数学模型方法的定义及基本步骤
数学建立模型知识点总结
数学建立模型知识点总结一、数学建立模型的基本概念1. 模型的定义模型是对于特定对象或系统的数学表达式或描述。
它是一个用来代表真实事物、预测未来情况或解决实际问题的简化抽象。
模型可以是数学方程、图表、图形或者计算机程序等形式。
2. 模型的分类根据模型的形式和特点，可以将模型分为不同的类别，主要包括数学模型、物理模型、统计模型、仿真模型等。
3. 建立模型的目的建立模型的目的是为了更好地理解现实世界中的复杂问题，预测未来的发展趋势，进行决策分析和问题求解等。
二、数学建立模型的方法1. 建立模型的一般步骤通常建立模型的一般步骤包括问题分析、模型建立、模型求解、模型验证和结果分析等。
2. 建立模型的数学方法建立数学模型的数学方法主要包括差分方程模型、微分方程模型、优化模型、概率模型和统计模型等。
三、数学模型的应用1. 数学模型在自然科学领域的应用数学模型在物理学、化学、生物学等领域都有着广泛的应用，例如在物理学中用来研究物体的运动规律、在生物学中用来研究生物体的生长和繁殖规律等。
2. 数学模型在社会科学领域的应用数学模型在经济学、管理学、社会学等领域也有很多应用，例如在经济学中用来研究市场供求关系、在管理学中用来研究企业运营规律等。
3. 数学模型在工程技术领域的应用数学模型在工程技术领域中常常用来研究工程结构、流体力学、材料科学等诸多问题，例如在建筑工程中用来研究房屋结构的稳定性、在交通工程中用来研究交通流量规律等。
四、数学建立模型的典型案例1. 鱼群扩散模型鱼群扩散模型是用来研究在外界环境条件下鱼群扩散的问题，通常采用微分方程模型进行描述。
2. 物体自由落体模型物体自由落体模型是用来研究物体在重力作用下的运动规律，通常采用差分方程模型进行描述。
3. 经济增长模型经济增长模型常用来研究经济系统的增长规律，通常采用优化模型进行描述。
五、数学建立模型的发展趋势1. 多学科交叉融合数学建立模型的发展趋势是多学科交叉融合，即将数学模型与物理、化学、生物、经济、管理等学科相结合，以更好地解决现实世界中的复杂问题。
数学模型方法——数学模型概念
2、简明实用。 、简明实用。 在建模过程中， 在建模过程中，要把本质的东西及其关系 反映进去，把非本质的、 反映进去，把非本质的、对反映客观真实 程度影响不大的东西去掉， 程度影响不大的东西去掉，使模型在保证 一定精确度的条件下， 一定精确度的条件下，尽可能的简单和可 操作，数据易于采集。 操作，数据易于采集。 3、适应变化。 、适应变化。 随着有关条件的变化和人们认识的发展， 随着有关条件的变化和人们认识的发展， 通过相关变量及参数的调整， 通过相关变量及参数的调整，能很好的适 应新情况。 应新情况。
• 模型方法是为完成人类认识世界的某种目 的而进行的， 的而进行的，从分类的意义上来说有多种 多样的模型方法。 多样的模型方法。 • 人们一般把它划分为实物模型和思想模型 人们一般把它划分为实物模型 实物模型和 两种类型。 两种类型。进一步从构造意义上来划分还 可以分为数学模型 逻辑模型、功能模型、 数学模型、 可以分为数学模型、逻辑模型、功能模型、 图形模型等 图形模型等。
任意取黑白两种颜色的棋子8粒摆成一个圆圈。 任意取黑白两种颜色的棋子8粒摆成一个圆圈。然 后在相邻两粒同色棋子中间放一粒黑棋， 后在相邻两粒同色棋子中间放一粒黑棋，在相邻 两粒异色棋子中间放一粒白棋， 两粒异色棋子中间放一粒白棋，放完后撤掉原来 粒棋子。重复以上过程， 的8粒棋子。重复以上过程，问棋子的颜色会怎样 变化？ 如果一开始是6粒黑白棋子摆成一个圆圈， 变化？ 如果一开始是6粒黑白棋子摆成一个圆圈， 问重复上述操作后，棋子的颜色会怎样变化？ 问重复上述操作后，棋子的颜色会怎样变化？ (1)8次后变为全黑 (1)8次后变为全黑 (2)第 次操作后结果相同，是周期为6 (2)第2次、第8次操作后结果相同，是周期为6的 循环 2
数学模型（ 数学模型（Mathematical Model） ）
零基础学会数学建模
数学建模知识——之新手上路一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。
”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
数学模型的建立
数学模型的建立引言数学模型是将现实世界中的实际问题转化为数学形式的表示。
通过建立数学模型，我们可以更好地理解和分析问题，并提供解决方案。
本文将讨论数学模型的基本概念、建立过程以及一些常用的建模方法。
数学模型的基本概念数学模型是一种以数学符号和方程组的形式来描述现实问题的工具。
它由变量、参数、约束条件和目标函数组成。
变量表示问题中的待求量，参数表示问题中的已知量，约束条件表示问题中的限制条件，目标函数表示问题中的目标。
数学模型的建立过程数学模型的建立通常包括以下几个步骤：1. 研究问题：首先，我们需要深入研究和了解问题的背景和相关知识，明确问题的目标和要求。
2. 定义变量和参数：根据问题的特点，我们需要定义适当的变量和参数来表示问题中的各个要素。
3. 建立方程或不等式：根据问题的描述和已知条件，我们可以建立方程或不等式来描述问题中的关系。
4. 添加约束条件：将问题中的限制条件加入到模型中，确保模型的可行性和准确性。
5. 确定目标函数：根据问题的目标，确定一个合适的目标函数，以便我们可以通过最大化或最小化目标函数来求解问题。
6. 解模型并验证：使用合适的数学工具和方法求解模型，并验证模型的解是否符合实际情况。
常用的建模方法建立数学模型的方法多种多样，常见的建模方法包括：- 数理统计方法：通过收集和分析数据，利用统计学方法建立数学模型。
- 最优化方法：使用最优化理论和方法，通过最大化或最小化目标函数来建立模型。
- 离散事件模拟方法：将连续事件转化为离散事件，使用模拟技术来解决问题。
- 动态系统建模方法：将问题描述为动态系统，通过建立微分方程和差分方程来建模。
- 概率模型方法：通过概率论的知识，建立和分析随机现象的数学模型。
结论数学模型的建立是解决实际问题的重要工具。
通过合理的建模方法和技巧，我们可以更好地理解问题，并提供有效的解决方案。
不同的问题需要选择适合的建模方法，根据实际情况进行灵活应用。
建立数学模型需要综合运用数学、统计学和实际领域的知识，从多个角度综合分析问题，得出准确的结果。
数学模型与数学建模3篇
数学模型与数学建模第一篇：数学模型的基本概念在现代科学研究中，数学模型是一种非常重要的工具，通过建立描述物理或社会现象的数学模型，我们可以更好地理解和控制这些现象。
在本文中，我们将介绍数学模型的基本概念及其在现实中的应用。
一、数学模型的定义和分类数学模型是用数学符号、方程和图表等数学表达方式来描述现实世界的一个抽象表示。
它可以用于解释和预测各种现象及其规律，从而帮助我们做出决策和解决问题。
根据研究领域和目标，数学模型可以分为物理模型、经济模型、生物模型、社会模型等。
二、数学模型的建立过程数学模型的建立通常包括以下步骤：1.问题分析：确定研究对象、研究目的和相关因素。
2.假设建立：对研究对象进行适当的简化和假设，确定研究范围和基本假设。
3.数学表示：用数学符号和方程来表示研究对象和变量之间的关系。
4.参数设定：指明各个变量的具体数值和范围，以及与现实世界的对应关系。
5.模型验证：通过模拟或实验验证模型的正确性和可行性。
三、数学模型的应用领域数学模型被广泛应用于各个领域，如天文学、物理学、化学、生物学、经济学、社会学等。
以下是一些典型的例子：1.天文学中的数学模型可以用来描述星体和行星的运动轨迹，预测彗星和陨石的轨迹和时间，以及预测备选行星的轨迹和特性。
2.经济学中的数学模型可以用来预测市场供求关系、利率、汇率等，并进行政策规划和决策。
3.生物学中的数学模型可以用来描述生物进化、种群动态、生态系统和生物物种间的关系，以及预测疾病传播和药物研发。
四、数学模型的发展趋势随着科技、数据采集和计算能力不断发展，数学模型也不断更新和进化。
未来数学模型的发展趋势主要包括：1.数据驱动模型：基于大数据的机器学习和人工智能等技术，依靠数据直接训练和生成模型。
2.多学科交叉模型：跨学科合作，利用多层次、多角度的学科与方法，进一步提升模型的准确性和实用性。
3.可解释性模型：提高模型的可解释性，利用统计学方法和可视化技术，使模型结果更易读懂和理解。
数学建模的基本步骤及方法
数学建模的基本步骤及方法数学建模是一种应用数学的方法，通过数学模型来描述、解释和预测现实世界中的问题。
它在科学研究、工程技术、经济管理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍数学建模的基本步骤及方法，以帮助读者更好地理解和应用数学建模。
一、问题定义数学建模的第一步是明确问题，并对问题进行定义、限定和分析。
要做到具体明确，确保问题的可行性和实际性。
同时，在问题定义阶段，需要理解问题所处的背景和条件，收集所需的数据和信息。
二、建立数学模型在问题定义的基础上，需要选择合适的数学工具和方法，建立数学模型。
数学模型是通过数学符号和方程来描述问题的规律和关系。
常见的数学模型包括线性模型、非线性模型、动态模型等。
根据实际情况，选择适合的模型形式，并进行相关的假设和简化。
三、模型求解通过数学方法，对建立的数学模型进行求解。
求解的过程中，可以运用数值计算、优化算法、数值逼近等方法。
根据问题的具体要求，选择合适的求解方法，并编写相应的程序进行计算。
四、模型验证模型求解完成后，需要对求解结果进行验证。
验证的目的是检验模型的有效性和准确性。
可以通过与实际数据的对比，对模型的预测能力进行评估。
如果模型与实际结果相符合，说明模型具有较好的预测能力。
五、结果分析与应用在模型验证的基础上，对求解结果进行分析和解释。
通过对结果的分析，可以得到对于问题本质的深刻理解。
同时，根据分析结果，可以制定相应的决策和策略，在实际问题中得到应用和推广。
六、模型优化和调整数学建模是一个循环迭代的过程，在实际应用中，可能会遇到新的情况和问题。
为了提高模型的稳定性和预测能力，需要对模型进行优化和调整。
可以通过改变模型的参数、调整模型的结构、增加新的变量等方式来优化模型。
七、模型评价对建立的数学模型进行评价是数学建模的重要环节。
评价的指标包括模型的准确性、稳定性、可靠性等。
通过评价，可以发现模型的不足和改进的空间，并为进一步应用提供指导和参考。
综上所述，数学建模是一个系统而复杂的过程，需要综合运用数学、计算机、统计学、优化算法等多个学科的知识和方法。
数学建模基础(入门必备)
一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。
不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。
”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其在联系的数学结构表达式。
一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。
例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典。
今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。
特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。
因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。
二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。
2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。
如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。
3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。
这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。
不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。
4. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。
第二讲：数学建模的基本方法和步骤
数学建模知识点总结
数学建模知识点总结一、数学建模的基本概念数学建模是指利用数学方法和技术对实际问题进行数学化描述和求解的过程。
数学建模的核心是将实际问题抽象化为数学模型，并通过数学方法对模型进行求解，从而得出对实际问题的合理解释和解决方案。
二、数学建模的基本步骤1. 问题的分析与建模：对实际问题进行深入分析，明确问题的目标和约束条件，然后将问题转化为数学模型的形式。
数学模型可以是代数方程、差分方程、微分方程、优化问题等。
2. 模型的求解：根据具体问题的特点，选择合适的数学方法和技术对模型进行求解。
常见的数学方法包括数值计算、概率统计、优化算法等。
3. 模型的验证与评估：对求解得到的数学模型进行验证，检验模型的有效性和可行性。
可以通过实际数据的拟合度、模型的稳定性等方面来评估模型的质量。
4. 结果的解释与应用：将数学模型的求解结果进行解释和分析，得出对实际问题的合理解释和解决方案。
根据实际需求，可以对模型进行调整和优化，进一步提高模型的准确性和实用性。
三、常见的数学建模方法和技术1. 线性规划：线性规划是一种优化方法，用于解决目标函数线性、约束条件线性的优化问题。
通过线性规划可以求解最大化或最小化目标函数的最优解，广泛应用于生产调度、资源分配等领域。
2. 非线性规划：非线性规划是一种优化方法，用于解决目标函数非线性、约束条件非线性的优化问题。
非线性规划相比线性规划更加复杂，但可以处理更为实际的问题，如经济增长模型、能源消耗模型等。
3. 微分方程模型：微分方程模型是一种描述系统演化过程的数学模型，广泛应用于物理、生物、经济等领域。
通过求解微分方程模型，可以揭示系统的动力学行为和稳定性特征。
4. 差分方程模型：差分方程模型是一种递推关系式，描述系统在离散时间点上的变化规律。
差分方程模型常用于描述离散事件系统、人口增长模型等。
5. 概率统计模型：概率统计模型是一种利用概率统计方法对随机事件进行建模和分析的方法。
通过概率统计模型，可以对实际问题的不确定性进行量化和分析，如风险评估、市场预测等。
建立数学模型的基本步骤和技巧
建立数学模型的基本步骤和技巧在现代科学和工程领域中，数学模型是解决问题和预测现象的重要工具。
建立一个准确有效的数学模型，不仅需要深厚的数学功底，还需要一定的实践经验和创造力。
本文将介绍建立数学模型的基本步骤和技巧，帮助读者更好地理解和应用数学模型。
第一步：问题定义和背景分析建立数学模型的第一步是明确问题的定义和背景分析。
我们需要了解问题的起源、目标和约束条件，以及问题所涉及的物理、化学或生物过程。
通过深入分析问题的本质和特点，我们可以确定适用的数学方法和模型类型。
第二步：建立假设和简化在建立数学模型时，我们通常需要进行一些假设和简化。
这些假设和简化可以使问题更易于处理，但也可能导致模型与实际情况存在一定差异。
因此，在建立模型时，我们需要权衡精确性和可行性，并确保模型的假设和简化与问题的实际情况相符合。
第三步：选择数学方法和模型类型根据问题的特点和要求，我们需要选择适当的数学方法和模型类型。
常见的数学方法包括微积分、线性代数、概率论和统计学等。
而模型类型则包括差分方程、微分方程、优化模型和统计模型等。
选择合适的数学方法和模型类型是建立准确有效模型的关键一步。
第四步：建立数学方程和关系在建立数学模型时，我们需要根据问题的特点和数学方法的要求，建立相应的数学方程和关系。
这些方程和关系可以描述问题中的物理规律、动力学过程或统计关系。
我们可以利用已有的数学理论和公式，或者根据问题的特点和需求，自行推导和建立数学方程和关系。
第五步：参数估计和模型验证在建立数学模型后，我们需要进行参数估计和模型验证。
参数估计是指根据实验数据或观测结果，估计模型中的未知参数值。
而模型验证则是通过与实际数据的比较，评估模型的准确性和可靠性。
参数估计和模型验证可以帮助我们优化模型，提高模型的预测能力和适用性。
第六步：模型分析和应用建立数学模型后，我们可以进行模型分析和应用。
模型分析可以帮助我们理解模型的行为和特性，探索模型的稳定性、收敛性和灵敏度等。
数学模型的建立过程
数学模型方法函数关系可以说是一种变量相依关系的数学模型．数学模型方法是处理科学理论问题的一种经典方法，也是处理各类实际问题的一般方法．掌握数学模型方法是非常必要的．在此，对数学模型方法作一简述．数学模型方法（Mathematical Modeling)称为MM方法．它是针对所考察的问题构造出相应的数学模型，通过对数学模型的研究，使问题得以解决的一种数学方法．一、数学模型的含义数学模型是针对于现实世界的某一特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出必要的简化和假设，运用适当的数学工具，采用形式化语言，概括或近似地表述出来的一种数学结构．它或者能解释特定对象的现实性态，或者能预测对象的未来状态，或者能提供处理对象的最优决策或控制．数学模型既源于现实又高于现实，不是实际原形，而是一种模拟，在数值上可以作为公式应用，可以推广到与原物相近的一类问题，可以作为某事物的数学语言，可译成算法语言，编写程序进入计算机．二、数学模型的建立过程建立一个实际问题的数学模型，需要一定的洞察力和想像力，筛选、抛弃次要因素，突出主要因素，做出适当的抽象和简化．全过程一般分为表述、求解、解释、验证几个阶段，并且通过这些阶段完成从现实对象到数学模型，再从数学模型到现实对象的循环．可用流程图表示如下：表述根据建立数学模型的目的和掌握的信息，将实际问题翻译成数学问题，用数学语言确切地表述出来．这一个关键的过程，需要对实际问题进行分析，甚至要做调查研究，查找资料，对问题进行简化、假设、数学抽象，运用有关的数学概念、数学符号和数学表达式去表现客观对象及其关系．如果现有的数学工具不够用时，可根据实际情况，大胆创造新的数学概念和方法去表现模型．求解选择适当的方法，求得数学模型的解答．解释数学解答翻译回现实对象，给实际问题的解答．验证检验解答的正确性．例如,哥尼斯堡一条普雷格尔河，这条河有两个支流，在城中心汇合成大河，河中间有一小岛，河上有七座桥，如图1所示．18世纪哥尼斯堡的很多居民总想一次不重复地走过这七座桥，再回到出发点．可是试来试去总是办不到，于是有人写信给当时著名的数学家欧拉，欧拉于1736年，建立了一个数学模型解决了这个问题．他把A、B、C、D这四块陆地抽象为数学中的点，把七座桥抽象为七条线，如图2所示．CB图1 图2人们步行七桥问题，就相当于图2的一笔画问题，即能否将图2所示的图形不重复地一笔画出来，这样抽象并不改变问题的实质．哥尼斯堡七桥问题是一个具体的实际问题，属于数学模型的现实原型．经过理想化抽象所得到的如图2所示的一笔画问题便是七桥问题的数学模型．在一笔画的模型里，只保留了桥与地点的连接方式，而其他一切属性则全部抛弃了．所以从总体上来说，数学模型只是近似地表现了现实原型中的某些属性，而就所要解决的实际问题而言，它是更深刻、更正确、更全面地反映了现实，也正由此，对一笔画问题经过一定的分析和逻辑推理，得到此问题无解的结论之后，可以返回到七桥问题，得出七桥问题的解答，不重复走过七座桥回到出发点是不可能的．数学模型，从广义上讲，一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程式、各种函数关系，以及由公式系列构成的算法系统等等都可以叫做数学模型．从狭义上讲，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系的结构，才叫做数学模型．在现代应用数学中,数学模型都作狭义解释．而建立数学模型的目的，主要是为了解决具体的实际问题．三、模型的建立研究数学模型，建立数学模型，进而借鉴数学模型，对提高解决实际问题的能力，以及提高数学素养都是十分重要的．建立模型的步骤可分为：(1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示；(2) 根据所给条件，运用数学或物理知识，确定等量关系；(3) 具体写出解析式)(x f y =，并指明定义域．例 重力为P 的物体置于地平面上，设有一与水平方向成α角的拉力F ，使物体由静止开始移动，求物体开始移动时拉力F 与角α之间的函数模型（图3）．解 由物理知，当水平拉力与摩擦力平衡时，物体开始移动，而摩擦力是与正压力αsin F P -成正比的（设摩擦系数为μ），故有)sin (cos αμαF P F -=,即 αμαμsin cos +=P F （0°<α<90°）建立函数模型是一个比较灵活的问题， 无定法可循，只有多做些练习才能逐步掌握． 图3四、数学建模方法数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）．数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的数学模型的一种强有力的数学手段．常用的数学建模方法如下：（一） 机理分析法 从基本理论以及系统的结构数据来推导出数学模型的方法1. 比例分析法 —— 建立变量之间函数关系的最基本、最常用的方法.2. 代数方法——求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法.3. 逻辑方法——是数学理论研究的重要方法，用以解决社会学和经济学等领域的实际问题，在决策论，对策论等学科中得到广泛应用.4. 常微分方程——解决两个变量之间的变化规律，关键是建立“瞬时变化率”的表达式．5. 偏微分方程——解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律．（二） 数据分析法 从大量的观测数据利用统计方法建立数学模型的方法1. 回归分析法——用于对函数()f x 的一组观测值(,())(1,2,)i i x f x i n ，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法．2. 时序分析法——处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法．(三)仿真和其他方法1. 计算机仿真（模拟）——实质上是统计估计方法，等效于抽样试验．① 离散系统仿真——有一组状态变量．② 连续系统仿真——有解析表达式或系统结构图．2. 因子试验法——在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构．3. 人工现实法——基于对系统过去行为的了解和对未来希望达到的目标，并考虑到系统有关因素的可能变化，人为地组成一个系统．五、几个数学模型1.如何预报人口的增长人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报，说到未来某个时期全世界(或某地区)的人口将达到多少多少亿．你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上常有较大的差别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果．建立模型的目的: 在对出生和死亡的概率作出适当假设的基础上，寻求人口X (t )的变化规律，用它描述人口的发展状况．先看一种最简单的计算方法．要预报未来若干年的人口，最重要的影响因素自然是今年的人口和今后这些年的增长率(即人口出生率减去死亡率)，根据这两个数据进行人口预报是十分容易的．记今年人口为x 0，k 年后人口为x k ，年增长率为r ，则预报公式为x k ＝x 0(1+r )k显然，这个公式的基本前提是年增长率r 保持不变．这个条件在什么情况下才成立，如果不成立又该怎么办?历史上，人口模型的发展过程回答了这个问题．早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了，一二百年来发展了许多模型，其中最简单的有两种.2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型)英国人口学家马尔萨斯(Malthus l766—1834)根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了著名的人口指数增长模型．这个模型的基本假设是：人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比． 记时刻t 的人口为x (t )，初始时刻(t ＝0)的人口为x 0，人口增长率为r ，r 是单位时间内x x (t )的增量与x (t )的比例系数．根据r 是常数的基本假设，t 到t+Δt 时间内人口增量为x (t+Δt ))(t x - = r x (t )Δt于是x (t )满足如下的微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==0)0(x x rxdt dx 由这个线性常系数微分方程容易解出rt e x t x 0)(=表明人口将按指数规律无限增长(r ＞0)．将t 以年为单位离散化，人口以re 为公比的等比数列增长．因为这时r 表示年增长率，通常r <<1，所以可用近似关系r e r +≈1,那么 tr x t x )1()(0+≈可见,前面给出的预报公式不过是指数增长模型离散形式的近似表示．由rt e x t x 0)(= 给出的模型，与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合．一些人口增长率长期稳定不变的国家和地区用这个模型进行预报，结果也令人满意．但是当人们用19世纪以后许多国家的人口统计资料与指数增长模型比较时，却发现了相当大的差异．显然，用这个模型预报的结果远远超过了实际人口的增长．引起误差的原因是10年增长率r 估计过高．人们还发现，在地广人稀的加拿大领土上，法国移民后代的人口比较符合指数增长模型，而同一血统的法国本土居民人口的增长却远低于这个模型．产生上述现象的主要原因是:随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越显著．如果当人口较少时(相对于资源而言)人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少．许多国家人口增长的实际情况完全证实了这点．看来为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设了．3.阻滞增长模型(Logistic 模型)将增长率r 表示为人口x (t )的函数r (t ) (即增长率相对于固定的人口数x 来说是常数),按照前面的分析r (x )应是x 的减函数．一个最简单的假定是设r (x )为x 的线性函数r (x )= r –sx ， s ＞0，这里r 相当于x=0时的增长率，称固有增长率． 它与指数模型中的增长率r 不同(虽然用了相同的符号)．显然对于任意的x ＞0，增长率r (x )＜r ．为了确定系数s ，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量x m ，称最大人口容量．当x=x m 时增长率应为零，即r (x m )＝0，由此确定出s .人口增长率函数r (x )可以表为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=m x x r x r 1)(其中r 、x m 是根据人口统计数据或经验确定的常数．因子⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-m x x 1体现了对人口增长的阻滞作用． 在此的假设下,指数增长模型应修改为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0)0(1 x x x x x r dt dx m 称为阻滞增长模型．此非线性微分方程可用分离变量法求解,结果为rtm me x x x t x -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=11)(其阻滞增长模型x (t )的曲线如图本世纪初人们曾用这个模型预报美国的人口．直到1930年计算结果都能与实际数据较好地吻合．后来的误差越来越大，一个明显的原因是到1960年美国的实际人口已经突破了用过去数据确定的最大人口容量x m ．由此看来，这个模型的缺点之一是x m 不易准确地得到．事实上，随着生产力的发展和人们认识能力的改变，x m 也是可以改变的．4. 随机性人口模型上面讨论的人口模型都是确定性的，已知初始人口并且给定了生育率、死亡率等数据后，可以确切地预测未来的人口．但是事实上，一个人的出生和死亡应该说是随机事件，无法准确预测．之所以能用确定性模型描述人口的发展，是因为考察的是一个国家或地区的数量很大的人口，用对总数而言的平均生育率、死亡率代替出生、死亡的概率，将人口作为连续变量处理．如果研究对象是一个自然村落或一个家族的人口，数量不大、需作为离散变量看待时，就要利用随机性人口模型来描述其变化过程了.时刻t 的人口用随机变量)(t X 表示，)(t X 只取整数值．记)(t P n 为n t X =)(的概率，=n 0,1,2,…，下面要在对出生和死亡的概率作出适当假设的基础上，寻求)(t P n 的变化规律，并由此得出人口)(t X 的期望和方差，用它们在随机意义下描述人口的发展状况．模型假设 若n t X =)(，对人口在t 到t t ∆+的出生和死亡作如下假设(t ∆很小)：1．出生一人的概率与t ∆成正比，记作t b n ∆；出生二人及二人以上的概率为)(t o ∆．2．死亡一人的概率与t ∆成正比，记作t d n ∆；死亡二人及二人以上的概率为)(t o ∆．3．出生与死亡是相互独立的随机事件．4．进一步设n b 和n d 均与n 成正比，记n b n λ=，n d n μ=，λ和μ分别是单位时间内1=n 时一个人出生和死亡的概率.建模与求解 为了得到)(t P n 的方程，考察随机事件n t t X =∆+)(．根据假设1—3，与出生或死亡一人的概率相比、出生或死亡二人及二人以上的概率，出生一人且死亡一人的概率均可忽略．这样，n t t X =∆+)(可以分解为仅仅三个互不相容的事件之和：1)(-=n t X 且t ∆内出生一人,其概率为t b n ∆；1)(+=n t X 且t ∆内死亡一人，其概率为t d n ∆；n t X =)( 且t ∆内人口未变，其概率为P {人口未变}=1-P{人口增加或减少1人}=t d t b n n ∆-∆-1．按照全概率公式有P {时刻t t ∆+有n 个人}=P {t ∆增加1人}P{时刻t 有n-1个人}+P {t ∆减少1人}P{时刻t 有n+1个人}+P {t ∆人口未变}P{时刻t 有n 个人}.即)1)(()()()(111t d t b t P t d t P t b t P t t P n n n n n n n n ∆-∆-+∆+∆=∆++-- (1)即)()()()()()(111t P d b d t P b t P tt P t t P n n n n n n n n n +-+=∆-∆++--令0→∆t ，可得关于)(t P n 的微分方程：)()()()(1111t P d b t P d t P b dtdP n n n n n n n n +-+=++-- (2) 特别地，在假设4(n b n λ=，n d n μ=)下方程为)()()()1()()1(11t nP t P n t P n dtdP n n n n μλμλ+-++-=+- (3) 若初始时刻(0=t )人口为确定数量0n ，则)(t P n 的初始条件为⎩⎨⎧≠==. ,0, ,1)0(00n n n n P n (4) (3)式对于不同的n 是一组递推方程，在条件(4)下的求解过程非常复杂，并且没有简单的结果．幸而，通常人们对(3)式的解)(t P n 并不关心，感兴趣的只是)(t X 的期望)}({t X E .以下简记期望)(t E )}({t X E =, 0)0(n E =,方差)(t D )}({t X D =. 0)0(=D .而它们可以由(3)、(4)直接得到，因为按照定义，∑∞==1)()(n n t nP t E (5)对(5)求导并将(3)代人得∑∑∑∞=∞=+∞=-+-++-=121111)()()()1()()1(n n n n n n t P n t P n n t P n n dt dE μλμλ (6) 注意到∑∑∑∞=∞=∞=-+=+=-1111)()1()()1()()1(n n k k n n t P n n t P k k t Pn n ∑∑∑∞=∞=∞=+-=-=+1111)()1()()1()()1(n n k k n n t P n n t P k k t Pn n 代入(6)式 ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=-=+--++=11211)()()()()()1()()1(n n n n n n n n t nP t P n t P n n t P n n dt dE μλμλμλ 利用(5)式，则有)()()()(1t E t nP dt dE n n μλμλ-=-=∑∞= (7) 由于0)0(n E = (8)显然，方程(7)在(8)下的解为rt t e n e n t E 0)(0)(==-μλ,μλ-=r . (9)这个结果与1.4节(3)式表示的指数模型rt e x t x 0)(= (10)形式上完全一致．从含义上看，随机性模型(9)中出生概率λ与死亡概率μ之差r 可称为净增长概率,人口的期望值)(t E 呈指数增长．在人口数量很多的情况下如果将r 视为平均意义上的净增长率，那么)(t E 就可以看成确定性模型(10)中的人口总数)(t x 了。
数学建模总结知识点
数学建模总结知识点一、数学建模的概念和意义数学建模是利用数学知识和方法，对现实生活中的问题进行抽象和思考，最终得出合理的数学模型，并利用模型进行分析和预测的过程。
数学建模是对数学知识的综合运用，是数学与实际问题相结合的典范。
数学建模的意义在于通过数学的抽象和建模技术，使得复杂的实际问题成为可以求解的数学问题，从而得到解决方案和预测结果，提高问题解决的效率和精度。
二、数学建模的基本步骤数学建模通常包括以下几个基本步骤：1. 问题的分析与理解：首先需要对实际问题进行充分的分析和理解，了解问题的背景和意义，确定问题的具体要求和限制条件。
2. 模型的建立：根据问题的特点和要求，选择合适的数学方法和工具，建立数学模型，将实际问题抽象为数学问题，并进行模型的假设和简化。
3. 模型的求解：采用适当的数学方法和技术，对建立的数学模型进行求解，得到具体的结果和解决方案。
4. 模型的验证与分析：对求解得到的结果进行验证和分析，检验模型的有效性和合理性，分析结果的意义和局限性。
5. 结果的表达与应用：最终将求解得到的结果进行表达和应用，提出对实际问题的建议和改进方案。
三、数学建模的常用方法和技术1. 数学分析：数学建模的基础是数学分析，包括微积分、线性代数、概率统计等基本数学知识和方法。
在建立数学模型和进行求解过程中，需要运用各种数学分析方法，对问题进行分析和处理。
2. 最优化方法：最优化方法是数学建模中常用的技术，包括线性规划、非线性规划、整数规划等各种最优化方法。
通过对目标函数和约束条件的优化，得到最优的解决方案和决策结果。
3. 概率统计：概率统计是用于描述随机现象和不确定性问题的数学方法。
在数学建模中，概率统计技术可以用于对风险和不确定性进行分析和评估，提供概率分布和风险预测。
4. 数学模拟：数学模拟是利用计算机技术进行数学模型求解和仿真的过程。
通过数学模拟技术，可以对复杂的数学模型进行求解和验证，得到定量结果和模拟数据。
关于数学建模方面的知识
关于数学建模方面的知识一、数学模型的定义现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义.不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构.”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式.一般来说数学建模过程可用如下框图来表明：数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史.例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范.今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型.特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用.因此数学建模被时代赋予更为重要的意义.二、建立数学模型的方法和步骤1. 模型准备要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征.2. 模型假设根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步.如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化.3. 模型构成根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构.这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天.不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值.4. 模型求解可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术.一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重.5. 模型分析对模型解答进行数学上的分析. “横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次.还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析.三、数模竞赛出题的指导思想传统的数学竞赛一般偏重理论知识，它要考查的内容单一，数据简单明确，不允许用计算器完成.对此而言，数模竞赛题是一个“课题”，大部分都源于生产实际或者科学研究的过程中，它是一个综合性的问题，数据庞大，需要用计算机来完成.其答案往往不是唯一的（数学模型是实际的模拟，是实际问题的近似表达，它的完成是在某种合理的假设下，因此其只能是较优的，不唯一的），呈报的成果是一编“论文” .由此可见“数模竞赛”偏重于应用，它是以数学知识为引导计算机运用能力及文章的写作能力为辅的综合能力的竞赛.四、竞赛中的常见题型赛题题型结构形式有三个基本组成部分：1. 实际问题背景涉及面宽——有社会，经济，管理，生活，环境，自然现象，工程技术，现代科学中出现的新问题等.一般都有一个比较确切的现实问题. 若干假设条件有如下几种情况：1）只有过程、规则等定性假设，无具体定量数据；2）给出若干实测或统计数据；3）给出若干参数或图形；4）蕴涵着某些机动、可发挥的补充假设条件，或参赛者可以根据自己收集或模拟产生数据.要求回答的问题往往有几个问题，而且一般不是唯一答案。
机械工程控制基础-系统数学模型
由于：
d 1 A ( H 0 H ) H0 H qi 0 qi dt 2 H0
阻尼
v1 ( t ) x1(t) fC (t)
C
v2 ( t ) x2(t) fC(t)
f C (t ) C v1 (t ) v2 (t ) Cv (t ) dx1 (t ) dx2 (t ) C dt dt dx(t ) C 6 dt
机械平移系统
E Ri
12
电气系统 电气系统三个基本元件：电阻、电容和电感。
电阻 i( t)
R
u ( t) 电容 i( t)
C u ( t)
u(t ) Ri(t )
1 u (t ) i (t )dt C du (t ) i (t ) C Cu dt
13
电感 i( t) L u ( t) R-L-C无源电路网络
消去中间变量，得到描述元件或系统输入、 输出变量之间关系的微分方程； 标准化：右端输入，左端输出，导数降幂排列
3、 控制系统微分方程的列写 机械系统 机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可 简化为质量、弹簧和阻尼三个要素：
4
质量
fm(t)
m
x (t) v (t) 参考点
2
d d f m (t ) m v(t ) m 2 x(t ) mx dt dt
21
液位系统
A：箱体截面积；
：由节流阀通流面积和通流口的结构形式决 定的系数，通流面积不变时，为常数。
d A H (t ) H (t ) qi (t ) dt
上式为非线性微分方程，即此液位控制系统为 非线性系统。
线性系统微分方程的一般形式
数学建模的基本方法和步骤
数学建模的基本方法和步骤以数学建模的基本方法和步骤为标题，我们将介绍数学建模的基本流程和一些常用的方法。
一、引言数学建模是将实际问题抽象为数学问题，并通过数学方法进行分析和求解的过程。
它在科学研究、工程技术和决策管理等领域具有重要的应用价值。
下面将介绍数学建模的基本方法和步骤。
二、问题定义在进行数学建模之前，首先需要明确定义问题。
问题定义应尽可能准确和明确，明确问题的目标、约束条件和限制。
三、建立数学模型建立数学模型是数学建模的核心环节。
根据问题的特点和需求，选择合适的数学模型。
常用的数学模型包括优化模型、概率模型、动态模型等。
在建立模型时，需要做出适当的假设，简化问题的复杂度。
四、模型分析与求解在建立好数学模型后，需要对模型进行分析和求解。
根据问题的特点，选择合适的分析方法和求解算法。
常用的分析方法包括灵敏度分析、稳定性分析等。
常用的求解算法包括数值方法、优化算法等。
五、模型验证与评估建立数学模型后，需要对模型进行验证和评估。
通过与实际数据的比较，验证模型的准确性和适用性。
评估模型的优劣，确定模型的可行性和可靠性。
六、结果解释与应用在完成模型的分析和求解后，需要将结果进行解释和应用。
对模型的结果进行合理解释，给出合理的结论和建议。
将模型的结果应用到实际问题中，对实际问题进行决策和管理。
七、模型优化和改进在应用数学模型的过程中，可能会遇到一些问题和不足。
需要对模型进行优化和改进。
通过调整模型的参数和假设，改进模型的准确性和可行性。
优化模型的结构和算法，提高模型的求解效率和精度。
八、总结与展望数学建模是一个不断发展和完善的过程。
在实际应用中，需要结合具体问题和实际需求，灵活运用数学建模的方法和步骤。
同时，也需要不断学习和探索新的建模技术和方法，提高建模的水平和能力。
数学建模是将实际问题抽象为数学问题，并通过数学方法进行分析和求解的过程。
它包括问题定义、模型建立、模型分析与求解、模型验证与评估、结果解释与应用、模型优化和改进等步骤。
数学模型方法
1735年的一个傍晚,该城的大学生散步时,试图 一次不重复地走过这七座桥,但终未成功,于是向 大数学家欧拉求教.
欧拉采用抽象分析法,把桥看作曲线,把连接桥的地方 看作点,于是便把“能否一次不重复地过七桥”的实际 问题构建为“能否一笔不重复地画出图形”的几何模 型,如图(左)所示.
欧拉注意到,每个点如果有进去的边就必须有出来的 边,从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔 画.如上图(右)的每个点都连接着奇数条边,因此不可能 一笔画出,这就说明不存在一次走遍7座桥,而每座桥只 许通过一次的走法. 欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始,同时 也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子.
凡是从现实模型概括出来的一切数 广义 学概念、公式、方程、定理、法则、 理论体系等都称为数学模型 只有那种反映特定的具体事物的内在 狭义 规律性的数学结构才称为数学模型
数学模型方法应用过程
现实问题 （原象关系结构）
构建模型 数学抽象分析
数学模型 （映象关系结构） 求 解
？
解 答
翻译回去
逆映射
解 答
建模准备
模型检验
验结果 看本质 不相符 作修改
建模假设
模型求解
作运算 写证明 得结果
理解理论 结合矛盾 写出关系
建立模型
4.例谈
故事发生在18世纪东普鲁士的哥尼斯堡城(今俄 罗斯加里宁格勒).该城有一条普莱格尔河,它有两 条支流在城中心汇合,河中有一小岛,河上有7座桥, 将河中的两个岛和河岸连结,如图所示.
2. 数学模型分类
根据数学模型的性质和建立数学模型的方法的差异, 有不同的分类. 分类标准
模型的由来
分类结果
理论模型 经验模型 微分方程模型 概率模型等
初中数学知识归纳数学建模的基本流程与方法
初中数学知识归纳数学建模的基本流程与方法数学建模是将实际问题抽象化、数学化的过程，通过运用数学模型和相关数学知识，解决实际问题的方法。
在初中阶段，我们只需掌握一些基本的数学知识和建模方法，便可进行简单的数学建模。
一、问题的提出数学建模的第一步是明确问题，找出问题的关键。
在初中数学中，问题往往已经通过文字描述给出，我们需要仔细阅读问题并理解其背后的数学含义。
在这一步骤中，我们需运用几何、代数、函数等数学知识来抽象问题。
二、建立数学模型在明确问题后，接下来就是建立数学模型。
数学模型是指用数学符号和公式描述实际问题的数学表达式。
在初中数学建模中，我们主要使用的模型有几何模型、代数模型和函数模型。
1. 几何模型：主要用于描述图形、图像、空间位置等问题。
根据问题的要求，可以通过绘图、标注和计算等方式，建立几何模型。
例如，通过绘制图形来解决几何图形的周长、面积等问题。
2. 代数模型：主要用于描述数量关系、线性关系等问题。
通过设定变量及相关方程或不等式，建立代数模型。
例如，解决物品成本、利润等问题时，可以通过设定变量、列方程或不等式来解决。
3. 函数模型：主要用于描述变量之间的关系，表达某一变量随另一变量变化的规律。
通过建立函数模型，我们可以计算出不同变量之间的取值范围、最大值或最小值等数学概念。
例如，描述某一函数的图像及其特征。
三、解决模型建立数学模型后，我们需要对模型进行求解，找到问题的解决办法。
在初中数学中，解决模型的方法通常有几何解法、代数解法和函数解法。
1. 几何解法：主要通过几何线段、角度等性质，利用几何定理和公式解决问题。
例如，通过利用三角形的边长、角度关系解决几何问题。
2. 代数解法：主要通过代数变量、方程、不等式等方法解决问题。
例如，通过列方程、代数运算等解决带有未知数的问题。
3. 函数解法：主要通过数学函数的性质和图像特征，分析函数的定义域、值域等问题。
例如，通过分析函数的导数、极值等解决函数问题。
数学模型简介
评注和思考：
建模的关键 ： 和 f(), g()的确定 考察四脚呈长方形的椅子，是否还有相同的结论
2、商人安全过河问题
问题(智力游戏) 随从们秘密约定, 在河的任一岸, 一旦随从 的人数比商人多, 就杀人越货。但是乘船渡河的 方案由商人决定。商人们怎样才能安全过河?
用数学语言把椅子位臵和四只脚着地的关系表示出来
椅子位臵： 利用正方形(椅脚连线)的对称性 B B´ 用表示对角线与x轴的夹角
两个距离： A,C 两脚与地面距离之和为f() B,D 两脚与地面距离之和为g()
C´
A´
C
O
D´
A
x
D
正方形ABCD 绕O点旋转
地面为连续曲面 椅子在任意位臵 至少三只脚着地
1、尽量使用实数优化模型，减少整数约束和整 数变量的个数。因为求解离散优化问题比连续优 化问题难得多 2、尽量使用光滑优化，避免使用非光滑函数（ 是指存在不可微点的函数）。如绝对值函数、符 号函数、多个变量求最大（小）值、四舍五入、 取整函数等，通常采用连续、可微问题处理起来 比较简单。
3、尽量使用线性模型，减少非线性约束和线性 x 变量的个数。如： 5 改为 x 5 y 。
3、席位公平的数学建模问题
三个系的学生共有200名（甲系100，乙系60， 丙系40），代表会议共20席，按比例分配，三个 系分别为10，6，4席。 1、由于学生转系，三个系的学生人数分别为 103、 63、 34, 问20席又该如何分配？ 2、若代表增加为21席，又如何分配？
（1）问题提出
系别 学生 比例
p1/n1– p2/n2=5 p1/n1– p2/n2=5
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
数学建模的基本方法与步骤
数学建模的基本方法与步骤数学建模是利用数学方法和技术解决现实问题的过程，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍数学建模的基本方法与步骤，帮助读者了解数学建模的过程，并能进行基本的数学建模工作。
一、问题定义数学建模的第一步是明确问题。
在这一步中，研究者需要对问题进行细致的分析和思考，确保对问题的理解准确和全面。
问题定义阶段需要回答以下问题：1. 问题的背景与目标：了解问题背景，明确问题的目标和约束条件。
2. 变量和参数的设定：确定问题涉及的变量和参数，并对它们进行定义和量化。
二、建立数学模型在问题定义的基础上，数学建模的下一步是建立数学模型。
数学模型是对实际问题进行抽象和简化的表示，它通常包括以下要素：1. 假设和逻辑关系：建立数学模型需要进行一定的假设和逻辑推理，将实际问题转化为数学可解决的形式。
2. 数学表达式：使用数学语言表示问题的关系和约束。
3. 符号和符号含义：为模型中的符号和参数设定符号，并明确其具体含义和单位。
三、数学求解建立数学模型后，下一步是对模型进行求解。
数学求解的过程中，可以使用各种数学方法和技术，如微积分、概率论、优化方法等。
数学求解的关键是选择合适的方法，并进行正确的计算和分析。
四、模型验证和评估在模型求解后，需要对模型进行验证和评估。
验证模型是否符合实际情况，评估模型的可行性和效果。
模型验证和评估的方法包括：1. 数据对比：将模型的结果与实际数据进行对比，评估模型的准确性和可靠性。
2. 灵敏度分析：通过调整模型中的参数和变量，评估模型对输入的敏感程度。
3. 合理性分析：通过与实际领域专家的讨论，评估模型的合理性和可行性。
五、模型应用与解释模型应用是将建立的数学模型应用到具体问题中的过程。
在这一步中，需要将模型的结果与实际问题相结合，进行解释和分析，并从模型中得出结论和建议。
模型应用的关键是将数学模型的结果转化为实际问题的解决方案。
总结：数学建模是一个复杂的过程，需要经验和专业知识的支持。
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数学模型方法的定义及基本步骤
3.1数学模型方法的定义
数学模型方法(MathematicalModelingMethod)是利用数学模型解决问题的一般数学方法，简称MM方法。
它是处理各种数学理论问题、解决各种实际问题的小可或缺的方法，无疑，数学教师在日常教学中都应当注意让学生了解并掌握这种方法，最大可能地培养其构造数学模型的能力。
这绝对小是一个轻松的过程。
首先，学生必须先掌握一定的数学知识，让他们学“杂”一些，使得建立模型解题才有了可能性厂其次，要让学生多接触题目，多动脑。
3.2数学建模方法的基本步骤
一般来说数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析两种．机理分析是根据客观事物特征的认识，找出反应内部机理的数量规律，建立的数学模型常有明确的物理意义。
测试分析是将研究对象看作一个“黑箱”(不考虑内部机理)，通过对测量数据的统计分析，找出与数据拟合得最好的模型。
建模的步骤一般分为下列几步：
3.2.1调查研究
在建模前应对实际问题的历史背景和内在机理要有深刻的了解，必须对该问题进行全面的、深入细微的调查和研究．首先要明确所解决问题的目的要求和着手收集数据．数据悬为建立模型而收集的．因此，如果在调查研究时对建立什么样的模型有所考虑的话，那么我们就按模型的需要更有目的地，更合理地来收集有关数据．收集数据时应注意精度的要求，在耐曩；际问题作深入了解时，应向有关专家或从事实际工作的人员请教。
将使你对问题的了解更快和走捷径。
3.2.2现实问题的理想化
现实问题错综复杂，涉及面非常之广．因此要想建立一个数学模型来反映一小现实问题面面俱到、无所不包是不可能的，也是没有必要的．一个模型，只要能反映我们所需要的某一‘个侧面就行了，或者在此基础之上进一步提高．建模前必须先将问题理想化，简单化，即首先抓住主要因素。
暂不考虑次要因素．在相对比较简单的情况下，理清变量之闻的：廷系，建立树应的模型(读者在三级火箭模型，人口模型和传染病传播模型中会有较深的体会)_勾此对昕给问题给予必要的假设，不同的假设会得到不同的模型。
这一步是建立模型的关键．如果假设合理，则模型与实际问题比较吻合；如果假设不合理或过于简单(即过爹地忽略了一些因素)，则模型与实际情况不吻合，或部分吻合，就要修改假设，修改模型。
3.3.3建立模型
在已有假设的基础上，可以着手建立数学模型，建模时应注意以下几点： (1)分清变量类型恰当使用数学工具。
如果实际问题中的变量是确定性变量，建模时数学工具多用微积分、微分方程、线性规划、非线性规划、网络、投入产出、确定性存贮论等．如果变量是随机变量，建模时数学工具多用概率、统计、随机性存贮论、排队论、对策论、决策论、随机微分方程等．由于数学分支很多，又加之相互交叉渗透，派生出许多分支．建模具体用什幺舒芝好，一是因问题而异，二是因人而异。
应看自己对哪门学科比较熟悉精通，尽量发挥自己的特长。
总之，对变量进行分析是建立模型的基础。
(2)抓住问题的本质，简化变量之间的关系。
因为模型过于复杂，则无法求解或求解困难，就不能反映客观实际．因此应尽可能瑚简单的模型如线性化，均匀化等来描述客观实际．建模的原则是：模型尽可能简单、明了．思路清晰，能不采用则尽量不用高深的数学知识，不要追求模型技术的完美，侧重于实际应喇．只要问题能解决，模型越简单越能被决策者所采用。
(3)建模要有严密推理．在已定的假设下，建模过程中推理一定要严密，以保证模型的正确性，否则会造成模型错误，前功尽弃。
(4)建模要有足够的精确度。
由于实际问题常对精度有所要求，建模时和收集资料时要予以充分考虑．但同时实际问题又非常复杂，作假设时又要去掉非本质的东西，把本质的东西和关系反映进去．因而要掌握好这个尺度，有时要有一个反复摸索的过程。
3.3.4模型求解
不同的模型要用到不同的数学工具求解．这就要求从事实际工作者对相应的数学分芰知识有一定的了解．当然，由于计算机的广泛使用，利用已有的许多计算机软件为我们求解带来方便．因而尽可能地掌握已有的软件，使你解决问题省力不少．
3.3.5模型分析
对模型求出的解进行数学上的分析，有助于对实际问题的解决．分析时，有时要根据问题的要求对变量间的依赖关系进行分析和对解的结果稳定惶进行分析。
有时根据求出的解对实际问题的发展趋势进行预测，为决策者提供最优决策方案。
除此之外，常常需要进行误差分析，模型对数据的稳定性分析和灵敏度分析等。
3.3.6模型检验
一个模型是否反映了客观实际，可用已有的数据去验证．如果由模型计算出来的理论数值与实际数值比较吻合，则模型是成功的(至少是在过去的一段时间内)．如果理论数值与实际数值差别太大，则模型是失败的．如果理论数值与实际数值部分吻合，则可找原因，发现问题，修改模型．如果模型用于预测，若模型计算的理论预测值与经验推算比较相差太大，也可推知模型存在问题，必须修改(如人E1问题中的Malthus模型用于预测几百年后的人口数显然差别太大)．当
然，并非所有的模型都要验证，如核武器竞赛模型等
3.3.7模型的修改
实际问题比较复杂。
但由于理想化后抛弃了一些次要因素，因此建立的模型与实际问题就不完全吻合了。
此时，要分析假设的台理性，将合理部分保留，不合理部分去掉或修改，对实际问题中的主次因素再次分析．如果某一因素因被忽略而使前面模型失败或部分失败，则再建立模型时把它考虑进去．修改时可能去掉(或增加)一些变量，有时要改变一些变量的性质，如把变量看成常量，常量看成变量，连续变量看成离散变量，离散变量看成连续变量，或改变变量之间的函数关系，如线性改为非线性或非线性改为线性．修改模型时对约束条件也要重新考虑，增加、减少或修改约束条件。
3.3.8模型应用
数学模型应用非常广泛，可以说已经应用到各个领域，而且越来越渗透到社会学科、生命学科、环境学科等．由于建模是预测的基础，而预测又是决策与控制的前提。
因此用数学模型对许多部门的实际工作进行指导，节省开支、减少浪费，增加收入。
特别是对未来可以预测和估计，这对促进科学技术和工农业生产的发展具有更大的意义。
建立数学模型的步骤用图表表示为。