微积分发展简史(二)
微积分发展简史
微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。
大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。
这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。
第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。
微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。
开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。
1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。
这个比较接近于微积分基本定理。
牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。
可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。
微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。
牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。
微积分发展简史
微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。
大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。
这四个问题是：1. 运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2. 曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3. 有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4. 当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。
第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。
微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。
开普勒（Kepler ）、伽利略（Galileo ）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes ）、卡瓦列里（Cavalieri ）等学者都做出了杰出贡献。
1669,巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。
这个比较接近于微积分基本定理。
牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。
可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）至V质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。
微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。
微积分的历程
微积分的历程
微积分是数学中一个重要的分支，它的发展历程可以追溯到古希腊时期。
古希腊数学家们就曾经探索过函数的概念，他们发现函数的变化可以用数学表达式来描述，并且可以用来解决实际问题。
17世纪，英国数学家斯特劳斯·斯特劳斯发现了微积分的基本概念，他提出了微积分的基本概念，即“微分”和“积分”，并且提出了微积分的基本定义。
18世纪，德国数学家勃兰特发展了微积分的基本概念，他提出了微积分的基本定义，并且提出了微积分的基本定理，如勃兰特定理、勃兰特-拉格朗日定理等。
19世纪，微积分发展迅速，德国数学家卡尔·马克思发展了微积分的基本概念，他提出了微积分的基本定义，并且提出了微积分的基本定理，如马克思定理、马克思-拉格朗日定理等。
20世纪以来，微积分发展迅速，微积分的基本概念和定理得到了进一步的发展，如拉格朗日定理、拉普拉斯定理、拉普拉斯变换等。
微积分的发展历程可以追溯到古希腊时期，它的发展历程经历了17世纪、18世纪、19世纪和20世纪，它的基本概念和定理也得到了进一步的发展，为数学的发展做出了重要贡献。
论述微积分发展简史
论述微积分发展简史1一、微积分的萌芽微积分的思想萌芽可以追溯到古代，早在希腊时期，人类已经开始讨论无穷、极限以及无穷分割等概念。
这些都是微积分的中心思想；虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞，有时现代人甚至觉得这些讨论的论証和结论都很荒谬，但无可否认，这些讨论是人类发展微积分的第一步。
公元前五世纪，希腊的德谟克利特提出原子论：他认為宇宙万物是由极细的原子构成。
在中国，《庄子．天下篇》中所言的一尺之捶，日取其半，万世不竭，亦指零是无穷小量。
这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。
二、微积分的创立微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微积分的互逆关系。
最后一个阶段是由牛顿、莱布尼茨完成的。
前两个阶段的工作，欧洲的大批数学家一直追溯到希腊的阿基米德都做出了各自的贡献。
中世纪时期，欧洲科学发展停滞不前，人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有甚麼突破。
中世纪以后，欧洲数学和科学急速发展，微积分的观念也於此时趋於成熟。
在积分方面，一六一五年，开普勒把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件，从而求出其体积。
而伽利略的学生卡瓦列里即认为一条线由无穷多个点构成；一个面由无穷多条线构成；一个立体由无穷多个面构成。
这些想法都是积分法的前驱。
在微分方面，十七世纪人类也有很大的突破。
费马在一封给罗贝瓦的信中，提及计算函数的极大值和极小值的步骤，而这实际上已相当於现代微分学中所用，设函数导数為零，然后求出函数极点的方法。
另外，巴罗亦已经懂得透过「微分三角形」（相当於以dx、dy、ds為边的三角形）求出切线的方程，这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的。
由此可见，人类在十七世纪已经掌握了微分的要领。
英国著名数学家、物理学家牛顿从研究物理问题出发创立了微积分(1665—1666)，牛顿称之为“流数术理论”．牛顿的“流数术”中，有三个重要的概念：流动量、流动率、瞬．牛顿的流数术以力学中的点的连续运动为原型，把随时问连续变化的量而产生的一个连续变化的变量，即以时间为独立变数的函数(生长中的量)称为流动量，流动率是流动量的变化速度，即变化率(生长率)，称为导数牛顿专论微积分的著作有两部，第一部正式的、系统的论述流数术的重要著作是《流数术和无穷级数》，于1671年写成，在1736年才正式出版．另一部著作是《曲线求积论》，于1676—1691年写成，在1704年出版．德国数学家莱布尼兹从儿何角度出发独立地创立了微积分(1675—1676)．莱布尼兹当时把微积分称为“无穷小算法”．他的微积分符号的使用最初体现在1675年的手稿中．1684年他在《教师学报》杂志上发表了微分法的论文《一种求极大值、极小值和切线的新方法，它也适用于无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》．这是历史上最早发表的关于微积分的文章．1686年他在该杂志上又发表了最早的积分法的论文《潜在的几何与不可分量和无限的分析》。
微积分发展简史范文
微积分发展简史范文微积分是数学的一个分支，用于研究变化与积分问题。
微积分的发展历史可以追溯到古代希腊和印度，但真正的微积分体系是在17世纪由牛顿和莱布尼茨等数学家建立起来的。
以下将介绍微积分的发展简史。
在古代希腊，数学家们已经研究了一些与微积分相关的概念，例如阿基米德的测量问题和亚历山大的一些近似方法。
然而，直到公元前3世纪的希帕索斯才开始研究曲线的面积和体积问题。
然而，微积分的真正发展是在17世纪。
1642年，法国数学家费马提出了求极值问题的方法，为微积分的发展奠定了基础。
在此之后，其他数学家纷纷加入到微积分的研究中来。
牛顿和莱布尼茨是微积分的两位重要创始人。
1665年，牛顿发明了微积分的基本原理，并在《自然哲学的数学原理》中介绍了微积分的概念和方法。
与此同时，莱布尼茨也在独立地研究微积分，并提出了微积分的符号表示法。
牛顿和莱布尼茨的发现被认为是微积分的巅峰之作。
微积分的发展在18世纪得到了进一步的推动。
欧拉是18世纪微积分发展的中坚人物之一，他提出了欧拉计算法则和欧拉公式，这些在微积分和复变函数等数学领域都有重要应用。
19世纪是微积分发展的丰富时期。
拉格朗日和拉普拉斯等数学家对微积分的推广和发展做出了重要贡献。
拉格朗日提出了拉格朗日乘子法，并建立了微积分的拉格朗日法则。
拉普拉斯则将微积分应用于概率论，并提出了拉普拉斯变换的概念。
20世纪是微积分发展的一个新阶段，微积分开始向更高维度的空间扩展。
韦尔斯特拉斯提出了极限的严格定义，使微积分的基础更加牢固。
在此期间，泛函分析和变分法等新的数学工具也被引入微积分中。
近年来，微积分在科学和工程领域的应用越来越广泛。
微积分被应用于物理学、经济学、生物学、计算机科学等领域的模型建立和问题求解中。
微积分的发展也不断推动着数学理论的深入研究和应用创新。
总结起来，微积分的发展可以追溯到古代希腊和印度，但真正的微积分体系是在17世纪由牛顿和莱布尼茨等数学家建立起来的。
微积分发展简史课件
实的理论基础。
柯西序列
02 通过柯西序列，解决了实数系连续性的问题，并建立
了极限理论。
布尔查诺-维尔斯特拉斯定理
03
证明了实数系连续性的唯一性，为实数理论的发展提
供了重要的支撑。
泛函分析的兴起
函数空间
研究函数集合的性质和结构，为泛函分析提供了基础 。
傅里叶分析
研究函数的傅里叶级数展开和性质，为泛函分析提供 了重要的工具。
极限理论是微积分的基础，19 世纪之前，数学家们一直在探索 如何用极限的概念来描述函数的
变化趋势。
极限理论的建立经历了漫长的发 展过程，最终由德国数学家魏尔 斯特拉斯、戴德金和康托尔等人
完成。
极限理论的严格定义和证明，为 微积分的进一步发展提供了坚实
的数学基础。
导数与积分的进一步发展
导数和积分是微积分的两个 核心概念，19世纪数学家们 对这两个概念进行了更深入
例如，常微分方程理论的建立，为解决各种 实际问题提供了重要的数学模型。
同时，偏微分方程的发展也取得了 重大进展，例如热传导方程、波动 方程等，这些方程在物理、工程、 化学等领域都有广泛的应用。
03
20世纪微积分的新发展
实数理论的发展
魏尔斯特拉斯的ε-δ定义
01
对实数进行严格的数学定义，为实数连续性提供了坚
描述物体运动规律
微积分可以用来描述物体的运动规律，例如物体的速度、加速度 、位移等。
电磁学研究
在电磁学中，微积分被用来研究电磁场的分布和变化规律。
量子力学
在量子力学中，微积分被用来描述微观粒子的运动规律和分布情 况。
在经济中的应用
01
供需关系
微积分可以用来描述商品的供需 关系，例如价格与销售量的关系 。
高等数学微积分学的发展历史
高等数学微积分学的发展历史微积分学可追溯至古希腊时期，在公元前600年，古希腊数学家、哲学家、物理学家和医学家几何学家们探讨和尝试解决关于微积分学的问题，比如计算中一小段的长度或者面积。
其中，几何学家路易斯·厄里歇斯（Eudoxus）提出了称为“近似法”的概念，这个理念是用一系列更小的元素来逼近一个更大或更复杂的东西，也是高等数学微积分学最基本的概念之一。
在公元前4世纪，古希腊数学家阿基米德（Archimedes）发现可以用有限多边形代表圆曲线来计算圆曲线上积分内容，这是微积分学最基本的方法之一。
他还发现把扇形分为等腰三角形，就可以计算出球的体积。
14世纪的数学家杨浦·马立夫（Johannes Müller）提出了新的微积分概念。
他指出，可以用无限多条折线将曲线分割，将曲线上的不同小块进行求和，从而计算出被积分内容。
15世纪欧洲的数学发展变得日益活跃，16世纪的英国数学家约翰·斯图加特（John Stewart）对微积分学进行了模拟和证明，并引入积分的几何性质。
17世纪的欧洲数学发展进入了新时代，著名的英国科学家、数学家贝尔（Sir Isaac Newton）和德国数学家黎曼（Gottfried Wilhelm Leibniz）分别提出了自己的微积分概念，他们发展出直接利用自然微积分来解决复杂问题的方法，包括定积分、曲线积分和曲面积分等等。
由此，18世纪整个欧洲微积分学开始发展。
法国数学家拉丁（Lazare Carnot）和维特瓦森（Joseph Valon）探索了拉格朗日积分，而英国的拉佛顿（John Leford）也发展出一般拉格朗日积分；法国数学家李友福（Joseph Fourier）探索了傅里叶级数，这些都是20世纪以后微积分学发展的基础。
到20世纪中期，高等数学微积分学得到了进一步的发展，包括量子物理学、连续性集合论、实变函数理论、随机过程理论、数值微积分和广义函数微积分等等。
微积分发展简史
微积散发展简史一、微积分的创办微积分中的极限、穷竭思想能够追忆到两千五百年前的古希腊文明，有名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长期间的酝酿，到了17 世纪，在工业革命的刺激下，终于经过牛顿（Newton）和莱布尼兹（ Leibniz ）的开创崭露头角了。
大概从 15 世纪初开始的文艺中兴期间起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了 17 世纪开始进入综合打破的阶段，而全部这些所面对的数学困难，最后汇总成四个中心问题，并最后致使微积分的产生。
这四个问题是：1.运动中速度、加快度与距离之间的虎丘问题，特别是非匀速运动，使刹时变化率的研究成为必需；2.曲线求切线的问题，比如要确立透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确立炮弹最大射程，到求行星轨道的近期点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.自然还有千百年来人们向来在研究怎样计算长度、面积、体积与重心等问题。
第一、二、三问题致使微分的观点，第四个问题致使积分的观点。
微分与积分在17 世纪从前仍是比较模糊的观点，并且是独立发展的。
开普勒（ Kepler ）、伽利略（ Galileo ）、费马（ Fermat ）、笛卡尔（Descartes ）、卡瓦列里（ Cavalieri ）等学者都做出了优秀贡献。
1669，巴罗（ Barrow，牛顿的老师）发布《几何讲义》，初次以几何的相貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。
这个比较靠近于微积分基本定理。
牛顿和莱布尼兹生长在微积分出生前的瓜熟蒂落的年月，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能达成微积分的创办大业，正事因为它们占到了长辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真谛。
能够这样说：微积分的产生是量变（前驱们的大批工作的累积）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽期间）下的必定产物。
微积分基本定理的成立标记着微积分的诞生。
微积分简史
微积分简史微积分是数学中的一门重要分支，它研究的是变化率、面积和体积等概念的数学描述。
微积分的发展经历了多个阶段，包括古希腊的贡献、文艺复兴时期的发展、牛顿和莱布尼茨的贡献、欧拉和拉格朗日的贡献、柯西和魏尔斯特拉斯的贡献，以及现代微积分的应用和计算机与微积分的交叉学科发展。
1.古希腊的贡献古希腊时期，数学家们开始研究变量和变化率的概念。
毕达哥拉斯学派是最早研究这些概念的学派之一，他们提出了“万物皆数”的观点，并研究了整数之间的关系。
亚里士多德等哲学家也研究了无穷小和量的变化，虽然这些研究并不涉及现代微积分的概念，但为微积分的发展奠定了基础。
2.文艺复兴时期的发展在文艺复兴时期，数学得到了快速发展，微积分也开始萌芽。
艺术家和科学家们开始研究透视和线性比例，这些问题与微积分中的一些概念相关。
同时，哲学和科技进步也对微积分的发展产生了影响，例如笛卡尔的解析几何和莱布尼茨的机械学。
3.牛顿和莱布尼茨的贡献微积分的发展在牛顿和莱布尼茨的贡献下取得了突破。
牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理》中提出了微积分的基本概念，例如导数和积分。
莱布尼茨也独立发现了这些概念，并发展出了微积分的基本算法。
这两位学者的贡献为微积分的发展奠定了基础。
4.欧拉和拉格朗日的贡献欧拉和拉格朗日对微积分的发展做出了重要贡献。
欧拉在研究无穷级数和函数时，提出了许多重要的概念和定理，例如求和公式和欧拉恒等式。
拉格朗日则发展了分析力学和复分析等理论，为微积分的应用提供了更广阔的领域。
5.柯西和魏尔斯特拉斯的贡献柯西和魏尔斯特拉斯在微积分领域做出了卓越的贡献。
柯西给出了极限、导数和积分的严格定义，为后来的数学分析提供了基础。
魏尔斯特拉斯则对实数理论做出了重要贡献，并提出了魏尔斯特拉斯定理。
他们的成果对微积分的基础理论产生了深远的影响。
6.现代微积分的应用现代微积分的应用广泛，包括物理学、化学、生物学、工程学等多个领域。
例如，在物理学中，微积分被用来描述物体的运动规律和作用力；在化学中，微积分可以描述化学反应的平衡条件和反应速率；在生物学中，微积分可以用来描述细胞生长和病毒传播等过程。
第一章 微积分的发展历史简介
第一章 微积分的发展历史简介1。
1微积分的概念 微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
基本定义 设函数0)(=x f 在],[b a 上有解，在],[b a 中任意插入若干个分点 n n x x x x x a <<<<<=-1210 把区间],[b a 分成n 个小区间].,[],,[],,[12110n n x x x x x x - 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点)(1i i x i x i <<-ζζ，作函数值)(i f ζ与小区间长度的乘积x i f ∆)(ζ并作出和如果不论对],[b a 怎样分法,也不论在小区间上的点i ζ怎样取法,只要当区间的长度趋于零时,和S 总趋于确定的极限I ，这时我们称这个极限I 为函数)(x f 在区间[a,b ］上的定积分记作K 。
微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。
微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等.积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。
一元微分定义设函数)(x f y =）在某区间内有定义，0x 及x x ∆+0在此区间内.如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆可表示为 0ox x A y +∆=∆（其中A 是不依赖于x ∆的常数），而x o ∆是比x ∆高阶的无穷小，那么称函数)(x f 在点0x 是可微的,且x A ∆称作函数在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分，记作dy ，即x A dy ∆=通常把自变量x 的增量x ∆称为自变量的微分，记作dx ,即x dx ∆=。
于是函数)(x f y =的微分又可记作dx x f dy )('=。
微积分的发展史简述
微积分的发展史简述作者：周锐来源：《当代人（下半月）》2018年第04期摘要：微积分是数学的一个分支，在数学史上占有重要地位。
本文根据时间进程阐述了微积分的发展史及其简要应用。
关键词：微积分;发展史;牛顿;莱布尼兹微积分是数学中的基础学科，也是近现代数学中的重要基石和起点。
它在物理、化学、生物等自然学科中被普遍利用，在社会、经济、人文等范畴也是重要的研究工具之一。
本文将沿着微积分学的发展时间历程，简要论述微积分的发展史。
一、微积分的萌芽之初微积分学发展得最早的是积分学的思想，可以追溯到古希腊时期[1]。
其中做出重要贡献的有古希腊数学家芝诺提出的四大悖论。
古希腊哲学家德谟克利特斯的原子论则充分体现了近代积分的思想，他认为任意事物都是由原子构成。
古希腊诡辩家安提丰提出的“穷竭法”是极限理论最早的表现形式。
古希腊数学家欧多克斯进一步研究原子论和穷竭法，使这两个理论得以稳健前进。
古希腊著名数学家阿基米德所提出的“平衡法”实质上是一种较原始的“积分法”。
他在著作《抛物线求积法》一书中运用穷竭法求出了抛物线构成的弓形的面积。
二、微积分创立之前的酝酿由于种种影响，微积分的概念在15世纪之前一直处于萌芽阶段[2]。
推动欧洲崛起的新航路开辟和文艺复兴是15世纪的大事件。
从14世纪到16世纪的文艺复兴在意大利各城市兴起，之后推广到西欧各国，带来了一场关于科学与艺术的革命。
随着文艺复兴的兴起，生产的发展带动了科学的发展。
与此同时希腊的著作大量进入欧洲，随着活板印刷的发明，知识的传播更加迅速，自然学科开始活跃，自然学科中的数学得以有进一步发展的机会。
在时代背景下，数学成为唯一被公认的真理得以推广。
天文学、光学、力学等自然学科的发展被生产力的发展所推动，为数学带来了大量的研究问题[3]，许多学者开始考虑研究微积分的思想[4]。
开普勒是德国杰出的天文学家、物理学家、数学家和哲学家。
他在《测量酒桶的新立体几何》一书中主要对如何求解旋转体体积的方法进行研究。
微积分发展史课件
文艺复兴时期的数学与微积分思想的突破
文艺复兴时期，欧洲的数学家们开始系统地研究微积分，如意大利数学家卡瓦列里等人对极限、连续 等概念进行了系统化的研究。
英国物理学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别独立地发展出了微积分的基本理论，从而宣告了微积分 的诞生。
02
微积分的创立
牛顿的贡献
牛顿对微积分的贡献主要体现在他的 著作《自然哲学的数学原理》中。他 提出了流数术，也就是微积分的基本 理论和方法。
05
微积分的未来发展
微积分的理论发展
01
数学建模与仿真
微积分理论在未来的发展将更加深入 地与数学建模和仿真技术相结合，研 究更加复杂、精细的数学模型，提高 微积分的应用范围和效果。
02
机器学习和大数据分 析
随着机器学习和大数据分析技术的不 断发展，微积分理论将与这些技术相 结合，实现更高效、准确的微积分计 算和应用。
高等教育普及
微积分作为一门重要的数学课程将在高等教 育中得到更加广泛的普及和教育，提高大学 生的数学素养和思维能力。
中小学教育改革
微积分教育将进一步渗透到中小学教育中， 促进中小学教育改革和数学教育的创新发展 。
06
参考文献
参考文献
01
02
03
1. 罗伯特·卡尼格尔. 《微积分的 历程》. 人民邮电出版社.
2. 李大潜. 《微积分发展史》. 北 京高等教育出版社.
3. 张顺燕. 《微积分的思想和方 法》. 北京大学出版社.
THANKS
感谢观看
投资组合优化
微积分被广泛应用于投资组 合优化中，通过求解最优化 问题来获得最大收益或最小
化风险。
期权定价
微积分在期权定价模型中也 有着重要的应用，例如Black-
数学文化—— 微积分发展简史
失矣。”
一、西方的微积分思想萌芽（极限思想）
• 欧多克索斯的穷竭法（古希腊时期） • 一个量如果减去大于其一半的量，再从余下的
量中减去大于该余量一半的量，这样一直下去， 总可使某一余下的量小于已知的任何量。
第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、 行星矢径扫过的面积以及物体重心与引 力等，使面积、体积、曲线长、重心和 引力等微积分基本问题的计算被重新研 究。（积分）
令人惊讶的是，不同领域的问题却归结为相同 模式的数学问题：
求因变量在某一时刻对自变量的变化率 求因变量在自变量一定变化过程中的积累量。
前者导致了微分的概念；后者导致了积分的概念。 更令人惊讶的是，这二者之间竟然有着密切的联系：它 们是互逆的两种运算，这个性质是由微积分学基本定理 所体现的。从而微分学和积分学形成了一门统一的学科： 微积分学。
f(a+e)～f(a)
这里所提到的“e”就是后来微积分学当中
的“ ”x
5、巴罗的“微分三角形”
巴罗是牛顿的老师。 是英国剑桥大学第一任“ 卢卡斯数学教授”，也是 英国皇家学会的首批会员 。当巴罗发现和认识到牛 顿的杰出才能时，便于 1669年辞去了卢卡斯教授 的职位，举荐自己的学生 ——当时才27岁的牛顿来 担任。巴罗让贤，已成为 科学史上的佳话。
• 在求解圆面积时，他提出用圆内接正多边形的面 积穷竭圆面积，从而求出圆面积。之后，阿基米 德借助穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体 积计算问题。
目录 微积分的萌芽 微积分的酝酿 微积分的创立 微积分的发展 牛顿和莱布尼茨之争
微积分理论发展的历史沿革
微积分理论发展的历史沿革
微积分的发展始于古希腊时代，早在公元前600-300年，古希腊数
学家几何学家艾萨克·欧几里得发明了曲线，把几何学和数学联系在一起，开创了微积分的几何学基础。
欧几里得以著名的《几何原本》首次提出运动曲线及其边对应的形状
面积计算，从几何学角度探讨了计算曲线面积的方法。
与此同时，他
也隐��地引入了积分概念，奠定了数学界的微积分理论发展的基础。
在十七世纪，英国数学家斯托克斯将欧几里得概念发展成功地应用与
一元函数上，并首次证明了此方法的可行性和有效性，此为推动了微
积分理论发展的重要转折点。
在十八世纪，微积分理论再次得到发展，德国数学家勃兰特提出了一
个叫做微积分的理论方法，在他的协助下，一元函数微积分理论逐渐
完善，多元函数微积分理论也得到发展。
在十九世纪，几个主要数学家发展出了外积分和内积分等术语，使微
积分理论更加完整和成熟。
此外，数学家们还发现了微分方程的概念，大大提高了微积分的应用，可以研究的问题更多了。
二十世纪，有着两个著名的微积分运动发起人：瑞士数学家冯·诺伊曼
和德国数学家尤金·布洛佛，使微积分理论提高到一个新层次，奠定了
现代微积分权威的地位。
（以上叙述并不完全准确，这仅仅是大致的历史沿革）。
微积分发展简史(借鉴类别)
微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。
大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。
这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。
第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。
微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。
开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。
1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。
这个比较接近于微积分基本定理。
牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。
可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。
微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。
牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。
微积分发展简史
微积分发展简史微积分发展简史微积分是17世纪发现的最具威力的数学工具，是人类思维最珍贵的成果. 正如美国当代数学家柯朗所说：“这是一门撼人心灵的智力奋斗结晶，这种奋斗已经历了两千五百年之久，它深深地扎根于人类活动的许多领域，并且只要人们认识自己和认识自然的努力一日不止，这种奋斗就将继续不已.” 恩格斯也对微积分的发现予以高度评价，认为这是“人类精神的最高胜利.”一、微积分思想萌芽微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代. 在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏有朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子. 在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之锤，日取其半，万事不竭”，是我国较早出现的极限思想. 但把极限思想运用于实践解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽. 他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元. 刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次边数加倍，则正多边形面积愈来愈接近圆面积. 正如他说的：“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体无所失矣.”按照这种思想，计算到圆内接正192边形面积，则得圆周率的近似值为3.14. 大约两个世纪后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率介于“与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一. 其次明确提出了下面的原理：“幂势既同，则积不容异.”我们称之为“祖氏原理”，在西方称为“卡瓦利原理”，应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题.欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题. 较为重要的当数安提芬的“穷竭法”. 他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积. 但他的方法却没有被数学家接受. 后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯那里得到补充和完善. 之后，阿基米德借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题. 他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法. 他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较. 但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的. 平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形.与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了. 刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题. 阿基米德、阿波罗尼奥斯等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点. 古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段（即有限差分）来处理，从而回避了连续变化率.二、微积分的起源与孕育微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后. 1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒. 一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提供了大量的素材. 这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段.微积分的创立，首先是为了处理17世纪的一系列主要的科学问题. 有四种主要类型的科学问题：（1）已知物体移动的距离和时间的函数式，求物体在任意时刻的速度和加速度，使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；（2）望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；（3）确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极值问题也亟待解决；（4）问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究.在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具.下面我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作.德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法. 他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积之和.意大利数学家卡瓦利里在他的著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》中系统地发展了不可分量法. 他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量. 他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦利里原理，即我国的祖氏原理）：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积. 利用这个原理解决了开普勒的旋转体的体积问题.英国的数学家巴罗在1669年出版的著作《几何讲义》中，利用微分三角形求出了曲线的斜率. 他的方法实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无穷小来取极限. 他是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员. 当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生——当时才27岁的牛顿来担任，巴罗让贤已成为科学史上的佳话.笛卡尔和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋. 笛卡尔在《几何学》中提出的求切线的“圆法”以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法. 代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡尔的圆法为起点而踏上微积分的研究道路.沃利斯是在牛顿和莱布尼兹之前，将分析方法引入微积分贡献突出的数学家. 他在著作《无穷算术》中，利用算术不可分量法获得了一系列重要结果. 其中就有将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂情形，以及计算四分之一圆的面积等.17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生. 前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性. 虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视. 因此，在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务.三、微积分的创立1．牛顿的“流数术”牛顿1642年生于英格兰乌尔索普村的一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书. 17岁时，牛顿被他的母亲从中学召回务农，后来牛顿的母亲在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝说下，又允许牛顿重返学校. 史托克斯的劝说词中的一句话：“在繁杂的务农中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失”，可以说这是科学史上最幸运的预言. 1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗. 对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡尔的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路.1665年，牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡. 在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完成的.牛顿于1664年开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性的进展. 1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文——《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献. 在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）：从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”：将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”. 该定理也称为牛顿——莱布尼兹定理，牛顿和莱布尼兹各自独立地发现了这一定理. 它是微积分中最重要的定理，建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算.这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来. 正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分.《流数简论》标志着微积分的诞生，但它有许多不成熟的地方．1667年，牛顿回到剑桥，并未发表他的《流数简论》. 在以后20余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后完成三篇微积分论文：《运用无穷多项方程的分析学》，《流数法与无穷级数》，《曲线求积术》，它们反映了牛顿微积分学说的发展过程. 在《运用无穷多项方程的分析学》中牛顿回避了《流数简论》中的运动学背景，将变量的无穷小增量叫做该变量的“瞬”，看成是静止的无限小量，有时直接令其为零，带有浓厚的不可分量色彩. 在论文《流数法与无穷级数》中，牛顿又恢复了运动学观点. 他把变量叫做“流”，变量的变化率叫做“流数”，变量的瞬是随时间的瞬而连续变化的，他更清楚地表述了微积分的基本问题：“已知两个流之间的关系，求他们流数之间的关系”；以及反过来“已知表示量的流数间的关系方程，求流之间的关系”. 在《流数法与无穷级数》和《运用无穷多项方程的分析学》中，牛顿所使用的方法并无本质的区别，都是以无限小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：《流数法与无穷级数》以动力学连续变化的观点代替了《运用无穷多项方程的分析学》的静力学不可分量法.牛顿最成熟的微积分著述《曲线求积术》，对于微积分的基础在观念上发生了新的变革，它提出了“首末比方法”. 牛顿批评自己过去随意扔掉无限小瞬的做法，他说“在数学中，最微小的误差也不能忽略…在这里，我认为数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”. 在此基础上牛顿定义了流数概念，继而认为：“流数之比非常接近于尽可能小的等时间间隔内产生的流量的增量比，确切地说，它们构成增量的最初比”，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比. 可以看出，牛顿的所谓“首末比方法”相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，它成为极限方法的先导.牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度. 1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作. 而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表.2.莱布尼兹的微积分工作莱布尼兹出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育. 1672年至1676年，莱布尼兹作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作. 这四年成为他科学生涯最宝贵的时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础. 继而，这位博学多才的时代巨人，由于官场的失意、与牛顿关于微积分优先权争论的困扰以及多种病痛的折磨，晚年生活颇为凄凉，据说莱布尼兹的葬礼只有他忠实的秘书参加.在巴黎期间，莱布尼兹结识了荷兰数学家、物理学家惠更斯，在惠更斯的影响下，开始更深入地研究数学，研究笛卡尔和帕斯卡等人的著作. 与牛顿的切入点不同，莱布尼兹创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究. 特征三角形在帕斯卡和巴罗等人的著作中都曾出现过. 1684年，莱布尼兹整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》，它包含了微分记号以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用. 1686年，莱布尼兹又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号，并给出了摆线方程.牛顿和莱布尼兹都是他们时代的巨人，两位学者也从未怀疑过对方的科学才能. 就微积分的创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的. 然而一个局外人的一本小册子却引起了“科学史上最不幸的一章”：微积分发明优先权的争论. 瑞士数学家德丢勒在这本小册子中认为，莱布尼兹的微积分工作从牛顿那里有所借鉴，进一步莱布尼兹又被英国数学家指责为剽窃者. 这样就造成了支持莱布尼兹的欧陆数学家和支持牛顿的英国数学家两派的不和，甚至互相尖锐地攻击对方. 这件事的结果，使得两派数学家在数学的发展上分道扬镳，停止了思想交换.在牛顿和莱布尼兹二人死后很久，事情终于得到澄清，调查证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼兹；就发表时间而言，莱布尼兹先于牛顿. 虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的发展，但这场发明优先权的争论却极大地影响了英国数学的发展，由于英国数学家固守牛顿的传统近一个世纪，从而使自己逐渐远离分析的主流，落在欧陆数学家的后面.3. 18世纪微积分的发展在牛顿和莱布尼兹之后，从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔在他的论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们高等数学教材中的“罗尔中值定理”. 微积分的两个重要奠基者是伯努利兄弟雅各布和约翰，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容. 其中约翰给出了求不等式0 型极限的一个定理，现称为洛必达法则，这个定理由约翰的学生洛必达编入其微积分著作《无穷小分析》.18世纪，微积分得到进一步的深入发展，1715年数学家泰勒在著作《正的和反的增量方法》中陈述了他获得的著名定理——泰勒定理（以他名字命名的）. 雅各布、法尼亚诺、欧拉、拉格朗日和勒让德等数学家在考虑无理函数的积分时，发现一些积分既不能用初等函数，也不能用初等超越函数表示出来，这就是我们现在所说的“椭圆积分”，他们还就特殊类型的椭圆积分积累了大量的结果.18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分理论.这方面的贡献主要归功于尼古拉伯努利、欧拉和拉格朗日等数学家.另外，函数概念在18世纪进一步深化，微积分被看作是建立在微积分基础上的函数理论，将函数放在中心地位，是18世纪微积分发展的一个历史性转折. 在这方面，贡献最突出的当数欧拉，他明确区分了代数函数与超越函数、显函数与隐函数、但值函数与多值函数等，并在《无限小分析引论》中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”.而18世纪微积分最重大的进步也是由欧拉作出的，他的《无限小分析引论》、《微分学原理》与《积分学原理》都是微积分史上里程碑式的著作，在很长时间内被都当作标准教材而广泛使用.综上，微积分并非是没有其前身而突然产生的，它的发明是通过许多学者长期的辛勤探索发展起来的一连串数学思想的结晶. 它的出现给数学领域开辟了一个新纪元，很少有其他发明能如此硕果累累.。
微积分的发展
微积分的发展微积分是数学中的一个分支，探讨函数的变化率和积分，是一门应用广泛且重要的学科。
自其诞生以来，微积分在数学、物理学和工程学等领域中扮演着重要的角色。
本文将回顾微积分的发展历程，对其重要概念和应用进行介绍。
1. 历史回顾微积分的起源可以追溯至古希腊时期，但其真正的发展始于17世纪。
数学家牛顿和莱布尼兹几乎同时独立地发展出微积分的基本原理和方法。
牛顿以几何和力学的角度解释微积分，而莱布尼兹则以代数和分析的方式探索微积分。
2. 重要概念微积分的核心概念包括导数和积分。
导数描述了函数在某一点上的变化率，表示为函数的斜率。
积分则描述了函数在某一区间上的累积变化，表示为曲线下面积。
这两个概念相辅相成，构成了微积分的基础。
3. 应用领域微积分在许多领域中都有广泛的应用。
在物理学中，微积分用于描述物体的运动和力学规律。
在经济学中，微积分用于建立经济模型和分析市场行为。
在工程学中，微积分用于解决复杂的工程问题，如结构设计和电路分析。
此外，微积分还在生物学、计算机科学和统计学等领域中有重要的应用。
4. 发展趋势随着科学和工程技术的进步，微积分的应用范围和深度也在不断扩展。
新的数值方法和计算技术的出现，使得微积分的计算更加高效和精确。
同时，数学家们也在不断研究微积分的理论基础，推动微积分的发展和应用。
总结：微积分的发展有着悠久的历史，起源于古希腊并在17世纪得到了牛顿和莱布尼兹等数学家的初步发展。
微积分的重要概念包括导数和积分，它们对于描述函数的变化率和积累变化起着关键作用。
微积分在物理学、经济学、工程学等领域中有着广泛的应用，随着技术和数学理论的进步，微积分的应用也在不断扩展。
微积分的发展仍在持续，将继续为科学研究和工程技术提供强大的支持。
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积分区域由椭圆围成。1769年，欧拉建立了平面有界区域上二重积分理论，他给除了用累次积分计算而重积分的方法。而拉格朗日(J.L. Lagrange,1736~1813)在关于旋转椭球的引力的著作中，用三重积分表示引力。为了克服计算中的困难，他转用球坐标，建立了有关的积分变换公式，开始了多重积分变换的研究。与此同时，拉普拉斯(P.S. Laplace, 1749~1827)也使用了球坐标变换。
17世纪后期和18世纪，为了适应航海、天文学和地理学的发展，摆在数学家们面前的问题之一是函数表的插值。由于对函数表的精确度要求较高，数学家们开始寻求较好的插值方法，牛顿和格雷戈里给出了著名的内插公式。1721年，泰勒(B. Taylor,1685~1731)在牛顿-格雷戈里公式的基础上，提出了函数展开为无穷级数的一般方法，建立了著名的泰勒定理。18世纪末，拉格朗日在研究泰勒级数时，给出了我们今天所谓的泰勒定理，即
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其系数由
， （）
， （）
确定，这就是我们通常所称的傅立叶级数。
不过傅立叶从没有对"任意"函数可以展成傅立叶级数这一断言给出过任何完全的证明，也没有指明一个函数可以展成三角级数必须满足的条件。狄里克莱第一个给出函数的傅立叶级数收敛于它自身的充分条件。黎曼也对傅立叶级数的研究做出了贡献，他建立了重要的局部性定理，并证明了傅立叶级数的一些性质。德国数学家海涅(E. Heine, 1821~1881)、G·康托(G. C Fischer, 1875~1959)等等，许多数学家都为傅立叶级数理论的发展做了大量的工作。
其中
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现在被称为拉格朗日余项。1742年，马克劳林(C. Maclaurin,1698~1746)给出了泰勒级数在时的特殊情形，称为马克劳林级数。雅各布·贝努利、欧拉、斯特灵(J. Stirling,1692~1770)等都对级数理论的早期发展做了大量的工作。
18世纪，级数方法的研究取得了很多的成就，这一时期，许多的数学家都把级数看作多项式的代数的推广，级数的收敛和发散问题虽然没有被完全忽视，但也没有引起数学家们的足够重视。由于工作中产生的明显困难，在1810年前后，数学家们开始确切地表述无穷级数。高斯在其《无穷级数的一般研究》（1812年）中，第一个对级数的收敛性作出重要而严密的探讨。1821年，柯西给出了级数收敛和发散的确切定义，并建立了判别级数收敛的柯西准则以及正项级数收敛的根值判别法和比值判别法，推导出交错级数的莱布尼茨判别法，然后他研究函数项级数，给出了确定收敛区间的方法，并推广到复变函数的情形。
一．广义积分
黎曼积分是在被积函数有界且积分区间为有穷的限制下定义的，但在应用时需要取消这些限制，这就导致了广义积分概念的产生。广义积分包括无穷积分和瑕积分两种。1823年，法国数学家柯西(A.L. Cauchy,1789~1857)在他的《无穷小分析教程概论》中论述了在积分区间的某些值处函数值变为无穷（瑕积分）或积分区间趋于时（无穷积分）的反常积分，他还结合物理意义提出积分主值的概念。广义积分的概念后又被推广到含参变量的广义积分。在广义积分和含参变量广义积分的性质以及收敛性研究等方面，柯西、阿贝尔(N.H. Abel, 1802~1829)、狄里克莱(P.G.L Dirichlet, 1805~1859)以及维尔斯特拉斯(K.T.W. Weierstrass, 1815~1897)等数学家做了大量的工作。
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人做了书的奴隶，便把活人带死了。……把书作为人的工具，则书本上的知识便活了。有了生命力了。——华罗庚
人做了书的奴隶，便把活人带死了。……把书作为人的工具，则书本上的知识便活了。有了生命力了。——华罗庚
微积分发展简史（二）
微积分的创立，由于运算的完整性和应用的广泛性，使其成为研究自然科学的有力工具，被誉为"人类精神的最高胜利"。自18世纪以来，微积分在被广泛应用的同时，也得到了不断发展和完善，内容越来越丰富。
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偏导数的理论是由欧拉和法国数学家方丹(Alexis Fontaine des Bertins,1705~1771)、克莱罗(A.C. Clairaut,1713~1765)与达朗贝尔(Jean le Rond D'Alembert,1717~1783)在早期偏微分方程的研究中建立起来的。欧拉在关于流体力学的一系列文章中给出了偏导数运算法则、复合函数偏导数、偏导数反演和函数行列式等有关运算。1739年，克莱罗在关于地球形状的研究论文中首次提出全微分的概念，建立了现在称为全微分方程的一个方程，讨论了该方程可积分的条件。达朗贝尔在1743年的著作《动力学》和1747年关于弦振动的研究中，推广了偏导数的演算。不过当时一般都用同一个记号d表示通常导数与偏导数，现在用的专门的偏导数记号直到19世纪40年代才由雅可比(C.G.J. Jacobi, 1804~1851)在其行列式理论中正式创用并逐渐普及。
傅立叶级数。18世纪中叶以来，欧拉、达朗贝尔、拉格朗日和克莱罗等人在研究天文学和物理学中的问题时，相继得到了某些函数的三角级数表达式。人们逐渐认识到不仅只是周期函数，非周期函数也可以表示成三角级数的形式，并开始寻求如何把所有类型的函数都表示成三角级数的方法，18世纪末，这个问题已经非常引人注目了。
三．无穷级数
在数学史上级数出现的很早。古希腊时期，亚里士多德就知道公比小于1(大于零)的几何级数可以求出和数。阿基米德(Archimedes, BC.287~BC.212)也求出了公比为的几何级数的和。14世纪的法国数学家奥雷姆证明了调和级数的和为无穷，并把一些收敛级数和发散级数区别开来。但直到微积分发明的时代，人们才把级数作为独立的概念。
函数项级数的一致收敛性概念最初由斯托克斯和德国数学家赛德尔认识到。1842年，维尔斯特拉斯给出一致收敛概念的确切表述，并建立了逐项积分和微分的条件。狄里克莱在1837年证明了绝对收敛级数的性质，并和黎曼(B. Riemann,1826~1866)分别给出例子，说明条件收敛级数通过重新排序使其和不相同或等于任何已知数。到19世纪末，无穷级数收敛的许多法则都已经建立起来。
偏导数的朴素思想，在微积分学创立的初期，就多次出现在力学研究的著作中，但这一时期，普通的导数与偏导数并没有明显地被区分开，人们只是注意到其物理意义不同。偏导数是在多各自变量的函数中，考虑其中某一个自变量变化的导数。牛顿从和的多项式中导出关于或的偏微商的表达式。雅各布·伯努利(James Bernoulli, 1655~1705)在他关于等周问题的著作中使用了偏导数。尼古拉·伯努利(Nicholas Bernoulli, 1687~1759)在1720年的一篇关于正交轨线的文章中也使用了偏导数，并证明了函数在一定条件下，对，求偏导数其结果与求导顺序无关，即相当于有
到了19世纪，法国数学家傅立叶(J. Fourier,1768~1830)在研究热传导问题时，创立了傅立叶级数理论。1807年，傅立叶向法国科学院提交了一篇关于热传导问题的论文，提出了任意周期函数都可以用三角级数表示的想法，成为傅立叶分析的起源。但当时这篇论文并没有被采纳。1822年，傅立叶发表了他的经典著作《热的解析理论》，书中研究的主要问题是吸热或放热物体内部任何点处的温度随时间和空间的变化规律，同时也系统地研究了函数的三角级数表示问题，并断言"任意（实际上有一定条件）函数都可以展成三角级数"，他列举了大量函数并运用图形来说明函数的这种级数表示的普遍性。他首先认为，如果是一个以为周期的函数，那么可以表示为
无穷级数是现代微积分的重要组成部分，它从离散的角度来研究函数关系。无穷级数几乎是和微积分同时产生的，由于级数是研究复杂函数性质的有力工具，所以18世纪时，无穷级数一直被认为是微积分的一个不可缺少的部分。实际上，在微积分的初创时期，就为级数理论的建立提供了基本素材。许多数学家通过微积分的基本运算与级数运算的纯形式的结合，得到了一些初等函数的幂级数展开式。如，1669年，牛顿在他的《分析学》中，给出了，，，和的级数展开，格雷戈里(J.Gregory, 1638~1675)得到了，等函数的级数，莱布尼茨也在1673年独立地得到了，和的级数。在微积分早期阶段，研究超越函数时，用它们的级数来处理是所用方法中最富有成效的，在这个时期，级数还被用来计算一些特殊的量，如和以及求隐函数的显式解。
1828年，俄国数学家奥斯特洛格拉茨基在研究热传导理论的过程中，证明了关于三重积分和曲面积分之间关系的公式，现在称为奥斯特洛格茨基-高斯公式（高斯也曾独立地证明过这个公式）。同一年，英国数学家格林(G. Green,1793~1841)在研究位势方程时得到了著名的格林公式。1833年以后，德国数学家雅可比建立了多重积分变量替换的雅可比行列式。与此同时，奥斯特洛格拉茨基不仅得到了二重积分和三重积分的变换公式，而且还把奥-高公式推广到维的情形。变量替换中涉及到的曲线积分与曲面积分也是在这一时期得到明确的概念和系统的研究。1854年，英国数学物理学家斯托克斯(G.G. Stokes, 1819~1903)把格林公式推广到三维空间，建立了著名的斯托克斯定理。多元微积分和一元微积分同时随着其理论分析的发展在数学物理的许多领域获得广泛的应用。
二. 多元微积分学
多元函数的微积分学，是微积分学的一个重要组成部分。多元微积分是在一元微积分的基本思想的发展和应用中自然而然地形成的。其基本概念都是在描述和分析物理现象和规律中，与一元微积分的基本概念合为一体而产生的。将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积分理论的主要是18世纪的数学家。