信号与系统 周期信号的傅里叶级数

频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了 信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特 性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽 以及滤波、调制等重要概念。
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本章主要内容
• • • • 周期信号的傅立叶级数 非周期信号的傅立叶变换 傅立叶变换的基本性质 周期信号和抽样信号的傅立叶变换
二、指数形式的傅立叶级数 1．任意信号的指数傅立叶级数展开 ① {1, e j t , e j t , e j 2 t , e j 2 t ,..., e jn t , e jn t ,...}
1 1 1 1 1 1
(t 0 , t 0
2
1
)上的完备正交函数集，周期T1

1 Fn T1
n1 E E jn1t 2 2 Ee dt T1 Sa( 2 ) f t T1
2
E T1

Fn

2

1 01

wenku.baidu.com
4

B
2


, Bf
1

Bf与τ成反比关系
频带宽度概念：周期脉冲信号包含无穷多条谱线，即可分解为 无穷多个频率分量，但其能量主要集中在第一个零点以内，常 把 0 2 / 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度
iii) bn
f (t ),sin n1t sin n1t ,sin n1t

t0 T1
t0
f (t ) sin n1tdt T1 2
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2．对于周期函数 f (t ) ，由于 a0 , an , bn积分值与积 分区间起始点无关(只要积分区间大小为T1)，故在 t , f (t ) 均可以展成傅立叶级数
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第三章 傅立叶变换
•引言
时域分析中,以冲激信号δ(t)为基本信号，任意 输入信号e(t)可分解为一系列冲激信号之和；
rzs (t ) h(t ) e(t )
而本章将以正弦信号和虚指数信号e jt为基本信号， 任意输入信号可以分解为一系列不同频率的正弦信 号或虚指数信号之和。
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3． Fn与 an , bn , cn , d n 的关系
① F0 a0 c0 d 0 ② an cos n1t bn sin n1t
e jn1t e jn1t e jn1t e jn1t 1 1 jn1t an bn (an jbn )e (an jbn )e jn1t 2 2j 2 2 1 1 jn i) Fn (an jbn ) Fn e , F n (an jbn ) Fn e jn 2 2
bn an iv) tg n , tg n an bn
n , n 为 n的奇函数 1
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v)基波分量： f 1
1 对应的 c1 cos(1t 1 ) T1
vi)奇次谐波分量： 3 f1 , 5 f1 , 7 f1 , ... 对应的
理解： 每个分量的幅度一分为二，在正负频率相对应的 位置上各一半； 只有把正负频率上对应的两条谱线矢量相加起来 才代表一个分量的幅度。
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三、函数对称性与傅立叶系数关系
1．偶函数 f (t ) f ( t )
1 ① a0 T1
1 a0 c0 T1
4 an cn T1

T1 / 2
T1 / 2
1 f t dt T1
E / 2 Edt T1
/2
bn 0


2 0
4E 2 E E cos n1tdt sin(n1 ) Sa (n1 ) n1T1 2 T1 2
一种变换域分析方法，其它变换方法的基础； 快速傅立叶变换的出现，使其应用更加广泛
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频谱示意图
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频谱示意图
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5．周期信号的离散谱 i)幅度(频)谱: cn
n1
ii)相位(频)谱: n
n1
cn
c0
n
c1
c2
c3
谱线，包络线

01 31
n1

01 31
n1

特点：频谱只出现在某些离散频率点上，离散(频)谱
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f (t )e jn1t dt
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2．周期函数 f (t ), Fn 积分值与 t 0无关(只要积分区间 大小为T1)，故在 t 有
f (t )
n
F e
n

jn1t
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n1 Sa ( ) cos n1t 2 n 1

E 2 E f (t ) T1 T1
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E 2 E f (t ) T1 T1 n1 Sa ( ) cos n1t 2 n 1
c2 k 1 cos[(2k 1)1t 2 k 1 ]
vii)偶次谐波分量：2 f1 , 4 f1 , 6 f1 , ... 对应的
c2k cos(2k1t 2k )
viii)直流分量：c0
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f (t )
0
T1
t
T1
3．存在的充分非必要条件：狄利克雷条件 ①一周期内 f (t )间断点有限个； ②一周期内 f (t ) 极值有限个； ③一周期内 f (t ) 绝对可积，即
t0 T1 t0
f (t ) dt
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0
n
n1
n1
1 01
n1


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5．负频率出现无物理意义，只是数学运算结果。
1 1 1 2 2 Fn F n cn dn an bn , Fn F n cn 2 2 2
4．其它三角形式
i)
f (t ) c0 cn cos(n1t n ), f (t ) d0 dn sin(n1t n )
n 1 n 1
2 2 ii) a0 c0 d0 , cn dn an bn
cn 为 n的偶函数 1
iii) an cn cos n d n sin n , bn cn sin n d n cos n
f(t) E
T1 / 2

T1 / 2
T1 / 2
2 f (t )dt T1

T1 / 2
0
f (t )dt
0
T1 / 2
t
2 T1 / 2 4 T1 / 2 ② an T / 2 f (t ) cos n1tdt 0 f (t ) cos n1tdt T1 1 T1
2 ③ bn T1

cn cn
E T1
n

01
2
4



0
2
4



2 谱线间隔 1 ( ) T1 2 零值点频率
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指数形式：f t
n


Fn e jn1t
n1 jn1t Sa ( )e 2 n

T1 / 2
T1 / 2
f (t ) sin n1tdt 0
偶函数只含直流项和余弦项
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[例1]：周期矩形脉冲：只含直流项与余弦项 f (t ) E f t E u (t ) u (t ) 2 2 0 T1 T1 ( t ) t 2 2
ii) an
f (t ), cos n1t cos n1t , cos n1t

t0 T1
an 为 n的偶函数 1
T1 2 2 t0 T1 f (t ) cos n1tdt t T1 0
t0
f (t ) cos n1tdt
bn 为 n的奇函数 1
2 t0 T1 f (t ) sin n1tdt t T1 0
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•频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论 傅立叶变换。傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数 展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为 傅立叶分析（频域分析）。将信号进行正交分解， 即分解为三角函数或复指数函数的组合。
2 ) 只与周期T1有关，且与T1成反比；零值点 T1
系，且与T1成反比与τ 成正比。
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信号与系统—signals and systems 若τ不变，T1扩大一倍
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信号与系统—signals and systems 若T1不变，τ减小一半
E
f (t )
cn
E T1
2


E

T1
f (t )
2T1
t

t
1
4

cn
E T1

T1
2T1
1
2

谱线间隔1 (
2 频率 只与τ有关，且与τ成反比；而谱线幅度与T1和τ都有关
2 2 ii) Fn F n 1 cn 1 dn 1 an bn , Fn F n cn
2
2
2
2 2 2 2 iii) Fn F n an , bn j( Fn F n ), cn dn an bn 4 Fn F n
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Fn 4．幅度谱：
n n1 ，相位谱： n1
实 f (t ) 傅立叶级数的特点： i) Fn Fn 为偶函数
Fn 为实数时， Fn 的正负表示
ii) n n 为奇函数
F F0 n
n 的0和π，幅
度谱和相位谱 画到一张图上
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频谱示意图
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3.1周期信号的傅立叶级数
一、三角形式的傅立叶级数 1．任意信号的三角形式傅立叶级数展开 ① {1, cos1t, sin 1t, cos21t, sin 21t,...,cosn1t, sin n1t,...} 是区间 2 2 (t 0 , t 0 )上的一个完备正交函数集，周期 T1 1 1 2 ②满足一定条件的任一函数 f (t ) 在区间(t0 , t0 ) 都可描述为： 1

2
1
②
f (t )
n
jn1t F ( n ) e 1
t0 T1
n
jn1t F e n
Fn
f (t ), e
jn1t
e jn1t , e jn1t

t0
t0
1 t0 T1 jn1t f ( t ) e dt t0 T1 t e jn1t e jn1t dt T1 0
f (t ) a0 an cos n1t bn sin n1t
n 1
f(t)
0
t0
t0 2 / 1
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t
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3.1周期信号的傅立叶级数
i) a0
f (t ),1 1,1
1 t0 T1 f (t )dt T1 t0