勾股定理教案2(华东师大版)
八年级数学上册第14章勾股定理 教案华东师大版
第14章勾股定理14.1 勾股定理1.直角三角形三边的关系【基本目标】1.体验勾股定理的探索.2.会用勾股定理求直角三角形的边长.【教学重点】用勾股定理求直角三角形的边长.【教学难点】用拼图法证明勾股定理.一、创设情景，导入新课目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各类图形等.我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前，是非常了不起的成就.让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？二、师生互动，探究新知1.勾股定理的证明.【活动】方法一：如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明.【分析】左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.【教学说明】以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长.【活动】出示习题：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=____；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=____；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是____.【答案】（1）13（2）15（3）10或7【教学说明】先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，按8为直角边或斜边.最后教师板书：在Rt△ABC中，∠C=90°，三、随堂练习,巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.四、典例精析，拓展新知例如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高.解：设BD=x，则DC=14-x,由勾股定理得：AB2-BD2=AC2-CD2,即132-x2=152-(14-x)2,解得x=5,∴AD=132-52=12.【教学说明】引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边，也可以为建立三边之间联系提供依据.设BD=x，可否建立方程关系.五、运用新知，深化理解完成教材P112习题第1、2题.【教学说明】第2题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲有所不同，新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课教师从引导构造的图形入手，用面积法证明勾股定理难度不大，但面积法在教材中首次用到，基于此教师在教学过程中应给予适当的引导，让学生体会成功的快乐.2.直角三角形的判定【基本目标】1.理解勾股定理的逆定理的证明方法.2.能用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.【教学重点】用勾股定理的逆定理判别一个三角形是直角三角形.【教学难点】勾股定理逆定理的证明.一、创设情景，导入新课【实验观察】实验方法：用一根打上13个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起，然后用角尺量出最大角的度数.（90°），可以发现这个三角形是直角三角形.【显示投影片1】二、师生互动，探究新知【教师活动】古埃及人曾经用过这种方法来得到直角，这个三角形三边长分别为多少？（3,4,5）.这三边满足了怎样的条件呢？（32+42=52），是不是只有三边长为3,4,5的三角形才能构成直角三角形呢？请同学们动手画一画，如果三角形的三边分别为2.5cm,6cm,6.5cm,满足关系式“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为5cm,12cm,13cm 或8cm,15cm,17cm呢？【学生活动】动手画图，体验发现，得到猜想.【教师活动】操作投影仪，提出探究的问题，引导学生思考，然后再提问个别学生.【学生活动】拿出事先准备好的纸片、剪刀，实验、领会、感悟：（1）它们完全重合；（2）理由是在△A′B′C′中，A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2，因为a2+b2=c2，因此，A′B′=c,从△ABC和△A′B′C′中，BC=a=B′C′,AC=b=A′C′,AB=c=A′B′，推出△ABC ≌△A′B′C′，所以∠C=∠C′=90°，可见△ABC是直角三角形.【教师归纳】如果一个三角形的三边长a、b、c有关系式a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角是直角.【教学说明】采用实验、观察、比较的教学方法，突破难点.出示习题：（投影显示）1.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A.5,6,7B.10,8,4C.7,25,24D.9,17,152.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（）【教学说明】引导学生用勾股定理的逆定理判别直角三角形的方法.两小边的平方和等于第三边的平方.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.四、典例精析，拓展新知例某港口位于东西方向的海岸线上，“远航号”和“海天号”轮船同时离开港口，各自沿固定的方向航行，“远航号”每小时行16海里，“海天号”每小时行12海里，它们离开港口1.5小时后相距30海里，如果知道“远航号”沿东北方向航行，能知道“海天号”沿哪个方向航行吗？解：由题意画出示意图，如图，由“远航号”沿东北方向，知道“海天号”沿西北方向航行.【教学说明】引导学生画出正确的示意图，体现数学建模思想.五、运用新知，深化理解若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.【教学说明】根据所给条件，只有从关于a,b,c的等式入手，找出a,b,c三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+(b-12)2+(c-13)2=0，求出a=5,b=12,c=13,∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.这节课在勾股定理的基础上，让学生学会如何从三边的关系来判定一个三角形是直角三角形，即“勾股定理的逆定理”.在证明它时，学生可能有些困难，因此课堂教学时先动手操作观察，进而得出用勾股定理证明A′B′=AB.教案中设计题型前呼后应，使知识有序推进，有助于学生理解与掌握；通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究的兴趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人.3.反证法【基本目标】1.理解反证法.2.会用反证法证明较简单的题.【教学重点】用反证法证明几何命题.【教学难点】反证法中渗透“正难则反”的思想.一、创设情景，导入新课出示多媒体，展示《路旁苦李》的故事的动画场景，引入反证法的课题.二、师生互动，探究新知活动1反证法的步骤.教师给出问题：如果你当时也在场，你会怎么办？五戎是怎么判断李子是苦的？你认为他的判断正确吗？学生讨论交流，选代表发言.如果李子不是苦的，路旁的人很多，早就没有这么多李子.教师出示，若a2+b2≠c2（a≤b≤c）,则△ABC不是直角三角形，你能按照刚才五戎的方法推理吗？学生活动，代表展示.若∠C是直角，则a2+b2=c2，而a2+b2≠c2，这是不可能的，即△ABC 不是直角三角形.【教师归纳】先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.即：一、反设；二、推理得矛盾；三、假设不成立，原命题正确.活动2用反证法证明.教材P116例5.【教师活动】原命题结论的反向是什么？按照假设可以得到矛盾吗？【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.教材P116例6.【教师活动】△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么？按照假设可以推出矛盾吗？【学生活动】独立完成，交流成果，发言展示.【教学说明】在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时，直接不易证明，可考虑反证法.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分,教师巡视并及时点评，主要是证明格式是否规范.四、典例精析，拓展新知例求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.【教师活动】（1）你首选的是哪一种证明方法？（2）如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？（3）能不用反证法证明吗？你准备怎样证明？要求按问题解决的四个步骤进行：理解题意（画出图形，写出已知求证）；制订计划（选择证明方法，找出证明思路）；执行计划（写出证明过程）.【学生活动】讨论交流后独立完成.五、运用新知，深化理解.完成教材P117练习第1、2题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.反证法是一种重要的证题方法，也是初中数学的难点，如何突破这一难点，并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍：1.思维方向的转换，不能总用直接法；2.证明步骤存在障碍；3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法，应积极引导学生克服上述思维上的障碍，并通过有关题目训练，使学生掌握反证法.教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时，应穷举；“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次.14.2勾股定理的应用第1课时勾股定理的应用（1）【基本目标】1.会用勾股定理解决较综合的问题.2.树立数形结合的思想.【教学重点】勾股定理的综合应用.【教学难点】勾股定理的综合应用.一、创设情景，导入新课如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数.二、师生互动，探究新知如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上运动，量的滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑竿顶端A下滑多少米？【分析】滑竿在下滑中它的长度是不变的，先在直角三角形ACB中利用勾股定理求出AC的长，然后再在直角三角形ECD中利用勾股定理求出CE的长，即可求出AE的长.【教师点拨】勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，他的前提是直角三角形，在求解时常运用题目中的条件构造直角三角形，而构造直角三角形方式有两种：一是根据已知条件中的直角构造，二是作垂线构造.三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知例如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离.【分析】显然△ABC是直角三角形，根据示意图可求出AC和BC的长，从而根据勾股定理可以求出AB的长.解：由示意图可知AC=150－60=90(mm)，BC=180-60=120(mm)答：两圆孔中心A和B的距离为150mm.五、运用新知，深化理解.完成教材P123习题14.2中的第5题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系.第2课时勾股定理的应用（2）【基本目标】1.会用勾股定理解决简单的实际问题.2.树立数形结合的思想.【教学重点】勾股定理的应用.【教学难点】实际问题向数学问题的转化.一、创设情景，导入新课从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性.二、师生互动，探究新知例1如右图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．【分析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图），得到矩形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长．（精确到0.01cm）解：如下图，在Rt△ABC中，BC＝底面周长的一半＝10cm，∴ AC＝Ab2+Bc2＝42+102＝116≈10.77（cm）（勾股定理）.答：最短路程约为10.77cm．三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如右图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【分析】由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于H．解：在Rt△OCD中，由勾股定理得CH＝0.6＋2.3＝2.9（米）＞2.5（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.五、运用新知，深化理解.完成教材P123习题14.2中的第5题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系.本章复习【基本目标】进一步理解勾股定理及其逆定理，能用它们解决问题.【教学重点】用勾股定理及逆定理解决问题.【教学难点】用勾股定理的逆命题证明几何问题.一、知识框图，整体建构二、知识梳理，快乐晋级本章通过问题的形式来梳理知识，以加深对基础知识的理解，对基本方法的把握.问题1：勾股定理与逆定理的内容是什么？问题2：勾股定理与逆定理的证明方法是怎样的，它们各体现什么样的数学思想？你是怎样理解的？问题3：如何判定一个三角形是直角三角形？问题4：反证法的步骤是什么？【教学说明】教师提出的问题以小组竞赛的形式回答，教师根据回答的情况，做必要的讲解与说明.三、典例精析，升华旧知例1（1）下列命题中正确的是（）A.1.5, 2, 2.5是勾股数B.至少有一个角大于60°的反面是至多有一个角大于60°C.边长为3a,4a,5a的三角形是直角三角形D.直角三角形的两边是3和4，它的面积是6（2）如图，每个小正方形的边长为1，点A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC=_________.（3）如图，长方形ABCD 中，AB=15cm,点E 在AD 上，且AE=9cm,连结EC 将长方形沿BE 翻折，点A 恰好落在EC 上的点A ′处，则A ′C=____cm.【答案】（1）C（2）45°提示：连结AC ，由勾股定理的逆定理证明∠ACB=90°，AB=BC=5即可.（3）8 由条件知△BA ′C ≌△CDE,∴A ′C=DE ，在Rt △CDE 中，设A ′C=x ，∵A ′E=AE ，∴CE=9+x ，∵CE 2=CD 2+DE 2，∴（9+x ）2=x 2+152，解得x=8(cm).例2如图圆柱形的玻璃杯，高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm 的C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是多少厘米？解：画出全半侧面的展开图，如图，则EF=9cm,AE=4cm,CM=4cm,取点A 关于直线EF 的对称点A ′，则A ′E=4cm,连结A ′C 交EF 于P ，则PA+PC 最短，作GC ⊥EN 于G ，在Rt △A ′GC 中，22912 =15(cm).【教学说明】本例是“将军饮马”的数学模型与用勾股定理求立体图形表面两点间最短距离的有机融合.注意以处理这两个数学模型的方法讲解.例3在Rt △ABC 中，已知两直角边a 与b 的和为pcm ，斜边长为qcm ，求这个三角形的面积.【教学说明】因为Rt△ABC的面积等于12ab，所以只要求出ab就可以完成本道题.分析已知条件可知a+b=p,c=q,再联想到勾股定理a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由a+b=p,a2+b2=q2，求出ab.例4如图所示，有一个正方形水池，每边长4米，池中央长了一棵芦苇，露出水面1米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？【教学说明】对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为x米，BC=x米，AC=(x+1)米，因为池边长为4米，所以BA′=2米，在Rt△A′BC中，根据勾股定理得x2+22=(x+1)2解得x=1.5.例5如图所示，△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC.解：因为AD是边BC上的中线，且BC=20，所以∠ADB=90°，即AD⊥BC.(勾股逆定理)【教学说明】要求AC的长度，首先确定AC所在的△ACD，而关键是要判断出△ADC是直角三角形，由于AB=26，BC=20，可得BD=10，而又知中线AD=24，所以可以先通过勾股定理判断出△ABD是Rt△，这样就可以得到∠ADC=90°，从而再应用勾股定理求出AC的长.例6已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD于点D,且CD2+AD2=2AB2.(1)求证AB=BC;(2)当BE⊥AD于点E时，试证明：BE=AE+CD.解：由条件CD2+AD2=2AB2，并结合图形，有CD2+AD2=AC2，又AC2=AB2+BC2（连结AC），从而2AB2=AB2+BC2，有BC=AB（勾股定理功不可没）；（2）过C作CF⊥BE于F,由AB=BC,∠ABE=∠BCF,∠AEB=∠CFB,知△ABE≌△BCF，有BF=AE，且CD=FE,∴BE=BF+EF=AE+CD.【教学说明】本题将全等三角形与勾股定理有机结合，注意由其平方条件联想勾股定理.四、师生互动，课堂小结这节课你有什么收获？还有什么疑惑？复习到哪些数学思想方法？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师总结归纳.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本章复习应紧紧围绕“勾股定理”为中心，师生共同建构知识网络，回顾各个知识考点、落实四基.在教学过程中发现的疑惑应及时解答.此外教案中的六个例题应试着让学生解答，教师再予以点拨，以达到复习提升的效果.。
华东师大版八年级上册第14章14.2勾股定理的应用教学设计
本章教学设计将围绕以上三个部分展开，确保学生在掌握勾股定理知识的基础上，提高解决问题的能力，培养良好的情感态度与价值观。
二、学情分析
八年级学生在学习勾股定理的应用前，已经掌握了勾股定理的基本概念及其证明方法。在此基础上，他们对直角三角形的相关知识有了初步的了解，具备了一定的几何图形认知能力和逻辑思维能力。然而，在实际运用勾股定理解决问题时，学生可能会遇到以下困难：
4.学生能够运用勾股定理解释生活中的现象，如房屋建筑中的直角三角形问题、物体斜抛运动中的直角三角形问题等。
（二）过程与方法
1.学生能够通过实际操作，如画图、测量等，直观地感受勾股定理的含义和应用。
2.学生能够运用数学推理方法，如代数运算、逻辑推理等，证明勾股定理的正确性。
3.学生能够运用勾股定理解决实际问题，培养将数学知识应用于实际生活的能力。
1.将实际问题抽象为直角三角形模型的能力较弱，需要进一步引导和培养。
2.运用勾股定理进行计算时，可能会出现运算错误，需要加强巩固和练习。
3.部分学生对数学学科的兴趣和自信心有待提高，教师应关注学生的情感需求，激发学习兴趣。
针对以上学情，本章节教学设计将从以下几个方面入手：
1.设计丰富的实际问题情境，引导学生将数学知识应用于实际生活。
6.情感教育，培养价值观：
在教学过程中，关注学生的情感需求，鼓励学生积极参与课堂讨论，培养学生的团队协作能力和勇于探究的精神。
7.课后拓展，提高应用能力：
课后布置实际应用题，让学生将勾股定理应用于生活，提高学生的应用能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.引入生活实例：以学生熟悉的生活场景为例，如一根直角三角形的竹竿靠在墙角，提问学生如何计算竹竿的长度。引导学生思考直角三角形边长之间的关系，为新课的学习做好铺垫。
14.2勾股定理的应用-华东师大版八年级数学上册教案
14.2 勾股定理的应用-华东师大版八年级数学上册教案一、教学目标1.掌握勾股定理的应用；2.能够解决与直角三角形有关的问题；3.能够运用所学知识解决实际问题。
二、教学重点1.勾股定理的应用；2.直角三角形相关问题的解决方法。
三、教学过程1. 导入通过导师简单介绍直角三角形和勾股定理，检查学生的预习情况，确保学生对知识点有一定的了解。
2. 学习过程2.1 勾股定理的证明1.讲解勾股定理的证明过程，通过板书方式梳理思路；2.引导学生自己思考证明过程，以此来提高他们的思维能力。
2.2 直角三角形的三条边及其应用1.讲解直角三角形中的三条边，并强调斜边为直角三角形中最长的一条边；2.引导学生将勾股定理进行变形，以便更好地应用到实际问题中。
2.3 勾股定理的应用1.讲解勾股定理的应用，通过各种例题来演示；2.引导学生根据题目提供的信息，确定所需使用的知识点，依据勾股定理进行计算。
3. 练习1.分发实际问题练习题，鼓励学生独立完成；2.引导学生交流解题思路，纠正错误，互相帮助。
4. 总结1.回顾勾股定理及直角三角形的相关知识点；2.强调勾股定理是解决实际问题的有力工具。
四、作业1.完成教师分发的作业；2.总结本节课的内容，巩固所学知识点。
五、教学反思通过本节课的教学，学生对勾股定理的应用及直角三角形相关知识点有了更深入的了解。
但是，在教学过程中还需要更多地引导学生思考，让他们积极参与到学习中，并在实际问题中运用所学知识解决问题。
此外，在教学后还需要对学生的掌握情况进行检查，对薄弱环节进行有针对性的辅导和强化，提高学生的学习效果。
华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教学设计
-通过动态演示或实物模型，引导学生发现直角三角形三边之间的关系，从而引出勾股定理。
-结合图形，详细讲解勾股定理的公式及其推导过程，让学生深刻理解定理的内涵。
-通过例题，展示勾股定理在实际问题中的应用，如计算斜边长度、确定直角三角形的形状等。
3.课堂练习：
-设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固勾股定理的知识。
2.实践应用题：设计一道与实际生活相关的勾股定理应用题，要求同学们运用所学知识解决问题。例如，假设学校旗杆的高度不易直接测量，但我们可以测得旗杆底端到地面的水平距离以及旗杆顶端到视线的垂直距离，请计算旗杆的大致高度。
3.创新思维题：请同学们思考并尝试证明勾股定理的逆定理，即在一个三角形中，如果一边的平方等于另外两边平方和，那么这个三角形是直角三角形。鼓励同学们运用多种方法进行证明，如几何法、代数法等。
2.学生在解决实际问题时，可能难以将勾股定理与问题情境有效结合。教师应通过丰富的实例，引导学生学会运用勾股定理分析问题、解决问题。
3.学生的几何直观能力和逻辑思维能力发展不平衡，部分学生可能在学习过程中感到困难。教师应关注学生的个体差异，提供不同难度的学习任务，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
4.学生在合作学习过程中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题。教师应引导学生学会倾听、表达和协作，提高学生的团队协作能力。
-针对学生的错误，及时进行讲解和指导，帮助学生克服难点。
4.小组合作：
-将学生分成小组，针对实际问题进行讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
-引导学生运用勾股定理解决实际问题，如设计建筑物的高度、测量河流宽度等。
5.课堂小结：
-通过提问、总结等方式，帮助学生梳理本节课的知识点，形成知识结构。
华东师大版八年级上册数学教学设计《14.2勾股定理的应用(2)》
华东师大版八年级上册数学教学设计《14.2勾股定理的应用（2）》一. 教材分析《14.2勾股定理的应用（2）》这一节内容，是在学生已经掌握了勾股定理的基础上进行学习的。
本节课主要让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。
教材通过例题和练习题的形式，帮助学生巩固知识点，提高解题能力。
二. 学情分析八年级的学生已经掌握了勾股定理的基本知识，对于运用勾股定理解决一些简单问题已经没有太大的困难。
但是，学生在解决实际问题时，可能会因为对题目的理解不够深入，而导致无法正确运用勾股定理。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生深入理解题目，找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理。
三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用，能够运用勾股定理解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过例题和练习题，培养学生的解题能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生感受数学与生活的联系，培养学生的数学兴趣。
四. 教学重难点1.重点：让学生进一步理解并掌握勾股定理的应用。
2.难点：如何引导学生找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：教师通过讲解例题和解析练习题，引导学生掌握勾股定理的应用。
2.引导法：教师通过提问和引导，帮助学生找出题目中的关键信息，从而正确运用勾股定理。
3.练习法：学生通过做练习题，巩固所学知识，提高解题能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相应的教学材料和课件。
2.学生准备：学生需要预习本节课的内容，了解勾股定理的应用，准备好笔记本和文具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引入本节课的主题，例如：“一个直角三角形的两条直角边长分别为3米和4米，求这个直角三角形的斜边长。
”让学生思考并讨论如何解决这个问题，从而引出勾股定理的应用。
华东师大版八年级上册数学教学设计《勾股定理的应用》
华东师大版八年级上册数学教学设计《勾股定理的应用》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学教材在介绍勾股定理的应用部分，旨在让学生通过实际问题，运用勾股定理解决生活中的问题。
这部分内容是学生在学习了勾股定理的基础上进行的，能够加深学生对勾股定理的理解和运用。
教材通过不同类型的题目，让学生学会如何将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理进行计算和解决。
二. 学情分析学生在学习勾股定理的应用之前，已经学习了勾股定理的基本概念和证明，对勾股定理有了初步的理解。
但是，学生在应用勾股定理解决实际问题时，可能会遇到理解题意不深刻、列式计算错误、对不同类型题目不能灵活运用等问题。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理进行计算和解决。
2.过程与方法：学生通过实际问题，学会如何运用勾股定理，提高解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生通过解决实际问题，体会数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.教学重点：学生能够理解勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理进行计算和解决。
2.教学难点：学生对不同类型题目能够灵活运用勾股定理，解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法，让学生在解决问题的过程中，学会如何运用勾股定理。
同时，采用案例教学法，分析不同类型的题目，让学生能够灵活运用勾股定理。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关案例和题目。
2.学生准备：学生需要预习教材，了解勾股定理的基本概念和证明。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，引导学生回顾勾股定理的基本概念和证明。
然后，教师提出一个问题：如何利用勾股定理计算一个直角三角形的斜边长度？2.呈现（10分钟）教师呈现一个实际问题：一块矩形铁片，长为6米，宽为8米，从中剪出一个直角三角形，求剩余部分的面积。
教师引导学生将实际问题转化为数学问题，利用勾股定理解决。
八年级数学上册 14.2 勾股定理的应用教案2 (新版)华东师大版
14.2 勾股定理的应用（2）教学目标知识与技能：准确运用勾股定理及逆定理．过程与方法：经历探究勾股定理的应用过程，掌握定理的应用方法，应用“数形结合”的思想来解决．情感态度与价值观：培养合情推理能力，提高合作交流意识，体会勾股定理的应用价值．重点、难点、关键重点：掌握勾股定理及其逆定理．难点：正确运用勾股定理及其逆定理．关键：应用数形结合的思想，从实际问题中，寻找出可应用的Rt△，然后再有针对性解决．教学准备教师准备：投影仪，补充资料制成投影片，直尺、圆规．学生准备：直尺、圆规，复习前面知识．教学过程一、创设问题情境，激发学生兴趣展示投影教师道白：在一棵树的10m高的D处有两只猴子，•其中一只猴子爬下树走到离树20m 处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘A处，•如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？评析：如图所示，其中一只猴子从D→B→A共走了30m，另一只猴子从D→C→A也共走了30m，且树身垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形解决．教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生分析问题、明确题意，用化归的思想解决问题．学生活动：积极思考，讨论，运用数学手段来理出思路，解决问题．解：设DC=xm，依题意得：BD+BA=DC+CACA=30-x，BC=10+x在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2即（30-x）2=202+（10+x）2解之x=5所以树高为15m．媒体使用：投影显示．二、范例学习例3 如课本P59图14．2．5在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，•请在给定网格中按下列要求画出图形：（1）从点A出发画一条线段AB，使它的另一个端点B在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为2；（2）画出所有的以（1）中的AB为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．ADC B教师活动：分析例3，•本题只需要利用勾股定理看一看哪一个矩形的对角线满足要求．如课本图14．2．6可以求出AB的长度为，△ABC，△ABD是等腰三角形，•因为由勾股定理可以求得AC=BC，AD=BD．学生活动：参与例3的学习，动手画图，交流、讨论，弄清理由．例4 如课本P59图14．2．7，已知CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m，求图中阴影部分的面积．教师分析：课本图14．2．7中阴影部分的面积是一个不规则的图形，因此，•我们首先应考虑如何转化为规则图形的和差形式，这是方向，同学们要记住．实际上S阴=S△ABC-S△ACD，•现在只要明确怎样计算S△ADC和S△ABC了，由题目中的条件可知CD=6m，AD=8m，而∠ADC=90°，因此，S△ADC =12×AD×CD=24m2，由BC=24m，AB=26m，是无法计算S，但是，我们可以求出AC=10m，而102+242=262，说明10，24，26是一组勾股数，可以推出∠ACB=90°（勾股逆定理），因此，S△ABC =12AC·BC=120m2，最后可求出S阴=96m2．评析：这题应总结出两种思想方法：一是求不规则图形的面积方法“将不规则化成规则”；二是求面积中，要注意其特殊性．学生活动：参与讲例，积极思考，提出自己的看法，归纳总结解题思路．三、随堂练习课本P60练习第1，2题．探研时空：1．已知：如图所示，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D为BC上任意一点．求证：2AD2=BD2+CD2ABE D C思路点拨：要证的结论中，AD，BD，CD都是平方项，•而勾股定理中能找到有关线段的平方项，因此，应该构造直角三角形，由勾股定理中去寻找答案．作AE⊥BC•于E，•则BE=CE=AE，BD=BE+ED，CD=CE-ED，则BD2+CD2=（BE+ED）2+（CE-ED）2，然后，通过一系列代数变换，可证得结论．教师活动：分析思路，讲清方法，特别是如何作辅助线，为什么这么做辅助线做出分析，实际上是为了构建直角三角形，利用勾股定理，才作的辅助线．证明：如图所示，作AE⊥BC于E．∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴BE=CE=AE∴BD2+CD2=（BE+ED）2+（CE-ED）2=BE2+2BE·ED+ED2+CE2-2CE·ED+ED2=2AE2+2DE2=2AD2学生活动，小组合作，讨论．听取教师的启发，完成本道题．评析：这是一道通过引辅助线，构造直角三角形，运用勾股定理的典型题目，从求证结论的需要，应作BC上的高，而从已知条件看，等腰三角形的首选辅助线也是应在BC上做高线，可见，对典型辅助线的作用一定要予以高度重视，可以说这是“经验辅助线”．蚂蚁沿图中所示的折线由A点爬到了D点，蚂蚁一共爬行了多少cm？（图中小方格的边长代表1cm）思路点拨：由勾股定理分别求得AB，BC，CD的长，则折线的长为28cm．教师活动：先独立思考，然后在班上交流，最后得到正确的结论．媒体使用：投影显示“探研时空”，展示学生的练习．教学形式：师生互动，生生互动．3．如图所示，小明为了测出电视塔到学校的距离，他把手表的12•点指向正北，此时学校在2点所指的方向，电视塔在11点所指的方向，水塔在正东方向，•且位于学校正南2000米处，已知电视塔距小明3000米，那么电视塔距学校多远呢？教师活动：操作投影仪，显示题目，引导学生独立思考，巡视，关注“学困生”．学生活动：先独立思考，再与同伴交流，踊跃上讲台“板演”．媒体使用：投影显示．参考答案：电视塔距学校5000米．四、课堂总结此课时是运用勾股定理和判定直角三角形的勾股逆定理来解决实际问题，解决这类问题的关键是画出正确的图形，通过数形结合，构造直角三角形，碰到空间曲面上两点间的最短距离问题，一般是化空间问题为平面问题来解决，即将空间曲面展开成平面，然后利用勾股定理及相关知识进行求解，遇到求不规则面积问题，通常应用化归思想，将不规则问题转换成规则问题来解决．解题中，注意辅助线的使用，特别是“经验辅助线”的使用．五、布置作业1．课本P60习题14．2第4，5，6题．2．选用课时作业设计．六、课后反思（略）第二课时作业设计一、填空题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，中线BE=13，另一条中线AD2=331，则AB=______．2．在△ABC中，AC=8cm，∠C=30°，BC=6cm，则S△ABC=_____．3．等腰△ABC的面积为12cm2，底上的高AD=3cm，则它的周长为_______．4101，另一条直角边的长为________．5．从张村到李村、王村的公路都是笔直的，并且成90°角，到这两个村庄的距离都是1千米，从李村到王村的距离大约是_______．（精确到0.1千米）6．如果a2+b2=c2，那么（ka）2+（kb）2=（________）2，由此，并由勾股定理的逆定理知，•如果三边长分别为a，b，c的三角形是直角三角形，并且三边长分别为ak，bk与____•的三角形也是直角三角形．7．△ABC中，如果AC=3，BC=4，AB=5，那么，△ABC一定是_____角三角形，•并且可以判定∠_____是直角，如果AC，BC的长度不变，而AB的长度由5增大到5.1，•那么原来的∠C被“撑成”的角是______角．二、选择题8．分别以下列四组为一个三角形的三边的长：（1）6，8，10；（2）5，12，13；（3）8，15，17；（4）7，8，9其中能构成直角三角形的有（）．A．四组 B．三组 C．二组 D．一组9．等腰三角形底边上高是8，周长为32，则这个等腰三角形的面积为（）．A．56 B．48 C．40 D．30三、解答题10．求出下列直角三角形中未知边的长度，如图（a～b）所示．11．如图所示，太阳能热水器的支架AB长为90cm，与AB垂直的BC长120cm，太阳能真空管AC有多长？12．如图所示，∠B=∠ACD=90°，BC=3，AD=13，CD=12，求AB的长．13．一艘轮船以16海里/时的速度向东南方向航行，•另一艘轮船在同地同时以12海里/时的速度向西南方向航行，它们离开港口1.5小时后相距多远？14．如图所示，在3米高的柱子顶端有一只老鹰，•它看到一条蛇从距柱脚9米外向柱脚的蛇洞游来，老鹰立即扑去，如果它们的速度相等，问老鹰在距蛇洞多远处捉住蛇？15．如图所示，正方形ABCD的边长为4，正方形ECFG的边长为8，•求阴影部分的面积和周长．（精确到0.1）16．如图所示，起重机吊运物体，已知BC=6m，AC=18m，求AB的长．（•精确到0.1m）17．要修一个如图所示的育苗棚，求覆盖在顶上的塑料薄膜的面积．（•精确到0.1m 2）18．如图所示，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系呢？你能说一说你的判断吗？与同伴交流．答案:一、1．20 2．12cm 2 3．18cm 4．3 5．1.4千米 6．kc kc 7．直 C 钝二、8．B 9．B三、10．10 12 11．利用勾股定理 12．AB=4 13．相距30海里 14．4米15．利用勾股定理 16．运用勾股求22AC BC 17．利用勾股求塑料薄膜的宽18．•两直角边上的半圆面积之和等于斜边上半圆面积．。
华师大版八年级数学上册《勾股定理》教案及教学反思
华师大版八年级数学上册《勾股定理》教案及教学反思一、教案1. 教学目标1.理解勾股定理的概念和形式；2.理解直角三角形的特征及判定方法；3.掌握勾股定理的运用方法； 4.利用勾股定理解决实际问题。
2. 教学重难点1.掌握三元一次方程的解题思路；2.理解弦长定理的概念；3.理解平面几何中相似图形的概念和基本属性；4.掌握勾股定理的运用方法。
3. 教学过程3.1 课前导入1.科普：直角三角形的定义和性质；2.举例：以学生为研究对象，设计一个直角三角形测量活动；3.引导：探究直角三角形的特征和判定方法。
3.2 讲授勾股定理的概念和形式1.概念：直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和；2.形式：c2=a2+b2；3.解读：用语言描述和实例演示勾股定理的应用。
3.3 勾股定理的运用方法1.勾对股法；2.运用勾股定理求解图形的边长和面积。
3.4 解题演示1.设计种类齐全的练习题，有多种难度，种类和解题方向的变化；2.铺设题海，让学生共同发掘问题和解题方法。
3.5 讲授平面几何中相似图形的概念和基本属性1.概念：指二维空间内有相同形状的图形；2.基本属性：比例性、对应角相等、对应边成比例；3.解读：用语言描述和实例演示相似图形的应用。
3.6 弦长定理1.概念：圆内一条弦的长度为其所在圆的直径长度的一半；2.形式：AB2+BC2=AC2；3.解读：用语言描述和实例演示弦长定理的应用。
4. 教学总结1.给学生回答刚才的提问；2.引导学生思考本节课的重点、难点是什么；3.总结本节课的学习目标、方法和效果。
二、教学反思此次教学中，我采用了多种教学方法，如讲解、演示、练习、问答等，使课堂形式多样化、生动活泼。
在此基础上，我重视学生的学习兴趣和自主学习能力，给学生留给一定的思考时间和自主探究机会。
而且，在课堂设计中，我注重启发学生思考和探究的过程，强调理解勾股定理的概念和形式。
在课程实施中，我的教学效果达到预期。
最新华东师大版八年级数学上册《勾股定理》·教学设计-评奖教案
第14章勾股定理14.1 勾股定理1.直角三角形三边的关系【教学目标】知识与技能1.经历勾股定理的探索过程,体会数形结合的思想.2.理解直角三角形三边的关系,会应用勾股定理解决简单的数学问题.过程与方法1.经历观察—猜想—归纳———验证等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力.3.在探索过程中,体会数形结合、由特殊到一般的数学思想方法.情感、态度与价值观1.通过对勾股定理历史了解,感受数学文化,激发学习兴趣.2.在探究活动中,体验解决问题方法的多样性,培养学生的合作交流意识和探索精神.【重点难点】重点应用勾股定理解决简单的数学问题.难点勾股定理的探索过程以及勾股定理的验证.【教学过程】一、创设情景,导入新课目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各类图形等。
我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.这个事实可以说明勾股定理的重大意义.尤其是在两千年前,是非常了不起的成就.让学生画一个直角边为3 cm和4 cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长.以上这个事实是我国古代3 000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五.”这句话的意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量出AB 的长.你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗?二、师生互动,探究新知1.勾股定理的证明.【活动】8方法一:如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图的图形,利用面积证明.S正方形=c2S正方形=2ab+(a+b)2从而c2=2ab+(a-b)2即c2=a2+b2方法二:已知:在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边a、b、c.求证:a2+b2=c2.【分析】左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等.左边S=4×ab+c2,右边S=(a+b)2左边和右边的面积相等,即4×ab+c2=(a+b)2化简可得c2=a2+b2.【教学说明】以上两图出示给学生,分两组交流、证明,完成后由学生代表展示.教师归纳板书:勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长.【活动】出示习题:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,BC=20,则AB= ;(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=25,AC=20,则BC= ;(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,它的两边是6和8,则它的第三边长是;【答案】(1)13 (2)12 (3)10或2【教学说明】先由学生独立完成,再由学生展示,注意(3)要分类,按8为直角边或斜边,最后教师板书:在Rt△ABC中,∠C=90°,b=,a=,b=.三、随堂练习,巩固新知1.在Rt△ABC中,已知∠B=90°,AB=6,BC=8,求AC.解:由勾股定理,可得AB2+BC2=AC2.所以AC===10.2.如图,Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2 cm,另一直角边BC长为6 cm,求AC的长.解:由已知AB=(AC-2)cm,BC=6 cm,根据勾股定理,可得AB2+BC2=(AC -2)2+62E=AC2.解得AC=10(cm).3.如图1,为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离,一名观测者在点C设桩,使△ABC恰好为直角三角形,通过测量,得到AC的长为160米,BC的长为128米,问从点A穿过湖到点B有多远?解:如图2,在Rt△ABC中,AC=160米,BC=128米,根据勾股定理,可得AB===96(米)答:从点A穿过湖到点B有96米.四、典例精析,拓展新知【例】如图,△ABC中,AB=13,BC=14,AC=15,求BC边上的高.解:设BD=x,则DC=14-x,由勾股定理得:AB2-BD2=AC2-CD2,即132-x2=152-(14-x)2,解得x=5,∴AD=132-52=12.【教师说明】引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边,也可以为建立三边之间联系提供依据.设BD=x,可否建立方程关系.五、运用新知,深化理解1.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)已知:a=6,b=8,求c;(2)已知:a=40,c=41,求b.2.一个高4米,宽3米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为( )A.3米B.4米C.5米D.6米【答案】1.(1)10 (2)92.C已知,如图,长方形ABCD中,AB=3 cm,AD=9 cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则AE的长度为多少?【答案】设AE=x,则DE=9-x,由题意可知BE=DE=9-x,在直角三角形ABE中,由勾股定理可得:AB2+AE2=BE2,∴32+x2=(9-x)2,∴x=4,∴AE=4 cm.【教学说明】第2题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生发言的基础上,教师归纳总结.【教学反思】新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲有所不同,新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是:体验勾股定理的探索过程,会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课教师从引导构造的图形入手,用面积法证明勾股定理难度不大,但面积法教材首次用到,基于此教师在教学过程中应给予适当的引导,让学生体会成功的快乐.2.直角三角形的判定【教学目标】知识与技能掌握直角三角形的判定条件,并能进行简单运用.过程与方法经历探索直角三角形的判定条件过程,理解勾股定理的逆定理.情感、态度与价值观激发学生解决问题的愿望,体会勾股定理逆向思维所获得的结论,明确其应用范围和实际价值.【重点难点】重点理解和应用直角三角形的判定方法.难点运用直角三角形判定方法解决问题.【教学过程】一、创设情景,导入新课【实验观察】实验方法:用一根打上13个等距离结的细绳子,让同学操作,用钉子钉在第一个结上,再钉在第4个结上,再钉在第8个结上,最后将第十三个结与第一个结钉在一起,然后用角尺量出最大角的度数.(90°),可以发现这个三角形是直角三角形.二、师生互动,探究新知【教师活动】古埃及人曾经用过这种方法来得到直角,这个三角形三边长分别为多少?(3,4,5).这三边满足了怎样的条件呢?(32+42=52),是不是只有三边长为3,4,5的三角形才能构成直角三角形呢?请同学们动手画一画,如果三角形的三边分别为2.5 cm,6 cm,6.5 cm,满足关系式“2.52+62=6.52”,画出的三角形是直角三角形吗?换成三边分别为5 cm,12 cm,13 cm或8 cm,15 cm,17 cm呢?【学生活动】动手画图,体验发现,得到猜想.【教师活动】操作投影仪,提出探究的问题,引导学生思考,然后再提问个别学生.【学生活动】拿出事先准备好的纸片、剪刀,实验、领会、感悟:(1)它们完全重合;(2)理由是在△A'B'C'中,A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2,因为a2+b2=c2,因此,A'B'=c,从△ABC和△A'B'C'中,BC=a=B'C',AC=b=A'C',AB=c=A'B',推出△ABC≌△A'B'C',所以∠C=∠C'=90°,可见△ABC是直角三角形.【教师归纳】如果一个三角形的三边长a、b、c有关系式a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,且边c对的角是直角.【教学说明】采用实验、观察、比较的教学方法,突破难点.出示习题:(投影显示)1.以下各组数为边长,能组成直角三角形的是( )A.5,6,7B.10,8,4C.7,25,24D.9,17,152.以下各组正数为边长,能组成直角三角形的是( )A.a-1,2a,a+1B.a-1,2,a+1C.a-1,,a+1D.a-1,a,a+1【答案】1.C;2.B;(a-1)2+(2)2=(a+1)2.【教学说明】引导学生用勾股定理的逆定理判别直角三角形的方法.两小边的平方和等于第三边的平方.三、随堂练习,巩固新知三角形三边之比为:(1)1∶∶2;(2)4∶7.5∶8.5;(3)1∶∶2;(4)3.5∶4.5∶5.5,其中可以构成直角三角形的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C四、典例精析,拓展新知【例】某港口位于东西方向的海岸线上,“远航号”和“海天号”轮船同时离开港口,各自沿固定的方向航行,“远航号”每小时行16海里,“海天号”每小时行12海里,它们离开港口1.5小时后相距301海里,如果知道“远航号”沿东北方向航行,能知道“海天号”沿哪个方向航行吗?解:由题意画出示意图,如图,易知PQ=16×=24,PR=12×=18,PQ=30,∵242+182=302,∴PQ2+PR2=RQ2,∴∠RPQ=90°,由“远航号”沿东北方向,知道“海天号”沿西北方向航行.【教学说明】引导学生画出正确的示意图,体现数学建模思想.五、运用新知,深化理解若△ABC的三边a,b,c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断△ABC的形状.【教学说明】根据所给条件,只有从关于a,b,c的等式入手,找出a,b,c三边之间的关系,应用分解因式可得(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0,求出a=5,b=12,c=13,∵a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师归纳总结.1.勾股定理的逆定理:如果三角形的三条边长a、b、c有关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.2.该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法.3.利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解. 【教学反思】这节课在勾股定理的基础上,让学生如何从三边的关系来判定一个三角形是直角三角形,即“勾股定理的逆定理”.在证明它时,学生可能有些困难,因此课堂教学时先动手操作观察,进而得出用勾股定理证明A'B'=AB.教案中设计题型前呼后应,使知识有序推进,有助于学生理解与掌握;让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程,激发学生探究的兴趣,并从中获得成功的体验,真正体现学生是学习的主人.3.反证法【教学目标】知识与技能1.通过实例,体会反证法的含义.2.了解反证法的基本步骤,会用反证法证明简单的命题.过程与方法通过利用反证法证明命题,体会逆向思维.情感、态度与价值观在观察、操作、推理等探索过程中,体验数学活动充满探索性和创造性;渗透事物之间的相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.【重点难点】重点运用反证法进行推理论证.难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”.【教学过程】一、创设情景,导入新课出示多媒体,展示《路旁苦李》的故事的动画场景,引入反证法的课题.二、师生互动,探究新知活动1 反证法的步骤.教师给出问题:如果你当时也在场,你会怎么办?五戎是怎么判断李子是苦的?你认为他的判断正确吗?学生讨论交流,选代表发言.如果李子不是苦的,路旁的人很多,早就没有这么多李子.教师出示,若a2+b2≠c2(a≤b≤c),则△ABC不是直角三角形,你能按照刚才五戎的方法推理吗?学生活动,代表展示.若∠C是直角,则a2+b2=c2,而a2+b2≠c2,这是不可能的,即△ABC不是直角三角形.【教师归纳】先假设结论的反面是正确的;然后经过演绎推理,推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾;从而说明假设不成立,进而得出原命题正确.即:一、反设;二、推理得矛盾;三、假设不成立,原命题正确.活动2 用反证法证明.教材P116例5.【教师活动】原命题结论的反向是什么?按照假设可以得到矛盾吗?【学生活动】独立完成,交流成果,发言展示.教材P116例6.【教师活动】△ABC至少有一个内角小于或等于60°的反向是什么?按照假设可以推出矛盾吗?【学生活动】独立完成,交流成果,发言展示.【教师活动】在几何命题中涉及到有“至少”“至多”“唯一”时,直接不易证明,可考虑反证法.三、随堂练习,巩固新知1.(1)用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是钝角”时,首先应假设.(2)“已知:△ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤.①所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和定理相矛盾.②所以∠B<90°.③假设∠B≥90°.④那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是( )A.①②③④B.③④②①C.③④①②D.④③②①【答案】(1)一个三角形中有两个角是钝角(2)C【例2】求证:△ABC中至少有两个角是锐角.【答案】证明:假设△ABC中至多有一个锐角,则△ABC中有一个锐角或没有锐角.(1)当△ABC中只有一个锐角时,不妨设∠A为锐角,则∠B≥90°,∠C≥90°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以△ABC中不可能只有一个锐角.(2)假设△ABC中没有锐角,则∠A≥90°,∠B≥90°,∠C≥90°,所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和定理相矛盾,所以△ABC中不可能没有锐角.由(1)、(2)得出假设不成立,从而原命题成立.综上所述,△ABC中至少有两个锐角.四、典例精析,拓展新知【例】求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.【教师活动】(1)你首选的是哪一种证明方法?(2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?(3)能不用反证法证明吗?你准备怎样证明?要求按问题解决的四个步骤进行:理解题意(画出图形,写出已知求证);制订计划(选择证明方法,找出证明思路);执行计划(写出证明过程).【学生活动】讨论交流后独立完成.五、运用新知,深化理解【例3】求证:若a>b>0,则>.【解析】>的反面是=或<.【答案】证明:假设不大于b,则=或<.(1)当=时,可得a=b,这与已知a>b矛盾,所以=,不成立.(2)当<时,∵a>0,b>0,∴>0,>0,∴·<·,即a<.同理可证<b.∴a<b,这与已知a>b矛盾.∴<不成立.综合(1)、(2)可知:>.1.若a、b、c是实数,A=a2-2b+,B=b2-2c+,C=c2-2a+,证明A、B、C中至少有一个值大于零.【答案】假设A、B、C中没有一个值大于零,则A≤0,B≤0,C≤0,即A+B+C≤0.由已知有A+B+C=a2-2b++b2-2c++c2-2a+=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c 2-2c+1)+(π-3)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+(π-3).∵(a-1)2≥0,(b-1)2≥0,(c-1)2≥0,(π-3)≥0.∴A+B+C>0,这与假设A≤0,B≤0,C≤0相矛盾,所以A、B、C 中至少有一个值大于零.六、师生互动,课堂小结这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的基础上,教师总结.【教学反思】反证法是一种重要的证题方法,也是初中数学的难点,如何突破这一难点,并为学生更好地理解和掌握是需要教师精心设计的.在教学时应注意三个思维障碍:1.思维方向的转换,不能总用直接法;2.证明步骤存在障碍;3.归谬起点推证存在障碍.为使学生更好地理解并掌握反证法,应积极引导学生克服上述思维上的障碍,并通过有关题目训练,使学生掌握反证法.教师在教学中应强调当结论的反面不止一种情况时,应穷举;“归谬”这一步应包含“归导”与“揭谬”两个层次.。
八年级数学上册 14.1 勾股定理 14.1.2 直角三角形的判定教案2 (新版)华东师大版
14.1.2 直角三角形的判定教学目标知识与技能：掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用．过程与方法：经历探索直角三角形的判定条件的过程，理解勾股逆定理．情感态度与价值观：激发学生解决的愿望，体会勾股逆向思维所获得的结论．明确其应用范围和实际价值．重点、难点、关键重点：理解和应用直角三角形的判定．难点：运用直角三角形判定方法进行解决问题．关键：运用合情推理的方法，对勾股定理进行逆向思维，形成一种判别方法．教学准备教师准备：直尺、圆规、投影片．学生准备：复习勾股定理，预习本节课内容．教学过程一、创设情境神秘的数组（投影显示）．美国哥伦比亚大学图书馆收藏着一块编号为“普林顿322”（plim pton 322）的古巴比伦泥板．泥板上的一些神秘符号实际上是一些数组，这些神秘的数组揭示了什么奥秘呢？经专家的潜心研究，发现其中2列数字竟然是直角三角形的勾和弦，•只要添加一列数例如：60、45、70是这张表中的一组数，而且602+452=752，小明画了以60mm•、•45mm、75mm为边长的△ABC．（如图所示）请你猜想，小明所画的△ABC是直角三角形吗？为什么？教师活动：操作投影仪，提出问题，引导学生思考．学生活动：观察问题，小组合作交流，思考上述问题的解答．思路点拨：思路一：用量角器量三角形的3个内角，看有无直角．思路二：动手画一个直角三角形，使它的2条直角边的长为60mm和45mm，•看能否与△ABC全等．媒体使用：投影显示“普林顿322”泥板的图片，以及数字．古埃及人实验（投影显示）古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，用13个等距离的结把一根绳子分成等长12段，一个工匠同时握住绳子的第一个结和第13个结，两个助手分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，•就会得到一个直角三角形，其直角在第4个结论．请你思考：按这种做法真能得到一个直角三角形吗？教师活动：提出问题，引导思考．学生活动：继续探索，感悟其中的道理．形成共识：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．（勾股定理）思考：这个结论与勾股定理有什么关系呢？学生活动：通过小组讨论、分析，发现它与勾股定理恰好是条件与结论互相对换的一个语句．教师点拨：实际上它是勾股定理的逆定理，用它可以判定一个三角形是否是直角三角形．从神秘的数组中的数据可以发现它们都是勾股数，也就是满足a2+b2=c2的3个正整数a、b、c称为勾股数，古埃及实验也体现出这个特征．可见利用勾股数可以构造直角三角形．二、范例学习例3 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形．（1）7，24，25；（2）12，35，37；（3）13，11，9思路点拨：判断的依据是勾股逆定理，但是应该是将两个较小数的平方和与较大数平方进行比较，若相等，则可构成直角三角形，最大边所对的角是直角，这一点应该明确．教师活动：引导学生完成例3，然后提问学生，强调方法．学生活动：动手计算，对照勾股定理进行判断．三、随堂练习1．课本P54页第1，2题．2．探研时空:（1）如图所示，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，你能求出DC•的长吗？思路点拨：本题首先要将△ABC分割成Rt△ABD和Rt△ADC，然后具体的分析，将题设条件进行对照，确定运算．在△ABD中，∵AB=10，BD=6，AD=8，62+82=102，∴AD2+BD2=AB2于是∠ADB=90°（2）一个零件的形状如图（a）所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图（b），这个零件符合要求吗？思路点拨：这是利用勾股定理的逆定理解决实际问题的例子，只要能运用自己的语言表达清楚解决问题的过程即可，这个问题，首先应在△ABD 中计算出AB 2+AD 2=9+6=25=BD 2，得到△ABD 是直角三角形，∠A=90°，再在△BCD 中，计算BD 2+BC 2=25+144=169=CD 2，得到△BCD是直角三角形，∠DBC 是直角，由此，可以推断出这个零件符合要求．教师活动：操作投影仪，提出问题，巡视、启发，关注“学困生”，•可以请部分学生上台演示．学生活动：小组合作交流．媒体使用：投影显示“探研时空”．教学方法：讲练结合，互动交流．四、问题求索如图所示，在正方形ABCD 中，F 为DC 中点，E 为BC 上一点，且EC=14BC ． 请你猜想AF 与EF 的位置关系，说说你的理由．思路点拨：要弄清两条线段在同一平面内位置关系，就有方向了．可以猜想，AF 与EF 互相垂直，从理由上讲就是要得到∠AFE=90°，那么必定要构建与AF 、EF 有关的三角形去证明它是Rt △，因此可连接AE ，利用勾股定理，求得AF 2、EF 2、AE 2，然后再判定是否存在AF 2+EF 2=AE 2．连接AE ，设正方形边长为a ，则DF=FC=2a ，EC=4a ， 在Rt ∠ADF 中，有AF 2=AD 2+DF 2=a 2+（2a ）2=54a 2， 同理，在Rt △ECF 中，有EF 2=（2a ）2+（4a ）2=516a 2， 在Rt △ABE 中，有BE=a-14a=34a ∵AE 2=a 2+（34a ）2=2516a 2 ∴AF 2+EF 2=AE 2根据勾股定理逆定理得∠AEF=90°．因此，AF ⊥EF ．教师活动：操作投影仪，启发、引导学生运用勾股定理以及它的逆定理来解决猜想，然后归纳出方法．学生活动：小组合作讨论，共同思考、并猜想，而后去证明自己的猜想．媒体使用：投影显示．教学形式：分四人小组合作交流．五、课堂总结1．勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a 、b 、c 有下列关系：a 2+b 2=c 2．•那么这个三角形是直角三角形．2．该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．3．•利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．六、布置作业1．课本P54习题14．1第6题．2．选用课时作业设计．七、课后反思（略）第三课时作业设计一、填空题1．请完成以下未完成的勾股数：（1）8，15，______；（2）15，12，______；（3）10，26，_______；（4）7，24，______．2．△ABC中，b=17，c=8，a=15，则∠ABC=_________．3．△ABC中，若a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_______．4．已知三角形的三边长分别为5cm，12cm，13cm，则这个三角形是_____．5．△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，以BC为边的正方形面积为_______．6．三条线段m，n，p满足m2-n2=p2，以这三条线段为边组成的三角形为______．二、判断题7．由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5•为边的三角形不是直角三角形．（）8．由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3.是勾股数。
华东师大版八年级数学上册14.2勾股定理的应用教案
课题：14.2 勾股定理的应用总第 4 课时设计者： 学校:【教学目标】知识与技能：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件情感态度与价值观：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习热情。
【教学重点难点】重点：勾股定理及逆定理的应用难点：勾股定理的 正确使用【教具应用】三角板 圆规 圆柱的侧面展开图【教学过程】一、提出问题、创设情景一圆柱体的底面积为20cm ，高为4cm ，BC 是上底面的直径，一只蚂蚁从A 点出发，沿着圆柱的侧面爬行到C 点，你能求出它爬行的最短路程吗？二、自学练习：（动手试一试）（1）自制一个圆柱，尝试从A 点到C 点沿圆柱侧面画出几条路线，你认为那条线最短呢？（2）沿AB 点将圆柱的侧面剪开，展开成一个长方形。
从A 点到C 点的最短路线是什么？你画对了吗？( 3）蚂蚁从点A 出发到C 点，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？教师点拨：引导学生动手操作。
通过感性认识来突破学生空间想象的难点。
让学生在自制的圆柱侧面上寻找最短路线，提醒学生将圆柱侧面展开成长方形，1此时学生发现“两点之间线段最短”这个结论，进而解决问题。
三、合作交流：沿AB 将圆柱侧面剪开，展开成一个长方形，如图，则⊿ABC 是__________三角C D B C形AB=_________,BC=_________AC=___________ .四、应用：1、见课本58页例2.学生交流，讨论解决本例：厂门宽度足够，卡车能否通过关键是卡车位于厂门正中间时，其高度是否小于CH ，O 为AB 中点，OD=0.8米 ，CD ⊥AB ,与地面交于H是直角三角形，OC=1米 ，运用勾股定理求出CD ,进而求出CH.再和卡车高度2.5米比较测评：1. 从电线杆离地面5米处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点A到电线杆底部B 的距离。
2.求出下图中字母所代表的小结：由学生分小组进行总结，教师从几个方面给予知识点的补充:1.勾股定理及逆定理2.定理的应用方法3.本节所用到的教学思想方法作业：P60页1 、3题选作：有一块砖宽AN=5cm ，长ND=10cm ,CD 上的点B AB N DC B距地面BD=8cm ，地面上A处的一只小虫子到B处吃食物，需爬行的最短路程是多少？【教后反思】。
【精品试卷】吉林省长春市双阳区八年级数学上册 第14章 勾股定理复习教案2 (新版)华东师大版
勾股定理
教 学 目 标 知识与技能 处理习题，巩固学生的基础知识，培养学生综合复习问题的 能力。 核对答案，复习疑难问题，归纳总结知识。 过程与方法 完善自我，建立学生的自信心。 情感态度与价值观 教学重点 教学难点 巩固基础知识，提高学生综合应用知识的能力。 了解学生的不足，建立完整的知识体系。 教学内容与过程 一. 复习提问，回顾知识，请看下面的问题： （一． ） （基础知识） 直角三角形的相关 知识： 1. 应该掌握的 数学名称和相关的方法； 2. 直角三角形的定义 和性质； 3. 怎样判定应该三角形是直角三角形？ 4. 直角三角形与一般三角形在知识上的相同点和不同点. 引导学生 见识不同 类型的练习，学生自主 探究，合作讨论问题， 完成对本章习题的处 理，在应用中巩固基础 知识，提高学生综合应 用解决问题的能力。 从 习 题 中 了 解 学生 对知识的掌握程度，完 善学生的不足。 1． 带领学生核对基础知 识练习的答案，鼓励学 生总结 每题所用的知 识，并说出知识是怎样 利用的。 2． 引导学生做中等难度 的练习，鼓励学生总结 每题所用的知识。 3．引导学生分组讨论做 出较难的练习，并 教法学法设计
课后小结：直角三角形 的知识.
课后作业：做好复习，迎接考试.
教 学 反 思
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二、履 我认 里 年 一 的 去 过 在 。 面 方 责 职 行 行 履 真 成所 完 极 积 ， 责 职 位 岗 理 经 副 作任 工 项 各 的 办 交 理 经 门 部 和 导 领 、严 营 经 促 全 安 抓 狠 到 做 力 努 ， 务 润实 利 本 成 真 、 量 质 促 训 培 抓 项工 各 的 部 饮 餐 使 ， 定 稳 促 伍 队 抓 。 色 起 新 了 有 比 相 期 前 与 作 全促 安 抓 狠 1、 和实 点 特 作 工 年 去 厅 餐 合 结 。 营 经 经验 的 误 失 作 工 年 前 取 吸 ， 况 情 际 即： ” 防 七 “ 厅 餐 了 出 提 点 重 ， 训 教 食物 露 泄 气 煤 盗 、 火 防 工意 员 件 事 量 质 大 重 防 、 毒 中 取的 采 我 。 纪 法 违 工 员 防 、 伤 受 外 场合 种 各 用 利 ， 育 教 强 加 ： 是 施 措 提 断 不 ， 识 知 全 安 讲 宣 复 反 工安 员 高 大意 痹 麻 想 思 员 人 因 免 避 ， 识 意 全 管理 强 加 ； 故 事 全 安 不 的 现 出 而 ， 所 部 饮 餐 求 要 ， 认真 须 必 都 工 员 有 标准 全 安 执 格 严 ， 责 职 位 岗 行 履 、人 乱 混 理 管 因 免 避 ， 程 规 作 操 和 加强 ； 故 事 全 安 不 的 现 出 而 ， 控 失 员 的环 题 问 现 出 易 容 中 作 工 对 ， 查 检 点， 重 的 作 工 查 检 理 管 我 为 做 ， 节 出现 而 时 及 不 患 隐 现 发 因 免 避 极 积 ，餐 施 措 上 以 过 通 。 故 事 全 安 不 的 ， 里 年 一 去 过 在 部 饮 现安 出 有 没 门顺 部 为 ， 患 隐 的 大 较 和 故 事 全 要精 主 把 理 经 为 ， 务 任 年 全 成 完 利 了一 造 创 ， 上 设 建 面 全 门 部 到 入 投 力 。 件 条 定 训促 培 抓 严 2、 老晋 、 岗 到 工 员 新 对 针 。 量 质 、 级 工作 的 日 节 大 重 待 接 会 VIP宴 规性 常 些 一 与 参 、 织 组 次 多 ， 排 安 容和 内 、 划 计 对 并 ， 训 培 的 核 考 日常 对 针 ； 新 更 善 完 了 行 进 目 题 《餐 了 理 整 我 ， 题 问 的 到 遇 中 务 服 务 服 厅 工克 员 助 帮 ， 》 办 么 怎 120个 ，最 素 因 等 缺 欠 识 常 、 足 不 验 经 服 员工 了 高 提 ， 误 失 作 工 避 规 地 度 限 大 次组 首 经 助 协 ； 力 能 的 题 问 理 处 业知 专 饮 餐 馆 宾 翔 鸿 “ 了 展 开 、 织 ，增 感 誉 荣 体 集 工 员 了 高 提 ” 赛 竞 识 好氛 良 的 超 帮 赶 学 、 比 了 强 积累 训 培 展 开 门 部 后 以 为 也 ， 围 餐 对 针 ； 验 经 了 ，临 杂 繁 作 工 常 日 厅 在作 ， 点 特 一 这 多 务 任 作 工 性 时 时间 一 第 在 量 尽 ， 理 管 式 动 走 行 执 中 处理 速 迅 够 能 题 问 现 发 ， 况 情 握 掌 办公 在 少 很 我 来 年 一 ， 报 汇 示 请 和 部服 饮 餐 为 ， 上 以 过 通 。 作 工 室 ， 升 提 和 定 稳 的 量 质 务 自己 了 挥 发 。 用 作 能 职 的 3促 本 成 抓 真 、 加强 ， 示 指 的 理 经 门 部 照 按 。 润 利 “出 取 采 ， 理 管 的 品 耗 易 值 低 了 等措 ” 录 记 损 向 去 用 、 字 签 有 见的 可 处 随 巾 香 、 机 火 打 餐 像 ， 施 餐具 强 加 ； 制 控 效 有 了 到 得 象 现 别是 特 餐 的 耗 损 常 正 非 对 ， 理 管 ，严 ” 源 溯 根 追 “ 重 贵 、 具 餐 新 偿 赔 外 和 部 内 了 行 执 格 ，并 度 制 2 共 章 文 本 常 六 “ 学 所 合 结
+14.1.1第1课时+勾股定理+课件++2024—2025学年华东师大版数学八年级上册
上述这种验证勾股定理的方法是面积法.
小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合 起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理.
巩固练习
1.画出两条直角边分别为5cm、12cm为直角三角形，然 后用刻度尺量出斜边的长度，并验证上述关系对这个直 角三角形是否成立.
解：如图.
A
13 5
C
Hale Waihona Puke 12B巩固练习
角形三 边关系
BC2 + AC2 = AB2
掌握新知
分析：
方法1：把 R 看作是四个直角三角形的面积+ 小正方形面积. 方法2：把 R 看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积.
R Q
P
R
Q
P
R Q
P
R
Q
P
掌握新知
小结： 由前面的探索可以发现： 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别 为 a、b，斜边为 c，那么一定有a2 + b2 = c2. 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： ∵ 在 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°， ∴ a2 + b2 = c2（勾股定理）.
3.勾股定理的变形公式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2.
巩固练习
例2 如图是赵爽弦图的示意图，它由4个全等的直角
三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方. 其中： S大正方形＝c2
c b
S小正方形＝(b-a)2 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形
a b-a
即 c2=4×1 ab+(b-a)2, 2
c2=2ab+a2-2ab+b2
所以 a2+b2=c2
1勾股定理(第2课时)教学PPT课件(华师大版)
C. a 1， 2a，a 1
D. a 1， 2a，a 1
当堂检测
5.若三角形ABC的三a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断
△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2.
“直角三角形”为条件，数量关系a2+ b2= c2 数量关系a2+ b2= c2为条件，“直角三角形”
为结论. 是直角三角形的性质.
为结论. 是直角三角形的判定.
联系
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
讲授新课
典例精析
【例1】下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指
∴△ABC直角三角形.
当堂检测
6.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经
验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判
断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解:由题意画出相应的图形AB=240海里,BC=70海里,AC=250 海里; 在△ABC中AC2-AB2=2502-2402 =4900=702 =BC2 即AB2+BC2=AC2 ∴△ABC是Rt△ 答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.
勾股定理2
勾股定理百色市靖西县二中赵干教材：华东师大版八年级《数学》上册教学任务教学目标知识与技能目标理解并掌握勾股定理及其证明．过程与方法目标在学生经历“观察——猜想——归纳——验证”勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想．情感与态度目标通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣：在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神．重点探索和证明勾股定理难点用赵爽弦图证明勾股定理教学过程设计问题与情境师生行为设计意图活动1 创设情境→激发兴趣2002年在北京召开的第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会会徽的图案．它象一个转动的风车，挥舞着手臂，欢迎来自世界各国的数学家们．（1）你见过这个图案吗？（2）你听说过“勾股定理”吗？教师出示照片及图片．学生观察图片发表见解．教师作补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽用来证明勾股定理的“赵爽弦图”加工而来，展现了我国古代对勾股定理的研究成果，是我国古代数学的骄傲．教师应重点关注：（1）学生对“赵爽弦图”及勾股定理的历史是否感兴趣；（2）学生对勾股定理的了解程度．通过欣赏图片，了解历史，介绍与勾股定理有关的背景知识，激发学生学习兴趣，自然引出本节课的课题．活动2 观察特例→发现新知毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家．相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系．（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？教师展示图片，提出问题．学生独立观察图形，分析思考其中隐藏的规律．学生通过直接数等腰直角三角形的个数，或者用割补的方法将会徽（2）你能找出图中正方形A ，B ，C 面积之间的关系吗？（3）图中正方形A ，B ，C 所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系？正方形A 、B 中小等腰直角三角形补成一个大正方形得到：正方形A 、B 的面积之和等于大正方形C 的面积．教师引导学生，由正方形的面积等于边长的平方归纳得出：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．活动3 深入探究→交流归纳 （1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？（每一格表示１平方厘米） 如图，每个小方格的面积均为1平方厘米，以格点为顶点，有一个直角边分别是3厘米、4厘米的直角三角形．仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长作正方形． （2）想一想，怎样利用小方格计算正方形P 、Q 、R 面积？（3）正方形P 、Q 、R 面积之间的关系是什么？（4）直角三角形ABC 三边的长度之间存在什么关系？（5）分别以5厘米、12厘米为直角三角形的直角边做出一个直角三角形，并测量斜边的长度，前面得到的规律对这个三角形还成立吗？教师出示图表：学生独立观察并计算各图中正方形P 、Q 、R 的面积并完成填表．教师参与小组活动，指导、倾听学生交流，针对不同的认识水平的学生，引导其用不同的方法得出大正方形的面积． 学生分组交流，展示求面积的不同方法，如：在正方形R 周围补出四个全等的直角三角形而得到一个大正方形，通过图形面积的和差，得到正．方形R 的面积．或者，将正方形R 分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，求得正方形R 的面积．学生利用表格有条理地呈现数据，归纳得到：正方形P 、Q 的面积之和等于正方形R 的面积． 在上一活动“探究等腰直角三角形的三边关系”的基础上，学生类比迁移，得到：两直角边的平方和等于斜边的平方． 师生共同讨论、交流、逐步完善，得到勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么222ab c +=．教师应重点关注：C AB A A PA RAQ A学生能否主动参与探究活动，在讨论中发表自己的见解，倾听他人的意见，对不同的观点进行质疑，从中获益．活动4 弦图验证→加深理解 以上仅仅是在几个有具体数值的直角三角形中发现的，在任意一个直角三角形中这个结论是否仍成立呢？观察赵爽弦图，思考： 如何计算大正方形的面积？赵爽是怎样利用这个弦图证明勾股定理的？赵爽弦图学生观察图形可知：大正方形面积=四个全等直角三角形面积+中间小正方形面积．再由代数恒等变形能得到：222a b c +=让学生模拟数学家的思维方法和思维过程，亲身体验勾股定理的探索与验证，使学生对定理的理解更加深刻，体会数形结合思想，发挥创造性思维能力．（定理释名）我国是最早发现勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载：公元前1120年人们已经知道“勾三、股四、弦五”．把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦．将此定理命名为勾股定理．对学生进行爱国主义教育，增强学生的民族自豪感．活动5 实践应用→拓展提高1．求出下列直角三角形中未知边的长度．2．如图所示，一棵大树在一次强烈台风上于离地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处．大树在折断之前高多少米？练习 1 是求直角三角形中未知边的长度，提示学生分清直角边和斜边，再将值代入222a b c +=求解．归纳出：已知直角三角形任意两边，能求第三边．练习2是在练习1的基础上运用勾股定理解决简单实际问题．补充课堂练习，让学生对本节课的知识进行最基本的运用，为下节课勾股定理的应用做好铺垫．活动6：回顾小结→整体感知学生谈体会． 学生通过对学习A BC b-a b caB C A10 6 BC A15 8 10m 24m过程小结，知识小结．教师进行补充．教师应关注学生是否能从不同方面谈感受．过程的小结，领会其中的数学思想方法；通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养归纳概括能力．活动7：布置作业→巩固加深1．阅读课本55-56页的内容，更多的了解勾股定理的发展史．2．收集有关勾股定理的证明方法．。
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§14.2勾股定理的应用（1）
【教学目标】
知识与技能：能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题
过程与方法：经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件
情感态度与价值观：培养合情推理能力，体会数形结合的思维方法，激发学习
热情。
【教学重点难点】
重点：勾股定理及逆定理的应用
难点：勾股定理的正确使用
【教学过程】一：例题讲解
勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用。
例1如图14.2.1，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行．大家用一张白纸卷折圆柱成圆柱形状，标出A、B、C、D各点，然后打开，蚂蚁在圆柱上爬行的距离，与在平面纸上的距离一样．AC之间的最短距离是什么？根据是什么？
B
C
根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形ASBCD对角线AC之长．我们可以利用勾股定理计算出AC的长。
C
B
A
解如图，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周长的一半＝１０cm，根据勾股定理得
（提问：勾股定理）
∴ AC＝2
2BC
AB+＝2
210
4+
＝29
2≈１０．７７（cm）（勾股定理）．
答：最短路程约为１０．７７cm．
例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图14.2.3的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
图14.2.3
分析由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图１４.２.３所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥ＡＢ，与地面交于H．
解：OC＝1米(大门宽度一半)，
OD＝0.8米（卡车宽度一半）
在Rt△OCD中，由勾股定理得
ＣＤ＝2
2OD
OC-＝2
28.0
1-＝０.６米，
CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门．
二;小结
本节课我们学习了应用勾股定理来解决实际问题.在实际当中，长度计算是一个基本问题，而长度计算中应用最多、最基本的就是解直角三角形，利用勾股定理已知两边求第三边，我们要掌握好这一有力工具.
四：练习：
书54页练习第1,2、3题。
五：课后反思：
§14.2勾股定理的应用（2）
【教学目标】：
1、准确理解勾股定理及其逆定理。
2、掌握定理的应用方法，体会数学的数形结合思想和应用价值。
3、培养学数学的兴趣。
【教学重点、难点】：、
1、正确选用勾股定理及其逆定理。
2、从实际问题中找出可应用的直角三角形。
【教学过程】
一：例题讲解
例3如图14.2.5，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：
（1）从点A出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；
（2）画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形，使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．
分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求
．
图14.2.5 图14.2.6
例4如图14.2.7，已知CD＝６m， AD＝８m，∠ADC＝９０°， BC＝２４m，ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．
解在Rt△ADC中，
AC2＝ＡＤ2＋ＣＤ2＝６2＋８2＝１００（勾股定理），
∴ AC＝１０m．
∵ＡＣ2＋ＢＣ2＝１０2＋２４2＝６７６＝ＡＢ2，
∴△ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a2＋b2＝c2，
那么这个三角形是直角三角形），
∴ S阴影部分＝Ｓ△ACB－Ｓ△ACD＝1/2×１０×２４－1/2×６×８＝９６
（m2）
二、随堂练习：
书54页练习第、4、5、6题。
五：课后反思：
．。