(完整版)n维向量及其线性相关剖析
n维向量的定义线性运算和线性相关性
x 1
AX
1 , 2
n
x2
xn
x 1 1
x 2 2
x n n
二、向量组的线性相关性
定义２ 对于向量组A: 1, 2, …, m, 如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使关系式
k 11 k 22 .. k .mm 0
成立,则称向量组1, 2, …, m 线性相关.
例1：设有向量
1
1 4
2 2 3
1
0
n阶单位矩阵 I n 的n个列向量分别记为：
1
0
0
e 0 ,e 1 e
1 2
n 0
0
0
1
称为n维基本向量
第二节 n维向量的线性运算
定义1 设 (a 1 ,a 2 , ,a n )T , (b 1 ,b 2 , ,b n )T 是 n 维实
K是实数域中的一个数，则向量的加法
和数乘k向 分量 别定义
8 1 即数 1是数乘向量运算的单位 元
例1
1 ， 2 ， 3 ， 4 T 1 ， 2 ， 3 ， 4 T
(1) 求，的负向量
(2) 计算 43
第三节 向量组的线性相关性
一、线性组合
定义１:
给 定 向 量 组 A:{1， 2， L， m}， iRn,i1,2,L,m 对 任 何 一 组 实 数 k1,k2,L,km,称 k11k22Lkmm
例如 矩阵 A(aij)mn有n个m维列向量
aa 11
aa 22
aj
an
a11 a12 a1j a1n
Aa 21
a22 a2j a2n
am1 am2 amj amn
向a量 1,a 2 , 组 ,a n称为 A 的 矩 列 .阵 向
(完整版)2.3n维向量的概念
1 n维向量的概念 2 n维向量空间 3 线性相关性
回顾
解析几何 既有大小又有方向的量
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
向量
(n 3)
线性代数
坐 有次序的实数组成的数组
标 代数形象：向量的坐标表示式
(x, y) (x, y, z)
系
一、 n维向量的概念
定义1 n个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数组称为 n维向量,这n个 数称为该向量的n个分量，第 i 个数称为第 i 个分量。
式 11 2，2 称为向m量m
的线性1 ,组合2 ,。 ,m
若 11 22 mm，则称 能由向量组 1,2, ,m 线性表示。
向量1,2 ,L
,m的所有线性组合11 22 L
m
所组成的
m
集合V是一个向量空间.我们称这个空间为由向量1,2 ,L
,
生成的
m
向量空间,记为 L(1,2 ,L ,m )
解 因为对于V1的任意两个元素 0, a2 ,L , an , 0,b2 ,L ,bn V1, 所以有 0, a2 b2 ,L , an bn V1 且 0, a2 ,L , an V1.
所以 V1是向量空间 . V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,L , an V2 , 则2 2, 2a2 ,L , 2an V2 ,所以V2 不是向量空间.
三、 线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
定义6 给定向量组A : 1,2 ,L ,m ,如果存在不全为零的数k1, k2 ,L , km 使k11 k22 L kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
第1节 n维向量及其线性相关性(全)
第四章向量及向量空间§1 n维向量及其线性相关性§2 向量组的秩§3 线性方程组解的结构§4 向量空间§1 n维向量及其线性相关性●n维向量●线性相关性定义1 n 个有次序的数所组成的数组称为n 维向量，这n 个数称为该向量的n 个分量，第i 个数称为第i 个分量。
,,,12n a a a i a ◆分量全为实数的向量称为实向量◆分量为复数的向量称为复向量本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量◆n 维向量写成一行的称为行向量◆n 维向量写成一列的称为列向量(),,,n a a a 1212 n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭◆实数域R 上全体n 维向量组成的集合称为n 维实向量空间记为R n说明：◎行向量和列向量总被看作是两个不同的向量。
◎所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
◎通常情况下，列向量用黑色小写字母a ,b ,α,β等表示，行向量则用a ,b ,αT ,βT 表示。
◎行向量和列向量也分别称为行矩阵和列矩阵，并规定都按矩阵的运算规则进行运算。
◎若干个同维数的列向量(行向量)所组成的集合称为向量组。
11121314342122232431323334a a a a A a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()1234,,,αααα=123T T T βββ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭结论：含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应．有限向量组例如定义2 设a∈R n, k i∈R, (i=1, 2, …, m)，则向量ik1a1 + k2a2 + … + k m a m称为向量组a, a2, …, a m在实数域R上的一个线性组合。
1k1, k2, …, k m 称为这个线性组合的系数．定义：若记b= k1a1 + k2a2 + … + k m a m, a2, …, a m线性表示。
则称向量b 可由向量组a1b 可由向量组a1, a2, …, a m线性表示方程组xa1 + x2a2 + … + x m a m = b有解1例：设()123100,,010001E e e e ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭100203170001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123237e e e =++237b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么线性组合的系数e 1, e 2, e 3的线性组合一般地，对于任意的n 维向量b ，必有1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭n 阶单位矩阵E n 的列向量叫做n 维单位坐标向量．1231000010000100001n b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123n b b b b b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000010000100001n E ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例零向量是任何一组向量的线性组合.例向量组a 1, a 2, …, a s 中的任一向量a j (1≤j ≤s )都是此向量组a 1,a 2, …, a s 的线性组合。
(完整版)第04讲(n维向量、向量组的线性相关性)
2 1 41
1、D4
r4 r1
3 1
1 2
2 3
1 2
3 1 2 1
2 1 41
r4 r2 3 1 2 1 0
1 2 32
0 0 00
2、
1
1
Dn 1 L
1
0 0L 1 a1 1 L
1 1 a2 L L LL 1 1L
0 1 1 L 1 an
c2 c1 c3 c1
cn1 c1
问 是否可由 1,2 线性表示？
解：设存在 k1, k2 使得
k11 k22
(3, 0, 4) k1(1, 0, 0) k2 (0, 0,1)
根据向量的运算法则，得，
43kk21
所以 是可由1,2 线性表示，且
31 42
注： 已知向量组 1,2 ,L ,m 和向量
判断向量 能否由向量组1,2 ,L ,m 线性表示
n(n1)
(1) 2
[(a i 1) (a j 1)]
n1i j1
n(n1)
(1) 2
( j i)
n1i j1
n!(n 1)! 2!1!
第二 章
n 维向量
4学时 一、n向量的概念、
向量组的线性相关性 二、线性相关性的判定、
向量组的秩
§2.1 n 维向量
一. n维向量的概念 二. n维向量的表示方法 三.向量的线性运算
全为零的数k1, k2 , , km使
k11 k2 2 km m 0
则称向量组A是线性相关的； 如果上式仅当k1=k2=…=km=0时才成立，则称 向量组A线性无关．
其中 , 是n维向量，, 是数。
线性方程组的向量表示
3.1 n维向量及其线性相关性
, an )T.
1. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.
2. 当未说明是行向量还是列向量时, 都当作列向量.
公共基础课部 线性代数 2014秋季
定义3.2 设 = (a1, a2,, an) Fn , = (b1, b2,, bn) Fn, F , F为数域 (1) = 当且仅当 ai=bi ， i=1,2,,n (2) 向量加法（ 与 之和 ） : + = (a1+b1, a2+b2,, an+bn) (3) 向量数乘（数量乘法，数 与 之乘积）: = (a1,a2,,an)
n 维实向量 n 维复向量
第n个分量
第1个分量
公共基础课部
线性代数
2014秋季
n 维向量写成一行, 称为行向量, 也就是行矩阵, 如
(a1 , a2 , , an );
n 维向量写成一列, 称为列向量, 也就是列矩阵, 如
a1 a β 2 (a1 , a2 , an
, αm (m 2) 线性相关,
, km , 使得
则存在一组不全为零的数 k , k ,
k1α k2α
不妨设 k 0, 则
kmαm 0,
k3 km k2 α α α3 αm , k1 k1 k1 可见向量 α1 是其余向量的线性组合.
公共基础课部 线性代数 2014秋季
, αm 构成 n m 矩阵:
A [α1 α 2
m 个 n 维行向量 β , β ,
T 1 T 2 T m
α m ];
, β 构成 m n 矩阵:
β1T T β2 B . T βm
n维向量的线性相关性
例如 对向量α=(1, 1, 0), β=(2, 1, 1), γ=(1, 0, 1),
β=α+γ, β是α, γ的线性组合.
在n维向量空间中，设
1,0,,0, 0,1,,0, , 0,0,,1,
1
2
则对任何一个n维向量
(a ,a ,,na )
12
n
都有 a11 a2 2 an n .
证 用反证法，利用性质2即得。
4．若向量组i=(ai1, ai2,…, ain), i=1, 2, …, m, 线
性相关， 则去掉最后r个分量(1≤r<n)后，所得 到的向量组： βi=(ai1, ai2,…, ain-r) , i=1, 2, …, m 也线性相关.
证 由 α1, α2, …, αm 线性相关，故存在着
a ,a ,,a i 1,2,,n
i
i1 i2
in
线性相关的充分必要条件为
a a a
11
21
n1
a a a
D
12
22
n2
0.
a a a
1n
2n
nn
向量组的线性相关与线性无关的性质
1．含有零向量的向量组必线性相关.
证 不失一般性，设所给的m个向量为
0, ,, .
1
2
m
从而存在不全为零的数1,0,…,0，使得
解 设 k k k 0,
11
22
33
即 系数行列式
k 1
2k 2
k 3
0
2k
1
k
2
3k 3
0
2k 1
k 2
k 3
0
1 2 1
不能用克莱
第三章n维向量空间与线性相关性
QQ空间
第3章 3.1
n 维向量
n 维向量及向量组的线性相关性
其中 , , F n ， 1, k , l F ， O 为 F n 中的零向量。
在数学中，把具有上述八条规律的运算称为线性运算。 故向量的加法运算和数乘向量的运算统称为向量的线性运 算
定义 3 数域 F （一般为实数域 R 或复数域 C ） 上全体 n 维 向量的集合， 连同定义在其上的线性运算， 称为数域 F 上的
向量的加法运算和数乘向量的运算满足下述运算规律： （1） （2） ( )
( )
（加法交换律） （加法结合律）
（3） O O （4） ( ) O （5） 1 （6） k l kl （8） k l k l （数乘结合律） （7） k k k （数对向量的分配律） （向量对数的分配律）
k 2 1 , k 3 1 。故，
所以方程组有唯一解 k1 1 ,
能由向量组
1 , 2 , 3 线性表示，且 1 2 3
例 3 设 有 向 量 1 1 , 0 , 1 ， 2 1 , 1 , 1 ，
3 3 , 1 , 1 ， 5 , 3 , 1 ，试问向量 能否由向量组
1 , 2 ,, m 线性表示。其中 k1 , k 2 ,, k m 称为组合系数。
特别地, （1） 设有两个向量 , ，若存在数 k ，使得
线性代数n维向量和向量组的线性相关性
第三章 线性方程组 § n 维向量及其线性相关性教学目标：掌握n 维向量及其运算，准确理解向量的线性相关和线性无关的定义，掌握向量组的线性相关和线性无关的判定定理和判定方法.重 点：★ n 维向量的概念 ★ 向量的线性运算 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 向量组间的线性表示 ★ 线性相关和线性无关的概念 ★ 向量组的线性相关和线性无关判定难 点：★ 线性相关和线性无关的概念的理解， ★ 向量组的线性相关和线性无关的证明内容要点一、n 维向量及其线性运算定义 数域F 上的n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的有序数组),,,(21n a a a称为数域F 上的n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.向量常用小写希腊字母,,,αβγ来表示；向量通常写成一行 12(,,,)n a a a α= 称之为行向量；向量有时也写成一列 12n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭T n a a a ),,,(21 = 称之为列向量．注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.=n F {数域F 上n 维向量的全体},=n R 实数域上的n 维向量的全体.例如，一个n m ⨯矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 每一列⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组，而由矩阵A 的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组.根据上述讨论，矩阵A 记为),,,(21n A ααα = 或 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A βββ 21.这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系.定义 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向量，称为向量α与β的和, 记为βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα由加法和负向量的定义，可定义向量的减法：)(βαβα-+=-),,,(2211n n b a b a b a ---= .定义 n 维向量),,,(21n a a a =α的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量α的乘积（又简称为数乘），记为αk ，即),,,(21n ka ka ka k =α.向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算.注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律:(1) αββα+=+;(2) )()(γβαγβα++=++; (3) ;αα=+o (4) ;)(o =-+αα (5) ;1αα=(6) ;)()(ααkl l k =(7) ;)(βαβαk k k +=+ (8) .)(αααl k l k +=+二、 n 维向量空间定义：数域P 上的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上的的加法和数量乘法，称为数域F 上的n 维向量空间，记作n F ．n R 称为你n 维实向量空间.三、 向量组的线性组合定义 给定向量组s A ααα,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k ααα+++ 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这个线性组合的系数. 注：s k k k ,,,21 可以都取零定义 给定向量组s A ααα,,,:21 和向量β, 若存在一组数,,,,21s k k k 使,2211s s k k k αααβ+++=则称向量β是向量组A 的线性组合, 又称向量β能由向量组s A ααα,,,:21 线性表示(或线性表出).注：(1)β能由向量组s ααα,,,21 唯一线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有唯一解；(2) β能由向量组s ααα,,,21 线性表示且表示不唯一的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211有无穷多个解；(3) β不能由向量组s ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是线性方程组βααα=+++s s x x x 2211无解；四、向量组间的线性表示定义 设有两向量组,,,,:;,,,:2121t s B A βββααα 如果向量组A ：t ααα,,,21 中每一个向量),,2,1(t i i =α都可以经向量组:B s βββ,,,21 线性表出，那么向量组t ααα,,,21 就称为可以经向量组s βββ,,,21 线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价.由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组t ααα,,,21 可以经向量组s βββ,,,21 线性表出，向量组s βββ,,,21 可以经向量组pγγγ,,,21 线性表出，那么向量组t ααα,,,21 可以经向量组p γγγ,,,21 线性表出. 向量组之间等价具有以下性质：1）反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2）对称性：如果向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，那么向量组tβββ,,,21 与s ααα,,,21 等价.3）传递性：如果向量组s ααα,,,21 与t βββ,,,21 等价，t βββ,,,21 与p γγγ,,,21 等价，那么向量组s ααα,,,21 与p γγγ,,,21 等价.例1 设,)2/5,2,1,3(,)1,1,4,2(21TT---=--=αα 如果向量满足,0)(2321=+-αβα 求β.解 由题设条件,有022321=--αβα 则有β)32(2112αα--=1223αα+-=T T )1,1,4,2(23)2/5,2,1,3(--+----=.)1,2/1,5,6(T --=例2 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21--==-=βαα 问β是否可由21,αα线性表示. 解： 设2211ααβk k +=，可求得1,221-==k k ，所以有212ααβ-=,因此β是21,αα的线性表出.例3 证明:向量)5,1,1(-=β是向量)6,3,2(),4,1,0(),3,2,1(321===ααα的线性组合并具体将β用321,,ααα表示出来.证 先假定,332211αλαλαλβ++=其中321,,λλλ为待定常数，则)5,1,1(-)6,3,2()4,1,0()3,2,1(321λλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=)6,3,2()4,,0()3,2,(33322111λλλλλλλλ++=由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等，因此可得方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+56431321232132131λλλλλλλλ.121321⎪⎩⎪⎨⎧-===λλλ 于是β可以表示为321,,ααα的线性组合，它的表示式为.2321αααβ-+= 向量组的线性组合例4 任何一个n 维向量Tn a a a ),,,(21 =α都是n 维单位向量组T n T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε的线性组合.解：因为 .2211n n a a a εεεα+++=例5 零向量是任何一组向量的线性组合. 解：因为.00021s o ααα⋅++⋅+⋅=例6 向量组s ααα,,,21 中的任一向量)1(s j j ≤≤α都是此向量组的线性组合. 解：因为 .0101s j j αααα⋅++⋅++⋅=五、线性相关性的概念定义 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使,02211=+++s s k k k ααα (1)则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 线性相关的概念的理解：“有一组不全为零的常数”，“存在一组不全为零的常数”，“找到一组不全为零的常数”使得,02211=+++s s k k k ααα 则称向量组,,,,:21s A ααα 线性相关.例 向量组14433221αααααααα++++，，，，判定该向量组线性相关.解：取一组常数1，-1，1，-1使得01-11-114433221=+++++）（）（）（）（αααααααα，所以14433221αααααααα++++，，，线性相关. 线性无关的定义的理解：线性无关的定义：若向量组12,,,s ααα不线性相关，即没有不全为零的数12,,,s k k k P ∈，使11220s s k k k ααα+++=则称12,,,s ααα为线性无关的．等价定义：一个向量组12,,,s ααα，若11220s s k k k ααα+++=，只有120s k k k ====时成立，则称12,,,s ααα为线性无关的．等价定义：一个向量组12,,,s ααα，对于任意一组不全为零的数12,,,s k k k P ∈，使,02211≠+++s s k k k ααα 则称该向量组线性无关.等价定义：一个向量组12,,,s ααα，存在一组常数12,,,s k k k P ∈使得11220s s k k k ααα+++=，可求得120s k k k ====，则称12,,,s ααα为线性无关.例5.2 若向量组），（），，（1001==βα，则向量组βα，线性无关. 找不到一组不全为零的常数21,k k 使得021=+βαk k ，所以向量组βα，线性无关.或者，若存在一组常数21,k k 使得021=+βαk k ，则可求得021==k k ， 所以，向量组βα，线性无关.例 若向量组),(11k k ==βα），，（，则向量组βα，线性相关. 因为0,=-=βααβk k 有，即存在1,-k 不全为零的数使得0=-βαk ，所以向量组βα，线性相关例 向量组Tn T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε线性无关注: 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在数,,,,21s k k k 使得,02211=+++s s k k k ααα (1)① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的;③ 向量组只含有一个向量α时，则（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面.六、线性相关性的判定定理 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充分必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 证明：必要性 设向量组12,,,s ααα线性相关，即存在不全为零的数,,,,21s k k k 使,02211=+++s s k k k ααα 不妨设，01≠k ，则有s s k k k k k k αααα13132121----= ， 所以必要性成立.充分性 不妨设1α可由s ααα,,,32 线性表示，即,33221s s l l l αααα+++= 于是有,033221=++++-s s l l l αααα 成立.因为s l l l ,,,132-不全为零，故向量组12,,,s ααα线性相关.定理的逆否命题是：定理6.1’ 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关的充分必要条件是向量组中任一向量不能由其余1-s 个向量线性表示.例 设n 维向量组Tn T T )1,0,,0,0(,,)0,,0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε，证明该向量组线性无关.证：设一组常数,,,,21n k k k 使,02211=+++n n k k k εεε 可得021====n k k k ，故该向量组线性无关.例 如果向量组m ααα,,,21 中有一部向量线性相关， 则整个向量组m ααα,,,21 线性相关.证：不妨设)(,,,21m j j <ααα 线性相关，由线性相关的定义，存在不全为零的数,,,,21j k k k 使,02211=+++j j k k k ααα 从而有不全为零的数,0,0,,,,21 j k k k使得,00012211=+++++++m j j j k k k ααααα 故，m ααα,,,21 .该题的逆否命题是：如果向量组m ααα,,,21 线性无关，则该向量组中一部向量组)(,,,21m j j <ααα 线性无关.结论：向量组m ααα,,,21 部分向量线性相关， 则整个向量组m ααα,,,21 线性相关.向量组m ααα,,,21 整体线性无关，该向量组部分向量线性无关.定理 设列向量组),,,2,1(,21r j a a a nj j j j=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α 则向量组r ααα,,,21 线性相关的充要条件是齐次线性方程组 0=AX （）有非零解，其中矩阵==),,,(21r A ααα .,21212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛r nr n n r r x x x X a a a a a a a a a证：设 ,02211=+++r r x x x ααα （）即2121111x a a a x n +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ ++⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 22212n a a a ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00021 nr r r r a a a x . （） 将（）式做向量的线性运算，即得（）线性方程组.向量组r ααα,,,21 线性相关，就必有不全为零的数r x x x ,,,21 使（）成立，即是齐次线性方程组 0=AX 有非零解；反之，如果齐次线性方程组 0=AX 有非零解，也就是有不全为零的数r x x x ,,,21 使（）成立，则向量组r ααα,,,21 线性相关.该定理的等价命题：向量组r ααα,,,21 线性无关的充要条件是齐次线性方程组0=AX 只有零解结论：任何1+n 个n 维向量都是线性相关的.理由：由定理 当方程个数少于未知数的个数时，齐次线性方程组有非零解.定理 若向量组r ααα,,,21 线性无关，而,βr ααα,,,21 线性相关，则β可由r ααα,,,21 线性表示，且表示法唯一.证：因为,βr ααα,,,21 线性相关，则存在不全为零的数,,,,,21r k k k k使,02211=++++r r k k k k αααβ 其中0≠k （如果0=k ，则由r ααα,,,21 线性无关，又使得,,,,,21r k k k k 必须全为零，这与,,,,,21r k k k k 不全为零矛盾） 于是β可由r ααα,,,21 线性表示，且r r kkk k k k αααβ---= 2211-， 在证表示法唯一，设有两种表示法：,2211r r l l l αααβ+++=,2211r r h h h αααβ+++=于是.0)()()(222111=-++-+-r r r h l h l h l ααα因为向量组r ααα,,,21 线性无关，所以必有,0=-i i h l 即,,,2,1,r i h l i i == 故β可由r ααα,,,21 线性表示，且表示法唯一.推论 如果n F 中的n 向量n ααα,,,21 线性无关，则nF 中的任意向量α可由n ααα,,,21 线行表示，且表示法唯一.例 设有3个向量(列向量):,421,221,101221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααα不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量.例 设有二个2维向量:,10,0121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=e e 如果他们线性相关, 那么存在不全为零的数,,21λλ 使,02211=+e e λλ也就是 ,0100121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλ.0002121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛λλλλ 于是,0,021==λλ 这同21,λλ不全为零的假定是矛盾的. 因此1e ,2e 是线性无关的二个向量.例 n 维向量组T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε称为n 维单位向量组, 讨论其线性相关性. 解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵)(21n E εεε,,, =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001 是n 阶单位矩阵.齐次线性方程组0=EX ，由,01≠=E 0=EX 只有零解 故该向量组是线性无关的.例 已知,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ,5202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=7423a , 试讨论向量组321,,a a a 及21,a a 的线性相关性.解 由定理 )(321a a a A ,,= 求齐次线性方程组0=AX 的解，由高斯消元法，对矩阵)(321a a a A ,,=施行初等行变换成行阶梯形矩阵，可同时看出矩阵A ),,,321(ααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7514212011213r r r r --→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛550220201−−→−-2125r r ,000220201⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 0=AX 有非零解故向量组,,,321ααα线性相关.同样，),(21αα=B 有0=BX 只有零解，故向量组21a a ,线性无关. 例 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦线性无关. 证 设有一组数,,,321k k k 使0)()()(321=+++++αγγββαk k k （1）成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k 由γβα,,线性无关，故⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+000322131k k k k k k （2） 因为110011101,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）式才成立.因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.例 设向量组321,,a a a 线性相关, 向量组432,,a a a 线性无关, 证明(1) 1a 能由32,a a 线性表示; (2) 4a 不能由321,,a a a 线性表示.证明（1）因432ααα,,线性无关，故32,αα线性无关，而321ααα,,线性相关，从而1α能由32αα,线性表示；（2）用反证法. 假设4α能由321ααα,,线性表示，而由（1）知1α能由32αα,线性表示，因此4α能由32αα,表示，这与432ααα,,线性无关矛盾.证毕.随堂练习：1. 判断下列命题是否正确，如正确，证明之，如不正确，举反例：（1） )2(,,,21>m m ααα 线性无关的充要条件是任意两个向量线性无关； （2） )2(,,,21>m m ααα 线性相关的充要条件是有1-m 个向量线性相关；（3） 若向量组21,a a 线性相关, 向量组21,ββ线性相关，则有不全为零的数21,k k ，使得,02211=+ααk k 且,02211=+ββk k 从而使,0)()(222111=+++βαβαk k故2211,βαβα++线性相关；（4）若向量组321,,αa a 线性无关，则133221,,αααα---a a 线性无关；（5）若向量组4321,,,ααa a 线性无关，则14433221,,,αααααα++++a a 线性无关； （6）若向量组n a a α,,,21 线性相关，则113221,,,,αααααα++++-n n n a a 线性相关.百度文库 - 好好学习，天天向上-11 （7）)2(,,,21>m m ααα 线性无关的充要条件是任意一个向量都不能由其余的向量线性表示；（8）若有一组全为零的数,021====r k k k 使得,02211=+++r r k k k ααα 则 r ααα,,,21 线性无关.（9）若有一组不全为零的的数,,,,21j k k k 使得,02211≠+++j j k k k ααα 则向量组 j ααα,,,21 线性无关.（10）若向量组r ααα,,,21 线性相关，则任一向量可由其余向量线性表示.2. 试证明:(1) 一个向量α线性相关的充要条件是0=α;(2) 一个向量α线性无关的充分条件是0≠α;(3) 两个向量βα,线性相关的充要条件是βαk =或者αβk =（两式不一定同时成立）。
第1节 n维向量其线性相关性-文档资料
向量组线性相关性的判定（重点、难点） 向量组线性无关性的判定（重点、难点）
向量组A A ： a a …,a a 线性相关 向量组 ： a ,,a ,,…, m线性无关 11 22 m
存在不全为零的实数 ,a k …, km ，使得 如果 k1a1 + k2a2 + … + k k1 （零向量），则必有 2,=0 m m k1a1 + k2 a +k … +… kma ． k = km （零向量） =0 ． m =0 12= 2= m元齐次线性方程组 元齐次线性方程组Ax Ax= =0 0只有零解． 有非零解． m 矩阵 A= =(( a a …,a a 的秩小于向量的个数m m． ． 矩阵 A a ,,a ,,…, m))的秩等于向量的个数 11 22 m 向量组A A中任何一个向量都不能由其余 中至少有一个向量能由其余 mm － 11 个向量线性 向量组 － 个向量线 表示． 性表示．
第四章 向量及向量空间
● ●
n维向量及其线性相关性 向量组的秩
● 线性方程组解的结构
● 向量空间
§1 向量组及其线性组合
定义4.1.1：n个有次序的数a1,a2,…,an所组成的数组称为n 维 向量，这n个数称为该向量的n个分量，第i个数ai称为第i 个 分量。
分量全为实数的向量称为实向量。 分量全为复数的向量称为复向量。 n维向量写成一行的称为行向量(或行矩阵)。 n维向量写成一列的称为列向量(或列矩阵)。
故
n T 注： 中任一个向量 都可由 ( a , a , a ) 1 2 n
线性表示，即 1,2 , ,n
a a a
1 1 22
n n
例2如果向量组 中有一部分向量线性相 , , 1 2, m 关，则这个向量组也线性相关.
n维向量及其运算向量组的线性相关性教学课件
空间向量具有三个分量，可以通过三个空间向量的线性组合来表示出任意一个空间向量，从而可以解决空间几何中的角度、距离、垂直和平行等问题。
空间向量的线性相关性
在几何中的应用
通过建立一元线性方程组，可以用向量表示未知数，利用向量的线性相关性求解方程组。
通过对向量空间的定义和性质的研究，可以建立向量空间的运算和结构，进而研究更为复杂的代数问题。
向量组线性相关性的判定定理
03
向量组的线性表示与矩阵
向量组的线性表示的定义：对于给定向量组A和向量b。存在一组系数$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$
向量组的线性表示的概念与性质
线性表示的性质
唯一性：当且仅当$\mathbf{b}=0$时。存在一组非零系数$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$
数乘运算示例：假设有一个实数k，则k×a=[k×1,k×2,k×3]=[k,2k,3k]。
减法运算示例：假设有一个3维向量c=[7,8,9]，则c-a=[7-1,8-2,9-3]=[6,6,6]，即c-a=[6,6,6]。
n维向量的运算实例
02
向量组的线性相关性
向量组的定义
有限个向量组成的集合称为一个向量组
非零向量组 $\mathbf{a_1,a_2,...,a_n}$ 与 $\mathbf{b_1,b_2,...,b_n}$ 线性相关
向量组 $\mathbf{a_1,a_2,...,a_n}$ 线性无关的充分必要条件是其中任意不等于零的向量的个数小于等于 $n$
向量组的线性相关性的定义与性质
01
02
在物理中的应用
05
总结与展望
向量组的秩
从定义、性质、计算方法等方面，系统地介绍了向量组的秩的基本概念和基本理论。
向量组的线性相关性
a11 x1 a21 x2 ... as1 xs 0
i.e.
a12
x1
a22 x2 ... .......
as2 xs
0
(没) 有非零解.
an1 x1 an2 x2 ... ans xs 0
向量个数 未知数的个数
向量维数 方程的个数
17
例1.设1 (1, 2, 3, 4, 3)T ,2 (1, 2, 0, 5,1)T ,
3k1 k2 6k3 7k4 0
18
对系数矩阵进行初等行变换
1 1 2 3
1 0 1 1
2
2
4
6
0
1
3
4
A 3 0 3 3 ... 0 0 0 0
4
5
19
24
0
0
0
0
3 1 6 7
0 0 0 0
同解方程组
k2k13kk33
k4 0 4k4 0
同时 R (a1 , a2 ) 2 , 故向量组 a1 , a2 线性无关 .
例3
已知向量组a1 , a2 , ...as (s 2)线性无关, 设b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , ...,b s as a1 , 讨论b1 , b2 , ...,bs线性相关性.
证一
设 x1b1 x2b2 ... xsbs 0,
向量组的线性相关性
向量组的线性相关性
n维向量的概念 向量组的线性相关性 线性相关性的判别定理 向量组的秩 向量空间
§1 N维向量的概念
一、ｎ维向量（Vector） 1、定义 ｎ个数 a1,a2 , ,an 组成的有序数组
＝（a1 , a2 ,..., an）
第1节 n维向量及其线性相关性
k1 k
1
k2 k
2
kr k
r
定理3 若向量组 1 , 2 , , r 线性无关，而
, 1 , 2 , , r 线性相关，则 可由 1 , 2 , , r
线性表示，且表示法唯一.
再证表示法唯一，设有两种表示方法：
证 不妨设 1 , 2 , , j ( j
不全为零的数, k 2 k j k1 使
m)
线性相关，于是有
k 1 1 k 2 2 k j
j
0
从而有不全为零的数 k 1 , k 2 k j , 0 , , 0 使
k 1 1 k 2 2 k j j 0
k k 1 1 k 2 2 k r r 0
其中k
0 （如果 k 0 ，则由 1 , 2 , , r 线性无关又得
必须全为零，这与 k , k 1 , k 2 , , k r 不全为零矛 盾），于是 可由 1 , 2 , , r 线性表示为
（4.2）
即
（4.3）
因此，如果 1 , 2 , , r 线性相关，就必有不全为零的 数x1 , x 2 , , x r 使得（4.2）式成立，即齐次线性方程组 （4.1）有非零解；反之，如果线性方程组（4.1）有非 零解，也就是有不全为零的数使（4.2）成立，则 1 , 2 , , r 线性相关.定理得证.
问：（1） 1 , 2 , 3 是否线性相关？（2） 4 是
否由 1 , 2 , 3 线性表示？如能表示求其表示式.
解（1）根据定理2，作矩阵
高等数学自考12.3n维向量及n维向量的线性相关性
α = λ1 a1 + λ 2 a 2 + L + λm a m
λ1a1 + λ2 a 2 ≠ α
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16
即
λ1 (1,0) = λ2 (−,0) = (λ1 − λ2 ,0) ≠ (2,3) = α 例3 零向量是任意一组向量 α 1 , α 2 L , α m 的线性组合。因显然有 0 = 0 ⋅ α1 + 0 ⋅ α 2 + L + 0 ⋅ α m
□
− 1 2 （2）因为A= 1 1
1 − 1 − 1 − 1 2 −1 3 0 → 2 0 3 0 3 1 5 0
1 − 1 − 1 1 0 1 ，秩A=3＜向量个数 0 1 1 0 0 0
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21
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（3）令 x1α1 + x2α 2 + x3α 3 + x4α 4 = 0
1
D=
（12.9）
因该齐次线性方程组的系数行列式是一个4阶范德蒙行列式[由习题十4（8）题]
1 b b
2
1 c c
2
1 d d
2
a a
2
= (a − b)(a − c)(a − d )(b − c)(b − d )(c − d ) ≠ 0
（12.10）
a3
b3
c3
d3
所以由克莱姆法则知，方程组（12.9）只有零解。故 线性无关。
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 a x + a x + L + a x = b 21 1 22 2 2n n 2 LLLLLLLLLLLLL a m1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm
(完整版),n维向量及其运算向量组的线性相关性
亦即（k1 k3)1 (k1 k2 )2 (k2 k3)3 0,
因
1，
2，
线性无关，故有
3
k1 k3 0, k1 k2 0,
k2 k3 0.
由于此方程组的系数行列式 1 01 1 1 0 20 011
故方程组只有零解 k1 k2 k3 0，所以向量组 b1, b2 , b3线性无关.
一、线性表示
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
a11
(a a2 a12
ij)mn
有n个m维列向量
aj a1 j
an a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
因 k1, k2 ,L , ks , k中至少有一个不为0，
注意
1. 若 1,2 ,L
,
线性无关
m
,
则只有当
k1 L km 0时, 才有
k11 k22 L kmm 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
3.向量组只包含一个向量 时,若 0则说 线性相关,若 0,则说 线性无关 .
4令.包k含零 0向，量的任何向量 组是线性相关的.
向量
组线性 a无rj 关，
则它的a任rj 何 部分组都线性无关.
ar
1,
j
即 j添上一个分量后得向量bj .若向量组 A：1,2 , ,m线性无关,则向量组B：b1, b2 , , bm也线性无
关 .反言之，若向量组B线性相关,则向量组A也线 性相关 .
n维向量及向量组的线性相关性
( ) 2 2 ( )
(0 2 ) 飞机重心在空间源自位置参数P(x,y,z)所以，确定飞机的状态，需用6维向量 a ( x , y , z , , , )
课堂讨论
在日常工作、学习和生活中，有许多问题都 需要用向量来进行描述，请同学们举例说明．
定理1 向量 可以由向量组1 , 2 , 充分必要条件是：以1 , 2 ,
, s 线性表出的
, s为系数列向量，以
为常数项向量的线性方程组有解，并且此线性方
程组的一组解就是线性组合的一组系数。 例4 判定向量 能否由向量组1 , 2 , 3 , 4线性表出， 若能，求出一组组合系数，其中 1 1 1 0 2 0 0 2 1 1 = ，1 ， 2 ， 3 ， 4 0 1 3 2 0 1 1 1 0 1
定理2 对于向量组1 , 2 ,..., s , 若齐次线性方程组 x11 x2 2 ... xs s 0 有非零解, 则向量组1 , 2 ,..., s 线性相关; 若齐次 线性方程组只有唯一的零解, 则向量组1 , 2 ,..., s 线性无关. 定理3 关于向量组1 , 2 ,..., s , 设矩阵 A (1 2 ... s ) 若r ( A) s, 则向量组1 , 2 ,..., s 线性无关; 若r ( A) s, 则向量组1 , 2 ,..., s 线性无关.
二、线性相关性的概念
定义３ 给定向量组A : 1 , 2 , , m , 如果存在不
全为零的数k1 , k2 ,, km 使 k1 1 k2 2 km m 0 则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关． 1. 若 1 , 2 ,, n 线性无关, 则只有当 注意
第1节 n维向量其线性相关性-文档资料
列向量。
本书中，列向量用黑色小写字母a,b,β 等表示，行向量则
用aT,bT,T,T表示。
定义4.2.2：设 i ， n k( =1, 2, …, m)，则向量组 ii
k1a1 + k2a2 + … + kmam 称为向量组a1 , a2 , … , am在实数域上的一个线性组合，
n , , 中的任一向量 1 2,线性无关，则 n
可由 例3 设
1
线性表示，且表示法唯一 . , , 1 2, n
( 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , 3 ) , ( 2 , 3 , 7 ) . 2 3 4
线性无关.
定理4.2.2 设n维向量组 ，其中 , 1, 2, r
T T T ( a , a , , a ) , ( a , a , , a ) , , ( a , a , , a ) 11 1 2 1 n 121 2 2 2 n 2 r 1 r 2 r n r
, 则向量组 1, 2, 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 r （4.1） Ax 0 有非零解， 其中 ， . T A ( , , , ) x ( x , x , , x ) 1 2 r 1 2 r
T 例1 设n维向量 ，即第个分量为 1， (, 0 , 0 ,, 1 0 , , 0 ) i
其余分量为0，则
是线性无关的 1,2, n .
证 设存在n个数 k1 , k2 使 kn 即 则必须
k k k 0 11 22 nn
T ( k , k k ) 0 1 2 n k k k 0 1 2 n 1,2, , 线性无关 .n
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0 0
- 11 14
1 1 - 1 - 6
0 0 1 9
-111 142 93
线性代数
17
练习 判断向量 b1 (4, 3, -1,11) 与 b2 (4, 3,0,11) 是否为
向量组 a1 (1, 2, -1,5), a2 (2, -1,1,1) 的线性组合. 若是,
即线性方程组
有解.
x11 x2 2 xm m b
线性代数
14
6
3
2
例1
向 量
9
能
否
由
向
量
组1
3,2
5,
6
6
4
3
6 9
线 性 表 示 。
15
设
向
量可
由
向
量
组1，
2，
线
3
性
表
示
为
：
x11 x22 x33
3 x1 3 x1
2x2 5x2
6x3 9x3
6 9
线性代数
1
本讲内容：
1、n 维向量及其线性运算 2、向量组的线性组合 3、向量组的线性相关性
线性代数
2
一、n维向量的概念：
定义1 n 个 有 次 序 的 数a1, a2 , , an 所 组 成 的 数 组 称 为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
线性代数
7
n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
(-
)
2
2
(- )
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
线性代数
8
三、向量、向量组与矩阵：
m个n维 列 向 量 所 组 成 的 向 量组1 ,2 , ,m ,
构 成 一 个n m矩 阵 A (1 , 2 , , m )
m个n维 行 向 量
的 向 量 组1 , 2 , m
构 成 一 个m n矩 阵
所 ,
组
成
B
1 2 m
线性代数
11
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
分量全为复数的向量称为复向量.
线性代数
3
例如 (1,2,3, ,n)
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
线性代数
4
二、n维向量的表示：
向量通常用 a,b, , 等表示
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，如：
(a1 , a2 , , an )
写出表示式.
解 同时解方程组 (a1T , a2T )x b1T 和 (a1T ,a2T )x b2T .
1 2 4 4
(a1T
,
a2T
,
b1T
,
b2T
)
2 -1 5
-1 1 1
3 -1 11
3 101
1 2 4 4
1 0 2 2
r
0 0 0
-5 3 -9
-5 3 -9
-5
4 -9
2，
线
3
性
表
示
为
：
41 32 - 23
线性代数
16
练习: 将向量 (3,5,-6) 表示为向量组 1 (1,0,1) 2 (1,1,1) 3 (0,-1,-1)
的线性组合。
解：设( A, B) (1T ,2T ,3T , T )
1 1 0 0 1 -1
3 5
1 0
0 1
称 a b 为 a 与 b 的和.
❖ 向量的数乘运算 设向量 a (a1,…, an), k为实数, 定义 ka (ka1,L , kan )
称 ka 为数 k 与向量 a 的乘积.
• 称 (-1)a 为向量 a 的负向量, 记为 -a. 规定
b - a b (-a)
• 向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算.
r
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1
1 0
(a1T ,a2T )x b1T 的解为 x1 2, x2 1. 因此 b1 2a1 a2 .
(a1T ,a2T )x b2T 无解, 因此 b2 不可由 a1, a2 线性表示.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
a1 x1 a2 x2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
线性代数
12
定义2 给定向量组A :1,2 , ,m，对于任何一
组实数k1，k2， , km，向量
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，如：
a1
a2
an
线性代数
5
注意
1．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
2．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
线性代数
6
❖ 向量的加法运算 设向量 a (a1,…, an), b (b1,…, bn), 定义 a b (a1 b1,L ,an bn )
6x1 4x2 15x3 6
线性代数
15
3 x1 3 x1
2x2 5x2
6x3 9x3
6 9
6x1 4x2 15x3 6
3 3
2 5
6 9
6 9
1 0
0 1
0 0
4 3
6 4 15 6
0 0 1 - 2
x1 4, x2 3, x3 -2
故
向
量可
由
向
量
组1，
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这 个线性组合的系数.
线性代数
13
给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2，
,
，使
m
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
a11
(a a2 a12
ij)mn
有n个m维列向量
aj a1 j
an a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1 , a2 , ,an 称为矩阵A的列向量组.
线性代数
9
类似地, 矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a12 a1n
11
a21 a22 a2n
22
A
ai1 ai2 ain
ii
am1 am2 amn
mm
向量组 1 , 2 , , m 称为矩阵A的行向量组.
线性代数
10
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.