9 几何学的变革解析
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非欧几何
1813年高斯(德, 1777-1855)：非欧几 里得几何 1826年罗巴切夫斯 基(俄, 1792-1856) 《简要论述平行线定 理的一个严格证明》
几何学上的哥白尼
1832年波约(匈, 1802-1860)《绝对空 间的科学》
π (α )
非欧几何
罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大学教 授、校长 1815年着手研究平行线理论，试图给出平行 公设的证明
但所有这些替代公设，也不自明。
9.1 欧几里得的平行公设 二 寻求第五公设的证明 多少世纪以来，试图证明第五 公设的人是如此之多，差不多够 一个军团，但所有这些尝试均告 失败。
9.1 欧几里得的平行公设 三 非欧几何的孕育 1 萨凯里（Saccheri） 著《欧几里得无懈可击》（1733） 从著名的“萨凯里四边形”出发证明 平行公设 2 克吕格尔 1763年，克吕格尔指出萨凯里的工 作并未导出矛盾，他怀疑能否证明 平行公设
1826年在物理数学系会议宣读《简要论述平 行线定理的一个严格证明》
9.1 欧几里得的平行公设
3 兰伯特 著《平行线的理论》（1766） 他认识到一组假设如果不引起矛盾的 话，就提供了一种可能的几何。 兰伯特最先指出通过替换平行公设而 展开新的无矛盾的几何学的道路。
萨凯里、克吕格尔、兰伯特是 非欧几何的先行者。
非欧几何的孕育
若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角, 那 么把两直线无限延长, 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧 相交.
9.1 欧几里得的平行公设 从古希腊时代开始，人们一直对 第五公设有疑问，二千年来，数学 家们一直在想消除这个疑问，其途 径有二：一是用更为自明的命题代 替第五公设；二是证明它，使其成 为一个定理。
两千年来提出众多的替代公设有：
9.1 欧几里得的平行公设
存在一对同平面的直线彼些处处等
距离
过己知直线外一点能且只能作一条
1823年，波约开始理解平行公设 问题的实质，称“我要白手起家 创造一个奇怪的新世界”。波约 称他的非欧几何为“绝对几何”。 著《绝对空间的科学》
9.2 非欧几何的诞生 三
罗巴切夫斯基（1792—1856）
1826 《简要论述平行线定理的一个严格证明》 1829 《论几何原理》 1835—1838 系列论文 《具有完备的平行线理论的新几何学原理》 1840 《平行理论的几何研究》
欧氏几何的公理体系出现在欧几里得的 《原本》中，在其之后的2200后，希尔伯 特在《几何基础》加以完善。其间，许多 数学家作了许多公理体系的完备性工作。
9 几何学的变革
然而，令人放心不下的是该公理体系 中的第五公设，即平行公设的问题。 因为人们发现即使欧几里得本人也尽 量避免使用它。
9 几何学的变革
平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)
欧几里得
普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819) 勒让德(法, 1752-1833) A+B+C=2π
非欧几何的孕育
勒让德(法, 1752-1833) 《几何学原理》：这条关于 三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真 理之一。这些真理是不容争论的，它们是数学永恒 真理的不朽的例子。(1832)
9.2 非欧几何的诞生
罗巴切夫斯基在否定第五公理的同时， 假设其反面之一：“过已知直线外一点， 可作多于一条的直线与已知直线平行”， 得到了一系列定理，并且认为他得到了一 门新的几何学。
罗巴切夫斯基宣布自己建立了新的几何 学之后，遭到了许多数学大家的嘲笑、讽 刺，德国诗人歌德也出来讽刺他。实际上， 罗巴切夫斯基的理论得到世界的认可是在 他去世几十年后的事了。
9.2 非欧几何的诞生
高斯
波约
罗巴切夫斯基
9.2 非欧几何的诞生 一 高斯（Gauss，1777—1855）
1799年，高斯意识到平行公设不 能由其它欧氏公理推出来，并从 1813年起发展了这种平行公设在其 中不成立的新几何学，称之为反欧 几里得几何学，但高斯生前未发表。
9.2 非欧几何的诞生 二 波约（1802—1860）
直线与己知直线平行 存在一对相似但不全等的三角形
如果一个四边形有一对对边相等，
并且它们与第三边构成的角均为直 角，则余下的两个角也是直角
9.1 欧几里得的平行公设
如果四边形有三个角是直角，则第
四个角也是直角 至少存在一个三角形，其三角和等 于二直角 过任何三个不在同一直线上的点可 作一圆 三角形的面积无上限
9 几何学的变革
欧几里得平行公设
非欧几何的诞生
非欧几何的发展与确认
射影几何的繁荣 几何学的统一
9 几何学的变革
欧氏几何在公元前300年就已产生，其特 征是建立了公理化方法：即从几个概念和 几个命题，演绎出本学科其它所有概念和 命题，从而构成这一学科的全貌。运用这 种方法的学科被认为是严谨的和成熟的科 学。
1733年萨凯里(意, 1667-1733)《欧 几里得无懈可击》
非欧几何的孕育
1763年，克吕格尔(德, 17391812)第一位对平行线公设是否 能由其它公理加以证明表示怀 疑的数学家
1766年兰伯特(法, 1728-1777)《平行线理论》不认为锐角假 设矛盾, 认识到如果一组假设不引起矛盾, 就提供了一种可能的 几何 1820年F•鲍约(匈, 1775-1856): “我经过了 这个长夜的渺无希望的黑暗, 在这里埋没了我 一生的一切亮光和一切快乐,……或许这个无 底洞的黑暗将吞食掉一千个犹如灯塔般的牛顿, 而使大地永无光明。”
9.1 欧几里得平行公设
第五公设（即平行公设） 寻求第五公设的证明 非欧几何的孕育
9 几何学的变革
9.1 欧几里得平行公设 一 第五公设（即平行公设） 《原本》中五个公设：
1 由任意一点到另外任意一点可以画直线 2 一条有限直线可以继续延长 3 以任意点为心及任意的距离可以画圆 4 凡直角都彼此相等 5 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在 某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二 直线经无限延长后在这一侧相交
非欧几何
1813年高斯(德, 1777-1855)：非欧几 里得几何 1826年罗巴切夫斯 基(俄, 1792-1856) 《简要论述平行线定 理的一个严格证明》
几何学上的哥白尼
1832年波约(匈, 1802-1860)《绝对空 间的科学》
π (α )
非欧几何
罗巴切夫斯基(俄, 1792-1856)，喀山大学教 授、校长 1815年着手研究平行线理论，试图给出平行 公设的证明
但所有这些替代公设，也不自明。
9.1 欧几里得的平行公设 二 寻求第五公设的证明 多少世纪以来，试图证明第五 公设的人是如此之多，差不多够 一个军团，但所有这些尝试均告 失败。
9.1 欧几里得的平行公设 三 非欧几何的孕育 1 萨凯里（Saccheri） 著《欧几里得无懈可击》（1733） 从著名的“萨凯里四边形”出发证明 平行公设 2 克吕格尔 1763年，克吕格尔指出萨凯里的工 作并未导出矛盾，他怀疑能否证明 平行公设
1826年在物理数学系会议宣读《简要论述平 行线定理的一个严格证明》
9.1 欧几里得的平行公设
3 兰伯特 著《平行线的理论》（1766） 他认识到一组假设如果不引起矛盾的 话，就提供了一种可能的几何。 兰伯特最先指出通过替换平行公设而 展开新的无矛盾的几何学的道路。
萨凯里、克吕格尔、兰伯特是 非欧几何的先行者。
非欧几何的孕育
若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角, 那 么把两直线无限延长, 它们都在同旁内角和小于两直角的一侧 相交.
9.1 欧几里得的平行公设 从古希腊时代开始，人们一直对 第五公设有疑问，二千年来，数学 家们一直在想消除这个疑问，其途 径有二：一是用更为自明的命题代 替第五公设；二是证明它，使其成 为一个定理。
两千年来提出众多的替代公设有：
9.1 欧几里得的平行公设
存在一对同平面的直线彼些处处等
距离
过己知直线外一点能且只能作一条
1823年，波约开始理解平行公设 问题的实质，称“我要白手起家 创造一个奇怪的新世界”。波约 称他的非欧几何为“绝对几何”。 著《绝对空间的科学》
9.2 非欧几何的诞生 三
罗巴切夫斯基（1792—1856）
1826 《简要论述平行线定理的一个严格证明》 1829 《论几何原理》 1835—1838 系列论文 《具有完备的平行线理论的新几何学原理》 1840 《平行理论的几何研究》
欧氏几何的公理体系出现在欧几里得的 《原本》中，在其之后的2200后，希尔伯 特在《几何基础》加以完善。其间，许多 数学家作了许多公理体系的完备性工作。
9 几何学的变革
然而，令人放心不下的是该公理体系 中的第五公设，即平行公设的问题。 因为人们发现即使欧几里得本人也尽 量避免使用它。
9 几何学的变革
平行公理的研究(公元前3世纪至1800年)
欧几里得
普莱菲尔(苏格兰, 1748-1819) 勒让德(法, 1752-1833) A+B+C=2π
非欧几何的孕育
勒让德(法, 1752-1833) 《几何学原理》：这条关于 三角形的三个内角和的定理应该认为是那些基本真 理之一。这些真理是不容争论的，它们是数学永恒 真理的不朽的例子。(1832)
9.2 非欧几何的诞生
罗巴切夫斯基在否定第五公理的同时， 假设其反面之一：“过已知直线外一点， 可作多于一条的直线与已知直线平行”， 得到了一系列定理，并且认为他得到了一 门新的几何学。
罗巴切夫斯基宣布自己建立了新的几何 学之后，遭到了许多数学大家的嘲笑、讽 刺，德国诗人歌德也出来讽刺他。实际上， 罗巴切夫斯基的理论得到世界的认可是在 他去世几十年后的事了。
9.2 非欧几何的诞生
高斯
波约
罗巴切夫斯基
9.2 非欧几何的诞生 一 高斯（Gauss，1777—1855）
1799年，高斯意识到平行公设不 能由其它欧氏公理推出来，并从 1813年起发展了这种平行公设在其 中不成立的新几何学，称之为反欧 几里得几何学，但高斯生前未发表。
9.2 非欧几何的诞生 二 波约（1802—1860）
直线与己知直线平行 存在一对相似但不全等的三角形
如果一个四边形有一对对边相等，
并且它们与第三边构成的角均为直 角，则余下的两个角也是直角
9.1 欧几里得的平行公设
如果四边形有三个角是直角，则第
四个角也是直角 至少存在一个三角形，其三角和等 于二直角 过任何三个不在同一直线上的点可 作一圆 三角形的面积无上限
9 几何学的变革
欧几里得平行公设
非欧几何的诞生
非欧几何的发展与确认
射影几何的繁荣 几何学的统一
9 几何学的变革
欧氏几何在公元前300年就已产生，其特 征是建立了公理化方法：即从几个概念和 几个命题，演绎出本学科其它所有概念和 命题，从而构成这一学科的全貌。运用这 种方法的学科被认为是严谨的和成熟的科 学。
1733年萨凯里(意, 1667-1733)《欧 几里得无懈可击》
非欧几何的孕育
1763年，克吕格尔(德, 17391812)第一位对平行线公设是否 能由其它公理加以证明表示怀 疑的数学家
1766年兰伯特(法, 1728-1777)《平行线理论》不认为锐角假 设矛盾, 认识到如果一组假设不引起矛盾, 就提供了一种可能的 几何 1820年F•鲍约(匈, 1775-1856): “我经过了 这个长夜的渺无希望的黑暗, 在这里埋没了我 一生的一切亮光和一切快乐,……或许这个无 底洞的黑暗将吞食掉一千个犹如灯塔般的牛顿, 而使大地永无光明。”
9.1 欧几里得平行公设
第五公设（即平行公设） 寻求第五公设的证明 非欧几何的孕育
9 几何学的变革
9.1 欧几里得平行公设 一 第五公设（即平行公设） 《原本》中五个公设：
1 由任意一点到另外任意一点可以画直线 2 一条有限直线可以继续延长 3 以任意点为心及任意的距离可以画圆 4 凡直角都彼此相等 5 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在 某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二 直线经无限延长后在这一侧相交