利用勾股定理求最短距离

1
5
C
12 B
∵ AB2=AC2+BC2=169,
∴ AB=13.
B
二、圆柱(锥)中的最值问题
例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m， 一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处 吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
C
B
A
A
分析：由于老鼠是沿着圆柱的
表面爬行的，故需把圆柱展开 成平面图形.根据两点之间线段 最短，可以发现A、B分别在 圆柱侧面展开图的宽1m处和长 24m的中点处，即AB长为最短 路线.(如图)
A
C
2
B
1
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
四、长方体中的最值问题
例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发， 沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图 所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？
D1 A1 D
A
4
分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC
=
24
×
1 2
= 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .
三、正方体中的最值问题
例3、如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出
发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ ）.
（A）3
（B） √5
（C）2 （D）1
B C
B C 20
分析 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有 两种情况(如图①② ),由勾股定理可求 得图1中AB最短.
15 A 10
①
5B
20
B
5
②
20
A 10 15
A 10 15
AB =√202+152 =√625
AB =√102+252 =√725
小 结： 把几何体适当展开成平面图
形，再利用“两点之间线段最 短”，或点到直线“垂线段最短” 等性质来解决问题。
利用勾股定理 求解几何体的最短路线长
一、台阶中的最值问题
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和 高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个 相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的 食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面 爬到B点，最短线路是多少？
A
5
A
3
C1 线有三种情况(如图①②③ ),由Biblioteka Baidu股
B1
1 C
定理可求得图1中AC1爬行的路线最
2 B
短.
D1
C1
①
1
D
C
2
A
4
B
A1
②
A
4
B1
C1
1
B2 C
AC1 =√42+32 =√25 ;
AC1 =√62+12 =√37 ;
D D1
C1
2
③
A 1 A1
4
B1
AC1 =√52+22 =√29 .
例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为 20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿 着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距 离是多少？