《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解
不等式的题目
不等式的题目一、一元一次不等式1. 解不等式3x - 5 < 4- 解析：- 首先将不等式进行移项，得到3x<4 + 5，即3x<9。
- 然后两边同时除以3，解得x < 3。
2. 解不等式2(x+1)-3x≥0- 解析：- 先展开括号得2x+2 - 3x≥0。
- 合并同类项得-x+2≥0。
- 移项得-x≥ - 2。
- 两边同时乘以-1，不等号方向改变，解得x≤2。
3. 不等式5x+12 - 8(x - 1)<0的解集是多少？- 解析：- 先展开括号得5x + 12-8x + 8<0。
- 合并同类项得-3x+20 < 0。
- 移项得-3x<-20。
- 两边同时除以-3，不等号方向改变，解得x>(20)/(3)。
4. 解不等式(2x - 1)/(3)≤(3x+2)/(4)-1- 解析：- 首先给不等式两边同时乘以12去分母，得到4(2x - 1)≤3(3x + 2)-12。
- 展开括号得8x-4≤9x + 6-12。
- 移项得8x-9x≤6 - 12 + 4。
- 合并同类项得-x≤ - 2。
- 两边同时乘以-1，不等号方向改变，解得x≥2。
5. 若关于x的不等式3x - m≤0的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是多少？- 解析：- 解不等式3x - m≤0，得x≤(m)/(3)。
- 因为正整数解是1，2，3，所以3≤(m)/(3)<4。
- 解3≤(m)/(3)得m≥9；解(m)/(3)<4得m < 12。
- 所以m的取值范围是9≤ m<12。
二、一元一次不等式组6. 解不等式组cases(x+3>02x - 1≤3)- 解析：- 解不等式x + 3>0，得x>- 3。
- 解不等式2x-1≤3，移项得2x≤3 + 1，即2x≤4，解得x≤2。
- 所以不等式组的解集为-3 < x≤2。
7. 解不等式组cases(3x - 1>2x+12x<4)- 解析：- 解不等式3x - 1>2x + 1，移项得3x-2x>1 + 1，解得x>2。
(完整版)不等式及其基本性质知识点复习及例题讲解
不等式的概念及其基本性质一、知识点复习：1. 用 不等号 连接起来的式子叫不等式；常见的不等号有“>，≥，<，≤，≠”。
2．不等式的基本性质：（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
如果a b >，那么c b c a +>+，c b c a ->-；（2）不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
如果)0(>>c b a ，那么ac bc >，a b c c>； （3）不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
如果)0(<>c b a ，那么bc ac <，cb c a <； （4）如果a b >，那么b a <；（5）如果a b >，b c >，那么a c >。
二、经典题型分类讲解：题型1：考察不等式的概念1. （2017春金牛区校级月考）式子：①02>；②14≤+y x ；③03=+x ；④7-y ；⑤35.2>-m 。
其中不等式有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个题型2：考察不等式的性质2.（2017连云港四模）已知b a >，下列关系式中一定正确的是（ ）A 、22b a <B 、b a 22<C 、22+<+b aD 、b a -<-3. 若0a b <<，则下列式子：12a b +<+ ,1a b > , a b ab +< , 11a b<,其中正确的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4．下列说法不一定成立的是（ ）A ．若a b >，则a c b c +>+B ．若a c b c +>+，则a b >C ．若a b >，则22ac bc >D ．若22ac bc >，则a b >5.（2016秋太仓市校级期末）如果10<<x ，则下列不等式成立的是（ ）A 、x x x 12<<B 、x x x 12<<C 、21x x x <<D 、x x x <<21 题型3：利用不等式的性质确定字母的取值范围6. 已知关于x 的不等式2)1(>-x a 两边都除以a -1，得ax -<12，试化简：21++-a a 。
高一基本不等式题型及解题方法
高一基本不等式题型及解题方法基本不等式是高中数学中的重要概念，它在数学运算中有着重要的作用。
掌握基本不等式的题型及解题方法对于高一学生来说至关重要。
在本文中，我们将对高一基本不等式的常见题型和解题方法进行详细的介绍。
1.绝对值不等式绝对值不等式是基本不等式中的重要内容之一。
它常常以形如|ax + b| < c或者|ax + b| > c的形式出现。
解决绝对值不等式的关键在于将其转化为两个普通的不等式，然后求解。
以下是解决绝对值不等式的基本步骤：例题：求不等式|3x - 2| < 7的解集。
解：首先，我们将不等式转化为两个普通的不等式：1）当3x - 2 > 0时，|3x - 2| = 3x - 2，此时不等式转化为3x - 2 < 7。
2）当3x - 2 < 0时，|3x - 2| = -(3x - 2)，此时不等式转化为-(3x - 2) < 7。
接下来，我们分别求解这两个普通的不等式：1）当3x - 2 > 0时，可得3x - 2 < 7，解得x < 3。
2）当3x - 2 < 0时，可得-(3x - 2) < 7，解得x > -1。
因此，原不等式的解集为-1 < x < 3。
2.复合不等式复合不等式是由两个或多个不等式组成的不等式。
解决复合不等式的关键在于找到其交集或并集，然后求解。
以下是解决复合不等式的基本步骤：例题：求解不等式系统{x + 2 > 0, 3x - 4 < 5}的解集。
解：首先，我们分别求解这两个不等式：1）x + 2 > 0，解得x > -2。
2）3x - 4 < 5，解得x < 3。
然后，我们找出这两个不等式的交集，即-2 < x < 3。
因此，不等式系统{x + 2 > 0, 3x - 4 < 5}的解集为-2 < x < 3。
不等式及其解集(3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固)(解析版)七年级数学下册
第01讲不等式课程标准学习目标①不等式②不等式的解与解集③不等式解集的表示方法1.理解不等式及其解的概念，能熟练判断不等式与不等式的解集。
2.学会用不等式表示熟练关系，形成数形结合的思想。
3.了解不等式解集的表示方法，能够熟练的在数轴上表示不等式的解集。
知识点01不等式与不等号1.不等式的定义：用不等号表示大小关系或不等关系的式子叫做不等式。
表示的不等关系必须成立。
2.常见的不等号：①小于：符号表示为＜；实际意义为小于，不足等。
②大于：符号表示为＞；实际意义为大于，超过等。
③小于或等于：符号表示为≤；实际意义为不大于，不超过，至多等。
④大于或等于：符号表示为≥；实际意义为不小于，不低于，至少等。
⑤不等于：符号表示为≠；实际意义为不相等。
3.列不等式：审清题意，弄清关键词的含义，找出已知量与未知量以及他们之间存在的关系，然后用不等式将不等关系表示出来。
4.常见的不等式基本语言与符号表示：若a 是正数表示为0＞a ；若a 是负数表示为0＜a ；若a 是非正数表示为0≤a ；若a 是非负数表示为0≥a ；若b a ，是同号表示为0＞ab ；若b a ，是异号表示为＜ab ；【即学即练1】1．下列数学式子：①﹣3＜0；②2x +3y ≥0；③x ＝1；④x 2﹣2xy +y 2；⑤x +1≠3；其中是不等式的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【分析】根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可．【解答】解：①﹣3＜0，是不等式，符合题意；②2x +3y ≥0，是不等式，符合题意；③x ＝1，是等式，不符合题意；④x 2﹣2xy +y 2，是多项式，不符合题意；⑤x +1≠3，是不等式，符合题意；综上：是不等式的有①②⑤，共3个．故选：C ．【即学即练2】2．“x 为正数”的表达式是（）A ．x ＜0B ．x ＞0C ．x ≥0D ．x ≤0【分析】正数即为大于0的数，据此可列出不等式．【解答】解：∵正数是指大于0的数，∴x 是正数，即x ＞0，故选：B ．【即学即练3】3．小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少13元．”乙说：“至多10元．”丙说：“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x （元）所在的范围为（）A．8＜x＜10B．10＜x＜12C．x＞10D．10＜x＜13【分析】根据甲说：“至少13元．”乙说“至多10元．”丙说“至多8元．”小明说：“你们三个人都说错了．”可以得到相应的不等式组，从而可以得到x的取值范围．【解答】解：∵甲说：“至少13元．”乙说“至多10元．”丙说“至多8元．”∴，可得无解，∵三人都说错了，∴10＜x＜13．故选：D．知识点02不等式的解与解集1.不等式的解的定义：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解
《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解1.常见题型分类（加粗体例题需要作答）2.若（m 2）x 2m 1 1 5是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为a 与6的和小于5；x 与2的差小于一1;1. ____________ a , b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“v”或a ____________b ; |a| ________ | b |;a —b _______ 0;a +b ________ a — b ;2. 已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（（这类试题在中考中很多见 ）x 1“ >0 3 4(x 1) 1A 、ab > 0 B、a — b > 0 D 、a + b > 01.与2x <6不同解的不等式是（B.4x <12)C. —4x >— 12D. — 2x <— 62. （2010）解不等式2x 1 35x 211w 1,并把它的解集在数轴上表示出来. 3. (2006年市)含参不等式：2(x 1)1 x.31,此类试题易错知识辨析1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ A. 1 +1>2xB.x 2>9C.2x +y w 5 D. -(x — 3)<02号填空:a +b _aba .1. （2010随州）解不等式组如不等式axb (或ax b ) ( a 0）的形式的解集0时，bb当a x（或 x -)aa当a 0时， x b （或 xb -)aa当a0时， x b （或 xb )aa4右不等式（a + 1）x > a + 1的解集是x v 1, 则a 必满足（）(A)a v 0 (B)a >— 1 (C)a v — 1(D)a v 15若m > 5，试用m 表示出不等式(5 — m)x > 1 — m 的解集 _______ . 6. 如果不等式（m- 2）x >2 — m 的解集是x <— 1,则有（ ）A. n >2B. m <2C.m=27. 如果不等式（a — 3）x v b 的解集是xv^^，那么a 的取值围是a 31. 不等式3（ x — 2） w x +4的非负整数解有几个1.不等式| x |< -的整数解是 ____________ .不等式| x |<1的解集是 __________ .31.已知ax v 2a （a ^ 0）是关于x 的不等式，那么它的解集是 （）A.x v 2B. x >— 2C. 当 a >0 时，x v 2D. 当 a >0 时，x v 2;当 a v 0 时，x >21. 若 x + y >x — y , y — x >y ,那么(1) x + y >0, ( 2) y — x v 0, (3) xy w 0, (4)》v 0 中，正确结论的序号为 _______________x2. ( 2010)下列不等式变形正确的是( )(A) 由 a > b ，得a 2v b 2(B) 由 a > b ，得 2a v 2b (C) 由 a > b ，得 a > b22(D) 由 a > b ，得 a > bD.m^ 2A.4 12.不等式4x —-4B.5C.6的最大的整数解为4D.无数个D.不存在1.当x ______ 时，代数式2x —5的值不大于0.2. ___________ 当x 时，代数式 竺」的值是非负数2 63. _________________________________________________ 当代数式X — 3x 的值大于10时，x 的取值围是2 14.已知x 的丄与23的差小于x 的一12与— 6的和，根据这个条件列出不等式 .你能估计出它的解集吗? 已知解集求围1.关于x 的方程 5 — a(1 — x) = 8x — (3 —a)x 的解是负数，贝U a 的取值围是( ) A 、a v — 4 B 、a > 5 C 、a > — 5D、a v — 52.已知一4是不等式ax > 9的解集中的一个值，试求a 的取值围•x3. 已知不等式 -—1 >x 与ax — 6> 5x 同解，试求 a 的值.24. 如果关于x 的不等式一k — x + 6>0的正整数解为1, 2, 3，正整数k 应取怎样的值?5. 不等式a(x — 1)>x+1 — 2a 的解集是x<— 1,请确定a 是怎样的值.6.已知关于x , y 的方程组3x 2y4x 3y1,的解满足x >y ,求p 的取值围.17.若关于x 的方程3x +2m =2的解是正数, A. m >1B. m <1A . a > oB . a > 1C . a v 03x 2ypx , y 的方程组｛4x 3y p x2 (2010)若关于x 的不等式72x 0的整数解共有4个，则m 的取值围是(1 3关于x 的方程kx 1 2x 的解为正实数，则k 的取值围是m 的取值围是(C.)D.m< 11已知关于x 的不等式2 v (1 a)x 的解集为x v —，则a 的取值围是(1 a)•D. a v 14已知关于的解满足x > y ，求p 的取值.5若不等式组1 x2 ( ).'有解，则k 的取值围是 x k(A)k v 2(B)k > 2(C)k v 1(D)1 w k v 2x 6等式组x9 5x 1'的解集是x >2,贝Umm 1的取值围是( ).(A)m w 2 (B)m > 2(C)m w 1 (D)m > 17 知(x — 2)2+ 1 2x — 3y — a | = 0, y 是正数，则 a 的取值围是.8 k 满足时，方程组x y 2k,中的xx y 4大于1, y 小于1.9若m 、n 为有理数，解关于 x 的不等式(—m 2— 1)x >n .2x y 13m,①的解满足乂+ y < o ，求m 的取值围.x 2y 1 m ②强化练习题io kk(x 5)1•当2(k 3)时，求关于x 的不等式 x k 的解集. 346. k 取哪些整数时，关于 x 的方程5x + 4= 16k — x 的根大于2且小于10?10已知方程组2•当k 取何值时，方程组3x 5y 2x yk'的解x , y 都是负数.3•已知x 2y 2x y4k, 2k中的x , y 满足O v y — x v 1，求k 的取值围. 14.已知a 是自然数，关于x 的不等式组3x 4 a,”” 〜口的解集是x 2 0x >2,求a 的值.5•关于x 的不等式组a 2x 0,的整数解共有 15个，求a 的取值围.x y 2m 7,7.已知关于x , y 的方程组 的解为正数，求 m的取值围.x y 4m 3x m 112. （2009年）关于x 的不等式组的解集是xx m 213. （2009年）已知关于x 的不等式组x 158若关于x 的不等式组22x 2 33,只有4个整数解，求 a 的取值围.9. （ 2009年）如果不等式组a' 2的解集是0 < x 1，那么a b 的值为2x b 310. （2009年）如果一元一次不等式组X 3的解集为x 3 .则a 的取值围是（） x aA. a 3 Ba w 3 D . a 311. （2009）若不等式组x a >0, 1 2x x有解，则a 的取值围是（2A. a 1 Ba > 1 C . a w 1 D . a 1X a'只有四个整数解，则实数5 2x 1a的取值围是。
八年级数学上第三章《不等式》知识要点及习题
第9讲一元一次不等式（）1.数轴上表示不等式注意“实心点”和“空心点”.2.常用的表示不等关系的关键词：3.不等式的基本性质有3条，应用时要特别注意不等式两边同乘以或除以同一个负数.4.对不等式的解的讨论题一律先将含字母系数的不等式看作已知的不等式，化成“ax>b”或“ax<b”再讨论.二、例题精选例1、选择和填空1.下列式子变形正确的是（）A. 1≥2－x≥1 B. －－3 C.31x>－x>－2 D. －7x≤x≥－872.如果x<0,y>0，x+y<0，则下列关系中正确的是（）A. x>y>－y>－xB. －x>y>－y>xC. y>－x>－y>xD. －x>y>x>－y3.若0<<ba，则下列式子：①21+<+ba；②1>ba；③abba<+；④ba11<；⑤22ba<中，正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个4.实数ba,在数轴上表示如图，则下列判断：（1）2>-ba；（2）ba>；（3）2->b（4）0>ab中，正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个5.已知关于x的不等式x>23-a表示在数轴上如图所示，则a的值为（）A. 1B. 2C. -1D. -26.关于x的不等式x－b>0恰有两个负整数解，则b的取值范围是（）A.－3<b<－2B.－3<b≤－2C.－3≤b≤－2D.－3≤b<－27.当1≤x≤2时，ax+2>0，则a的取值范围是（）A.a>－1B.a> －2C.a>0D.a>－1且a≠08.已知y 满足不等式32221++>-+y y y ，则=-++121y y . 9.不等式4738332+->++x x 的非正整数解为 . 10.若关于x 的不等式()52+<-a x a 和121<x 的解集相同，则a 的取值范围是 .11.已知关于x 的不等式()b x b a >-2的解是21-<x ，则ab b a +-363= . 例2.已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=+=-ay x y x 623的解满足不等式3<+y x ，求实数a 的取值范围.例3.已知b a ,是整数，关于x 的不等式b a x 2->的最小整数解是8，关于的不等式1932--<b a y 的最大整数解为－8， （1）求b a ,的值；（2）若x a a x b x b x -=--=-,，求符合题意的最小整数x .例4.若关于x 的不等式组⎩⎨⎧<≤≤-ax x 211有解，求a 的取值范围.例5.按下列程序进行计算：并规定：程序运行到“结果是否大于65”为一次运算，且运算4次才停止，求出可输入的整数x.例 6.是否存在整数m ，使关于x 的不等式m m x m x 931+>+与321mx x +->+的解集相同？若存在，求出整数m 和不等式的解集；若不存在，请说明理由.学生练习：1.已知－1<b<0，0<a<1，那么在代数式a －b ，a+b ，a+b 2，a 2+b 中，对于任意的a 、b ，对应的代数式的值最大的是（ ）A.a+bB.a-bC.a+b 2D.a 2+b2.若x 为任意的实数，则下列不等式一定成立的是（ ） A.－3x x 4> B.22213x x >C.5+0≥xD.012>+x 3.设“◎”“□”“△”分别表示三种不同的物体.用天平比较它们质量的大小，再次情况如图所示，那么每个“◎”“□”“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ） A.◎□△ B.◎△□ C.□◎△ D.□△◎4.张师傅下岗再就业，做起了小商品生意，第一次进货时，他以每件a 元的价格购进了20件甲种小商品，每件以b 元的价格购进了30件乙种小商品；回来后，根据市场行情，他将这两种都以每件2ba +元的价格出售，在这次买卖中，张师傅是（ ） A.赚钱 B.赔钱 C.不赚不赔 D.无法确定 5.下列说法中错误的是（ ）A.不等式x<2的正整数解有一个B.－2是不等式2x －1<0的一个解C.不等式－3x>9的解集是x>－3D.不等式x<10的整数解有无数个 6.若b a >，则下列不等式不一定成立的是（ ）A.m b m a +>+B.()()1122+>+n b n a C.22ba -<-D.22b a > 7.已知c b a ,,在数轴上的位置如图所示，则在ca b c b a ---1,1,1中，最大的是 . 8.已知不等式x+8>4x+m （m 是常数）的解集是 X<3，则m ＝ . 9.有三个不同的数a ，b ，c.用max ｛a,b,c ｝表示这三个数中最大的数.例如max ｛－1，2，3｝＝3，如果max ｛－3，－2，4－2x ｝＝4－2x ，则x 的取值范围是 .10.在方程组⎩⎨⎧=+-=+2212y x my x 中，若y x ,满足0>+y x ，则m 的取值范围是 .11.解不等式，并将偶数题号的解集在数轴上表示出来. （1）132<-x x （2）2235-+≥x x（3）245231->+--x x （4）21123334->--+x x x（5）()()133125-<+x x （6）22431->+--x x（7）52221+-≥---y y y （8）2837423>--+x x12.根据你初一所学等式的有关规律，求关于x 的不等式()11 (12)62->-++++n n n xx x x （n 为正整数）的解集.13.已知a 1,a 2,a 3,...a 2015,a 2016是互不相等的负数，且M ＝（a 1+a 2+a 3+...+a 2015）（a 2+a 3+...+a 2016）， N ＝（a 1+a 2+...+a 2016）（a 2+a 3+...+a 2015），比较M 与N 的大小.八上三章《不等式》第9讲答案：例1ABCA ADA 7.提示：将x ＝1和x ＝3分别代入ax+2>0中求出a 的范围 8.－3y ；9.－1，0；10.9；11.－3；例2.a<0； 例3（1）⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-=--=-41;9193272b a b a b a ；（2）4-=x 例4.2a x <，且11≤≤-x ，2,12->∴->∴a a例5.如 2{2[2（2x －1）－1]－1}－1>65，x>52[2（2x －1）－1]－1<65，x<9， x ＝6，7，8 例6.解：存在，（1）当m>0时，由①得29m x ->，由②得25->m x ， 1,759>=⇒-=-x m m m （2）若m<0时，由①得29m x -<，由②得25->m x ， 它们方向不同，不会同解，m 不存在学生练习：1－6 B D A D C D 7,bc -1；8，－1；9，x<3；10.m<3 11.（1）x<6； （2）320-≤x ；（3）25<x （4）x<2（5）x<－8；（6）x<－2 ；（7）1311-<y ；（8）x<-912.x>n13.设a 2+...+a 2015＝b ，则M-N ＝（a 1+b ）（b+a 2016）－（a 1+b+a 2016）b ＝a 1a 2016>0。
不等式常见题型及解析题
不等式常见题型及解析题一、一元一次不等式1.问题描述解不等式$a x+b>c$，其中$a>0$。
2.解法分析根据不等式的性质，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax+b=c$$然后确定不等式的解集。
（1）当$a>0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。
此时，对于任意一个满足$c-b>0$的$x$，都可以使得$a x+b>c$，所以解集为$\le ft(\fr ac{c-b}{a},+∞\ri gh t)$。
（2）当$a<0$时将不等式转化为等式，我们得到$ax+b=c$，解得$x=\fr ac{c-b}{a}$。
此时，对于任意一个满足$c-b<0$的$x$，都可以使得$a x+b<c$，所以解集为$\le ft(-∞,\f r ac{c-b}{a}\r igh t)$。
（3）当$a=0$时此时，不等式退化为$b>c$或$b<c$，没有变量$x$，所以不存在解。
二、一元二次不等式1.问题描述解不等式$a x^2+bx+c>0$，其中$a>0$。
2.解法分析和一元一次不等式类似，我们可以将不等式转化为等价的形式:$$ax^2+b x+c=0$$然后确定不等式的解集。
（1）当$a>0$时判断二次函数$a x^2+b x+c$的图像与$x$轴的交点数：-当判别式$Δ=b^2-4a c$大于0时，二次函数与$x$轴有两个交点，此时不等式的解集为$\le ft(-∞,x_1\ri gh t)\c up\le ft(x_2,+∞\ri g ht)$，其中$x_1$和$x_2$分别为二次方程$a x^2+b x+c=0$的两个根。
-当判别式$Δ=b^2-4a c$等于0时，二次函数与$x$轴有一个交点，此时不等式的解集为$\ma th bb{R}$，即全体实数的集合。
-当判别式$Δ=b^2-4a c$小于0时，二次函数与$x$轴没有交点，此时不等式的解集为空集。
不等式应用题经典题型讲析
【不等式应用题经典题型讲析】知识点讲解：1．列不等式解应用题的特征：列不等式解应用题，一般所求问题有“至少”“最多”“不低于”“不大于”“不小于”等词，要正确理解这些词的含义．2．列不等式解应用题的一般步骤：列不等式解应用题和列方程解应用题的一般步骤基本相似，其步骤包括：①设未知数；②找不等关系；③列不等式（组）④解不等式（组）⑤检验并作答，其中检验是正确求解的必要环节．1、得分问题：（1 ）某次“迎奥运”知识竞赛中共20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，选手至少要答对道题，其得分才会不少于95分？（2）一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题得－1分，在这次竞赛中，小明获得优秀(90分或90分以上)则小明至少答对了______道题．（3）、某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上?（4）、一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或是不答扣1分。
在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明他至少答对几道题？2、工程问题工作总量=工作效率⨯工作时间，工作时间工作总量工作效率=，工作效率工作总量工作时间=通常设工作总量为11）、某汽车厂改进生产工艺后，每天生产的汽车比原来每天的产量多6辆，那么15天的产量就超过了原来20天的产量，求原来每天最多能生产多少辆汽车?（2）、某工人加工300个零件，若每小时加工50个就可按时完成；但他加工2小时后，因事停工40分钟．那么这个工人为了按时或提前完成任务，后面的时间每小时他至少要加工多少个零件?★、某工作,甲单独干需用15小时完成,乙单独干需用12小时完成,若甲先干1小时、乙又单独干4小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务?★、甲、乙2个工人同时接受一批任务，上午工作的4小时中，甲用了2.5小时改装机器以提高工效，因此，上午工作结束时，甲比乙少做40个零件；下午2人继续工作4小时后，全天总计甲反而比乙多做420个零件，问这一天甲、乙各做多少个零件？★、在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．乙队单独完成这项工程需要多少天？★、甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的45，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？3、追及问题（1）、12个同学步行去旅行，每小时走5公里，出发2小时后，有同学甲乘车去追赶他们，若她乘车的速度不超过每小时30公里，那么她要追上前面的同学至少需要几分钟？（2）、某校学生外出春游，每小时走4千米，出发后2小时，校方有紧急通知，必须在40分钟内送到。
经典不等式例题汇总
□▲○○○《不等式》考点及题型总结第一节 不等式一、知识要点：（一）不等式的定义：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。
（二）不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（三）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
（四）不等式的性质：1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
，3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
二、题型分析：题型一： 不等式的概念和表达例1： x 的21与5的差不小于3，用不等式可表示为__________. 答案：1532x -≥例2：设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）…A 、○□△B 、○△□C 、□○△D 、△□○ 答案：A题型二：不等式性质的考察]A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个分析：由a﹤b﹤0得，a、b同为负数并且︱a︱﹥︱b︱。
可取特殊值代入，如取a=－2，b=－1代入式子中。
答案：C例2：若a﹥b，则下列式子一定成立的是（）。
A、a＋3﹥b＋5，B、a－9﹥b－9，C、－10a﹥－10b，D、a2c﹥b2c分析：由于不等式的两边乘除同一个数时存在变号的问题，因此需要对a，b的符号进行分类讨论。
或者此题也可以取特殊值代入验证，通过排除法来求解。
A、C取0，-1即可排除，D将常数取0也可排除。
答案：B例3：下列结论：①若a﹤b，则a2c﹤b2c；②若a c﹥b c，则a﹥b；③若a﹥b且若c=d，则a c﹥b d；④若a2c﹤b2c，则a﹤b。
正确的有（）。
'A、4个B、3个C、2个D、1个分析：①2c=0，即可排除；②若a、b、c都为负数即可否定；③任用前两种方法都可以排除；只有④正确。
(word完整版)高中不等式所有知识及典型例题(超全).docx
一．不等式的性 ：二．不等式大小比 的常用方法 ： 1．作差：作差后通 分解因式、配方等手段判断差的符号得出 果； 2．作商（常用于分数指数 的代数式） ； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化；6．利用函数的 性； 7． 找中 量或放 法 ；8． 象法。
其中比 法（作差、作商）是最基本的方法。
三．重要不等式2 21. （ 1）若 a,bR ， a 2b 22ab (2) 若 a, bR ， abab （当且 当 ab 取“ =”）22. (1) 若a, b* ，a b ab(2)若a, b R *， ab2 ab （当且 当a b取“ ”）R2=a 2*， abb( 当且 当 ab 取“ =”）(3) 若 a, b R23. 若 x0 ，x1 2 (当且 当x1 取“ ”） ;x=1若 x0 ，x2 (当且 当x1 取“ ”）x=若 x11 1-2(当且 当 ab 取“ =”）0， x2即 x2或 xxxx若 ab0 ，ab 2( 当且 当 ab 取“ =”）ba若 ab0 ，ab 2即ab 2或 ab -2(当且 当a b 取“ ”）bababa=224. 若 a,bR ， (ab 2ab（当且 当 ab 取“ =”）)22注：（1）当两个正数的 定植 ，可以求它 的和的最小 ，当两个正数的和 定植 ，可以求它 的 的最小 ，正所 “ 定和最小，和定 最大” ．（ 2）求最 的条件“一正，二定，三取等”(3)均 定理在求最 、比 大小、求 量的取 范 、 明不等式、解决 方面有广泛的 用．5.a 3+b 3+c 3≥3abc （ a,b,cR +） ,a+b+c≥ 3 abc （当且 当 a=b=c 取等号）；31na 1a 2 L a n (a+12 ni1 2n222≥ab+bc+ca; ab ≤( a+b 2+≤ a+b+c 3 +式： a +b +c) (a,b) (a,b,c R )2 R ) ; abc (32aba+b a 2+b 2 a ≤a+b≤ ab ≤2 ≤2≤b.(0<a ≤ b)b －n b b+m7. 度不等式： a －n < a < a+m ,a>b>n>0,m>0;用一：求最例 1：求下列函数的 域（1）y ＝3x 2＋ 12（ ） ＝ ＋12x2 yxx技巧一：凑项例 1：已知 x5，求函数 y 4 x 21的最大值。
不等式部分题型全归纳
不等式部分题型全归纳题型一：比较大小与比较法证明不等式例：若,a 0,b b a ≠>且试比较33b a +与22ab b a +的大小。
变式一：若0<<y x ，试比较的大小与（（))(x ))(x 2222y x y y x y +--+。
变式二：设,a 0,b b a ≠>且试比较b b a a 与a b b a ⋅的大小。
例：在锐角三角形ABC 中，若函数y=f （x ）在[0,1]上单调递减，则下列命题中正确的是变式一：已知函数f(x)是R 上的偶函数，且在区间),0[+∞上是增函数，令)75(tan ),75(cos b 72sin (a πππf c f f ===），，则a,b,c 的大小为 变式二：已知函数f(x) =,0,0,0,,,,x 1332213213<+<+<+∈+x x x x x x R x x x x 那么)()()f(x 321x f x f ++的值 0(<,=,>)题型二：已知不等式的关系，求目标式的取值范围例：已知-1<x+y<4且2<x-y<3,则z=2x-3y 的取值范围变式一：已知f （x ）=c x -2a 且-41)1(-≤≤f ，5)2(1≤≤-f ,求f(3)的范围. 变式二：设x,y 为实数，满足94,8xy 322≤≤≤≤y x ，则43y x 的最大值是题型三：不等式的解法1、一元一次不等式(ax>b)2、一元二次不等式：)0(0a 2≠>++a c bx x3、一元高次不等式：4、分式不等式：移项、通分、因式分解、数轴标根法5、绝对值不等式：（1）)(f(x)x g >；（2）)(f(x)x g >；（3）)(f(x)x g <6、含参不等式：例：解关于x 的不等式)(0)(x 322R a a x a a ∈>++-变式一：设a<-1,则关于x 的不等式0a1-a)(x -a(x <）的解集为 例：已知关于x 的不等式)0(0a 2≠<++a c bx x 的解集为)21-2-(∞+⋃-∞，（），，求关于x 的不等式)0(0a 2≠>+-a c bx x 的解集变式一：已知关于x 的不等式)0(0a 2≠>++a c bx x 的解集为），231(-，求关于x 的不等式)0(0c 2≠<++a a bx x 的解集。
不等式常见考试题型总结
《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。
不等式常与下列知识相结合考查：①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大；②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题；③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查．二、常见考试题型（1）求解不等式解集的题型（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法） （2）不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合法） （3）不等式大小比较常用方法：1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。
（4）不等式求函数最值 技巧一：凑项 例：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数例. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
技巧三： 分离例. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧四：换元例. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
技巧五：函数的单调性（注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 解绝对值不等式例1、设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞，1).【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0；当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解；当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、(1)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【解析】(1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋12a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174. 即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .题型三 不等式的证明与应用例3、设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【答案】略.【解析】[证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【易错点】不等式的恒等变形.【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．【巩固训练】题型一 解绝对值不等式1.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________【答案】{x |x ≤－3或x ≥2}.【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围【答案】（1）{x |x ≤1或x ≥4}；（2）[－3,0]．【解析】(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．3.设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a ≥－3.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3， 所以－a ≤3，即a ≥－3.题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式1.已知函数.（1）图中画出的图像；()123f x x x =+--()y f x =（2）求不等式的解集．【答案】（1）见解析（2）. 【解析】⑴如图所示：（2）()()()()+∞⋃⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞->∴><<<><≤∴<>>-≥<<<<-∴<>>-<<--≤∴<>>-≤>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<---≤-=5,1,331,解集为1x f ，5x 或3x 1或31x 综上，5x 或3x 23，3x 或5x 解得14x ，23x 当23x 1或31x 131x 或1x 解得1,23x ，23x 1当1x ，3x 或5x 解得1,4x ，1x 当1,x f 23x x,423x 12,3x 1x 4,x f2.不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(－∞，－3)【解析】解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于P A －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，()1f x >()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．题型三不等式的证明与应用1.已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1；求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).【答案】略.【解析】证明：因为a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①因为(a＋b)＋(b＋c)≥2(a＋b)(b＋c)＞0，(b＋c)＋(c＋a)≥2(b＋c)(c＋a)＞0，(c＋a)＋(a＋b)≥2(c＋a)(a＋b)＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证.2.设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．【答案】略.【解析】证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．3.设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 【答案】略.【解析】(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.。
不等式知识点总结及题型归纳
不等式知识点总结及题型归纳一、解不等式1、一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表： 0>∆0=∆0<∆二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2一元二次方程()的根002>=++a c bx ax有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根ab x x 221-==无实根的解集)0(02>>++a c bx ax{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R的解集)0(02><++a c bx ax{}21x x xx <<∅∅2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。
()()()如：x x x +--<1120233、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <二、线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解.三、基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：12211a b a b+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
基本不等式典型常见题型
基本不等式典型常见题型基本不等式典型常见题型不等式是数学中的一种重要关系式，它可以描述数字之间的大小关系。
考察不等式的题目在各类数学考试中都是常见的。
下面我们将介绍一些基本的不等式题型，并给出解题方法和技巧。
一、一次不等式一次不等式是由一次多项式构成的不等关系。
它的一般形式为ax + b > 0（或<0）或ax + b ≥ 0（或≤0）。
其中，a和b是常数，x是未知数。
解一次不等式的关键是找到x的取值范围。
我们可以通过变形和移项来求解。
例题1：解不等式3x + 7 > 4。
解法：首先，我们可以通过移项得到3x > 4 - 7，即3x > -3。
然后，除以3得到x > -1。
所以，不等式的解集为x > -1。
例题2：解不等式2x + 5 ≤ 9。
解法：首先，我们可以通过移项得到2x ≤ 9 - 5，即2x ≤ 4。
然后，除以2得到x ≤ 2。
所以，不等式的解集为x ≤ 2。
二、绝对值不等式绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。
它的一般形式为|ax + b| > c或|ax + b| ≥ c。
其中，a、b和c是常数，x是未知数。
解绝对值不等式的关键是考虑x的取值范围，并分情况讨论。
例题3：解不等式|2x - 3| > 4。
解法：我们可以分两种情况讨论：情况1：当2x - 3 > 0时，不等式化为2x - 3 > 4，即2x > 7。
解得x > 7/2。
情况2：当2x - 3 < 0时，不等式化为-(2x - 3) > 4，即-2x + 3 > 4，解得x < -1/2。
综上所述，不等式的解集为x < -1/2或x > 7/2。
三、二次不等式二次不等式是含有二次多项式的不等关系。
它的一般形式为ax² + bx + c > 0（或< 0）或ax² +bx + c ≥ 0（或≤ 0）。
高一数学不等式知识点总结及例题
高一数学不等式知识点总结及例题一、不等式知识点总结。
（一）不等式的基本性质。
1. 对称性：如果a > b，那么b < a；如果b < a，那么a > b。
2. 传递性：如果a > b，b > c，那么a > c。
3. 加法单调性：如果a > b，那么a + c>b + c。
- 推论1：移项法则，如果a + b>c，那么a>c - b。
- 推论2：同向不等式可加性，如果a > b，c > d，那么a + c>b + d。
4. 乘法单调性：如果a > b，c>0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc。
- 推论1：同向正数不等式可乘性，如果a > b>0，c > d>0，那么ac > bd。
- 推论2：乘方法则，如果a > b>0，那么a^n>b^n(n∈ N,n≥slant1)。
- 推论3：开方法则，如果a > b>0，那么sqrt[n]{a}>sqrt[n]{b}(n∈N,n≥slant2)。
（二）一元二次不等式及其解法。
1. 一元二次不等式的一般形式。
- ax^2+bx + c>0(a≠0)或ax^2+bx + c < 0(a≠0)。
2. 一元二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象与一元二次不等式的解集关系。
- 当a>0时，Δ=b^2-4ac：- 若Δ>0，方程ax^2+bx + c = 0有两个不同的实根x_1,x_2(x_1，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx < x_1或x>x_2}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为{xx_1。
- 若Δ = 0，方程ax^2+bx + c = 0有两个相同的实根x_0=-(b)/(2a)，则不等式ax^2+bx + c>0的解集为{xx≠-(b)/(2a)}，不等式ax^2+bx + c < 0的解集为varnothing。
不等式练习题及解析
不等式练习题及解析不等式是数学中常见的一种运算关系，通过比较两个数的大小关系来描述数的大小范围。
在解不等式的过程中，需要灵活运用数学知识和运算规则。
本文将为您提供一些常见的不等式练习题，并给出详细的解析过程。
一、简单不等式1. 解方程组：{ x + 3 ≥ 5, 2x - 4 < 6 }解析：首先解第一个不等式：x + 3 ≥ 5将不等式两边同时减去3，得到：x ≥ 2然后解第二个不等式：2x - 4 < 6将不等式两边同时加上4，得到：2x < 10再将不等式两边同时除以2，得到：x < 5所以，该方程组的解为x ≥ 2 且 x < 5。
2. 解不等式：3x - 7 > 5解析：首先将不等式两边同时加上7，得到：3x > 12然后将不等式两边同时除以3，得到：x > 4所以，该不等式的解为 x > 4。
二、复合不等式1. 解不等式：2 < 4 - x ≤ 7解析：首先解第一个不等式：2 < 4 - x将不等式两边同时减去4，得到：-2 < -x然后将不等式两边同时取相反数并改变不等号方向，得到：2 > x 然后解第二个不等式：4 - x ≤ 7将不等式两边同时减去4，得到：-x ≤ 3再将不等式两边同时取相反数并改变不等号方向，得到：x ≥ -3所以，该复合不等式的解为 -3 ≤ x < 2。
2. 解不等式组：{ x - 2 > 0, 3x + 5 < 8 }解析：首先解第一个不等式：x - 2 > 0将不等式两边同时加上2，得到：x > 2然后解第二个不等式：3x + 5 < 8将不等式两边同时减去5，得到：3x < 3再将不等式两边同时除以3，得到：x < 1所以，该不等式组的解为 x > 2 且 x < 1。
三、绝对值不等式1. 解不等式：|2x - 1| ≥ 5解析：首先解第一个不等式：2x - 1 ≥ 5将不等式两边同时加上1，得到：2x ≥ 6再将不等式两边同时除以2，得到：x ≥ 3然后解第二个不等式：2x - 1 ≤ -5将不等式两边同时加上1，得到：2x ≤ -4再将不等式两边同时除以2，得到：x ≤ -2所以，该不等式的解为x ≤ -2 或 x ≥ 3。
新课标必修5数学基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)范文
应用一：求最值 例：求下列函数的值域•••值域为(—a, — 2] U [2 , + a)解题技巧技巧一：凑项例 已知x，求函数y =4x-2的最大值。
4 4x —5解：因4x -5 ：：： 0 ,所以首先要“调整”符号，又 (4x -2) 要进行拆、凑项,*51r 1 ) /x5-4x 0, y=4x-2- 5-4x -44x —5I5—4x 丿当且仅当5-4x -，即X =1时，上式等号成立，故当X =1时，y max=1。
5-4x技巧二：凑系数例：当 -■' - 1时，求y =x(8 -2x)的最大值。
解析：由 匚二U 》知，。
‘一工、-,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值， 此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。
注意到2x • (8 - 2x)二8为定值，故只需将 y=x(8-2x)凑上一个系数即可。
y == l[2x * (8 — 2打]—店卩=8当，即x = 2时取等号 当x = 2时，y = x(8-2x)的最大值为8。
解: (1)y = 3x 2 值域为[6 , + a)⑵当x > 0时, 当x V 0时, 1y = x +_ =x3—23 = 11+2x1°)戸3x 2 +示1 x • =2 ;1y = x + _ >2x 1x • = — 21(—x — _ ) < — 2x不是常数，所以对4X-23变式：设0 ：：： x ，求函数y =4x(3 -2x)的最大值。
2解:c 3 _ _ -•/ 0 ::: X .飞-2X 0 ••• y2 y= 4x(3-2x) =2 2x(3-2x)<22x 3「2x当且仅当2x=3—2x,即x=3^f0,- i时等号成立。
4 < 2丿技巧三：分离技巧四：换元2，「亠x+7x十10 “心亠例：求y (x • -1)的值域。
x +1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有(X + 1 )的项，再将其分离。
人教版七年级数学下册 第九章 不等式与不等式组 知识点总结及典型例题 (25张PPT)
字母表示：(1)如果a>b，那么a+c>b+c; (2)如果a<b，那么a+c<b+c.
注：不等式的性质1是对不等式的两边同时进行加减，所加或所减的数 （或式子）要相同，不等号的方向不变.
例：填空： （1)已知a>b，则a+1___b+1,根据：________________; (2)已知a<b，则a-3___b-3,根据：________________; (3)已知a>b，则2a___a+b,根据：________________;
故x=3是不等式的解，同理可知，x=π也是不等式的解；把X=0代入不等
知识点 2 不等式的解、解集与解不等式
式的左边，得3x-1=-1<2,所以不等式不成立，故x=0不是不等式的解。 同理可知，x=-2,x= 1 也不是不等式的解。
2
（2）根据不等关系，易知不等式的解集为x>3，在数轴上表示时，要 注意表示3的点上画空心圆圈。 答案：（1）A （2）x>3 如图：
“公共部分”是指解集中同时满足不等式组中每一个不等式的 那部分解集.若组成不等式组的各个不等式的解集没有公共部 分，则这个不等式组无解.
2.特别提醒：数轴是确定一元一次不等式组解集的有效工具，要注意“两定”： （1）定边界点：一般在数轴上只标出原点和边界点即可.定边界点时要注意点
是实心圆点还是空心圆圈，若边界点含于解集则为实心圆点；若边界点 不
第九章 不等式与不等式组 知识点梳理
知识点 1 不等式的概念
1.不等式：用符号“>”“<”(或“≠”）表示大小（或不等）关系的式子.
2.注意：
(1)“>”是大于号，读作“大于”；“<”是小于号，读作“小于”.
不等式经典例题
不等式经典例题一、一元一次不等式例1：解不等式2x + 3>5x - 11. 移项- 将含有x的项移到一边，常数项移到另一边。
- 得到2x-5x > - 1 - 3。
2. 合并同类项- 计算得-3x>-4。
3. 求解x的范围- 两边同时除以-3，因为除以一个负数，不等式要变号。
- 所以x <(4)/(3)。
二、一元一次不等式组例2：解不等式组x + 3>2x - 1 2x - 1≥(1)/(2)x1. 解第一个不等式x + 3>2x - 1- 移项可得x-2x > - 1 - 3。
- 合并同类项得-x>-4。
- 两边同时除以-1，不等式变号，解得x < 4。
2. 解第二个不等式2x - 1≥(1)/(2)x- 移项得到2x-(1)/(2)x≥1。
- 合并同类项(3)/(2)x≥1。
- 两边同时乘以(2)/(3)，解得x≥(2)/(3)。
3. 综合两个不等式的解- 所以不等式组的解集为(2)/(3)≤x < 4。
三、一元二次不等式例3：解不等式x^2-3x + 2>01. 因式分解- 对x^2-3x + 2进行因式分解，得到(x - 1)(x - 2)>0。
2. 分析不等式的解- 要使(x - 1)(x - 2)>0成立，则有两种情况：- 情况一：x - 1>0 x - 2>0，即x>1 x>2，取交集得x>2。
- 情况二：x - 1<0 x - 2<0，即x<1 x<2，取交集得x<1。
- 所以不等式的解集为x < 1或x>2。
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) Ｄ、a<－5
3.已知不等式 x -1>ｘ与ａx-6＞5x 同解,试求 a 的值. 2
4.如果关于 x 的不等式－ｋ-x+6＞0 的正整数解为 1,２，３，正整数 k 应取怎样的值?
５．不等式ａ（x－1)＞ｘ+１－２a 的解集是 x<－1,请确定 a 是怎样的值.
6.已知关于ｘ,y
的方程组
3x 4x
(C）由 a ＞ b ，得 a > b
(D)由 a ＞ b ，得 a 2 > b 2
依据题意列不等式 １．当ｘ_＿＿____时,代数式 2x-5 的值不大于０．
2.当ｘ_____＿_＿时，代数式 x 3 5x 1 的值是非负数.
2
6
3.当代数式 x －3x 的值大于 10 时,ｘ的取值范围是_____＿__. 2
ａ _______ ＿ __ ｂ ;
| ａ |_ ＿ _ ＿ ___ ＿ _ ＿ |b|;
b_____＿__＿＿0
ａ－b_______＿＿＿0；
a＋b_＿____＿___a－b；
ａｂ_＿＿_＿＿__＿＿a.
２.已知实数 a、b 在数轴上对应的点如图所示,则下列式子正确的是(
)
A、aｂ＞0
Ｂ、 a b
5
若不等式组
1 x x k
2,
有解,则
k
的取值范围是（
).
(A)ｋ＜2（ﻩB）k≥２ (C)k＜1
(D)1≤ｋ＜２
6
等式组
x x
9 5x m 1
1,
的解集是ｘ>2,则
m
的取值范围是(
)．
(A）m≤2(ﻩB）ｍ≥2 (C)ｍ≤１(ﻩD）ｍ≥1 7 知（ｘ-2)2＋|2x－3ｙ－a｜＝0,ｙ是正数，则ａ的取值范围是_＿___＿.
2 3
y y
p p
1,
的解满足
1
x＞y,求
p
的取值范围.
7．若关于 x 的方程 3x＋2m=2 的解是正数，则ｍ的取值范围是(
）
A.m>１
B.m<1
Ｃ．m≥１ ﻩ
字母不等式
D.m≤1
1 已知关于 x 的不等式 2< (1 a)x 的解集为 x < 2 ，则 a 的取值范围是（
）．
1 a
Ａ． a >0 B. a ＞1 C． a <０ D. a <1
Ｃ、a－b>0
Ｄ、a＋ｂ
同等变换
1．与 2x<6 不同解的不等式是( Ａ．2ｘ+1＜7ﻩ ﻩﻩＢ.4x＜1２
） Ｃ.－4x>-12 ﻩD.－2x<-6
借助数轴解不等式(组): (这类试题在中考中很多见）
１．(2０1０湖北随州）解不等式组
1 x 1≥0 3
3 4(x 1) 1
ａ＋ ＞0
2.（2０10 福建宁德)解不等式 2x 1 5x 1 ≤1，并把它的解集在数轴上表示出来.
a
a
当 a 0 时, x b (或 x b ）
a
a
4 若不等式(ａ＋1)x>a+1 的解集是 x<1,则ａ必满足( ).
（A)a＜０
(Ｂ)a>-1
(C）a＜-1
(D)a＜１
５ 若ｍ＞5,试用ｍ表示出不等式(５-m)ｘ>1-m 的解集_＿_＿＿＿．
6.如果不等式（m-2）x>2－m 的解集是 x<-1,则有(
）
Ａ.m>2 ﻩﻩﻩB.m<２
Ｃ.m=2 ﻩ ﻩD.m≠2
7.如果不等式(a-３)x<b 的解集是 x＜ b ,那么 a 的取值范围是__＿_____. a3
限制条件的解
1．不等式 3(x－2）≤x+4 的非负整数解有几个.(
）
A．4 ﻩﻩ
B.5
C.6 ﻩ ﻩ
2．不等式４x- 1 x 11 的最大的整数解为(
)
4
4
A．1
ﻩ
B．0
C.－1 ﻩﻩ
Ｄ.无数个 D.不存在
含绝对值不等式
1. 不等式|x|＜ 7 的整数解是＿___＿___.不等式|x｜<１的解集是_＿__＿＿_＿. 3
分类讨论
1．已知ａｘ<2a（ａ≠０)是关于 x 的不等式,那么它的解集是(
A.x＜2
B．x>－２
Ｃ.当ａ>０时，x＜2
） D．当 a>0 时,ｘ＜2;当 a<0 时,ｘ＞2
不等式的性质及应用
1. 若 x＋y>ｘ－ｙ，ｙ-ｘ>y,那么（1）x+y>0,(2）y－x<0,（３)xｙ≤0,（4） y ＜０中，正确结论的序号为________。 x
2．(201０四川乐山)下列不等式变形正确的是（
）
(A)由 a ＞ b ，得 a 2 < b 2
(Ｂ)由 a > b ,得 2a ＜ 2b
A． 1 ＋1>2 x
B.x２>9
) C.2x＋y≤5
2.若 (m 2)x 2m1 1 5 是关于 x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为
D. 1 (x－3）<０ 2
.
用不等式表示
a 与 6 的和小于 5;
x 与 2 的差小于-1；
数轴题
1.a,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示:用“＜”或“＞”号填空:
《不等式》常见题型归纳和经典 例题讲解
———————————————————————————————— 作者： ———————————————————————————————— 日期：
ﻩ
《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解
１.常见题型分类(加粗体例题需要作答)
定义类
1．下列不等式中，是一元一次不等式的是（
3
2
1 2(x 1) 1,
３.（200６年绵阳市)
x 2
1 3
x.
含参不等式: 此类试题易错知识辨析
（1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况.
如不等式 ax b （或 ax b )( a 0 )的形式的解集:
ﻩ当 a 0 时, x b （或 x b )
a
a
ﻩ当 a 0 时, x b （或 x b )
4.已知ｘ的 1 与 3 的差小于 x 的- 1 与－６的和，根据这个条件列出不等式.你能估计出它的解集吗？
2
2
已知解集求范围
１.关于 x 的方程５－a(1-x)=8x-(3-a）x 的解是负数，则ａ的取值范围是(
A、a<－４
B、a＞5
C、ａ＞－5
2.已知－4 是不等式ａx>9 的解集中的一个值,试求ａ的取值范围．
２(2010
பைடு நூலகம்
山东泰安）若关于
x
的不等式
x 7
m0 2x 1
的整数解共有
4
个，则
m
的取值范围是(
)
Ａ． 6 m 7 ﻩＢ. 6 m 7 ﻩC. 6 m 7 D. 6 m 7
3 关于 x 的方程 kx 1 2x 的解为正实数,则ｋ的取值范围是
.
{3x 2y p 1
4 已知关于 x,y 的方程组 4x 3y p 1 的解满足 x>y,求 p 的取值．