. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,
速停车,
解: 设开始刹车时刻为
则此时刻汽车速度
刹车后汽车减速行驶 , 其速度为
当汽车停住时,
即
得
故在这段时间内汽车所走的距离为
刹车,
问从开始刹
到某处需要减
设汽车以等加速度
车到停车走了多少距离?
定积分的应用ppt课件共37页PPT
例 连接坐标原点O 及点 P(h, r )的直线、直线
x h及 x轴围成一个直角三角形．将它绕 x轴旋
转构成一个底半径为r 、高为h的圆锥体，计算
圆锥体的体积．
y
P
解 直线 OP方程为
y r x
o
h
r
h
x
取积分变量为x，x[0,h]
在 [ 0 ,h ] 上 任 取 小 区 间 [ x ,x d ] ， x
以 d为 底 x 的 窄 边 梯 形 绕 x 轴 旋 转 而 成 的 薄 片 的
体 积 为
y
dVhr x2dx o
P
r
h
x
圆 锥 体 的 体 积
V
0hhr x2dx
r 2 h2
x3 h 3 0
hr 3
2
.
三、定积分在医学中的应用举例
如果函数 f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，
y2 2x y x4
(2 , 2 )(,8 ,4 ).
选 y为积分变量 y[2,4]
yx4
y2 2x
dAy4y2dy
4
A dA18.
2
2
特别地,当曲边梯形的曲边由参数方程
x(t) y(t), (T1 t T2)
给出时,则此曲边梯形的面积为:
A T2(t)(t)dt T1
其中T1和T2是对应于曲线的起点及终点的 参数值.
x (y)、直线y c、y d及y轴所围
成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，
体积为
y
V d [(y)]2dy c
d
x(y)
cox源自例 4 证 明 底 半 径 为 r , 高 为 h 的 圆 锥 的 体 积 公 式 .
《高等数学》(同济六版)教学课件★第6章.定积分的应用
2) U 对区间 [a , b] 具有可加性 , 即可通过 “大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
表示为
定积分定义
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二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
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第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
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例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
y
1 a2 cos2 d
2
π 4
π
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
O
ax
a2sin 2 a2
π 4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
答案:
π
A 2 6 a2 sin2 d 0
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
表示为
定积分定义
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二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
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第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
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例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
y
1 a2 cos2 d
2
π 4
π
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
O
ax
a2sin 2 a2
π 4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
答案:
π
A 2 6 a2 sin2 d 0
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
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(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
2019年六章节定积分应用.ppt
axx f (t)dt ax f (t)dt ax f (t)dt xxx f (t)dt ax f (t)dt xxx f (t)dt
根据微分的定义，知
dA 是 x 的线性函数，且
A dA o(x)
这就是 f ( x)dx 这个近似值的特征。
i
n
为了简单起见，我们略去下标，那么，上式变为
y
A
y f (x)
A f ( x)dx
[x, x dx] , x
oa
x x dx b
x
A A f ( x)dx
A lim f ( x)dx
ab f ( x)dx
那么， f ( x)dx 表示什么呢？
A ab f ( x)dx ab dA
因此，要将曲边梯形的面积 A 表示为定积分， 关键是：求出 dA 的表达式.
一旦求出了 dA 的表达式，即： dA f ( x)dx
则有 A ab dA ab f ( x)dx
面积元素
这样，就将 曲边梯形的面积 A 表示为定积分了。
y y f (x)
A
oa
bx
A
n
lim
0 i 1
f (i )xi
ab
f
( x)dx
下面，为了方便应用，我们希望将上面的四步
进行简化。
y
y f (x)
Ai f (i )xio Nhomakorabeaa x1 x2 xi1 xi xn1 b
i [ xi1, xi ]
x
1 2
总结一下：
将曲边梯形的面积 A表示为定积分的步骤可简化为
下面两步：
y y f (x) A
根据微分的定义，知
dA 是 x 的线性函数，且
A dA o(x)
这就是 f ( x)dx 这个近似值的特征。
i
n
为了简单起见，我们略去下标，那么，上式变为
y
A
y f (x)
A f ( x)dx
[x, x dx] , x
oa
x x dx b
x
A A f ( x)dx
A lim f ( x)dx
ab f ( x)dx
那么， f ( x)dx 表示什么呢？
A ab f ( x)dx ab dA
因此，要将曲边梯形的面积 A 表示为定积分， 关键是：求出 dA 的表达式.
一旦求出了 dA 的表达式，即： dA f ( x)dx
则有 A ab dA ab f ( x)dx
面积元素
这样，就将 曲边梯形的面积 A 表示为定积分了。
y y f (x)
A
oa
bx
A
n
lim
0 i 1
f (i )xi
ab
f
( x)dx
下面，为了方便应用，我们希望将上面的四步
进行简化。
y
y f (x)
Ai f (i )xio Nhomakorabeaa x1 x2 xi1 xi xn1 b
i [ xi1, xi ]
x
1 2
总结一下：
将曲边梯形的面积 A表示为定积分的步骤可简化为
下面两步：
y y f (x) A
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分析：在直角坐标系下,由给定曲线所围成的几何图形
如图所示。 如果取 x为积分变量, 则x [0, 3]. x [0, 3],
设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A, 则面积元
素 dA就是在 [ x, x dx] 上以“以直代曲”所形成的矩形面积。
解：(1) 确定积分变量和积分区间：
0
解上面的积分得：
A 0 e xdx 1(e x ex)dx
0
lim
0 e xdx
(ex
e
1
x2)
e
a a
2 02
9
【例3】求由摆线 x a(t sint), y a(1 cos t) 的一拱
0 t 2 与 x轴所围成图形的面积.
分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，
③在[x, x dx]上求出微元解析式dU f ( x)dx
④把所求的量表示成定积分U
b
f ( x)dx
a
三、典型例题
1. 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的
体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元 素、体积元素和弧长元素。
4
【例1】求由 x y 0, y x2 2x 所围成图形的面积。
x [0, 2 a]
(2) 求微元：x [0, 2 a], [x, x dx][0, 2 a],
那么面积元素dA 就是区间[ x, x dx]所对应的 矩形的面积，即 dA ydx .
(3) 求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
2 a
2
A ydx a(1 cos t) a(1 cos t)dt
由
y
0
y0
e x0 x0 得M 的坐标为M(1, e)
e x0
.故得到切线方程为y ex
.
所以选取x 为积分变量, x (, 1].
（2）求微元：任取[x, x dx] (, 1] ,则当[x, x dx] [, 0]
时,那么面积元素dA1就是区间[x, x dx]所对应的矩形的面积，
8
即
dA1 (e x 0)dx e x dx
当[x, x dx] [0, 1] 时,那么面积元素 dA2 就是区间[x, x dx]
所当对应的矩形的面积，
即
dA2 (e x ex)dx
（3）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
A A1 A2
0 exdx
1(ex ex)dx
元素dA1就是区间[ , d ] 所对应的扇形面积,
dA1
1 2
2d
.
(3) 求定积分： 第一象限图形的面积表示为
A1
1 2d
02
2a2(2 cos )2d
0
a2 (4 4cos cos2 )d 9 a2 0
由于曲线 x y 0 和 y x 2 2x
的交点为(0, 0)和 (3, 3),
取 x为积分变量, 则 x [0, 3].
5
（2）求微元：任取 x [0, 3], [x, x dx] [0, 3].
如果将图形上方直线的纵坐标记为 y2 x ,
将图形下方抛物线的纵坐标记为 y1 x 2 2x,
如果取x为积分变量,则 x [0, 2 a] . x [0, 2 a],
设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A,
则面积元素 dA就是在[ x, x dx]上“以直代曲”
y
所形成的矩形面积。ຫໍສະໝຸດ 2a0x x dx
2 a x
10
解: (1) 确定积分变量和积分区间：选取 x 为积分变量，
那么，dA就是区间[ x, x dx]所对应的矩形的面积。因此
dA ( y2 y1 )dx [ x ( x 2 2x)]dx ( x 2 3x)dx
（3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
计算上面的积分得： A
3
(
x2
3 x )dx
9.
0
0
0
a2 2 (1 2cos t cos2 t)dt 3 a2 0
11
【例4】求曲线 2a(2 cos )(a 0) 围成的图形的面积. 分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图所示。
因为曲线关于 x 轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况.
取 为积分变量,则 [0, ]. [0, ], 设区间[ , d ]
“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须
是无穷小量之间的代替。将局部 [x, x dx] [a, b]上所对
应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成
定积分 b f ( x)dx ． a 3
2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系；
②确定积分变量和变化范围[a, b]；
2
6
【例2】* 求位于曲线 y e x 下方，该曲线过原点的切线
的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积。
分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图
所示。如果取 x 为积分变量，则 x (, 1], 设区间
[ x, x dx]所对应的曲边梯形
面积为 A, 则面积元素 dA
就是在[ x, x dx]上“以直代曲” 所形成的矩形面积。
所对应的曲边扇形的面积为 A,
则面积元素 dA1 就是用区间[ , d ]
所对应的扇形面积代替曲边扇形的面积
面积 A, 所求图形的面积 A 2 A1 .
12
解：(1) 确定积分变量和积分区间:取 为积分变量， [0, ]
(2) 求微元：任取 [0, ], [ , d ][0, ],则面积
7
考虑到当[ x, x dx][, 0]和 [ x, x dx][0, 1] 时[ x, x dx] 上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也
不同，因此微元 dA应该分别去求.
解：（1）确定积分变量和积分区间：设切点M 的坐标为
M ( x0 , y0 ), 则过原点且与y e x 相切的切线方程为：y e x0 x,
第六章 定积分应用习题课
1
一、定积分应用的类型
1．几何应用
平面图形的面积 特殊立体的体积 平面曲线弧长
旋转体的体积
平行截面面积为 已知立体的体积
变力作功
2．物理应用
水压力
引力
2
二、构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、
如图所示。 如果取 x为积分变量, 则x [0, 3]. x [0, 3],
设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A, 则面积元
素 dA就是在 [ x, x dx] 上以“以直代曲”所形成的矩形面积。
解：(1) 确定积分变量和积分区间：
0
解上面的积分得：
A 0 e xdx 1(e x ex)dx
0
lim
0 e xdx
(ex
e
1
x2)
e
a a
2 02
9
【例3】求由摆线 x a(t sint), y a(1 cos t) 的一拱
0 t 2 与 x轴所围成图形的面积.
分析：曲线的方程为参数方程，围成图形如图所示，
③在[x, x dx]上求出微元解析式dU f ( x)dx
④把所求的量表示成定积分U
b
f ( x)dx
a
三、典型例题
1. 几何应用 定积分的几何应用包括求平面图形的面积、特殊立体的
体积和平面曲线的弧长。解决这些问题的关键是确定面积元 素、体积元素和弧长元素。
4
【例1】求由 x y 0, y x2 2x 所围成图形的面积。
x [0, 2 a]
(2) 求微元：x [0, 2 a], [x, x dx][0, 2 a],
那么面积元素dA 就是区间[ x, x dx]所对应的 矩形的面积，即 dA ydx .
(3) 求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
2 a
2
A ydx a(1 cos t) a(1 cos t)dt
由
y
0
y0
e x0 x0 得M 的坐标为M(1, e)
e x0
.故得到切线方程为y ex
.
所以选取x 为积分变量, x (, 1].
（2）求微元：任取[x, x dx] (, 1] ,则当[x, x dx] [, 0]
时,那么面积元素dA1就是区间[x, x dx]所对应的矩形的面积，
8
即
dA1 (e x 0)dx e x dx
当[x, x dx] [0, 1] 时,那么面积元素 dA2 就是区间[x, x dx]
所当对应的矩形的面积，
即
dA2 (e x ex)dx
（3）求定积分：所求的几何图形的面积可表示为：
A A1 A2
0 exdx
1(ex ex)dx
元素dA1就是区间[ , d ] 所对应的扇形面积,
dA1
1 2
2d
.
(3) 求定积分： 第一象限图形的面积表示为
A1
1 2d
02
2a2(2 cos )2d
0
a2 (4 4cos cos2 )d 9 a2 0
由于曲线 x y 0 和 y x 2 2x
的交点为(0, 0)和 (3, 3),
取 x为积分变量, 则 x [0, 3].
5
（2）求微元：任取 x [0, 3], [x, x dx] [0, 3].
如果将图形上方直线的纵坐标记为 y2 x ,
将图形下方抛物线的纵坐标记为 y1 x 2 2x,
如果取x为积分变量,则 x [0, 2 a] . x [0, 2 a],
设区间[ x, x dx]所对应的曲边梯形面积为A,
则面积元素 dA就是在[ x, x dx]上“以直代曲”
y
所形成的矩形面积。ຫໍສະໝຸດ 2a0x x dx
2 a x
10
解: (1) 确定积分变量和积分区间：选取 x 为积分变量，
那么，dA就是区间[ x, x dx]所对应的矩形的面积。因此
dA ( y2 y1 )dx [ x ( x 2 2x)]dx ( x 2 3x)dx
（3） 求定积分：所求的几何图形的面积表示为
A 3 ( x2 3x)dx 0
计算上面的积分得： A
3
(
x2
3 x )dx
9.
0
0
0
a2 2 (1 2cos t cos2 t)dt 3 a2 0
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【例4】求曲线 2a(2 cos )(a 0) 围成的图形的面积. 分析：在极坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图所示。
因为曲线关于 x 轴对称，所以只须考虑第一象限中的情况.
取 为积分变量,则 [0, ]. [0, ], 设区间[ , d ]
“以均匀变化代不均匀变化”的方法，其“代替”的原则必须
是无穷小量之间的代替。将局部 [x, x dx] [a, b]上所对
应的这些微元无限积累，通过取极限，把所求的量表示成
定积分 b f ( x)dx ． a 3
2. 在求解定积分应用问题时，主要有四个步骤： ①选取适当的坐标系；
②确定积分变量和变化范围[a, b]；
2
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【例2】* 求位于曲线 y e x 下方，该曲线过原点的切线
的左方以及 x 轴上方之间的图形的面积。
分析：在直角坐标系下，由给定曲线所围成的面积如图
所示。如果取 x 为积分变量，则 x (, 1], 设区间
[ x, x dx]所对应的曲边梯形
面积为 A, 则面积元素 dA
就是在[ x, x dx]上“以直代曲” 所形成的矩形面积。
所对应的曲边扇形的面积为 A,
则面积元素 dA1 就是用区间[ , d ]
所对应的扇形面积代替曲边扇形的面积
面积 A, 所求图形的面积 A 2 A1 .
12
解：(1) 确定积分变量和积分区间:取 为积分变量， [0, ]
(2) 求微元：任取 [0, ], [ , d ][0, ],则面积
7
考虑到当[ x, x dx][, 0]和 [ x, x dx][0, 1] 时[ x, x dx] 上所对应曲边梯形不同，所以，相对应矩形面积的表达式也
不同，因此微元 dA应该分别去求.
解：（1）确定积分变量和积分区间：设切点M 的坐标为
M ( x0 , y0 ), 则过原点且与y e x 相切的切线方程为：y e x0 x,
第六章 定积分应用习题课
1
一、定积分应用的类型
1．几何应用
平面图形的面积 特殊立体的体积 平面曲线弧长
旋转体的体积
平行截面面积为 已知立体的体积
变力作功
2．物理应用
水压力
引力
2
二、构造微元的基本思想及解题步骤
1. 构造微元的基本思想 无论是几何应用还是物理应用通常采用元素法。 元素法的实质是局部上“以直代曲”、“以不变代变”、