n维向量及其线性相关

线性代数
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给定向量组A : 1 , 2 ,, m 和向量b, 如果存在 一组数1， 2， , m，使
b 1 1 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称 向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
即线性方程组 x1 1 x 2 2 x m m b 有解.
-11 1 14 2 9 3
线性代数
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练习 判断向量 b1 (4, 3, -1,11) 与 b2 (4, 3,0,11) 是否为 向量组 a1 (1, 2, -1,5), a2 (2, -1,1,1) 的线性组合. 若是, 写出表示式.
T T T T T T , a2 ) x b1 , a2 ) x b2 . 解 同时解方程组 (a1 和 (a1
a1 a2 a n
线性代数
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，如：
5
注意
1．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 2．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
线性代数
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向量的加法运算 设向量 a (a1,…, an), b (b1,…, bn), 定义
线性代数
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五、线性相关性的判定 ：
定理 向量组 1 , 2 ,,（当 时）线性相关 m2 m 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m - 1个向量线性表示．
证明 充分性 设 a1 , a2 , , am 中有一个向量（比如 能由其余向量线性表示. 即有
T T T
e1 1,0,,0 , e 2 0,1,,0 ,，e n 0,0,,1
称为n维单位坐标向量组 , 讨论其线性相关性 .
解
n维单位坐标向量组构成 的矩阵 E (e1 , e2 ,, en )
是n阶单位矩阵.
由 E 1 0，知r ( E ) n.
向量组 a1 , a2 ,, an 称为矩阵A的列向量组.
线性代数
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类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2 a1 n a2n a in a mn
即r ( E )等于向量组中向量个数 ，故由定理2知此 向量组是线性无关的 .
线性代数
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例3
已知 1 0 2 1 1 ， 2 2 ， 3 4 ， 1 5 7
试讨论向量组1， 2， 3及1， 2的线性相关性.

1 1
2 2

i i

m m
向量组
,
1
2
,,

m
称为矩阵A的行向量组.
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线性代数
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组1 , 2 ,, m , 构成一个n m矩阵 A ( 1 , 2 ,, m )
m个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m , 构成一个m n矩阵
线性代数
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三、向量、向量组与矩 阵：
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A (a ij ) 有n个m维列向量 mn aj a1 a 2 an a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2 n A a a mj a mn m1 a m 2
线性代数
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定理2
向量组 1 , 2 , , m 线性相关的充分必要
条件是它所构成的矩阵 A ( 1 , 2 , , m )的秩小 于向量个数 m ;向量组线性无关的充分必要条件是 r ( A) m .
证明
（略）
下面举例说明定理的应用.
线性代数
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例2
n 维向量组
2. 对于任一向量组 ,k n 0时, 才有
3.向量组只包含一个向量 时, 若 0 则说 线性相关, 若 0, 则说 线性无关 .
4. 包含零向量的任何向量 组是线性相关的 .
5.对于含有两个向量的向 量组, 它线性相关的充要 条件是两向量的分量对 应成比例，几何意义是 两向 量共线；三个向量相关 的几何意义是三向量共 面.
am）
am 1 1 2 2 m-1 m-1
线性代数
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故
1 1 2 2 m-1 m-1 - 1am 0
因 1 , 2 , , m -1 , - 1 这 m 个数不全为0，
故 1 , 2 , , m线性相关. 必要性 设 1 , 2 , , m 线性相关， 则有不全为0的数 k1 , k 2 ,, k m , 使
即 1 能由其余向量线性表示. 证毕.
线性代数
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线性相关性在线性方程组中的应用
若方程组中有某个方程 是其余方程的线性组 合时，这个方程就是多 余的，这时称方程组（ 各 个方程）是线性相关的 ；当方程组中没有多余 方 程，就称该方程组（各 个方程）线性无关（或 线 性独立） .
结论 向量组A线性相关就是齐次线性方程组 x1 1 x2 2 xm m 0,即 Ax 0 有非零解. 其中A ( 1 , 2 , m ).
T T T (a1 , a2 ) x b1 的解为 x1 2, x2 1. 因此 b1 2a1 a2 . T T T (a1 , a2 ) x b2 无解, 因此 b2 不可由 a1, a2 线性表示.
1 2 4 4 2 -1 3 3 T T T T (a1 , a2 , b1 , b2 ) -1 1 -1 0 5 1 11 11 1 2 4 4 1 0 2 0 -5 -5 -5 0 1 1 r r 0 3 3 4 0 0 0 0 9 9 9 0 0 0
k1 1 k2 2 km m 0.
线性代数
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因 k1 , k2 , , km 中至少有一个不为0， 不妨设 k1 0,则有
k2 k3 km 1 - 2 - 3 - m . k1 k1 k1
a b (a1 b1 ,, an bn )
称 a b 为 a 与 b 的和. 向量的数乘运算 设向量 a (a1,…, an), k为实数, 定义 ka ( ka1 ,, kan ) 称 ka 为数 k 与向量 a 的乘积. • 称 (-1)a 为向量 a 的负向量, 记为 -a. 规定 b - a b (-a ) • 向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算.
x11 x2 2 x3 3
3 x1 2 x 2 6 x 3 6 3 x1 5 x 2 9 x 3 9 6 x 4 x 15x 6 2 3 1
线性代数
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3 x1 2 x 2 6 x 3 6 3 x1 5 x 2 9 x 3 9 6 x 4 x 15x 6 2 3 1
1 2 B m
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线性代数
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 , a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 , a m 1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm .
解 分析
对矩阵（ 1， 2， 3 ），施行初等行变换变 成行阶梯形矩阵, 可同时看出矩阵（ 1， 2， 3 ） 及（ 1， 2 ）的秩，利用定理2即可得出结论.
2 1 1 0
线性代数
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四、线性相关性的概念 ：
定义３ 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
全为零的数k1 , k2 ,, km 使 k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
注意
1. 若 1 , 2 , , n线性无关, 则只有当 k1 1 k 2 2 k n n 0 成立 .
线性代数
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6 3 2 例1 向量 9 能否由向量组 1 3 , 2 5 , 6 6 4 6 3 9 线性表示。 15
设向量可由向量组1， 2， 3线性表示为：
线性代数
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n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角 机翼的转角 机身的水平转角

(-

2


2
)


( - ) (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x , y , z , , , )
3 2 6 6 3 5 9 9 6 4 15 6

1 0 0 4 0 1 0 3 0 0 1 - 2
x1 4, x2 3, x3 -2
故向量可由向量组1， 2， 3线性表示为：
41 3 2 - 2 3
线性代数
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例如
(1,2,3,, n) (1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
n维实向量 n维复向量
第2个分量
第1个分量
第n个分量
线性代数
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二、n维向量的表示： 向量通常用 a , b, , 等表示
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，如：
(a1 , a2 ,, an )
线性代数
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本讲内容：
1、n 维向量及其线性运算 2、向量组的线性组合 3、向量组的线性相关性
线性代数
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一、n维向量的概念：
定义1
n 个有次序的数 a1 , a2 ,, an 所组成的数
组称为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个数ai 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
a1 x1 a 2 x 2 a n x n b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
线性代数
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定义2 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一
向量 组实数k1，k2， , km， k1 1 k 2 2 k m m
, k m 称为这 称为向量组的一个 线性组合，k1，k 2， 个线性组合的系数 .
线性代数
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练习: 将向量 (3,5,-6) 表示为向量组
1 (1,0,1) 2 (1,1,1)
的线性组合。
T T
3 (0,-1,-1)
T
解：设( A, B) (1 ,2 ,3 , T )
1 0 0 - 11 3 1 1 0 0 1 - 1 5 0 1 0 14 0 0 1 1 1 - 1 - 6 9