九年级上册圆的证明题及答案

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九年级数学上册第二十四章圆典型例题(带答案)

九年级数学上册第二十四章圆典型例题单选题1、如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于E，AB＝8，OD＝5，则CE的长为（）A．4B．2C．√2D．1答案：B分析：连接OA，如图，先根据垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE＝3，然后计算OC﹣OE即可．解：连接OA，如图，∵AB⊥CD，∴AE＝BE=1AB＝4，2在Rt△OAE中，OE=√OA2−AE2=√52−42=3，∴CE＝OC﹣OE＝5﹣3＝2．故选：B．小提示：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．2、已知⊙O的半径为3，OA=5，则点A和⊙O的位置关系是（）A．点A在圆上B．点A在圆外C．点A在圆内D．不确定答案：B分析：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断，OA小于半径则在圆内，OA等于半径则在圆上，OA大于半径则在圆外．解：∵⊙O的半径为3，OA=5，即A与点O的距离大于圆的半径，所以点A与⊙O外．故选：B．小提示：本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．3、如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC=4√2，DE=4，则BC的长是（）A．1B．√2C．2D．4答案：C分析：根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点，AC=4√2∴AD =DC =12AC =2√2 ∴OD 是△ABC 的中位线∴BC =2OD∵OA 2=OD 2+AD 2∴(4−x)2=x 2+(2√2)2，解得x =1∴BC =2OD =2x =2故选：C小提示：本题考查垂径定理、中位线的性质，根据垂径定理结合勾股定理求出OD 的长是解题的关键．4、如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，则下列结论不一定成立的是（）A ．AE ＝BEB ．OE ＝DEC ．AC⌢=BC ⌢D ．AD ⌢=BD ⌢ 答案：B分析：根据垂径定理即可判断．解：∵CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点E ，∴AE =EB ，AC⌢=BC ⌢， AD ⌢=BD ⌢．故选：B ．小提示：本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键．5、斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次在以1，1，2，3，5的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（）A ．54B ．2C ．52D ．4答案：A分析：根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的底面半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可．解：有根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和，即半径为5的扇形对应的弧长l =2π×5×14=52π设圆锥底面半径为r ，则2πr =52π ∴r =54故选：A ．小提示：本题考查圆锥侧面积的计算，结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．6、如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM 的度数是（）A ．36°B ．45°C ．48°D ．60°答案：C分析：如图，连接AO ．利用正多边形的性质求出∠AOM ，∠AOB ，可得结论．解：如图，连接AO．∵△AMN是等边三角形，∴∠ANM=60°，∴∠AOM=2∠ANM=120°，∵ABCDE是正五边形，=72°，∴∠AOB=360°5∴∠BOM=120°−72°=48°．故选：C．小提示：本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．7、如图，斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽，它可近似看成一个圆锥，已知该斗笠的侧面积为550πcm2，AB是斗笠的母线，长为25cm，AO为斗笠的高，BC为斗笠末端各点所在圆的直径，则OC的值为（）A．22B．23C．24D．25答案：A分析：根据圆锥的侧面积和母线可得底面圆的周长，进而可得底面圆的半径．解：∵侧面积为550π cm2，母线长为25cm，∴1×l×25=550π解得l=44π，2∵2πr=44π，∴OC=r=22，故选：A．小提示：本题考查圆锥的计算，根据侧面积和母线得到底面圆的半径是解题关键．8、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则正五边形中心角∠COD的度数是（）A．76°B．72°C．60°D．36°答案：B计算即可．分析：根据正多边形的中心角的计算公式：360°n解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为360°=72°，5故选：B．小提示：本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：360°是解题的关键．n9、如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从A地走到B地有观赏路（劣弧AB）和便民路（线段AB）.已知A、B是圆上的点，O为圆心，∠AOB=120°，小强从A走到B，走便民路比走观赏路少走（）米.A ．6π−6√3B ．6π−9√3C ．12π−9√3D ．12π−18√3答案：D分析：作OC ⊥AB 于C ，如图，根据垂径定理得到AC =BC ，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A ，从而得到OC 和AC ，可得AB ，然后利用弧长公式计算出AB⌢的长，最后求它们的差即可．解：作OC ⊥AB 于C ，如图，则AC =BC ，∵OA =OB ，∴∠A =∠B =12（180°-∠AOB ）=30°，在Rt △AOC 中，OC =12OA =9， AC =√182−92=9√3，∴AB =2AC =18√3，又∵AB ⌢=120×π×18180=12π，∴走便民路比走观赏路少走12π−18√3米，故选D ．小提示：本题考查了垂径定理：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．10、在锐角△ABC中，∠ACB=60°，∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M，则下列结论中错误的是（）A．∠AMB=120°B．ME=MDC．AE+BD=AB D．点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上答案：D分析：利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA=60°，推出∠AMB=120°，可判断A，证明C，E，M，D四点共圆，利用圆周角定理可判断B；在AB上取一点T，使得AT=AE，利用全等三角形的性质证明BD=BT，可判断C；无法判断∠M′与∠ABC互补，可判断D．解：如图，∵∠ACB=60°，∴∠CAB+∠CBA=120°，∵AD，BE分别是∠CAB，∠CBA的角平分线，∴∠MAB+∠MBA=1（∠CAB+∠CBA）=60°，2∴∠AMB=180°-（∠MAB+∠MBA）=120°，故A符合题意，∵∠EMD=∠AMB=120°，∴∠EMD+∠ECD=180°，∴C，E，M，D四点共圆，∵∠MCE=∠MCD，∴EM⌢=DM⌢，∴EM=DM，故B符合题意，∵四边形CEMD是⊙O的内接四边形，∴∠AME=∠ACB=60°=∠BMD,在AB上取一点T，使得AT=AE，在△AME和△AMT中，{AE=AT∠MAE=∠MATAM=AM，∴△AME≌△AMT（SAS），∴∠AME=∠AMT=60°，EM=MT，∴∠BMD=∠BMT=60°，MT=MD，在△BMD和△BMT中，{MD=MT∠BMD=∠BMTBM=BM，∴△BMD≌△BMT，∴BD=BT，∴AB=AT+TB=AE+BD，故C符合题意，∵M，M′关于AC对称，∴∠M′=∠AMC，∵∠AMC=180°−12(∠CAB+∠ACB)=180°−12(180°−∠ABC)=90°+12∠ABC，∴∠M′与∠ABC不一定互补，∴点M′不一定在△ABC的外接圆上，故D不符合题意，故选D．小提示：本题考查三角形的外接圆，四点共圆，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．填空题11、如图，已知A为半径为3的⊙O上的一个定点，B为⊙O上的一个动点（点B与A不重合），连接AB，以AB为边作正三角形ABC．当点B运动时，点C也随之变化，则O、C两点之间的距离的最大值是______．答案：6分析：连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．证明△BAO≌△CAN（SAS），推出OB=CN=3，推出OC≤ON+CN=6，可得结论．解：如图，连接OB，OC，OA，在优弧AB上取点N，使得AN=AO．∵OA=ON，OA=AN，∴AO=ON=AN，∴△OAN是等边三角形，∴∠OAN=60°，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠BAC=∠OAN=60°，∴∠BAO=∠CAN，∴△BAO≌△CAN（SAS），∴OB=CN=3，∵OC≤ON+CN=6，∴OC的最大值为6，所以答案是：6．小提示：本题考查了等边三角形的性质，圆的相关性质，垂径定理，利用两地之间线段最短是本题的解题关键．12、一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB=12cm，BC=5cm，则圆形镜面的半径为__________．cm答案：132分析：连接AC，根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC即可．解：连接AC，∵∠ABC=90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC=√AB2+BC2=√122+52=13(cm)，cm，所以圆形镜面的半径为132cm．所以答案是：132小提示：本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点，能根据圆周角定理得出AC 是圆形镜面的直径是解此题的关键．13、如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，D 均在小正方形的顶点上，且点B ，C 在AD⌢上，∠BAC =22.5°，则BC⌢的长为__________．答案：5π4 分析：先找到AD̂的圆心O ，得到∠BOC =45°，利用弧长公式即可求解．解：连接AD ，作线段AB 、AD 的垂直平分线，交点即为AD̂的圆心O ，从图中可得：AD̂的半径为OB =5，连接OC ，∵∠BAC =22.5°，∴∠BOC =2×22.5°=45°，BC ̂的长为45×π×5180=5π4．．所以答案是：5π4.小提示：本题考查了弧长公式，找到AD̂的圆心是解题的关键． 14、如图，正六边形ABCDEF 的边长为4，以A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得EC⌢，连接AC 、AE ，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为______．答案：2√33分析：由正六边形ABCDEF的边长为4，可得AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH=12AC，BH=2．在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH=2√3，得到AC=4√3．根据扇形的面积公式可得到阴影部分的面积，即是圆锥的侧面积，最后根据圆锥的侧面积公式求解底面半径即可．解：∵正六边形ABCDEF的边长为4，∴AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=(6−2)×180°6=120°，∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴∠BAC=12(180°−∠ABC)=30°，如图，过B作BH⊥AC于H，∴AH=CH=12AC，BH=12AB=12×4=2，在Rt△ABH中，AH=√AB2−BH2=√42−22=2√3，∴AC=2AH=4√3，同理可求∠EAF=30°，∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°，∴S扇形CAE =60π⋅(4√3)2360=8π，∴S圆锥侧＝S扇形CAE=8π，∵S 圆锥侧＝πrl =πr ⋅AC =4√3πr ，∴4√3πr =8π，∴r =2√33，所以答案是：2√33．小提示：本题考查的是正六边形的性质、扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面积，掌握扇形面积公式和圆锥侧面积公式是解题的关键．15、刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，如图，若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ，设⊙O 的半径为1，则S −S 1=__________.答案：π−3分析：如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，先求出圆的面积，再求出△ABC 面积，继而求得正十二边形的面积即可求得答案.如图，过点A 作AC ⊥OB ，垂足为C ，∵⊙O 的半径为1，∴⊙O 的面积S =π，OA=OB=1，∴圆的内接正十二边形的中心角为∠AOB=360°12=30°，∴AC=12OB=12，∴S △AOB =12OB•AC=14， ∴圆的内接正十二边形的面积S 1=12S △AOB =3，∴则S −S 1=π−3，故答案为π−3．小提示：本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．解答题16、如图，CD 与EF 是⊙O 的直径，连接CE 、CF ，延长CE 到A ，连接AD 并延长，交CF 的延长线于点B ，过点F 作⊙O 的切线交AB 于点G ，点D 是AB 的中点．(1)求证：EF ∥AB ；(2)若AC =3，CD =2.5，求FG 的长．答案：(1)见解析；(2)65分析：（1）连接DE ，根据CD 和EF 都是⊙O 的直径得到∠DEA =∠ECF =90°，根据直角三角形的性质得到CD =AD =BD ，利用等腰三角形三线合一的性质推出∠ADE =∠CDE ，进而得到∠ADE =∠OED ，即可得到EF ∥AB ；（2）根据直角三角形斜边上的中线求得AB=2CD=5,勾股定理求得BC=4,由（1）可得EF=12AB,根据切线的性质可得FG⊥AB，根据sinB=FGBF =ACAB，代入数值，即可得到FC．（1）证明：连接DE，∵CD和EF都是⊙O的直径，∴∠DEA=∠ECF=90°，∵D是AB的中点，∴CD=AD=BD，∴∠ADE=∠CDE，∵OD=OE，∴∠OED=∠CDE，∴∠ADE=∠OED，∴EF∥AB；（2）连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∴∠DFC=∠FCE=∠CED=90°，∴四边形CEDF是矩形，∴FC=DE，DE∥BC，∴AEEC =ADDB=1，∴AE=CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC，∵AB=2CD=5，AC=3，∴BC=√AB2−AC2=√52−32=4，∴FC=2．∴BF=BC−FC=4−2=2∵FG是⊙O的切线，∴GF⊥EF∵EF∥AB∴FG⊥AB∴∠BGF=∠BCA=90°∴sinB=FGBF =ACAB∴FG2=35∴FG=65小提示：此题考查了圆周角定理，矩形的判定定理及性质定理，勾股定理，三角形中位线的性质，熟记圆周角定理是解题的关键．17、如图，D是△ABC的BC边上一点，连结AD，作△ABD的外接圆O，将△ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E 落在⊙O 上．(1)若∠ABC =30°，如图1．①求∠ACB 的度数．②若AD =DE ，求∠EAB 的度数．(2)若AD⌢=BE ⌢,AC =4,CD =2，如图2．求BC 的长．答案：(1)①30°，②60°；(2)BC =6分析：（1）①根据折叠的性质可得∠ACD =∠AED ，根据等弧所对的圆周角即可求解；②根据等边对等角可得∠DAE =∠DEA ，根据（1）的结论可得∠ACB =∠ABC ，进而根据折叠的性质求得∠CAE =60°，进而根据∠CAB −∠CAE 即可求得∠BAE ，（2）根据AD⌢+DE ⌢=BE ⌢+DE ⌢，可得AE ⌢=DB ⌢，AE =BE ，根据折叠的性质可得DB =AE =4，进而即可求解．（1）①∵AD⌢=AD ⌢，∠ABC =30°， ∴∠AED =∠ABD =30°，∵将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上，∴∠ACB =∠AED =30° ；②∵ AD =DE ，∴∠DAE =∠DEA ，∵∠DEA =∠DBA ，∴∠DAE =30°，∵将△ADC 沿直线AD 折叠，点C 的对应点E 落在⊙O 上，∴∠DAE =∠DAC =30°，△ABC 中，∠ABC =∠ACB =30°，则∠CAB =180°−∠ABC −∠ACB =120°，∵∠CAE =∠CAD +∠EAD =60°，∴∠EAB =∠CAB −∠CAE =120°−60°=60°，∴∠EAB =60°，（2）∵ AD⌢=BE ⌢ ∴AD⌢+DE ⌢=BE ⌢+DE ⌢ ∴AE⌢=DB ⌢ ∴AE =BE∵折叠∴AC =AE∴DB =AE =4∵CD =2∴BC =CD +DB =4+2=6小提示：本题考查了折叠的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧与弦的关系，三角形内角和定理的应用，综合运用以上知识是解题的关键．18、如图，C ，D 是以AB 为直径的半圆上的两点，∠CAB =∠DBA ，连结BC ，CD ．(1)求证：CD ∥AB ．(2)若AB =4，∠ACD =30°，求阴影部分的面积．答案：(1)答案见解析(2)23π 分析：（1）根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD ＝∠DBA ，根据 ∠CAB ＝∠DBA 得到∠CAB ＝∠ACD ，进而得到结论；（2）连结OC ，OD ，证明所求的阴影部分面积与扇形COD 的面积相等，继而得到结论．（1）证明：∵AD ⌒=AD ⌒，∴∠ACD ＝∠DBA ，又∵∠CAB ＝∠DBA ，∴∠CAB ＝∠ACD ，∴CD ∥AB ；（2）解：如图，连结OC ，OD ．∵∠ACD ＝30°，∴∠ACD ＝∠CAB ＝30°，∴∠AOD ＝∠COB ＝60°,∴∠COD ＝180°-∠AOD -∠COB ＝60°．∵CD ∥AB ，∴S △DOC =S △DBC ，∴S 阴影=S 弓形COD +S △DOC =S 弓形COD +S △DBC=S 扇形COD ，∵AB ＝4，∴OA ＝2，∴S 扇形COD=nπr 2360=60×π×22360=23π．∴S阴影=2π．3小提示：本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键．。

初三数学圆试题答案及解析

初三数学圆试题答案及解析1.已知⊙O的周长为9π，当PO= 时，点P在⊙O上．【答案】4.5【解析】根据圆上点，圆内点和圆外点到圆心的距离与圆的半径的大小关系，可以确定点P的位置．解：∵⊙O的周长为9π，∴⊙O的半径为4.5，∵圆上点到圆心的距离等于半径，所以当PO=4.5时，P点在圆上．故答案为：4.5．点评：本题考查的是点与圆的位置关系，把点到圆心的距离与圆的半径进行大小比较，得到点与圆的位置关系．2.如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC= ．【答案】1+【解析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO=∠OCB=60°，已知了OA=，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC=OD+CD求出OC的长．解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO=∠OCB=60°，∴OB=OA=×=．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB=45°，则OD=BD=OB=．Rt△BCD中，∠OCB=60°，则CD=BD=1．∴OC=CD+OD=1+．故答案为：1+．点评：此题主要考查了圆周角定理及解直角三角形的综合应用能力，能够正确的构建出与已知和所求相关的直角三角形是解答此题的关键．3.△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=8，以C为圆心，r为半径作圆，使点A在圆内，点B在圆外，则半径r的取值范围为．【答案】5＜r＜8【解析】当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径，点B在圆外时点B到圆心的距离应该大于圆的半径，据此可以得到半径的取值范围．解：当点A在圆内时点A到点C的距离小于圆的半径，即：r＞5；点B在圆外时点B到圆心的距离应该大于圆的半径，即：r＜8；故答案为：5＜r＜8点评：本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系．4.在△ABC中，∠ACB=90°．AC=2cm，BC=4cm，CM是斜边中线，以C为圆心以cm长为半径画圆，则A、B、M三点在圆的外是，在圆上的是．【答案】点B，点M【解析】先求出AB的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求得CM的长；再由点与圆的位置关系，确定出点三点与⊙C的位置关系．解：∵∠ACB=90°，AC=2cm，BC=4cm，∴AB==2，∵CM是中线，∴CM=AB=，∵2＜＜4∴在圆外的是点B，在圆上的是点M．故答案为：点B，点M．点评：本题考查了点与圆的位置关系：①点P在⊙O上；②点P在⊙O内；③点P在⊙O外，及勾股定理的运用．5.一点到圆周上点的最大距离为18，最短距离为2，则这个圆的半径为．【答案】10或8【解析】分点在圆内和圆外两种情况，当点在圆内时，最大距离与最小距离的和等于直径，然后求出半径；当点在圆外时，最大距离与最小距离的差等于直径，然后求出半径．解：当点在圆内时，圆的直径为18+2=20，所以半径为10．当点在圆外时，圆的直径为18﹣2=16，所以半径为8．故答案是：10或8．点评：本题考查的是点与圆的位置关系，根据点到圆的最大距离和最小距离，求出圆的直径，然后得到圆的半径．6.两个圆的直径比是2：5，这两个圆的周长之比是，面积比是．【答案】2：5；4：25【解析】利用所有的圆都相似得到直径比为2：5的两圆的相似比为2：5，据相似多边形的性质可以求得其周长之比和面积之比．解：∵直径比是2：5的两个圆相似，∴相似比为2：5，∵相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，∴两圆的周长之比为2：5，面积的比等于4：25，故答案为2：5；4：25．点评：本题考查了圆的认识，解题的关键是判定两圆相似并利用相似多边形的性质得到面积之比和周长之比．7.一副斜边相等的直角三角板（∠DAC=45°，∠BAC=30°），按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形．A，B，C，D四点在同一个圆上吗？请说明理由．【答案】A、B、C、D能在同一个圆上【解析】取AC的中点O，连接OB，OD，根据直角三角形斜边上中线性质得出OB=OD=AC=OA=OC，根据对圆的认识得出答案．解：A、B、C、D能在同一个圆上，理由是：取AC的中点O，连接OB，OD，∵∠B=∠D=90°，∴OD=AC=OA=OC，BO=AC=OA=OC，∴OA=OB=OC=OD，∴A、B、C、D在以O为圆心，以OA为半径的圆上，即A、B、C、D能在同一个圆上．点评：本题考查了直角三角形斜边上中线性质和对圆的认识的应用，注意：直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．8.如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．作图说明：已知点AB=4cm，到点A的距离小于2cm，到点B的距离小于3cm的所有点组成的图形．【答案】【解析】根据圆的定义解答即可．解：在操场上用一根很长的绳子，固定一头，拉紧后另一头旋转一周即可得到一个很大的圆．阴影部分就是到点A的距离小于2cm，到点B的距离小于3cm的所有点组成的图形点评：本题考查了圆的认识，关键是了解圆的定义．9.如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C=∠D=90゜．求证：A、B、C、D四点在同一个圆上．【答案】见解析【解析】取弦AB的中点O，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证得OA=OB=OC=OD后即可求证A、B、C、D四点在同一个圆上．证明：取弦AB的中点O，连接OC，OD，∵△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C=∠D=90゜∴DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△BCD斜边上的中线，∴OA=OB=OC=OD．∴A、B、C、D四点在同一个圆上．点评：本题考查了圆的认识，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等．10.如图所示，在△ABC中，AB=AC，任意延长CA到P，再延长AB到Q，使AP=BQ，求证：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．【答案】见解析【解析】先作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ、OB、OA，证出BE=AF，OE=OF，再证Rt△OPF≌Rt△OQE，得到∠P=∠Q即可得到答案．证明：作△ABC的外接圆⊙O，并作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OP、OQ、OB、OA，∵O是△ABC的外心，∴OE=OF，OB=OA，由勾股定理得：BE2=OB2﹣OE2，AF2=OA2﹣OF2，∴BE=AF，∵AP=BQ，∴PF=QE，∵OE⊥AB，OF⊥AC∴∠OFP=∠OEQ=90°，∴Rt△OPF≌Rt△OQE，∴∠P=∠Q，∴O、A、P、Q四点共圆．即：△ABC的外心O与点A、P、Q四点共圆．点评：本题主要考查了四点共圆，勾股定理，全等三角形的性质和判定，确定圆的条件等知识点，作辅助线构造全等三角形证∠P=∠Q是解此题的关键．11.（2009•武汉模拟）如图，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为1，D，E分别为AB，AC的中点，则sin∠BAC的值等于线段（）A．BC的长B．DE的长C．AD的长D．AE的长【答案】B【解析】本题需将∠BAC构建到直角三角形中求解，过B作⊙O的直径，交⊙O于点F，由圆周角定理，知∠F=∠A；在Rt△BCF中，易求得sin∠F==，而DE是△ABC的中位线，即DE=，由此得解．解：过B作⊙O的直径BF，交⊙O于F，连接FC，则∠BCF=90°，Rt△BCF中，sin∠F==，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，即DE=，∴sin∠A=sin∠F==DE．故选B．点评：本题主要考查的是三角形中位线定理、圆周角定理等知识点．12.下列命题中，真命题的个数是（）①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】在同一直线上三点不能作圆，即可判定①；一个圆可以作无数个圆，判断②即可；每个三角形都有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，该点到三角形的三个顶点距离相等，即可判断③④．解：经过不在同一条直线上三点可以作一个圆，∴①错误；任意一个圆一定有内接三角形，并且有多个内接三角形，∴②错误；任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，∴③正确；三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，到三角形的三个顶点距离相等，∴④正确．故选C．点评：本题考查了确定圆的条件和三角形的外接圆与外心的应用，主要考查学生运用性质进行说理的能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．13.已知点P到⊙O的最长距离是3，最短距离是2，则⊙O的半径是（）A．2.5B．0.5C．2.5或0.5D．无法确定【答案】C【解析】分两种情况进行讨论：①点P在圆内；②点P在圆外，进行计算即可．解：①点P在圆内；如图，∵AP=2，BP=3，∴AB=5，∴OA=2.5；②点P在圆外；如图，∵AP=3，BP=2，∴AB=1，∴OA=0.5．故选C．点评：本题考查了点和圆的位置关系，分类讨论是解此题的关键．14.已知⊙O的圆心在坐标原点，半径为5，点P的坐标为（﹣2，﹣4），则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内B．点P在⊙O外C．点P在⊙O上D．不能确定【答案】A【解析】根据两点间的距离公式求出OP的长，再与半径比较确定点A的位置．解：OP==2＜5，所以点P在⊙O内．故选A．点评：本题考查的是点与圆的位置关系，知道O，P的坐标，求出OP的长，与圆的半径进行比较，确定点P的位置．15.⊙O的半径R=5cm，点P与圆心O的距离OP=3cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．不确定【答案】C【解析】已知圆的半径是r，点到圆心的距离是d，点和圆的位置关系有三种：当r=d时，点在圆上，当r＞d时，点在圆内，当r＜d时，点在圆外，根据进行判断即可．解：∵⊙O的半径R=5cm，点P与圆心O的距离OP=3cm，5＞3，∴点P与⊙O的位置关系是点P在圆内，故选C．点评：本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：当圆的半径是r，点到圆心的距离是d时，点和圆的位置关系有三种：①当r=d时，点在圆上，②当r＞d时，点在圆内，③当r＜d时，点在圆外．16.直角三角形两直角边长分别是，，那么它的外接圆的直径是（）A．B．4C．2D．【答案】D【解析】首先根据勾股定理求得该直角三角形的斜边是2，再根据其外接圆直径就是斜边的长度进行计算即可．解：∵直角三角形两直角边长分别是，，∴该直角三角形的斜边长是：=2，∴该直角三角形的外接圆的直径是2．故选D．点评：本题综合考查了勾股定理、三角形外接圆圆心．解决此题的关键在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长是圆的直径．17.已知⊙O的半径为4cm，A为线段OP的中点，当OP=6cm时，点A与⊙O的位置关系是（）A．A在⊙O内B．A在⊙O上C．A在⊙O外D．不能确定【答案】A【解析】知道OP的长，点A是OP的中点，得到OA的长与半径的关系，求出点A与圆的位置关系．解：因为OP=6cm，A是线段OP的中点，所以OA=3cm，小于圆的半径，因此点A在圆内．故选A．点评：本题考查的是点与圆的位置关系，根据OP的长和点A是OP的中点，得到OA=3cm，与圆的半径相等，可以确定点A的位置．18.已知点A的坐标为A（3，4），⊙A的半径为5，则原点O与⊙A的位置关系是（）A．点O在⊙A内B．点O在⊙A上C．点O在⊙A外D．不能确定【答案】B【解析】本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；点在圆外；当d＜r时，点在圆内；来确定点与圆的位置关系．解：∵点A的坐标为A（3，4），∴OA==5，∴根据点到圆心的距离等于半径，则知点在圆上．故选B．点评：本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质，能够根据勾股定理求得点到圆心的距离，根据数量关系判断点和圆的位置关系．19.①直径是弦；②过三点一定可以作圆；③三角形的外心到三个顶点的距离相等；④半径相等的两个半圆是等弧．以上四种叙述正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】根据直径、弦的定义即可判断①，根据不在同一直线上的三点一定可以作圆即可判断②，根据三角形外接圆的定义即可判断③；根据等弧的定义即可判断④．解：直径是弦，①正确；过不在同一直线上的三点一定可以作圆，②错误；三角形的外心到三个顶点的距离相等，③正确；半径相等的两个半圆是等弧，④正确；即正确的有3个，故选C．点评：本题考查了三角形的外接圆，圆的有关概念，确定圆的条件的应用，主要考查学生的理解能力和辨析能力，题目比较典型，但是比较容易出错．20.已知AB为⊙O的直径P为⊙O上任意一点，则点关于AB的对称点P′与⊙O的位置为（）A．在⊙O内B．在⊙O外C．在⊙O上D．不能确定【答案】C【解析】圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，从而得到圆上的点关于对称轴对称的点都在圆上求解．解：∵圆是轴对称图形，直径所在的直线就是对称轴，∴点P关于AB的对称点P′与⊙O的位置为：在⊙O上，故选C．点评：本题考查了点与圆的位置关系，利用了圆的对称性求解．。

专题证明圆的切线的常用方法(六大题型)(解析版)

（苏科版）九年级上册数学《第2章对称图形---圆》专题证明圆的切线的常用的方法★★★方法指引：证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线作法：1、有交点：连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称：“有交点，连半径，证垂直”.2、无交点：作垂直、证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称：“无交点，作垂直，证半径”.类型一：有公共点：连半径，证垂直●●【典例一】（2022•雁塔区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在直径AB 上（D 与A ，B 不重合），CD ⊥AB ，且CD ＝AB ，连接CB ，与⊙O 交于点F ，在CD 上取一点E ，使得EF ＝EC ．求证：EF 是⊙O 的切线；【分析】连接OF ，根据垂直定义可得∠CDB ＝90°，从而可得∠B +∠C ＝90°，然后利用等腰三角形的性质可得∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC ，从而可得∠OFB +∠EFC ＝90°，最后利用平角定义可得∠OFE ＝90°，即可解答；【解答】证明：连接OF ，∵CD ⊥AB ，∴∠CDB ＝90°，∴∠B +∠C ＝90°，∵OB ＝OF ，EF ＝EC ，∴∠B ＝∠OFB ，∠C ＝∠EFC，∴∠OFB+∠EFC＝90°，∴∠OFE＝180°﹣（∠OFB+∠EFC）＝90°，∵OF是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线：【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式1-1】（2022•澄城县三模）如图，AB是△ABC外接圆⊙O的直径，过⊙O外一点D作BC的平行线分别交AC，AB于点G，E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠BAC＝∠D．求证：BD是⊙O的切线；【分析】证明∠ABD＝90°，根据切线的判定可得BD与⊙O相切；【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵DG∥BC，∴∠AGE＝∠ACB＝90°，∴∠A+∠AEG＝90°，又∵∠A＝∠D，∠AEG＝∠DEB，∴∠D+∠DEB＝90°，∴∠DBE＝90°，∴AB⊥BD，∵AB为直径，∴BD与⊙O相切；【点评】此题考查了切线的判定，垂径定理，解答本题需要我们熟练掌握切线的判定．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，CD⊥AB于点D，点E是圆外一点，CA平分∠ECD．求证：CE是⊙O的切线．【分析】利用切线的判定定理证明∠OCE＝90°即可得出结论．【解答】证明：∵CA平分∠ECD，∴∠ECA＝∠DCA．∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠DCA＝90°，∴∠ECA+∠CAD＝90°．∵OA＝OC，∴∠CAD＝∠ACO，∴∠ECA+∠ACO＝90°，即∠OCE＝90°，∴OC⊥EC，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．【点评】本题主要考查了圆的切线的判定，熟练应用圆的切线的判定定理是解题的关键．【变式1-3】（2022秋•阳谷县校级期末）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC＝∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）求证：FD＝FG．【分析】（1）欲证明MN是半圆的切线，只需证得∠MAB＝90°，即MA⊥AB即可；（2）根据圆周角定理推论得到∠ACB＝90°，由DE⊥AB得到∠DEB＝90°，则∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，又D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，得到∠3＝∠5，于是∠1＝∠4，利用对顶角相等易得∠1＝∠2，则有FD＝FG．【解答】证明：（1）如图，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB+∠ABC＝90°．又∵∠MAC＝∠ABC，∴∠MAC+∠CAB＝90°，即∠MAB＝90°，∴MA⊥AB．∴MN是半圆的切线．（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，而DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠1+∠5＝90°，∠3+∠4＝90°，∵D是弧AC的中点，即弧CD＝弧DA，∴∠3＝∠5，∴∠1＝∠4，而∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴FD＝FG．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端点，并且与半径垂直的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理及其推论、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定．【变式1-4】如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB＝6，DB＝8，∠EDB＝∠EPB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径．（3）连接BE，求BE的长．【分析】（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到∠OBP为直角，即可得证；（2）在直角三角形PBD中，由PB与DB的长，利用勾股定理求出PD的长，由切线长定理得到PC＝PB ＝6，由PD﹣PC求出CD的长，在直角三角形OCD中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．（3）延长PB、DE相交于点F，证明△PED≌△PEF（ASA），由全等三角形的性质得出PD＝PF＝10，DE ＝EF，求出DF的长，则可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE⊥PE，∴∠DEO＝90°，∵∠EDB＝∠EPB，∠BOE＝∠EDB+∠DEO，∠BOE＝∠EPB+∠OBP，∴∠OBP＝∠DEO＝90°，∴OB⊥PB，∴PB为⊙O的切线；（2）解：在Rt△PBD中，PB＝6，DB＝8，根据勾股定理得：PD=10，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴PC＝PB＝6，∴DC＝PD﹣PC＝10﹣6＝4；在Rt△CDO中，设OC＝r，则有OD＝8﹣r，根据勾股定理得：（8﹣r）2＝r2+42，解得：r＝3，则圆的半径为3．（3）延长PB、DE相交于点F，∵PD与PB都为⊙O的切线，∴OP平分∠CPB，∴∠DPE＝∠FPE，∵PE⊥DF，∴∠PED＝∠PEF＝90°，又∵PE＝PE，∴△PED ≌△PEF （ASA ），∴PD ＝PF ＝10，DE ＝EF ，∴BF ＝PF ﹣PB ＝10﹣6＝4，在Rt △DBF 中，DF==∴BE =12DF =【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．●●【典例二】如图，△ABC 是直角三角形，点O 是线段AC 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径作圆．O 交线段AB 于点D ，作线段BD 的垂直平分线EF ，EF 交线段BC 于点．（1）若∠B ＝30°，求∠COD 的度数；（2）证明：ED 是⊙O 的切线．【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠A ＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ODA ＝∠A ＝60°，于是得到∠COD ＝∠ODA +∠A ＝120°；（2）根据线段垂直平分线的性质得到∠EDB ＝∠B ＝30°，求得ED ⊥DO ，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】（1）解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OD ＝OA，∴∠COD＝∠ODA+∠A＝120°；（2）证明：∵EF垂直平分BD，∴∠EDB＝∠B＝30°，∴∠EDO＝180°﹣∠EDB﹣∠ODA＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴ED⊥DO，∵OD是⊙O的半径，∴ED是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．【变式2-1】如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=CD=DB，DE⊥AC．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据已知条件得到∠BOD=13×180°=60°，求得∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，求得∠EDA＝60°，根据切线的判定定理即可得到结论．【解答】证明：连接OD，∵AC=CD=DB，∴∠BOD=13×180°=60°，∵CD=DB，∴∠EAD=∠DAB=12∠BOD=30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【变式2-2】如图，AC是⊙O的直径，B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE是⊙O的切线．【分析】连接OD，根据圆周角定理的推论得到∠ABC＝90°，根据角平分线的性质求出∠DBE＝45°，根据圆周角定理得到∠DOC，根据平行线的性质求出∠ODE＝90°，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBE＝45°，∴∠DOC＝2∠DBE＝90°，∵DE∥AC，∴∠ODE＝∠DOC＝90°，∴DE是⊙O的切线；【点评】本题考查的是切线的判定定理、圆周角定理以及正方形的判定和性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．【变式2-3】（2023•鼓楼区校级模拟）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC为弦，OC＝4，∠OAC＝60°．（1）求∠AOC的度数；（2）在图（1）中，P为直径BA的延长线上一点，且S△PAC=PC为⊙O的切线；【分析】（1）根据等腰三角形中有一角为60度时是等边三角形得到△ACO是等边三角形，则∠AOC＝60°；（2）由等边三角形的性质以及勾股定理得出CD的长，再利用三角形外角的性质以及等腰三角形的性质得出∠PCA＝30°，进而得出答案；【解答】（1）解：在△OAC中，∵OA＝OC＝4，∠OAC＝60°，∴△OAC是等边三角形，∴∠AOC＝60°；（2）证明：过点C作CD⊥AO于点D，∵△AOC是等边三角形，CD⊥AO，∴AD＝DO=12OA＝2，∠ACO＝60°，∴CD∵S △PAC ＝∴12PA •CD ＝∴PA ＝4，∴PA ＝AC ，∴∠P ＝∠PCA =12∠OAC ＝30°，∴∠PCO ＝∠PCA +∠ACO ＝30°+60°＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 是⊙O 的半径，∴PC 为⊙O 的切线．【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，切线的判定，熟练掌握相关的性质和判定是解决问题的关键．【变式2-4】（2023•门头沟区二模）如图，AB 是⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于E ，点F 在CD 上，且AF ＝DF ，连接AD ，BC ．（1）求证：∠FAD ＝∠B（2）延长FA 到P ，使FP ＝FC ，作直线CP ．如果AF ∥BC ．求证：直线CP 为⊙O 的切线．【分析】（1）根据垂径定理、圆周角定理可得∠ACD ＝∠ACD ＝∠B ，根据等腰三角形的性质可得∠FAD＝∠FDA，进而可得∠FAD＝∠B；（2）根据平行线的性质以及三角形内角和定理可得∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，进而得到∠CFP＝60°，再利用等边三角形的性质可得∠PCO＝60°+30°＝90°，由切线的判定方法可得结论．【解答】证明：（1）如图，连接AC，∵AB是⊙O直径，弦CD⊥AB，∴AC=AD，∴∠ACD＝∠ACD＝∠B，∵AF＝FD，∴∠FAD＝∠FDA，∴∠FAD＝∠B；（2）如图，连接OC，∵AF∥BC，∴∠FAB＝∠B，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA，∵∠AED＝90°，∴∠FAB＝∠FAD＝∠FDA＝30°，∴∠CFP＝60°，∵FP＝FC，∴△CFP是等边三角形，∴∠PCF＝60°，∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB＝30°，∴∠OCD＝30°，∴∠PCO＝60°+30°＝90°，即OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是⊙O的切线．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、平行线的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的判定方法，圆周角定理是正确解答的前提．●●【典例三】如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，过点C 作CE ⊥AD 交AD 的延长线于点E ，延长EC ，AB 交于点F ，∠ECD ＝∠BCF ．求证：CE 为⊙O 的切线；【分析】连接OC ，BD ，可推出EF ∥BD ，进而可证CD =BC ，进而得出CE 为⊙O 的切线；【解答】证明：如图1，连接OC ，BD ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∵CE ⊥AE，∴∠E＝∠ADB，∴EF∥BD，∴∠ECD＝∠CDB，∠BCF＝∠CBD，∵∠ECD＝∠BCF，∴∠CDB＝∠CBD，∴CD=BC，∴半径OC⊥EF，∴CE为⊙O的切线；【点评】本题考查了圆周角定理及其推论，圆的切线判定，解决问题的关键是作合适的辅助线．【变式3-1】（2022秋•阿瓦提县校级期末）已知：AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使AB＝AC，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线．【分析】连接OD，根据OA＝OB，CD＝BD，得出OD∥AC，∠ODE＝∠CED，再根据DE⊥AC，即可证出OD⊥DE，从而得出答案．【解答】证明：如图，连接OD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴CD＝BD，∵OA＝OB，∴OD∥AC．∴∠ODE＝∠CED．∵DE⊥AC，∴∠CED＝90°．∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定与性质，解决本题的关键是掌握圆周角定理的推论、线段垂直平分线的性质以及等边三角形的判定，是一道常考题型．【变式3-2】已知，如图，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．（1）求证：点D是AB的中点；（2）判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理，由BC为直径得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质得AD＝BD；（2）连接OD，先得到OD为△ABC的中位线，再根据三角形中位线性质得OD∥AC，而DE⊥AC，则DE⊥OD，然后根据切线的判定定理可得DE为⊙O的切线．【解答】（1）证明：连接CD，如图，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点；（2）解：DE与⊙O相切．理由如下：连接OD，∵AD＝BD，OC＝OB，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，而DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE为⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．【变式3-3】如图，已知点E在△ABC的边AB上，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，且D在以AE为直径的⊙O上．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠B＝30°，CD＝4，求线段AB的长．【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，而∠OAD＝∠ODA，则∠ODA＝∠CAD，于是判断OD∥AC，由于∠C＝90°，所以∠ODB＝90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）由∠B＝30°得到∠BAC＝60°，则∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC＝Rt△ABC中，根据含30度的直角三角形三边的关系可得到AB＝【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵∠BAC的平分线交BC于点D，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，∴OD⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵∠B＝30°，∴∠BAC＝60°，∴∠CAD＝30°，在Rt△ADC中，DC＝4，∴AC=＝在Rt△ABC中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．【变式3-4】如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC＝30°，DE＝1cm，求BD的长．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE＝∠DEA＝90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，有AD＝2DE；在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，有BD＝2AD＝4DE，即可得出答案．【解答】（1）证明：连接OA，∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA．∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠EDA，∴OA∥CE．∵AE⊥CE，∴AE⊥OA．∴AE是⊙O的切线．（2）解：∵BD是直径，∴∠BCD＝∠BAD＝90°．∵∠DBC＝30°，∠BDC＝60°，∴∠BDE＝120°．∵DA平分∠BDE，∴∠BDA＝∠EDA＝60°．∴∠ABD＝∠EAD＝30°．∵在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°，∴AD＝2DE．∵在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴BD＝2AD＝4DE．∵DE的长是1cm，∴BD的长是4cm．【点评】此题主要考查了切线的判定，角平分线的性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，构造出直角三角形是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．●●【典例四】（2022•城关区一模）如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．求证：PC是⊙O的切线；【分析】可以证明OC2+PC2=OP2得△OCP是直角三角形，即OC⊥PC，PC是⊙O的切线；【解答】解：如图，连接OC、BC，∵⊙O的半径为6，PB=4，PC=8．∴OC=OB=6，OP=OB+BP=6+4=10，∴OC2+PC2=62+82=100，OP2=102=100，∴OC2+PC2=OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；【点评】本题考查圆的切线的判定和勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理证明垂直是解决问题的关键．【变式4-1】如图，AD, BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD=2AD=8 ,点C是BD的延长线上的一点，CD=2，求证：AC是⊙O的切线.【分析】先由勾股定理的逆定理证明垂直，再由切线的判断进行解答即可.【解答】证明:连接AB，∵AD⊥BD，且BD=2AD=8 ，∴AB为直径，AB2 =82+42 =80，∵CD=2，AD=4 ，∴AC2 =22 ＋42=20，∵CD＝2，BD=8,∴BC=102=100，∴AC2+AB2=CB2，∴∠BAC=90° ，∴AC是⊙O的切线【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理的推论，勾股定理的逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形.【变式4-2】如图，AD，BD是⊙O的弦，AD⊥BD，且BD＝2AD＝8，点C是BD的延长线上的一点，CD＝2，求证：AC是⊙O的切线．【分析】先根据圆周角定理得到AB为⊙O的直径，再利用勾股定理计算出AB、AC，接着利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠BAC＝90°，所以AC⊥AB，然后根据切线的判定定理得到结论．【解答】证明：∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴AB为⊙O的直径，∵BD ＝2AD ＝8，∴AD ＝4，在Rt △ADB 中，AB 2＝AD 2+BD 2＝42+82＝80，在Rt △ADC 中，AC 2＝AD 2+CD 2＝42+22＝20，∵BC 2＝（2+8）2＝10，∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵AB 为直径，∴AC 是⊙O 的切线．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、勾股定理和勾股定理的逆定理．●●【典例五】（2022•鄞州区校级开学）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 和点D 是⊙O 上的两点，连接BC ，DC ，BC ＝CD ，CE ⊥DA 交DA 的延长线于点E ．求证：CE 是⊙O 的切线；【分析】连接OD ，OC ，证得△COD ≌△COB ，可得∠OCD ＝∠BCO ，从而得到∠ADC ＝∠DCO ，进而得到DA ∥CO ，利用切线的判定定理即可求证；【解答】证明：连接OD ，OC，如图，在△COD和△COB中，OD=OBOC=OC，CD=CB∴△COD≌△COB（SSS），∴∠OCD＝∠BCO，∵CO＝BO，∴∠B＝∠BCO，∵∠B＝∠ADC，∴∠ADC＝∠DCO．∴DA∥CO，∴∠E+∠ECO＝180°．∵CE⊥EA，∴∠E＝90°．∴∠ECO＝90°，∴EC⊥CO，∵CO是⊙O的半径，∴EC是⊙O的切线；【点评】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理等知识，熟练掌握切线的判定，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识是解题的关键．【变式5-1】如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连接OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．求证：CD是⊙O的切线；【分析】连接OD，利用SAS得到三角形COD与三角形COB全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠ODC 为直角，即可得证；【解答】证明：如图，连接OD．∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD，又∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，OC=OC∠COD=∠COB，OD=OB∴△COD≌△COB（SAS），∴∠CDO＝∠CBO＝90°，∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；【点评】此题考查了切线的判定和性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．【变式5-2】（2022秋•新抚区期末）如图，AB为⊙O的直径，四边形OBCD是矩形，连接AD，延长AD 交⊙O于E，连接CE．求证：CE为⊙O的切线．【分析】连接OC、BE，根据矩形性质和圆半径相等，推出∠CDE＝∠AEO，进而得到OP＝CP，然后根据OB∥CD，可以推出∠COE＝∠BOC，最后通过证明△BOC≌△EOC即可求解．【解答】证明：如图：连接OC、BE，OE，CD交于点P，∵四边形OBCD是矩形，∴OB∥CD，∠OBC＝90°，OB＝CD，∵OB∥CD，∴∠A＝∠CDE，∵在⊙O中，OA＝OB＝OE，∴OE＝CD，∵OA＝OE，∴∠A＝∠AEO，∴∠CDE＝∠AEO，∴DP＝PE，∵OE＝CD，∴OP＝CP，∴∠COE＝∠DCO，∵OB∥CD，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠COE＝∠BOC，在△BOC和△EOC中，OB=OECO=CO，∠BOC=∠COE∴△BOC≌△EOC（SAS），∴∠CEO＝∠OBC＝90°，∴CE⊥OE，又∵OE为⊙O的半径，∴CE为⊙O的切线．【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质等众多知识点，熟悉掌握以上知识点是解题关键．【变式5-3】（2022•建邺区二模）如图，四边形ABCD是菱形，以AB为直径作⊙O，交CB于点F，点E在CD上，且CE＝CF，连接AE．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）连接AC交⊙O于点P，若AP BF＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）连接AF，根据菱形的性质得到∠ACF＝∠ACE，根据全等三角形的性质得到∠AFC＝∠AEC，推出OA⊥AE，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接BP，根据圆周角定理得到∠APB＝90°，求得AC＝2AP＝【解答】（1）证明：连接AF，∵四边形ABCD为菱形，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF与△ACE中，CF=CE∠ACF=∠ACEAC=AC，∴△ACF≌△ACE（SAS），∴∠AFC＝∠AEC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠AFC＝90°，∴∠AEC＝90°，∵AB∥DC，∴∠BAE+∠AEC＝90°，∴∠BAE＝90°，∴OA⊥AE，∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接BP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AB＝CB，AP=∴AC＝2AP＝设⊙O的半径为R，∵AC2﹣CF2＝AF2，AB2﹣BF2＝AF2，∴2−(2R−1)2=(2R)2−12，∴R=32（负值舍去），∴⊙O的半径为3 2．【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，菱形的性质，三角形全等的性质和判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题．类型二：无公共点：作垂直，证半径●●【典例六】如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D．求证：AC是⊙O的切线．【分析】过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，根据切线的性质得出AB⊥OD，根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质得出OE=OD，从而证得结论．【解答】证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD，∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，∵圆心到直线的距离等于半径，∴AC是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．【变式6-1】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M．求证：CD与⊙O相切．【分析】利用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON，即可得出答案．【解答】证明：如图所示，连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC，又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴ON为⊙O的半径，∴CD与⊙O相切．【点评】此题主要考查了正方形的性质以及角平分线的性质，得出OM＝ON是解题关键．【变式6-2】如图，OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D和OA相切于点E，连接CE．（1）求证：OB与⊙D相切；（2）若OE＝4，⊙D的半径为3，求CE的长．【分析】（1）过点D作DF⊥OB于点F，先由切线的性质得DE⊥OA，则由角平分线的性质得DF＝DE，即可证得结论；（2）过E作EG⊥OD于G，先由勾股定理求出OD＝5，再由面积法求出EG=125，然后由勾股定理求出DG=95，最后由勾股定理求出CE即可．【解答】（1）证明：连接DE，过点D作DF⊥OB于点F，如图所示：∵⊙D与OA相切于点E，∴DE⊥OA，∵OC平分∠AOB，∴DF＝DE，又∵DF⊥OB，∴OB与⊙D相切；（2）解：过E作EG⊥OD于G，如图所示：由（1）得：DE⊥OA，∴∠OED＝90°，∵OE＝4，DE＝3，∴OD=5，∵EG⊥OD，∴12OD×EG=12OE×DE，∴EG=OE×DEOD=4×35=125，∴DG===9 5，∴CG＝CD+DG＝3+95=245，∴CE=【点评】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线．【变式6-3】如图，AB是⊙O的直径，AM，BN分别切⊙O于点A，B，CD交AM，BN于点D，C，DO平分∠ADC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝4，BC＝9，求⊙O的半径R．【分析】（1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE＝OA即可证得结论．（2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，继而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，继而可得出半径．【解答】（1）证明：过O点作OE⊥CD于点E，∵AM切⊙O于点A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE＝OA，∵OA为⊙O的半径，∴OE是⊙O的半径，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切线．（2）解：过点D作DF⊥BC于点F，∵AM，BN分别切⊙O于点A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四边形ABFD是矩形，∴AD＝BF，AB＝DF，又∵AD＝4，BC＝9，∴FC＝9﹣4＝5，∵AM，BN，DC分别切⊙O于点A，B，E，∴DA＝DE，CB＝CE，∴DC＝AD+BC＝4+9＝13，在Rt△DFC中，DC2＝DF2+FC2，∴DF=12，∴AB＝12，∴⊙O的半径R是6．【点评】此题考查了切线的性质、角平分线的性质及勾股定理的知识，证明第一问关键是掌握切线的判定定理，解答第二问关键是熟练切线的性质．【变式6-4】（2022秋•清原县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，点O在AC边上，⊙O 经过点C 且与AB 边相切于点E ，∠FAC =12∠BDC ．（1）求证：AF 是⊙O 的切线；（2）若BC ＝6，AB ＝10，求⊙O 的半径长．【分析】（1）作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，证明AC 是∠FAB 的平分线，进而根据OH ＝OE ，OE ⊥AB ，可得AF 是⊙O 的切线；（2）勾股定理得出AC ，设⊙O 的半径为r ，则OC ＝OE ＝r ，进而根据切线的性质，在Rt △OEA 中，勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：如图，作OH ⊥FA ，垂足为点H ，连接OE ，∵∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，∴CD =AD =12AB ，∴∠CAD ＝∠ACD ，∵∠BDC ＝∠CAD +∠ACD ＝2∠CAD ，又∵∠FAC =12∠BDC ，∴∠FAC ＝∠CAD ，即AC 是∠FAB 的平分线，∵点O 在AC 上，⊙O 与AB 相切于点E ，∴OE ⊥AB ，且OE 是⊙O 的半径，∴OH ＝OE ，OH 是⊙O 的半径，∴AF 是⊙O 的切线；（2）解：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC==8，∵BE，BC是⊙O的切线，∴BC＝BE＝6，∴AE＝10﹣6＝4设⊙O的半径为r，则OC＝OE＝r，在Rt△OEA中，由勾股定理得：OE2+AE2＝OA2，∴16+r2＝（8﹣r）2，∴r＝3．∴⊙O的半径长为3．【点评】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定是解题的关键．1.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝BE，点P在BA的延长线上，连接AE交⊙O于点D，过点D作PC⊥BE垂足为点C．求证：PC与⊙O相切；【分析】连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠BAE＝∠BEA，∠BAE＝∠ODA，等量代换得到∠ODA＝∠BEA，证明OD∥BE，根据平行线的性质得到PC⊥OD，根据切线的判定定理证明结论；【解答】证明：连接OD，∵AB＝BE，∴∠BAE＝∠BEA，∵OA＝OD，∴∠BAE＝∠ODA，∴∠ODA＝∠BEA，∴OD∥BE，∵PC⊥BE，∴PC⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴PC与⊙O相切；【点评】本题考查的是切线的判定、解直角三角形，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键．2．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是BC的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：直线DE与⊙O相切；（2）若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长．【分析】（1）连接OD，如图，先利用垂径定理得到OD⊥BC，再根据平行线的性质得到OD⊥DE，然后根据切线的判定方法得到结论；（2）先根据圆周角定理得到∠B＝90°，则∠ACB＝45°，再根据平行线的性质得到∠E＝45°，则可判断△ODE 为等腰直角三角形，于是可求出OE，然后计算OE﹣OC即可．【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵点D是BC的中点，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∴直线DE与⊙O相切；（2）解：∵AC是⊙O的直径，∴∠B＝90°，∵∠A＝45°，∴∠ACB＝45°，∵BC∥DE，∴∠E＝45°，而∠ODE＝90°，∴△ODE为等腰直角三角形，∴OE=＝∴CE＝OE﹣OC＝5．【点评】本题考查了切线的性质与判定：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、圆周角定理和等腰直角三角形的性质．3．（2023•东城区校级模拟）如图，⊙O的半径OC与弦AB垂直于点D，连接BC，OB．（1）求证：2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）分别延长BO、CO交⊙O于点E、F，连接AF，交BE于G，过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，若G是AF的中点，求证：AM是⊙O的切线．【分析】（1）先根据垂径定理得到AC=BC，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠ABC，然后利用互余关系得∠BOD+∠OBD＝90°，从而得到结论；（2）如图，连接OA，根据垂径定理得到BE⊥AF，再根据圆周角定理得到∠CAF＝90°，则可判断BE ∥AC，所以∠ABE＝∠BAC，接着证明∠BAO＝∠CBA得到OA∥BC，根据平行线的性质得到AM⊥OA，然后根据切线的判断方法得到结论．【解答】证明：（1）∵OD⊥AB，∴AC=BC，∠ODB＝90°，∴∠BOC＝2∠ABC，∵∠BOD+∠OBD＝90°，∴2∠ABC+∠OBA＝90°；（2）如图，连接OA，∵G是AF的中点，∴BE⊥AF，∵CF为直径，∴∠CAF＝90°，∴CA⊥AF，∴BE∥AC，∴∠ABE＝∠BAC，∴AC=BC，∴∠CAB＝∠CBA，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABO，∴∠BAO＝∠CBA，∴OA∥BC，∵AM⊥BC，∴AM⊥OA，而OA为⊙O的半径，∴AM是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、垂径定理．4．（2022•思明区校级二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC 延长线于点E，若BC平分∠ACE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OB，由条件可以证明OB∥DE，从而证明OB⊥BE；（2）由垂径定理求出AD长，从而由勾股定理可求AC长．【解答】（1）证明：连接OB，∵″OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCE＝∠OCB，∴∠OBC＝∠BCE，∴OB∥DE，∵AC是⊙O直径，∴AD⊥DE，∵BE∥AD，∴BE⊥DE，∴OB⊥BE，∵OB是⊙O半径，∴BE是⊙O切线；（2）解：延长BO交AD于F，∵∠D＝∠DEB＝∠EBF＝90°，∴四边形BEDF是矩形，∴BF⊥AD，DF＝BE＝3，∴AD＝2DF＝6，∵AC2＝AD2+CD2，∴AC2＝62+22＝40，∴AC＝∴⊙O【点评】本题考查切线的判定，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，用到的知识点较多，关键是熟练掌握知识点，并能灵活应用．5．（2023•封开县一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）当AB＝5，BC＝6时，求DE的长．【分析】（1）连接OD，由AC＝AB，根据等边对等角得到一对角相等，再由OD＝OB，根据等边对等角得到又一对角相等，等量代换可得一对同位角相等，根据同位角相等两直线平行可得OD与AC平行，又EF垂直于AC，根据垂直于两平行线中的一条，与另一条也垂直，得到EF与OD也垂直，可得EF为圆O的切线；（2）连接AD，由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB＝90°，即AD与BC垂直，又AC＝AB，根据三线合一得到D为BC中点，由BC求出CD的长，再由AC的长，利用勾股定理求出AD的长，三角形ACD的面积有两种求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出两个关系式，两关系式相等可求出DE的长．【解答】（1）证明：连接OD，∵AB＝AC，∴∠C＝∠OBD，∵OD＝OB，∴∠1＝∠OBD，∴∠1＝∠C，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴EF⊥OD，∴EF是⊙O的切线；（2）连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，又∵AB＝AC，且BC＝6，∴CD＝BD=12BC＝3，在Rt△ACD中，AC＝AB＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD=4，又S△ACD =12AC•ED=12AD•CD，即12×5×ED=12×4×3，∴ED=12 5．【点评】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，三角形面积的求法，以及切线的判定，其中证明切线的方法为：有点连接圆心与此点，证垂直；无点过圆心作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．本题利用的是第一种方法．6．（2023•宁德模拟）如图，OM 为⊙O 的半径，且OM ＝3，点G 为OM 的中点，过点G 作AB ⊥OM 交⊙O 于点A ，B ，点D 在优弧AB 上运动，将AB 沿AD 方向平移得到DC ；连接BD ，BC ．（1）求∠ADB 的度数；（2）如图2，当点D 在MO 延长线上时，求证：BC 是⊙O 的切线．【分析】（1）连接AO ，BO ，先根据特殊角的正弦值可得∠OAG ＝30°，再根据等腰三角形的性质可得∠OAG ＝∠OBG ＝30°，从而可得∠AOB ＝120°，然后根据圆周角定理即可得；（2）连接AO ，BO ，CO ，先证出四边形ABCD 是平行四边形，再根据等边三角形的判定与性质可得AB ＝AD ，根据菱形的判定可得四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可得CB ＝CD ，然后根据SSS 定理证出△COB ≌△COD ，根据全等三角形的性质可得∠OBC ＝∠ODC ＝90°，最后根据圆的切线的判定即可得证．【解答】（1）解：如图1，连接AO ，BO ．∵点G 为OM 的中点，且OM ＝3，∴OG =12OM =32，OA ＝OB ＝OM ＝3，∵AB ⊥OM ，在Rt △AOG 中，OG =12OA ．∴∠OAG ＝30°，又∵OA ＝OB ，∴∠OAG＝∠OBG＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠ADB=12∠AOB=60°．（2）证明：如图2，连接AO，BO，CO，由平移得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OM⊥AB，点D在MO延长线上，∴DM⊥CD，∵OA＝OB，AB⊥OM，∴AG＝BG，∴DM垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠ADB＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴CB＝CD，在△COB和△COD中，CB=CDOB=ODOC=OC，∴△COB≌△COD（SSS），∴∠OBC＝∠ODC＝90°，又∵OB是⊙O的半径，。

初三数学圆精选练习题及答案

初三数学圆精选练习题及答案1.正确答案为C。

圆的切线垂直于圆的半径。

2.正确答案为A。

AB＞2CD。

3.图中能用字母表示的直角共有4个。

4.正确答案为B。

CD-AB=4cm，根据勾股定理可得AB与CD的距离为14cm。

5.正确答案为120°。

圆周角等于弧所对圆心角的两倍，2×60°=120°。

6.正确答案为130°。

圆周角等于圆心角的两倍，2×100°=200°，而∠ACB为圆周角减去弧所对圆心角，200°-70°=130°。

7.正确答案为B。

根据正弦定理可得S AOB=(1/2)×20×20×sin120°=503cm2.8.正确答案为D。

由于OA=AB，所以∠OAB=∠OBA=30°，而∠BCO=90°-∠OAB=60°，所以∠BOC=2∠BCO=120°。

又因为∠XXX∠OCA=30°，所以∠AOC=120°，所以∠BOD=60°-∠OAB=30°，∠XXX∠OED=∠XXX°。

9.正确答案为A。

根据勾股定理可得d=20√3，所以R2=(d/2)2+202=400，r2=(d/2)2+102=100，所以R=20，r=10，两圆内切。

10.正确答案为225°。

圆锥的侧面展开图为一个扇形，圆心角为360°-2arctan(5/3)，约为225°。

11.若一条弦把圆分成1:3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为 $120^\circ$。

12.在圆 $\odot O$ 中，若直径 $AB=10$ cm，弦$CD=6$ cm，则圆心 $O$ 到弦 $CD$ 的距离为 $2\sqrt{19}$ cm。

13.在圆 $\odot O$ 中，弦 $AB$ 所对的圆周角等于其所在圆周的一半。

初三数学圆试题答案及解析

初三数学圆试题答案及解析1.如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AE∥OC（内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．理由是：∵，∴∠DCA=∠CAB，∴CD∥OA，又∵AE∥OC，∴四边形AOCD是平行四边形，∵OA=OC，∴平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．∵四边形AOCD为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH⊥AB于点F，AB为直径，∴DH=2DF，在Rt△OFD中，sin∠AOD=，∴DF=ODsin∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2．【考点】1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．2.如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，,则 °．【答案】20.【解析】∵AB是⊙O的直径，∴.∵OA=OC，，∴.∴.【考点】1.圆周角定理；2.等腰三角形的性质.3.已知一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为10 cm，则这个圆锥的侧面积为 ()A．15π cm2B．30π cm2C．60π cm2D．3cm2【答案】B【解析】圆锥的侧面积＝π×3×10＝30π cm2.故选B.4.如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长是A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C.【解析】连接OB；∵CD=10cm，∴OC=5cm；∵OM：OC=3：5，∴OM=3cm；Rt△OCP中，OC=OA=5cm，OM=3cm；由勾股定理，得：所以AB=2AM=8cm，故选C．考点: 1.垂径定理；2.勾股定理．5.如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的半径为1，则AP＋BP的最小值是．【答案】.【解析】本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰直角三角形，从而得出结果．试题解析：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，则PA+PB最小，连接OA′，AA′．∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN^的中点，∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=1，∴A′B=．∴PA+PB=PA′+PB=A′B=．考点: 1.垂径定理；2.勾股定理；3.圆心角、弧、弦的关系；4.轴对称-最短路线问题．6.如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°．若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B→A方向运动,设运动时间为t(秒)(0≤t＜3),连结EF,当t值为________秒时,△BEF是直角三角形．【答案】t=1或或．【解析】∵AB是⊙O的直径,∴∠C=90°．∵∠ABC=60°,∴∠A=30°．又BC=3cm,∴AB=6cm．则当0≤t＜3时,即点E从A到B再到O（此时和O不重合）．若△BEF是直角三角形,则当∠BFE=90°时,根据垂径定理,知点E与点O重合,即t=1;当∠BEF=90°时,则BE=BF=,此时点E走过的路程是或,则运动时间是s或s．故答案是t=1或或．【考点】圆周角定理．7.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，⊙O的半径为1，则图中阴影部分两个小扇形的面积之和为（结果保留π）【答案】.【解析】如图,根据正方形和圆的对称性,上方的小扇形与下方的红色小扇形面积相等,所以图中阴影部分两个小扇形的面积之和为四分之一半径为1的圆的面积,即.【考点】1.网格问题;2. 正方形和圆的对称性;3. 扇形的面积;4.转换思想的应用.8.如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆.有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地.老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走.假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是A．猫先到达B地；B．老鼠先到达B地；C．猫和老鼠同时到达B地；D．无法确定.【答案】C．【解析】以AB为直径的半圆的长是：•AB；设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d=AB．则老鼠行走的路径长是：a+b+c+d=（a+b+c+d）=•AB．故猫和老鼠行走的路径长相同．故选C．【考点】弧长公式．9.如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，半径为5 ㎝，过O作OC AB求点O与AB的距离．【答案】3cm.【解析】连接OA．根据垂径定理求得AC的长，再进一步根据勾股定理即可求得OC的长．试题解析:连接OA．如图：∵OC⊥AB，弦AB长为8cm，∴AC=4（cm）．根据勾股定理，得OC=考点: 1.垂径定理；2.勾股定理．10.如图所示，内接于,，，则______.【答案】．【解析】由圆周角定理知：,由于，得到,所以：．故答案是．【考点】圆周角定理．11.如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径,点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度.【答案】（1）详见解析；（2）6【解析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD+∠DCA=90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO=90°，则CD为⊙O的切线；（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，得四边形OCDF为矩形，设AD=x，在Rt△AOF中，由勾股定理得（5-x）2+（6-x）2=25，从而求得x的值，由勾股定理得出AB的长．试题解析：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO，∴∠DAC=∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA，∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；（2）过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC=FD，OF=CD．∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2．即（5-x）2+（6-x）2=25，化简得x2-11x+18=0，解得x1=2，x2=9．∵CD=6-x大于0，故x=9舍去，∴x=2，从而AD=2，AF=5-2=3，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6．【考点】1.切线的判定和性质；2.勾股定理；3.矩形的判定和性质4.垂径定理12.如图MN＝10是⊙Ｏ的直径，AE⊥MN于E，CF⊥MN于F，AE＝4，CF＝3，（1）在MN上找一点P，使PA＋PC最短；（2）求出PA＋PC最短的距离。

浙教版数学九年级上册第3章圆的基本性质(含答案)

第3章圆的基本性质班级学号得分姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1. 下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相等的圆心角所对的弧相等.其中真命题是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③2. 如图,AB 是⊙O 的直径,C,D 是⊙O 上位于AB 异侧的两点,下列四个角中一定与∠ACD 互余的是 ( )A. ∠ADCB. ∠ABDC. ∠BACD. ∠BAD3.如图,点A,B,C,D,E 均在⊙O 上,∠BAC=15°,∠CED=30°,则∠BOD 的度数为( )A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°4.如图,AB 是圆O 的弦,OC⊥AB,交圆O 于点C,连结OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB 的度数是( )A. 40°B. 50°C. 70°D. 80°5. 如图，点A ，B ，S 在圆上，若弦AB 的长度等于圆半径 2₂倍,则∠ASB 的度数是( )A. 22.5°B. 30°C. 45°D. 60°6.(2020·中考)如图,在等腰△ABC 中, AB =AC =25,BC =8,，按下列步骤作图：①以点 A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交 AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点 E ，F 为圆心，大 12₂EF 的长为半径作弧相交于点H ，作射线AH ；②分别以点 A ，B为圆心，大 12₂AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于点O ；③以点O 为圆心线段OA 的长为半径作圆，则⊙O 的半径为( )A.25B. 10C. 4D. 57. 如图,在⊙O 中,AE 是直径,半径OC 垂直于弦AB 于点 D,连结BE,若 AB =27,CD =1,则BE 的长是( )A. 5B. 6C. 7D. 88.已知⊙O 中,弦AB 的长等于半径,P 为弦AB 所对的弧上一动点,则∠APB 的度数为( )A. 30°B. 150°C. 30°或150°D. 60°或120°9. 已知⊙O 的直径CD=10cm,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC 的长为…… ( ) A.25cm B.45cmC.25cm 或 45cmD.23cm 或 43cm10. 如图,AB为⊙O的直径,AC交⊙O于点E,BC交⊙O于点D,CD=BD,∠C=70°,现给出以下三个结论：①∠A=45°;②AC=AB;③AE=BE.其中正确的有( )A. 1个B. 2 个C. 3个D. 0个二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图,一次函数y= kx+b的图象与x轴,y轴分别相交于A,B两点,⊙O经过A,B两点,已知AB=2,则 kb的值为 .12. 如图,AB是⊙O的直径,点C,D在圆上,∠D=65°,则∠BAC等于度.13. 如图,已知矩形ABCD的边AB=3,AD=4.(1)以点 A为圆心，4为半径作圆A，则点B，C，D与圆A 的位置关系分别是;(2)若以A点为圆心作圆A，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是 .14. 如图,BC是半圆O 的直径,D,E是BC上两点,连结BD,CE 并延长交于点A,连结OD,OE.如果∠A=70°,那么∠DOE的度数为 .15. 如图所示,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,∠A=30∘,CD=23,则⊙O的半径是 .16. 如图所示,⊙O的直径AB=16cm,P是OB 中点,∠ABP=45°,则CD= cm.三、解答题(本大题有8小题，共66分)17.(6分)如图,点A,B,C都在⊙O上,OC⊥OB,点A 在劣弧BC上,且OA=AB,求∠ABC的度数.18. (6分)如图，在同一平面内，有一组平行线l₁,l₂,l₃,，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l₁上，⊙O与直线l₃的交点为A，B，AB=12,求⊙O的半径.19.(6分)如图,在△ABC的外接圆上AB,BC,CA三弧的度数比为12：13：11.在劣弧BC上取一点D，过点D分别作直线AC，直线AB的平行线，分别交 BC于E，F两点，求∠EDF的度数.20. (8分)如图,△ABC内接于⊙O，AB=AC,,D在弧AB 上,连结CD交AB 于点E,B 是弧CD 的中点,求证：∠B=∠BEC.21.(8分)已知:如图,点M是/AB的中点，过点M的弦MN交AB 于点C，设⊙O的半径为4cm,. MN=43cm.(1)求圆心 O到弦MN的距离；(2)求∠ACM的度数.22.(10分)如图，已知方格纸中每个小正方形的边长为1个单位，Rt△ABC的三个顶点A(-2,2),B(0,5),C(0,2).(1)将△ABC以C 为旋转中心旋转180°,得到△A₁B₁C,请画出△A₁B₁C;(2)平移△ABC,使点 A的对应点.A₂的坐标为(−2,−6),请画出平移后对应的图形△A₂B₂C₂;(3)若将△A₁B₁C绕某一点旋转可得到△A₂B₂C₂.请直接写出旋转中心的坐标.23.(10分)如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P 是ABC的中点.(1)求证:OP//BC;(2)如图,连结PA,PC交直径AB于点D,当(OC=DC时，求∠A的度数.24.(12分)我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦，弦心距之间的关系”如下：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等弦心距指从圆心到弦的距离如图(1)中的 OC，OC′,弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度 l请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题.如图(2)，点O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A，B，C，D.(1)求证:AB=CD.(2)若角的顶点 P 在圆上或圆内，上述结论还成立吗? 若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.第3章圆的基本性质1. A2. D3. D4. D5. C6. D7. B8. C9. C 10. A 11. 1212. 25 13. (1)B 在圆内、C 在圆外、D 在圆上(2)3<r<5 14. 40° 15. 2 16. 1417. 解:∵OA=OB,OA=AB,∴OA=OB=AB,即△OAB 是等边三角形,∴∠AOB=60°,∵OC⊥OB,∴∠COB= 90°,∴∠COA = 90°- 60°= 30°,∴∠ABC=15°.18. 解:如图,连结 OA,过点O 作OD⊥AB 于点 D.∵ AB =12,∴AD =12AB =12×12=6.相邻两条平行线之间的距离均为4,∴OD=8.在 Rt△AOD 中，∵AD =6,OD =8,∴OA =AD 2+OD = 62+82=10.∴⊙O 的半径为 10.19. 解: ∵AB ,BC ,CA 三弧的度数比为12:13:11,∴ ABm.1212+13+11×360∘=120∘,AC−m m 1112+13+11×360∘=110∘,∴∠ACB =12×120∘= 0∘,∠ABC =12×110∘=55∘,∵ACED,AB DF,∴∠FED=∠ACB=60°,∠EFD=∠ABC= 55°,∴∠EDF =180°−60°−55°=65°20. 证明:∵B 是弧 CD 的中点, ∴BC =BD ,∴∠BCE = =∠BAC.:∠BEC =180°−∠BCE,∠ACE ,=180°-∠BAC--∠B,∴∠BEC=∠ACB,∵AB=AC,∴∠B=∠ACB,∴∠B=∠BEC.21. 解:(1)连结 OM.∵点 M 是. AB 的中点,∴OM⊥AB.过点 O 作OD⊥MN 于点 D,由垂径定理,得 MD =12MN =23cm,在Rt△ODM 中,OM=4cm, MD =23cm,∴OD =OM 2−MD 2=2(cm ).故圆心 O 到弦MN 的距离为 2cm. (2)∵OD=2cm,OM=4cm,∴∠M=30°,∴∠ACM=60°.22. 解:(1)(2)图略.(3)旋转中心的坐标为(0,-2).23. (1)证明:连结AC,延长 PO 交AC 于点 H,如图,∵P 是 ABC 的中点,∴PH⊥AC,∵A B 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴BC⊥AC,∴OP∥BC. (2)解:∵P 是 ABC 的中点, P C,∴∠PAC=∠PCA,:OA=OC, ∴ ∠OA C= ∠OCA,∴∠PAO=∠C O=CD 时,设∠DCO=x,则∠OPC=x,∠PAO=x,∴∠POD =2x,∴∠ODC=∠POD+∠OP C=3x,∵CD=CO,∴∠DOC=∠ODC=3x.在△POC 中,x+x+5x=180°,解得 x =180∘7,即 ∠PAO =180∘7.24. (1)证明:过点 O 作OM⊥AB 于点M,ON⊥CD 于点 N,连结OB,OD,则∠OMB=∠OND=90°,∵PO 平分∠EPF,∴O M=ON,∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AB=CD.(2)成立.当点 P 在圆上时如图；作OM⊥PB,ON⊥PD,垂足分别为M,N,∵PC平分∠EPF,∴OM=ON,∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴PB=PD;当点P 在圆内时:过点 O作OM⊥AB,ON⊥CD,∵PO平分∠BPF,∴OM=ON.∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AB=CD.。

九年级中考数学《圆证明题》专题复习试卷及解析

九年级中考数学《圆证明题》专题复习试卷及分析九年级中考数学《圆证明题》专题复习试卷及分析1、如图，点 A，B 在⊙ O上，直线 AC是⊙ O的切线， OC⊥OB，连结 AB交 OC于点 D．求证： AC=CD．2、如图， AD是⊙ O的切线，切点为 A，AB是⊙ O的弦．过点 B 作 BC∥AD，交⊙ O于点 C，连结AC，过点 C作 CD∥AB，交 AD于点 D．连结 AO并延伸交 BC于点 M，交过点 C的直线于点P，且∠BCP=∠ ACD．(1)判断直线 PC与⊙ O的地点关系，并说明原因；(2)若 AB=9，BC=6．求 PC的长．3、如图，在△ ABC中，∠ ACB=90°，点 D 是 AB上一点，以 BD为直径的⊙ O和 AB相切于点 P．（1）求证： BP均分∠ ABC；（2）若 PC=1，AP=3，求 BC的长．14、已知：如图， AC是⊙ O的直径， BC是⊙ O的弦，点 P 是⊙ O外一点，∠ PBA=∠ C．（1）求证： PB是⊙ O的切线．（2）若 OP∥BC，且 OP=8，∠ C=60°，求⊙ O的半径．5、如图，在△ ABC中， AB=AC，以 AB为直径的⊙ O交 BC于点 M，MN⊥AC于点 N．求证： MN是⊙ O的切线．6、如图， AB是⊙ O的直径，点 C 在 AB的延伸线上， CD与⊙ O相切于点 D，CE⊥AD，交 AD的延伸线于点 E．（1）求证：∠ BDC=∠A；（2）若 CE=4，DE=2，求⊙ O的直径．7、已知： AB是⊙ O的直径， BD是⊙ O的弦，延伸 BD到点 C，使 AB=AC，连结 AC，过点 D 作DE⊥AC，垂足为 E．（ 1）求证： DC=BD（ 2）求证： DE为⊙ O的切线．8、如图， AB是⊙ O的直径， C为⊙ O上一点，经过点 C 的直线与 AB的延伸线交于点 D，连结AC，BC，∠BCD=∠CAB．E 是⊙ O上一点，弧 CB=弧 CE，连结 AE并延伸与 DC的延伸线交于点 F．（ 1）求证： DC是⊙ O的切线；（ 2）若⊙ O的半径为 3，sin D=，求线段AF的长．9、如图，已知 MN是⊙ O的直径，直线 PQ与⊙ O相切于 P 点， NP均分∠MNQ．（ 1）求证： NQ⊥PQ；（ 2）若⊙ O的半径 R=2，NP=，求NQ的长．10、已知： AB是⊙ O的直径， BD是⊙ O的弦，延伸 BD到点 C，使 AB=AC；连结 AC，过点 D作DE⊥AC，垂足为 E．(1)求证： DC=BD(2)求证： DE为⊙ O的切线11、如图，以 Rt△ABC的 AC边为直径作⊙ O交斜边 AB于点 E，连结 EO并延伸交 BC的延伸线于点 D，点 F 为 BC的中点，连结 EF和 AD．（1）求证： EF是⊙ O的切线；（2）若⊙ O的半径为 2，∠ EAC=60°，求 AD的长．12、如图， AB是⊙ O的直径，点 E 是上的一点，∠ DBC=∠ BED．⑴求证： BC是⊙ O的切线；⑵已知 AD=3， CD=2，求 BC的长．13、如图，已知 AB是⊙ O的直径，点 C、D在⊙ O上，点 E 在⊙ O外，∠ EAC=∠D=60°．（1）求∠ ABC的度数；（2）求证： AE是⊙ O的切线；（3）当 BC=4时，求劣弧 AC的长．14、已知△ ABC，以 AB为直径的⊙ O分别交 AC于 D， BC于 E，连结 ED，若 ED=EC．（1）求证： AB=AC；（2）若 AB=4，BC=2 ，求 CD的长．15、如图，以△ ABC的边 AB上一点 O为圆心的圆经过 B、C两点，且与边 AB订交于点 E，D是弧 BE的中点， CD交 AB于 F，AC=AF．（ 1）求证： AC是⊙ O的切线；（ 2）若 EF=5，DF= ，求⊙ O的半径．参照答案1、∵直线 AC与⊙ O相切，∴ OA⊥ AC，∴∠ OAC=90°，即∠ OAB+∠CAB=90°，∵OC⊥OB，∴∠BOC=90°，∴∠B+∠ODB=90°，而∠ODB=∠ADC，∴∠ADC+∠B=90°，∴OA=OB，∴∠ OAB=∠B，∴∠ ADC=∠CAB，∴ AC=CD．2、（ 1）解： PC与圆 O相切，原因为：过C点作直径CE，连结EB，如图，∵CE为直径，∴∠ EBC=90°，即∠ E+∠BCE=90°，∵ AB∥DC，∴∠ ACD=∠BAC，∵∠ BAC=∠E，∠ BCP=∠ACD．∴∠ E=∠ BCP，∴∠ BCP+∠BCE=90°，即∠ PCE=90°，∴ CE⊥ PC，∴ PC与圆 O相切；（ 2）解：∵ AD是⊙ O的切线，切点为 A，∴ OA⊥AD，∵BC∥AD，∴ AM⊥BC，∴ BM=CM= BC=3，∴ AC=AB=9，在 Rt△ AMC中，AM= =6，设⊙ O的半径为 r ，则 OC=r，OM=AM﹣r=6 ﹣r ，2 2 2 2 2 2在 Rt△ OCM中， OM+CM=OC，即 3 +（6 ﹣ r ） =r，解得 r= ，∴ CE=2r= ，OM=6 ﹣= ，∴ BE=2OM= ，∵∠ E=∠ MCP，∴ Rt △PCM∽Rt△ CEB，∴=，即=，∴ PC= 3、（ 1）证明：连结 OP，∵OP=OB，∴∠ OPB=∠OBP，∴∠ PBC=∠ OBP，∴ BP均分∠ ABC（2）作 PH⊥AB于 H．∵ PB均分∠ ABC，PC⊥BC， PH⊥AB，∴ PC=PH=1，在 Rt△ APH中， AH==2，∵∠ A=∠A，∠ AHP=∠ C=90°，∴△ APH∽△ ABC，∴=，∴=，∴ AB=3，∴ BH=AB﹣AH=，在 Rt△ PBC和 Rt△PBH中，，∴ Rt△PBC≌Rt△PBH，∴ BC=BH=．4、（ 1）证明：连结 OB，∵ AC是⊙ O直径，∴∠ ABC=90°，∵OC=OB，∴∠ OBC=∠C，∵∠ PBA=∠C，∴∠ PBA=∠OBC，即∠ PBA+∠ OBA=∠ OBC+∠ ABO=∠ABC=90°，∴ OB⊥PB，∵ OB为半径，∴ PB是⊙ O的切线；（2）解：∵ OC=OB，∠ C=60°，∴△ OBC为等边三角形，∴ BC=OB，∵ OP∥BC，∴∠ CBO=∠ POB，∴∠ C=∠POB，在△ ABC和△ PBO中∵，∴△ ABC≌△ PBO（ASA），∴ AC=OP=8，即⊙ O的半径为4．5、证明：连结 OM，∵ AB=AC，∴∠ B=∠ C，∵ OB=OM，∴∠ B=∠OMB，∴∠ OMB=∠C，∴OM∥AC，∵ MN⊥AC，∴ OM⊥MN．∵点 M在⊙ O上，∴ MN是⊙ O的切线．6、（ 1）证明：连结 OD，∵CD是⊙ O切线，∴∠ ODC=90°，即∠ ODB+∠ BDC=90°，∵AB为⊙ O的直径，∴∠ ADB=90°，即∠ ODB+∠ADO=90°，∴∠ BDC=∠ADO，∵OA=OD，∴∠ ADO=∠A，∴∠ BDC=∠A；（2）∵ CE⊥ AE，∴∠ E=∠ADB=90°，∴DB∥EC，∴∠ DCE=∠ BDC，∴∠ DCE=∠A，∵ CE=4， DE=2∴在 Rt △ACE中，可得 AE=8∴ AD=6在在 Rt △ADB中可得BD=3∴依据勾股定理可得7、证明：（ 1）连结 AD，∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ADB=90°，又∵ AB=AC，∴ DC=BD；（2）连结半径 OD，∵ OA=OB， CD=BD，∴ OD∥AC，∴∠ ODE=∠CED，又∵ DE⊥ AC，∴∠ CED=90°，∴∠ ODE=90°，即 OD⊥DE．∴ DE是⊙ O的切线．8、（ 1）证明：连结 OC，BC，∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°，即∠ 1+∠3=90°．∵OA=OC，∴∠ 1=∠ 2．∵∠ DCB=∠BAC=∠1．∴∠ DCB+∠ 3=90°．∴ OC⊥ DF．∴ DF 是⊙ O的切线；（ 2）解：在 Rt△ OCD中， OC=3，sin D=．∴ OD=5，AD=8．∵=，∴∠ 2=∠4．∴∠ 1=∠4．∴ OC∥AF．∴△ DOC∽△ DAF．∴．∴ AF=．9、（ 1）证明：连结 OP，如图，∴直线PQ与⊙ O相切，∴ OP⊥PQ，∵OP=ON，∴∠ ONP=∠ OPN，∵ NP均分∠ MNQ，∴∠ ONP=∠ QNP，∴∠ OPN=∠QNP，∴OP∥ NQ，∴ NQ⊥PQ；（ 2）解：连结 PM，如图，∵ MN是⊙ O的直径，∴∠ MPN=90°，∵NQ⊥PQ，∴∠ PQN=90°，而∠ MNP=∠ QNP，∴ Rt △NMP∽Rt△ NPQ，∴=，即=，∴ NQ=3．10、（ 1）证明：（ 1）连结 AD；∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ADB=90°．又∵ AB=AC∴ DC=BD（2）连结半径 OD；∵ OA=OB， CD=BD，∴ OD∥AC．∴∠ 0DE=∠CED．又∵ DE⊥ AC，∴∠ CED=90°．∴∠ ODE=90°，即 OD⊥DE．∴ DE是⊙ O的切线．11、（ 1）证明：连结 CE，如下图：∵AC为⊙ O的直径，∴∠ AEC=90°．∴∠ BEC=90°．∵点F 为 BC的中点，∴ EF=BF=CF．∴∠ FEC=∠FCE．∵OE=OC，∴∠ OEC=∠OCE．∵∠ FCE+∠ OCE=∠ ACB=90°，∴∠ FEC+∠OEC=∠OEF=90°．∴ EF是⊙ O的切线．（ 2）解：∵ OA=OE，∠EAC=60°，∴△ AOE是等边三角形．∴∠ AOE=60°．∴∠COD=∠AOE=60°．∵⊙ O的半径为 2，∴ OA=OC=2在 Rt △OCD中，∵∠ OCD=90°，∠ COD=60°，∴∠ ODC=30°．∴ OD=2OC=4，∴ CD=．在Rt△ ACD中，∵∠ ACD=90°，AC=4，CD=．∴AD==．12、1）AB是⊙ O的直径，得∠ ADB=90°，进而得出∠ BAD=∠DBC，即∠ ABC=90°，即可证明BC是⊙ O的切线；（ 2）可证明△ ABC∽△ BDC，则=，即可得出BC=；13、解：（ 1）∵∠ ABC与∠ D 都是弧 AC所对的圆周角，∴∠ ABC=∠D=60°；（ 2）∵ AB是⊙ O的直径，∴∠ ACB=90°．∴∠ BAC=30°，∴∠ BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，即 BA⊥AE，∴ AE是⊙ O的切线；（ 3）如图，连结 OC，∵∠ ABC=60°，∴∠ AOC=120°，∴劣弧 AC的长为．14、（ 1）证明：∵ ED=EC，∴∠ EDC=∠ C，∵∠ EDC=∠B，∴∠ B=∠C，∴ AB=AC；（2）解：连结 AE，∵ AB为直径，∴ AE⊥BC，由（ 1）知 AB=AC，∴ BE=CE= BC=，九年级中考数学《圆证明题》专题复习试卷及分析九年级中考数学《圆证明题》专题复习试卷及分析∵△ CDE∽△ CBA，∴，∴ CE?CB=CD?CA，AC=AB=4，∴?2 =4CD，∴ CD= ．15、（ 1）证明：连结 OD、 OC，如图，∵ D 是弧 BE的中点，∴ OD⊥BE，∴∠ D+∠3=90°，∵∠ 3=∠ 2，∴∠ D+∠2=90°，∵ AF=AC，OD=OC，∴∠ 1=∠2，∠ D=∠ 4，∴∠ 1+∠ 4=90°，∴ OC⊥AC，∴ AC是⊙ O的切线；（ 2）解：设⊙ O的半径为 r ，则 OF=OE﹣ EF=r﹣5，22222 2在 Rt△ ODF中，∵ OD+OF=DF，∴ r +（ r ﹣ 5） =（），整理得 r 2﹣5r ﹣ 6=0，解得 r 1 =6，r 2=﹣1，∴，⊙ O的半径为 6．10。

九年级圆知识点及习题(含答案)

圆圆的有关概念与性质1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。

2.圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

3.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

5.同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半。

6.直径所对的圆周角是 90°，90°所对的弦是直径。

7.三角形的三个顶点确定 1 个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫外心，是三角形三边垂直平分线的交点。

8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的交点，叫做三角形的内心。

9.圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．10.圆内接四边形对角互补，它的一个外角等于它相邻内角的对角与圆有关的位置关系1.点与圆的位置关系共有三种：①点在圆外，②点在圆上，③点在圆内；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：①d > r，②d = r，③d < r.2.直线与圆的位置关系共有三种：①相交，②相切，③相离；对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为：①d < r，②d = r，③d > r.3.圆与圆的位置关系共有五种：①内含，②相内切，③相交，④相外切，⑤外离；两圆的圆心距d和两圆的半径R、r（R≥r）之间的数量关系分别为：①d < R-r，②d = R-r，③ R-r < d < R+ r，④d = R+r，⑤d > R+r.4.圆的切线垂直于过切点的半径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.5.从圆外一点可以向圆引 2 条切线，切线长相等，这点与圆心之间的连线平分这两条切线的夹角。

初三圆的证明专题训练（答案）

初三圆的证明专题训练（答案）初三圆的证明专题训练（答案）下载试卷⽂档前说明⽂档：1、试题左侧⼆维码为该题⽬对应解析；2、请同学们独⽴解答题⽬，⽆法完成题⽬或者对题⽬有困惑的，扫描⼆维码查看解析，杜绝抄袭；3、只有⽼师通过组卷⽅式⽣成的⼆维码试卷，扫描出的解析页⾯才有“求⽼师讲解”按钮，菁优⽹原有的真题试卷、电⼦书上的⼆维码试卷扫出的页⾯⽆此按钮。

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图标查看学⽣扫描的⼆维码统计图表，以便确定讲解第1页 xx年04⽉19⽇九年级数学组的初中数学组卷 (扫描⼆维码可查看试题解析)⼀、解答题1、如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB、求证：直线BF是⊙O的切线；若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长、2、如图，四边形OABC是平⾏四边形，以O为圆⼼，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE 是⊙O的切线，解答下列问题：求证：CD是⊙O的切线；若BC=3，CD=4，求平⾏四边形OABC的⾯积、3、如图，点D为⊙O上⼀点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD、判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理、过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE 的长、第2页4、如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平⾏四边形、求AD的长； BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理、5、如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上⼀点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC 的延长线交于点P、求证：AP是⊙O的切线； OC=CP，AB=6，求CD的长、6、如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB 的弦，垂⾜为E，过点C作DA的平⾏线与AF相交于点F，CD=四边形FADC是菱形； FC是⊙O的切线、，BE=2、求证：第3页7、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上⼀点，OD⊥B C 于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE、求证：BE与⊙O相切；连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长、8、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A 作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC、猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论、求证：PC是⊙O的切线、9、如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上⼀点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G、求证：AE?FD=AF?EC；求证：FC=FB；若FB=FE=2，求⊙O的半径r 的长、第4页10、已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A、求证：CD为⊙O的切线；过点C作CE⊥AB于E、若CE=2，cosD=，求AD的长、11、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP、求证：直线CP是⊙O的切线、若BC=2 ，sin∠BCP= ，求点B 到AC的距离、在第的条件下，求△ACP的周长、12、如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂⾜为点E、求证：DE为⊙O的切线；2 求证：BD=AB?BE、第5页13、如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上⼀点，且AC平分∠PAE，过C作CD丄PA，垂⾜为D、求证：CD为⊙O的切线；若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长度、14、如图，已知△ABC，以BC为直径，O为圆⼼的半圆交AC 于点F，点E为的中点，连接BE交AC于点M，AD为△ABC的⾓平分线，且AD⊥BE，垂⾜为点H、求证：AB是半圆O的切线；若AB=3，BC=4，求BE的长、15、如图，D为⊙O上⼀点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD、求证：CD是⊙O的切线；过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=6，tan∠CDA=，求BE的长、第6页16、如图所⽰，P是⊙O外⼀点，PA是⊙O的切线，A是切点，B是⊙O 上⼀点，且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q、求证：PB是⊙O的切线；求证：AQ?PQ=OQ?BQ；设∠AOQ=α，若，OQ=15，求AB的长、17、如图，C是以AB为直径的⊙O上⼀点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P、求证：PC是⊙O的切线、若AF=1，OA=，求PC的长、第7页 xx年04⽉19⽇九年级数学组的初中数学组卷参考答案与试题解析⼀、解答题1、如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB、求证：直线BF是⊙O的切线；若AB=5，sin∠CBF= ，求BC和BF的长、考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周⾓定理；相似三⾓形的判定与性质；解直⾓三⾓形、专题：⼏何综合题、分析：连接AE，利⽤直径所对的圆周⾓是直⾓，从⽽判定直⾓三⾓形，利⽤直⾓三⾓形两锐⾓相等得到直⾓，从⽽证明∠ABF= 90、利⽤已知条件证得△AGC∽△ABF，利⽤⽐例式求得线段的长即可、解答：证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90，∴∠1+∠2=90、∵AB=AC，∴∠1=∠CAB、∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF ∴∠CBF+∠2=90 即∠ABF=90 ∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线、解：过点C作CG⊥AB于G、第8页∵sin∠CBF=∴sin∠1=，，∠1=∠CBF，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90，AB=5，∴BE=AB?sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，勾股定理得AE=∴sin∠2===，cos∠2===， =2，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴∴BF= = 点评：本题考查常见的⼏何题型，包括切线的判定，⾓的⼤⼩及线段长度的求法，要求学⽣掌握常见的解题⽅法，并能结合图形选择简单的⽅法解题、2、如图，四边形OABC是平⾏四边形，以O为圆⼼，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，若CE 是⊙O的切线，解答下列问题：求证：CD是⊙O的切线；若BC=3，CD=4，求平⾏四边形OABC的⾯积、考点：切线的判定与性质；全等三⾓形的判定与性质；平⾏四边形的性质、专题：证明题、第9页分析：连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90，根据切线的判定推出即可；根据全等三⾓形的性质求出CE=CD=4，根据平⾏四边形性质求出OA=3，根据平⾏四边形的⾯积公式求出即可、解答：证明：连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠A，∵四边形OABC 是平⾏四边形，∴OC∥AB，∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC，在△EOC和△DOC中∴△EOC≌△DOC，∴∠ODC=∠OEC=90，即OD⊥DC，∴CD是⊙O的切线；解：∵△EOC≌△DOC，∴CE=CD=4，∵四边形OABC是平⾏四边形，∴OA=BC=3，∴平⾏四边形OABC的⾯积S=OACE=34= 12、点评：本题考查了全等三⾓形的性质和判定，切线的判定，平⾏四边形的性质的应⽤，解此题的关键是推出△EOC≌△DOC、3、如图，点D为⊙O上⼀点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD、判断直线CD和⊙O的位置关系，并说明理、过点B作⊙O的切线BE交直线CD于点E，若AC=2，⊙O的半径是3，求BE 的长、第10页考点：切线的判定与性质、专题：⼏何图形问题、分析：连接OD，根据圆周⾓定理求出∠DAB+∠DBA=90，求出∠CDA+∠ADO=90，根据切线的判定推出即可；根据勾股定理求出DC，根据切线长定理求出DE=EB，根据勾股定理得出⽅程，求出⽅程的解即可、解答：解：直线CD和⊙O的位置关系是相切，理是：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90，∴∠DAB+∠DBA=90，∵∠CDA=∠CBD，∴∠DAB+∠CDA=90，∵OD=OA，∴∠DAB=∠ADO，∴∠CDA+∠ADO=90，即OD⊥CE，∴直线CD是⊙O的切线，即直线CD和⊙O的位置关系是相切；∵AC=2，⊙O 的半径是3，∴OC=2+3=5，OD=3，在Rt△CDO中，勾股定理得：CD=4，∵CE切⊙O于D，EB切⊙O于B，∴DE=EB，∠CBE=90，设DE=EB=x，在Rt△CBE中，勾股定理得：CE=BE+BC，222则=x+，解得：x=6，即BE=6、222第11页点评：本题考查了切线的性质和判定，勾股定理，切线长定理，圆周⾓定理，等腰三⾓形的性质和判定的应⽤，题⽬⽐较典型，综合性⽐较强，难度适中、4、如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平⾏四边形、求AD的长； BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理、考点：切线的判定与性质；直⾓三⾓形斜边上的中线；平⾏四边形的性质、专题：计算题、分析：连接BD，ED为圆O的直径，利⽤直径所对的圆周⾓为直⾓得到∠DBE为直⾓，BCOE为平⾏四边形，得到BC与OE平⾏，且BC=OE=1，在直⾓三⾓形ABD中，C为AD的中点，利⽤斜边上的中线等于斜边的⼀半求出AD的长即可；连接OB，BC与OD平⾏，BC=OD，得到四边形BCDO为平⾏四边形，AD为圆的切线，利⽤切线的性质得到OD垂直于AD，可得出四边形BCDO 为矩形，利⽤矩形的性质得到OB垂直于BC，即可得出BC为圆O的切线、解答：解：连接BD，∵DE是直径∴∠DBE=90，∵四边形BCOE为平⾏四边形，∴BC∥OE，BC=OE=1，在Rt△ABD中，C为AD的中点，∴BC=AD=1，则AD=2；是，理如下：如图，连接OB、∵BC∥OD，BC=OD，∴四边形BCDO为平⾏四边形，∵AD 为圆O的切线，∴OD⊥AD，第12页∴四边形BCDO为矩形，∴OB⊥BC，则BC为圆O 的切线、点评：此题考查了切线的判定与性质，直⾓三⾓形斜边上的中线性质，以及平⾏四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键、5、如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上⼀点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC 的延长线交于点P、求证：AP是⊙O的切线； OC=CP，AB=6，求CD的长、考点：切线的判定与性质；解直⾓三⾓形、分析：连接AO，AC、欲证AP是⊙O的切线，只需证明OA⊥AP即可；利⽤中切线的性质在Rt△OAP中利⽤边⾓关系求得∠ACO=60、然后在Rt△BAC、Rt△ACD中利⽤余弦三⾓函数的定义知AC=2，CD=4、解答：证明：连接AO，AC、∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=∠CAD=90、∵E是CD的中点，∴CE=DE=AE、∴∠ECA=∠EAC、∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA、∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC、∴∠ECA+∠OCA=90、∴∠EAC+∠OAC=90、∴OA⊥AP、∵A是⊙O上⼀点，∴AP是⊙O的切线；第13页解：知OA⊥AP、在Rt△OAP中，∵∠OAP=90，OC=CP=OA，即OP=2OA，∴sinP==，∴∠P=30、∴∠AOP=60、∵OC=OA，∴∠ACO=60、在Rt△BAC中，∵∠BAC=90，AB=6，∠ACO=60，∴AC==2，⼜∵在Rt△ACD中，∠CAD=90，∠ACD=90﹣∠ACO=30，∴CD===4、点评：本题考查了切线的判定与性质、解直⾓三⾓形、注意，切线的定义的运⽤，解题的关键是熟记特殊⾓的锐⾓三⾓函数值、6、如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB 的弦，垂⾜为E，过点C作DA的平⾏线与AF相交于点F，CD=，BE=2、求证：四边形FADC是菱形； FC是⊙O的切线、考点：切线的判定与性质；菱形的判定、专题：压轴题、分析：⾸先连接OC，垂径定理，可求得CE的长，⼜勾股定理，可求得半径OC的长，然后勾股定理求得AD的长，即可得AD=CD，易证得四边形FADC是平⾏四边形，继⽽证得四边形FADC是菱形；第14页⾸先连接OF，易证得△AFO≌△CFO，继⽽可证得FC 是⊙O的切线、解答：证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=4=2，设OC=x，∵BE=2，∴OE=x﹣2，222在Rt△OCE中，OC=OE+CE，222∴x=+，解得：x=4，∴OA=OC=4，OE=2，∴AE=6，在Rt△AED中，AD=∴AD=CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平⾏四边形，∵AD=CD，∴平⾏四边形FADC是菱形；连接OF，AC，∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA，∵AO=CO，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，即∠OCF=∠OAF=90，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线、 =4，第15页点评：此题考查了切线的判定与性质、菱形的判定与性质、垂径定理、勾股定理以及全等三⾓形的判定与性质、此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应⽤、7、已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上⼀点，OD⊥BC 于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE、求证：BE与⊙O相切；连接AD并延长交BE于点F，若OB=9，sin∠ABC=，求BF的长、考点：切线的判定与性质；相似三⾓形的判定与性质；解直⾓三⾓形、专题：⼏何综合题、分析：连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从⽽可证得结论、过点D作DH⊥AB，根据sin∠ABC=，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后△ADH∽△AFB，利⽤相似三⾓形的性质得出⽐例式即可解出BF的长、解答：证明：连接OC，第16页∵OD⊥BC，∴∠COE=∠BOE，在△O CE和△OBE 中，∵，∴△OCE≌△OBE，∴∠OBE=∠OCE=90，即OB⊥BE，∵OB 是⊙O半径，∴BE与⊙O相切、过点D作DH⊥AB，连接AD 并延长交BE于点F，∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90，∴△ODH∽△OBD，∴== ⼜∵sin∠ABC=，OB=9，∴OD=6，易得∠ABC=∠ODH，∴sin∠ODH=，即∴OH=4，∴DH==2， =，⼜∵△ADH∽△AFB，∴=，=，第17页∴FB=、点评：此题考查了切线的判定与性质、相似三⾓形的判定与性质，解答本题的关键是掌握切线的判定定理，在第⼆问的求解中，⼀定要注意相似三⾓形的性质的运⽤、8、如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A 作⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC、BC、猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论、求证：PC是⊙O的切线、考点：切线的判定与性质；全等三⾓形的判定与性质；三⾓形中位线定理；圆周⾓定理、分析：根据垂径定理可以得到D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，根据三⾓形的中位线定理可以得到OD∥BC，CD=BC；连接OC，设OP与⊙O交于点E，可以证得△OAP≌△OCP，利⽤全等三⾓形的对应⾓相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90，即OC⊥PC，即可等证、解答：猜想：OD∥BC，OD=BC、证明：∵OD⊥AC，∴AD=DC ∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB…2分∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，OD=BC 证明：连接OC，设OP与⊙O交于点E、∵OD⊥AC，OD经过圆⼼O，∴，即∠AOE=∠COE 在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP，∴∠OCP=∠OAP第18页∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90、∴∠OCP=90，即OC⊥PC ∴PC是⊙O的切线、点评：本题考查了切线的性质定理以及判定定理，三⾓形的中位线定理，证明圆的切线的问题常⽤的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题、9、如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上⼀点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G、求证：AE?FD=AF?EC；求证：FC=FB；若FB=FE=2，求⊙O的半径r 的长、考点：切线的判定与性质；等腰三⾓形的性质；等腰三⾓形的判定；直⾓三⾓形斜边上的中线；勾股定理；圆周⾓定理；相似三⾓形的判定与性质、专题：证明题；⼏何综合题；压轴题、分析：BD是⊙O的切线得出∠DBA=90，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出⽐例式即可；连接OC，BC，证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直⾓三⾓形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可；求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，求出∠FCB=∠CAB22推出CG是⊙O切线，切割线定理得出=BGAG=2BG，在Rt△BFG中，2222勾股定理得出BG=FG﹣BF，推出FG﹣4FG﹣12=0，求出FG即可、解答：证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠DBA=90，∵CH⊥AB，∴CH∥BD，第19页∴△AEC∽△AFD，∴=，∴AE?FD=AF?EC、证明：连接OC，BC，∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，∴=∴=，==，，∵CE=EH，∴BF=DF，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠DCB=90，∵BF=DF，∴CF=DF=BF，即CF=BF、解：∵BF=CF=DF，EF=BF=2，∴EF=FC，∴∠FCE=∠FEC，∵∠AHE=∠CHG=90，∴∠FAH+∠AEH=90，∠G+∠GCH=90，∵∠AEH=∠CEF，∴∠G=∠FAG，∴AF=FG，∵FB⊥AG，∴AB=BG，∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB，∵OC=OA，CF=BF，∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC，∴∠FCB=∠CAB，∵∠ACB=90，∴∠ACO+∠BCO=90，∴∠FCB+∠BCO=90，即O C⊥CG，∴CG是⊙O切线，∵GBA是⊙O割线，AB=BG， FB=FE=2，22∴切割线定理得：=BGAG=2BG，第20页在Rt△BFG中，勾股定理得：BG=FG﹣BF，2∴FG﹣4FG﹣12=0，解得：FG=6，FG=﹣2，勾股定理得：AB=BG=∴⊙O的半径是2=4、，222 点评：本题考查了切线的性质和判定，相似三⾓形的性质和判定，等腰三⾓形的性质和判定，直⾓三⾓形斜边上中线的性质，圆周⾓定理，勾股定理等知识点的综合运⽤，题⽬综合性⽐较强，有⼀定的难度、10、已知：如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠A、求证：CD为⊙O的切线；过点C作CE⊥AB于E、若CE=2，cosD=，求AD的长、考点：切线的判定与性质；圆周⾓定理；解直⾓三⾓形、分析：先连接CO，根据AB是⊙O直径，得出∠1+∠OCB=90，再根据AO=CO，得出∠1=∠A，最后根据∠4=∠A，证出OC⊥CD，即可得出CD为⊙O的切线；根据OC⊥CD，得出∠3+∠D=90，再根据CE⊥AB，得出∠3+∠2=90，从⽽得出cos∠2=cosD，再在△OCD中根据余弦定理得出CO的值，最后根据⊙O的半径为，即可得出AD 的长、解答：证明：连接CO，∵AB是⊙O直径∴∠1+∠OCB=90，∵AO=CO，∴∠1=∠A、第21页∵∠4=∠A，∴∠4+∠OCB=90、即∠OCD=90、∴OC⊥CD、⼜∵OC是⊙O半径，∴CD为⊙O的切线、∵OC⊥CD于C，∴∠3+∠D=90、∵CE⊥AB于E，∴∠3+∠2=90、∴∠2=∠D、∴cos∠2=cosD，在△OCD中，∠OCD=90，∴cos∠2=，∵cosD=，CE=2，∴=，tanD=∴CO=，∴⊙O的半径为、 =，∴OD===， AD=、点评：本题考查了切线的判定与性质，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆⼼与这点，再证垂直即可，同时考查了三⾓函数的知识、11、如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP、求证：直线CP是⊙O的切线、第22页若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离、在第的条件下，求△ACP的周长、考点：切线的判定与性质；等腰三⾓形的性质；勾股定理；相似三⾓形的判定与性质；解直⾓三⾓形、专题：⼏何综合题；压轴题、分析：根据∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180，得到2∠BCP+2∠BCA=180，从⽽得到∠BCP+∠BCA=90，证得直线CP是⊙O的切线、作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从⽽利⽤sin∠BCP=sin∠DBC===，求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4、先求出AC的长度，然后利⽤BD∥PC的⽐例线段关系求得CP的长度，再勾股定理求出AP的长度，从⽽求得△ACP的周长、解答：解：∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180 ∴2∠BCP+2∠BCA=180，∴∠BCP+∠BCA=90，⼜C点在直径上，∴直线CP是⊙O的切线、如右图，作BD⊥AC于点D，∵PC⊥AC ∴BD∥PC∴∠PCB=∠DBC ∵BC=2，sin∠BCP==， =，∴sin∠BCP=sin∠DBC=解得：DC=2，∴勾股定理得：BD=4，∴点B到AC的距离为4、如右图，连接AN，∵AC为直径，∴∠AN C=90，第23页∴Rt△ACN中，AC==5，⼜CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3、∵BD∥CP，∴∴CP=，、 ==20，，在Rt△ACP中，AP=AC+CP+AP=5++∴△ACP的周长为20、点评：本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点⽐较多，难度较⼤、12、如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂⾜为点E、求证：DE为⊙O的切线；2 求证：BD=AB?BE、考点：切线的判定与性质；圆周⾓定理；相似三⾓形的判定与性质、专题：证明题、分析：连接OD、BD，根据圆周⾓定理可得∠ADB=90，继⽽得出点D是AC 中点，判断出OD是三⾓形ABC的中位线，利⽤中位线的性质得出∠ODE=90，这样可判断出结论、2根据题意可判断△BED∽△BDC，从⽽可得BD=BC?BE，将BC替换成AB即可第24页得出结论、解答：证明：连接OD、BD，则∠ADB=90，∵BA=BC，∴CD=AD，⼜∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵∠DEB=90，∴∠ODE=90，即OD⊥DE，故可得DE为⊙O的切线；。

第3章圆的基本性质浙教版数学九年级上册测试(含答案)

浙教版数学九年级上册第三章圆的基本性质一、选择题1．下列说法正确的是（）A．三个点可以确定一个圆B．半圆（或直径）所对的圆周角是直角C．相等的圆心角所对的弧相等D．长度相等的弧是等弧2．已知一个扇形的面积是24π，弧长是2π，则这个扇形的半径为（）A．24B．22C．12D．63．如图，点A、B、C在⊙O上，∠C=40∘，则∠AOB的度数是（）A．50∘B．60∘C．70∘D．80∘4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（）A．5B．5C．25D．65．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数是（）A．28°B．30°C．36°D．56°6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA=50°，AB=4，则BC的长为（）A ．103πB ．109πC ．59πD ．518π7．如图， AB 是半圆O 的直径，点C ，D 在半圆O 上．若 ∠ABC =50° ，则 ∠BDC 的度数为（）A ．90°B ．100°C ．130°D ．140°8．如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，若⊙O 的周长等于6π，则正六边形的边长为（）A ．3B ．6C ．3D ．239．如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，阅读以下作图过程：①作直径AF ；②以点F 为圆心，FO 为半径作圆弧，与⊙O 交于点M ，N ；③连接AM ，MN ，AN ．结论Ⅰ：△AMN 是等边三角形；结论Ⅱ：从点A 开始，以DN 长为半径，在⊙O 上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正十八边形．对于结论Ⅰ和结论Ⅱ，下列判断正确的是（）A ．Ⅰ和Ⅱ都对B ．Ⅰ和Ⅱ都不对C．Ⅰ不对Ⅱ对D．Ⅰ对Ⅱ不对10．如图，抛物线y＝x2﹣8x+15与x轴交于A、B两点，对称轴与x轴交于点C，点D（0，﹣2），点E （0，﹣6），点P是平面内一动点，且满足∠DPE＝90°，M是线段PB的中点，连接CM．则线段CM的最大值是（）A．3B．412C．72D．5二、填空题11．如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝ °．12．如图，AB、AC是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC= ．13．如图，四边形ABCD内接于⊙O ，若四边形ABCD的外角∠DCE=65°，则∠BAD的度数是．14．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE.若∠D＝70°，则∠EAC的度数为 .15．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的割圆术：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为．的面积，可得π的估计值为33216．如图，点M(2,0)、N(0,4)，以点M为圆心5为半径作⊙M交y轴于A、B两点，点C为⊙M上一动点，连接CN，取CN中点D，连接AD、BD，则A D2+B D2的最大值为．三、解答题17．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，AD=BD，∠CAB=32°．求∠ACD的度数．18．如图，OC为⊙O的半径，弦AB⊥OC于点D，OC＝10，CD＝4，求AB的长．19．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于坐标原点O成中心对称，则B1的坐标为__________；（2）BC与B1C1的位置和数量关系为___________；（3）将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2(―1,―2)，B2(1,―3)，C2(0,―5)，则旋转中心的坐标为___________．20．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，（1）求∠ACB的度数；（2）求BC的长；（3）求AD，BD的长．21．如图，AB是⊙O的直径，C是⏜BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF．（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．22．如图所示，AB为☉O的直径，AC是☉O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊥AC于点E，交AB的延长线于点F，连接DA.（1）若AB=90 cm，则圆心O到EF的距离是多少?说明你的理由.（2）若DA=DF=63，求阴影部分的面积(结果保留π).23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB=10，AE=8，点P为AB上任意一点，（点P不与A､B重合），连结CP并延长与⊙O交于点Q，连QD，PD，AD．（1）求CD的长．（2）若CP=PQ，直接写出AP的长．（3）①若点P在A，E之间（点P不与点E重合），求证：∠ADP=∠ADQ．②若点P在B，E之间（点P不与点E重合），求∠ADP与∠ADQ满足的关系．答案解析部分1．【答案】B2．【答案】A3．【答案】D4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】C9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】3512．【答案】513．【答案】65°14．【答案】15°15．【答案】316．【答案】49217．【答案】61°18．【答案】1619．【答案】（1）(2,2)；（2）平行且相等；（3）(0,―1)．20．【答案】（1）∠ACB=90°（2）BC=8cm（3）BD=AD=52cm21．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠ECB=90°-∠ABC，又∵C是BD的中点，∴CD=BC，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF= BF；（2）解：∵BC=CD，∴BC=CD=6．在Rt△ABC中，AB= BC2+AC2=62+82=10，∴⊙O的半径为5；∵S△ABC= 12AB×CE= 12BC×AC，∴CE= BC×ACAB =6×810=245.22．【答案】（1）解：如图所示，连接OD，∵D为BC的中点，∴∠CAD=∠BAD.∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO.∴∠CAD=∠ADO.∴OD∥AE.∵DE⊥AC，∴OD⊥EF.∴OD的长是圆心O到EF的距离.∵AB=90 cm，∴OD=12AB=45 cm.（2）解：如图所示，过点O作OG⊥AD交AD于点G.∵DA=DF，∴∠F=∠BAD.由(1)，得∠CAD=∠BAD，∵∠F+∠BAD+∠CAD=90°，∴∠F=∠BAD=∠CAD=30°.∴∠BOD=2∠BAD=60°，OF=2OD.∵在Rt△ODF中，OF2-OD2=DF2，∴(2OD)2-OD2=(63)2，解得OD=6.在Rt△OAG中，OA=OD=6，∠OAG=30°，AG=OA2―O G2=33，AD=23，S△AOD=1×63×3=93.2+93=6π+93.∴S阴影=S扇形OBD+S△AOD=60π×6236023．【答案】（1）解：连接OD，∵直径AB=10，AE=8，∴BE=2.∴OE=5-2=3.又∵AB⊥CD，在Rt△PED中，P D2=P E2+E D2∴ED=52―32=4∴CD=2ED=8（2）解：若CP=PQ，则点P与点O重合，或点P与点E重合．所以AP=5或8（3）解：①连接AC，由图可知∠ACQ=∠ADQ，因为AB是⊙O的直径，AB⊥CD，所以CE=DE，即AB是CD的垂直平分线，所以AC=AD，PC=PD，因为AP=AP，所以∠ACP=∠ADP ，所以∠ADP=∠ADQ ．②∠ADP+∠ADQ=180°．理由如下：连接AC ，因为AB 是直径，AB ⊥CD ，所以AC=AD ，CE=DE ，所以△ACP ≌△ADP （SSS ），所以∠ACP=∠ADP ，因为∠ACP=12ADQ ，∠ADQ=12ACQ ，所以∠ACP+∠ADQ=12（ADQ +ACQ ）=180°．。

浙江省2019-2020学年九年级上册数学《圆的基本性质》试题分类——解答题(含答案)

2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《圆的基本性质》试题分类——解答题1．（2019秋•拱墅区校级期末）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．（1）若∠ABD＝α，求∠BDC（用α表示）；（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，∠CAD＝β，求∠ACE（用β表示）；（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长．2．（2019秋•柯桥区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E 是BA延长线上一点，∠DAE＝105°．（1）求∠CAD的度数；（2）若⊙O的半径为4，求弧BC的长．3．（2019秋•江干区期末）如图，在⊙O中，过半径OD的中点C作AB⊥OD交⊙O于A、B两点，且AB=2√3．（1）求OD的长；（2）计算阴影部分的面积．4．（2019秋•丽水期末）如图，半圆O的直径AB＝10，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，求AP的长．5．（2019秋•奉化区期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．6．（2019秋•义乌市期末）如图，已知AB为半圆O的直径，AC，AD为弦，且AD平分∠BAC．（1）若∠ABC＝28°，求∠CBD的度数；（2）若AB＝6，AC＝2，求AD的长．7．（2019秋•义乌市期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）（1）画出△ABC关于原点对称的△A′B′C′；（2）将△A′B′C′绕A′顺时针旅转90°画出旅转后得到的△A″B″C″并直接写出此过程中线段A′C′扫过图形的面积（结果保留π）．8．（2019秋•鄞州区期末）已知：如图，在半圆O中，直径AB的长为6，点C是半圆上一点，过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D，交弦BC于点E．（1）求证：∠D＝∠ABC；（2）记OE＝x，OD＝y，求y关于x的函数表达式；（3）若OE＝CE，求图中阴影部分的面积．9．（2019秋•西湖区期末）如图，在⊙O中，弦BC垂直于半径OA，垂足为E，D是优弧BC上一点，连接BD，AD，OC，∠ADB＝30°．（1）求∠AOC的度数；（2）若弦BC＝8cm，求图中劣弧BC的长．10．（2019秋•下城区期末）如图，MB ，MD 是⊙O 的两条弦，点A ，C 分别在MM ̂，MM ̂上，且AB ＝CD ，M 是MM̂的中点．（1）求证：MB ＝MD ；（2）过O 作OE ⊥MB 于点E ，当OE ＝1，MD ＝4时，求⊙O 的半径．11．（2019秋•温州期末）如图，点A 、B 、C 、D 、E 都在⊙O 上，AC 平分∠BAD ，且AB ∥CE ，求证：MM̂=MM ̂．12．（2019秋•温州期末）如图，已知△ABO 中A （﹣1，3），B （﹣4，0）．（1）画出△ABO 绕着原点O 按顺时针方向旋转90°后的图形，记为△A 1B 1O ；（2）求第（1）问中线段AO 旋转时扫过的面积．13．（2019秋•吴兴区期末）如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2√3．点P ，Q 分别是BC ，AD 边上的一个动点，连结BQ ，以P 为圆心，PB 长为半径的⊙P 交线段BQ 于点E ，连结PD ．（1）若DQ =√3且四边形BPDQ 是平行四边形时，求出⊙P 的弦BE 的长；（2）在点P ，Q 运动的过程中，当四边形BPDQ 是菱形时，求出⊙P 的弦BE 的长，并计算此时菱形与园重叠部分的面积．14．（2019秋•瑞安市期末）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，在BC 上取一点D 使AD ＝BD ，连结AD ，作△ACD 的外接圆⊙O ，交AB 于点E ．（1）求证：AE ＝BE ；（2）若CD ＝3，AB ＝4√5，求AC 的长．15．（2019秋•温州期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E两点，过点D 作DH ⊥AC 于点H ．（1）求证：BD ＝CD ；（2）连结OD 若四边形AODE 为菱形，BC ＝8，求DH 的长．16．（2019春•余姚市期末）如图，4×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，A ，B ，C 均为格点．在下列各图中画出四边形ABCD ，使点D 也为格点，且四边形ABCD 分别符合下列条件：（1）是中心对称图形（画在图1中）．（2）是轴对称图形（画在图2中）．（3）既是轴对称图形，又是中心对称图形（画在图3中）．17．（2019秋•萧山区期末）如图，在⊙O 中，AB ＝AC ．（1）求证：OA 平分∠BAC ．（2）若MM ̂：MM ̂=3：2，试求∠BAC 的度数．18．（2020春•西湖区期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C 按照如图①的方式叠放在一起（∠A ＝30°，∠ABC ＝60°，∠E ＝∠EDC ＝45°），且三角板ACB 的位置保持不动．（1）将三角板DCE 绕点C 按顺时针方向旋转至图②，若∠ACE ＝60°，求∠DCB 的度数．（2）将三角板DCE 绕点C 按顺时针方向旋转，当旋转到ED ∥AB 时，求∠BCE 的度数（请先在备用图上补全相应的图形）．（3）当0°＜∠BCE ＜180°且点E 在直线BC 的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠BCE 所有可能的值；若不存在，请说明理由．19．（2019秋•吴兴区期末）如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连结BC ．（1）求证：AE ＝ED ；（2）若AB ＝8，∠CBD ＝30°，求图中阴影部分的面积．20．（2019秋•瑞安市期末）如图，Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，以OA 为半径的⊙O 交BO 于点C ，交BO 延长线于点D ．在⊙O 上取一点E ，且MM̂=MM ̂，延长DE 与BA 交于点F ．（1）求证：△BDF 是直角三角形；（2）连接AC ，AC ＝2√10，OC ＝2BC ，求AF 的长．2019--2020学年浙江省九年级上册数学（浙教版）《圆的基本性质》试题分类——解答题参考答案与试题解析一．解答题（共20小题）1．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接AD ，如图1所示：设∠BDC ＝γ，∠CAD ＝β，则∠CAB ＝∠BDC ＝γ，∵点C 为弧ABD 中点，∴MM̂=MM ̂， ∴∠ADC ＝∠CAD ＝β，∴∠DAB ＝β﹣γ，∵AB 为⊙O 直径，∴∠ADB ＝90°，∴γ+β＝90°，∴β＝90°﹣γ，∴∠ABD ＝90°﹣∠DAB ＝90°﹣（β﹣γ）＝90°﹣90°+γ+γ＝2γ，∴∠ABD ＝2∠BDC ，∴∠BDC =12∠ABD =12α；（2）连接BC ，如图2所示：∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB ＝90°，即∠BAC +∠ABC ＝90°，∵CE ⊥AB ，∴∠ACE +∠BAC ＝90°，∴∠ACE ＝∠ABC ，∵点C 为弧ABD 中点，∴MM̂=MM ̂， ∴∠ADC ＝∠CAD ＝∠ABC ＝β，∴∠ACE ＝β；（3）连接OC ，如图3所示：∴∠COB ＝2∠CAB ，∵∠ABD ＝2∠BDC ，∠BDC ＝∠CAB ，∴∠COB ＝∠ABD ，∵∠OHC ＝∠ADB ＝90°，∴△OCH ∽△ABD ，∴MM MM =MM MM =12， ∴BD ＝2OH ＝10，∴AB =√MM 2+MM 2=√242+102=26，∴AO ＝13，∴AH ＝AO +OH ＝13+5＝18，∵∠EAH ＝∠BAD ，∠AHE ＝∠ADB ＝90°，∴△AHE ∽△ADB ，∴MM MM =MM MM ，即1824=MM 26， ∴AE =392， ∴DE ＝AD ﹣AE ＝24−392=92．2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB ＝AC ，∴MM̂=MM ̂， ∴∠ABC ＝∠ACB ，∵D 为MM̂的中点， ∴MM̂=MM ̂， ∴∠CAD ＝∠ACD ，∴MM̂=2MM ̂， ∴∠ACB ＝2∠ACD ，又∵∠DAE ＝105°，∴∠BCD ＝105°，∴∠ACD =13×105°＝35°，∴∠CAD ＝35°；（2）∵∠DAE ＝105°，∠CAD ＝35°，∴∠BAC ＝40°，连接OB ，OC ，∴∠BOC ＝80°，∴弧BC 的长=80M ×4180=16M 5．3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB⊥OD，∴∠OCB＝90°，AC＝BC=12AB=√3，∵点C为OD的中点，∴OC=12OB，∵cos∠COB=MMMM=12，∴∠COB＝60°，∴OC=√33BC=√33×√3=1，∴OB＝2OC＝2，∴OD＝OB＝2；（2）阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△COB=60×M×22360−12×√3×1=2 3π−√32．4．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠OBA′＝45°，O′P＝O′B，∴△O′PB是等腰直角三角形，∴PB=√2BO′＝5√2，∴AP＝AB﹣BP＝10﹣5√2．5．【答案】见试题解答内容【解答】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连接OA、OA′，设半径为x米，则OA＝OA′＝OP，由垂径定理可知AM＝BM，A′N＝B′N，∵AB＝60米，∴AM＝30米，且OM＝OP﹣PM＝（x﹣18）米，在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2＝OM2+AM2，即x2＝（x﹣18）2+302，解得x＝34，∴ON＝OP﹣PN＝34﹣4＝30（米），在Rt△A′ON中，由勾股定理可得A′N=√MM′2−MM2=√342−302=16（米），∴A′B′＝32米＞30米，∴不需要采取紧急措施．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠C ＝∠ADB ＝90°，∴∠CAB ＝90°﹣28°＝62°，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD =12∠CAB ＝31°， ∴∠CBD ＝∠CAD ＝31°；（2）连接OD 交BC 于E ，如图，在Rt △ACB 中，BC =√62−22=4√2， ∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠BAD ，∴MM̂=MM ̂， ∴OD ⊥BC ，∴BE ＝CE =12BC ＝2√2，∴OE =12AC =12×2＝1， ∴DE ＝OD ﹣OE ＝3﹣1＝2，在Rt △BDE 中，BD =√22+(2√2)2=2√3，在Rt △ABD 中，AD =√62−(2√3)2=2√6．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图，△A ′B ′C ′为所作；（2）如图，△A ″B ″C ″为所作，线段A ′C ′扫过图形的面积=90⋅M ⋅42360=4π，．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°∴∠A +∠ABC ＝90°∵DO ⊥AB ，∴∠A +∠D ＝90°∴∠D ＝∠ABC ．（2）∵OB ＝OC ，∴∠B ＝∠OCE ，∴∠OCE ＝∠D ．而∠COE ＝∠COD ，∴△OCE ∽△ODC ，∴MM MM =MM MM ，即M 3=3M∴y =9M （0＜x ＜3）．（3）设∠B ＝a ，则∠BCO ＝a ，∵OE ＝CE ，∴∠EOC ＝∠BCO ＝a在△BCO 中，a +a +90°+a ＝180°， ∴a ＝30°∴S =3×3√32−30M ⋅32360−√34×32=9√34−34π． 9．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）连接OB ，∵OA ⊥BC ，∴MM̂=MM ̂， ∴∠AOC ＝∠AOB ，由圆周角定理得，∠AOB ＝2∠ADB ＝60°， ∴∠AOC ＝∠AOB ＝60°；（2）∵OA ⊥BC ，∴BE =12BC ＝4，在Rt △BOE 中，∠AOB ＝60°，∴OB =MM MMM60°=8√33， ∴劣弧BC 的长=120M ×8√33180=16√39π（cm ）． 10．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵AB ＝CD ， ∴MM̂=MM ̂， ∵M 是MM̂的中点， ∴MM̂=MM ̂， ∴MM̂=MM ̂， ∴BM ＝DM ．（2）解：如图，连接OM ．∵DM ＝BM ＝4，OE ⊥BM ，∴EM ＝BE ＝2，∵OE ＝1，∠OEM ＝90°，∴OM =√MM 2+MM 2=√12+22=√5，∴⊙O 的半径为√5．11．【答案】见试题解答内容【解答】证明：∵AC 平分∠BAD ，∴∠BAC ＝∠DAC ，∵AB ∥CE ，∴∠BAC ＝∠ACE ，∴∠DAC ＝∠ACE ，∴MM̂=MM ̂． 12．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示，△A 1B 1O 即为所求；（2）线段AO 旋转时扫过的面积为：90×M ×(√10)2360=52M ． 13．【答案】（1）6√77；（2）83√3．【解答】解：如图：过点P 作PT ⊥BQ 于点T ，∵AB ＝2，AD ＝BC ＝2√3，DQ =√3，∴AQ =√3，在Rt △ABQ 中，根据勾股定理可得：BQ =√7．又∵四边形BPDQ 是平行四边形，∴BP ＝DQ =√3∵∠AQB ＝∠TBP ，∠A ＝∠BTP ，∴△AQB ∽△TPB ，∴MM MM =MM MM ，即√3=√3√7， ∴BT =3√77，∴BE ＝2BT =6√77．（2）设菱形BPDQ 的边长为x ，则AQ ＝2√3−x ，在Rt △ABQ 中，根据勾股定理，得AB 2+AQ 2＝BQ 2，即4+（2√3−x ）2＝x 2，解得x =43√3 由（1）可知： MM M =2√3−MM， ∴BT ＝2√3−x ＝2√3−4√33=2√33， ∴BE =43√3，∴点E 、Q 重合， ∴圆P 经过点B 、Q 、D ， ∴S 菱形=83√3． 14．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：连结DE ，∵∠C ＝90°，∴AD 为直径，∴DE ⊥AB ，∵AD ＝BD ，∴AE ＝BE ；（2）设BD ＝x ，∵∠B ＝∠B ，∠C ＝∠DEB ＝90°∴△ABC ～△DBE ，∴MM MM =MM MM ， ∴4√5=2√5M +3， ∴x ＝5．∴AD ＝BD ＝5，∴AC =√52−32=4．15．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：如图，连接OE．∵四边形AODE是菱形，∴OA＝OE＝AE，∴△AOE是等边三角形，∴∠A＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∵OA＝OB＝BD＝CD∴AE＝EC，∴CD＝CE，∵∠C＝60°，∴△EDC是等边三角形，∵DH⊥EC，CD＝4，∴DH＝CD•sin60°＝2√3．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD为所作；（2）如图2，四边形ABCD为所作；（2）如图3，四边形ABCD为所作．17．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：延长半径AO 交⊙O 于D ，∴MMM̂=MMM ̂ ∵AB ＝AC ，∴MM̂=MM ̂， ∴MM̂=MM ̂， ∴∠BAD ＝∠CAD ，∴OA 平分∠BAC ；（2）解：∵MM̂：MM ̂=3：2，MM ̂=MM ̂ ∴MM̂=28×360°=90° ∴∠BAC ＝45°；18．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图2中，∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，∴∠ECB ＝∠ACD ，∵∠ACE ＝60°，∴∠BCE ＝∠ACD ＝30°，∴∠BCD ＝∠BCE +∠ECD ＝30°+90°＝120°；（2）如图2中，当DE ∥AB 时，延长BC 交DE 于M ，∴∠B ＝∠DMC ＝60°，∵∠DMC ＝∠E +∠MCE ，∴∠ECM ＝15°，∴∠BCE＝165°，当D′E′∥AB时，∠E′CB＝∠ECM＝15°，∴当ED∥AB时，∠BCE的度数为165°或15°；（3）存在．如图，①CD∥AB时，∠BCE＝30°，②DE∥BC时，∠BCE＝45°，③CE∥AB时，∠BCE＝120°，④DE∥AB时，∠BCE＝165°，⑤当AC∥DE时，∠BCE＝135°综上所述，当∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺存在一组边互相平行，∠BCE的值为30°或45°或120°或165°或135°．19．【答案】见试题解答内容【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD，∴AE＝ED；（2）连接CD，OD，∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠CBD＝30°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°，∵∠COD＝2∠CBD＝60°，∴∠AOD＝120°，∴S阴＝S扇形OAD﹣S△ADO=120⋅M⋅42360−12•4√3×2=16M3−4√320．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：如图连接EC交OA于H．∵MM̂=MM ̂， ∴OA ⊥EC ，∵CD 是⊙O 的直径，∴∠DEC ＝90°，∴DF ⊥EC ，∴OA ∥DF ，∵BF 是⊙O 的切线，∴OA ⊥BF ，∴DF ⊥BF ，∴∠F ＝90°，∴△DFB 是直角三角形．（2）解：∵∠DEC ＝∠F ＝90°，∴EC ∥FB ，∴MM MM =MM MM =2，∴OH ＝2AH ，设AH ＝m ，则OH ＝2m ，OC ＝3m ， ∵CH 2＝OC 2﹣OH 2＝AC 2﹣AH 2，∴9m 2﹣4m 2＝40﹣m 2，∴m =2√153（负根已经舍弃）， ∴CH =10√33， ∵OA ⊥EC ，∴EH ＝HC =10√33， ∵∠F ＝∠F AH ＝∠AHE ＝90°，∴四边形AFEH 是矩形，∴AF ＝EH =10√33．。

人教版九年级数学上册《圆》期末证明题练习-附有答案

人教版年九年级数学上册《圆》期末证明题练习-附有答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，AB是半圆O的直径，AE为弦，C为弧AE的中点，CD AB⊥于点D，交AE于点F，BC交AE于点G.求证：AF FC=.2．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O交x轴于A、B两点，直线FA⊥x 轴于点A，点D在FA上，且DO平行⊙O的弦MB，连DM并延长交x轴于点C．（1）判断直线DC与⊙O的位置关系，并给出证明；（2）设点D的坐标为（﹣2，4），试求MC的长及直线DC的解析式．3．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BOC＝120°，延长BO交⊙O于点D．(1)试求∠BAD的度数；(2)求证：△ABC为等边三角形．4．已知：如图，O过正方形ABCD的顶点,A B，且与CD边相切于点E．点F是BC与O的交点，连接OB，OF，AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且1902G BOF ∠+∠=︒．(1)求证：FG 是O 的切线； (2)如果正方形边长为8，求O 的半径．5．已知：如图，在O 中，弦AB CD ∥．求证：AD BC =．6．如图，已知在⊙O 中，M 、N 分别是半径OA 、OB 的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB．求证：AC BD =.7．如图，AB 是⊙O 直径，点C 是⊙O 上一点，过点C 作⊙O 的切线CG ，过点B 作CG 的垂线，垂足为点D ，交⊙O 于点E ，连接CB ．(1)求证：CB 平分∠ABD ； (2)若BC =5，BD =3，求AB 长．8．如图，在ABC 中AB BC =，以AB 为直径的O 与AC 交于点D ，过点D 作O 的切线DE ，分别交BC AB 、的延长线于点F E 、．（1）求证：DE BC ⊥；（2）若2BE =，30A ∠=︒求图中阴影部分面积．9．已知ABC 内接于O ，过点A 作直线EF ．（1）如图1所示，若AB 为O 的直径，要使EF 成为O 的切线，还需要添加的一个条件是________________．（2）如图2所示，如果AB 是不过圆心O 的弦，且CAE B ∠=∠，那么EF 是O 的切线吗？试证明你的判断．10．如图，在ABC 中，以边AB 为直径作O 分别交BC ，AC 于点D ，E ，点D 是BC 中点，连接OE ，OD ．(1)求证：ABC 是等腰三角形．(2)若6AB =，40A ∠=︒求AE 的长和扇形EOD 的面积．11．如图，AB 是O 的直径，C ，D 都是O 上的点，且AD 平分CAB ∠，过点D 作AC 的垂线交AC 的延长线于点E ，交AB 的延长线于点F ．(1)求证：EF 是O 的切线； (2)若13AB = 5AC = 求CE 的长．12．如图在ABC 中 BO 平分ABC ∠ 以点O 为圆心 OA 的长为半径的O 与AB 相切于点A ．(1)求证：BC 是O 的切线； (2)若6AB = 10BC = 求OA 的长．13．如图1 半圆O 的直径为AB 点M 为半圆上一动点（不与点A B 重合）点N 为弧AM 的中点 ND AB ⊥于点D 过点M 的切线交DN 的延长线于点C 连结OM ．（1）若//MC AB （如图2所示）①求证：AD CN =； ②填空：四边形OMCD 是哪种特殊的四边形？（直接写出结论）__________．（2）填空：当ANM ∠=______°时四边形ANMO 为菱形．（直接写出结论）答案：1．解∵C 为弧AE 的中点∴∠B=∠CAF∵AB 是半圆O 的直径∴90ACB ∠=︒∴90ACD DCB ∠+∠=︒.∵CD AB ⊥∴90CDB ∠=︒∴90B DCB ∠+∠=︒.∴B ACD ∠=∠.∵C 是AE 的中点∴B CAE ∠=∠.∴ACD CAE ∠=∠∴AF FC =.2．解：（1）答：直线DC 与⊙O 相切于点M ．证明如下：连OM ∵DO∥MB∴∠1=∠2 ∠3=∠4．∵OB=OM∴∠1=∠3．∴∠2=∠4．在△DAO 与△DMO 中 {24AO OMDO DO=∠=∠=．∴△DAO≌△DMO．∴∠OMD=∠OAD．由于FA⊥x 轴于点A∴∠OAD=90°．∴∠OMD=90°．即OM⊥DC．∴DC 切⊙O 于M ．（2）由D （-2 4）知OA=2（即⊙O 的半径） AD=4．由（1）知DM=AD=4 由△OMC∽△DAC 知2142MC OM AC AD ===． ∴AC=2MC在Rt△ACD 中 CD=MC+4．由勾股定理有（2MC ）2+42=（MC+4）2 解得MC=83或MC=0（不合题意舍去）．∴MC 的长为83．∴点C （1030）．设直线DC 的解析式为y=kx+b ．则有100{342k b k b=+=-+．解得3452k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴直线DC 的解析式为y=-34x+52．3 (1)解：∵BD 是⊙O 的直径∴∠BAD＝90°.(2)证明：∵∠BOC＝120°∴∠BAC＝12∠BOC＝60°. 又∵AB＝AC∴△ABC 是等边三角形．4．（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形 ∴90ABF ∠=︒∴AF 是O 的直径∵12BAF BOF ∠=∠ 1902G BOF ∠+∠=︒∴90BAF G ∠+∠=︒∴90AFG ∠=︒ 即AF FG ⊥∴FG 是O 的切线．（2）解：如图所示连接OE∵O 与CD 相切于点E 即CD 是O 的切线∴OE CD ⊥ 且OB OF =（圆的半径相等）过O 作OH BC ⊥于H 则四边形OECH 是矩形 BH FH = ∴,OH CE CH OE ==∵,8AO OF AB == 即,O H 分别是,AF BF 的中点∴142OH AB ==设OB OE CH r ===∴8BH BC OE r =-=-在Rt BOH 中∵222OB BH OH =+∴222(8)4r r =-+∴=5r ．5．证明：过点O 作OE AB ⊥于点E 交CD 于点F 交CD 于点M 连接OA OBOC OD 如图：∵OE AB ⊥ //AB CD∴OF CD ⊥∴在OAB 中 OA OB =；在OCD 中 OC OD = ∴AOE BOE ∠=∠ COF DOF ∠=∠∴AOE DOF BOE COF ∠+∠=∠+∠∴AOD BOC ∠=∠∴AD BC =6．解：连接OC OD 则OC ＝OD=OA=OB. ∵M N 分别是半径OA OB 的中点 ∴OM＝ON. ∵CM⊥OA DN⊥OB∴∠OMC＝∠OND＝90°.在Rt△OMC和Rt△OND中OM=ON OC=OD ∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)．∴∠MOC＝∠NOD.∴AC=BC.7．（1）证明：如图1 连接OC则OC=OB∴∠OCB=∠OBC∵CG是⊙O的切线BD⊥CG∴∠OCD=∠BDC=90°∴OC∥BD∴∠OCB=∠DBC∴∠OBC=∠DBC∴BC平分∠OBD；（2）解：∵BD=3 BC=5 ∠BDC=90°∴CD=4过点B作BH⊥OC于点H则四边形BDCH为矩形∴CH=BD=3 BH=CD=4设OC=OB=r则OH=OC-CH=r-3 在Rt△OHB中OH2+BH2=OB2∴（r-3）2+42=r2解得：r=256∴AB=2r=2×256=253．8．（1）证明：连接OD如图所示：∵AB BC=OA OD=∴A C∠=∠A ODA∠=∠∴C ODA∠=∠∴BC OD∥又∵DE是O的切线∴DE OD∴DE BC⊥；（2）解：由（1）得：60DOE A ODA∠=∠+∠=︒∵BC OD∥∴60EBF DOE∠=∠=︒∵DE BC ⊥ ∴30E ∠=︒∴2OE OD =∵OD OB =∴2OB BE OD ===∴23DE =∴ODE 的面积112232322OD DE =⋅=⨯⨯= 扇形OBD 的面积260223603ππ=⨯= ∴阴影部分的面积2233π=-．9．解1）90BAE ∠=︒或EAC ABC ∠=∠ 或AE AB ⊥等(其他填法正确也可)（2）是；作直径AM 连MC则90ACM ∠=︒ M B ∠=∠ M CAM ∴∠+∠=90B CAM ∠+∠=︒ CAE B ∠=∠90CAM CAE ∴∠+∠=︒AE AM ∴⊥AM 为直径EF ∴是O 的切线．10．（1）连接AD∵AB 为O 直径∴90ADB ∠=︒ 即AD BC⊥又∵D 是BC 中点∴AD 是线段BC 的中垂线∴AB AC =∴ABC 是等腰三角形；（2）∵40,A OA OE =︒=∠∴40A AEO ∠=∠=︒∴100AOE ∠=︒∵6AB =∴3OA OE ==∴100π35π1803AE l ⨯==∵,AB AC OB OD ==∴70ABC ODB ∠=︒=∠∴140AOD ∠=︒∴40EOD ∠=︒∴240π3π360EOD S ⨯==扇形． 11．（1）证明：如图1 连接ODAD 平分CAB ∠OAD EAD ∴∠=∠OD OA =ODA OAD ∴∠=∠ODA EAD ∴∠=∠∴OD AE ∥90ODF AEF ∠=∠=︒且D 在O 上 EF ∴是O 的切线；（2）连接BC 交OD 于HAB 是O 的直径90ACB ∴∠=︒13AB = 5AC =BC ∴=22AB AC -=22135-12= 90E ACB ∠=∠=︒∴BC EF ∥90OHB ODF ∴∠=∠=︒OD BC ∴⊥CH ∴=126BC =CH BH = OA OB =OH ∴=12 2.5AC =6.5 2.54DH ∴=-=90E HCE EDH ∠=∠=∠=︒∴四边形ECHD 是矩形6ED CH ∴== 4CE DH ==．12．（1）解：过点O 作OE BC ⊥于点E 如图所示∵AB 是O 的切线∴OA AB ⊥∴90A ∠=︒∵BO 平分ABC ∠∴ABO EBO ∠=∠∵OE BC ⊥∴90BEO ∠=︒∵OB OB =∴()AAS BAO BEO ≌∴OA OE =∴OE 是O 的半径 OE BC ⊥ ∴BC 是O 的切线；（2）解：∵在Rt ABC △中 6AB = 10BC = ∴22221068AC BC AB =-=-=在Rt BAO 和Rt BEO △中 BO BO OA OE=⎧⎨=⎩ ∴()Rt Rt HL BAO BEO ≌△△ ∴6BE BA ==∴1064CE BC BE =-=-=设OA x = 则OE x = 8CO AC AO x =-=- 在Rt CEO △中由勾股定理得222=+CO CE OE ∴()22284x x -=+．解得：3x = ∴3OA =．13．解：（1）①如图2 连结ON∵点N 为弧AM 的中点切O于点M CM．AB ND CD切O于点M CM+∠CMNAB ND∴90NCM ADN ∠=∠=︒∴90DAN AND ∠+∠=︒∴AND NMC ∠=∠又AN NM = 90NCM ADN ∠=∠=︒ ∴ADN NCM △≌△∴AD CN =；②∵CM 切O 于点M∴OM CM ⊥∵//MC AB ND AB ⊥∴CM CD ⊥∴∠CDO=∠CMO=∠DOM =90︒ ∴四边形CDOM 是矩形故答案为：矩形；（2）当120ANM ∠=︒时四边形ANMO 为菱形．证明：连接ON∵点N 为弧AM 的中点∴AN NM =∵OA=OM ON=ON∴△AON ≌△MON∴ANO MNO∠=∠∵120∠=︒ANM∴60∠=∠=︒ANO MNO∵OA=OA=OM∴△AON和△MON都是等边三角形∴AN=AO=MO=MN∴四边形ANMO为菱形．故答案为：120．。

2020九年级中考数学专题复习：圆的综合(含答案)

2020中考数学专题复习：圆的综合（含答案）类型一与基本性质有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AE ︵上的一点，且∠BDE ＝∠CBE ，BD 与AE 交于点F . (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2＝DF ·DB ；(3)在(2)的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第1题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°， ∴∠EAB ＋∠ABE ＝90°，∵∠BDE ＝∠EAB ，∠BDE ＝∠CBE ， ∴∠EAB ＝∠CBE ，∴∠ABE ＋∠CBE ＝∠ABE ＋∠EAB ＝90°，即CB ⊥AB . 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线； (2)证明：∵BD 平分∠ABE ， ∴∠ABD ＝∠DBE ，AD ︵＝DE ︵， ∴∠ABD ＝ ∠DEA ， ∴∠DEA ＝ ∠DBE ， ∵∠EDB ＝∠BDE ， ∴△DEF ∽△DBE ，∴DE DB ＝DF DE， ∴DE 2＝ DF ·DB ；(3)解：如解图，连接OD ，延长ED 交BA 的延长线于点P ，第1题解图∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∵BD 平分∠ABE ， ∴∠OBD ＝ ∠EBD ， ∴∠EBD ＝∠ODB ， ∴OD ∥BE ， ∴△PDO ∽△PEB ， ∴PD PE ＝POPB， ∵P A ＝AO ， ∴P A ＝AO ＝OB ， ∴PO PB ＝PD PE ＝23， ∵PD PE ＝PD PD ＋DE ＝23，DE ＝2， ∴PD ＝4.2. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD ︵的中点，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD 交CE 于点F . (1)求证：CF ＝BF ；(2)若BE ＝4，EF ＝ 3，求⊙O 的半径．第2题图(1)证明：连接AC ，如解图，∵点C 是BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC ，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，第2题解图∴∠BCE ＋∠ECA ＝∠BAC ＋∠ECA ＝90°， ∴∠BCE ＝∠BAC ，又∵C 是BD ︵的中点， ∴∠DBC ＝∠CDB ， ∴∠BCE ＝∠DBC ， ∴CF ＝ BF ；(2)解：∵BE ＝ 4，EF ＝ 3， ∴BF ＝32＋42＝ 5，∴CF ＝ 5，∴CE ＝ 5＋3＝ 8， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝ 90°， ∴CE 2＝BE ·AB ， ∴AB ＝CE 2BE ＝ 644＝ 16，∴AO ＝ 8，∴⊙O 的半径为8.3. 如图，⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连接AD . (1)求证：AD ＝AN;(2)若AB ＝8，ON ＝ 1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠CEB ＝ 90°， ∴∠C ＋∠B ＝ 90°，同理∠C ＋∠CNM ＝ 90°， ∴∠CNM ＝∠B ， ∵∠CNM ＝ ∠AND ， ∴∠AND ＝ ∠B ， ∵AC ︵＝AC ︵， ∴∠ADN ＝ ∠B ， ∴∠AND ＝ ∠ADN ， ∴AN ＝AD ；第3题解图(2)解：设OE 的长为x ，连接OA ， ∵AN ＝AD ，CD ⊥AB ， ∴DE ＝ NE ＝x ＋1，∴OD ＝OE ＋ED ＝x ＋x ＋1＝2x ＋1， ∴OA ＝ OD ＝ 2x ＋1，∴在Rt △OAE 中，OE 2＋AE 2＝ OA 2， ∴x 2＋42＝(2x ＋1)2，解得x ＝53或x ＝－3(不合题意，舍去)，∴OA ＝ 2x ＋1＝ 2×53＋1＝ 133，即⊙O 的半径为133.4. 如图，A 、B 、C 为⊙O 上的点，PC 过O 点，交⊙O 于D 点，PD ＝ OD ，若OB ⊥AC 于E 点．第4题图(1)判断A 是否是PB 的中点，并说明理由； (2)若⊙O 半径为8，试求BC 的长．解：(1)A 是PB 的中点，理由：连接AD ，如解图，第4题解图∵CD 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥AC ， ∵OB ⊥AC ， ∴AD ∥OB ， ∵PD ＝ OD ，∴AD 是△PBO 的中位线， ∴P A ＝AB ， ∴A 是PB 的中点； (2)∵AD ∥OB ， ∴△APD ∽△BPO ， ∴AD BO ＝PD PO ＝ 12， ∵⊙O 半径为8， ∴OB ＝ 8， ∴AD ＝4， ∴AC ＝CD 2－AD 2＝ 415，∵OB ⊥AC ， ∴AE ＝CE ＝ 215， ∴OE ＝12AD ＝ 2，∴BE ＝6， ∴BC ＝BE 2＋CE 2＝4 6.5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、E 是⊙O 上的点，且AC ︵＝EC ︵，连接AC 、BE ，并延长交于点D ，已知AB ＝2AC ＝6.第5题图(1)求DC 的长； (2)求EC ︵的长．解：(1)如解图，连接BC ，第5题解图∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，CB ⊥AD ， ∵AC ︵＝EC ︵， ∴∠ABC ＝∠DBC ， ∴△ABD 为等腰三角形， ∵AB ＝2AC ＝6， ∴DC ＝AC ＝3；(2)如解图，连接OC 、OE ， ∵AB ＝2AC ＝6，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝30°，OC ＝OE ＝3， ∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°∴∠COE ＝2∠DBC ＝60°，∴l EC ︵＝60×π×3180＝π.6. 如图，AB 为圆O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交圆O 于点D ，OF ⊥AC 于点F .第6题图(1)求证：OF ＝12BD ；(2)当∠D ＝30°，BC ＝1时，求圆中阴影部分的面积． (1)证明：如解图，连接OC ，第6题解图∵OF ⊥AC ，OA ＝OC ， ∴AF ＝FC ，∵OA ＝OB ，∴OF 是△ABC 的中位线，∴OF ＝12BC ，∵AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴BC ＝BD ， ∴OF ＝12BD ；(2)解：∵∠D ＝30°， ∴∠A ＝∠D ＝30°， ∴∠COB ＝2∠A ＝60°， ∴∠AOC ＝120°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，BC＝1，∴AB＝2，AC＝3，由(1)可知OF＝12BC＝1 2，∵∠COB＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝BC＝1，∴S△AOC＝12AC ·OF＝12×3×12＝34，S扇形AOC＝120πOA2360＝π3，∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝π3－34.7. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，OD⊥AB交⊙O于点D，AC、OD的延长线交于点E，连接CD.(1)求证：∠ECD＝∠BCD；(2)当AC＝CD时，求证：CE＝CB.第20题图证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ECB＝90°，∵OD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BCD＝12∠DOB＝45°，∴∠ECD＝∠ECB－∠BCD＝90°－45°＝45°，∴∠ECD ＝∠BCD ；(2)如解图，连接OC 、BD ，第7题解图∵AC ＝CD ，∴∠AOC ＝∠DOC ，∠ABC ＝∠DBC ，又∵∠E ＋∠A ＝∠ABC ＋∠A ＝90°， ∴∠E ＝∠ABC ＝∠DBC ，在△ECD 和△BCD 中⎩⎨⎧∠E ＝∠DBC∠ECD ＝∠BCD CD ＝CD， ∴△ECD ≌△BCD (AAS)， ∴CE ＝ CB .8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，且BD 为直径，∠ACB ＝ 45°，过A 点的AC 的垂线交BC 的延长线于点E . (1)求证：BE ＝ DC ； (2)如果AD ＝2，求图中阴影的面积．第8题图解：(1)∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BAD ＝90°，∵∠ACB ＝45°，∴∠ADB ＝∠ACB ＝ 45°， ∵AE ⊥AC ，∴△ACE 与△ABD 是等腰直角三角形，∴AE ＝ AC ，AB ＝ AD ，∠EAC ＝ ∠BAD ＝ 90°， ∴∠EAB ＝ ∠CAD ，在△ABE 与△ADC 中，⎩⎨⎧AE ＝AC∠EAB ＝ ∠CAD AB ＝AD， ∴△ABE ≌△ADC ， ∴BE ＝DC ；第8题解图(2)如解图，连接AO ，则∠AOD ＝ ∠ABD ＝90°， ∵AD ＝ 2， ∴AO ＝ OD ＝ 1， ∴S 阴影＝ S 扇形－S △AOD ＝90 ·π×12360－12×1×1＝ π4－12. 9. 如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 分别交AB ，BC 于点D ，E ，连接DE ，AD ＝BD ，∠ADE ＝120°. (1)证明：△ABC 是等边三角形； (2)若AC ＝2，求图中阴影部分的面积．第9题图(1)证明：如解图，连接CD ， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CD ⊥AB ， ∵AD ＝BD ， ∴AC ＝BC ，∵∠ADE ＝120°，∴∠ACE ＝60°，又∵AC ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形；第9题解图(2)解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝∠B ＝60°，∵∠ADE ＝120°，∴∠BED ＝∠BDE ＝∠B ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴BD ＝ED ， ∵AD ＝BD ，∴DE ＝AD ＝ BE ＝12AB ＝ 12BC ，∴DE ︵＝AD ︵，DE 为△ABC 的中位线，E 为BC 的中点， ∴S 弓形DE ＝S 弓形AD ，∴S 阴影＝S △DEB ＝ 12S △BDC ，∵AC ＝2，∴AD ＝BD ＝1，∴DC ＝3，∴S 阴影＝12×12×1×3＝ 34.10. 如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC 边于点D ，E ，连接BD .第10题图(1)求证：点E 是BD ︵的中点；(2)当BC ＝ 12，且AD ∶CD ＝1∶2，求⊙O 的半径． (1)证明：如解图，连接AE ，DE ，第10题解图∵AB 是直径， ∴AE ⊥BC ， ∵AB ＝ AC ， ∴BE ＝ EC ，∵∠CDB ＝90°，DE 是斜边BC 的中线， ∴DE ＝ EB ， ∴ED ︵＝ EB ︵，即点E 是BD ︵的中点； (2)设AD ＝x ，则CD ＝ 2x ， ∴AB ＝AC ＝3x ，∵AB 为直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴BD 2＝ (3x )2－x 2＝8x 2，在Rt △CDB 中， (2x )2＋8x 2＝122， ∴x ＝23， ∴OA ＝ 32x ＝33，即⊙O 的半径是3 3.类型二与切线有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心O 在AC 上，∠A ＝ 30°，D 为BC ︵的中点．第1题图(1)求证：AB ＝BC ；(2)试判断四边形BOCD 的形状，并说明理由．解：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA ＝ 90°，∠AOB ＝ 90°－30°＝ 60°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∠OCB ＝ ∠A ＝ 30°， ∴AB ＝ BC ；(2)四边形BOCD 为菱形，理由如下：连接OD 交BC 于点M ， ∵D 是BC ︵的中点，第1题解图∴OD 垂直平分BC ，在Rt △OMC 中， ∵∠OCM ＝ 30°， ∴OC ＝2OM ＝OD ， ∴OM ＝MD ，∴四边形BOCD 为菱形．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，∠BAC ＝∠DAC ，过点C 作直线EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接BC .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，BC ＝2，求劣弧BC ︵的长l .第2题图(1)证明：如解图，连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ， ∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠OCA ， ∴AD ∥OC ， ∵EF ⊥AD ， ∴∠AEC ＝90°，∴∠OCF ＝∠AEC ＝90°， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接OD ，DC .第2题解图∵∠DAC ＝12∠DOC ，∠OAC ＝12∠BOC ，∠DAC ＝∠OAC ， ∴∠DOC ＝∠BOC ， ∴DC ＝BC ＝2，在Rt △EDC 中， ∵ED ＝1，DC ＝2， ∴sin ∠ECD ＝DE DC ＝12， ∴∠ECD ＝30°，∴∠OCD ＝90°－30°＝60°，又∵OC ＝OD ，∴△DOC 为等边三角形，∴∠BOC ＝∠COD ＝60°，OC ＝2， ∴l ＝60π×2180＝23π. 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F .第3题图(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．(1)证明：如解图，连接OD ，第3题解图∵OB ＝OD ， ∴∠ODB ＝∠B . 又∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B . ∴∠ODB ＝∠C . ∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ， ∴∠DFC ＝90°.∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为点G . ∴AG ＝12AE ＝2.∵cos A ＝AG OA ＝25，∴OA ＝225＝5.∴OG ＝OA 2－AG 2＝21.∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°. ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21.4. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，边BC是⊙O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AC＝8，tan∠DAC＝34，求⊙O的半径．第4题图(1)证明：如解图，连接OD，第4题解图∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，又∵∠C＝90°，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC；(2)解：∵AC＝8，tan∠P AC＝CDAC＝34，∴CD＝6，在Rt△ACD中，AD＝AC2＋CD2＝10，如解图，连接DE ，∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝ 90°， ∴∠ADE ＝ ∠C ， ∵∠CAD ＝∠OAD ， ∴△ACD ∽△ADE ， ∴AD AC ＝ AE AD ，即108＝ AE10， ∴AE ＝252，∴⊙O 的半径是254.5. 如图，AB 为⊙O 的直径，CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，CD 交BA 的延长线于点E ，CO 的延长线交⊙O 于点G ，EF ⊥OG 于点F .(1)求证：∠FEB ＝∠ECF ； (2)若BC ＝6，DE ＝4，求EF 的长．第5题图(1)证明：∵EF ⊥OG ，BC 是⊙O 的切线， ∴∠CBA ＝ ∠EFC ＝90°，∴∠EOF ＋∠FEB ＝ 90°，∠BOC ＋∠BCO ＝90°， ∵∠EOF ＝ ∠COB ， ∴∠FEB ＝ ∠BCO ， ∵CB ，CD 是⊙O 的切线， ∴∠ECF ＝ ∠BCO ， ∴∠FEB ＝ ∠ECF ；(2)解：如解图，连接OD ，则OD ⊥CE ，第5题解图∵CB，CD为⊙O的切线，BC＝6，DE＝4，∴CD＝BC＝6，∴CE＝CD＋DE＝6＋4＝10，在Rt△CBE中，根据勾股定理得BE＝CE2－BC2＝102－62＝8，设OD＝x，则OE＝8－x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE2＝OD2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，则OE＝5.在Rt△ODC中，根据勾股定理得OC＝CD2＋OD2＝62＋32＝35，∵∠EOF＝∠COB，∠EFO＝∠CBO，∴△EFO∽△CBO，∴EFCB＝OEOC，即EF6＝535，解得EF＝2 5.6. 如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．第6题图 (1)证明：如解图，连接OB,第6题解图∵OB ＝OC ，∠ACB ＝30°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝90°，∴∠D ＝60°，∵CB ＝BD ，∴BE ＝BD ，∴△BDE 为等边三角形，∴∠DBE ＝60°，∴∠EBO ＝180°－∠DBE －∠OBC ＝180°－60°－30°＝90°，即OB ⊥BE ，又∵OB 为⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线；(2)解：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，在Rt △ABC 中，BC ＝BD ＝BE ＝3，∠ACB ＝30°，∴AB ＝BC ·tan30°＝ 3，AC ＝ 2AB ＝23，∴OA ＝12AC ＝3，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝ 12×3×3＝332， ∴S 阴影＝ S 半圆－S △ABC ＝ 12π×(3)2－332＝3π－332. 7. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C ，BE ∥CO .(1)求证：BC 是∠ABE 的平分线；(2)若DC ＝ 8，⊙O 的半径OA ＝6，求CE 的长．第7题图(1)证明：∵BE ∥CO ，∴∠OCB ＝∠EBC ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OBC ＝∠EBC ，∴BC 是∠ABE 的平分线；(2)解：∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥CO ，∴∠DCO ＝90°，在Rt △DCO 中，有DC 2＋CO 2＝DO 2，即82＋62＝DO 2，∴DO ＝10，∵CO ∥BE ，∴CE DC ＝BO DO ，即CE 8＝610， ∴CE ＝4.8.8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，BD 是⊙O 的弦，点E 是BC 的中点，连接DE .第8题图(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CD ∶AD ＝1∶3，BC ＝2，求线段BD 的长．（1）证明：如解图，连接OD .第8题解图∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠CDB ＝90°，在Rt △CDB 中，∵点E 是BC 的中点，∴DE 是Rt △CDB 斜边BC 上的中线，∴ED ＝12BC ，EB ＝12BC ， ∴ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ，∠OBD ＋∠EBD ＝∠ODB ＋∠EDB ＝∠ABC ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴OD ⊥DE ，又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：在Rt △CDB 和在Rt △CBA ，∵∠C=∠C ，∠CDB=∠ABC=90°，∴Rt △CDB ≌Rt △CBA.∴CD ：BC= BC ：AC ，∵CD ：AD=1：3，∴设CD 为x ,则AD =3x ，AC=4x ，∴x ：2=2：4x ，解得x 1=1， x 2=-1（舍），∴CD =1，∴BD=222221 3.BC CD -=-=9. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点且∠P ＋12∠AOC ＝90°. (1)求证：P A 是⊙O 的切线；(2)cos B ＝45，P A ＝8，求⊙O 的半径．第9题图(1)证明：∵∠B 与∠AOC 所对的弧都为弧AC ，∴∠B ＝12∠AOC ，又∵∠P ＋12∠AOC ＝90°， ∴∠P ＋∠B ＝90°.在△ABP 中，∠BAP ＝180°－90°＝90°，∴P A ⊥AB .又∵AB 为⊙O 的直径，∴P A 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △ABP 中，∵cos B ＝45，P A ＝8，∴AB PB ＝45. ∴设AB ＝4x ，则PB ＝5x ，根据勾股定理得P A 2＋AB 2＝PB 2，∴82＋(4x )2＝(5x )2，化简得：9x 2＝64，解得x ＝83. ∴AB ＝4×83＝323， ∴AO ＝12AB ＝12×323＝163. ∴⊙O 的半径为163.10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝ BC ＝ DC .(1)若∠CDB ＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.第10题图(1)解：∵BC ＝DC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝ 39°，∵∠BAC ＝∠CDB ＝ 39°，∠CAD ＝ ∠CBD ＝ 39°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝ 39°＋39°＝ 78°；(2)证明：∵BC ＝ EC ，∴∠CBE ＝∠CEB ，∵∠CEB ＝∠2＋∠BAE ，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE ＝ ∠1＋∠CBD ，∵∠BAE ＝∠CBD ，∴∠1＝ ∠2.。

人教版九年级数学上册《圆》期末证明题练习-附答案

人教版年九年级数学上册《圆》期末证明题练习-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在ABC中90C∠=︒，点D是AB边上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH AB⊥于点H，连接BE(1)求证：EH EC=；(2)若4AB=，2A=求AD的长．sin32．如图，以AB为直径的O经过ABC的顶点C，AE，BE分别平分BAC∠，AE的延∠和ABC长线交O于点D，连接BD．(1)判断BDE△的形状，并证明你的结论；(2)若10AB=，210BE=求BC的长．3．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，D是AC的中点，过点D作直线l AC∥，AF⊥直线l，垂足为F，BC的延长线交直线l于点E．(1)求证：直线l是O的切线．(2)若O的半径为1，求AF BE+的值．4．如图，将含30︒角的直角三角板ABC放入半圆O中90∠=︒，A，B，C三点恰好在半圆OACB上，延长AB到点E，作直线CE，使得30∠=∠=︒·BCE BAC(1)求证：EC是半圆O的切线.(2)若8AB=，求阴影部分的面积.5．如图，以ABC的边AB为直径作O，交边AC于点D，BC为O的切线，弦DE AB⊥于点F，连接BE．(1)求证：ABE C∠∠=．(2)若点F为OB中点，且1OF=，求线段ED的长．6．如图，ABC内接于O，CD与AB的延长线相交于点D，且BCD BAC∠=∠．求证：CD是O 的切线．7．如图，在ABC中AB BC=，以AB为直径的O与AC交于点D，过D作O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．(1)求证：DF BC⊥；(2)已知6BE=求O的半径．DE=，38．如图，O是ABC的外接圆，BD是O的直径AB AC=，AE//BC，E为BD的延长线与AE 的交点．(1)求证：AE是O的切线；(2)若75∠=︒，BC=2，求CD和AE长．ABC9．如图，在ABC中90∠=︒，AD是ABC的角平分线，以AD为弦，圆心O在边AB上作OC交AC于E．(1)判断BC 与O 的位置关系并说明理由；(2)若30B ∠=︒，AE=2，求DE 的长．10．如图1，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，连接AC ，半径OD ∥弦AC(1)求证：弧BD =弧CD 的长．(2)在如图1上，连接BC 、AD 相交于点F ，BC 与OD 相交于点E ，连接CD ，若O 的半径为5，6AC =求CD 的长．(3)如图2，在OD 的延长线上取一点P ，使12CAP BAP ∠=∠，AP 交弧BC 于点.G 若10AB =，61CP =求AG 的长．11．如图，O 的直径AB 垂直弦CD 于点F ，点P 在AB 的延长线上，CP 与O 相切于点C ．(1)求证：PCB PAD ∠=∠；(2)若O 的直径为4，弦DC 平分半径，求图中阴影部分的面积．12．如图，在ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，延长BO交O于点D，连接CD，AB CD且CAB CBD∠=∠．(1)求证：AB是O的切线；(2)若6BC=，求图中阴影部分的面积．13．如图，已知四边形ABCD是O的内接四边形，连接AB，CD，且DA平分EDC∠．求证：(1)ABC是等腰三角形．(2)若45∠=︒，O的半径为6cm，求点O到BC的距离．BDC14．如图O是ABC的外接圆=45∥，AB交OC于∠︒，延长BC于D，连接AD，使得AD OCABCE．(1)求证：AD 与O 相切；(2)若25AE =，CE=2．①求O 的半径；②求AB 的长度．15．如图，在O 中，AB 是直径，点C 是圆上一点，在AB 的延长线上取一点D ，连接CD ，使BCD A ∠=∠．求：(1)求证：直线CD 是O 的切线；(2)若120,9ACD AD ∠=︒=，求扇形OAC 的面积16．如图，AB 为O 的直径，点C 、D 都在O 上，且BD 平分ABC ∠，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)延长ED 交BA 的延长线于点F ．若30F ∠=︒，AB=8，则BE 的长为______．答案： 1．解、（1）如图，连接OEAC 与O 相切∴OE AC ⊥，且BC AC ⊥∴OE BC ∥∴CBE OEB ∠=∠EO OB =∴EBO OEB ∠=∠∴CBE EBO ∠=∠，且CE BC ⊥ EH AB ⊥ ∴CE EH =；（2）2sin3OE A OA== ∴设2OE a = ()30AO a a =≠∴2OB OE a ==324AB AO OB a a =+=+=∴45a =44AD AB BD a =-=-∴45AD =． 2．（1）解：BDE 为等腰直角三角形，证明如下：证明：∵AE 平分BAC ∠ BE 平分ABC ∠ ∴BAE CAD CBD ∠=∠=∠ ABE EBC ∠=∠．∵BED BAE ABE ∠=∠+∠ DBE DBC CBE ∠=∠+∠ ∴BED DBE ∠=∠．∴BD ED =．∵AB 为直径∴90ADB ∠=︒．∴BDE 是等腰直角三角形．（2）解：如图：连接OC CD OD OD 交BC 于点F ．∵DBC CAD BAD BCD ∠=∠=∠=∠ ∴BD DC =．∵OB OC =∴OD 垂直平分BC ．∵BDE 是等腰直角三角形 210BE = ∴25BD =．∵10AB =∴5OB OD ==．设OF t = 则5DF t =-．在Rt BOF △和Rt BDF △中 22225(25)(5)t t -=--．解得 3t =． ∴4BF =．∴8BC=．3．解、（1）证明：如图所示连接OD CD OC，，．∵D是AC的中点∴AD CD=∴AD CD=又∵OA OC=∴点O和点D都在线段AC的垂直平分线上即OD垂直平分线AC ∴OD AC⊥．又∵直线l AC∥∴直线l OD⊥∵OD是O的半径∴直线l是O的切线．（2）解：如图过点D作DM AB⊥垂足为M由（1）得90ODF∠=︒∵AB为半圆O的直径∴90∠=∠=︒ADB ACB∴90∠=∠=︒FDO ADB∴FDO ADO ADB ADO∠=∠∠∠即FDA ODB∠-=∠-∵OD OB=∴FDA ODB OBD ∠=∠=∠．又∵DM AB ⊥∴90OBD BDM ∠+∠=︒． ∵90ADM BDM ∠+∠=︒ ∴ADM OBD ∠=∠∴ADF ADM ∠=∠又∵AF EF ⊥∴AF AM =．同理可得BDE BDM ∠=∠ ∵D 是AC 的中点∴AD CD =∴DBM DBE ∠=∠又∵BD BD =∴()ASA BDM BDE ≌ ∴MB BE =∴AF BE AM MB AB +=+= 即2AF BE +=．4．解、（1）证明：如图连接OC∵90ACB ∠=︒∴AB 是O 的直径即O 在AB 上 ∵,OA OC =30BAC ∠=︒,∴30,OCA OAC ∠∠==︒∴903060OCB ∠=︒-︒=︒∵30BCE ∠=︒,∴306090,OCE ∠=︒+︒=︒∴OC CE ⊥∴EC 是半圆O 的切线；（2）解：∵30,90,BAC ACB ∠∠=︒=︒ ∴903060,ABC ∠=︒-︒=︒∵OB OC =∴BOC 是等边三角形∵8AB =∴4OB =∴2260483603603OAC n r S πππ⨯===扇形 13444322BOC S =⨯⨯⨯= ∴8433BOC OBC S S S π=-=-阴影扇形． 5解、（1）证明：∵BC 为O 的切线 ∴BC AB ⊥∵DE AB⊥∴BC DE∥∴C ADE∠=∠∵ABE ADE∠=∠∴ABE C∠=∠；（2）解：连接OE∵点F为OB中点且1OF=∴22==OB OF∴2==OE OB根据勾股定理可得：223=-=EF OE OF∵DE AB⊥∴223==．DE EF6．解、证明：如图过点C作O的直径CE连接BE 则90∠=︒CBE∴∠+∠=︒BEC BCE90∠=∠∠=∠,BEC BAC BAC BCDBCD BEC∴∠=∠BCD BCE∴∠+∠=︒90∴⊥CD CEOC是O的半径∴CD是O的切线．7．解、（1）证明：如图连接OD∵DE是O的切线⊥∴90∠=︒即OD DEODE∵AB BC=∴A C∠=∠∵OA OD=∴A ADO∠=∠∴C ADO∠=∠∴∥OD BC∴DF BC⊥；（2）设O的半径为r则OB OD r==∵3BE=∴3=+OE r在Rt DOE△中222DE=+=6OD DE OE∴()22263r r +=+ 解得： 4.5r =即O 的半径为4.5．8．（1）证明：连接并延长AO 交BC 于点F 连接OC 则OA OB OC ==∴1802AOB OAB OBA -∠∠=∠=1802AOC OAC OCA -∠∠=∠= ∵AB AC =∴ACB ABC ∵2AOB ACB ∠=∠ 2AOC ABC =∠∠ ∴AOB AOC ∠=∠∴18018022AOB AOC -∠-∠= ∴OAB OAC ∠=∠∴AF BC ⊥∵AE BC ∥∴90OAE AFB ∠=∠=︒∴OA 是O 的半径且AE OA ⊥ ∴AE 是O 的切线；（2）∵75ACB ABC ∠=∠=︒ ∴18030BAC ACB ABC ∠=︒-∠-∠=︒∴223060BOC BAC ∠=∠=⨯︒=︒ ∴BOC 是等边三角形 180120COD BOC ∠=︒-∠=︒ ∴2OC OA BC ===∴CD 的长为120π24π1803⨯= ∵AE 是O 的切线∴90OAE ∠=︒在Rt OAE △中 1302AOE BOF BOC ∠==∠=∠= ∴2OE AE =由勾股定理得：233AE =． 9．（1）解（1）BC 与O 相切理由如下：连接OD∵OA OD =∴OAD ODA ∠∠= 又∵AD 是ABC 的角平分线 ∴OAD CAD ∠∠=∴ODA CAD ∠∠=∴OD AC∴90ODB C ∠∠==︒∴OD BC ⊥∵OD 是O 的半径∴BC 与O 相切；（2）连接OE∵90ODB C ∠∠==︒ 30B ∠=︒ ∴60BOD BAC ∠∠==︒ ∵OA OE =∴OAE 是等边三角形 2AE = ∴2OA OE == 60AOE ∠=︒ ∴60EOD ∠=︒∴DE 的长为：6022=1803ππ⨯10．（1）解：连接BC ．OD ∥AC 90ACB ∠=︒ OD BC ∴⊥∴弧BD =弧CD 的长．（2）90ACB ∠=︒2222(25)68BC AB AC ∴=-=⨯-=．由（1）可知 OD BC ⊥ 118422CE BE BC ∴===⨯=．又OA BO =∴点E 和O 分别是BC 和AB 的中点 116322OE AC ∴==⨯=532DE OD OE ∴=-=-=． 90CED ∠=︒22224225CD CE DE ∴=+=+=．（3）连接OG 、BG 、BP ．设CAP α∠= 则2BAP α∠=． OA OG =2AGO BAP α∴∠=∠=． OD //ACAPO CAP α∴∠=∠=2GOP AGO APO ααα∴∠=∠-∠=-= 1110522GP GO AB ∴===⨯=．OP 垂直平分BC61BP CP ∴==．90BGP ∠=︒222612536BG BP GP ∴=-=-=22100368AG AB BG ∴=-=-=．11．解、（1）连接OC∵CP 与O 相切∴OC PC ⊥∴90PCB OCB ∠+∠=︒ ∵AB DC ⊥∴90∠+∠=︒PAD ADF ∵OB OC =∴OBC OCB ∠=∠由圆周角定理得：ADF OBC ∠=∠ ∴PCB PAD ∠=∠；（2）连接OD DB ，∵,,OB CD OF BF ⊥=∴,DO DB =∵OB OD =∴,OB OD DB ==∴ODB △是等边三角形 ∴60DOB ∠=︒∵AB DC ⊥∴DF FC =∵BF OF AB DC =⊥， ∴CFB DFO S S =△△∴260223603BOD S S ππ⨯===阴影部分扇形．12．（1）解：过点O 作OF AB ⊥∵BC 与O 相切∴OC BC ⊥∴90OCB OFB ∠=∠=︒ ∵AB CD∴CAB ACD ∠=∠ CDB ABD ∠=∠ ∵OC OD =∴OCD ODC ∠=∠∴CAB ABD ∠=∠∵CAB CBD ∠=∠∴CBD ABD ∠=∠∵OB OB =∴OCB OFB ≌∴OF OC =为O 的半径AB是O 的切线；）由（1）知：ABD +∠+∠30=︒OCB S S -解、（1）解：四边形是O 的内接四边形ACB +∠又ADB ∠+∠ADE ∴∠=∠DA 平分∠ADC ∴∠=∠ADC ∠=∠ADE ∴∠=即ABC ∠ABC ∴是等腰三角形；（2）解：连接6cm OB OC ∴==45BDC ∠=︒90BOC ∴∠=︒在Rt BOC 中由勾股定理得： 22226662cm BC BO CO =+=+= 设点O 到BC 的距离为h 1122BOC S BO CO BC h =⨯⨯=⨯⨯ 即11666222h ⨯⨯=⨯⨯解得：32h =∴点O 到BC 的距离为32cm ． 14．（1）证明：连接OA ∵=45ABC ∠︒∴290AOC ABC ∠=∠=︒ ∵AD OC ∥∴180AOC OAD ∠+∠=︒ ∴90OAD ∠=︒ 即OA AD ⊥ ∴AD 与O 相切；（2）解：①设O 的半径为r 则OA OC r == ∵2CE =∴2OE r =-∵=90AOC ︒∠∴222OE OA AE +=即()()222225r r -+= 解得：4r =或2r =-（舍去） ∴O 的半径4；②过点O 作OF AB ⊥于点F∵=90AOC ︒∠ OF AB ⊥ ∴1122AOE S OE OA AE OF =⋅=⋅ 则2425OF ⨯=解得：455OF = 根据勾股定理可得：22855=-=AF OA OF ∵OF AB ⊥∴16525AB AF ==． 15．（1）证明：连接OC 则：OB OC =∴OBC OCB∠=∠∵AB是直径∴90∠=︒ACB∴90∠+∠=︒A ABC∠=∠∵BCD A∴90DCB OCB∠+∠=︒即：90∠=︒OCD∴OC CD⊥∵OC是O的半径∴直线CD是O的切线；（2）∵120∠=︒90ACD∠=︒OCD∴30∠=︒OCA∵OA OC=∴30∠=∠=︒A OCA∴60∠=︒DOC∴30D∠=︒∴22==OD OC OA∵9=+=AD OA OD∴3OA=∵60∠=︒DOC∴120COA ∠=︒∴扇形OAC 的面积为212033360ππ⨯=．16．（1）证明：连结OD 如图BD 平分ABC ∠OBD EBD ∴∠=∠OB OD =ODB OBD ∴∠=∠ODB EBD ∴∠=∠OD BE ∴∥DE BE ⊥DE OD ∴⊥DE ∴是O 的切线；（2）解：8AB =4OA OB OD ∴===OD EF ⊥90ODF ∴∠=︒在Rt ODF △中30F ∠=︒28OF OD ∴==8412BF OF OB ∴=+=+= BE EF ⊥90E ∴∠=︒在Rt EFB △中 30F ∠=︒ 162BE BF ∴==．故答案为：6．。

2020年人教版九年级数学上册专题小练习二十《圆-证明题专练》(含答案)

2020年人教版九年级数学上册专题小练习《圆-证明题专练》1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）2.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE=CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB=6，求的长．4.已知P是⊙O外的一点,OP=4,OP交⊙O于点A,且A是OP的中点,Q是⊙O上任意一点．（1）如图1,若PQ是⊙O的切线,求∠QOP的大小；（2）如图2,若∠QOP=90°,求PQ被⊙O截得的弦QB的长．5.已知△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于D,与AC相交于F,连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）连接OC,如果∠B=30°,CF=1,求OC的长．6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．（1）当BD=3时，求线段DE的长；（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．7.如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．8.如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．9.如图，四边形ABCD表示一张矩形纸片，AB=10，AD=8．E是BC上一点，将△ABE沿折痕AE向上翻折，点B恰好落在CD边上的点F处，⊙O内切于四边形ABEF．求：（1）折痕AE的长；（2）⊙O的半径．10.已知平行四边形ABCD，AB=8，BC=6，O点在边AB上，以OA为半径作⊙O，交AD于E点.(1)如图1，若AB为O直径，恰好AE=4DE，求sinA的值；(2)如图2，若⊙O与CB延长线相切，切点为F点，求⊙O的半径长.11.在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①,过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=320,求∠P的大小；（Ⅱ）如图②,D为优弧ADC上一点,且DO的延长线经过AC的中点E,连接DC与AB相交于点P,若∠CAB=160,求∠DPA的大小.12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE（1）证明OE∥AD；（2）①当∠BAC= °时，四边形ODEB是正方形．②当∠BAC= °时，AD=3DE．参考答案1.解：（1）直线BC与⊙O相切；连结OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切．（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，∴OB=2r，在Rt△ACB中，∠B=30°，∴AB=2AC=6，∴3r=6，解得r=2．（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠BOD=60°．∴．∵∠B=30°，OD⊥BC，∴OB=2OD，∴AB=3OD，∵AB=2AC=6，∴OD=2，BD=2S△BOD=×OD•BD=3，∴所求图形面积为．2.解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN=．3.【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O直径，∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE．（2）解：∵∠BAC=54°，AB=AC，∴∠ABC=63°，∵BF是⊙O切线，∴∠ABF=90°，∴∠CBF=∠ABF﹣∠ABC=27°．（3）解：连接OD，∵OA=OD，∠BAC=54°，∴∠AOD=72°，∵AB=6，∴OA=3，∴弧AD的长是=．4.解：（1）如图1，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∵A是OP的中点，∴OP=2OA，在Rt△OPQ中，cos∠QOP==，∴∠QOP=60°；（2）作OD⊥BQ于D，如图2，则QD=BD，∵∠QOP=90°，OP=4，OQ=2，∴PQ=2，∵∠OQD=∠PQO，∴Rt△QOD∽Rt△QPO，∴QD：OQ=OQ：QP，即QD：2=2：2，∴QD=，∴QB=2QD=．5.（1）证明：连接OD，∴OD=OA，∴∠1=∠2，∴∠ODB=90°，∵∠C=90°，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴AD是∠BAC的平分线；（2）解：连接DF，∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠3=30°，∵BC是⊙O的切线，∴∠FDC=∠3=30°，∴CD=CF=，∴AC=CD=3，∴AF=2，过O作OG⊥AF于G，∴GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，∴CG=2，OG=CD=，∴OC==．6.（1）解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∵DB为直径，∴∠DEB=∠C=90°，又∵∠B=∠B，∴△DBE∽△ABC，∴，即，∴DE=；（2）连接OE，∵EF为半圆O的切线，∴∠DEO+∠DEF=90°，∵△DBE∽△ABC，∴∠A=∠EDB，又∵∠EDO=∠DEO，∴∠AEF=∠A，∴△FAE是等腰三角形；7.（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB=90°，又∵BC=3，AB=5，∴由勾股定理得AC=4；（2）证明：∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA=∠CBA，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OAC+∠OBC=90°，∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切线．8.【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×4=2，设OC=x，∵BE=2，∴OE=x﹣2，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=（x﹣2）2+（2）2，解得：x=4，∴OA=OC=4，OE=2，∴AE=6，在Rt△AED中，AD==4，∴AD=CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∵AD=CD，∴平行四边形FADC是菱形；（2）连接OF，AC，∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA，∵AO=CO，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，即∠OCF=∠OAF=90°，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．9.10.解：（1）连接BE，sinA=0.8；（2）r=32/9.11.12.。

中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练(附带答案)

中考数学总复习《圆的切线证明》专题训练（附带答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________⊥于点D，E是AC上一点，以BE为直径的O交1．如图，在ABC中，AB=AC，AD BC∠=︒．BC于点F，连接DE，DO，且90DOB(1)求证：AC是O的切线；(2)若1DF=，DC=3，求BE的长．、2．如图，在O中，BC为非直径弦，点D是BC的中点，CD是ABC的角平分线．∠=∠；(1)求证：ACD ABC(2)求证：AC是O的切线；(3)若1BD=，3BC=时，求弦BD与BD围城的弓形面积．是O的切线；=，且AC BD已知等腰ABC，AB=AC为直径作O交BC于点延长线于点F．是O的切线；CD=2，求O的半径．与O相离，，交O于点A是O上一点，连于点C，且PB(1)求证：PB是O的切线；(2)若25AC=，OP=5，求O的半径．6．如图，点O是ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作O，与BC相切于点E，连接OB，OE，O交OB于点D，连接AD并延长交CB的延长线于点F，且AOD EOD．∠=∠(1)求证：AB是O的切线；BC=，AC=8，求O的半径．(2)若107．如图，AB 是O 的直径，AC 是O 的弦．(1)尺规作图：过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点D （保留作图痕迹，不写作法）；(2)若2BD OB ==，求AC 的长．8．如图，ABCD 的顶点,,A B C 在O 上，AC 为对角线，DC 的延长线交O 于点E ，连接,,OC OE AE ．(1)求证：AE BC =；(2)若AD 是O 的切线6,40OC D =∠=︒，求CE 的长．9．如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，点E 为AB 上一点，以AE 为直径的O 上一点D 在BC 上，且AD 平分BAC ∠．(1)证明：BC 是O 的切线；(2)若42BD BE ==，，求AB 的长．10．如图，已知O 的弦AB 等于半径，连接OA 、OB ，并延长OB 到点C ，使得BC OB =，连接AC ，过点A 作AE OB ⊥于点E ，延长AE 交O 于点D ．(1)求证：AC 是O 的切线；(2)若6BC =，求AD 的长．11．如图，线段AB 经过O 的圆心.O 交O 于A ，C 两点，AD 为O 的弦，连接BD ，30A ABD ∠=∠=︒连接DO 并延长交O 于点E ，连接BE 交O 于点F ．(1)求证：BD 是O 的切线；(2)若1BC =，求BF 的长．12．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点,CD BD ABC CBD ⊥∠=∠．(1)求证：CD 为O 的切线．(2)当1,4BD AB ==时，求CD 的长．13．如图已知AB 是O 的直径 BC AB ⊥于B E 是OA 上的一点ED BC ∥交O 于D OC AD ∥ 连接AC 交ED 于F ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若8AB = 1AE = 求ED EF 的长．14．如图 AB 是O 的直径 AC BC ，是弦点D 在AB 的延长线上且DCB DAC ∠=∠ O 的切线AE 与DC 的延长线交于点E ．(1)求证：CD 是O 的切线；(2)若O 的半径为2 30D ∠=︒ 求AE 的长．15．如图已知AB 是O 的直径点P 在BA 的延长线上弦BC 平分PBD ∠且BD PD ⊥于点D ．(1)求证：PD 是O 的切线．(2)若8cm 6cm AB BD ，求弧AC 的长．为O的直径在O上连接的延长线交于E．是O的切线；∠tan BDF为O的直径的平分线交O于点E BC的延长线于点(1)求证：DE 为O 切线；(2)若10AB = 6BC = 求DE 的长．18．如图 O 是ABC 的外接圆点D 在BC 延长线上且满足CAD B ∠=∠．(1)求证：AD 是O 的切线；(2)若AC 是BAD ∠的平分线 3sin 5B =4BC = 求O 的半径．参考答案：1．【分析】此题重点考查圆周角定理切线的判定定理勾股定理三角形的中位线定理等腰三角形的“三线合一” 线段的垂直平分线的性质等知识正确地作出辅助线是解题的关键．是O的切线；+=314是O的直径90︒则22BE=+4(22)⊥AD BC是O的半径是O的切线．）连接EFDC=DF33+=+BD DF∠OE DOBDE=．3是O的直径90︒．中EF=中BE=(3)23312π- 【分析】此题考查了解直角三角形切线的判定以及扇形的面积．注意掌握辅助线的作法．（1）点D 是BC 的中点可以得到BD CD = 即可得到DBC DCB ∠∠= 再根据角平分线的定义得到ACD BCD ∠∠= 进而得到结论；（2）连接OC OD OB 则可得到OD BC ⊥ 然后根据等边对等角可以得到90OCD ACD ∠∠+=︒ 即可得到结论（3）先求出60ODB ∠=︒ 继而利用OBD OBD S S S=-阴影部分扇形求得答案．【详解】（1）解：如图 ∵点D 是BC 的中点∵BD CD =∵DBC DCB ∠∠=又∵CD 是ABC 的角平分线∵ACD BCD ∠∠=∵ACD ABC ∠∠=；（2）证明：如图连接OC OD OB∵点D 是BC 的中点∵OD BC ⊥∵90ODC BCD ∠∠+=︒∵OD OC =∵ODC OCD ∠∠=又∵ACD BCD ∠∠=∵90OCD ACD ∠∠+=︒即OC AC ⊥∵OC 是O 的半径∵AC 是O 的切线；Rt BDE 中 ODB ∠=60ODB =︒OB OD =∵OBD 是等边三角形BOD ∠=OBD S S==阴影部分．(1)见解析(2)23进而得出BFG 是等边三角形是O 的切线；）解：如图所示∵OD AC ⊥∵AD CD =∵BD AC =∵BD AC =∵AD BC =∵AD CD BC ==；∵AB 为半圆O 的直径∵90CAB CBA ∠+∠=︒∵30DAC CAB ABD ∠=∠=∠=︒∵60GBF G ∠=∠=︒ 12GB AG =∵BFG 是等边三角形 223AB AG BG BG =-=∵3233BF BG AB ===．【点睛】本题考查了切线的判定弧与弦的关系直径所对的圆周角是直角勾股定理等边三角形的性质与判定垂径定理熟练掌握以上知识是解题的关键．4．(1)证明(2)233【分析】本题主要考查切线的性质和判定及特殊角的三角函数的应用掌握切线问题中的辅助线的作法是解题的关键．（1）连接OD 证明ODB C ∠=∠ 推出AC OD ∥ 即可证明结论成立；（2）连接AD 在Rt CED 中求得利用三角形函数的定义求得30C ∠=︒ 60AOD ∠=︒ 在Rt ADB 中利用勾股定理列式计算求得圆的半径即可．【详解】（1）证明：连接OD又OB OD=B ODB∴∠=∠ODB∴∠=∠AC OD∥DF AC⊥OD DF∴⊥DF∴是O的切线；（2）连接AD设O半径为Rt CED中3,CE CD=22ED CD∴=-又cosCE CCD ∠=30C∴∠=︒30B∴∠=︒60AOD=∠AB是O的直径．90ADB∴∠=︒12AD AB r ∴== ∵AB AC =∵2CD BD ==又222AD BD AB +=2222(2)r r ∴+=233r ∴=(负值已舍)． 5．(1)证明见解析(2)3【分析】本题考查的是勾股定理的应用等腰三角形的性质切线的判定熟练的证明圆的切线是解本题的关键；（1）连接OB 证明PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠ 再证明90PBC OBA ∠+∠=︒即可；（2）设O 的半径为r 表示()()22222255PC AC AP r =-=-- 222225PB OP OB r =-=- 再利用PB PC =建立方程求解即可．【详解】（1）解：连接OB∵PB PC = OA OB =∵PCB PBC ∠=∠ OAB OBA ∠=∠∵OP l ⊥ OAB PAC ∠=∠∵90BCP CAP BCP OAB ∠+∠=︒=∠+∠∵90PBC OBA ∠+∠=︒∵90OBP ∠=︒∵OB PB ⊥是O 的切线；）设O 的半径为l 2AC =2AC AP =-PB BP 2OP OB =-∵O 的半径为【点睛】．(1)见解析(2)3【分析】本题主要考查切线的判定和性质证AOB EOB ≌ 得出的半径为r 则OE OA =根据AOB EOB ≌得求得4CE = 在Rt OCE 中运用勾股定理列式求出r 的值即可．）证明：在AOB 和EOB 中∵()SAS AOB EOB ≌OAF OEF ∠=∠BC 与O 相切OE BC ⊥90OAB OEB ∠=∠=︒AF是O 的半径是O 的切线；（2）解：在Rt CAB △中 90108CAB BC AC ∠=︒==，，∵22221086AB BC AC =-=-=设圆O 的半径为r 则,OE OA r ==∵8OC r =-∵,AOB EOB ≌∵6BE AB ==∵10,BC =∵1064,CE BC BE =-=-=在Rt OCE 中 222OE CE OC +=∵()22248r r +=-解得3r =．∵O 的半径为3．7．(1)作图见解析(2)4π3【分析】本题考查了作图复杂作图切线的性质等边三角形的判定与性质弧长的计算熟练掌握切线的性质弧长公式是解答本题的关键．（1）根据题意连接OC 作OC CD ⊥ 交AB 的延长线于点D 由此得到答案．（2）根据题意得到OBC △是等边三角形求出120AOC ∠=︒ 再利用弧长公式得到答案．【详解】（1）解：如图所示 CD 即为所求．（2）如图所示连接BCBD）证明：在ABCD中AE AD ∴=∵AE BC =．（2）解：连接OA 过点O 作OF CE ⊥于点F 如图所示：AD 是O 的切线OA AD ∴⊥OA BC ∴⊥AB AC ∴=40AEC B D ︒∠=∠=∠=40ACB B ∴∠=∠=︒在ABCD 中 AD BC ∥40DAC ACB ∴∠=∠=︒又180100DAE D AEC ∠=︒-∠-∠=︒60CAE DAE CAD ∴∠=∠-∠=︒2120COE CAE ∴∠=∠=︒OC OE =30OCE ∴∠=︒OF CE ⊥22cos3063CE CF OC ∴==⋅︒=．【点睛】本题主要考查了切线的性质解直角三角形圆周角定理平行四边形的性质垂径定理等腰三角形的判定解题的关键是作出辅助线熟练掌握相关的判定和性质．9．(1)证明详见解析；(2)8．【分析】本题考查了切线的判定勾股定理等知识熟练掌握切线的判定定理勾股定理是解题的关键．（1）连接OD 根据平行线判定推出OD AC ∥ 推出OD BC ⊥ 根据切线的判定推出即可；（2）根据勾股定理求出3OD OA OE === 再根据线段的和差求解即可．【详解】（1）证明：连接OD∵OA OD =∵OAD ODA ∠=∠∵AD 平分BAC ∠∵BAD CAD ∠=∠∵ODA CAD ∠=∠∵OD AC ∥∵180C ODC ∠+∠=︒∵90C ∠=︒∵90ODC ∠=︒∵OD BC ⊥∵OD 为半径∵BC 是O 的切线；（2）解：设OD OE r ==在Rt ODB △中 42BD BE ==，∵2OB r =+由勾股定理得：()22242r r +=+ 解得：3r =∵3OD OA OE ===∵628AB =+=．10．(1)证明见解析；(2)63．【分析】（1）先证明OAB 是等边三角形再由性质得出60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒ 再由BC AB =和角度和差即可求解；（2）先根据等边三角形性质求出132OE OA == 再根据勾股定理求得33AE = 最后由垂径定理即可求解；此题考查了等边三角形的判定与性质勾股定理和垂径定理解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．【详解】（1）证明：∵AB OA OB ==∵OAB 是等边三角形∵60AOB OAB OBA ∠=∠=∠=︒∵BC OB =∵BC AB =∵1302BAC BCA OBA ∠=∠=∠=︒ ∵90OAC OAB BAC ∠=∠+∠=︒又∵OA 为O 的半径∵AC 是O 的切线；（2）解：∵6BC =∵6AB OA OB ===∵AD OB ⊥于点E∵30OAE ∠=︒∵132OE OA == ∵2233AE OA OE =-=∵AE OB ⊥∵263AD AE ==．11．(1)见解析∠=）证明：BAD60︒6090︒-︒=OD是O的半径∴直线BD是O的切线；==（2）解：设OD OC△中sin30在Rt BDO解得：1r==+OB OCDE是O的直径∴∠=︒DFE90∠=∠即DFB BDE∠=∠DBF DBE∴△∵BDEBFD△BF BD∴=BD BE337BF ∴= 解得：377BF =．【点睛】本题考查了切线的判定和性质相似三角形的性质和判定圆周角定理勾股定理等知识点作出辅助线构造出相似三角形是解题关键．12．(1)见详解(2)3【分析】（1）连接OC 由∠=∠OCB ABC ABC CBD ∠=∠ 得OCB CBD ∠=∠ 则OC BD ∥ 所以18090OCD D ∠=︒-∠=︒ 即可证明CD 为O 的切线；（2）由AB 为的直径得90ACB ∠=︒ 则ACB D ∠=∠ 而ABC CBD ∠=∠ 所以C ABC BD ∽△△ 则AB CB CB BD = 可求得CB BD AB =⋅ 由勾股定理得22CD CB BD =-．【详解】（1）证明：连接OC 则OC OB =OCB ABC ∴∠=∠ABC CBD ∠=∠OCB CBD ∴∠=∠OC BD ∴∥CD BD ⊥90D ∴∠=︒18090OCD D ∴∠=︒-∠=︒OC 是O 的半径且CD OC ⊥CD ∴为O 的切线．（2）解：AB 为的直径ABC∠=ABC CBD ∴∽∴AB CBCB BD=1,4BD AB==1 CB BD AB∴=⋅=22CD CB BD∴=-=CD∴的长是【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质AD OC∥ADO∴∠OA OD=ADO DAO ∴∠=∠DOC BOC ∴∠=∠OD OB OC OC ==，ODC OBC ∴≌△△∴OBC ODC ∠=∠BC AB ⊥∴90OBC ODC ∠=∠=︒OD 为经过圆心的半径∴CD 是O 的切线；（2）如图所示：作DM BC ⊥交BC 于点M8AB = 1AE =1432OA OB OD AB OE OA AE ∴=====-=， 227DE BM OD OE ==-=令=7CM x CB CD x ==+， 7BE DM ==∴在222Rt DMC CM DM CD +=△，222(7)7x x ∴+=+解得：37x =47BC ∴=DE BC ∥ADE ABC ∴△△∽是O的切线．2）在Rt△是O的切线得出Rt EAD中【详解】（1）证明：连接．是O的直径+∠OCA OCBDCB OCB+∠OCD=︒．90是半径经过O的半径外端∵CD 是O 的切线．（2）解：在Rt OCD △中∵90OCD ∠=︒ 30D ∠=︒ 2OC =∵4OD =．∵6AD AO OD =+=．∵AE 是O 的切线切点为A∵OA AE ⊥．在Rt EAD 中∵90EAD ∠=︒ 30D ∠=︒ 6AD =∵3tan 306233AE AD =⋅︒=⨯=． 15．(1)见解析(2)4π3【分析】本题考查圆与三角形的综合问题掌握与圆有关的性质正确作出辅助线是关键．（1）连接OC 根据条件证明OC BD ∥ 即可证明；（2）根据PCO PDB ∽可得PA 利用余弦值可求出COP ∠ 通过弧长公式求解即可．【详解】（1）证明：连接OC 如图∵OC OB =∵OCB OBC ∠=∠∵弦BC 平分PBD ∠∵DBC OBC ∠=∠∵OCB DBC ∠=∠．∵OC BD ∥∵BD PD ⊥∵OC PD ⊥．为O 的半径是O 的切线；）解：连接OC∵PCO PDB ∽OC PO BD PB= 8cm AB = BD =14cm 2OC AB ==4468PA PA +=+ Rt OCP 中cos COP ∠=60COP =︒AC 的长=(1)证明见解析；是O 的切线；证明FBD FDA ∽ 得到1tan tan 4BD A BDF AD ∠=∠== 进而得到164DF = 即可求解；本题考查了切线的判定相似三角形的判定与性质等腰三角形的性质余角性质根据题意正确作出辅助线是解题的关键．【详解】（1）证明：连结OD∵CO AB ⊥∵90E C ∠+∠=︒∵FE FD = OD OC =∵E FDE ∠=∠ ∠=∠C ODC∵90FDE ODC ∠+∠=︒∵90ODF ∠=︒∵OD DF ⊥∵FD 是O 的切线；（2）解：连结AD ,OD BD 如图∵AB 为O 的直径∵90ADB ∠=︒∵90∠+∠=︒A ABD∵OB OD =∵OBD ODB ∠=∠∵90A ODB ∠+∠=︒∵FBD FDA ∽DF BD AF AD= 在Rt △ABD 中 tan ∠164DF = 3DF =的平分线交O 于点E∵ED OE ⊥∵DE 为O 切线．（2）过点O 作OM BC ⊥于点M 10AB = 6BC =则132MC MB BC ===,152OB OE AB === 四边形OEDM 时矩形∵DE OM =根据勾股定理得224DE OM OB BM ==-=．18．(1)见解析(2)103【分析】（1）连接OA OC 与AB 相交于点E 如图由OA OC = 可得OAC OCA ∠=∠ 根据圆周角定理可得12B AOC ∠=∠ 由已知CAD B ∠=∠ 可得2AOC CAD ∠=∠ 根据三角形内角和定理可得180OCA CAO AOC ∠+∠+∠=︒ 等量代换可得90CAO CAD ∠+∠=︒ 即可得出答案；（2）根据角平分线的定义可得BAC DAC ∠=∠ 由已知可得BAC B =∠∠ 根据垂径定理可得 OC AB ⊥ BE AE = 在Rt BEC △中根据正弦定理可得3sin 45CE CE B BC === 即可算出CE 的长度根据勾股定理可算出22BE BC CE =-的长度设O 的半径为r 则125OE OC CE r =-=- 在Rt AOE △中 222OA OE AE =+ 代入计算即可得出答案．【详解】（1）证明：连接OA OC 与AB 相交于点E 如图OA OC =OAC ∴∠AC AC =∴12B ∠=CAD ∠=AOC ∴∠=OCA ∠+2CAO ∴∠+CAO ∴∠+OAD ∴∠OA 是O 的半径AD ∴是O 的切线；（2）解：AC 是∠BAC DAC ∴∠=∠CAD B ∠=∠BAC B ∴∠=∠OC AB ∴⊥ BE =在Rt BEC △中4BC =sin CE B BC ∴=125CE ∴=BE BC ∴=设O 的半径为r ，则125OE OC CE r =-=-在Rt AOE △中222OA OE AE =+ 222121655r r ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得：103r =．【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，勾股定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．。

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合(含答案)

2023年中考九年级数学高频考点提升练习--圆的综合1．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OE⊥BC于点H，交⊙O于点E，点D为OE的延长线上一点，DC的延长线与BA的延长线交于点F﹐且∠BOD=∠BCD，连结BD、AC、CE.（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）过E作EG⊥FD于点G，求证：△CHE≌△CGE；（3）如果AF=1，sin∠FCA=√33，求EG的长.2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−23x 2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C(52,34).（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO=∠BAO时，求点P的坐标；（3）点N(n,0) (0<n<52)在x轴的正半轴上，点M(0,m)是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC=90°.①求m与n之间的函数关系式；②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？3．综合与探究如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，D(3,4)两点，直线AD与y 轴交于点Q．点P(m,n)是直线AD上方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，并且交直线AD于点E．（1）请直接写出抛物线与直线AD的函数关系表达式；（2）当CP//AD时，求出点P的坐标；（3）是否存在点P，∠CPE=∠QFE？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．4．如图，在梯形ABCD中，AD⊙BC，⊙B=90°，BC=6，AD=3，⊙DCB=30°．点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动，已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边⊙EFG，设E点移动距离为x（x＞0）．（1）⊙EFG的边长是（用含有x的代数式表示），当x=2时，点G的位置在；（2）若⊙EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求y与x之间的函数关系式；（3）探究（2）中得到的函数y在x取何值时，存在最大值？并求出最大值．5．如图，抛物线y=−34x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．（1）求抛物线的解析式，并写出此抛物线的对称轴；（2）如果以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求m的值；（3）若△BPN与△OPM面积相等，直接写出点M的坐标．6．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r(r＞1)，点P是圆内与圆心C不重合的点，⊙C的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与⊙C交于点A，B，若满足|PA﹣PB|＝2，则称点P为⊙C的“完美点”，如图点P为⊙C的一个“完美点”.（1）当⊙O的半径为2时，﹣12)⊙O的“完①点M( 32，0)⊙O的“完美点”，点(﹣√32美点”；(填“是”或者“不是”)②若⊙O的“完美点”P在直线y＝34x上，求PO的长及点P的坐标；（2）设圆心C的坐标为(s，t)，且在直线y＝﹣2x+1上，⊙C半径为r，若y轴上存在⊙C的“完美点”，求t的取值范围.7．平面直角坐标系xOy中有点P和某一函数图象M，过点P作x轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点P ，Q 的纵坐标分别为 y P ， y Q ．如果 y P >y Q ，那么称点P 为图象M 的上位点；如果 y P =y Q ，那么称点P 为图象M 的图上点；如果 y P <y Q ，那么称点P 为图象M 的下位点．（1）已知抛物线 y =x 2−2 .① 在点A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)中，是抛物线的上位点的是；② 如果点D 是直线 y =x 的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标 x D 的取值范围；（2）将直线 y =x +3 在直线 y =3 下方的部分沿直线 y =3 翻折，直线 y =x +3 的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记作图象G ．⊙H 的圆心H 在x 轴上，半径为 1 ．如果在图象G 和⊙H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的横坐标 x H 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，点A 在⊙O 上，点P 在⊙O 内，给出如下定义：连接AP 并延长交⊙O 于点B ，若AP =kAB ，则称点P 是点A 关于⊙O 的k 倍特征点．（1）如图，点A 的坐标为(1，0)．①若点P 的坐标为(−12，0)，则点P 是点A 关于⊙O 的 ▲倍特征点；②在C 1(0，12)，C 2(12，0)，C 3(12，−12)这三个点中，点 ▲是点A 关于⊙O 的12倍特征点； ③直线l 经过点A ，与y 轴交于点D ，∠DAO =60°.点E 在直线l 上，且点E 是点A 关于⊙O 的12倍特征点，求点E 的坐标；（2）若当k取某个值时，对于函数y=−x+1(0<x<1)的图象上任意一点M，在⊙O上都存在点N，使得点M是点N关于⊙O的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．9．如图，已知抛物线y=x2+bx-3c经过点A(1,0)和点B(0,-3)，与x 轴交于另一点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是抛物线对称轴上的动点，是否存在这样的点P ，使以点A、C、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，在⊙ABC中，⊙ACB =90°，AB=10，AC=8，CD是边AB的中线．动点P 从点C出发，以每秒5个单位长度的速度沿折线CD-DB向终点B运动．过点P作PQ⊙AC于点Q，以PQ为边作矩形PQMN，使点C、N始终在PQ的异侧，且PN= 2．设矩形PQMN与⊙ACD重叠部分图形的面积是S，点P的运动时间为t(s)3PQ（t>0）．（1）当点P在边CD上时，用含t的代数式表示PQ的长．（2）当点N落在边AD上时，求t的值．（3）当点P在CD上时，求S与t之间的函数关系式．（4）连结DQ，当直线DQ将矩形PQMN分成面积比为1：2的两部分时，直接写出t的值．11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y= √36x2﹣114x+3 √3与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊙x轴，且交抛物线于点D，连接AD，交y轴于点E，连接AC．（1）求S⊙ABD的值；（2）如图2，若点P是直线AD下方抛物线上一动点，过点P作PF⊙y轴交直线AD于点F，作PG⊙AC交直线AD于点G，当⊙PGF的周长最大时，在线段DE上取一点Q，当PQ+ 35QE的值最小时，求此时PQ+35QE的值；（3）如图3，M是BC的中点，以CM为斜边作直角⊙CMN，使CN⊙x轴，MN⊙y 轴，将⊙CMN沿射线CB平移，记平移后的三角形为⊙C′M′N′，当点N′落在x轴上即停止运动，将此时的⊙C′M′N′绕点C′逆时针旋转（旋转度数不超过180°），旋转过程中直线M′N′与直线CA交于点S，与y轴交于点T，与x轴交于点W，请问⊙CST是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的WN′的长度；若不能，请说明理由．12．在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2−32x−2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若⊙DPQ与⊙ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．13．如图，已知抛物线与x轴交于A(−1，0)、B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x 轴于点F，交BC于点E，过点D作DM⊥BC，垂足为M．求线段DM的最大值；（3）已知P为抛物线对称轴上一动点，若△PBC是直角三角形，求出点P的坐标．14．如图，D是⊙ABC的BC边上一点，连接AD，作⊙ABD的外接圆，将⊙ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在⊙O上.（1）求证：AE＝AB.（2）填空：①当⊙CAB＝90°，cos⊙ADB＝13，BE＝2时，边BC的长为.②当⊙BAE＝时，四边形AOED是菱形.15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，4），点B是x轴正半轴上一点，连结AB，过点A作AC⊙AB，交x轴于点C，点D是点C关于点A的对称点，连结BD，以AD为直径作⊙Q交BD于点E，连结AE并延长交x轴于点F，连结DF.（1）求线段AE的长；（2）若AB﹣BO＝2，求tan⊙AFC的值；（3）若⊙DEF与⊙AEB相似，求BEDE的值.16．如图，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，BG与⊙O相切于点B，交AC的延长线于点D（点D在线段BG上），AC = 8，tan⊙BDC = 4 3（1）求⊙O的直径；（2）当DG= 52时，过G作GE//AD，交BA的延长线于点E，说明EG与⊙O相切.答案解析部分1．【答案】（1）证明：如图，连结OC ，∵OE⊙BC ， ∴⊙OHB=90°， ∴⊙OBH+⊙BOD=90°， ∵OB=OC ， ∴⊙OBH=⊙OCB ， ∵⊙BOD=⊙BCD ， ∴⊙BCD+⊙OCB=90°， ∴OC⊙CD ，∵点C 为⊙O 上一点， ∴DF 为⊙O 的切线（2）证明：∵⊙OCD=90°， ∴⊙ECG+⊙OCE=90°， ∵OC=OE ， ∴⊙OCE=⊙OEC ， ∴⊙ECG+⊙OEC=90°， ∵⊙OEC+⊙HCE=90°， ∴⊙ECG=⊙HCE ，在⊙CHE 和⊙CGE 中， {∠CHE ＝∠CGE ＝90°∠ECG ＝∠HCE CE ＝CE，∴⊙CHE⊙⊙CGE （AAS ）（3）解：∵AB 是⊙O 的直径，∴⊙ACB=90°， ∴⊙ABC+⊙BAC=90°， ∵DF 为⊙O 的切线， ∴⊙OCA+⊙FCA=90°， ∵OA=OC ， ∴⊙OAC=⊙OCA ， ∴⊙FCA=⊙ABC ，∴sin∠ABC =sin∠FCA =√33，设AC= √3a ，则AB=3a ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(3a)2−(√3a)2=√6a ， ∵⊙FCA=⊙ABC ，⊙AFC=⊙CFB ， ∴⊙ACF⊙⊙CFB ，∴AF CF =CF BF =AC BC =1√2，∵AF=1， ∴CF= √2 ， ∴BF =(√2)21=2 ，∴BF-AF=AB=1，∴OC =12,BC =√63，∵OE⊙BC ，∴CH =12BC =√66，∴OH =√OC 2−CH 2=(12)2−(√66)2=√36，∴HE=OE-OH= 12−√36，∵⊙CHE⊙⊙CGE ，∴EG=HE= 12−√36.2．【答案】（1）解：∵直线 y =−12x +2 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令x=0，则y=2，令y=0，则x=4， ∴A （4，0），B （0，2），∵抛物线 y =−23x 2+bx +c 经过B （0，2）， C(52,34) ，∴{2=c 34=−23×254+52b +c ，解得： {b =76c =2 ， ∴抛物线的表达式为： y =−23x 2+76x +2 ；（2）解：当点P 在x 轴上方时，点P 与点C 重合，满足 ∠PAO =∠BAO ， ∵C(52,34) ，∴P(52,34) ，当点P 在x 轴下方时，如图，AP 与y 轴交于点Q ，∵∠PAO =∠BAO ，∴B ，Q 关于x 轴对称，∴Q （0，-2），又A （4，0），设直线AQ 的表达式为y=px+q ，代入，{−2=q0=4p +q ，解得： {p =12q =−2 ，∴直线AQ 的表达式为： y =12x −2 ，联立得：{y =12x −2y =−23x 2+76x +2，解得：x=3或-2，∴点P 的坐标为（3， −12 ）或（-2，-3），综上，当 ∠PAO =∠BAO 时，点P 的坐标为： (52,34) 或（3，−12 ）或（-2，-3）；（3）解：①如图，⊙MNC=90°，过点C 作CD⊙x 轴于点D ，∴⊙MNO+⊙CND=90°，∵⊙OMN+⊙MNO=90°，∴⊙CND=⊙OMN,又⊙MON=⊙CDN=90°，∴⊙MNO⊙⊙NCD ，∴MO ND =NO CD ，即 m 52−n =n 34 ，整理得： m =−43n 2+103n ； ②如图，∵⊙MNC=90°，以MC 为直径画圆E ，∵N(n,0) (0<n <52) ， ∴点N 在线段OD 上（不含O 和D ），即圆E 与线段OD 有两个交点（不含O 和D ）， ∵点M 在y 轴正半轴，当圆E 与线段OD 相切时，有NE= 12 MC ，即NE 2= 14MC 2， ∵M （0，m ）， C(52,34) ， ∴E （ 54， 38+m 2 ）， ∴(38+m 2)2 = 14[(52)2+(m −34)2] ，解得：m= 2512，当点M 与点O 重合时，如图，此时圆E 与线段OD （不含O 和D ）有一个交点，∴当0＜m ＜ 2512时，圆E 与线段OD 有两个交点，故m 的取值范围是：0＜m ＜ 2512. 3．【答案】（1）解：∵抛物线 y =−x 2+bx +c 经过 A(−1,0) ， D(3,4) 两点，∴{−(−1)2+b ×(−1)+c =0−32+b ×3+c =4，解之得： {b =3c =4 ∴抛物线的函数关系表达式为 y =−x 2+3x +4 ，设直线 AD 的函数关系表达式为 y =kx +b ，∵直线 AD 经过 A(−1,0) ， D(3,4) 两点，∴{k ×(−1)+b =0k ×3+b =4，解之得： {k =1b =1 ∴直线 AD 的函数关系表达式为 y =x +1 ．（2）解：把 x =0 代入 y =−x 2+3x +4 ，得 y =4 ．∴点 C 坐标是（0，4），∵CP//AD∴k CP =k AD =1 ，设直线 CP 的函数关系表达式为 y =x +b ，∵将点 C （0，4），代入 y =x +b 得： b =4 ，∴直线 CP 的函数关系表达式为 y =x +4 ，∵直线 CP 与抛物线 y =−x 2+3x +4 相交于 P ，则有： x +4=−x 2+3x +4 ，解之得： x 1=0 ， x 2=2 ，把 x =2 代入 y =x +4 ，得 y =6 ，∴点P 的坐标是（2，6）．（3）解：存在点 P ，使得 ∠CPE =∠QFE ．过点 C 作 CG ⊥PF ，垂足为 G ．过点 Q 作 QH ⊥PF ，垂足为 H ．则四边形CGHQ为矩形．∴CG=QH，∠CGP=∠QHF=90°．∴当PG=HF时，△CGP≌△QHF，这时∠CPG=∠QFH，即∠CPE=∠QFE．设P(m,−m2+3m+4)，则PG=−m2+3m+4−4=−m2+3m．∵HF=QO=1．∴−m2+3m=1，解得m=3+√52或m=3−√52．4．【答案】（1）x；D（2）解：①当0＜x≤2时，⊙EFG在梯形ABCD内部，所以y= √34x2；②分两种情况：⊙．当2＜x＜3时，如图1，点E、点F在线段BC上，⊙EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，∵⊙FNC=⊙FCN=30°，∴FN=FC=6﹣2x．∴GN=3x﹣6．∵在Rt⊙NMG中，⊙G=60°，GN=3x﹣6，∴GM= 12（3x﹣6），由勾股定理得：MN= √32（3x﹣6），∴S⊙GMN= 12×GM×MN= 12× 12（3x﹣6）× √32（3x﹣6）= √38（3x﹣6）2，所以，此时y= √34x2﹣√38（3x﹣6）2=﹣7√38x2+9√32x−9√32；⊙．当3≤x≤6时，如图2，点E在线段BC上，点F在射线CH上，⊙EFG与梯形ABCD重叠部分为⊙ECP，∵EC=6﹣x，∴y= √38（6﹣x）2= √38x2﹣3√32x+ 9√32，⊙．当x＞6时，点E，F都在线段BC的延长线上，没公共部分，∴y=0（3）解：当0＜x≤2时，∵y= √34x2，在x＞0时，y随x增大而增大，∴x=2时，y最大= √3；当2＜x＜3时，∵y=﹣9√37x 2+9√32x−9√32在x= 187时，y最大= 9√37；当3≤x≤6时，∵y= √38x−3√32x+9√32，在x＜6时，y随x增大而减小，∴x=3时，y最大= 9√38．综上所述：当x= 187时，y最大=9√37．5．【答案】（1）解：∵抛物线y=−34x2+bx+c与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B(0，3)，∴{−34×16+4 b+c=0c=3，解得{b=94c=3，∴抛物线y=−34x 2+94x+3=−34(x−32)2+7516；∴抛物线的对称轴为直线x=32（2）解：设直线A(4，0)，B(0，3)的解析式为y=ax+d，∴{4a+d=0d=3，解得{a=−34 d=3，∴直线AB的表达式为：y=−34x+3；∵点M(m，0)为线段OA上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N，∴PN//y轴，即PN//OB，且点N在点P上方，若以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形，则只需要PN=OB，∴−34m2+94m+3−(−34m+3)=3，解得m=2；即当m=2时，以点P、N、B、O为顶点的四边形为平行四边形．（3）解：M（1，0）6．【答案】（1）不是；是；解：如图1，根据题意，|PA−PB|＝2，∴|OP+2−(2−OP)|＝2，∴OP＝1. 若点P在第一象限内，作PQ⊙x轴于点Q，∵点P在直线y＝34x上，OP＝1，∴OQ=45,PQ=3 5 .∴P( 45,35). 若点P在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(﹣45，﹣35). 综上所述，PO的长为1，点P的坐标为( 45,35)或（−45,−35）).（2）解：对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|＝2，∴|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2.∴CP＝1.∴对于任意的点P，满足CP＝1，都有|CP+r﹣(r﹣CP)|＝2，∴|PA﹣PB|＝2，故此时点P为⊙C的“完美点”.因此，⊙C的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆.设直线y＝﹣2x+1与y轴交于点D，如图2，当⊙C 移动到与y 轴相切且切点在点D 的上方时，t 的值最大.设切点为E ，连接CE ，∵⊙C 的圆心在直线y ＝﹣2x+1上，∴此直线和y 轴，x 轴的交点D(0，1)，F( 12，0)， ∴OF ＝ 12，OD ＝1， ∵CE⊙OF ，∴⊙DOF⊙⊙DEC ，∴OD DE =OF CE， ∴1DE =12， ∴DE ＝2，∴OE ＝3，t 的最大值为3，当⊙C 移动到与y 轴相切且切点在点D 的下方时，t 的值最小.同理可得t 的最小值为﹣1.综上所述，t 的取值范围为﹣1≤t≤3.7．【答案】（1）解：① A ，C ②∵点D 是直线 y =x 的图上点，∴点D 在 y =x 上. 又∵点D 是 y =x 2−2 的上位点， ∴点D 在 y =x 与y =x 2−2 的交点R ，S 之间运动. ∵{y =x 2−2,y =x.∴{x 1=−1,y 1=−1. {x 2=2,y 2=2.∴点R( −1 ， −1 )，S( 2 ， 2 ). ∴−1<x D <2 .（2）解：如图，当圆与两条直线的反向延长线相切时，为临界点，临界点的两边都满足要求.将y=x+3沿直线y=3翻折后的直线的解析式为y=−x+3当y=x+3=0时，x=−3，∴A(-3,0),OA=3当x=0时，y=x+3=3∴C(0,3),OC=3∴OA=OC∵∠AOC=90°∴∠CAO=45°∴AH1=rsin45°=1√22=√2∵A(-3,0)∴x H1=−3+√2同理可得x H2=3−√2∴线段EF上同时存在图象G的上位点，图上点和下位点，圆心H的横坐标x H的取值范围为x H>3−√2或x H<−3+√2.8．【答案】（1）解：①34②C3③如图所示，设直线AD交圆O于B，连接OE，过点E作EF⊙x轴于F，∵点E 是点A 关于⊙O 的12倍的特征点， ∴AE AB =12， ∴E 是AB 的中点，∴OE⊙AB ，∵⊙EAO=60°，∴⊙EOA=30°，∴AE =12OA =12，EF =12OE ， ∴OE =√OA 2−AE 2=√32， ∴EF =√34， ∴OF =√OE 2−EF 2=34， ∴点E 的坐标为（34，√34）；（2）k 的最小值为2−√24，k 有最大值为2+√249．【答案】（1）解：把A （1，0），B （0，-3）代入 y=x 2+bx-3c ，得 {1+b −3c =0−3c =−3解得 {b =2c =1∴抛物线的解析式为y=x 2+2x-3；（2）解：对于y=x 2+2x-3，∵x =−b 2a=−1 ，A(1，0)∴C 点坐标为（-3,0），AC=4，Q点的横坐标为-1.如图所示：若以点A、C、P、Q 为顶点的平行四边形以AC为边，则PQ=AC=4.①当P点的横坐标为x1=-1-4=-5时，y1=x2+2x−3=25−10−3=12，即P1(-5,12）②当P点的横坐标为x2=-1+4=3时，y2=x2+2x−3=9+6−3=12，即P2(3,12）；若以点A、C、P、Q为顶点的平行四边形以AC为对角线，则设P3的横坐标为x3，则有x3−12=−3+12，解得x3=-1，y3=x2+2x−3=1−2−3=−4，即P3(-1，-4)。

九年级圆知识点及习题(含答案)

九年级圆知识点及习题(含答案) Mathematics Review for Grade Nine: CirclesConcepts and Properties of Circles1.The distance from any point on a circle to its center is equal to the radius.2.A circle is a symmetric figure。

Any diameter is an axis of symmetry。

A circle is also a centrally symmetric figure。

with its center as the center of symmetry.3.A diameter perpendicular to a chord bisects the chord and the arc it subtends。

A diameter that bisects a chord (but is not perpendicular to it) is perpendicular to the chord and bisects the arc it subtends.4.In congruent or similar circles。

if two central angles。

two chords。

two arcs。

two chord distances from the center。

or two inscribed angles are equal。

then the other corresponding quantities are also equal.5.The central angle and the inscribed angle that subtend the same arc are equal。

部编数学九年级上册第24章圆(基础卷)(解析版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第24章圆（基础卷）一．选择题（每小题3分，共24分）1.已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为( )A．0个B．1个C．2个D．无数个【答案】C【解析】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，如下图，得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，即能画的圆的个数是2个．故选：C．2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE=5，AE=1，则弦CD的长是（）A．5B C．D．6【答案】C【解析】解：连接OC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，BE=5，AE=1，∴CD=2CE，∠OEC=90°，AB=AE+BE=6，∴OC=OA=3，∴OE=OA-AE=3-1=2，在Rt△COE中，由勾股定理得：CE===∴CD=2CE=3.下列语句不正确的有（）个．①直径是弦；②优弧一定大于劣弧；③长度相等的弧是等弧；④半圆是弧．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】解：①直径是弦，①正确；②在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，②错误；③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，③错误；④半圆是弧，④正确；故不正确的有2个．故选：B ．4.如图，P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交PA 、PB 于点C 、D ，若PA ＝8，则△PCD 的周长为( )A ．8B ．12C ．16D ．20【答案】C 【解析】解：∵PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，∴PA =PB =6，AC =EC ，BD =ED ，∴PC +CD +PD =PC +CE +DE +PD =PA +AC +PD +BD =PA +PB =8+8=16，即△PCD 的周长为16．故选：C ．5.如图，边长为2的菱形ABCD 绕点A 旋转，当B 、C 两点恰好落在扇形AEF 的EF 上时，弧BC 的长度等于（）A ．6pB ．23pC ．3pD ．4p【解析】解：连接AC ，∵菱形ABCD 中，AB =BC ，又AC =AB ，∴AB =BC =AC ，即△ABC 是等边三角形．∴∠BAC =60°，又∵AB =2，∴»60221803BC l p p ´==故选B ．6.如图，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，∠ABC ＝25°，OC 的延长线交PA 于点P ，则∠P 的度数是( )A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°【答案】C 【解析】»»AC AC =Q ，∠ABC ＝25°，250AOC ABC \Ð=Ð=°，Q AB 是⊙O 的直径，\90PAO Ð=°，9040P AOC \Ð=°-Ð=°．故选C ．7.如图，AB 是O e 的直径，将弦AC 绕点A 顺时针旋转30°得到AD ，此时点C 的对应点D 落在AB 上，延长CD ，交O e 于点E ，若4CE =，则图中阴影部分的面积为（）A ．2pB ．C ．24p -D ．2p -【答案】C 【解析】解：如图，连接OE ，OC ，过点O 作OF ⊥CE 于点F ，则114222EF CE ==´=，由旋转得，,AC AD =∴∠ADC ACD =Ð，∵∠30,A °=∴∠1(18030)752ADC ACD °°°=Ð=´-=，∴∠2150AOE ACD °=Ð=，∴∠30,EOD °=又∠75,OED EOD ODC °+Ð=Ð=∴∠75753045,OED EOD °°°°=-Ð=-=∴∠45,EOF OEF °=Ð=∴2OF EF ==∴OE ===∵OE OC =∴∠OEC °=Ð90°=∴42=EOFEOF S S S D -´阴影扇形2 4.p =-故选：C ．8.如图，矩形ABCD 是由边长为1的五个小正方形拼成，O 是第2个小正方形的中心，将矩形ABCD 绕O 点逆时针旋转90°得矩形A B C D ¢¢¢¢，现用一个最小的圆覆盖这个图形，则这个圆的半径是（）A B C D 【答案】C 【解析】作线段BC 、A D ¢¢的垂直平分线MH 、NH ，两线的交点为H 点，连接BH ，如图，∵MH 、NH 为线段BC 、A D ¢¢的垂直平分线，∴BM =12BC =52，A N ¢=12A D ¢¢=52，∴HM =A N ¢-1=53122-=，∴BH ==故选：C ．二．填空题（每小题2分，共16分）9.如图所示，O 为△ABC 的外心，若∠BAC ＝70°，则∠OBC ＝____．【答案】20°【解析】连接OC∵∠BAC =70°，∴∠BOC =140°∵OB=OC ，∴∠OBC =(180°-∠BOC )÷2，∴∠OBC =20°10.如图，从一个腰长为60cm ，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB 中剪出一个最大的扇形OCD ，则此扇形的弧长为______cm.【答案】20p【解析】解：过O 作OE ⊥AB 于E ，∵OA =OB =60cm ，∠AOB =120°，∴∠A =∠B =30°，∴OE =12OA =30cm ，∴弧CD 的长=1203020180p p ´=(cm)，故答案为：20p ．11.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，CD ⊥AB 于点E ，已知AB ＝10，CD ＝8，则OE =______．【答案】3【解析】解：连接OC ，如图所示：∴152OC AB ==，∵CD ⊥AB ，∴142CE DE CD ===，在Rt △OCE 中，∠CEO =90°，OC =5，CE =4，∴OE ，故答案为：3．12.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ADC =130°，连接AC ，则∠BAC 的度数为___________．【答案】40°【解析】解：∵四边形ABCD 内接与⊙O ，∠ADC =130°，∴∠B =180°-∠ADC =180°-130°=50°，∵AB 为直径，∴∠ACB =90°，∴∠CAB =90°-∠B =90°-50°=40°，故答案为：40°．13.如图，AC 、AD 为正六边形ABCDEF 的两条对角线，若该正六边形的边长为2，则△ACD 的周长为 _____．【答案】6【解析】解：∵正六边形ABCDEF，∴∠B＝∠BCD(62)1806°-´==120°，AB＝BC，∴∠ACB＝∠BCA＝30°，∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°，由对称性可得，AD是正六边形的对称轴，∴∠ADC＝∠ADE12=∠CDE＝60°，在Rt△ACD中，CD＝2，∠ADC＝60°，∴AD＝2CD＝4，AC=＝∴△ACD的周长为AC+CD+AD＝2+4＝6，故答案为：+6．14.如图所示，O为△ABC的外心，若∠BAC＝70°，则∠OBC＝____．【答案】20°【解析】连接OC∵∠BAC=70°，∴∠BOC=140°∵OB=OC，∴∠OBC=(180°-∠BOC)÷2，∴∠OBC=20°15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）________．【答案】112-34p 【解析】解：设切点分别为D 、E 、F ，连接OD 、OE 、OF ，∵⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，∴AE =AF 、BD =BF 、CD =CE ，OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，∵∠C =90°，∴四边形CDOE 为正方形，∴∠EOF+∠FOD =360°-90°=270°，设⊙O 的半径为x ，则CD =CE =x ，AE =AF =4-x ，BD =BF =3-x ，∴4-x +3-x =5，解得x =1，∴S 阴影=S △ABC -( S 扇形EOF + S 扇形DOF )- S 正方形CDOE =12×3×4-2270113602p ´-×1×1=112-34p ．故答案为：112-34p ．16.如图，在四边形ABCD 中，,,AD BC AB BC O ^P e 是四边形ABCD 的内切圆，,CD BC 分别切O e 于F ，E 两点，若3,6AD BC ==，则EF 的长是【解析】连接OC ，与EF 相交于点M ，作DG ⊥BC 于点G ，连接OE ，设AD 与圆的切点为H ，如图，∵,,AD BC AB BC DG BC ^^∥， ∴四边形ABGD 是矩形，∴BG =AD =3，CG =BC -BG =6-3=3，∵点E 、F 、H 是切点，∴DF =DH ，CF =CE ，OC 平分∠ECF ，∴△ECF 是等腰三角形，OC 是EF 的垂直平分线，∴EM =FM ，设圆O 半径为R ，则BE =R ，DG =2R ，∴CE =CF =6-R ，DF =DH =3-R ，∵222DG CG CD +=，∴()()()22223[36]R R R +=-+-解得：R =2，∴CE =6-2=4，∴OC ==∵1122OEC S OE CE OC EM =×=×V ，∴OE CE EM OC ×==∴22EF EM ==三．解答题（共60分）17.（6分）如图，在⊙O 中，D ，E 分别为半径OA ，OB 上的点，且AD ＝BE .点C 为»AB 上一点，连接CD ，CE ，CO ，∠AOC ＝∠BOC ，求证：CD ＝CE ．【答案】见解析【解析】证明：∵,OA OB AD BE ==，∴OA AD OB BE -=-，即OD OE =，在ODC △和OEC △中，OD OE DOC EOC OC OC =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ODC OEC @V V ，∴CD CE =．18.（8分）已知：如图，AB 为O e 的直径，AB AC =，O e 交BC 于D ，DE AC ^于E ．(1)请判断DE 与O e 的位置关系，并证明．(2)连接AD ，若O e 的半径为2.5，3AD =，求DE 的长．e相切，【解析】（1）DE与O19.（8分）如图，AB为⊙O的直径，点C是AB右侧半圆上的一个动点，点D是AB左侧半圆的中点，DE 是⊙O的切线，切点为D，连接CD交AB于点P，点Q为射线DE上一动点，连接AD，AC，BQ，PQ．(1)当PQ∥AD时，求证：△DPQ≌△PDA．(2)若⊙O的半径为2，请填空：①当四边形BPDQ为正方形时，DQ＝；②当∠BAC＝时，四边形ADQP为菱形．【答案】(1)见解析；(2)①2；②22.5°【解析】（1）证明：连接OD，∵点D 为的中点，∵DE 是⊙O 的切线，又∵PQ ∥AD ，∴∵四边形BPDQ 是正方形，∵DE 是⊙O 的切线，20.（8分）如图，ABC V 中，40BAC Ð=°，AB AC =，过点A ，C ，B 的弧的半径为6，点P 在»AC 上．PC AB ∥，切线PD 交OC 的延长线于点D ．(1)求»BC的长；(2)求D Ð的度数．B 为6，∴6OB =，∴»BC 的长为80681803p p ×´=，∴»BC 的长为83p ．（2）如图，连接OP 80BOC Ð=°，∴OCB ÐPC AB ∥，∴PCA Ð=21.（10分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，过点D 作AD 的垂线交AB 于点E ．(1)请画出△ADE 的外接圆⊙O （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求证：BC 是⊙O 的切线；(3)过点D作DF⊥AE于点F，延长DF交⊙O于点G，若DG＝8，EF＝2．求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)5【解析】（1）解：如图1所示，⊙O即为所求；（3）证明：如图2，连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠OAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴OD⊥BC，∵OD为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；22.（10分）如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．(1)求证：∠ACO＝∠BCP；(2)若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；(3)在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．∠OCP ，∴∠ACO ＝∠BCP ；23.（10分）如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆上的一点，D 为劣弧»BC的中点，过点D 作⊙O 的切线与AC 的延长线交于点P ，与AB 的延长线交于点F ，AD 与BC 交于点E ．(1)求证：BC PF ∥；(2)若⊙O DE ＝1，求AE 的长度；(3)在（2）的条件下，求DCP V 的面积．【解析】（1）解：证明：如图，连接，为劣弧BC的中点，CD BD \=，，又Q PF 为⊙O 的切线，OD PF \⊥，//BC PF \；（2）解：如图，连接OD CD BD DCE \=Ð=Ð，21(CD DE AD x \=×=´+（3）解：如图，设OD 与中，4cos 25AD DAB AB Ð===OA OD =Q ，EDH DAB \Ð=Ð，cos cos EDH DAB \Ð=Ð=，又1DE =Q ，252555DH DE \=´=，OH OD DH \=-=OH BC ^Q ，CH BH \=AB Q 为⊙O 的直径，90ACB \Ð=°，由（1）可知OD PD ^，OH BC ^，\四边形HDPC 为矩形，CP DH \==DP CH =114225DCP HDPC S S \===V 矩形．。

苏教版九年级数学上册第二章 2.3 确定圆的条件同步练习题(含答案解析)

2.3确定圆的条件一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•金湖县期末）△ABC的外接圆圆心是该三角形（）的交点．A．三条边垂直平分线B．三条中线C．三条角平分线D．三条高2．（2019秋•梁溪区期末）已知点O是△ABC的外心，作正方形OCDE，下列说法：①点O是△AEB的外心；②点O是△ADC的外心；③点O是△BCE的外心；④点O是△ADB的外心．其中一定不成立的说法是（）A．②④B．①③C．②③④D．①③④3．（2019秋•太仓市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则其外接圆的半径为（）A．15 B．7.5 C．6 D．34．（2019秋•相城区期中）如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD垂直AB于点D．若CD＝3，AC＝6，则BC长为（）A．3 B．5 C．3D．65．（2019秋•盐都区期中）下列说法错误的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数C．经过三点可以作一个圆D．三角形的外心到三角形各顶点距离相等6．（2019秋•崇川区校级月考）下列语句中正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2019秋•新沂市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B 的坐标为（2，1），点C的坐标为（2，﹣3）．经画图操作可知△ABC的外心坐标可能是（）A．（﹣2，﹣1）B．（1，0）C．（0，0）D．（2，0）8．（2019•碑林区校级模拟）如图，△ABC为⊙O内接等边三角形，将△ABC绕圆心O旋转30°到△DEF处，连接AD，AE，则∠EAD的度数为（）A．150°B．135°C．120°D．105°二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020•姑苏区一模）如图，△ABC内接于⊙O，C为弧BD的中点，若∠A＝30°，则∠BCD＝°．10．（2020•滨湖区一模）若一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，则这个三角形的外接圆的直径长为cm．11．（2019秋•苏州月考）半径为2的圆的内接正三角形的面积是．12．（2020•泰州二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为．13．（2019秋•张家港市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y的正半轴上，以AB所在的直线为对称轴将△ABO翻折，使点O落在点C处，若点C的坐标为（4，8），则△AOC的外接圆半径为．14．（2019秋•南通期中）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，若∠B＝65°，则∠OAC＝．15．（2019秋•阜宁县期中）①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中错误的是．（填序号）16．（2019秋•江都区期中）若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为．三、解答题（本大题共4小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2019秋•淮阴区期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求这个三角形外接圆的半径和面积．18．（2019•兴化市二模）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，AD与BC相交于点E，且BE＝CE．（1）请判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（2）若BC＝6，ED＝2，求AE的长．19．（2020•海门市校级模拟）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB ＝90°．（1）求证：（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．20．（2019秋•鼓楼区校级月考）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．（1）如图①，求⊙O的半径；（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•金湖县期末）△ABC的外接圆圆心是该三角形（）的交点．A．三条边垂直平分线B．三条中线C．三条角平分线D．三条高【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．【解析】△ABC的外接圆圆心是△ABC三边中垂线的交点，故选：A．2．（2019秋•梁溪区期末）已知点O是△ABC的外心，作正方形OCDE，下列说法：①点O是△AEB的外心；②点O是△ADC的外心；③点O是△BCE的外心；④点O是△ADB的外心．其中一定不成立的说法是（）A．②④B．①③C．②③④D．①③④【分析】根据三角形的外心得出OA＝OC＝OB，根据正方形的性质得出OA＝OC＜OD，求出OA＝OB＝OC＝OE≠OD，再逐个判断即可．【解析】连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，∴OA＝OC≠OD，即O不是△ADC的外心，OA＝OE＝OB，即O是△AEB的外心，OB＝OC＝OE，即O是△BCE的外心，OB＝OA≠OD，即O不是△ABD的外心，故选：A．3．（2019秋•太仓市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则其外接圆的半径为（）A．15 B．7.5 C．6 D．3【分析】直角三角形的斜边是它的外接圆的直径，通过勾股定理求出AB即可．【解析】如图，∵∠C＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，而AC＝9，BC＝12，∴AB15．又∵AB是Rt△ABC的外接圆的直径，∴其外接圆的半径为7.5．故选：B．4．（2019秋•相城区期中）如图，⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，过点C作CD垂直AB于点D．若CD＝3，AC＝6，则BC长为（）A．3 B．5 C．3D．6【分析】连接OC，OB，由垂直的定义得到∠ADC＝90°，得到CD AC，根据直角三角形的性质的∠A＝30°，由圆周角定理得到∠O＝60°，推出△OBC是等边三角形，得到BC＝OB，于是得到结论．【解析】连接OC，OB，∵CD垂直AB，∴∠ADC＝90°，∵CD＝3，AC＝6，∴CD AC，∴∠A＝30°，∴∠O＝60°，∵OC＝OB，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB，∵⊙O的半径为5，∴BC＝5，故选：B．5．（2019秋•盐都区期中）下列说法错误的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数C．经过三点可以作一个圆D．三角形的外心到三角形各顶点距离相等【分析】根据三角形的外心的性质，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系判定即可．【解析】A等弧所对的圆心角相等，故不符合题意；B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故不符合题意；C、经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故符合题意；D、三角形的外心到三角形各顶点距离相等，故不符合题意；故选：C．6．（2019秋•崇川区校级月考）下列语句中正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用确定圆的条件、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系逐一作出判断即可得到答案．【解析】①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不符合题意；②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故不符合题意；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；故符合题意；④把这题一条直线上的三点确定一个圆，故不符合题意，故选：A．7．（2019秋•新沂市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B 的坐标为（2，1），点C的坐标为（2，﹣3）．经画图操作可知△ABC的外心坐标可能是（）A．（﹣2，﹣1）B．（1，0）C．（0，0）D．（2，0）【分析】首先由△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作AB与BC的垂线，两垂线的交点即为△ABC的外心．【解析】∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，∴作图得：∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．故选：A．8．（2019•碑林区校级模拟）如图，△ABC为⊙O内接等边三角形，将△ABC绕圆心O旋转30°到△DEF处，连接AD，AE，则∠EAD的度数为（）A．150°B．135°C．120°D．105°【分析】连结OA、OE、OD、AE、AD，根据旋转的性质得∠AOD＝30°，再根据圆周角定理得∠AED∠AOD＝15°，然后根据等边三角形的性质得∠EFD＝60°，则∠DOE＝120°，求出∠AOE＝∠DOE﹣∠AOD＝90°，则∠ADE＝45°，根据三角形内角和可求出∠EAD的度数．【解析】如图，连结OA、OE、OD、AE、AD，∵△ABC绕点O顺时针旋转30°得到△DEF，∴∠AOD＝30°，∴∠AED∠AOD＝15°，∵△DEF为等边三角形，∴∠EFD＝60°，∴∠DOE＝2∠EFD＝120°，∴∠AOE＝∠DOE﹣∠AOD＝120°﹣30°＝90°，∴∠ADE45°，∴∠EAD＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝180°﹣15°﹣45°＝120°．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020•姑苏区一模）如图，△ABC内接于⊙O，C为弧BD的中点，若∠A＝30°，则∠BCD＝120°．【分析】根据圆周角定理求出∠BDC，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到CB＝CD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．【解析】由圆周角定理得，∠BDC＝∠A＝30°，∵C为弧BD的中点，∴，∴CB＝CD，∴∠CBD＝∠BDC＝30°，∴∠BCD＝180°﹣30°﹣30°＝120°，故答案为：120．10．（2020•滨湖区一模）若一个直角三角形的两条直角边长分别为7cm和24cm，则这个三角形的外接圆的直径长为25cm．【分析】根据勾股定理求出斜边长，根据圆周角定理解答即可．【解析】由勾股定理得，直角三角形的斜边长25，∴这个三角形的外接圆的直径长为25cm，故答案为：25．11．（2019秋•苏州月考）半径为2的圆的内接正三角形的面积是3．【分析】连接OB、OC，作OD⊥BC于D，根据垂径定理得到BD＝CD，∠OBC＝30°，根据直角三角形的性质求出OD，由勾股定理求出BD，得到BC的长，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】如图所示，连接OB、OC，作OD⊥BC于D，则∠ODB＝90°，BD＝CD，∠BOC120°，则∠OBC＝30°，∴OD OB＝1，由勾股定理得，BD，∴BC＝2BD＝2，∴△ABC的面积＝3S△OBC＝321＝3，故答案为：3．12．（2020•泰州二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为（6，6）．【分析】由题意得出M在AB、BC的垂直平分线上，则BN＝CN，求出ON＝OB+BN＝6，证△OMN是等腰直角三角形，得出MN＝ON＝6，即可得出答案．【解析】如图所示：∵⊙M是△ABC的外接圆，∴点M在AB、BC的垂直平分线上，∴BN＝CN，∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），∴OA＝OB＝4，OC＝8，∴BC＝4，∴BN＝2，∴ON＝OB+BN＝6，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∵OM⊥AB，∴∠MON＝45°，∴△OMN是等腰直角三角形，∴MN＝ON＝6，∴点M的坐标为（6，6）；故答案为：（6，6）．13．（2019秋•张家港市期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x，y的正半轴上，以AB所在的直线为对称轴将△ABO翻折，使点O落在点C处，若点C的坐标为（4，8），则△AOC的外接圆半径为．【分析】先确定三角形外接圆的圆心，再根据已知条件和勾股定理分别求出OC、OB和AO的长，进而可以求出外接圆的半径．【解析】如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC交AB于点D，根据翻折可知：AB是OC的垂直平分线，作AO的垂直平分线交AB于点O′，则点O′即为△AOC的外心，设OB＝CB＝x，∵点C（4，8）∴CE＝4，OE＝8，则OC4∴CD＝OD＝2，EB＝8﹣x，在Rt△CEB中，根据勾股定理，得x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，即OB＝BC＝5，∴BD∵OD2＝BD•AD∴AD＝4设OO′＝AO′＝r，则DO′＝4r，∴（4r）2+（2）2＝r2解得r．所以△AOC的外接圆半径为：．故答案为：．14．（2019秋•南通期中）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接OA，若∠B＝65°，则∠OAC＝25°．【分析】如图，连接OC．利用圆周角定理求出∠AOC，再利用等腰三角形的性质解决问题即可．【解析】如图，连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠AOC＝2∠ABC＝130°，∴∠OAC（180°﹣∠AOC）＝25°，故答案为25°．15．（2019秋•阜宁县期中）①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中错误的是②．（填序号）【分析】根据直径与弦的定义判断①；根据确定圆的条件判断②；根据三角形的外心的性质判断③；根据半圆与等弧的定义判断④．【解析】①直径是圆中最长的弦，正确；②经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，错误；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，正确；④半径相等的两个半圆是等弧，正确．其中正确的有①③④，错误的为②．故答案为：②．16．（2019秋•江都区期中）若点O是△ABC的外心，且∠BOC＝70°，则∠BAC的度数为35°或145°．【分析】根据题意画出图形、运用分情况讨论思想和圆周角定理解得即可．【解析】①当点O在三角形的内部时，如图所示：则∠BAC∠BOC＝35°；②当点O在三角形的外部时，如图所示；则∠BAC（360°﹣70°）＝145°故答案为：35°或145°．三、解答题（本大题共4小题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2019秋•淮阴区期中）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，求这个三角形外接圆的半径和面积．【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据直角三角形外心的特点求出外接圆的半径和面积．【解析】∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB10，∴Rt△ABC的外接圆的半径为5，面积为π×52＝25π．18．（2019•兴化市二模）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，AD与BC相交于点E，且BE＝CE．（1）请判断AD与BC的位置关系，并说明理由；（2）若BC＝6，ED＝2，求AE的长．【分析】（1）如图，连接OB、OC，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）设半径OC＝r，根据勾股定理即可得到结论．．【解析】（1）AD⊥BC，理由：如图，连接OB、OC，在△BOE与△COE中，，∴△BOE≌△COE（SSS），∴∠BEO＝∠CEO＝90°，∴AD⊥BC；（2）设半径OC＝r，∵BC＝6，DE＝2，∴CE＝3，OE＝r﹣2，∵CE2+OE2＝OC2，∴32+（r﹣2）2＝r2，解得r，∴AD，∵AE＝AD﹣DE，∴AE2．19．（2020•海门市校级模拟）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠BAC+∠OAB ＝90°．（1）求证：（2）如图2，作CD⊥AB交于D，AO的延长线交CD于E，若AO＝3，AE＝4，求线段AC的长．【分析】（1）连BO并延长BO交AC于T．只要证明BT⊥AC，利用垂径定理即可解决问题；（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．在Rt△AFC中，求出CF，AF即可解决问题；【解答】（1）证明：连BO并延长BO交AC于T．∵AO＝BO，∴∠OAB＝∠OBA，又∵∠BAC+∠OAB＝90°，∴∠BAC+∠OBA＝90°，∴∠BTA＝90°，∴BT⊥AC，∴．（2）延长AO并交⊙O于F，连接CF．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA＝90°，∴∠OAB+∠AED＝90°，∵∠OAB+∠BAC＝90°，∴∠AED＝∠BAC＝∠FEC，∵AF为⊙O直径，∴∠ACF＝90°，同理：∠FCE＝∠BAC，∴∠FEC＝∠FCE，∴FE＝FC，∵AO＝3，AE＝4，∴OE＝1，FE＝FC＝2，在Rt△FCA中∴AC420．（2019秋•鼓楼区校级月考）△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，⊙O是△ABC的外接圆．（1）如图①，求⊙O的半径；（2）如图②，∠ABC的平分线交半径OA于点E，交⊙O于点D．求OE的长．【分析】（1）过A点作AH⊥BC于H，如图①，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝3，根据垂径定理的推论可判断点O在AH上，则利用勾股定理可计算出AH＝4，连接OB，设⊙O的半径为r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4﹣r）2＝r2，然后解方程即可；（2）作EF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到EH＝EF，利用面积法得到，所以EH AH，然后利用（1）得OH，从而计算EH﹣OH得到OE的长．【解析】（1）过A点作AH⊥BC于H，如图①，∵AB＝AC，∴BH＝CH BC＝3，即AH垂直平分BC，∴点O在AH上，在Rt△ABH中，AH4，连接OB，设⊙O的半径为r，则OB＝r，OH＝AH﹣OA＝4﹣r，在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r，即⊙O的半径为；（2）作EF⊥AB于F，如图，∵BD平分∠ABC，∴EH＝EF，∵S△ABE BH•AE AB•EF，∴，∴EH AH4，由（1）得OH＝AH﹣OA＝4，∴OE．。

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DOBC A EPEECOB P D AOBACDBACDO1．如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA 于D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD ：DC =1：3，AB =8，求⊙O 的半径．（1）证明：连结OC ．∵ OC =OA ，∴ ∠OAC = ∠OCA∵ AC 平分∠PAE ，∴ ∠DAC = ∠OAC ，∴ ∠DAC = ∠OCA ， ∴ AD ∥OC ．∵ CD ⊥PA ，∴ ∠ADC = ∠OCD =90°，即 CD ⊥OC ，点C 在⊙O 上，∴ CD 是⊙O 的切线．（2）解：过O 作OE ⊥AB 于E ．∴ ∠OEA =90°∵ AB =8，∴ AE =4．在Rt △AEO 中，∠AEO =90°，∴ AO 2=42+OE 2． ∵ ∠EDC = ∠OEA =∠DCO =90°，∴ 四边形DEOC 是矩形， ∴ OC =DE ，OE =CD ．∵ AD:DC =1:3，∴ 设AD =x ，则DC =OE =3x ，OA =OC =DE =DA +AE =x +4，∴ (x +4)2=42+(3x )2，解得 x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=1．则 OA =5．∴ ⊙O 的半径是5． 2.如图1和图2，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD•相交于MN•上的一点P ， ∠APM=∠CPM．（1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．BA CE DP ONM FB A CE DPNM F解：（1）AB=CD 理由：过O 作OE 、OF 分别垂直于AB 、CD ，垂足分别为E 、F∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF 连结OD 、OB 且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD（2）作OE⊥AB ，OF⊥CD，垂足为E 、F ∵∠APM=∠CPN 且OP=OP ，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF 连接OA 、OB 、OC 、OD易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD3．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系为什么解：BD=CD 理由是：如图，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD4. 如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（） A ．130° B．100° C．50° D．65° 答案A5．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB= ∠A．（1）CD 与⊙O 相切吗如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．解：（1）CD 与⊙O 相切 ∵AB 是直径 ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线．（2）在Rt△OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．6．如图，已知正六边形ABCDEF ，其外接圆的半径是a ，•求正六边形的周长和面积．解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于3606︒=60°， △OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt△OAM 中，OA=a ，AM=12AB=12a 利用勾股定理，可得边心距OM=221()2a a -=123a∴所求正六边形的面积=6×12×AB×OM=6×12×a×32a=323a 27．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm 2．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少解：（1）如图所示： ∵300π=2120360R π ∴R=30∴弧长L=12030180π⨯⨯=20π（cm ）（2）如图所示： ∵20π=20πr ∴r=10，R=30 AD=900100-=202 ∴S 轴截面=12×BC×AD =12×2×10×202=2002（cm 2）因此，扇形的弧长是20πcm 卷成圆锥的轴截面是2002cm 2． 8.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交⋂BC 于D ． (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC =8，ED ＝2，求⊙O 的半径．解：(1)不同类型的正确结论有：①BE =CE ;②弧BD=弧CD ③∠BED =90°④∠BOD =∠A ;⑤AC ∥OD ，⑥AC ⊥BC ; ⑦OE 2+BE 2=OB 2;⑧S △ABC ＝BC ·OE ;⑨△BOD 是等腰三角形，⑩△BOE ∽△BAC ; (2)∵OD ⊥BC ， ∴BE ＝CE =12BC =4．设⊙O 的半径为R ，则OE =OD －DE=R －2．在Rt△OEB 中，由勾股定理得 OE 2＋BE 2=OB 2，即(R －2)2＋42=R 2．解得R ＝5． ∴ ⊙ O 的半径为59.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧PC 上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连FDECBAOM结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形并说明理由．（2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形为什么解：（1）PDC △为等边三角形．理由：ABC ∵△为等边三角形AC BC =∴，又∵在⊙O 中PAC DBC ∠=∠又AP BD =∵ APC BDC ∴△≌△． PC DC =∴ 又AP ∵过圆心O ，AB AC =，60BAC ∠=°1302BAP PAC BAC ∠=∠=∠=∴° 30BAP BCP ∠=∠=∴°，30PBC PAC ∠=∠=°303060CPD PBC BCP ∠=∠+∠=+=∴°°° PDC ∴△为等边三角形．（2）PDC △仍为等边三角形理由：先证APC BDC △≌△（过程同上） PC DC =∴ 60BAP PAC ∠+∠=∵° 又BAP BCP ∠=∠∵，PAC PBC ∠=∠60CPD BCP PBC BAP PAC ∠=∠+∠=∠+∠=∴° 又PC DC =∵ PDC ∴△为等边三角形．10.(1)如图OA 、OB 是⊙O 的两条半径，且OA⊥OB，点C 是OB 延长线上任意一点：过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连结AD 交DC 于点E ．求证：CD=CE(2)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动交OA 于F ，交⊙O 于B ，其他条件不变，那么上述结论CD=CE 还成立吗为什么(3)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的CF ，点E 是DA 的延长线与CF 的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE 还成立吗为什么解：(1)证明：连结OD 则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90° 在Rt△AOE 中，∠AEO+∠A=90° 在⊙O 中，OA=OD∴∠A=∠ODA， ∴∠CDE=∠AEO 又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED ∴CD=CE (2)CE=CD 仍然成立． ∵原来的半径OB 所在直线向上平行移动∴CF⊥AO 于F ，在Rt△AFE 中，∠A+∠AEF=90°．连结OD ，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA ∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE∴CD=CE(3)CE=CD 仍然成立．∵原来的半径OB 所在直线向上平行移动．AO⊥CF 延长OA 交CF 于G ，在Rt△AEG 中，∠AEG+∠GAE=90° 连结OD ，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CEAOCPB图①AOCPB11.AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若30P ∠=，求B ∠的度数．解：PA 切⊙O 于A AB ，是⊙O 的直径， ∴90PAO ∠=．30P ∠=，∴60AOP ∠=．∴1302B AOP ∠=∠=12.如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==，，求BD 的长．（1）证明：连接OA ，DA 平分BDE ∠，BDA EDA ∴∠=∠．OA OD ODA OAD =∴∠=∠，．OAD EDA ∴∠=∠． OA CE ∴∥．AE DE ⊥，9090AED OAE DEA ∴∠=∠=∠=，．AE OA ∴⊥．AE ∴是⊙O 的切线．（2）BD 是直径，90BCD BAD ∴∠=∠=．3060DBC BDC ∠=∠=，，120BDE ∴∠=．DA 平分BDE ∠，60BDA EDA ∴∠=∠=．30ABD EAD ∴∠=∠=．在Rt AED △中，90302AED EAD AD DE ∠=∠=∴=，，．在Rt ABD △中，903024BAD ABD BD AD DE ∠=∠=∴==，，． DE 的长是1cm ，BD ∴的长是4cm ．13.如图，已知在⊙O 中，AB=34，AC 是⊙O 的直径，AC⊥BD 于F ，∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径. 解：连结AD ．∵AC⊥BD，AC 是直径，∴AC 垂直平分BD 。

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九年级圆知识点及习题(含答案)

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专题证明圆的切线的常用方法(六大题型)(解析版)

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第3章圆的基本性质浙教版数学九年级上册测试(含答案)

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