数学高二-选修2-3 2.6正态分布导学案
2018版高二数学苏教版选修2-3教案：2.6 正态分布4
2.6 正态分布教学目标（1）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），了解什么是正态分布曲线和正态分布；（2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（3）会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率． 教学重点，难点（1） 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（2） 求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率．教学过程一．问题情境1．复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法；回顾曲边梯形的面积()ba S f x dx =⎰的意义．2．从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：cm ）：164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182上述数据的分布有怎样的特点？二．学生活动为了研究身高的分布，可以先根据这些数据作出频率分布直方图．第一步 对数据分组（取组距4d =）；第二步 列出频数（或频率）分布表；第三步 作出频率分布直方图，如图2-6-2．由图2-6-2可以看出，上述数据的分布呈“中间高，两边底，左、右大致对称”的特点．可以设想，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．再观察此概率密度曲线的特征．三．建构数学1． 正态密度曲线：函数22()2(),x P x x R μσ--=∈的图象为正态密度曲线，其中μ和σ为参数（ 0σ>，R μ∈）．不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．2．正态密度曲线图象的性质特征：（1）当x μ<时，曲线上升；当x μ>时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以轴为渐进线；（2）正态曲线关于直线x μ=对称；（3）σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；（4）在正态曲线下方和轴上方范围内的区域面积为1．3．正态分布：若X 是一个随机变量，对任给区间(,],()a b P a x b <≤恰好是正态密度曲线下方和X 轴上(,]a b 上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为μ和2σ的正态分布，简记为2~(,)X N μσ．4． 正态总体在三个特殊区间内取得的概率值：具体地，如图所示，随机变量X 取值（1）落在区间(,)μσμσ-+上的概率约为 0068.3，即()0.683P X μσμσ-<≤+=；（2）落在区间(2,2)μσμσ-+上的概率约为0095.4，即(22)0.954P X μσμσ-<≤+=；（3）落在区间(3,3)μσμσ-+上的概率约为0099.7，即(33)0.997P X μσμσ-<≤+=．5． 3σ原则： 服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称为3σ原则．6．标准正态分布：事实上，μ就是随机变量X 的均值，2σ就是随机变量X 的方差，它们分别反映X 取值的平均大小和稳定程度．我们将正态分布(0,1)N 称为标准正态分布．通过查标准正态分布表（见附表1）可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．7．非标准正态分布转化为标准正态分布：非标准正态分布2(,)X N μσ可通过X z μσ-=转化为标准正态分布(0,1)z N ．四．数学运用1．例题：例1．一台机床生产一种尺寸为10mm 的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm ）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y 服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式． 解：由题意得1(10.210.1109.89.910.39.7109.910.1)1010μ=+++++++++=， 22222221[(10.210)(10.110)(1010)(9.810)(9.910)(10.310)10σ=-+-+-+-+-+- 2222(9.710)(1010)(9.910)(10.110)]0.03+-+-+-+-=，即10μ=，20.03σ=．所以Y 的概率密度函数为250(10)3(),x P x x R --=∈．例2．若随机变量~(0,1)Z N ，查标准正态分布表，求：（1）( 1.52)P Z ≤；（2）( 1.52)P Z >；（3）(0.57 2.3)P x <≤；（4）( 1.49)P Z ≤-．解：（1）( 1.52)0.9357P Z ≤=．（2）( 1.52)1( 1.52)P Z P Z >=-≤10.93570.0643=-=．（3）(0.57 2.3)( 2.3)(0.57)0.98930.71570.2736P x P Z P Z <≤=≤-≤=-=；（4）( 1.49)( 1.49)P Z P Z ≤-=≥1( 1.49)10.9319P Z =-≤=- 0.0681=．例3．在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即(90,100)X N ．试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？解： 法一（将非标准正态分布转化为标准正态分布）：70909011090(70110)()(22)(2)(2)101010X P X P P Z P Z P Z ---<<=<<=-<<=≤-≤- [](2)1(2)2(2)120.977210.95440.954P Z P Z P Z =≤--≤=≤-=⨯-=≈．法二（3σ原则）：因为(90,100)X N ，所以90,10μσ===． 由于正态变量在区间(2,2)μσμσ-+内取值的概率是0.954，而该正态分布29021070μσ-=-⨯=，290210110μσ+=+⨯=，所以考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率就是0.954．2．练习：五．回顾小结：1．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；2．正态总体在三个特殊区间内取得的概率值；3．求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率的方法．六．课外作业：。
《2.6 正态分布》教案
《2.6 正态分布》教案教学目标:1. 知识目标:理解并掌握(标准)正态分布和正态曲线的概念､意义及性质,并能简单应用｡2. 能力目标:能用正态分布､正态曲线研究有关随机变量分布的规律,引导学生通过观察并探究规律,提高分析问题,解决问题的能力;培养学生数形结合,函数与方程等数学思想方法｡3. 情感目标:通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐,形成积极的情感,培养学生的进取意识和科学精神｡教学重点:正态分布的概念､正态曲线的性质和标准正态分布的一些简单计算｡教学难点:正态分布的意义和性质｡教学过程:【一】导入新课1､问题引入:在2007年的高考中,某省全体考生的高考平均成绩是490分,标准差是80,计划本科录取率为0.4 ,则本科录取分数线可能划在多少分?2､回顾样本的频率分布与总体分布之间的关系.前面我们研究了离散新随机变量,他们只取有限个或可列个值,我们用分布列来描述总体的统计规律;而许多随机现象中出现的一些变量,如上节课研究的某产品的尺寸,它的取值是可以充满整个区间或者区域的,总体分布通常不易知道,我们是用什么去估计总体分布的呢?----用样本的频率分布(即频率分布直方图)去估计总体分布.回头看上一节得出的100个产品尺寸的频率分布直方图,发现:横坐标是产品的尺寸;纵坐标是频率与组距的比值,什么才是在各组取值的频率呢?---直方图的面积｡设想:当样本容量无限增大,分组的组距无限的缩小时,这个频率直方图无限接近于一条光滑的曲线-----总体密度曲线｡它能够很好的反映了总体在各个范围内取值的概率｡由概率的性质可以知道(1)整条曲线与x轴所夹的总面积应该是?---1(2)总体在任何一个区间内取值的概率等于这个范围内面积下面,同学们一起观察一下总体密度曲线的形状,看它具有什么特征?“中间高,两头低,左右对称”的特征｡像具有这种特征的总体密度曲线一般就是或者近似的是以下函数的图像｡(板书函数､标题):【二】正态分布(1)正态总体的函数解析式､正态分布与正态曲线产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高,两头低”的特征,像这种类型的总体密度曲线,一般就是或近似地是以下一个函数的图象:(板书)),(x ,e 21)x (f 222)x (+∞-∞∈σπ=σμ--①这个总体是具有无限容量的抽象总体,其分布叫做正态分布,其图像叫做正态曲线｡ 在函数解析式中有两个参数μ､σ:μ表示总体的平均数;σ(σ>0)表示总体的标准差,下面我们来研究一下这两个参数在图像上有怎样的影响呢?1､μ表示总体的平均数(它不就是前面学习的随机变量的?---期望,而期望是反映总体分布的?---平均水平),(回头看频率分布直方图)大家思考一下,这个总体分布的平均数在什么位置呢?最高点那个位置,为什么呢?因为规定的尺寸为25.40mm,总体在它的左右取值的概率最大,尺寸过大或过小毕竟占少数,所以图像才会呈现“中间高,两头低”的特征｡下面大家看一下flash (改变μ的值,肯定学生的回答,得出1､2､3条性质)用《几何画板》画出三条正态曲线:即①μ=-1,σ=0.5;②μ=0,σ=1;③μ=1,σ=2,其图象如下图所示:得出正态曲线的前四条性质: ①曲线在x 轴的上方,与x 轴不相交｡②曲线关于直线x=μ对称,且在x=μ时位于最高点｡③当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降｡并且当曲线向左､右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近｡以上便是参数μ对正态曲线的影响2､下面我们再分析若 μ是定值,即对称轴一定,σ决定着曲线的什么?σ(σ>0)是总体的标准差(总体标准差是衡量总体波动大小的特征数,反映了总体分布的集中与离散程度)(再用《几何画板》改变的σ值,让学生总结规律,得出正态曲线的第五条性质)σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中,那集中在什么位置?----平均数μ附近,同理: 若σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散,越远离平均数;④当μ一定时,曲线的形状由改变μ的值确定｡σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中｡结论:正态分布由μ､σ唯一确定,因此记为:N(μ,σ2)(利用图像､性质解题)【例1】 (2007全国2理14)在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为 ｡解.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(1,σ2)(σ>0),正态分布图象的对称轴为x=1,ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,可知,随机变量ξ在(1,2)内取值的概率于ξ在(0,1)内取值的概率相同,也为0.4,这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8｡(5)当μ=0,σ=1时,相应的函数解析式大大的简化了:R x ,e 21)x (f 2x 2∈π=-｡其图像也简单了,关于y 轴对称,我们把这样的正态总体称为标准正态总体,相应的曲线称为标准正态曲线由于标准正态总体N(0,1)在正态总体研究中有非常重要的作用,人们专门制定了《标准正态分布表》以供查用(P —65)(在课件上,调出标准正态分布表,教学生查阅)1､在这个表中,相应于 x 0 的值Φ(x 0)是指总体取值小于x 0 的概率 即Φ(x 0)=p(x<x 0))(0x x P ≤=｡(如图)2､利用标准正态曲线的对称性说明等式Φ(x 0)=1-Φ(-x 0)3､ 标准正态总体在任一区间(x 1,x 2)内取值概率p )(21x x x <<=Φ(x 0)-Φ(x 1)的几何意义｡【例2】 求标准正态总体在(-1,2)内取值的概率｡ 解:利用等式p=Φ(x 0)-Φ(x 1)有p=Φ(2)-Φ(-1)= Φ(2)-[1-Φ(1)] 【三】 课堂练习1(2007湖南卷)设随机变量ξ服从标准正态分布(01)N ，,已知( 1.96)0.025Φ-=, 则(|| 1.96)P ξ<=( C ) A.0.025B.0.050C.0.950D.0.975【分析】ξ服从标准正态分布(01)N ，,(|| 1.96)( 1.96 1.96)P P ξξ⇒<=-<<= (1.96)( 1.96)12( 1.96)120.0250.950.ΦΦΦ--=--=-⨯=【五】新的问题,激发兴趣我们通过标准正态曲线的对称性以及标准正态分布表,可以求出标准正态总体N(0,1)在任一区间(x 1,x 2)内取值的概率P )(21x x x <<=Φ(x 0)-Φ(x 1)我们知道任何一对不同的μ,σ就有一个不同的正态总体,对于一般的正态总体N(μ,σ2),在任一区间(a,b)内的取值概率如何进行计算呢?可否也通过查标准正态分布表来求出它呢?-回答是肯定的,否则制定了标准正态分布表就失去了它的意义｡ 2.正态总体N(μ,σ2)在任一区间取值的概率计算(点拨思路,计算应用)｡一般的正态总体N(μ,σ2)均可以化成标准正态总体N(0,1)进行研究.可以证明,对任一正态总体N(μ,σ2),取值小于x 的概率F(0x )=P(x<0x )转化公式为: ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=σμ00)(x x F向学生指出,等式⎪⎭⎫⎝⎛σμ-Φ=x )x (F 的严格证明要用到积分变换的知识,它有待在今后的学习中解决｡最后,可向学生展示公式⎪⎭⎫⎝⎛σμ-Φ=x )x (F 的应用｡ 【例3】 已知正态总体N(1,4),.求F(|x|<3)｡ (4)学习正态分布有什么意义? 服从正态分布的总体特征一般地,当一随机变量是大量微小的独立随机因素共同作用的结果,而每一种因素都不能起到压倒其他因素的作用时,这个随机变量就被认为服从正态分布.像产品尺寸这一类典型总体,它的特征是:生产条件正常稳定,即工艺､设备､技术､操作､原料､环境等可以控制的条件都相对稳定,而且不存在产生系统误差的明显因素.所以它服从正态分布下面,大家一起来找找实际生活中那些现象都服从或近似服从正态分布?生产中,在正常生产条件下各种产品的质量指标､测量的误差(如电子管的使用寿命､零件的尺寸等)在生物学中,同一群体的某种特征(如08年广西区高考考生体检的身高､体重､肺活量),在一定条件下生长某农作物的产量等,在气象中,梧州今年五月份的平均气温､平均降雨量等,两江的水位等 在生活中,某一时间段的车流量､人流量,同学的考试成绩,喝的饮料等 总之:正态分布广泛存在于各个领域当中,在概率和统计中都占有重要地位 【五】课堂小结1.本节课我们主要学习了正态分布的若干性质,服从正态分布的总体的特征,如何使用《标准正态分布表》,要求同学们能知道正态曲线的大致形状以及从图象上直观得到正态分布的性质,并能利用《标准正态分布表》及相关等式进行计算｡2.本节课介绍了如何利用标准正态分布表计算一般正态分布在任一区间取值的概率的方法｡这种方法体现了化归的思想方法｡对公式⎪⎭⎫⎝⎛σμ-Φ=x )x (F ,应在理解的基础上加以运用 【三】 课堂练习1､设随即变量ξ服从正态分布)4,2(N , 求)42(<<ξP ｡(参考数据:;8413.0)1(=φ 9772.0)2(=φ,6915.0)5.0(=φ )2､ 在2007年的高考中,某省全体考生的考试成绩服从正态分布N(490,80)2,若该省计划本科录取率为0.4 ,则本科录取分数线可能划在多少分? (参考数据:6.0)25.0(=φ)A.500分B.505分C.510分D.515分【六】布置作业:1､(2007浙江卷5)已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，,(4)0.84P ξ=≤,则(0)P ξ=≤( A )A.0.16B.0.32C.0.68D,0.842.(2006年湖北卷)在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布()100,70N .已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名.(Ⅰ)试问此次参赛的学生总数约为多少人?(Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,试问设奖的分数线约为多少分? 可供查阅的(部分)标准正态分布表()()00x x P x <=φ率统计知识解决实际问题的能力｡解:(Ⅰ)设参赛学生的分数为ξ,因为ξ~N(70,100),由条件知, P(ξ≥90)=1-P(ξ<90)=1-F(90)=1-Φ)107090(-=1-Φ(2)=1-0.9772=0.228. 这说明成绩在90分以上(含90分)的学生人数约占全体参赛人数的2.28%,因此, 参赛总人数约为0228.012≈526(人)｡(Ⅱ)假定设奖的分数线为x 分,则 P(ξ≥x)=1-P(ξ<x)=1-F(x)=1-Φ)1070(-x =52650=0.0951, 即Φ)1070(-x =0.9049,查表得1070-x ≈1.31,解得x=83.1. 故设奖得分数线约为83.1分｡。
数学高二-选修2学案 2.6正态分布
第十课时2.6正态分布导学案教学目标（1）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），了解什么是正态分布曲线和正态分布；（2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（3）会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率． 重点，难点（1） 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（2） 求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率．教具准备 多媒体、实物投影仪 。
教学设想 在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口，正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。
教学过程一．问题情境1．复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法；回顾曲边梯形的面积()ba S f x dx =⎰的意义．2．从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：cm ）：164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182上述数据的分布有怎样的特点？二．学生活动为了研究身高的分布，可以先根据这些数据作出频率分布直方图．第一步 对数据分组（取组距4d =）；第二步列出频数（或频率）分布表；第三步作出频率分布直方图，如图2-6-2．由图2-6-2可以看出，上述数据的分布呈“中间高，两边底，左、右大致对称”的特点．可以设想，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．再观察此概率密度曲线的特征．三、复习引入总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b单位O频率/组距a它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,(),(,)2xx e xμσμσϕπσ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()xμσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．四、讲解新课1.正态分布一般地，如果对于任何实数a b<，随机变量X满足,()()baP a X b x dxμσϕ<≤=⎰,则称X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN．如果随机变量X 服从正态分布，则记为X～),(2σμN.经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1)参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2).早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1．（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数）并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题6． 正态总体在三个特殊区间内取得的概率值：具体地，如图所示，随机变量X 取值（1）落在区间(,)μσμσ-+上的概率约为0068.3，即()0.683P X μσμσ-<≤+=；（2）落在区间(2,2)μσμσ-+上的概率约为0095.4，即(22)0.954P X μσμσ-<≤+=；（3）落在区间(3,3)μσμσ-+上的概率约为0099.7。
2.6正态分布 教案高中数学选修2-3 北师大版
§6 正态分布●三维目标1．知识与技能(1)让学生理解正态函数及其曲线的有关性质，并运用它来解决一些简单的与正态分布有关的问题．(2)培养学生从图形上分析、解决问题的能力和抽象思维能力．2．过程与方法(1)探究法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系．3．情感、态度与价值观通过教学中一系列的探究过程，使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神．●重点难点重点：正确认识正态分布密度曲线的特点及其所表示的意义；难点：数形结合归纳正态分布曲线的性质．教学时要通过一些贴近生活的实例，让学生对正态分布有初步直观的认识，同时使学生领悟到“数学来源于实践，又要回归到实践”，从而培养学生的学习兴趣，激发学习热情．教学中教师可利用多媒体引导学生分析归纳正态曲线的特点，既加强了学生的直观理解，也增强了学生观察归纳的能力．通过几何画板呈现了教学中难以呈现的课程内容，很好地锻炼了学生观察归纳的能力，体现了归纳、分类、化难为易、数形结合的思想．这样的处理很好地突出了重点、突破了难点．(教师用书独具)●教学建议由于高二学生已具有较好的数学基础和较强的分析问题、解决问题的能力．因此，在教学中以学生为中心，以严谨的思维为载体，采用启发、猜想、探究相结合的教学方法．(1)让学生在实例中发现问题、提出问题，并学会猜想，在思想的产生过程中不知不觉培养学生的猜想与看图能力；(2)提供“观察、探究、交流”的机会，引导学生独立思考，有效调动学生的思维，使学生在开放的活动中获取知识；(3)利用多媒体辅助教学，直观生动地呈现，突出重点，化解难点．既加大了课堂信息量又提高了教学效率．●教学流程提出问题如何描述随机变量的分布情况．⇒分析理解通过两个实例画出图形(频率分布直方图)．⇒给出定义通过上面的实例，教师引导，分析得出分布密度曲线．⇒利用几何画板，学生分组讨论，自己总结正态分布密度函数的性质．⇒通过例题分析，讲解让学生体会正态分布的应用．⇒课堂小结，布置作业.1．离散型随机变量的取值有何特点？【提示】 离散型随机变量的取值是可以一一列举出来的．2．一件产品的使用寿命是否为随机变量？它能一一列举出来吗？【提示】 一件产品的使用寿命是随机变量，但它不能一一列举出来．离散型随机变量的取值是可以一一列举的，但在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值，是不可以一一列举的，这种随机变量称为连续型随机变量．【问题导思】1．如何由频率分布直方图得到正态分布密度曲线？【提示】样本容量越大，所分组越多．2．正态分布密度函数中μ与σ的意义分别是什么？【提示】μ表示随机变量的平均值，σ是衡量随机变量的总体波动水平．在频率分布直方图中，为了了解得更多，图中的区间会分得更细，如果将区间无限细分，最终得到一条曲线，这条曲线称为随机变量X的分布密度曲线，这条曲线对应的函数称为X 的分布密度函数，记为f(x)．正态分布的密度函数为f(x)＝1σ2πe－(x－μ)22σ2.它有两个重要的参数：均值μ和方差σ2(σ>0)，通常用X～N(μ，σ2)表示X服从参数为μ和σ2的正态分布．1．从正态分布的密度函数的解析式中，求它的定义域、值域．【提示】定义域为R，值域为(0，12πσ]．2．正态分布密度函数的对称轴方程是什么？【提示】对称轴方程为x＝μ.3．σ是方差，它决定正态分布密度曲线的什么形状．【提示】“胖”、“瘦”．正态分布密度函数满足的性质：(1)函数图像关于直线x＝μ对称；(2)σ(σ>0)的大小决定函数图像的胖、瘦；(3)P(μ－σ<X<μ＋σ)＝68.3%，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝95.4%，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝99.7%.求出总体随机变量的均值和方差．。
高中数学 2.6.正态分布(二)教案 北师大选修2-3
2.6.正态分布教学目标（1）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），了解什么是正态分布曲线和正态分布；（2）认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（3）会查标准正态分布表，求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率． 重点，难点（1） 认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；（2） 求满足标准正态分布的随机变量X 在某一个范围内的概率．教学过程一．问题情境1．复习频率分布直方图、频率分布折线图的意义、作法；回顾曲边梯形的面积()ba S f x dx =⎰的意义．2．从某中学男生中随机地选出84名，测量其身高，数据如下（单位：cm ）： 164 175 170 163 168 161 177 173 165 181 155 178164 161 174 177 175 168 170 169 174 164 176 181181 167 178 168 169 159 174 167 171 176 172 174159 180 154 173 170 171 174 172 171 185 164 172163 167 168 170 174 172 169 182 167 165 172 171185 157 174 164 168 173 166 172 161 178 162 172179 161 160 175 169 169 175 161 155 156 182 182上述数据的分布有怎样的特点？二．学生活动为了研究身高的分布，可以先根据这些数据作出频率分布直方图．第一步 对数据分组（取组距4d =）；第二步 列出频数（或频率）分布表；第三步 作出频率分布直方图，如图2-6-2．由图2-6-2可以看出，上述数据的分布呈“中间高，两边底，左、右大致对称”的特点．可以设想，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图的顶边无限缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．再观察此概率密度曲线的特征．三．建构数学1． 正态密度曲线：函数22()2(),x P x x R μσ--=∈的图象为正态密度曲线，其中μ和σ为参数（ 0σ>，R μ∈）．不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．2．正态密度曲线图象的性质特征：（1）当x μ<时，曲线上升；当x μ>时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x 轴为渐进线；（2）正态曲线关于直线x μ=对称；（3）σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡；（4）在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1．3．正态分布：若X 是一个随机变量，对任给区间(,],()a b P a x b <≤恰好是正态密度曲线下方和X 轴上(,]a b 上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X 服从参数为μ和2σ的正态分布，简记为2~(,)X N μσ．4． 正态总体在三个特殊区间内取得的概率值：具体地，如图所示，随机变量X 取值（1）落在区间(,)μσμσ-+上的概率约为 0068.3，即()0.683P X μσμσ-<≤+=；（2）落在区间(2,2)μσμσ-+上的概率约为0095.4，即(22)0.954P X μσμσ-<≤+=；（3）落在区间(3,3)μσμσ-+上的概率约为0099.7，即(33)0.997P X μσμσ-<≤+=．5． 3σ原则： 服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称为3σ原则．6．标准正态分布：事实上，μ就是随机变量X 的均值，2σ就是随机变量X 的方差，它们分别反映X 取值的平均大小和稳定程度．我们将正态分布(0,1)N 称为标准正态分布．通过查标准正态分布表（见附表1）可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．7．非标准正态分布转化为标准正态分布：非标准正态分布2(,)X N μσ可通过X z μσ-=转化为标准正态分布(0,1)z N ．四．数学运用1．例题：例1．一台机床生产一种尺寸为10mm 的零件，现在从中抽测10个，它们的尺寸分别如下（单位：mm ）：10.2，10.1，10，9.8，9.9，10.3，9.7，10，9.9，10.1，如果机床生产零件的尺寸Y 服从正态分布，求正态分布的概率密度函数式． 解：由题意得1(10.210.1109.89.910.39.7109.910.1)1010μ=+++++++++=， 22222221[(10.210)(10.110)(1010)(9.810)(9.910)(10.310)10σ=-+-+-+-+-+- 2222(9.710)(1010)(9.910)(10.110)]0.03+-+-+-+-=，即10μ=，20.03σ=．所以Y 的概率密度函数为250(10)3(),xP x x R --=∈． 例2．若随机变量~(0,1)Z N ，查标准正态分布表，求：（1）( 1.52)P Z ≤；（2）( 1.52)P Z >；（3）(0.57 2.3)P x <≤；（4）( 1.49)P Z ≤-．解：（1）( 1.52)0.9357P Z ≤=．（2）( 1.52)1( 1.52)P Z P Z >=-≤10.93570.0643=-=．（3）(0.57 2.3)( 2.3)(0.57)0.98930.71570.2736P x P Z P Z <≤=≤-≤=-=；（4）( 1.49)( 1.49)P Z P Z ≤-=≥1( 1.49)10.9319P Z =-≤=-0.0681=． 例3．在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即(90,100)X N ．试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率是多少？解： 法一（将非标准正态分布转化为标准正态分布）：70909011090(70110)()(22)(2)(2)101010X P X P P Z P Z P Z ---<<=<<=-<<=≤-≤- [](2)1(2)2(2)120.977210.95440.954P Z P Z P Z =≤--≤=≤-=⨯-=≈．法二（3σ原则）：因为(90,100)X N ，所以90,10μσ===． 由于正态变量在区间(2,2)μσμσ-+内取值的概率是0.954，而该正态分布29021070μσ-=-⨯=，290210110μσ+=+⨯=，所以考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率就是0.954．。
苏教版高中数学选修2-3 2.6 正态分布学案
2018-2019学年苏教版选修2-3 2.6 正态分布学案[学习目标] 1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小.3.会用正态分布去解决实际问题．知识点一正态密度曲线正态密度曲线的函数表达式是P(x)＝12πσ22()2exμσ-－，x∈R，这里有两个参数μ和σ，其中μ是随机变量X的均值，σ2是随机变量X的方差，且σ>0，μ∈R.不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．知识点二正态密度曲线图象的特征1．当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线．2．正态曲线关于直线x＝μ对称．3．σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡．4．在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.知识点三正态分布1．若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a＜X≤b)恰好是正态密度曲线下方和x 轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．2．正态分布N(0,1)称为标准正态分布．知识点四正态总体在三个特殊区间内取值的概率值若X～N(μ，σ2)，则X取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%，落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%，落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.题型一正态曲线例1如图为某地成年男性体重的正态曲线图，请写出其正态分布密度函数，并求P(|X－72|<20)．解 由图可知μ＝72，σ＝10， 故正态分布密度函数为P (x )＝12π·10e2(72)200x --，x ∈(－∞，＋∞)．则P (|X －72|<20)＝P (|X －μ|<2σ)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954.反思与感悟 利用图象求正态密度函数的解析式，关键是找对称轴x ＝μ与最值1σ2π，这两点确定以后，相应参数μ，σ的值便确定了．跟踪训练1 如图所示是一个正态曲线．试根据该图象写出其正态分布的正态密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.12π·σ＝12π，解得σ＝ 2. 于是正态密度函数的解析式是P (x )＝12π·e －(x －20)24，x ∈(－∞，＋∞)．总体随机变量的期望是μ＝20， 方差是σ2＝(2)2＝2. 题型二 利用正态分布求概率例2 设ξ～N (1,22)，试求：(1)P (－1＜ξ≤3)； (2)P (3＜ξ＜5)；(3)P (ξ≥5)． 解 ∵ξ～N (1,22)，∴μ＝1，σ＝2， (1)P (－1＜ξ≤3)＝P (1－2＜ξ＜1＋2) ＝P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.683. (2)∵P (3＜ξ＜5)＝P (－3＜ξ＜－1)，∴P (3＜ξ＜5)＝12[P (－3＜ξ＜5)－P (－1＜ξ＜3)]＝12[P (1－4＜ξ＜1＋4)－P (1－2＜ξ＜1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜x ＜μ＋2σ)－P (μ－σ＜x ＜μ＋σ)] ＝12(0.954－0.683)＝0.135 5. (3)P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)＝12[1－P (－3＜ξ＜5)]＝12[1－P (1－4＜ξ＜1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)] ＝12(1－0.954)＝0.023. 反思与感悟 解答此类题目的关键在于将给定的区间转化为用μ加上或减去几个σ来表示；当要求服从正态分布的随机变量的概率所在的区间不对称时，不妨先通过分解或合成，再通过求其对称区间概率的一半解决问题．经常用到如下转换公式：①P (x ≥a )＝1－P (x ＜a )；②若b ＜μ，则P (X ＜b )＝1－P (μ－b <X <μ＋b )2.跟踪训练2 某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间X (单位：分)近似服从正态分布N (50,102)，求他在(30,60)分内赶到火车站的概率． 解 ∵X ～N (50,102)，∴μ＝50，σ＝10. ∴P (30<X <60)＝P (30<X <50)＋P (50<X <60) ＝12P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＋12P (μ－σ<X <μ＋σ) ＝12×0.954＋12×0.683＝0.818 5. 即他在(30,60)分内赶到火车站的概率是0.818 5. 题型三 正态分布的实际应用例3 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布，即ξ～N (100,100)，已知满分为150分．(1)试求考试成绩ξ位于区间(80,120)内的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生参加，试估计这次考试及格(不小于90分)的人数． 解 (1)由ξ～N (100,100)知μ＝100，σ＝10. ∴P (80<ξ<120)＝P (100－20<ξ<100＋20)＝0.954， 即考试成绩位于区间(80,120)内的概率为0.954. (2)P (90<ξ<110)＝P (100－10<ξ<100＋10) ＝0.683，∴P (ξ>110)＝12(1－0.683)＝0.158 5，∴P (ξ≥90)＝0.683＋0.158 5＝0.841 5. ∴及格人数为2 000×0.841 5＝1 683(人)．反思与感悟 解答此类题目的关键在于将所求的问题向(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中用到化归思想和数形结合的思想．跟踪训练3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N (80,52)，现已知该班同学中成绩在80～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人．解 依题意，由80～85分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数，再求90分以上同学的人数．∵成绩服从正态分布N (80,52)， ∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85)内的同学占全班同学的68.3%.由正态曲线的对称性知，成绩在(80,85)内的同学占全班同学的12×68.3%＝34.15%.设该班有x 名同学，则x ×34.15%＝17， 解得x ≈50.又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在(70,90)内的同学占全班同学的95.4%. ∴成绩在(80,90)内的同学占全班同学的47.7%.∴成绩在90分以上的同学占全班同学的50%－47.7%＝2.3%. 即有50×2.3%≈1(人)，即成绩在90分以上的同学仅有1人．1．如图是当σ取三个不同值σ1.σ2.σ3时的三种正态曲线N (0，σ2)的图象，那么σ1.σ2.σ3的大小关系是________．答案 σ1<σ2<σ3解析 由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以σ1<σ2<σ3.2．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，那么c ＝________. 答案 2解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c＝2.3．已知X ～N (0，σ2)且P (－2≤X ≤0)＝0.4，则P (X >2)＝________. 答案 0.1解析 ∵P (0≤X ≤2)＝P (－2≤X ≤0)＝0.4， ∴P (X >2)＝12(1－2×0.4)＝0.1.4．一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000，4002)，求这批灯泡中“使用时间超过10 800小时”的概率． 解 依题意μ＝104，σ＝400.∴P (104－800<X <104＋800)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954. 由正态分布性质知P (X <104－800)＝P (X >104＋800) 故2P (X >10 800)＋P (104－800<X <104＋800)＝1， ∴P (X >10 800)＝1－0.9542＝0.023，故使用时间超过10 800小时的概率为0.023.1.理解正态分布的概念和正态曲线的性质． 2．正态总体在某个区间内取值的概率求法：(1)熟记P (μ－σ<X <μ＋σ)，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (X <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )， 若b <μ，则P (X <μ－b )＝1－P (μ－b <X <μ＋b )2.。
高中数学苏教版选修2-3教案：2.6 正态分布2
§2.6 正态分布课时目标1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.2.了解变量落在区间（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小.3。
会用正态分布去解决实际问题．1．正态密度曲线函数P（x）＝________________________的图象为正态密度曲线，其中μ和σ为参数(σ>0,μ∈R)．不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．2．正态密度曲线图象的性质特征(1）当x<μ时,曲线______；当x〉μ时,曲线______；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为________;（2)正态曲线关于直线________对称；（3)σ越大，正态曲线越________；σ越小，正态曲线越________；(4）在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为________．3．正态分布若X是一个随机变量,对__________________________________________________________________________________________________________ _________________,我们就称随机变量X服从参数μ和σ2的正态分布，简记为____________．4．3σ原则服从正态分布N（μ,σ2)的随机变量X只取________________之间的值,简称为3σ原则．具体地，随机变量X取值落在区间（μ－σ，μ＋σ）上的概率约为68。
3%.落在区间（μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%.落在区间（μ－3σ,μ＋3σ)上的概率约为99。
7%。
5．标准正态分布在函数P（x)＝错误!e－错误!，x∈R中，μ是随机变量X的________，σ2就是随机变量X的________,它们分别反映X取值的平均大小和稳定程度．我们将正态分布________称为标准正态分布．通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率．一、填空题1．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f(x)的图象，且f （x）＝错误!·e－错误!,则这个正态总体的平均数与标准差分别是________，________。
高中数学 第2章 概率 2.6 正态分布教学案 苏教版选修2-3
2.6 正态分布1．概率密度曲线对于某一随机变量的频率分布直方图，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图上的频率折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．函数表达式P(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈R，其中实数μ(μ∈R)和σ(σ>0)为参数图象的特征(1)当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降. 当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线(2)正态曲线关于直线x＝μ对称(3)σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡(4)在正态曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为13.正态分布若X是一个随机变量，则对任给区间(a，b]，P(a<X≤b)恰好是正态密度曲线下方和x 轴上(a，b]上方所围成的图形的面积，我们就称随机变量X服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X～N(μ，σ2)．4．标准正态分布正态分布N(0，1)称为标准正态分布．5．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%；落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%；落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%.6．中心极限定理在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布，这就是中心极限定理．1．在正态分布X～N(μ，σ2)中，μ就是随机变量X的均值，σ2就是随机变量X的方差，它们分别反映X取值的平均大小和稳定程度．2．正态密度曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“尖陡”；σ越大，曲线越“扁平”，如图②.[例1] 如图所示是一个正态密度曲线．试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出随机变量的均值和方差．[思路点拨] 解答本题可首先借助图象观察该函数的对称轴及最大值，然后结合φμ，σ(x )＝12πσe －（x －μ）22σ2可知μ及σ的值． [精解详析] 从给出的正态密度曲线可知，该正态密度曲线关于直线x ＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20.12π·σ＝12π，解得σ＝ 2.于是概率密度函数的解析式是f (x )＝12π· e －（x －20）24，x ∈(－∞，∞)．随机变量的均值是μ＝20， 方差是σ2＝()22＝2.[一点通] 利用图象求正态密度曲线的方程．关键是确定μ，σ.结合图象，利用正态密度曲线的两条性质：一是对称轴，二是最值即可求出μ，σ.相应参数确定了，代入f (x )＝12πσe －（x －μ）22σ2即可．1．下列函数是正态密度函数的是________．(1)f(x)＝12πσe（x－μ）22σ2，μ，σ(σ>0)都是实数(2)f(x)＝2π2πe－x22(3)f(x)＝122πe－（x－1）24(4)f(x)＝12πex22解析：本题考查正态密度函数，可对照f(x)＝12π·σe－（x－μ）22σ2，其中指数部分的σ应与系数的分母处的σ保持一致，系数为正数且指数为负数．(1)有两处错误，分别是2π·σ错为2πσ，指数错为正数．(3)从系数可得σ＝2，从而指数处可得σ＝2，显然不符．(4)中指数为正，错误．答案：(2)2．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由于12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∈(－∞，＋∞).[例2] 关于正态曲线φ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)，σ>0有以下命题：①正态密度曲线关于直线x＝μ对称；②正态密度曲线关于直线x＝σ对称；③正态密度曲线与x轴一定不相交；④正态密度曲线与x轴一定相交；⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；⑥曲线对称轴由μ确定，曲线的形状由σ决定；⑦当μ一定时，σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．其中正确的是________(填序号)．[思路点拨] 根据正态分布曲线的性质可直接判断．[精解详析] 根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处于最高点并由该点向左、右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于x轴的上方，曲线形状由σ决定，而且当μ一定时，比较若干个不同的σ对应的正态曲线，可以发现σ越大，曲线越“扁平”，σ越小，曲线越“尖陡”．故①③⑥⑦正确．[答案] ①③⑥⑦[一点通] 解决正态曲线的性质问题，应对正态曲线的简单性质要熟练掌握并且能够应用，尤其是对称性，最高点的位置，曲线左右无限延伸并逐渐降低，要结合正态曲线的图象理解并掌握．3．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示．则下列说法正确的是________．①μ1<μ2，σ1<σ2；②μ1<μ2，σ1>σ2；③μ1>μ2，σ1<σ2；④μ1>μ2，σ1>σ2.解析：当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“扁平”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“尖陡”，表示总体的分布越集中，这个性质可直接判断．由正态曲线性质知μ1<μ2，σ1<σ2.答案：①4．标准正态分布N(0，1)在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率分别为p1，p2，则p1与p2的大小关系为________．解析：根据正态曲线的特点，关于x＝0对称，故在区间(－2，－1)和(1，2)上取值的概率相等，即p1＝p2.答案：p1＝p2[例3] 若随机变量X～N(0，1)，查标准正态分布表，求：(1)P(X≤1.26)；(2)P(X>1.26)；(3)P(0.51<X≤3.2)；(4)P(X<－2.1)．[思路点拨] 借助正态密度曲线的性质将问题转化为P(X≤m)的形式，然后查标准正态分布表求值．[精解详析] (1)P(X≤1.26)＝0.896 2.(2)P(X>1.26)＝1－P(X≤1.26)＝1－0.896 2＝0.103 8.(3)P(0.51<X≤1.2)＝P(X≤1.2)－P(X≤0.51)＝0.884 9－0.695 0＝0.189 9.(4)P(X<－2.1)＝P(X>2.1)＝1－P(X≤2.1)＝1－0.982 1＝0.017 9.[一点通] 由于标准正态分布表是针对X≥0设计的，若X<0，则须转换再查表，在查表前，可画个草图将所求的概率进行转化，然后再查表．5．已知随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，若P(X>8)＝0.4则P(X<0)＝________．解析：∵随机变量X服从正态分布N(4，σ2)，μ＝4，P(X>8)＝0.4，∴P(X<0)＝P(X>8)＝0.4.答案：0.46．已知X～N(3，σ2)，若P(X≤2)＝0.2，则P(X≤4)等于________．解析：由正态分布知识，因为X～N(3，σ2)，所以P(X≤3)＝0.5，P(X≤2)＝0.2＝P(X>4)，所以P(X≤4)＝1－P(X>4)＝1－0.2＝0.8.答案：0.81．求随机变量的正态密度函数时，只需求出μσ即可，也就是求出样本的均值及标准差．2．在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称性．课下能力提升(十七)一、填空题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体均值为________．解析：正态曲线关于直线x＝μ对称，当曲线关于y轴对称时，说明μ＝0.答案：02．设随机变量X～N(1，4)，若P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，则实数a的值为________．解析：∵P(X≥a＋b)＝P(X≤a－b)，∴（a＋b）＋（a－b）2＝1.∴a＝1.答案：13．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________．解析：∵随机变量X服从标准正态分布N(0，σ2)，∴正态曲线关于直线x＝0对称，又P(X＞2)＝0.023.∴P(X＜－2)＝0.023.∴P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954.答案：0.9544. 右图是三个正态分布X～N(0，0.25)，Y～N(0，1)，Z～N(0，4)的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________．解析：在密度曲线中，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”． 答案：① ② ③5．某中学有1 000人参加高考并且数学成绩近似地服从正态分布N (100，102)，则此校数学成绩在120分以上的考生人数约为________(φ(2)≈0.977)．解析：用X 表示此中学数学高考成绩，则X ～N (100，102)，∴P (X >120)＝1－P (X ≤120)＝1－φ⎝⎛⎭⎪⎫120－10010≈0.023，∴120分以上的考生人数约为1 000×0.023＝23. 答案：23 二、解答题6．如图为某地成年男性体重的正态分布密度曲线图，试根据图象写出其正态分布密度函数，并求出随机变量的均值与方差．解：由图易知，该正态曲线关于x ＝72对称，最大值为1102π，所以μ＝72.再1σ2π＝1102π得σ＝10， 于是概率密度函数的解析式是f (x )＝1102π·e －（x －72）2200，x ∈(－∞，＋∞)． 总体随机变量的均值是μ＝72，方差是σ2＝100.7．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N (60，100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？ 解：设学生的得分情况为随机变量X ，X ～N (60，100)． 则μ＝60，σ＝10.(1)P (30<X ≤90)＝P (60－3×10<X ≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P (X >90)＝12[1－P (30<X ≤90)]＝0.001 3，∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x .则P (X ≥x 0)＝0.022 8.∴P (120－x 0<x <x 0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P (60－2×10<x <60＋2×10)＝0.954 4.∴x＝60＋2×10＝80(分)．即受奖学生的分数线是80分．8．若随机变量X～N(0，1)，查表求：(1)P(0<X≤2.31)；(2)P(1.38≤x<0)；(3)P(|X|<0.5)．解：(1)P(0<X≤2.31)＝P(X≤2.31)－P(X≤0) ＝0.989 6－0.5＝0.489 6.(2)P(－1.38≤X<0)＝P(0<X≤1.38)＝P(X≤1.38)－P(X≤0)＝0.916 2－0.5＝0.416 2.(3)P(|X|<0.5)＝P(－0.5<X<0.5)＝P(－0.5<X≤0)＋P(0<X<0.5)＝2P(0<X<0.5)＝2[P(X<0.5)－P(X≤0)]＝2(0.691 5－0.5)＝2×0.191 5＝0.383 0.。
高二数学(选修-人教A版)-正态分布-教案
教案体会小球掉入高尔顿板下方的球槽内的随机性.槽编号X的分布列；方案2 以球槽的编号为横坐标，可以画出小球分布的频率分布直方图.哪种方案更好？对于离散型随机变量而言，其分布列完全刻画了它的概率分布规律，但此时只能通过频率来近似，现在无法知道所构造的随机变量的分布列.而频率分布直方图更加准确、直观、形象，所以经过学生讨论用频率分布直方图进一步探究小球的分布规律.活动2 画频率分布直方图由于课堂时间所限，这里展示在课前进行的试验，并记录落入各个球槽内小球的频数，利用图形计算器画频率分布画直方图.问题2 观察频率分布直方图有何共同特点？预设学生活动：学生可发现频率分布直方图具有中间高两边低（左右两边对称）的特点，并且频率分布直方图的外形与试验中小球的堆积形状是一样的.活动3 画频率分布折线图问题3 是不是只有小球的分布具有中间高两边低的特点？预设学生活动：教师展示在必修3统计的学习中，收集过的身高、体重、成绩等数据，借助图形计算器，可以画出这些数据的频率分布直方图，发现这些数据都具有中间高两边低的特点.既然这么多数据都具有中间高两边低的特点，我们有必要进一步研究它们的分布规律，教师引导学生画数据的频率分布折线图，并思考下面问题.问题4 画出身高、体重、成绩等数据的频率分布折线图，随着试验次数增加，组距不断缩小，观察频率分布折线图有何特点？预设学生活动：随着试验次数增加，组距不断缩小，频率分布折线图的形状也越来越光滑.活动4 教师用计算机演示教师借助几何画板演示，引导学生思考当试验次数增加，组距不断缩小时，频率分布折线图有什么变化特点？预设学生活动：频率分布折线图越来越光滑，越来越像一条曲线.问题5 生活中我们是否见过类似形状的东西？预设学生活动：象我们生活中的钟、铃铛等类似形状的东西，我们称之为钟形曲线.（二）正态曲线对于这条钟形曲线，早在十八世纪30年代，棣莫弗、斯特莱等数学家经过十几年的努力，用求导、对数、无穷级数、积分、变量代换等数学方法就推导出这条钟形曲线就是函数22()2,1()e 2πx x μσμσϕσ--=的图象，其中μ和σ（0>σ）为参数，我们称)(,x σμϕ的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线.在对正态曲线认识的基础上进入理性分析，得到正态分布的概念.（三）正态分布知道了小球的分布规律是正态曲线，为了引导学生由正态曲线认识正态分布，设计了下面的问题.问题6 一个小球从高尔顿板口落下，会落在哪？为什么？预设学生活动：一个小球从高尔顿板口落下，落在哪都有可能，但是，落在中间的可能性大，概率大.问题7 如何计算小球落在某个区间],(b a 内的概率？当试验用的小球很小时候如何刻画小球的具体位置？可以用坐标.如何建立适当的坐标系?以及如何计算小球落在某个区间],(b a 的概率?如果去掉高尔顿板最下边的球槽，沿高尔顿板底部建立一个水平坐标轴，刻度单位为球槽的宽度，若用X 表示落下的小球第1次与高尔顿板底部曲边梯形面积,()()aaP a X a x μμσμμμϕ+--<≤+=⎰为图中阴影部分的面积，对于固定的μ和a 而言，该面积随着σ的减少而变大.说明σ越小，落在区间(],a a μμ-+的概率越大，即X 集中在μ周围概率越大.特别有()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.P X P X P X μσμσμσμσμσμσ-<≤+≈-<≤+≈-<≤+≈可以看到，正态总体几乎总取值于区间(3,3)μσμσ-+之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.在实际应用中，通常认为服从于正态分布2(,)N μσ的随机变量X 只取(3,3)μσμσ-+之间的值，并简称之为3σ原则.例 某地区数学考试的成绩X 服从正态分布，其密度曲线如图所示，成绩X 位于区间(]52,68的概率是多少？解：第一步，利用待定系数法，求出正态分布密度曲线函数的解析式；可知，参数60μ=，max 1(60)82ϕϕπ==，故22(60)2,1()2πx x e σμσϕσ--=，且max 11(60)822πϕϕπσ===， 所以8σ=.得2(60)128,1()82πx x e μσϕ--=； 第二步，求概率；故(5268)(608608)0.6826P x P x <≤=-<≤+≈. 例 若(5,1)X N ，求(67)P X <<.解：由(5,1)XN 知，正态密度曲线函数的两个参数为5,1μσ==，故该正态密度曲线关于直线5x =对称.故1(57)(37)2P X P X <<=<< 11(5252)0.95440.477222P X =-<<+≈⨯=， 而1(56)(46)2P X P X <<=<< 56 7O y4 3示的意义，事实上，从历史上看，正态分布从1733年问世到作为分析统计数据的概率模型经历了100多年，经过棣莫弗、高斯、凯特莱和高尔顿等很多科学家的辛苦努力.课后请同学们查阅相关的资料，了解正态分布的发展史.棣莫弗凯特莱高斯例 设若(,1)X N μ，求(32)P X μμ-<≤-.解：由(,1)XN μ知，正态分布密度函数的参数1σ=.因为该正态密度曲线关于直线x μ=对称，所以(32)(3)(2)P X P X P X μμμμμμ-<≤-=-<≤--<≤11(33)(22)22P X P X μμμμ=-<≤+--<≤+ 110.99740.95440.021522≈⨯-⨯=.。
人教版选修2-3《正态分布》教案
“博古通今”
师：幻灯展示正态分布定义。
生：朗读定义。
师：结合实例对定义做出解释。
生：展示课前搜集并整理的有关正态分布的历史资料，并进行讲解。
生：小组讨论，而后由学生代表展示研讨成果，并由其他小组补充完善。
师：总结学生发言并板书，给出标准正态分布。
通过小组的合作探究，让学生的思维得以碰撞，在养成分析总结的习惯的同时，也体会到解决问题的快乐，感受到与他人合作交流的重要性。
“天生我学必有用”
师：回顾引例中身高的正态分布曲线，引导学生分析其实际意义及应用。另举一例：“两次标准化考试的数学成绩的概率密度曲线图，且两次成绩都服从正态分布”，引导学生对比分析。
生答
师：回顾“钢管尺寸”的实际例子，给出正态分布的原则，并作出解释。
回归到实际生活之中，通过对几个实际问题的分析与解决，让学生充分体会“数学源于生活，而又服务于生活”。
“喜庆丰收”
师：以上就是我们今天的内容，哪位同学愿意与大家分享自己在本节课的收获？
生：（小结）
课堂小结由学生来完成，让学生自己归纳、总结本节课内容，不仅利于学生对知识的系统理解，也让学生学会反思，更为他们提供了更多的展示自我的机会。
教材分析
正态分布是人教A版选修2—3第二章第四节的内容，在这之前学生已经学习了离散型随机变量，正态分布的随机变量是连续型随机变量，因此正态分布既是对前面内容的一种补充，也是必修三第二章概率知识的后续。
教学目标
1.知识目标：理解并掌握正态分布和正态曲线的概念及性质，能简单应用。
江苏省高二数学苏教版选修2-3教案：2.6 正态分布1
堂 ↓
小 参数对正态曲线的影响
现象、生产和生活实际 同时使学生自己内化
之中,我们研究它主要 还是希望它能服务于我 知识，查漏补缺,使
结 2. 思想方法： 数形结合思想
们的生活,那么它在实 学生在认识上达到一
际中究竟有着怎样的妙
用呢?我们下节课继续 个新的高度．
学习!
2
1
（为了更好地突出本节课重点，同时更好地突破难点，考虑到本节课的课堂容量及学生
b a
,
(
x)dx
则称 X 的分布为正态分布．常记作 N ( 2 ) ．若随机变量 X 服从正态分布，
则记为 X ~ N ( 2 ) ．
正态曲线的特点：
(1)曲线在轴上方，与轴不相交；
(2)曲线是单峰的，关于直线 x 对称；
(3)曲线在 x 处达到峰值 1 ； 2
分析表达式特点：
解析式中前有一个系数
1 ，后面是一个以 2
与旧教材不同的
为底数的指数形式，幂 是，该处在学生从形
建
(x )2
的角度直观认识了正
指数为 2 2 ，解 态曲线之后才给出曲
构
析式中含两个常数 和，线对应的表达式，这
概
从描述曲线形状的角度自然引入
了正态密度函数的表达式：
还含有两个参数 和 样处理能更直观，学 ，分别指总体随机 生更易理解正态曲线
的认知情况，我将 3 原则放在了第二课时．）
六、课后作业
1. （必做题）设随机变量 X 服从正态分布 N (2 9) ，若 P( X c 1) P( X c 1) ,求的
值并写出其正态密度函数解析式．
2.（必做题）以学习小组（4 人）为单位，搜集某项数据资料（如某年级学生的身高、体重 等）．仿照课本的方法，研究该数据是否服从（或近似服从）正态分布？如果是，请估计
高中数学2.6正态分布导学案苏教版选修2-3
2.6 正态分布1 •正态密度曲线在频率分布直方图中, 若数据无限增多且组距无限缩小， 那么频率分布直方图上的频— 折线就将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线.1函数的表达式是P （x ） ___ e 2, x € R 此函数为正态分布密度函数. 它所表示y/2n ________的曲线叫正态密度曲线. 这里有两个参数 口和6 ,其中（T >0, 口 € R,不同的口和6对应着不同的正态密度曲线.预习交流1正态分布密度曲线与 卩，6的关系是怎样的？提示：①正态曲线关于直线 x = 口对称；②当X V 口时，曲线上升，当X > 口时曲线下 降；③曲线的形状由 6确定，6越大，正态曲线越扁平； 6越小，正态曲线越尖陡.2. 正态分布密度函数的性质若X 是一个随机变量，则对任给区间 （a , b ], P （a v X w b ）恰好是正态密度曲线下方和 x 轴上（a , b ]上方所围成的图形面积，我们称随机变量 X 服从参数为 口和62的正态分布，2简记为x 〜N 口，6）.随机变量X 取值落在区间（口 — 6, 口 + 6）上的概率约为 68.3%,落在区间（口一 2 6 , 口 + 2 6 ）上的概率约为 95.4%, 落在区间（口一 36 , 口 + 3 6 ）上的概率约为99.7%. 预习交流2若X 〜N 口，62），则R 口一 6V X V 口+6 ）的几何意义是什么？提示：表示X 取值落在区间（口 一 6 , 口 + 6 ）的概率和正态曲线与 X = 口 一 6 , X = 口 + 6以及x 轴所围成的图形的面积，大约是 68.3%.1. 正态分布密度函数设 E 〜N(1,2 2)，贝U P( E > 5) =2设 E 〜N(1,2 )，求 R3 v E w 5).思路分析：要求随机变量 E 在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图象性质以及常见的区间(1 — 7 , 1+7) , ( 1 — 2 7 , 1+ 2 7 ) , ( 1 — 3 7 , 1+ 3 7)的概率值 进行转化求值.解：•/ P(3 v E < 5) = R — 3v E < - 1),1••• P(3 v E w 5) = P( — 3v E < 5) — P( — 1v E w 3)]1 =2[ P (1 — 4v E w 1+ 4) — F (1 — 2v E w 1 + 2)] 1=2【P ( 1 — 2 7 v E w 1 + 2 7 ) — P ( 1 — 7 v E w 1 + 7 )]1=2^ (0.954 — 0.683) = 0.135 5. 答案：0.023解析：•/ R E >5) = P ( E w — 3), 1••• R E > 5)=去—P ( — 3< E < 5)]F 列函数中哪个是正态分布密度函数 1 (x )2I 2 2 ..2n 「；②① P(x)f(x)③ g(x)1(X 1)2厶2 ne:④ Q(x)2 n 4 可e ；n1 - -^e2 . ■. 2n思路分析: 正态密度函数的表达式为 P(x)(x )222,凡符合此表达式的均为正态分布密度函数.答案：② 解析：①是错误的，错在系数部分中的② 是正确的，它是正态分布密度函数，其中 CT 应在分母的根号外. = 0, ③ 是错误的，从系数部分看(7= 2 ,可从指数部分看CT = 1.CT = 2,不统一.设一正态总体，它的概率密度曲线是函数 f(x)(x 10)2~8~的图象，则这个正态总体的均值与方差分别是：1 =答案：10 42CT解析：对比正态密度函数 P(x) —L eV2n (x )2知，1 = 10,1对于正态分布密度函数 P(x) . ev2 n 析式，而且要知道其中字母是变量还是常量， 致的，且指数部分是一个负数 .2. 正态分布密度函数的性质 (x )2厂,x € ( -m,+m )，不但要熟记它的解还要注意指数上的 7和系数的分母上7是1=2【1 —R1 —4< E w 1+ 4)]1=2[1—R 口—2厅< E w口+2厅)]1=2^ (1 —0.954) = 0.023.解答此类题的关键在于充分利用正态分布曲线的对称性，把待求区间的概率向已知区间(口一CT , 口+疔),(口一2 (T , 口+ 2 (T ) , ( 口一3 CT , 口+ 3 (T )内的概率进行转化.3. 正态分布的实际应用在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即X〜N(90,100).(1) 试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率；(2) 若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)内的考生大约有多少人？思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望口和方差厅就可以求出，根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.解：•/ X〜N90,100) , • 口= 90, (7= 100= 10.(1) 由于正态变量在区间(口一2 7 , 口+ 2 7 )内取值的概率是0.954，而该正态分布中，口—27= 90 —2X 10= 70, 口+ 2 7= 90+ 2X 10= 110,于是考试成绩X位于区间(70,110) 内的概率为0.954.(2) 由口= 90, 7 = 10,得口一7 = 80, 口+7 = 100.由于正态变量在区间(口一7 , 口+ 7 )内取值的概率为0.683 ,所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率为0.683.一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)内的考生大约有 2 000 X 0.683 = 1366(人).某厂生产的圆柱形零件的外径X〜N4,0.25)，质检人员从该厂生产的 1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为 5.7，试问该厂生产的这批零件是否合格？解：由于圆柱形零件的外径X〜N4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N4,0.25)在区间(4 —3X 0.5 , 4 + 3X 0.5)即(2.5,5.5) 之外的取值概率只有0.003，而 5.7 ?(2.5,5.5),这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据小概率事件原理，认为该厂的这批产品是不合格的.解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(口一7, 口+7 ) , ( 口一27, 口+ 2 7 ) , ( 口一 3 7 , 口+ 3 7)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间.1. _____________________________________________________________ 已知X〜N0,1)，则X在区间(一8,—2)内取值的概率为_______________________________________ .答案：0.023解析：•/ X〜N(0,1),1• P(X<—2) = 2口—P—2< X< 2)]1=尹—R0 —2X 1< X< 0+ 2X 1)],又知R 口一 2 7< X< 口+ 2 7 ) = 0.954 ,设 E 〜N(1,2 2)，贝U P( E > 5) =1> 2) = . 4 •随机变量 X 〜N1,2 2），则V *X =••• P^XC - 2)=㊁ X (1 — 0.954) = 0.023.22.已知 E 〜N (0 , (T )，且 P ( — 2C E C 0) =0.4，贝yF ( E答案：0.1 解析：由E 〜N(02)，知图象关于x =0对称.--F( — 2C E C 0) = P (0 C E C 2) = 0.4 ,而 P ( E > 0) = 0.5 ,• F ( E > 2) = F ( E > 0) — P (0 C E C 2) = 0.5 — 0.4 = 0.1.3. 已知 X 〜N (1 , (T ) , F (X >2) = 0.1，贝y P (0 v X v 2) =_ 答案：0.8 解析：由X 〜N(1 , T 2)可知，密度函数关于 x =1对称. ••• X 〜N1 , T 2)，故X 落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为 • F (0 v X v 2)= F (0 v X v 1)+P (1 v X v 2)=0.4+0.4=0.8.0.5 — F (X > 2)=0.4 ,答案：1解析：•/ X〜N(1,2 2) ,••• V(X) = 22= 4.1 1 1• V 2X =4V(X) =4X 4=匸5•某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X分钟)服从正态分布N5,1)；第二条路较长不拥挤，X服从N6,0.16).有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有 6.5分钟，问他应选哪一条路线？解：还有7分钟时，若选第一条路线，X服从N5,1)，能及时到达的概率P= RX W7)1 1=P( X w 5) + R5 V X< 7) = 2+ 2只口一2 厅V X W 口+ 2 <y );若选第二条路线，X服从N6,0.16)，能及时到达的概率F2 = RX W 7) = RX W 6) + P(61 1<X< 7) = + ㊁只口一2.5 d < X w 口+ 2.5 (T),所以P1< P2,选第二条路线.同理，还有6.5分钟时，选第一条路线.。
高中数学苏教版选修2-3：2.6 正态分布
遇上你是缘分，愿您生活愉快，身
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[思路点拨] 根据正态分布曲线的性质可直接判断． [精解详析] 根据正态分布曲线的性质可得，由于正态密度曲 线是一条关于直线 x＝μ 对称，在 x＝μ 处于最高点并由该点向左、 右两边无限延伸，逐渐降低的曲线，该曲线总是位于 x 轴的上方， 曲线形状由 σ 决定，而且当 μ 一定时，比较若干个不同的 σ 对应 的正态曲线，可以发现 σ 越大，曲线越“扁平”，σ 越小，曲线越 “尖陡”．故①③⑥⑦正确．
②正态密度曲线关于直线 x＝σ 对称；
③正态密度曲线与 x 轴一定不相交；
④正态密度曲线与 x 轴一定相交；
⑤正态密度曲线所代表的函数是偶函数；
⑥曲线对称轴由 μ 确定，曲线的形状由 σ 决定；
⑦当 μ 一定时，σ 越大，曲线越“扁平”，σ 越小，曲线越“尖陡”．
其中正确的是________(填序号)．
(1)
，μ，σ(σ>0)都是实数
(2)
(3)
(4)
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解析：本题考查正态密度函数，可对照
f(x)＝
，
其中指数部分的 σ 应与系数的分母处的 σ 保持一致，系数为
正数且指数为负数．
(1)有两处错误，分别是 2π·σ 错为 2πσ，指数错为正数．(3)
轴及最大值，然后结合
可知 μ 及 σ 的值．
[精解详析] 从给出的正态密度曲线可知，该正态密度曲线关
于直线
x＝20
对称，最大值是 2
1 ，所以 π
μ＝20.
1＝ 2π·σ 2
1 ，解得 π
σ＝
高中数学 2.6正态分布 精品导学案 苏教版选修2-3
2.6 正态分布1．正态密度曲线在频率分布直方图中，若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图上的频率折线就将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线．函数的表达式是22()()x P x μ--=，x ∈R ，此函数为正态分布密度函数．它所表示的曲线叫正态密度曲线．这里有两个参数μ和σ，其中σ＞0，μ∈R ，不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线．预习交流1正态分布密度曲线与μ，σ的关系是怎样的？提示：①正态曲线关于直线x ＝μ对称；②当x ＜μ时，曲线上升，当x ＞μ时曲线下降；③曲线的形状由σ确定，σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡．2．正态分布密度函数的性质若X 是一个随机变量，则对任给区间(a ，b ]，P (a ＜X ≤b )恰好是正态密度曲线下方和x轴上(a ，b ]上方所围成的图形面积，我们称随机变量X 服从参数为μ和σ2的正态分布，简记为X ～N (μ，σ2)．随机变量X 取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)上的概率约为68.3%， 落在区间(μ－2σ，μ＋2σ)上的概率约为95.4%， 落在区间(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率约为99.7%. 预习交流2若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ＜μ＋σ)的几何意义是什么？提示：表示X 取值落在区间(μ－σ，μ＋σ)的概率和正态曲线与X ＝μ－σ，X ＝μ＋σ以及x 轴所围成的图形的面积，大约是68.3%.1．正态分布密度函数下列函数中哪个是正态分布密度函数__________．①22()2()x P x μσ--=；②22()x f x -=；③2(1)4()x g x --=；④22()e x Q x =. 思路分析：正态密度函数的表达式为22()2()x P x μσ--=，凡符合此表达式的均为正态分布密度函数．答案：②解析：①是错误的，错在系数部分中的σ应在分母的根号外． ②是正确的，它是正态分布密度函数，其中μ＝0，σ＝1.③是错误的，从系数部分看σ＝2，可从指数部分看σ＝2，不统一． ④是错误的，指数部分缺少一个负号．设一正态总体，它的概率密度曲线是函数2(10)8()x f x --=的图象，则这个正态总体的均值与方差分别是：μ＝__________，σ2＝__________.答案：10 4解析：对比正态密度函数22()2()x P x μσ--=知，μ＝10，σ2＝4.对于正态分布密度函数22()2()x P x μσ--=，x ∈(－∞，＋∞)，不但要熟记它的解析式，而且要知道其中字母是变量还是常量，还要注意指数上的σ和系数的分母上σ是一致的，且指数部分是一个负数.2．正态分布密度函数的性质设ξ～N (1,22)，求P (3＜ξ≤5)．思路分析：要求随机变量ξ在某一范围内的概率，只需借助于正态密度曲线的图象性质以及常见的区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率值进行转化求值．解：∵P (3＜ξ≤5)＝P (－3＜ξ≤－1)，∴P (3＜ξ≤5)＝12[P (－3＜ξ≤5)－P (－1＜ξ≤3)]＝12[P (1－4＜ξ≤1＋4)－P (1－2＜ξ≤1＋2)] ＝12[P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)－P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)] ＝12×(0.954－0.683)＝0.135 5.设ξ～N (1,22)，则P (ξ≥5)＝__________.答案：0.023解析：∵P (ξ≥5)＝P (ξ≤－3)，∴P (ξ≥5)＝12[1－P (－3＜ξ≤5)]＝12[1－P (1－4＜ξ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)] ＝12×(1－0.954)＝0.023. 解答此类题的关键在于充分利用正态分布曲线的对称性，把待求区间的概率向已知区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率进行转化．3．正态分布的实际应用在某次数学考试中，考生的成绩X 服从一个正态分布，即X ～N (90,100)． (1)试求考试成绩X 位于区间(70,110)上的概率； (2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)内的考生大约有多少人？ 思路分析：正态分布已经确定，则总体的期望μ和方差σ就可以求出，根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．解：∵X ～N (90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩X 位于区间(70,110)内的概率为0.954.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0.683， 所以考试成绩X 位于区间(80,100)内的概率为0.683.一共有 2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)内的考生大约有 2 000×0.683＝1 366(人)．某厂生产的圆柱形零件的外径X ～N (4,0.25)，质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查一件，测得它的外径为5.7，试问该厂生产的这批零件是否合格？解：由于圆柱形零件的外径X ～N (4,0.25)，由正态分布的特征可知，正态分布N (4,0.25)在区间(4－3×0.5，4＋3×0.5)即(2.5,5.5)之外的取值概率只有0.003，而5.7∉(2.5,5.5)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据小概率事件原理，认为该厂的这批产品是不合格的．解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间．1．已知X ～N (0,1)，则X 在区间(－∞，－2)内取值的概率为__________． 答案：0.023解析：∵X ～N (0,1)，∴P (X ≤－2)＝12[1－P (－2＜X ＜2)]＝12[1－P (0－2×1＜X ＜0＋2×1)]， 又知P (μ－2σ＜X ＜μ＋2σ)＝0.954，∴P (X ≤－2)＝12×(1－0.954)＝0.023.2．已知ξ～N (0，σ2)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ＞2)＝__________. 答案：0.1解析：由ξ～N(0，σ2)，知图象关于x =0对称．∴P (－2≤ξ≤0)＝P (0≤ξ≤2)＝0.4， 而P (ξ≥0)＝0.5，∴P (ξ＞2)＝P (ξ≥0)－P (0≤ξ≤2)＝0.5－0.4＝0.1.3．已知X ～N (1，σ2)，P (X ≥2)＝0.1，则P (0＜X ＜2)＝__________. 答案：0.8解析：由X ～N (1，σ2)可知，密度函数关于x =1对称．∵X ～N (1，σ2)，故X 落在(0,1)及(1,2)内的概率相同均为0.5－P (X ≥2)=0.4， ∴P (0＜X ＜2)=P (0＜X ＜1)+P (1＜X ＜2)=0.4+0.4=0.8.4．随机变量X ～N (1,22)，则V ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝__________.答案：1解析：∵X ～N (1,22)，∴V (X )＝22＝4.∴V ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14V (X )＝14×4＝1.5．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X (分钟)服从正态分布N (5,1)；第二条路较长不拥挤，X 服从N (6,0.16)．有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？解：还有7分钟时，若选第一条路线，X 服从N (5,1)，能及时到达的概率P 1＝P (X ≤7)＝P (X ≤5)＋P (5＜X ＜7)＝12＋12P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)；若选第二条路线，X 服从N (6,0.16)，能及时到达的概率P 2＝P (X ≤7)＝P (X ≤6)＋P (6＜X ＜7)＝12＋12P (μ－2.5σ＜X ≤μ＋2.5σ)，所以P 1＜P 2，选第二条路线．同理，还有6.5分钟时，选第一条路线．教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。
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选修2-3 2.6正态分布导学案导学目标：利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．自主梳理1．正态分布密度曲线及性质(1)正态曲线的定义函数φμ，σ(x)＝__________________________(其中实数μ和σ (σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线．(2)正态分布密度曲线的特点①曲线位于x轴________，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线________对称；③曲线在________处达到峰值____________；④曲线与x轴之间的面积为____；⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．2．正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝________________________，则称随机变量X服从正态分布，记作________________．(2)正态分布的三个常用数据①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝____________；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝____________；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝____________.自我检测1．(2011·大连模拟)下列说法不．正确的是( )A．若X～N(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴B．正态分布N(μ，σ2)的图象位于x轴上方C．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布D．函数φ(x)＝12π22xe (x∈R)的图象是一条两头低、中间高、关于y轴对称的曲线2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ<3)等于( )A.15B.14C.13D.123．(2011·湖北)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于( )A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.24．某随机变量ξ服从正态分布，其正态分布密度函数为φ(x)＝18π28xe，则ξ的期望和标准差分别是( )A．0和8 B．0和4C．0和 2 D．0和25.(2011·辽宁十校联考)设两个正态分布N(μ1，σ21) (σ1>0)和N(μ2，σ22) (σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2探究点一正态曲线的性质例1如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．变式迁移1 若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为1.42π(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在(－4,4]的概率．探究点二服从正态分布的概率计算例2设X～N(5,1)，求P(6<X≤7)．变式迁移2 设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1<X≤3)；(2)P(3<X≤5)；(3)P(X≥5)．探究点三正态分布的应用例3(2011·青岛期末)在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？变式迁移3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该同学中成绩在80分～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人？1．正态分布密度曲线，简称正态曲线，其解析式为：φμ，σ(x)＝12πσ222x ue，x∈(－∞，＋∞)．2．正态曲线的特点：(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．(3)曲线在x＝μ时达到峰值12πσ.(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．3．3σ原则：从理论上讲，服从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R，但实际上ξ取区间(μ－3σ，μ＋3σ)外的数值的可能性微乎其微(只有0.26%)，在实际问题中常常认为它是不会发生的．因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ－3σ，μ＋3σ)，这就是实用中的三倍标准差规则，也叫3σ原则．在企业管理中，经常应用这个原则进行产品质量检查和工艺生产过程控制．(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如图是正态分布N(μ，σ21)，N(μ，σ22)，N(μ，σ23)相应的曲线，则有( ) A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ32．(2011·佛山月考)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，则c等于( )A．1 B．2 C．3 D．43．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为φ(x)＝12π·10·280200xe (x∈R)，则下列命题中不正确的是( )A．该市这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．该市这次考试的数学成绩标准差为104．(2010·广东)已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于( )A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 55．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？( )A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]二、填空题(每小题4分，共12分)6.设三个正态分布N(μ1，σ21) (σ1>0)，N(μ2，σ22) (σ2>0)，N(μ3，σ23) (σ3>0)的密度函数图象如图所示，则μ1、μ2、μ3按从小到大的顺序排列是________；σ1、σ2、σ3按从小到大的顺序排列是________．7．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ＞0)．若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．8．(2011·青岛模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ≤0)＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)设X～N(10,1)．(1)证明：P(1<X<2)＝P(18<X<19)；(2)设P(X≤2)＝a，求P(10<X<18)．10．(12分)已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且φ(80)＝182π.(1)求正态分布密度函数；(2)估计尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的百分之几？11．(14分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？学案69 正态分布自主梳理1．(1)12πσ222xe，x∈(－∞，＋∞)(2)①上方②x＝μ③x＝μ1σ2π④1 ⑤μ⑥越小越大2．(1)⎠⎛abφμ，σ(x)d x X～N(μ，σ2)280128xe(2)①0.682 6 ②0.954 4 ③0.997 4自我检测1．C2．D [由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P(ξ<3)＝P(ξ>3)＝12.]3．C [∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.∴P(0<ξ<2)＝12P(0<ξ<4)＝0.3.]4．D [由φ(x)＝12πσ222xe＝18π28xe对照得σ＝2，μ＝0，∴E(ξ)＝μ＝0，σ＝Dξ＝2.]5．A [由正态分布N(μ，σ2)性质知，x＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1<μ2；又σ越小，图象越高瘦，故σ1<σ2.]课堂活动区例1解题导引要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为12π，所以μ＝20.由12πσ＝12π，解得σ＝ 2.于是正态分布密度曲线的解析式是φμ，σ(x)＝12π2204xe，x∈(－∞，＋∞)．均值和方差分别是20和2.变式迁移1 解(1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0.由12πσ＝12π·4，得σ＝4，故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142π232xe，x∈(－∞，＋∞)．(2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6.例2解题导引求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．解由已知μ＝5，σ＝1.∵P(4<X≤6)＝0.682 6，P(3<X≤7)＝0.954 4，∴P(3<X≤4)＋P(6<X≤7)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8.如图，由正态曲线的对称性可得P(3<X≤4)＝P(6<X≤7)∴P(6<X≤7)＝0.271 82＝0.135 9.变式迁移2 解∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.(1)P(－1<X≤3)＝P(1－2<X≤1＋2)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6.(2)∵P(3<X≤5)＝P(－3<X≤－1)，∴P(3<X≤5)＝12[P(－3<X≤5)－P(－1<X≤3)]＝12[P(1－4<X≤1＋4)－P(1－2<X≤1＋2)]＝12[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)]＝12×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.(3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)，∴P (X ≥5)＝12[1－P (－3<X ≤5)]＝12[1－P (1－4<X ≤1＋4)] ＝12[1－P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)] ＝12(1－0.954 4)＝0.022 8. 例3 解题导引 正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．解 ∵ξ～N (90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100.由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6， 所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.一共有 2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．变式迁移3 解 ∵成绩服从正态分布N (80,52)， ∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85.于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%. 这样成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%. 设该班有x 名同学，则x ×34.13%＝17，解得x ≈50. 又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%. ∴成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%.即有50×2.28%≈1(人)．即成绩在90分以上的仅有1人． 课后练习区1．D [μ＝0，且σ2＝1，∴σ1<1，σ3>1.]2．B [∵ξ～N (2,9)，∴P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<3－c )． 又P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)， ∴3－c ＝c －1，∴c ＝2.]3．B [μ＝80，故A 正确；σ＝10，故D 正确； ∵P (X >110)＝P (X >μ＋3σ)， P (X <50)＝P (X <μ－3σ)，∴P (X >110)＝P (X <50)，故C 正确. ] 4．B [由于X 服从正态分布N (3,1)， 故正态分布曲线的对称轴为X ＝3. 所以P (X >4)＝P (X <2)，故P (X >4)＝1－P 2≤X ≤42＝0.158 7.]5．C [由于X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5. 因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0.682 6≈41(人)，60×0.954 4≈57(人)，60×0.997 4≈60(人)，故大约应有57人的分数在(100,120]区间内．]6．μ2<μ1<μ3σ1<σ3<σ27．0.8解析∵ξ服从正态分布(1，σ2)，∴ξ在(0,1)与(1,2)内取值的概率相同均为0.4.∴ξ在(0,2)内取值概率为0.4＋0.4＝0.8.8．0.16解析∵μ＝2，∴P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝1－P(ξ≤4)＝1－0.84＝0.16.9．(1)证明因为X～N(10,1)，所以，正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间[1,2]和[18,19]关于直线x＝10对称，所以ʃ21φμ，σ(x)d x＝ʃ1918φμ，σ(x)d x，即P(1<X<2)＝P(18<X<19)．(6分)(2)解P(10<X<18)＝P(2<X<10)＝P(X<10)－P(X≤2)＝12－a.(12分)10．解(1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值．因此μ＝80，12π·σ＝182π，所以σ＝8.故正态分布密度函数解析式是φμ，σ(x)＝182π280128xe.(6分)(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，所以零件尺寸X位于区间(72,88)内的概率是0.682 6.因此尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的68.26%.(12分)11．解(1)设参加竞赛的学生人数共n人．则P(X≥90)＝13n，(2分)而P(X≥90)＝1－P30<X<902＝1－P60－30<X<60＋302＝1－0.997 42＝0.001 3.(6分)∴13n＝0.001 3，n＝10 000(人)．打印版本高中数学 ∴参加竞赛的学生总数约有1万人．(7分) (2)设受奖学生的分数线为x 0，则P (X ≥x 0)＝22810 000＝0.022 8，(9分) 因为0.022 8<0.5，所以x 0>60，所以P (X ≥x 0)＝P (X －60≥x 0－60) ＝1－P |X －60|<x 0－602＝0.022 8，(12分) 所以P (|X －60|<x 0－60)＝0.954 4，所以x 0－60＝20，即x 0＝80(分)∴受奖学生的分数线是80分．(14分)。