2016年浙江省数学高考模拟精彩题选——立体几何 Word版含答案
高考数学二轮复习(浙江专用)训练：专题四 立体几何 第1讲 Word版含解析
一、选择题1.(2016·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( ) A.m ∥l B.m ∥n C.n ⊥lD.m ⊥n解析 由已知，α∩β＝l ，∴l ⊂β，又∵n ⊥β，∴n ⊥l ，C 正确.故选C. 答案 C2.(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD.1＋26π解析 由三视图知，半球的半径R ＝22，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫223＝13＋26π，故选C.答案 C3.(2016·全国Ⅲ卷)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4πB.9π2C.6πD.32π3解析由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为9π2.答案 B4.(2014·全国Ⅰ卷)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A.6 2B.4 2C.6D.4解析如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝（42）2＋22＝6，选C.答案 C5.已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A.存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝2，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB⊥CD. 答案 B二、填空题6.如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点.现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足.设AK ＝t ，则t 的取值范围是________.解析 如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ， ∵平面ABD ⊥平面ABC ，又DK ⊥AB ， ∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF . ∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接近C 点时，K 接近AB 的四等分点.所以t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，17.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是________.解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋ 3. 答案 2＋ 38.(2016·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ＝BC ＝3，CD ＝1，AD ＝5，∠ADC ＝90°，沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′，直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是________.解析 设直线AC 与BD ′所成角为θ，平面ACD 翻折的角度为α，设O 是AC 中点，由已知得AC ＝6，如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫302，0，0， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－62，0，作DH ⊥AC 于H ，翻折过程中，D ′H 始终与AC 垂直，CH ＝CD 2CA ＝16＝66，则OH ＝63，DH ＝1×56＝306，因此可设D ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－306cos α，－63，306sin α， 则BD ′→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－306cos α－302，－63，306sin α，与CA →平行的单位向量为n ＝(0，1，0)，所以cos θ＝|cos 〈BD →，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BD →·n |BD →|·|n |＝639＋5cos α，所以cos α＝－1时，cos θ取最大值66. 答案66 三、解答题9.在正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别是AB ，AC ，BC 边上的点，满足AE ∶EB ＝CF ∶F A ＝CP ∶PB ＝1∶2(如图1)，将△AEF 折起到△A 1EF的位置，连接A 1B ，A 1C (如图2).(1)求证：FP ∥平面A 1EB ； (2)求证：EF ⊥A 1B .证明 (1)∵CP ∶PB ＝CF ∶F A ，∴FP ∥BE ， 又BE ⊂平面A 1EB ，FP ⊄平面A 1EB ， ∴FP ∥平面A 1EB .(2)不妨设正三角形ABC 的边长为3， 则AE ＝1，AF ＝2.又∵∠EAF ＝60°，∴EF 2＝AE 2＋AF 2－2AE ·AF cos ∠EAF ＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，∴EF ＝3.在△AEF 中，有AF 2＝AE 2＋EF 2，∴EF ⊥AE ， 即EF ⊥AB .则在题图2中， 有EF ⊥A 1E ，EF ⊥BE ，又A 1E ，BE ⊂平面A 1BE ，A 1E ∩BE ＝E ，∴EF ⊥平面A 1EB ，又∵A 1B ⊂平面A 1EB ，∴EF ⊥A 1B .10.(2017·江南十校联考)如图1，等腰梯形ABCD 中，BC ∥AD ，CE ⊥AD ，AD ＝3BC ＝3，CE ＝1.求△CDE 沿CE 折起得到四棱锥F －ABCE (如图2)，G 是AF 的中点.(1)求证：BG ∥平面ECE ；(2)当平面FCE ⊥平面ABCE 时，求三棱锥F －BEG 的体积. (1)证明 如图，取EF 的中点M ，连接GM 、MC ，则GM 綊12AE .∵等腰梯形ABCD 中，BC ＝1，AD ＝3， ∴BC 綊12AE .∴GM 綊BC ，∴四边形BCMG 是平行四边形， ∴BG ∥CM .又CM ⊂平面FCE ，BG ⊄平面FCE ，∴BG ∥平面FCE .(2)解∵平面FCE ⊥平面ABCE ，平面FCE ∩平面ABCE ＝CE ， EF ⊂平面FCE ，FE ⊥CE ，∴FE ⊥平面ABCE . 又V F －BEG ＝V B －GEF ＝12V B －AEF ＝12V F －ABE ， S △ABE ＝12×2×1＝1， ∴V F －BEG ＝12×13×1×1＝16.11.如图所示，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：AE ⊥BE ；(2)设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .(1)证明∵AD ⊥平面ABE ， AD ∥BC ， ∴BC ⊥平面ABE ， ∵AE ⊂平面ABE ， ∴AE ⊥BC .又∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ， ∴AE ⊥BF .∵BC ∩BF ＝B ，BC ，BF ⊂平面BCE ， ∴AE ⊥平面BCE . 又BE ⊂平面BCE ， ∴AE ⊥BE .(2)解 在△ABE 中过M 点作MG ∥AE 交BE 于G 点，在△BEC 中过G 点作GN ∥BC 交EC 于N 点，连接MN ，则由比例关系易得CN ＝13CE . ∵MG ∥AE ，MG ⊄平面ADE ，AE ⊂平面ADE ， ∴MG ∥平面ADE . 同理，GN ∥平面ADE .又∵GN∩MG＝G，GN，MG⊂平面MGN，∴平面MGN∥平面ADE.又MN⊂平面MGN，∴MN∥平面ADE.∴N点为线段CE上靠近C点的一个三等分点.。
2016年浙江省数学高考模拟精彩题选——解析几何小题 Word版含答案
2016浙江精彩题选——解析几何小题1.（2016丽水一模7）已知1F ，2F 分别为双曲线C ：12222=-by a x 的左、右焦点， 若存在过1F 的直线分别交双曲线C 的左、右支于A ，B 两点，使得122F BF BAF ∠=∠，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 （ C ）A ．()+∞,3B ．()521+,C ．()523+, D ．()31, 解：由三角形相似，222112BF AF AB k BF BF F F ===，则1122122AB BF AF kBF BF kBF AF k c =-=⎧⎪=⎨⎪=⋅⎩，1211122(1)2BF BF aBF kBF a k BF a-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩112BF AF kBF -=，112AF BF kBF =-，22112AF a BF k BF -=-21,3ak e c a∴=<∴>- 12(1)2a BF a c a -=-，12()3a c a BF c a c a-=≥+-，2e ∴≤+ 此题为2016离心率难度之最2.（2016宁波十校 14） 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，过2F 的直线交双曲线的右支于,P Q 两点，若112||||PF F F =，且223||2||PF QF =，则该双曲线的离心率为 75.3（2016嘉兴二模7）．如图，双曲线)0,(12222>=-b a by a x 的右顶点为A ，左右焦点分别为21,F F ,点P 是双曲线右支上一点，1PF 交左支于点Q ，交渐近线x aby =于点R ．M 是PQ 的中点，若12PF RF ⊥，且1PF AM ⊥，则双曲线的离心率是 （ C ） A ．2B ．3C ．2D ．5分析：由222b y x a x y c ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得，(,)R a b ，2F R b k a c =-，1F Rb k ac =+， 由1MF A ∆与12RF F ∆相似得，1122M R y F A a c y F F c +==，2M a cy b c+=⋅，由R 、M 、F 1三点共线（第7题）可求M 的横坐标，再由点差法122F R OM b k k a⋅=建立等量关系。
2016届高考数学(浙江专用理科)二轮专题精练专题五解析几何5-1Word版含解析
专题五解析几何第1讲直线与圆(建议用时：60分钟)一、选择题1．(2015·广东卷)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是()．A．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0解析设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有|0＋0＋c|22＋12＝5，解得c＝±5，所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选D.答案 D2．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(x－b)2＝2相切”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析由直线与圆相切，得|a－b＋2|2＝2，即|a－b＋2|＝2，所以由a＝b可推出|a－b＋2|＝2，即直线与圆相切，充分性成立；反之|a－b＋2|＝2，解得a＝b 或a－b＝－4，必要性不成立．答案 A3．(2014·浙江卷)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是()．A．－2 B．－4 C．－6 D．－8解析由圆的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r＝2－a.圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r2＝d2＋⎝⎛⎭⎪⎫422得2－a＝2＋4，所以a＝－4.答案 B4．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0，设该圆中过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积是()．A．10 6 B．20 6 C．30 6 D．40 6解析配方可得(x－3)2＋(y－4)2＝25，其圆心为(3,4)，半径为r＝5，则过点(3,5)的最长弦AC＝2r＝10，最短弦BD＝2r2－12＝46，且有AC⊥BD，则四边形ABCD的面积为S＝12AC×BD＝20 6.答案 B5．(2015·金华质检)已知圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆心为抛物线y2＝4x的焦点，且与直线3x＋4y＋2＝0相切，则该圆的方程为()．A．(x－1)2＋y2＝6425B．x2＋(y－1)2＝6425C．(x－1)2＋y2＝1 D．x2＋(y－1)2＝1解析因为抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以a＝1，b＝0.又根据|3×1＋4×0＋2|32＋42＝1＝r，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝1.答案 C6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为()．A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17解析两圆心坐标分别为C1(2,3)，C2(3，4)．C1关于x轴对称的点C1′的坐标为(2，－3)，连接C2C1′，线段C2C1′与x轴的交点即为P点．(|PM|＋|PN|)min＝|C2C1′|－R1－R2＝(3－2)2＋(4＋3)2－1－3＝50－4＝52－4(R 1，R 2分别为两圆的半径)．故选A.答案 A7．(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )．A ．－53或－35B ．－32或－23 C ．－54或－45D ．－43或－34解析 圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1的圆心为(－3,2)，半径r ＝1.(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)．如图所示，反射光线一定过点(2，－3)且斜率k 存在，∴反射光线所在直线方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.∵反射光线与已知圆相切， ∴|－3k －2－2k －3|k 2＋(－1)2＝1，整理得12k 2＋25k ＋12＝0，解得k ＝－34或k ＝－43. 答案 D 二、填空题8．(2014·湖北卷)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝__________.解析 依题意，不妨设直线y ＝x ＋a 与单位圆相交于A ，B 两点，则∠AOB ＝90°.如图，此时a ＝1，b ＝－1，满足题意，所以a 2＋b 2＝2.答案 29．若直线ax ＋by ＝1过点A (b ，a )，则以坐标原点O 为圆心，OA 长为半径的圆的面积的最小值是________．解析 由题意知，ab ＝12，半径r ＝a 2＋b 2≥2ab ＝1，故面积的最小值为π. 答案 π10．(2014·重庆卷)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.解析 圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋a －2|a 2＋12＋12＝22，解得a ＝4±15. 答案 4±1511．(2015·新课标全国Ⅱ卷改编)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝________.解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋ (－1)×(－9)＝0，所以AB→⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝4 6. 答案 4 612．(2015·绍兴检测)若直线l ：4x ＋3y －8＝0过圆C ：x 2＋y 2－ax ＝0的圆心且交圆C 于A ，B 两点，O 坐标原点，则△OAB 的面积为________．解析 由题意知，圆C ：x 2＋y 2－ax ＝0的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0.又直线l ：4x ＋3y －8＝0过圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，∴4×a2＋3×0－8＝0.∴a ＝4.∴圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.∴|AB |＝2r ＝4.又点O (0,0)到直线l ：4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|0＋0－8|42＋32＝85，∴S △OAB ＝12|AB |·d ＝12×4×85＝165. 答案 165 三、解答题13．已知点A (－3,0)，B (3,0)，动点P 满足|P A |＝2|PB |. (1)若点P 的轨迹为曲线C ，求此曲线的方程；(2)若点Q 在直线l 1：x ＋y ＋3＝0上，直线l 2经过点Q 且与曲线C 只有一个公共点M ，求|QM |的最小值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )， 则(x ＋3)2＋y 2＝2(x －3)2＋y 2， 化简可得(x －5)2＋y 2＝16，即为所求．(2)曲线C 是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆，如图．由直线l 2是此圆的切线，连接CQ ，则|QM |＝|CQ |2－|CM |2＝|CQ |2－16，当CQ ⊥l 1时，|CQ |取最小值，|CQ |＝|5＋3|2＝42，此时|QM |的最小值为32－16＝4.14．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点都在圆C 上． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 与直线x －y ＋a ＝0交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，求a 的值． 解 (1)曲线y ＝x 2－6x ＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±22，0)．故可设圆心坐标为(3，t )，则有32＋(t －1)2＝()222＋t 2.解得t ＝1，则圆的半径为32＋(1－1)2＝3. 所以圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其坐标满足方程组 ⎩⎨⎧x －y ＋a ＝0，(x －3)2＋(y －1)2＝9，消去y 得到方程2x 2＋(2a －8)x ＋a 2－2a ＋1＝0， 由已知可得判别式Δ＝56－16a －4a 2＞0，由根与系数的关系可得x 1＋x 2＝4－a ，x 1x 2＝a 2－2a ＋12，①由OA ⊥OB 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0.又y 1＝x 1＋a ，y 2＝x 2＋a .所以2x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2＝0.由①②可得a ＝－1，满足Δ＞0，故a ＝－1.15．已知以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△AOB 的面积为定值；(2)设直线2x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程； (3)在(2)的条件下，设P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点，求|PB |＋|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．(1)证明 由题设知，圆C 的方程为(x －t )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －2t 2＝t 2＋4t 2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4t y ＝0，当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t,0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4t ，∴S △AOB ＝12|OA |·|OB |＝12|2t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4t ＝4为定值． (2)解 ∵|OM |＝|ON |，则原点O 在MN 的中垂线上，设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴C ，H ，O 三点共线，则直线OC 的斜率k ＝2t t ＝2t 2＝12，∴t ＝2或t ＝－2.∴圆心为C (2,1)或(－2，－1)，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5，由于当圆方程为(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝5时，直线2x ＋y －4＝0到圆心的距离d >r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.(3)解 点B (0,2)关于直线x ＋y ＋2＝0的对称点为B ′(－4，－2)，则|PB |＋|PQ |＝|PB ′|＋|PQ |≥|B ′Q |，又B ′到圆上点Q 的最短距离为|B ′C |－r ＝(－6)2＋(－3)2－5＝35－5＝2 5.所以|PB |＋|PQ |的最小值为25，直线B ′C 的方程为y ＝12x ，则直线B ′C 与直线x ＋y ＋2＝0的交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，－23.。
浙江省高考数学模拟试卷6文科含答案word精校打印版可编辑
2016年浙江省普通高中高考模拟试卷数 学 （文科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
考试时间120分钟。
参考公式：球的表面积公式 柱体的体积公式24R S π= V Sh =球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高334R V π=球台体的体积公式 其中R 表示球的半径121()3V Sh S S =椎体的体积公式 其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积13V Sh = h 表示台体的高其中S 表示椎体的底面积，h 表示椎体的高选择题部分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. [原创]已知ln x π=，1log ey π=，12z e-=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<2. [原创] 已知直线l 、m 与平面α、β，βα⊂⊂m l ,，则下列命题中正确的是 A ．若m l //，则必有βα// B ．若m l ⊥，则必有βα⊥ C ．若β⊥l ，则必有βα⊥ D ．若βα⊥，则必有α⊥m3. [原创]为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位4. [原创]若实数,x y 满足约束条件24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，目标函数z tx y =+有最大值6，则t 的值为A ．3 B.-3 C ．1 D ．1-5.[改编] 已知等比数列}{n a 前n 项和为n S ，则下列一定成立的是A ．若03>a ，则20150a <B ．若04>a ，则20160a <C ． 若03>a ，则20150S >D ．若04>a ，则20160S > 6.[改编] 已知0,0,3x y x y <<+=-若11z x y=+则z 的最值为 ( ) A ．最小值-2 B ．最小值-4 C ．最大值-4 D ．最大值-2 7. [改编]已知函数(](]1,1()12,1,3x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩ ，其a >0，且函数-1(2)()f x f x -=+，若函数()g x =3()f x -x 恰有5个零点，则实数a 的取值范围是（A.(3B. 8)33C. 4(3D. 48(,)338. 正方体D C B A ABCD ''''-中，M 为BC 边的中点, 点P 在底面D C B A ''''和侧面C D CD ''上运动并且使C PA C MA '∠='∠，那么点P 的轨迹是（ ）A.两段圆弧B.两段椭圆弧C.两段双曲线弧D.两段抛物线弧非选择题部分二、填空题（本大题7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）9.[原创] 若集合A= {x Z ∈∣} B=(2|2x x x ->0},则__________,A ⋂(R CB )的子集个数为________个.10. [原创]设函数()2sin(2),6f x x π=+则该函数的最小正周期为________，单调递减区间为_______________.11. [改编]已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是__________，表面积是____________.B '12. [改编]过点(2,0)A 作直线l 交圆22:9C x y +=于两点，过其中任一点P 作直线l 的垂线交圆于点Q ，当直线l 绕点A 转动时，则PQ 最长为___________，此时直线方程为_________________.13.[原创] 已知||2,||3a b ==，且它们的夹角为120°,当||()a b R λλ+∈取最小值时，λ=___________.14.[改编]已知实数,x y 满足221,x y +≤则|22||623|x y x y +-+--的最大值是_____.15.[改编]过曲线1C ：()222210,0y x a b a b-=>>的下焦点1F 作曲线2C ：222x y a +=的切线，设切点为P ，延长1F P 交曲线3C ：22x py =于点Q ，其中曲线1C 与3C 有 一个共同的焦点，若1||PF ||PQ =，则曲线1C 的离心率为___________．三、解答题(本大题共5小题，共74分。
【合集】浙江省2016届高三数学(文)专题复习：专题四 立体几何
【合集】浙江省2016届高三数学（文）专题复习检测（真题体验+模拟演练+过关提升）专题四 立体几何目录真题体验.引领卷 (1)经典模拟.演练卷 (4)专题过关.提升卷 (7)答案 (13)真题体验·引领卷一、选择题1．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.152．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛3．(2015·安徽高考)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面4．(2015·福建高考)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为() A．36πB．64πC．144πD．256π6．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1 B．2C．4 D．8二、填空题7．(2015·江苏高考)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________．8．(2015·重庆高考改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．9．(2015·四川高考)如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cos θ的最大值为________．三、解答题10．(2015·浙江高考)在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D 为B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．11.(2014·天津高考)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA＝BD＝2，AD＝2，P A＝PD＝5，E，F分别是棱AD，PC的中点．(1)证明：EF∥平面P AB；(2)若二面角P－AD－B为60°，①证明：平面PBC⊥平面ABCD；②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．12．(2015·天津高考)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB ＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点．(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1；(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．专题四 立体几何经典模拟·演练卷一、选择题1．(2015·济宁模拟)已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．(2015·潍坊三模)一个几何体的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形，则该几何体的体积为( )A.423B.823C.1623 D ．16 23．(2015·诸暨中学模拟)已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( )A.64B.104C.22D.324．(2015·河北质检)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A.92B.32 C ．3 D ．25．(2015·吉林实验中学模拟)已知E ，F 分别是矩形ABCD 的边BC 与AD 的中点，且BC ＝2AB ＝2，现沿EF 将平面ABEF 折起，使平面ABEF ⊥平面EFDC ，则三棱锥A －FEC 外接球的体积为( ) A.33π B.32π C.3π D ．23π6．(2015·宁波联考)如图，棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为线段A 1B 上的动点，则下列结论错误的是( )A ．DC 1⊥D 1PB ．平面D 1A 1P ⊥平面A 1APC ．∠APD 1的最大值为90°D ．AP ＋PD 1的最小值为2＋ 2二、填空题7．(2015·金华模拟)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为棱DD 1上的点，F 为AB 的中点，则三棱锥B 1－BFE的体积为________．8．(2015·保定调研)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．9．(2015·杭州模拟)在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥平面ABCD ，AB ＝PD ＝a ，点E 为侧棱PC 的中点，又作DF ⊥PB 交PB 于点F ，则PB 与平面EFD 所成角为________．三、解答题10．(2015·杭州模拟)如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ＝2，AD ＝CD ＝7，P A ＝3，∠ABC ＝120°，G 为线段PC 上的点．(1)证明：BD ⊥平面APC ；(2)若G 为PC 的中点，求DG 与平面APC 所成的角的正切值；(3)若G 满足PC ⊥平面BGD ，求PG GC 的值．11．(2015·浙江名校联考)如图1，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，∠A ＝60°，∠C ＝90°，CD ＝2.把△ABD 沿BD 折起，使二面角A －BD －C 的余弦值等于33(如图2)．(1)求AC ；(2)证明：AC ⊥平面BCD ；(3)求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值．12．(2015·温州中学二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．专题四立体几何专题过关·提升卷第Ⅰ卷(选择题)一、选择题1．(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是()A．8 cm3B．12 cm3C.323 cm 3D.403 cm 32．设a ，b 是两条直线，α，β表示两个平面，如果a ⊂α，α∥β，那么“b ⊥β”是“a ⊥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．(2015·山东高考)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.2π3B.4π3C.5π3 D ．2π4．(2015·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．55．(2015·北京朝阳区质检)在空间直角坐标系O －xyz 中，已知A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，D (1，1，2)，若S 1，S 2，S 3分别表示三棱锥D －ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 1＝S 2且S 3≠S 1C ．S 1＝S 3且S 3≠S 2D ．S 2＝S 3且S 1≠S 36．(2015·杭州中学模拟)一个四棱锥的三视图如图所示，下列说法中正确的是( )A．最长棱的棱长为 6B．最长棱的棱长为3C．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形D．侧面四个三角形都是直角三角形7．(2015·嘉兴模拟)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB＝2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是()A．[1，2) B．(1，2]C．(0，1] D．(0，2)8．某市博物馆邀请央视《一槌定音》专家鉴宝，其中一藏友持有的“和田玉”的三视图如图所示，若将和田玉切割、打磨、雕刻成“和田玉球”，则该“玉雕球”的最大表面积是()A．4πB．16πC．36πD．64π第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题9．(2015·舟山中学模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝32，BC＝2，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥A－BCD的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥A－BCD侧视图的面积为________．10．如图所示，ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，AC ⊥CB ，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点．若BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与CF 1所成角的正弦值是________．11．(2015·杭州二中调研)在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝1，P A ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为________．12．(2014·山东高考)在三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1V 2＝________． 13．多面体MN －ABCD 的底面ABCD 为矩形，其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则AM 的长为________．14．(2015·天津高考)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.15．将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起后，使得平面ADC ⊥平面ABC ，在折起后的三棱锥D －ABC 中，给出下列四个命题：①AC ⊥BD ；②侧棱DB 与平面ABC 成45°的角；③△BCD 是等边三角形；④三棱锥的体积V D－ABC ＝26.那么正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．三、解答题16.如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝ 2.(1)证明：AC⊥平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．17．(2015·湖南高考)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．(1)证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F－AEC 的体积．18．(2015·嘉兴联考)如图，三棱台A1B1C1－ABC中，侧棱CC1⊥底面ABC，∠ACB＝90°，B1C1＝AC＝a，BC＝3a，CC1与AB1所成的角为45°，P为线段BC上一点，且CP＝a .(1)求证：直线BB 1⊥平面AB 1C ；(2)求直线AP 与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值．19．如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，AD ＝CD ＝1，AA 1＝AB ＝2，E 为棱AA 1的中点．(1)证明B 1C 1⊥CE ；(2)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值；(3)设点M 在线段C 1E 上，且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26，求线段AM 的长．20．(2015·天津高考)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点． (1)求证：MN ∥平面ABCD ； (2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值；(3)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段A 1E 的长．答案专题四 立体几何真题体验·引领卷1．D [如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD －A1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为16∶56＝1∶5.]2．B [由题意知，米堆的底面半径R ＝163(尺)，则米堆体积V ＝13×14πR 2·h ＝13×14×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫1632×5≈3209(立方尺)．所以堆放的米大约为3209×1.62≈22(斛)．]3．D [A 中α∥β或α与β相交，A 错；B 中直线m 与n 的位置关系：相交、平行或异面，B 错；C 中，在α内存在直线l 平行α与β的交线，从而l ∥β.因此C 不正确；选项D 中，假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n 与m 、n 不平行矛盾，因此m ，n 不能垂直于同一平面，D 正确．]4．B [当l ∥α时，由于m ⊥平面α.∴m ⊥l .则必要性成立．但l ⊥m 时，由于m ⊥α，则l ⊂α或l ∥α，故充分性不成立．故“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件．]5．C [设点C 到平面OAB 的距离为h ，球O 的半径为R (如图所示)．由∠AOB ＝90°，得S △AOB ＝12R 2，要使V O －ABC ＝13·S △AOB ·h 最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C －OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R . 故V O －ABC ＝16R 3＝36，则R ＝6. 所以S 球＝4πR 2＝4π×62＝144π.]6．B [由三视图知，该几何体由半个圆柱和半球体构成，由题设得12(πr 2＋4πr 2)＋2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＝16＋20π.解之得r ＝2.]7.7 [设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝43π×52＋8π×22，解之得r ＝7.]8.13＋π [由三视图知，该几何体为一个三棱锥与一个半圆柱构成的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为2；三棱锥的底面为斜边为2的等腰直角三角形，高为1.则V 三棱锥＝13×12×2×1×1＝13，V 半圆柱＝12π×12×2＝π.故所求几何体的体积V ＝V 三棱锥＋V 半圆柱＝13＋π.]9.25 [以A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系(如图)． 设AB ＝2，则A (0，0，0)，E (1，0，0)，F (2，1，0)． 设点M (0，y ，2)(0≤y ≤2)．于是EM →＝(－1，y ，2)，AF →＝(2，1，0)． ∴cos θ＝|cos 〈EM →，AF →〉|＝2－y5·5＋y 2.又t ＝2－y5·5＋y2在y ∈[0，2]上是减函数． ∴当y ＝0时，t 有最大值25，即cos θ的最大值为25.] 10．(1)证明 设E 为BC 的中点，连接A 1E ，AE .由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE，因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.连接DE，由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以AA1DE为平行四边形．于是A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC. (2)解作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.因为BC⊥AE，所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.又A1F⊥平面BB1C1C，所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝ 2. 由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝14. 由DE＝BB1＝4.DA1＝EA＝2，∠DA1E＝90°，得A1F＝72.所以sin ∠A1BF＝78.11.(1)证明如图，取PB中点M，连接MF，AM.因为F为PC中点，故MF∥BC且MF＝12BC.由已知有BC∥AD，BC＝AD.又由于E为AD中点，因而MF∥AE且MF＝AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF∥AM.又AM⊂平面P AB，而EF⊄平面P AB，所以EF∥平面P AB.(2)①证明连接PE，BE.因为P A＝PD，BA＝BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P－AD－B的平面角．在△P AD中，由P A＝PD ＝5，AD＝2，可解得PE＝2.在△ABD中，由BA＝BD＝2，AD＝2，可解得BE＝1.在△PEB中，PE＝2，BE＝1，∠PEB＝60°，由余弦定理，可解得PB＝3，从而∠PBE＝90°，即BE⊥PB.又BC∥AD，BE⊥AD，从而BE⊥BC，因此BE⊥平面PBC.又BE⊂平面ABCD，所以，平面PBC⊥平面ABCD.②解 连接BF .由①知，BE ⊥平面PBC ，所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角．由PB ＝3及已知，得∠ABP 为直角．而MB ＝12PB ＝32，可得AM ＝112.故EF ＝112.又BE ＝1，故在直角三角形EBF 中，sin ∠EFB ＝BE EF ＝21111. 所以，直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111.12．(1)证明 如图，连接A 1B ，在△A 1BC 中，因为E 和F 分别是BC 和A 1C 的中点，所以EF ∥BA 1.又因为EF ⊄平面A 1B 1BA ，BA 1⊂平面A 1B 1BA ，所以EF ∥平面A 1B 1BA .(2)证明 因为AB ＝AC ，E 为BC 中点，所以AE ⊥BC ，因为AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，所以BB 1⊥平面ABC ，从而BB 1⊥AE .又因为BC ∩BB 1＝B ，所以AE ⊥平面BCB 1，又因为AE ⊂平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面BCB 1.(3)解 取BB 1的中点M 和B 1C 的中点N ，连接A 1M ，A 1N ，NE .因为N 和E 分别为B 1C 和BC 的中点，所以NE ∥B 1B ，NE ＝12B 1B ，故NE ∥A 1A 且NE ＝A 1A ，所以A 1N ∥AE ，且A 1N ＝AE .又因为AE ⊥平面BCB 1，所以A 1N ⊥平面BCB 1，从而∠A 1B 1N 为直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角． 在△ABC 中，可得AE ＝2， 所以A 1N ＝AE ＝2.因为BM ∥AA 1，BM ＝AA 1， 所以A 1M ∥AB ，A 1M ＝AB ， 又由AB ⊥BB 1，有A 1M ⊥BB 1.在Rt △A 1MB 1中，可得A 1B 1＝B 1M 2＋A 1M 2＝4. 在Rt △A 1NB 1中，sin ∠A 1B 1N ＝A 1N A 1B 1＝12，所以∠A 1B 1N ＝30°.所以，直线A 1B 1与平面BCB 1所成的角为30°.经典模拟·演练卷1．B [当m ⊥β，m ⊂α时，α⊥β，必要性成立．但α⊥β，m ⊂α，则m ⊂β或m ∥β或m 与β相交．因此“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．]2．C [由三视图知，该几何体为三棱锥(如图)． 其中AO ⊥底面BCD ，且OD ⊥BC . ∵AO ＝22，S △BCD ＝12×42×22＝8.所以几何体的体积V ＝13·OA ·S △BCD ＝13×22×8＝1623.] 3．A [如图所示，设点E 为棱A 1C 1的中点，连接AE ，B 1E . 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1E ⊥平面ACC 1A 1， ∴∠B 1AE 为直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成的角，记为α. 设三棱柱的棱长为a ，则B 1E ＝32a ，AB 1＝2a . ∴sin α＝B 1E AB 1＝32a2a＝64.]4．C [由三视图知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥． ∵S 底＝12(1＋2)×2＝3.∴几何体的体积V ＝13x ·S 底＝3， 即13x ·3＝3.因此x ＝3.]5．B [如图，平面ABEF ⊥平面EFDC ，AF ⊥EF ， ∴AF ⊥平面ECDF ，将三棱锥A －FEC 补成正方体ABC ′D ′－FECD . 依题意，其棱长为1，外接球的半径R＝32，∴外接球的体积V ＝43πR 3＝43π·⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝32π.]6．C [由DC 1⊥平面A 1BCD 1知DC 1⊥D 1P ，∴A 正确． ∵D 1A 1⊥平面ABB 1A 1，且A 1D 1⊂平面D 1A 1P ， ∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，因此B 正确． 当0<A 1P <22时，∠APD 1为钝角，∴C 错．将面AA 1B 与面A 1BCD 1沿面对角线A 1B 展开成平面图形时，线段A 1D 为AP ＋PD 1的最小值．在△AA 1D 1中，A 1D 1＝A 1A ＝1，∠AA 1D 1＝135°.由余弦定理，AD 21＝12＋12－2×1×1cos 135°＝2＋ 2.∴AP ＋PD 1的最小值AD 1＝2＋2，因此D 正确．] 7.112 [∵V 三棱锥B 1－BFE ＝V 三棱锥E －BB 1F ，又S △BB 1F ＝12·BB 1·BF ＝14，且点E 到底面BB 1F 的距离h ＝1.∴V 三棱锥B 1－BFE ＝13·h ·S △BB 1F ＝112.]8．(16＋213)π [由三视图知，该几何体是由一个底面半径为2， 高为3的圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得的组合体． 则S 圆柱侧＝2π×2×3＝12π.S 圆柱下底＝π×22＝4π. S 圆锥侧＝12×2π×2×13＝213π.故几何体的表面积S ＝12π＋4π＋213π＝(16＋213)π.] 9．90° [建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，D 为坐标原点，则P (0，0，a )，B (a ，a ，0)，PB →＝(a ，a ，－a )， 又DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，PB →·DE →＝0＋a 22－a 22＝0，所以PB ⊥DE .又DF ⊥PB ，且DF ∩DE ＝D ，∴PB ⊥平面DEF .故直线PB 与平面DEF 所成的角为90°.] 10．(1)证明 设点O 为AC ，BD 的交点．由AB ＝BC ，AD ＝CD ，得BD 是线段AC 的中垂线． ∴O 为AC 的中点，BD ⊥AC .又P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD . ∴BD ⊥平面APC .(2)解 连接OG .由(1)可知OD ⊥平面APC ，则DG 在平面APC 内的射影为OG ，所以∠OGD 是DG 与平面APC 所成的角．在△ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC ＝2 3. ∴OC ＝12AC ＝ 3.在直角△OCD 中，OD ＝CD 2－OC 2＝2. 又OG ＝12P A ＝32，在直角△OGD 中，tan ∠OGD ＝OD OG ＝4 33. ∴DG 与平面APC 所成的角的正切值为4 33. (3)解 连接OG .∵PC ⊥平面BGD ，OG ⊂平面BGD ，∴PC ⊥OG .在Rt △P AC 中，PC ＝P A 2＋AC 2＝15. ∴GC ＝AC ·OC PC ＝2 155. 从而PG ＝3 155，所以PG GC ＝32.11．(1)解 取BD 的中点E ，连接AE ，CE ， 由AB ＝AD ，CB ＝CD ， 得AE ⊥BD ，CE ⊥BD .∴∠AEC 就是二面角A －BD －C 的平面角， ∴cos ∠AEC ＝33.在△ACE 中，AE ＝6，CE ＝2，AC 2＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE ·cos ∠AEC ＝6＋2－2×6×2×33＝4， ∴AC ＝2.(2)证明 ∵AB ＝AD ＝BD ＝22，AC ＝BC ＝CD ＝2， ∴AC 2＋BC 2＝AB 2，AC 2＋CD 2＝AD 2， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°， ∴AC ⊥BC ，AC ⊥CD ，又BC ∩CD ＝C ，∴AC ⊥平面BCD . (3)解 设点C 到平面ABD 的距离为h ， ∴V C －ABD ＝V A －BCD ，∴13×12×22×22×sin 60°×h ＝13×12×2×2×2，∴h ＝233，于是AC 与平面ABD 所成角θ的正弦值sin θ＝h AC ＝33. 12．解 依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1，1，1)．(1)证明 向量BE →＝(0，1，1)，DC →＝(2，0，0)，故BE →·DC →＝0.所以，BE ⊥DC .(2)向量BD →＝(－1，2，0)，PB →＝(1，0，－2)．设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的法向量．则⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧－x ＋2y ＝0，x －2z ＝0.不妨令y ＝1，可得n ＝(2，1，1)为平面PBD 的一个法向量，于是有cos 〈n ，BE →〉＝n ·BE→|n |·|BE →|＝26×2＝33. 所以，直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值为33.(3)向量BC →＝(1，2，0)，CP →＝(－2，－2，2)，AC →＝(2，2，0)，AB →＝(1，0，0)．由点F 在棱PC 上，设CF →＝λCP →，0≤λ≤1.故BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋λCP →＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF ⊥AC ，得BF →·AC →＝0，因此，2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝34.即BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，32.设n 1＝(x ，y ，z )为平面F AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，－12x ＋12y ＋32z ＝0.不妨令z ＝1，可得n 1＝(0，－3，1)为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量n 2＝(0，1，0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－310×1＝－31010.易知，二面角F －AB －P 是锐角，所以其余弦值为31010.专题过关·提升卷1．C [该几何体为正方体与正四棱锥的组合体，∴体积V ＝23＋13×22×2＝323(cm 3)．]2．A [若b ⊥β，α∥β，则b ⊥α，又a ⊂α，∴a ⊥b ， 但a ⊥b ，a ⊂α，α∥β时，得不到b ⊥β. ∴“b ⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件．]3．C [如图，由题意，得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V ＝π×12×2－13π×12×1＝5π3.]4．C [该三棱锥的直观图如图所示： 过D 作DE ⊥BC ，交BC 于E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，AE ＝5，BD ＝CD ＝5， S 表＝S △BCD ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △ABC ＝12×2×2＋12×1×5×2＋12×2×5 ＝2＋2 5.]5．D [由图可知S 2＝S 3＝2，S 1＝2，所以S 1≠S 3.]6．D [由三视图知，该四棱锥的直观图如图所示， 其中P A ⊥平面ABCD ，平面ABCD 为直角梯形． 则最长棱PB ＝22＋22＝22，A 错，B 错． 棱锥中的四个侧面中：由P A ⊥底面ABCD ，知△P AB ，△P AD 为直角三角形． 又DC ⊥AD ，P A ⊥DC ，知DC ⊥平面P AD ， 则DC ⊥PD ，从而△PDC 为直角三角形．又PD ＝5，DC ＝1，所以PC ＝12＋（5）2＝ 6.在梯形ABCD 中，易求BC ＝2，故PB 2＝PC 2＋BC 2，△PBC 为直角三角形．] 7．C [如图，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则D 1(0，0，2)，C (0，2，0)，设P (x ，y ，0)(x >0，0<y <2)，则1D P＝(x ，y ，－2)，PC →＝(－x ，2－y ，0)．由D 1P ⊥PC ，得1D P·PC →＝－x 2＋y (2－y )＝0，∴x ＝2y －y 2(0<y <2)，所以0<x ≤1.]8．B [由三视图知，“和田玉”为直三棱柱，底面是直角三角形，高为12，如图所示．其中AC ＝6，BC ＝8，BC ⊥AC ，则AB ＝10，若使“玉雕球”的半径最大，则该球与直三棱柱的三个侧面都相切．∴球半径r ＝6＋8－102＝2，则S 球＝4πr 2＝16π.] 9.1825 [由正视图及俯视图知，在三棱锥A －BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD (如图所示)，因此三棱锥的侧视图为等腰直角三角形．在△ABD 中，AB ＝32，AD ＝BC ＝2. ∴BD ＝AB 2＋BC 2＝52. 因此AA ′＝AB ·AD BD ＝32×252＝65.所以等腰直角三角形的腰长为65. 故侧视图的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫652＝1825.]10.66 [如图所示，建立以C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系．设BC ＝CA ＝CC 1＝2，则B (0，2，0)、D 1(1，1，2)、F 1(1，0，2)．则1BD＝(1，－1，2)，1CF ＝(1，0，2)，∴cos 〈1BD ，1CF 〉＝ ＝530＝306.设BD 1与CF 1所成的角为α.11．5π [如图所示，将三棱锥P －ABC 补成长方体ADBC －PD ′B ′C ′.则三棱锥P －ABC 的外接球就是长方体的外接球． ∴2R ＝P A 2＋AC 2＋AD 2＝5， 故外接球的表面积S 球＝4πR 2＝5π.]12.14 [分别过E ，C 向平面P AB 作高h 1，h 2，由E 为PC 的中点得h 1h 2＝12，由D 为PB 的中点得S △ABD ＝12S △ABP ，所以V 1∶V 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13S △ABD ·h 1∶⎝ ⎛⎭⎪⎫13S △ABP ·h 2＝14.]13.6 [如图所示为多面体MN －ABCD ， 作MH ⊥AB 交AB 于H .由侧视图可知MH ＝12＋22＝ 5.根据正视图知MN ＝2，AB ＝4，且正视图为等腰梯形． ∴AH ＝4－22＝1，从而AM ＝AH 2＋MH 2＝ 6.]14.8π3 [由三视图知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成的组合体，且圆锥的底面分别与圆柱的两个底面重合．∵圆柱的底面圆的半径R ＝1，高h ＝2，且圆锥的高h ′＝1.∴V圆柱＝πR2·h＝2π，V圆锥＝13πR2h′＝π3.因此该几何体的体积V＝V圆柱＋2V圆锥＝8π3.]15．①②③[取AC的中点O，连接OB，OD，则OD⊥AC，OB⊥AC.OD∩OB＝O，AC⊥平面OBD，从而AC⊥BD，①正确．又平面ADC⊥平面ABC，DO⊥AC，所以DO⊥平面ABC，因此DO⊥OB，且∠OBD为棱BD与底面ABC所成的角．由OB＝OD，知∠OBD＝45°，所以②正确，从而BD＝2·OB＝1，故BC＝CD＝BD＝1，因此△BCD是等边三角形，命题③正确．根据DO⊥平面ABC.得V三棱锥D－ABC ＝13·S△ABC·OD＝212，∴④错误．]16.(1)证明如图，连接BD，在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝2，由AC＝2，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE.(2)解在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝2，DC＝2.得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，所以BD⊥平面ABC.如图，作EF∥BD，与CB的延长线交于F，连接AF，则EF⊥平面ABC. 所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角．在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝π4，得EF＝22，BF＝22；在Rt△ACF中，由AC＝2，CF＝322，得AF＝262.在Rt△AEF中，由EF＝22，AF＝262，得tan ∠EAF＝13 13.所以，直线AE与平面ABC所成的角的正切值是13 13.17．(1)证明∵△ABC为正三角形，E为BC中点，∴AE⊥BC，∴又B1B⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴B1B⊥AE，∴由B1B∩BC＝B知，AE⊥平面B1BCC1，又由AE⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面B1BCC1.(2)解设AB中点为M，连接CM，则CM⊥AB，由平面A1ABB1⊥平面ABC且平面A1ABB1∩平面ABC＝AB知，CM⊥面A1ABB1，∴∠CA1M即为直线A1C与平面A1ABB1所成的角．∴∠CA1M＝45°，易知CM＝32×2＝3，在等腰Rt△CMA中，AM＝CM＝3，在Rt△A1AM中，A1A＝A1M2－AM2＝ 2.∴FC＝12A1A＝22，又S△AEC ＝12×34×4＝32，∴V三棱锥F－AEC ＝13×32×22＝612.18．(1)证明连接B1P，则B1P∥CC1，∴∠PB1A＝45°，且B1P⊥底面ABC，∴B1P＝AP＝2a，∴BB21＋AB21＝10a2＝AB2，∴BB1⊥AB1.又AC⊥BC，AC⊥CC1，∴AC⊥平面BB1C1C，∴BB1⊥AC，∴直线BB1⊥平面AB1C.(2)解 过P 作PD ⊥AB 于D ，连接B 1D ，再过P 作PQ ⊥B 1D 于Q ，连接AQ .∵B 1P ⊥底面ABC ，∴AB ⊥平面PDB 1，∴PQ ⊥平面AA 1B 1B ，∴直线AQ 是直线AP 在平面AA 1B 1B 上的射影，∴∠P AQ 即为直线AP 与平面AA 1B 1B 所成的角．在Rt △PDB 1中，B 1P ＝2a ，DP ＝105a ，则PQ ＝33a ， ∴直线AP 与平面AA 1B 1B 所成角的正弦值为66.19.解 如图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0，0，0)，B (0，0，2)，C (1，0，1)，B 1(0，2，2)，C 1(1，2，1)，E (0，1，0)．(1)证明 易得B 1C 1→＝(1，0，－1)，CE →＝(－1，1，－1)，于是B 1C 1→·CE →＝0，所以B 1C 1⊥CE .(2)B 1C →＝(1，－2，－1)．设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·B 1C →＝0，m ·CE →＝0，即⎩⎨⎧x －2y －z ＝0，－x ＋y －z ＝0.消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2，1)． 由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1→＝(1，0，－1)为平面CEC 1的一个法向量．于是cos 〈m ，B 1C 1→〉＝m ·B 1C 1→|m ||B 1C 1→|＝－414×2＝－277， 从而sin 〈m ，B 1C 1→〉＝217，所以二面角B 1CEC 1的正弦值为217.(3)AE →＝(0，1，0)，EC 1→＝(1，1，1)，设EM →＝λEC 1→＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有AM →＝AE →＋EM →＝(λ，λ＋1，λ)．可取AB →＝(0，0，2)为平面ADD 1A 1的一个法向量．设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角，则sin θ＝|cos 〈AM →，AB →〉|＝|AM →·AB →||AM →||AB →|＝2λλ2＋（λ＋1）2＋λ2×2 ＝λ3λ2＋2λ＋1，于是λ3λ2＋2λ＋1＝26，解得λ＝13， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43，13，所以AM ＝ 2.20．解 如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A (0，0，0)，B (0，1，0)，C (2，0，0)，D (1，－2，0)，A 1(0，0，2)，B 1(0，1，2)，C 1(2，0，2)，D 1(1，－2，2)． 又因为M ，N 分别为B 1C 和D 1D 的中点， 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，1，N (1，－2，1)． (1)证明 依题意，可得n ＝(0，0，1)为平面ABCD 的一个法向量，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，0，由此可得MN →·n ＝0， 又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)AD 1→＝(1，－2，2)，AC →＝(2，0，0)，设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面ACD 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD 1→＝0，n 1·AC →＝0，即⎩⎨⎧x 1－2y 1＋2z 1＝0，2x 1＝0. 不妨设z 1＝1，可得n 1＝(0，1，1)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面ACB 1的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·AB 1→＝0，n 2·AC →＝0，又AB 1→＝(0，1，2)，得⎩⎨⎧y 2＋2z 2＝0，2x 2＝0不妨设z 2＝1，可得n 2＝(0，－2，1)． 因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－1010，于是sin 〈n 1，n 2〉＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－10102＝31010. 所以，二面角D 1－AC －B 1的正弦值为31010.(3)依题意，可设A 1E →＝λA 1B 1→，其中λ∈[0，1]， 则E (0，λ，2)，从而NE →＝(－1，λ＋2，1)，又n ＝(0，0，1)是平面ABCD 的一个法向量，故|cos 〈NE →，n 〉|＝|NE →·n ||NE →|·|n |＝1（－1）2＋（λ＋2）2＋12＝13. 整理得λ2＋4λ－3＝0，解得λ＝－2±7， 又因为λ∈[0，1]，所以λ＝7－2， 所以，线段A 1E 的长为7－2.。
2016年浙江省数学高考模拟精彩题选—立体几何_word版有答案
2016浙江精彩题选——立体几何【一、轨迹问题】1．如图，平面ABC ⊥平面α，D 为线段AB 的中点，22=AB ,︒=∠45CDB ，点P 为面α内的动点，且P 到直线CD 的距离为2，则APB ∠的最大值为 ． 解：以AB 为直径的圆与椭圆A ‘B ’相切【二、动态问题】1.（2016台州期末8）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点M 在平面PBC 内，且AM=7，设异面直线AM 与BC 所成角为α，则cos α的最大值为17分析：点A 到平面PBC 的距离为d=43，AM=7即为绕d 旋转所成的圆锥的母线长，最大角为BC 与圆锥底直径平行时，母线与直径所成的角2.（2016金华十校期末）在四面体ABCD 中，已知AD ⊥BC ，AD=6，BC=2，且AB ACBD CD==2，则ABCD V 四面体的最大值为 （ C ） A.6 B.211 C.215 D.8 分析：由AB ACBD CD==2得B 、C 点的轨迹为阿波罗尼斯圆，由阿波罗尼斯圆的性质，则B ，C 离AD 的最远距离为4，可求3.（2016台州一模 8）如图,在长方体D C B A ABCD ''''-中,点Q P ,分别是棱BC ,CD 上的动点,4,BC =, 3,CD =23CC '=直线C C '与平面C PQ '所成的角为︒30,则△C PQ '的面积的最小值是( B )A ．1855B ．8C ．1633D ．104（2016宁波十校15）如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC的中点.当正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 .分析：CD ⊥平面ABF ，则平面ABF ⊥平面α。
设，平面ABF ⊥平面α=a ,四面体不动，转动平面α，则AO ⊥α于O 交BF 于M ，AO 为平面α的法向量。
2016年数学立体几何高考试题及答案
2016年数学立体几何高考试题及答案1.如图所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点.(1)求证：MN∥平面PAD.(2)求证：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.2如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．解答证明：（Ⅰ）连接CE，则∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，∵F为线段PC的中点，∴PA∥OF，∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，∴AP∥平面BEF；（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，∴BE⊥AP，∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，∵AP∩AC=A，∴BE⊥平面PAC．3如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．解答：证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．4如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，AD=PA=2，CD=2，E、F分别是AB、PD 的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）求四面体PEFC的体积．解答：解：（1）证明：设G为PC的中点，连接FG，EG，∵F为PD的中点，E为AB的中点，∴FG CD，AE CD∴FG AE，∴AF∥GE∵GE⊂平面PEC，∴AF∥平面PCE；（2）证明：∵PA=AD=2，∴AF⊥PD又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD，∴GE⊥平面PCD，∵GE⊂平面PEC，∴平面PCE⊥平面PCD；（3）由（2）知，GE⊥平面PCD，所以EG为四面体PEFC的高，又GF∥CD，所以GF⊥PD，EG=AF=，GF=CD=，S△PCF=PD•GF=2．得四面体PEFC的体积V=S△PCF•EG=．5如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分别是CD和PC的中点，求证：（Ⅰ）PA⊥底面ABCD；（Ⅱ）BE∥平面PAD；（Ⅲ）平面BEF⊥平面PCD．解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD．（Ⅱ）∵AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分别是CD和PC的中点，故四边形ABED为平行四边形，故有BE∥AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD内，故有BE∥平面PAD．（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED为矩形，故有BE⊥CD ①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分别为CD和PC的中点，可得EF∥PD，∴CD⊥EF ②．而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．6如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．解答：证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，BG⊥A1D，∴BG⊥面A1CD，则∠BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，在直角△BGC中，sin∠BCG==，∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．7如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点（点D 不同于点C），且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）直线A1F∥平面ADE．解答：解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，∴直线A1F∥平面ADE．8如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O 为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面ACM；（Ⅱ）证明：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．解答：解：（I）证明：连接BD，MO在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB∥MO因为PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM所以PB∥平面ACM（II）证明：因为∠ADC=45°，且AD=AC=1，所以∠DAC=90°，即AD⊥AC又PO⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PO⊥AD，AC∩PO=O，AD⊥平面PAC （III）解：取DO中点N，连接MN，AN因为M为PD的中点，所以MN∥PO，且MN=PO=1，由PO⊥平面ABCD，得MN⊥平面ABCD所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角．在Rt△DAO中，，所以，∴，在Rt△ANM中，==即直线AM与平面ABCD所成的正切值为9三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．解答：（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD⊥AB．又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．（2）解：取AP的中点O，连接CO、DO．∵PC=AC=2，∴C0⊥PA，CO=，∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DO⊥PA．∴∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角．由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，又∵AB=BC，AC=2，求得BC=PB=，CD=∴cos∠COD=．1111AD上一点，且AP＝a3，过B1，D1，P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________.2．如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，∠ADC＝90°，且AA1＝AD＝DC＝2，M∈平面ABCD，当D1M⊥平面A1C1D时，DM＝________.3．如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B 到平面PCD 的距离；4．如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD 为直角梯形，BC ⊥AB ，BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝12CD .(1)求证：BC ⊥平面ABPE ；(2)直线PE 上是否存在点M ，使DM ∥平面PBC ，若存在，求出点M ； 若不存在，说明理由．5．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1、DB 的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C ；(3)求三棱锥B 1－EFC 的体积．6．如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°(1)求证：PC⊥BC(2)求点A到平面PBC的距离．1. 223a∵B1D1∥平面ABCD，平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，∴B1D1∥PQ，又B1D1∥BD，∴BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，∵AB∥CD，∴△APM∽△DPQ，∴PQPM＝PDAP＝2，即PQ＝2PM，又△APM∽△ADP，∴PMBD＝APAD＝13，∴PM＝13BD，又BD ＝2a ，∴PQ ＝223a .2.[答案] 22 ∵DA ＝DC ＝DD 1且DA 、DC 、DD 1两两垂直，故当点M 使四边形ADCM为正方形时，D 1M ⊥平面A 1C 1D ，∴DM ＝2 2.(2)过A 作AF ⊥PD ，垂足为F .在Rt PAD 中，PA ＝2，AD ＝BC ＝4，PD ＝42＋22＝25，AF ·PD ＝PA ·AD ，∴AF ＝2×425＝455，即点B 到平面PCD 的距离为455.4.[解析] (1)∵PO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥PO ，又BC ⊥AB ，AB ∩PO ＝O ，AB ⊂平面ABP ，PO ⊂平面ABP ，∴BC ⊥平面ABP ， 又EA ∥PO ，AO ⊂平面ABP ，∴EA ⊂平面ABP ，∴BC ⊥平面ABPE . (2)点E 即为所求的点，即点M 与点E 重合．取PO 的中点N ，连结EN 并延长交PB 于F ，∵EA ＝1，PO ＝2，∴NO ＝1， 又EA 与PO 都与平面ABCD 垂直，∴EF ∥AB ，∴F 为PB 的中点，∴NF ＝12OB ＝1，∴EF ＝2，又CD ＝2，EF ∥AB ∥CD ，∴四边形DCFE 为平行四边形，∴DE ∥CF ， ∵CF ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，∴DE ∥平面PBC .∴当M 与E 重合时即可． 5. (1)证明：连结BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则EF ∥D 1B ，又EF ⊄平面ABC 1D 1，D 1B ⊂平面ABC 1D 1，∴EF ∥平面ABC 1D 1.(2)证明：∵B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ， ∴B 1C ⊥平面ABC 1D 1，又BD 1⊂平面ABC 1D 1，∴B 1C ⊥BD 1， 又EF ∥BD 1，∴EF ⊥B 1C .(3)解：∵CF ⊥BD ，CF ⊥BB 1，∴CF ⊥平面BDD 1B 1， 即CF ⊥平面EFB 1，且CF ＝BF ＝2∵EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF 2＋BB 12＝(2)2＋22＝6，B 1E ＝B 1D 12＋D 1E 2＝12＋(22)2＝3，∴EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°， ∴VB 1－EFC ＝VC －B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF＝13×12·EF ·B 1F ·CF ＝13×12×3×6×2＝1.6.[解析] (1)∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°知，BC ⊥DC ，∵PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PDC ，∴BC ⊥PC . (2)设点A 到平面PBC 的距离为h ， ∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°， ∵AB ＝2，BC ＝1，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝1，∵PD ⊥平面ABCD ，PD ＝1，∴V P －ABC ＝13S △ABC ·PD ＝13，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，∵PD＝DC＝1，∴PC＝2，∵PC⊥BC，BC＝1，∴S△PBC＝12PC·BC＝22，∵V A－PBC＝V P－ABC，∴13S△PBC·h＝13，∴h＝2，∴点A到平面PBC的距离为 2.。
浙江省高考数学模拟试卷9理科含答案word精校打印版可编辑
2016年高考模拟试卷数学卷本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟。
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分（共40分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷上无效。
参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V S h =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π=()1213V h S S =球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、(原创)已知R x ∈，则“0x <”是“x x >2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件2、(原创)已知实数x ，y 满足2022020x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪++≥⎩，则32z x y =-+的最小值为（ ）A ．4-B ．2C ．4D ．6 3、（改编）如图,水平放置的三棱柱的侧棱 长和底边长均为1，且侧棱1111AA A B C ⊥面, 正视图是边长为1的正方形，该三棱柱的左视图面积为（ ） A ．4 B C ．22 D ．3 4．(原创)在△ABC 中，已知92AB AC ⋅=，3AC =，3AB =，M 、N 分别是BC 边上的三等分点，则⋅ 的值是（ ） A ．5 B ． 112C ． 6D ．7_ B _1_ A _1_ B_A _B _1 _ A _1_ B _ A正视图俯视图5、（改编）将函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象向左平移m （0m >）个单位，得到函数()y f x =的图象，若()y f x =在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．6πD ．12π6、（原创）已知数列}{n a 中满足17a =，1n n a a n +-=，则na n的最小值为（ ）A ．10312 C. 134 D. 1757、（改编） 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的离心率为 （ ）A 、5B 、3C 、332 D 、2 8、已知函数()()()log 1,1121,13a x x f x f x a x +-<<⎧⎪=⎨-+-<<⎪⎩(0,1)a a >≠,若12x x ≠,且()()12f x f x =,则12x x +与2的大小关系是 （ ）A.恒大于2B.恒小于2C.恒等于2D.与a 相关.二、填空题（本大题共7小题，第9，10，11，12题每题６分，第13，14，15题每题4分，共36分．） 9、(原创)在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则314a a +的最小值是 ，此时公比为 ，Ｓn=_____________. 10、（改编）已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则6f π⎛⎫=⎪⎝⎭，满足()12f x =-（[]0,x π∈）的x 的值为_____________.11．(原创)已知函数|1|(1)()3(1)x x x f x x -⎧=⎨>⎩≤，若()4f x =，则x = ． 若,4)(>x f 则解集为_____________.12、过原点且倾斜角为60︒的直线与圆2240x y y +-=相交，则圆的半径为___________直线被圆截得的弦长为_____________.13. (改编)不等式)(322y x ay y x +≥+对任意R y x ∈,恒成立,则实数a 的最大值为_____________.14、(改编)已知向量a ，b ，且2b =，()20b a b ⋅-=，则()12tb t a +-（R t ∈）的最小值为 ．15、已知()11f x x =-，()()()111n n f x n f x +=+-，n *∈N ，若函数()3y f x kx =-恰有4个不同零点，则正实数k 的值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16、（本小题满分15分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，已知sin cos a c B b C =+。
2016年浙江省数学高考模拟精彩题选——立体几何含答案
2016浙江精彩题选——立体几何【一、轨迹问题】1．如图，平面ABC ⊥平面α，D 为线段AB 的中点，22=AB ,︒=∠45CDB ，点P 为面α内的动点，且P 到直线CD 的距离为2，则APB ∠的最大值为 ． 解：以AB 为直径的圆与椭圆A ‘B ’相切【二、动态问题】1.（2016台州期末8）如图，在三棱锥P-ABC 中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点M 在平面PBC 内，且AM=7，设异面直线AM 与BC 所成角为α，则cos α的最大值为17分析：点A 到平面PBC 的距离为d=43，AM=7即为绕d 旋转所成的圆锥的母线长，最大角为BC 与圆锥底直径平行时，母线与直径所成的角2.（2016金华十校期末）在四面体ABCD 中，已知AD ⊥BC ，AD=6，BC=2，且AB ACBD CD==2，则ABCD V 四面体的最大值为 （ C ） A.6 B.211 C.215 D.8 分析：由AB ACBD CD==2得B 、C 点的轨迹为阿波罗尼斯圆，由阿波罗尼斯圆的性质，则B ，C 离AD 的最远距离为4，可求3.（2016台州一模 8）如图,在长方体D C B A ABCD ''''-中,点Q P ,分别是棱BC ,CD 上的动点,4,BC =, 3,CD =23CC '=直线C C '与平面C PQ '所成的角为︒30,则△C PQ '的面积的最小值是( B )A ．185B ．8C ．163D ．104（2016宁波十校15）如图，正四面体ABCD 的棱CD 在平面α上，E 为棱BC 的中点.当正四面体ABCD 绕CD 旋转时，直线AE 与平面α所成最大角的正弦值为 .分析：CD ⊥平面ABF ，则平面ABF ⊥平面α。
设，平面ABF I ⊥平面α=a ,四面体不动，转动平面α，则AO ⊥α于O 交BF 于M ，AO 为平面α的法向量。
浙江省高考数学模拟试卷25含答案word精校打印版可编辑
向量坐标运算，函数性质1、命题方向：（1）强化主干知识，强化知识之间的交叉，渗透和综合：基础知识全面考，重点知识重点考，注意信息的重组及知识网络的交叉点．（2）淡化特殊技巧，强调数学思想方法．考查与数学知识联系的基本方法、解决数学问题的科学方法．（3）深化能力立意，突出考察能力与素质，对知识的考察侧重于理解和运用．淡化繁琐、强调能力，提倡学生用简洁方法得出结论．2、试卷结构：（1）题型结构为： 8道选择题、7道填空题、5道解答题，与2015年高考卷、2016年高考样卷一致；（2）赋分设计为：选择题每题5分、填空题中单空题每题4分，多空题每题6分、解答题共74分；（3）考查的内容：注重考查高中数学的主干知识，包括函数，三角函数和解三角形，立体几何，解析几何，数列等．3、命题意图命题把重点放在高中数学课程中最基础、最核心的内容上，充分关注考生在学习数学和应用数学解决问题中必须掌握的核心观念、思想方法、基本概念和常用技能．对基础知识的考查主要集中在小题上，具体知识点分布在集合、向量、直线与圆、数列、函数图像、函数性质、线性规划、三视图、三角函数、圆锥曲线性质等内容上，而且小题的考查直接了当，大部分是直接考查单一知识点，试卷对中学数学的核心内容和基本能力，特别是对高中数学的主干知识进行较为全面地考查．注重了知识之间的内在联系，重点内容重点考，没有片面追求知识及基本思想、方法的覆盖面，反映了新课程的理念．试卷在三种题型中体现出明显的层次感，选择题、填空题、解答题，层层递进．试卷的入口题和每种题型的入口题较好的把握了难度．试卷对较难的解答题利用分步给分的设计方法，在化解难度的同时，又合理区分不同层次的考生．试卷控制了较难题的比例，较难题基本集中在每种题型的最后一或两题，约占全卷的20%．适合作为高考模拟试卷．2016年高考模拟试卷 数学卷（理科）注意事项：本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色的字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷上无效． 参考公式：参考公式：柱体的体积公式 球的表面积公式V Sh = 24S R π=其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 球的体积公式 锥体的体积公式 343V R π=13V Sh = 其中R 表示球的半径其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式()1213V h S S =其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高选择题部分（共40分）第I 卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（原创）1.已知集合}ln |{R e x x M C <=,)}0(1|{>==x xy y N ,则=N M （ ） A ．),0(e B ．),[e e e C ．),[+∞ee D ．),(+∞e（原创）2．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）A. 2B. 4C. 6D. 12俯视图2（第4题）侧视图正视图（原创）3．等差数列{}n a 中有两项,m k a a则该数列前m k +项之和是 （ ） A（摘自严州中学2016模拟卷）4．已知,,a b R ∈则“221a b +≤”是“||||1a b +≤”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件（原创）5.若()f x 为奇函数，且0x 是()xy f x e =- 的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点 （ ）A ．()1xy f x e =+ B ．()1xy f x e-=--C ．()1x y f x e =-D ．()1xy f x e =-+（原创）6．已知点(1,0)A -,(1,0)B ,00(,)P x y 是直线2y x =+上任意一点,以A ,B 为焦点的椭圆过P ,记椭圆离心率e 关于0x 的函数为0()e x ,那么下列结论正确的是（ ） A ．e 与0x 一一对应 B ．函数0()e x 无最小值,有最大值 C ．函数0()e x 是增函数 D ．函数0()e x 有最小值,无最大值（改编自2008年浙江省数学竞赛）7.已知实数,,a b c 满足22211144a b c ++=，则22ab bc ca ++的取值范围是( )A ．(,4]-∞B ．[4,4]-C ．[2,4]-D ． [1,4]-（改编自2009安徽高考卷）8.如图，在扇形OAB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧．AB 上且与B A ,不重合．．．的一个动点，且OB y OA x OC +=，若(0)u x y λλ=+>存在最大值，则λ的取值范围为（ ） A ．)3,1( B ．)3,31( C ．)1,21( D ．)2,21(B非选择题部分（共110分）注意事项：1.用黑色的字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2.在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 二、填空题（本大题共7小题，第9-12题，每小题6分，第13-15题，每小题4分，共36分．）（原创）9. 已知圆222:245250C x y ax ay a +-++-=的圆心在直线1:20l x y ++=上，则a = ；圆C 被直线2:3450l x y +-=截得的弦长为____________.（原创）10．设函数22,2()21,2x f x x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-++<⎩，则()()2f f = ；方程()()2f f x =的解是 ．（原创）11. 函数()sin cos()6f x x x π=-+的值域为 ;最小正周期为 .（原创）12. “斐波那契数列“是数学史上一个著名数列， 在斐波那契数列{}n a 中，11=a ，12=a ,[来源)(12*++∈+=N n a a a n n n 则=7a ________；若2018a m =，则数列{}n a 的前2016项和是_______（用m 表示）．（原创）13.过双曲线2213y x -=上任一点P 向两渐近线作垂线，垂足分别为,A B ，则AB 的最小值为 ．（改编自2015年浙江省高考题）14.已知实数,|22||63|||4,x y x y x y x +-≥--≤满足且 则|34|_________x y -的最大值为（改编自2015年浙江省高考题）15.若,a b 是空间中两个互相垂直的单位向量，且||13c =12123,4,,,||______c a c b t t c t a t b ⋅=⋅=--则对于任意实数的最小值是三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （原创）16. 在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,对边，且1sin sin 4)cos(2-=-C B C B ． （Ⅰ）求A ； （Ⅱ）若3=a ，312sin=B ，求b 的值．（原创）17. 如图所示,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,底面ABCD 是梯形,//AD BC ,侧面11ABB A 为菱 形,1DAB DAA ∠=∠.(Ⅰ)求证:1A B AD ⊥；(Ⅱ)若12,60AD AB BC A AB ==∠=,点D 在平面11ABB A 上的射影恰为线段1A B 的中点,求平面 11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.（原创）18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2(1)nn n S a n N *=+-∈(Ⅰ)写出数列{}n a 的前三项123,,a a a ． (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式． （Ⅲ）证明：对任意的整数(4)m m >有4511178m a a a +++<K ．（改编自2013年浙江省高考数学冲刺提优试卷）19. 已知圆O ：2249x y +=，直线l ：y kx m =+与椭圆C ：2212x y +=相交于P Q 、两点，O 为原点．（Ⅰ）若直线l 过椭圆C 的左焦点，且与圆O 交于A B 、两点，且60AOB ∠=，求直线l 的方程；（Ⅱ）如图，若POQ ∆重心恰好在圆上，求m 的取值范围．（改编自2012年浙江省高考数学理科22题）20. 20,,()42a b R f x ax bx a b >∈=--+已知函数(1)01()|2|;x f x a b a ≤≤-+证明：当时，(i)函数的最大值为 (ii)()|2|0;f x a b a +-+≥ (2)1()1[0,1]f x x a b -≤≤∈+若对任意恒成立，求的取值范围。
2016年高考立体几何汇编(含答案)
2016年高考立体几何汇编一、选择题1、（2016年山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）12+π33（B ）12+π33 （C ）12+π36 （D ）21+π6 【答案】c2、（2016年上海高考）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ） (A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1【答案】D3、（2016年天津高考）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（ ）【答案】B4、（2016年全国I 卷高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A5、（2016年全国I 卷高考）如平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）32（B ）22（C ）33（D ）13【答案】A6、（2016年全国II 卷高考）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C7、（2016年全国III 卷高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18365+（C）90 （D）81 +（B）54185【答案】B8、（2016年浙江高考）已知互相垂直的平面αβ，交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（）A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【答案】C二、填空题1、（2016年北京高考）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.【答案】3.22、（2016年四川高考）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积。
专题09 立体几何(第02期)-决胜2016年高考全国名校试题理数分项汇编(浙江特刊)(原卷版)
第九章 立体几何一．基础题组1.【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（理）试题】若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．310cmB ．320cmC ．330cmD ．340cm2.【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（理）试题】已知,a b 为异面直线．对空间中任意一点P ，存在过点P 的直线（ ）A. 与,a b 都相交B. 与,a b 都垂直C. 与a 平行，与b 垂直D. 与,a b 都平行3. 【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试文数试题解析】已知m 为一条直线,βα,为两个不同的平面,则下列说法正确的是（ ▲ ）A .若ββαα//,//,//m m 则B .若,m αβα⊥⊥，则m β⊥C .若ββαα⊥⊥m m 则,,//D . 若ββαα⊥⊥m m 则,//,4.【浙江省绍兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题】对两条不相交的空间直线a 和b ，则（ ）A ．必定存在平面α，使得a α⊂，b α⊂B ．必定存在平面α，使得a α⊂，//b αC ．必定存在直线c ，使得//a c ，//b cD ．必定存在直线c ，使得//a c ，b c ⊥5.【浙江省金丽衢十二校2016届高三上学期第一次联考数学（理）试题】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ）3cm .A ．23B ．2 C. D.6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A ．34πB ．35π C ．322π+D ．324π+ 7.【浙江省慈溪中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题】若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）A ．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于38. 【浙江省2016届高三下学期六校联考数学（理）试题】已知空间两条不同的直线m ，n 和平面α，则下列命题中正确的是A ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥B ．若m α⊥，n α⊥，则m n ⊥C ．若//m α，//n α，则//m nD ．若m α⊂，//n α，则//m n9.【浙江省慈溪中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题】已知异面直线a ，b 成60 角，A 为空间中一点，则过A 与a ，b 都成45 角的平面（ ）A ．有且只有一个B ．有且只有两个C ．有且只有三个D ．有且只有四个（第4题图） 侧视图俯视图正视图10．【浙江省杭州市五校联盟2016届高考数学一诊试卷（理科）】某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．8D ．411．【浙江省杭州市五校联盟2016届高考数学一诊试卷（理科）】在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面AB 1C 1，AA 1=1，底面△ABC 是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为 ．12.【浙江省慈溪中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题】已知某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，则该几何体表面积．．．是 2cm .13．长方体1111D C B A ABCD -中，1,21==AA AB ，若二面角A BD A --1的大小为6π，则1BD 与面BD A 1所成角的正弦值为 ▲ ．14.【浙江省绍兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题】已知几何体的三视图（如下图），则该几何体的体积为_________，表面积为___ __.15. 【浙江省2016届高三下学期六校联考数学（理）试题】某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为______，表面积为______.16．【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试文数试题解析】如图是某几何体的三视图（单位：cm ），则该几何体的表面积是__ ▲___ cm 2，体积为 _ ▲__ cm 3.二．能力题组1．【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试文数试题解析】已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D ，P 是过顶点11,,,B D D B 圆上的一点，Q 为1CC 中点，则PQ 与面ABCD 所成角余弦俯视图侧视图正视图225543第12题图值的取值范围是（ ▲ ）A． B． C． D． 2.【浙江省金丽衢十二校2016届高三上学期第一次联考数学（理）试题】如图，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足，若点C 在平面α内运动，且CAB ∠等于直线AB 与平面α所成的角，则动点C 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线三．拔高题组1.【浙江省嘉兴市2016届高三上学期期末教学质量检测数学理试题】（本题满分15分）边长为2的正方形ABCD 所在的平面与CDE ∆所在的平面交于CD ，且⊥AE 平面CDE ，1=AE ． （Ⅰ）求证：平面⊥ABCD 平面ADE ；（Ⅱ）设点F 是棱BC 上一点，若二面角F DE A --的余弦值为1010，试确定点F 在BC 上的位置．2．【浙江省金丽衢十二校2016届高三上学期第一次联考数学（理）试题】(本小题15分) 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=，2AB AD DC ===且E ，F 分别为PD ，PB 的中点.（1）求证：//CF 平面PAD ； ABC DEF（2）若直线PA 与平面CEF 的交点为G ，且1PG =，求截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小.3．【浙江省杭州市五校联盟2016届高考数学一诊试卷（理科）】如图，已知四棱锥P ﹣ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，∠ABC=60°，E ，F 分别是BC ，PC 的中点．（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ；（Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为，求二面角E ﹣AF ﹣C 的余弦值．4.【浙江省慈溪中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题】（本题满分15分）如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PDC 是边长为2的正三角形，底面ABCD 是菱形，60ADC ∠= ，点P 在底面ABCD 上的射影为ACD ∆的重心，点M 为线段PB 上的点．（1）当点M 为PB 的中点时，求证：//PD 平面ACM ；（2）当平面CDM 与平面CBM 所成锐二面角的余弦值为32时，求BM BP的值．5.【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期能力测试数学（理）试题】(本题满分15分) 在四棱锥P ABCD －中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ，24BC AD ＝＝，AB CD ＝．A B P(Ⅰ) 证明：BD ⊥平面PAC ；(Ⅱ) 若二面角A PC D －－的大小为60︒，求AP 的值．6．【浙江省嘉兴市第一中学2016届高三上学期期中考试文数试题解析】如图所示，在边长为4的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，EF ∩AC =O ，沿EF 将△CEF 翻折到△PEF，连接P A ，PB ，PD ，得到五棱锥P ﹣ABFED，且AP =PB（1）求证：BD ⊥平面POA ；（2）求二面角B ﹣AP ﹣O 的正切值．7. 【浙江省2016届高三下学期六校联考数学（理）试题】如图（1），在等腰梯形CDEF中，,CB DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =，现将梯形沿CB ，DA 折起，使//EF AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（2）示，已知M ，N 分别为AF ，BD 的中点．（I ）求证：//MN 平面BCF ；（II ）若直线DE 与平面ABCD 所成角的正切值为22，求平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角大小.8.【浙江省绍兴市第一中学2016届高三上学期期中考试数学（理）试题】（10分）如图，在四棱锥S ABCD -中，侧棱SA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90ABC ∠= ，2SA AB BC ===，1AD =，M 是棱SB 的中点．（1）求证：//AM 面SCD ； （2）设点N 是线段CD 上的一点，且AN 在AD 方向上的射影为a ，记MN 与面SAB 所成的角为θ，问：a 为何值时，sin θ取最大值？图（1） A B E FDCC DE F：。
高考数学试题分项版—立体几何(原卷版)
高考数学试题分项版—立体几何（解析版）2. （2016年高考浙江卷文）已知互相垂直的平面交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则（ ）A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n2. （2016年高考浙江卷理）已知互相垂直的平面交于直线l .若直线m ，n 满足则（ ） A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n3、(2016年高考新课标Ⅲ卷文理)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A）18+（B）54+（C ）90 （D ）814、(2016年高考新课标Ⅲ卷文理) 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（ ）（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π ． 5、(2016年高考新课标Ⅱ卷) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（ ）（A ）12π （B ）323π（C ）8π （D ）4π 6、（2016年高考上海卷文）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）αβ，αβ，,m n αβ∥⊥，(A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 17、（2016年高考新课标Ⅰ卷文理）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π8、(2016年高考新课标Ⅰ卷文)平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面,则m ,n 所成角的正弦值为（A ）2 （B ）2 （C ）3 （D ）139、(2016年高考新课标Ⅰ卷理)平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,α平面ABCD =m ,α平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为(B(D)1 310、（2016年高考新课标Ⅱ卷文理）下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π11、（2016年高考天津卷文）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）12、（2016年高考数学浙江文）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______cm 2,体积是______cm 3.13、（2016年高考新课标Ⅱ卷理）,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥.（2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥.（3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题有 ． (填写所有正确命题的编号）14、（2016年高考浙江卷文）如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD，∠ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△，直线AC 与所成角的余弦的最大值是______．CD 'A D 'B15、（2016年高考浙江卷理）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.16. （2016年高考浙江卷理）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.17、（2016年高考天津卷理数）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.18、（2016年高考四川卷文）已知某三菱锥的三视图如图所示，则该三菱锥的体积 .19、（2016年高考四川卷理）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .20、（2016年高考上海卷理）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD 中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________.21、（2016年高考北京卷理）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）侧视图俯视图正视图33A. B. C.D. 22、（2016年高考山东卷文理）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）133+π （C ）136+π （D ）16+π 23、（2016年高考山东卷文理））已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）1613121（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 24、（2016年高考北京卷文）某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为___________.25、（2016年高考北京卷文）如图，在四棱锥中，平面，（I ）求证：；（II ）求证：；（III ）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得平面?说明理由.26、（2016年高考北京卷理）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，ABCD P -⊥PC ABCD ,AB DC DC AC ⊥∥DC PAC ⊥平面PAB PAC ⊥平面平面//PA C F E P ABCD -PAD ⊥ABCD PA PD ⊥PA PD =AB AD ⊥1AB =2AD =AC CD ==（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；学科.网（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.27、（2016年高考数学江苏）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F . 28、（2016年高考山东卷理）在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ； （II ）已知EF =FB =12AC=AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值. PD ⊥PAB PB PCD PA M //BM PCD AMAP29、（2016年高考上海卷文）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为56π ，11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.30、（2016年高考上海卷理）将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
浙江高考数学近五年立体几何真题含答案
2016•浙江14．（4分）（2016•浙江）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC外的点P 和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是．14．（4分）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意，△ABD≌△PBD，可以理解为△PBD是由△ABD绕着BD旋转得到的，对于每段固定的AD，底面积BCD为定值，要使得体积最大，△PBD必定垂直于平面ABC，此时高最大，体积也最大．【解答】解：如图，M是AC的中点．①当AD=t＜AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AE，DM=﹣t，由△ADE∽△BDM，可得，∴h=，V==，t∈（0，）②当AD=t＞AM=时，如图，此时高为P到BD的距离，也就是A到BD的距离，即图中AH，DM=t﹣，由等面积，可得，∴，∴h=，∴V==，t∈（，2）综上所述，V=，t∈（0，2）=．令m=∈[1，2），则V=，∴m=1时，Vmax故答案为：．（2016•浙江）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（Ⅰ）求证：EF⊥平面ACFD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）先证明BF⊥AC，再证明BF⊥CK，进而得到BF⊥平面ACFD．（II）方法一：先找二面角B﹣AD﹣F的平面角，再在Rt△BQF中计算，即可得出；方法二：通过建立空间直角坐标系，分别计算平面ACK与平面ABK的法向量，进而可得二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值．【解答】（I）证明：延长AD，BE，CF相交于点K，如图所示，∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC．又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，∴BF⊥平面ACFD．（II）方法一：过点F作FQ⊥AK，连接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角．在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ=．在Rt△BQF中，BF=，FQ=．可得：cos∠BQF=．∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值为．方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于点K，则△BCK为等边三角形，取BC的中点，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC，以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系O﹣xyz．可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0，），A（﹣1，﹣3，0），，．=（0，3，0），=，（2，3，0）．设平面ACK 的法向量为=（x 1，y 1，z 1），平面ABK 的法向量为=（x 2，y 2，z 2），由，可得，取=．由，可得，取=．∴==．∴二面角B﹣AD﹣F 的余弦值为．【点评】本题考查了空间位置关系、法向量的应用、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．2017年浙江(2017年浙江)如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（第19题图）（1）证明：CE∥平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．19.解：（1）如图，设PA 中点为F ，连接EF ，FB ．因为E ，F 分别为PD ，PA 中点，所以EF∥AD 且EF=12AD，又因为BC∥AD，BC=12AD，所以EF∥BC 且EF=BC，即四边形BCEF 为平行四边形，所以CE∥BF，因此CE∥平面PAB．（2）分别取BC，AD 的中点为M，N，连接PN 交EF 于点Q，连接MQ.PABCDE因为E，F，N 分别是PD，PA，AD 的中点，所以Q 为EF 中点，在平行四边形BCEF 中，MQ∥CE.由△PAD 为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD ．所以AD ⊥平面PBN ，由BC //AD 得BC ⊥平面PBN ，那么平面PBC ⊥平面PBN ．过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连接MH ．MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．设CD =1．在△PCD 中，由PC =2，CD =1，PD=2得CE =2，在△PBN 中，由PN =BN =1，PB =3得QH =14，在Rt△MQH 中，QH=14，MQ =2，所以sin∠QMH =28，所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是28．2018年浙江19．（15分）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A，B 1B，C 1C 均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A 1A=4，C 1C=1，AB=BC=B 1B=2．（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【专题】31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（I）利用勾股定理的逆定理证明AB 1⊥A 1B 1，AB 1⊥B 1C 1，从而可得AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（II）以AC 的中点为坐标原点建立空间坐标系，求出平面ABB 1的法向量，计算与的夹角即可得出线面角的大小．【解答】（I）证明：∵A 1A⊥平面ABC，B 1B⊥平面ABC，∴AA 1∥BB 1，∵AA 1=4，BB 1=2，AB=2，∴A 1B 1==2，又AB 1==2，∴AA 12=AB 12+A 1B 12，∴AB 1⊥A 1B 1，同理可得：AB 1⊥B 1C 1，又A 1B 1∩B 1C 1=B 1，∴AB 1⊥平面A 1B 1C 1．（II）解：取AC 中点O，过O 作平面ABC 的垂线OD，交A 1C 1于D，∵AB=BC，∴OB⊥OC，∵AB=BC=2，∠BAC=120°，∴OB=1，OA=OC=，以O 为原点，以OB，OC，OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：则A（0，﹣，0），B（1，0，0），B 1（1，0，2），C 1（0，，1），∴=（1，，0），=（0，0，2），=（0，2，1），设平面ABB 1的法向量为=（x，y，z），则，∴，令y=1可得=（﹣，1，0），∴cos＜＞===．设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=．∴直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值为．【点评】本题考查了线面垂直的判定定理，线面角的计算与空间向量的应用，属于中档题．2019年14.在V ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段A C 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】(1).1225(2).7210【解析】【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解..【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以1225BD =.72cos cos()coscos sin sin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=19.如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A A C AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF与平面1A BC 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）35.【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.【详解】(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AA C △中，AE EC =，则3sin 0sin 2B A ，≠∴=，平面ABC ⊥平面11A A C C ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =，由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A = ，由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ，结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH =，则AE EC ==，11AA CA ==,3BC AB ==，据此可得：()()()1330,,,,0,0,0,3,22A B A C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，由11AB A B = 可得点1B的坐标为132B ⎛⎫⎪⎝⎭，利用中点坐标公式可得：34F ⎛⎫⎪⎝⎭，由于()0,0,0E ，故直线EF的方向向量为：34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =，则：()()13333,,,33022223333,,,02222m A B x y z x z m BC x y z x ⎧⎛⎫⋅=⋅-=+-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，据此可得平面1A BC的一个法向量为()m =，34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭此时4cos ,5EF m EF m EF m⋅===⨯，设直线EF 与平面1A BC 所成角为θ，则43sin cos ,,cos 55EF m θθ=== .【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.2020年19．如图，三棱台DEF ﹣ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，∠ACB ＝∠ACD ＝45°，DC ＝2BC ．（Ⅰ）证明：EF ⊥DB ；（Ⅱ）求DF 与面DBC所成角的正弦值．【分析】（Ⅰ）题根据已知条件，作DH ⊥AC ，根据面面垂直，可得DH ⊥BC ，进一步根据直角三角形的知识可判断出△BHC 是直角三角形，且∠HBC ＝90°，则HB ⊥BC ，从而可证出BC ⊥面DHB ，最后根据棱台的定义有EF ∥BC ，根据平行线的性质可得EF ⊥DB ；（Ⅱ）题先可设BC ＝1，根据解直角三角形可得BH ＝1，HC ＝，DH ＝，DC ＝2，DB＝，然后找到CH与面DBC的夹角即为∠HCG，根据棱台的特点可知DF与面DBC 所成角与CH与面DBC的夹角相等，通过计算∠HCG的正弦值，即可得到DF与面DBC 所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：作DH⊥AC，且交AC于点H，∵面ADFC⊥面ABC，DH⊂面ADFC，∴DH⊥BC，∴在Rt△DHC中，CH＝CD•cos45°＝CD，∵DC＝2BC，∴CH＝CD＝•2BC＝•BC，∴＝，即△BHC是直角三角形，且∠HBC＝90°，∴HB⊥BC，∴BC⊥面DHB，∵BD⊂面DHB，∴BC⊥BD，∵在三棱台DEF﹣ABC中，EF∥BC，∴EF⊥DB．（Ⅱ）设BC＝1，则BH＝1，HC＝，在Rt△DHC中，DH＝，DC＝2，在Rt△DHB中，DB＝＝＝，作HG⊥BD于G，∵BC⊥HG，∴HG⊥面BCD，∵GC⊂面BCD，∴HG⊥GC，∴△HGC是直角三角形，且∠HGC＝90°，设DF与面DBC所成角为θ，则θ即为CH与面DBC的夹角，且sinθ＝sin∠HCG＝＝，∵在Rt△DHB中，DH•HB＝BD•HG，∴HG＝＝＝，∴sinθ＝＝＝．．2016•浙江14．（4分）（2016•浙江）如图，在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是．（2016•浙江）如图，在三棱台ABC ﹣DEF 中，已知平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（Ⅰ）求证：EF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求二面角B ﹣AD ﹣F的余弦值．2017年浙江如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．（第19题图）（1）证明：CE ∥平面PAB ；（2）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．PABCD E(2018年浙江)19．（15分）如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC=120°，A 1A=4，C 1C=1，AB=BC=B 1B=2．（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．2019年浙江14.在V ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段A C 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.19.如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A A C AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.；（1）证明：EF BC（2）求直线EF与平面1A BC所成角的余弦值.2020年浙江19．如图，三棱台DEF﹣ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB＝∠ACD＝45°，DC＝2BC．（Ⅰ）证明：EF⊥DB；（Ⅱ）求DF与面DBC所成角的正弦值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分析：由AB2016浙江精彩题选——立体几何【一、轨迹问题】1．如图，平面ABC⊥平面α，D为线段AB的中点，AB=22,∠CDB=45︒，点P为面α内的动点，且P到直线CD的距离为2，则∠APB的最大值为．解：以AB为直径的圆与椭圆A‘B’相切【二、动态问题】1.（2016台州期末8）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC=PB=PC=10，PA=8，BC=12，点M在平面PBC内，且AM=7，设异面直线AM与BC所成角为α，则cosα的最大值为17分析：点A到平面PBC的距离为d=43，AM=7即为绕d旋转所成的圆锥的母线长，最大角为BC与圆锥底直径平行时，母线与直径所成的角2.（2016金华十校期末）在四面体ABCD中，已知AD⊥BC，AD=6，BC=2，且AB AC=BD CD=2，则V四面体ABCD的最大值为（C）A.6B.211C.215D.8AC=BD CD=2得B、C点的轨迹为阿波罗尼斯圆，由阿波罗尼斯圆的性质，则B，C离AD的最远距离为4，可求3.（2016台州一模8）如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,点P,Q分别是棱BC,CD上的B ． 8C ．D ．106C动点 , BC = 4, , CD = 3, CC ' = 2 3 直线 CC ' 与平面 PQC ' 所成的角为D'C'30︒ ,则△ PQC ' 的面积的最小值是( B )A'B'A ．18 5 16 35 3DQCPAB(第 8 题图)4（2016 宁波十校 15）如图，正四面体 ABCD 的棱 CD 在平面 α 上， E 为棱 BC 的中点.当正四面体 ABCD 绕 CD 旋转时，直线 AE 与平面 α 所成最大角的正 弦值为 .A分析： CD ⊥ 平面 ABF ，则平面 ABF ⊥平面 α 。
设，平面 ABF ⊥平 面 α = a ,四面体不动，转动平面α ，则 AO ⊥ α 于 O 交 BF 于 M ，AO 为平面 α 的法向量。
AE 与平面 α 所成角正弦值最大=AE 与法向量 AO BED所成角最小，即为 AE 与平面 ABF 所成角，sin θ =α 所成角的正弦即为θ 的余弦值3363，则 AE 与平面α5.（温州二模 8）.棱长为 2 的正方体 ABCD - A B C D 中， E 为1 1 1 1棱 CC 的中点，点 P , Q 分别为面 A B C D 和线段 B C 上的动点，1 1 1 1 11则 ∆PEQ 周长的最小值为（ B ）A ． 2 2B ． 10C ． 11D ． 2 3分析：作对称6.（2016 五校联考 8） 如图，棱长为 4 的正方体 ABCD - A B C D ，点 A 在1 1 1 1(3+2)C.2(3+1)（B）D.2(2+1)()平面α内，平面ABCD与平面α所成的二面角为300，则顶点C到平面α的距离的最大值1是A.22+2B.2分析：直线CA在平面β上移动，CA与平面α所成线面角在变化的过程中，当线面角与二面角重叠时线面角最大。
此问题与2014年高考题填空最后一题是同一个原理。
.相关：（2014 浙江高考 17 题）.如图，某人在垂直于水平地面 训练.已知点 到墙面的距离为 ，某目标点 沿墙面的射击线 标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小 .若的墙面前的点 处进行射击 移动，此人为了准确瞄准目则的最大值5 3 9。
（仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角）当 PA 与平面 ABC 的线面角为 M -AC -B 的平面角时，取最大，可秒解。
9.（2016 诸暨质检 15） 如图，直四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的底面是边长为 1 的正方形，高 AA 1= 2 ，点 A 是平面 α 内的一个定点，AA 1 与 α 所成角为 π3，点 C 1 在平面 α 内的射影为 P ，当四棱柱 ABCD-A 1B 1C 1D 1 按要求运动时（允许四棱柱上的点在平面α 的同侧或异侧），点 P 所经过的区域面积=解：当长方体绕 A 1A 转的时候，C 1C 形成一个圆柱，过 C 1 往平 面 α 作垂线垂足 P ，就形成一个椭圆，其短轴为P 1P 2= 6 ，长轴为 2 2 的 y 型的椭圆，其中心 A 点在平面 α 上的射影 M 。
当 AA 1 绕着 A 点成 60 o 转时，则椭圆就以 A 为圆心，）2-（）2]⋅π=23π5A3.26+26-2为半径的圆上运动，其扫过的区域为一个圆环，外径为，内径为，所以222面积为[（6+26-222【三、角度问题】1.（2016名校联盟第一次7）．如图四边形ABCD，AB=BD=DA=2,BC=CD=2.现将ABD沿BD折起，当二面角A BD C处于[,]过程中，直线AB与CD66所成角的余弦值取值范围是（D）A．[-522252,]B．[,]8888C．[0,252]D．[0,]88B D2.（2016名校联盟第一次13）．已知一平面与一正方体的12条棱的所成角都等于α，则C第7题图sinα=33．（2016温州一模8）．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点E在线段AD上且AE=3，o o B ．存在某个位置，使得直线 AD 与 BE 所成的角为现 分 别 沿 BE, CE 将 ∆ABE, ∆DCE 翻 折 ， 使 得 点 D 落 在 线 段 AE 上 ， 则 此 时 二 面 角D - EC - B 的余弦值为（ D ）4 5 6 7 A ． B ．C ．D ．5 678A EDADE⇒BCB分析：往折痕作垂线，就是平面角，关键点是 BD 刚好和 CE 垂直。
C4. （2016 宁波期末 15）．在△ABC 中，∠BAC=10o ，∠ACB=30o ，将直线 BC 绕 AC 旋转得到B 1C ，直线 AC 绕 AB 旋转得到 AC 1，则在所有旋转过程中，直线 B 1C 与直线 AC 1 所成角的取值 范围为[ 1 0, 5 0 ]分析：两个圆锥的母线在转动时所成角的问题.5.（2016 嵊州期末 8）如图，四边形 ABCD 与 ABEF 均为矩形， BC = BE = 2AB ，二面角E - AB - C 的 大 小 为（ B ）π 3． 现 将 △ ACD 绕 着 AC 旋 转 一 周 ， 则 在 旋 转 过 程 中 ，FA ．不存在某个位置，使得直线 AD 与 BE 所成的角为π 2π4AEDBC第 8 题图|n| 角，∠A ' O B ' 是 ∠AOB 在 β 内的射影，则下列结论错误的是（ D ） 分析： cos ∠B 'Ol ⋅ cos ∠ BOB ' = cos ∠BOl 则 ∠B 'Ol < ∠BOl ，同理 ∠AOl< ∠AOl （第 6 题）C ．不存在某个位置，使得直线 AD 与平面 ABEF 所成的角为 π4D ．存在某个位置，使得直线 AD 与平面 ABEF 所成的角为 π26.（2016 桐乡一模 △8）．如图，已知 ABC ，CD 为 ∠ACB 的角平分线，沿直线 CD 将△ACD 翻折成△ A 'CD ，所成二面角 A ' - CD - B 的平面角为 θ ，则 （ C ） A ． ∠A 'DB ≤ θ , ∠A 'CB ≤ θ B ． ∠A 'DB ≤ θ , ∠A 'CB ≥ θ C ． ∠A 'DB ≥ θ , ∠A 'CB ≤ θ D ． ∠A 'DB ≥ θ , ∠A 'CB ≥ θ A ´ADCB（第 8 题图）7.（2016 绍兴二模）如图，棱长为 3 的正方体的顶点 A 在平面α 上，三条棱 AB ，AC,AD 都在平面α 的同侧。
若顶点 B ，C 到平面 α 的距离分别为1， 2 ，则顶点 D 到平面 α 的距离为6d = 1 = | AB ⋅ n | 1 = 3xx 2 + y 2 + z 2d = 2 =23 yx 2 + y 2 + z 2d =33zx 2 + y 2 + z 2平方相加可得， d = 638（2016 嘉兴二模 6）如图，小于90︒ 的二面角 α - l - β 中， O ∈ l ， A , B ∈α ，且 ∠AOB 为钝．．A ． ∠A ' OB ' 为钝角B ． ∠A ' O B ' > ∠AOBC ． ∠AOB + ∠AOA ' < πD ． ∠B ' O B + ∠BOA + ∠AOA ' > πl B B 'O A A ' αβ'面 AEF 与平面 ACD 所成二面角的正弦值的取值范围是__________.3可排除 A ，B 选项，C 、D 方法同样。
9.（2016 杭二最后卷 15）正四面体 A - BCD 中： E 为 BC 中点， F 为直线 BD 上一点，则平．．． 解：把正四面体放到正方体内，平面 ACD 与平面 AEF 所成角的正弦=平面 ACD 的法向量 BK 与平面 AEF 所成角的余弦值。
BK 与 AE 所成角 cos α =23，问题看成平面 AEF 绕 AE 转动，当 BK与平面所成角等于 BK 与 AE 夹角时角最大，当平面 AEF 与 BK 平行时所成角为 0o ，则 cos α ∈ [ 2 3,1]【四、基本概念】1.（2016 五校联考 4）已知棱长为 1 的正方体 ABCD - A B C D 中，下列数学命题不正确的1 1 1 1是（ D ）A.平面 ACB / / 平面 A C D ，且两平面的距 离为311 1B.点 P 在线段 AB 上运动，则四面体 P A B C 的体积不变1 1 1C.与所有 12 条棱都相切的球的体积为2 3πD. M 是正方体的内切球的球面上任意一点， N 是 ∆AB C 外接圆的圆1周上任意一点，则 MN 的最小值 是3 - 2 2。