高中数学必修4 平面向量的数量积

例题解析
例 已 知a b a与 b的 夹 角 为 = 6 0 , 求 ( a 2 b ) ( a 3 b ).
例5. 已知 | a | 3,| b | 4, 当且仅当k为何值时， 向量a kb与a kb 互相垂直？
2 aa a
(4)当a与b反向时， b | a || b |; a
(6) | a b || a || b |
练习2
1 .若 a = 0 , 则 对 任 一 向 量 b , 有 a b 0 √ 2 . 若 a 0, 则 对 任 一 非 零 向 量 b, 有 a b 0 × 3 . 若 a 0, a b 0, 则 b 0 × 4 . 若 a b 0, 则 a , b中 至 少 有 一 个 为 0 × × 5 .若 a 0 ,a b b c , 则 a c 6 . 若 a b a c , 则 b c , 当 且 仅 当 a 0时 成 立 .× 2 2 7 . 对 任 意 向 量 a 有 a a √
问题思考
我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下 产生位移s（如图）
F S θ
力F所做的功W可用下式计算 W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的 概念。
阅读思考
向量的夹角
已知两个非零向量 a 和 b，作OA= a, OB= b， 则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量 a 与 b 的夹角。
B
O
θ
A
特殊情况
θ=0° θ=180°
θ =90°
阅读思考
向量数量积的义
已知两个非零向量a与b，它们的 夹角为θ，我们把数量|a| |b|cosθ叫做 a与b的数量积（或内积），记作a· b
a· b=|a| |b| cosθ
规定:零向量与任一向量的数量积为0。
例题解析
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a· b。
（也叫内积）
问题思考 向量的数量积是一个数量，那么它 什么时候为正，什么时候为负？
a b | a || b | co s
b
( a 0, b 0 )
B
O
a A

a
B1
O
A A
a
b B

O
A1
b
B
大于零
等于零
小于零
性质总结 a b | a || b | co s
(1)a b a b 0
(2)当a与b同向时， b | a || b |; a
( a 0, b 0 )
2 (3)a a | a | 或 | a |
a b (5) cos | a || b |
(a b ) c a (b c )
(3)( a b ) c a c b c
b
B
Байду номын сангаас
a
A
C1
O
A1
c
B1
C
例题解析
例 2：求证： （1）(a＋b)2＝a2＋2a· 2； b＋b
（2）(a＋b)· (a－b)＝a2－b2.
课堂小结
1、向量的数量积的定义 2、向量的数量积的几何意义
3、向量的数量积的运算律
4 、必须掌握的五条重要性质
课本 P108 1, 2, 3, 6
再见！
阅读思考
平面向量的数量积的运算律： (1) a b b a ( 2 )( a ) b ( a b ) a ( b )
(3)( a b ) c a c b c
其中，a、b 、c 是任意三个向量， R
练习：p106---1，2
阅读思考
b在 a 方 向 上的投影
平面向量的数量积的几何意义
b
B

O
B1
|a|
a
A
记作a b 即 a b | a || b | cos 叫 a与 b数 量 积
O B1 | b | co s