(完整版)n维向量及其线性相关剖析

0 0
- 11 14
1 1 - 1 - 6
0 0 1 9
-111 142 93
线性代数
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练习 判断向量 b1 (4, 3, -1,11) 与 b2 (4, 3,0,11) 是否为
向量组 a1 (1, 2, -1,5), a2 (2, -1,1,1) 的线性组合. 若是,
即线性方程组
有解.
x11 x2 2 xm m b
线性代数
14
6
3
2
例1
向 量
9
能
否
由
向
量
组1
3,2
5,
6
6
4
3
6 9
线 性 表 示 。
15
设
向
量可
由
向
量
组1，
2，
线
3
性
表
示
为
：
x11 x22 x33
3 x1 3 x1
2x2 5x2
6x3 9x3
6 9
线性代数
1
本讲内容：
1、n 维向量及其线性运算 2、向量组的线性组合 3、向量组的线性相关性
线性代数
2
一、n维向量的概念：
定义1 n 个 有 次 序 的 数a1, a2 , , an 所 组 成 的 数 组 称 为n维向量，这n个数称为该向量的n个分量， 第i个 数ai称 为 第i个 分 量.
分量全为实数的向量称为实向量，
线性代数
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n 维向量的实际意义
确定飞机的状态，需
要以下6个参数：
机身的仰角 机翼的转角
(-
)
2
2
(- )
机身的水平转角 (0 2 )
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
线性代数
8
三、向量、向量组与矩阵：
m个n维 列 向 量 所 组 成 的 向 量组1 ,2 , ,m ,
构 成 一 个n m矩 阵 A (1 , 2 , , m )
m个n维 行 向 量
的 向 量 组1 , 2 , m
构 成 一 个m n矩 阵
所 ,
组
成
B
1 2 m
线性代数
11
线性方程组的向量表示
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1,
分量全为复数的向量称为复向量.
线性代数
3
例如 (1,2,3, ,n)
(1 2i,2 3i, ,n (n 1)i)
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
线性代数
4
二、n维向量的表示：
向量通常用 a,b, , 等表示
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，如：
(a1 , a2 , , an )
写出表示式.
解 同时解方程组 (a1T , a2T )x b1T 和 (a1T ,a2T )x b2T .
1 2 4 4
(a1T
,
a2T
,
b1T
,
b2T
)
2 -1 5
-1 1 1
3 -1 11
3 101
1 2 4 4
1 0 2 2
r
0 0 0
-5 3 -9
-5 3 -9
-5
4 -9
2，
线
3
性
表
示
为
：
41 32 - 23
线性代数
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练习: 将向量 (3,5,-6) 表示为向量组 1 (1,0,1) 2 (1,1,1) 3 (0,-1,-1)
的线性组合。
解：设( A, B) (1T ,2T ,3T , T )
1 1 0 0 1 -1
3 5
1 0
0 1
称 a b 为 a 与 b 的和.
❖ 向量的数乘运算 设向量 a (a1,…, an), k为实数, 定义 ka (ka1,L , kan )
称 ka 为数 k 与向量 a 的乘积.
• 称 (-1)a 为向量 a 的负向量, 记为 -a. 规定
b - a b (-a)
• 向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算.
r
0 0 0
1 0 0
1 0 0
1
1 0
(a1T ,a2T )x b1T 的解为 x1 2, x2 1. 因此 b1 2a1 a2 .
(a1T ,a2T )x b2T 无解, 因此 b2 不可由 a1, a2 线性表示.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 ,
am1 x1 am2 x2 amn xn bm .
a1 x1 a2 x2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
线性代数
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定义2 给定向量组A :1,2 , ,m，对于任何一
组实数k1，k2， , km，向量
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，如：
a1
a2
an
线性代数
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注意
1．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
2．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
线性代数
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❖ 向量的加法运算 设向量 a (a1,…, an), b (b1,…, bn), 定义 a b (a1 b1,L ,an bn )
6x1 4x2 15x3 6
线性代数
15
3 x1 3 x1
2x2 5x2
6x3 9x3
6 9
6x1 4x2 15x3 6
3 3
2 5
6 9
6 9
1 0
0 1
0 0
4 3
6 4 15 6
0 0 1 - 2
x1 4, x2 3, x3 -2
故
向
量可
由
向
量
组1，
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这 个线性组合的系数.
线性代数
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给定向量组A : 1 , 2 , , m和向量b,如果存在
一组数1，2，
,
，使
m
b 11 2 2 m m
则向量b是向量组A的线性组合，这时称向量 b 能 由向量组 A 线性表示．
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如
矩阵A a1
a11
(a a2 a12
ij)mn
有n个m维列向量
aj a1 j
an a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1 , a2 , ,an 称为矩阵A的列向量组.
线性代数
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类似地, 矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a12 a1n
11
a21 a22 a2n
22
A
ai1 ai2 ain
ii
am1 am2 amn
mm
向量组 1 , 2 , , m 称为矩阵A的行向量组.
线性代数
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反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.