高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)
十年高考理科数学真题 专题九 解析几何 二十六 椭圆及答案(优质)
专题九 解析几何第二十六讲 椭圆2019年1．（2019全国I 理10）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 2.（2019全国II 理21（1））已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；3.（2019北京理4）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，则（A ）22.2a b =（B ）22.34a b=（C ）2a b=（D ）34a b=4.（2019全国III 理15）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆22221(0)+=>>：x y C a b a b的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 12△PF F 为等腰三角形，12120∠=︒F F P ，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．142．(2018上海)设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2017浙江）椭圆22194x y +=的离心率是A ．3 B ．3 C ．23 D ．594．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3 B ．3 C ．3 D ．135．(2016年全国III)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．346．(2016年浙江)已知椭圆1C ：2221x y m +=(1m >)与双曲线2C ：2221x y n-=(0n >)的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C ．m n <且121e e >D ．m n <且121e e <7．(2014福建)设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+y x 上的点，则Q P ,两点间的最大距离是A ．25B ．246+C ．27+D ．268．（2013新课标1）已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝19．(2012新课标)设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆ 是底角为o30的等腰三角形，则E 的离心率为 A 、21 B 、32 C 、43 D 、54二、填空题10．(2018浙江)已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．11．(2018北京)已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．12．(2016江苏省)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=︒，则该椭圆的离心率是 ．13．（2015新课标1）一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 的正半轴上，则该圆的标准方程为_________．14．（2014江西）过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于,A B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．15．（2014辽宁）已知椭圆C ：22194x y +=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则||||AN BN += ．16．（2014江西）设椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．17．（2014安徽）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为_____．18．（2013福建）椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于19．（2012江西）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||AF F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．20．（2011浙江）设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =u u u r u u u u r；则点A 的坐标是 ．三、解答题21．（2018全国卷Ⅰ）设椭圆:C 2212+=x y 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ,B 两点，点M 的坐标为(2,0)．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．22．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：22143x y +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为(1,)M m (0)m >． (1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r ．证明：||FA u u u r ，||FP u u u r，||FB u u u r成等差数列，并求该数列的公差．23．(2018天津)设椭圆22221x x a b+=(0a b >>)的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的离A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅= (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q ．若4AQ AOQ PQ=∠(O 为原点) ，求k 的值． 24．（2017新课标Ⅰ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，四点1(1,1)P ，2(0,1)P ，3(2P =-，4(1,2P =中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A ，B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点．25．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．26．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．27．（2017天津）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（Ⅱ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD △6AP 的方程． 28．（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>2，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l：1y k x =E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k，且12k k ，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M e 的半径为MC ，,OS OT 是M e 的两条切线，切点分别为,S T ．求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．x29．(2016年北京)已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ΔOAB 的面积为1．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ．求证：||||AN BM ⋅为定值．30．(2015新课标2）已知椭圆C ：2229x y m +=(0m >)，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．31．（2015北京）已知椭圆C ：()222210x y a ba b+=>>的离心率为，点()01P ，和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．32．（2015安徽）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM的斜率为10． （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程． 33．（2015山东）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，左、右焦点分别是1F 、2F ．以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线=+y kx m交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．( i )求||||OQ OP 的值； （ii ）求△ABQ 面积的最大值．34． (2014新课标1) 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF的斜率为3，O 为坐标原点． （Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．35．(2014浙江)如图，设椭圆(),01:2222>>=+b a by a x C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -．36．（2014新课标2）设1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210y x a b a b+=>>的左，右焦点，M是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ． （Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b ．37．（2014安徽）设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||AF BF = （Ⅰ）若2||4,AB ABF =∆的周长为16，求2||AF ； （Ⅱ）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率．38．（2014山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，直线y x =被椭圆C 截得的线段长为4105． （Ｉ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点． (ⅰ)设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；(ⅱ)求OMN ∆面积的最大值．39．（2014湖南）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)x y C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)x y C a b a b +=>>均过点23(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （Ｉ）求12,C C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r？证明你的结论．40．（2014四川）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ii ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标． 41．（2013安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为4，且过点P ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设0000(,)(0)Q x y x y ≠为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ．取y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．42．（2013湖北）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为2m ，2()n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记mnλ=，△BDM 和△ABN 的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．43． (2013天津)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，， 过点F 且与x(Ⅰ) 求椭圆的方程；第20题图(Ⅱ) 设A ， B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D两点． 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r， 求k 的值．44．（2013山东）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为2，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,PF PF ．设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线12,PF PF 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明1211kk kk +为定值，并求出这个定值．45．（2012北京）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(2,0)A，离心率为2．直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M ,N ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当△AMNk 的值． 46．（2013安徽）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22a x +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a , b 的值．47．（2012广东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率e =C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点,A B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由．48．（2011陕西）设椭圆C: ()222210x y a b a b +=>>过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标． 49．（2011山东）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:13x C y +=．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -． （Ⅰ）求22m k +的最小值； （Ⅱ）若2OG OD =∙OE ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时ABG V 的外接圆方程；若不能，请说明理由．50．（2010新课标）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（01b <<）的左、右焦点，过1F的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，AB ，2BF 成等差数列． （Ⅰ）求AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值．51．（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2AF FB =u u u r u u u r．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）如果|AB |=154，求椭圆C 的方程．专题九 解析几何第二十六讲 椭圆答案部分1. 解析 2x =，则22AF x =，所以23BF AB x ==.由椭圆定义122BF BF a +=，即42x a =.又1224AF AF a x +==，22AF x =，所以12AF x =. 因此点A 为椭圆的上顶点，设其坐标为()0,b .由222AF BF =可得点B 的坐标为3,22b ⎛⎫-⎪⎝⎭. 因为点B 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，所以291144a +=.解得23a =.又1c =，所以22b =.所以椭圆方程为22132x y +=.故选B. 2．解析（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．3. 解析 由题意，c e a ====所以22244a b a -=，即2234a b =．故选B ．4. 解析 设(,)M m n ，,0m n >，椭圆C ：22:13620x y C +=的6a =，b =2c =，23c e a ==，由于M 为C 上一点且在第一象限，可得12||||MF MF >， 12MF F △为等腰三角形，可能1||2MF c =或2||2MF c =，即有2683m +=，即3m =，n = 2683m -=，即30m =-<，舍去．可得M .2010-2018年1．D 【解析】由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，OyxPF 2F 1A设12||2=F F c ，所以12∆PF F 为等腰三角形，且12=120∠oF F P ，∴212||||2PF F F c ==，∵2||OF c =，∴点P 坐标为(2cos 60,2sin 60)c c c +oo，即点(2)P c ．∵点P 在过点A，且斜率为6的直线上，∴26c a =+，解得14c a =．∴14e =，故选D ．2．C 【解析】由题意25=a，=a P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2=a ，故选C ．3．B 【解析】由题意可知29a =，24b =，∴2225c a b =-=，∴离心率c e a ==，选B4．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a =，c e a ==，故选A ．5．A 【解析】设(0,)E m ，则直线AE 的方程为1x y a b -+=，由题意可知(,)mc M c m a--，(0,)2m和(,0)B a 三点共线，则22mc m m m a c a--=--，化简得3a c =，则C 的离心率13c e a ==．故选A ． 6．A 【解析】由题意知2211m n -=+，即222m n =+，222221222221111()2m n n n e e m n n n -+++=⋅=⋅+4242422111122n n n n n n ++==+>++，所以121e e >．故选A ．7．D【解析】由题意可设,sin )Q αα，圆的圆心坐标为(0,6)C ，圆心到Q 的距离为||CQ ===，当且仅当2sin 3α=-时取等号，所以max max ||||PQ CQ r +==≤Q P ,两点间的最大距离是8．D 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12x x +=2，12y y +=－2，2211221x y a b += ① 2222221x y a b+= ② ①－②得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a，又AB k =0131+-=12，∴22b a =12，又9=2c =22a b -，解得2b =9，2a =18，∴椭圆方程为221189x y +=，故选D. 9．C 【解析】∆21F PF 是底角为30o 的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔==10．5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r ，得1212212(1)x x y y -=⎧⎨-=-⎩，即122x x =-，1232y y =-．因为点A ，B 在椭圆上，所以222222224(3)44x x m x y m⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得21344y m =+，所以2222221591(32)(5)444244x m y m m m =--=-+-=--+≤，所以当5m =时，点B 横坐标的绝对值最大，最大值为2．1112-；【解析】设椭圆的右焦点为(,0)F c ，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A，由题意可知(,)22c A ，由点A 在椭圆M 上得，22223144c c a b+=，∴22222234b c a c a b +=，222b ac =-，∴22222222()34()a c c a c a a c -+=-，∴4224480a a c c -+=，∴428+40e e -=椭椭，∴24e =±椭，∴1e =椭（舍去）或1e =椭，∴椭圆M1，∵双曲线的渐近线过点(2cA，渐近线方程为y =，故双曲线的离心率2e ==双．12(),0F c ，直线2by =与椭圆方程联立可得2b B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，2b C ⎫⎪⎪⎝⎭，由90BFC ∠=︒可得0BF CF ⋅=u u ur u u u r ，2b BF c ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，2b CF c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，则22231044c a b -+=，由222b a c =-可得223142c a=，则c e a ==． 13．22325()24-+=x y 【解析】 由题意圆过(4,0),(0,2),(0,2)-三个点，设圆心为(,0)a ，其中0a >，由4-=a ，解得32a =，所以圆的方程为22325()24-+=x y ．14．2【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，分别代入椭圆方程相减得 1212121222()()()()0x x x x y y y y a b-+-++=，根据题意有12122,2x x y y +=+=，且121212y y x x -=--，所以22221()02a b +⨯-=，得222a b =，整理222a c =，所以2e =． 15．12【解析】设MN 交椭圆于点P ，连接1F P 和2F P ，利用中位线定理可得AN BN +=122222412F P F P a a +=⨯==．16．3【解析】由题意可得2(,)b A c a，2(,)b B c a -，由题意可知点D 为1F B 的中点，所以点D 的坐标为2(0,)2b a-，由B F AD 1⊥，所以11AD F B k k ⋅=-22ac =，解得3e =． 17．22312x y +=【解析】由题意得通径22AF b =，∴点B 坐标为251(,)33c B b -- 将点B 坐标带入椭圆方程得22221()53()13b c b--+=， 又221b c =-，解得222313b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴椭圆方程为22312x y +=．18．13-【解析】由题意可知，21F MF ∆中，︒=∠︒=∠︒=∠90,30,60211221MF F F MF F MF ，所以有⎪⎩⎪⎨⎧==+==+12212221222132)2(MF MF a MF MF c F F MF MF ，整理得13-==a c e ，故答案为13-．19由椭圆的性质可知：1AF a c =-，122F F c =，1F B a c =+.又已知1AF ，12F F ，1F B 成等比数列，故2()()(2)a c a c c -+=，即2224a c c -=，则225a c =.故c e a ==.20．(0,1)±【解析】设点A 的坐标为(,)m n ，B 点的坐标为(,)c d．12(F F ，可得1()F A m n =u u u r，2()F B c d =u u u u r ，∵125F A F B =u u u r u u u u r，∴,55m nc d +==，又点,A B 在椭圆上， ∴2213m n +=，22(5()135m n ++=，解得0,1m n ==±， ∴点A 的坐标是(0,1)±．21．【解析】(1)由已知得(1,0)F ，l 的方程为1=x ．由已知可得，点A的坐标为(1,2或(1,2-． 所以AM的方程为2y x =-2y x =． (2)当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则1<x2x MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由11=-y kx k ，22=-y kx k 得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以，2122421+=+k k x x ，21222221-=+x k k x ． 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+．从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．22．【解析】(1)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=， 于是34k m=-．①由题设得302m <<，故12k <-．(2)由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=．由(1)及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r ．于是1||22x FA ===-u u u r ．同理2||22x FB =-u u u r ．所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ．故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||FA u u u r ，||FP u u u r ，||FB u u u r 成等差数列． 设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2d FB FA x x =-=-=u u u r u u u r将34m =代入①得1k =-．所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=．故122x x +=，12128x x =，代入②解得||28d =．所以该数列的公差为28或28-． 23．【解析】设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由已知可得，FB a =，AB =，由FB AB ⋅=，可得6ab =，从而3a =，2b =．所以，椭圆的方程为22194x y +=．(2)设点P 的坐标为11(,)x y ，点Q 的坐标为22(,)x y ． 由已知有120y y >>，故12sin PQ AOQ y y ∠=-． 又因为2sin y AQ OAB =∠，而4OAB π∠=，故2AQ =．由AQ AOQ PQ=∠，可得1259y y =． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y = 易知直线AB 的方程为20x y +-=，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221ky k =+．由1259y y =，可得5(1)k += 两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为111228或．24．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点．又由222211134a b a b +>+知，C 不经过点1P ，所以点2P 在C 上． 因此222111314b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2241a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩．故C 的方程为2214x y +=．（2）设直线2P A 与直线2P B 的斜率分别为1k ，2k ，如果l 与x 轴垂直，设l ：x t =，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为 （t，（t，）．则121k k +==-，得2t =，不符合题设．从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）．将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -=+．而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+ 1212122(1)()kx x m x x x x +-+=．由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=．即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++．解得12m k +=-．当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）25．【解析】（1）设(,)P x y ，00(,)M x y ，则0(,0)N x ，0(,)NP x x y =-u u u r ，0(0.)NM y =u u u u r．由NP =u u u r u u u r得 0x x =，02y y =． 因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知(1,0)F -．设(3,)Q t -，(,)P m n ，则(3,)OQ t =-u u u r ，(1,)PF m n =---u u u r ，33OQ PF m tn ⋅=+-u u u r u u u r，(,)OP m n =u u u r ，(3,)PQ m t n =---u u u r，由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=，故330m tn +-=．所以0OQ PF ⋅=u u u r u u u r ，即OQ PF ⊥u u u r u u u r．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 26．【解析】（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c=，解得2,1a c ==，于是b =因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=.（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为01y x -. 因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --，从而直线1l 的方程：001(1)x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程：001(1)x y x y -=--. ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2001(,)x Q x y --. 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即22001x y -=或22001x y +=.又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=.由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ==220022001143x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，无解. 因此点P的坐标为. 27．【解析】（Ⅰ）设F 的坐标为(,0)c -.依题意，12c a =，2pa =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，于是22234b ac =-=. 所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =. （Ⅱ）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-.将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ， 整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634my m -=+.由点B 异于点A ，可得点222346(,)3434m mB m m -+-++. 由2(1,)Q m-，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+， 故2223(,0)32m D m -+.所以2222236||13232m m AD m m -=-=++. 又因为APD △的面积为2，故22162232||m m m ⨯⨯=+，整理得23|20m m -+=，解得||3m =，所以3m =±. 所以，直线AP的方程为330x +-=，或330x -=. 28．【解析】（I）由题意知c e a ==，22c =，所以1a b ==，因此椭圆E 的方程为2212x y +=．（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程2211,2x y y k x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得()22114210k x x +--=， 由题意知0∆>，且()12122111221x x x x k +=-+，所以121=-=AB x ．由题意可知圆M 的半径r为1233r AB ==由题设知12k k =，所以214k k =因此直线OC的方程为1y =．联立方程2211,2,x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2221221181,1414k x y k k ==++，因此OC ==由题意可知1sin21SOT rOC r OCr∠==++，而1OC r=2 令2112t k =+， 则()11,0,1t t>∈，因此1OC r==≥，当且仅当112t =，即2t =时等号成立，此时1k =，所以1sin 22SOT ∠≤，因此26SOT π∠≤， 所以SOT ∠最大值为3π． 综上所述：SOT ∠的最大值为3π，取得最大值时直线l的斜率为12k =±．29．【解析】（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab ac 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y .令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.30．【解析】(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ．将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kb x k +==-+，299M M by kx b k =+=+． 于是直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-，即9OM k k ⋅=-． 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线l 过点(,)3mm ， 所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ． 由2229,9,y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981P k m x k =+，即P x =． 将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =．=2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =．因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l的斜率为44四边形OAPB 为平行四边形．31．【解析】（Ⅰ）由题意得2221,,2.b caa b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩解得2a =2．故椭圆C 的方程为2212x y +=． 设M (N x ，0)．因为0m ≠，所以11n -<<．直线PA 的方程为11n y x m--=， 所以M x =1m n -，即(,0)1mM n-．（Ⅱ）因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以(,)B m n -， 设(,0)N N x ，则N x =1mn+． “存在点(0,)Q Q y 使得OQM ∠=ONQ ∠等价”，“存在点(0,)Q Q y 使得OM OQ=OQ ON”即Q y 满足2Q M N y x x =．因为1M m x n =-，1N mx n=+，2212m n +=， 所以22221Q MN m y x x n===-． 所以Q y或Q y =故在y 轴上存在点Q ，使得OQM ∠=ONQ ∠． 点Q的坐标为或(0,．32．【解析】（1）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b，又10OM k =，从而210b a =，进而得,2a c b ===，故5c e a ==．（2）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线AB1yb+=，点N的坐标为1,)22b-，设点N关于直线AB的对称点S的坐标为17(,)2x，则线段NS的中点T的坐标为117,)4244xb+-+．又点T在直线AB上，且1NS ABk k⋅=-,从而有11744171xb bbb+-+=⎨+⎪=⎪⎪⎪⎩，解得3b=，所以b=故椭圆E的方程为221459x y+=．33．【解析】（Ⅰ）由题意知42=a，则2=a，又2ca=，222a c b-=，可得1=b，所以椭圆C的方程为1422=+yx．（Ⅱ）由（I）知椭圆E的方程为141622=+yx．（i）设λ=||||),,(0OPOQyxP，由题意知),(yxQλλ--，因为14220=+yx，又14)(16)(220=-+-yxλλ，即1)4(4220=+yxλ，所以2=λ，即2||||=OPOQ．（ii）设),(),,(2211yxByxA，将mkxy+=代入椭圆E的方程，可得01648)41(222=-+++mkmxxk，由0>∆，可得22164km+<，则有222122141164,418k m x x k km x x +-=+-=+，所以22221414164||k m k x x +-+=-．因为直线m kx y +=与y 轴交点的坐标为),0(m ，所以OAB ∆的面积||||2121x x m S -=22241||4162km m k +-+= 222241)416(2k m m k +-+=222241)414(2k m k m ++-= 令t k m =+2241，将m kx y +=代入椭圆C 的方程， 可得 0448)41(222=-+++m kmx x k ， 由0∆≥，可得 2241k m +≤，由①②可知 10≤<t ，因此t t t t S 42)4(22+-=-=，故 S ≤当且仅当1=t 时，即2241k m +=时取得最大值32，由（i ）知，ABQ ∆面积为S 3， 所以ABQ ∆面积的最大值为36．34．【解析】2(c,0)=3F c c （I ）设，由条件知，222=2, 1.c a b a c a ==-=又所以 22 1.4x E y +=故的方程为 （Ⅱ）1122:=2,(,),(,).l x l y kx P x y Q x y ⊥-当轴时不合题意，故设22214x y kx y =-+=将代入得22(14)16120.k x kx +-+=221,2238=16(43)0,441k k k x k ±∆->>=+当即时，12PQ x=-=从而O PQ d OPQ=∆又点到直线的距离所以的面积1=2OPQS d PQ∆⋅=244,0,.44OPQtt t St tt∆=>==++则44,20.t t kt+≥==±∆>因为当且仅当，即OPQι∆所以，当的面积最大时，的方程为22y x y x=-=-或．35．【解析】（Ⅰ）设直线l的方程为()0y kx m k=+<，由22221y kx mx ya b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得，()22222222220b a k x a kmx a m a b+++-=，由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故0∆=，即22220b m a k-+=，解得点P的坐标为22222222,a kmb mb a k b a k⎛⎫-⎪++⎝⎭，由点P在第一象限，故点P的坐标为22⎛⎫⎝；（Ⅱ）由于直线1l过原点O，且与l垂直，故直线1l的方程为0x ky+=，所以点P到直线1l的距离d=，整理得22d=，因为22222ba k abk+≥，2222a b ≤=-，当且仅当2bk a=时等号成立， 所以点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -.36．【解析】（Ⅰ）根据c =22(,),23b M c b ac a=将222b a c =-代入223b ac =，解得1,22c ca a==-（舍去） 故C 的离心率为12． （Ⅱ）由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF ∥y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点(0,2)D是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a = ① 由15MN F N =得112DF F N =。
椭圆 解析几何-高中数学课件-第5节
第八章 平面解析几何INNOVATIVE DESIGN第5节 椭 圆考试要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.内容索引考点突破题型剖析分层精练巩固提升知识诊断基础夯实Z H I S H I Z H E N D U A N J I C H U H A N G S H I知识诊断 基础夯实11.椭圆的定义(1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做______.这两个定点叫做椭圆的______，两焦点间的距离叫做椭圆的______，焦距的一半称为半焦距.(2)其数学表达式：集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ＞0，c ＞0，且a ，c 为常数：①若________，则集合P 为椭圆；②若________，则集合P 为线段；③若________，则集合P 为空集.知识梳理椭圆焦点焦距a ＞c a ＝c a ＜c2.椭圆的标准方程和几何性质2a2b2c(0，1)a2－b2[常用结论]诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)××√√解析 (1)由椭圆的定义知，当该常数大于|F1F2|时，其轨迹才是椭圆，而常数等于|F1F2|时，其轨迹为线段F1F2，常数小于|F1F2|时，不存在这样的图形.2.(选修一P 115习题3.1T6改编)如图，圆O 的半径为定长r ，A 是圆O 内一个定点，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和半径OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹是( )A.椭圆 B.双曲线C.抛物线D.圆解析 连接QA (图略).由已知得|QA |＝|QP |，所以|QO |＋|QA |＝|QO |＋|QP |＝|OP |＝r .又因为点A 在圆内，所以|OA |＜|OP |，根据椭圆的定义知，点Q 的轨迹是以O ，A 为焦点，r 为长轴长的椭圆.A又2a＝2(2b)，即a＝2b，则有a2－b2＝3b2＝c2＝3，解得a2＝4，b2＝1，K A O D I A N T U P O T I X I N G P O U X I考点突破 题型剖析2考点一 椭圆的定义及应用C(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169,C2：(x＋4)2＋y2＝9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为__________________.解析 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等.(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.C得|MF1|＋|MF2|＝2×3＝6，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立.(2)若△ABC的两个顶点为A(－3，0)，B(3，0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为_______________________.解析 由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(－3，0)，B(3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2－c2＝16.又A，B，C三点不能共线，考点二 椭圆的标准方程例2求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A(3，0)；解 若焦点在x轴上，∵椭圆过点A(3，0)，∵2a＝3×2b，∴b＝1，若焦点在y轴上，∵椭圆过点A(3，0)，又2a＝3×2b，∴a＝9，解 设方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，求椭圆方程的方法：(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹是否满足椭圆的定义.(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可.BCD解析 依题意，当A为上顶点，F为右焦点时，B为左顶点，则|AF|＝a＝3，a＋c＝5，∴c＝2，又a2＝b2＋c2，b2＝5，当A为右顶点，F为右焦点，B为左顶点时，|BF|＝a＋c＝5，|AF|＝a－c＝3，当B为上顶点，F为右焦点，A为右顶点时，|BF|＝a＝5，|AF|＝a－c＝3，考点三 椭圆的简单几何性质角度1 离心率A易知|AF1|＝|F1F2|＝2c，在△AF1F2中，又|AF2|＝2a－|AF1|＝2a－2c，解析 ∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，角度2 与椭圆几何性质有关的最值、范围问题C解析 若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，D解析 设左焦点F0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.解析 由题知圆E的圆心为E(1，0)，半径为1.∵直线MN与圆E相切于点N，∴NE⊥MN，且|NE|＝1.设M(x0，y0)，FENCENGJINGLIAN GONGGUTISHENG分层精练 巩固提升31.已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝6.若动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹是( )A.直线B.线段C.圆D.椭圆解析 动点M 到F 1，F 2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F 1，F 2的距离,则动点M 的轨迹是以F 1，F 2为端点的线段.B 【A级 基础巩固】DBB所以所求椭圆的焦点在y轴上，且c2＝9－4＝5，C由题可知a＝2，即A(－2，0).又|NA|＝1，∠NAB＝60°，CCD△PF1F2的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，故B不正确；在△PF1F2中，当P点移动到椭圆C的短轴端点处时，∠F1PF2最大，∴∠F1PF2＝60°＜90°，故C正确；∵a－c≤|PF1|≤a＋c，∴1≤|PF1|≤3，故D正确.。
高中数学期末备考：解析几何07椭圆第三定义含解析
第7讲：椭圆的第三定义1.基础知识：如图，椭圆22221(0)x y a b a b 上任意一点P 与过原点为中心的弦AB 的两端点A 、B 连线PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k 为定值22b a ．证明设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y ．所以12222 b y a x ①1221221 b y a x ②由①－②得22122212b y y a x x ，所以22212212a b x x y y ，所以222111222111PA PBy y y y y y b k k x x x x x x a为定值．这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性.2.典例：(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知点2,0A ， 2,0B ，动点 ,M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12．记M 的轨迹为曲线C ．1求C 的方程，并说明C 是什么曲线；2过坐标原点的直线交C 于,P Q 两点，点P 在第一象限，PE x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ．i 证明：POG △是直角三角形； ii 求POG △面积的最大值．【详解】（1）直线AM 的斜率为(2)2y x x ，直线BM 的斜率为(2)2y x x ，由题意可知：22124,(2)222y y x y x x x ，所以曲线C 是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为 221,242x y x ；（2）（i）设直线PQ 的方程为y kx ,由题意可知0k ,直线PQ 的方程与椭圆方程2224x y联立,即22,2 4.x y kx x y y或x y,点P 在第一象限，所以P Q ，因此点E的坐标为直线QE 的斜率为2QE kk，可得直线QE方程：2k y x，与椭圆方程联立，2222 4.k y x x y，消去y得，22222128(2)021k k x k （*），设点11(,)G x y ，显然Q和1x 是方程（*）的解所以有222112128212k k x x k QE方程中，得31yG的坐标为23，直线PG的斜率为;3322222(2)1642(2)PGk k k k k k k,因为1(1,PQ PG k k k k所以PQ PG ，因此PQG 是直角三角形；（ii）由（i）可知：P Q ，G 的坐标为23，PQ ，PG ,34218()2252PQGk k S k k 42'4228(1)(1)(232)(252)k k k k S k k ,因为0k ，所以当01k 时，'0S ，函数()S k 单调递增，当1k 时，'0S ，函数()S k 单调递减，因此当1k 时，函数()S k 有最大值，最大值为16(1)9S.。
2020年高考数学(理)之解析几何高频考点04 椭圆及其性质附解析
解析几何04 椭圆及其性质一、具体目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．能处理与椭圆有关的问题.二、知识概述：1. 椭圆方程的第一定义：一个动点到两个定点的距离为一个常数（大于两定点之间的距离）则动点的轨迹就是椭圆.几何表示：()121222PF PF a a F F +=>.当()121222PF PF a a F F +=<无轨迹；当()121222=PF PF a a F F +=，以12,F F 为端点的线段.⑴①椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在x 轴上：()222210x y a b a b +=>>.中心在原点，焦点在轴上：()222210y x a b a b+=>>.②一般方程：()2210,0Ax By A B +=>>.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于02πθ<<）.⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长. ③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：()01c e e a=<<.⑦焦点半径：i. 设为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，为左、右焦点，则 y 12222=+b y a x ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x θ),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2221,2b a c c F F -==c a x 2±=c a y 2±=),(00y x P 21,F F 【考点讲解】⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设为椭圆()222210x y a b b a+=>>上的一点，为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：()210000a PF e x a ex x c ⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭()220000a PF e x ex a x c ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率是，方程是大于0的参数，0a b >>的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.（6）椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A (－a,0)，A (a,0) A (0，－a )，A (0，a ) ),(00y x P 21,F F →)sin ,cos (θθb a N ),(2222a b c a b d -=),(2ab c )(22b a c a c e -==tt b y a x (2222=+ace =12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb a PF PF 221=+2cot 2θ⋅b ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF1.【2019年高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n nn +-⋅⋅⋅=，解得2n =． 22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得【真题分析】223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【答案】B2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质.因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y pp +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ． 【答案】D3.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质.椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C ．2 D ．3【解析】本题主要考查椭圆的方程及离心率.由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率2e ==，故选C ． 【答案】C5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F∠=︒，则C的离心率为（）A．312-B．23-C．312-D．31-【解析】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质.在12F PF△中，122190,60F PF PF F∠=∠=︒o，设2PF m=，则12122,c F F m PF===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m=+=，则212c cea a====，故选D．【答案】D6.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F，2F是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为3的直线上，12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为（）A．23B．12C．13D．14【解析】因为12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，所以212||2||PF F F c==，由AP的斜率为6可得2tan6PAF∠=，所以2sin PAF∠=，2cos PAF∠=，由正弦定理得2222sinsinPF PAFAF APF∠=∠，所以2225sin()3ca c PAF==+-∠，所以4a c=，14e=，故选D．【答案】D7.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A，B是椭圆C：2213x ym+=长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．(0,1][9,)+∞U B．[9,)+∞U C．(0,1][4,)+∞U D．[4,)+∞U【解析】本题考查的是以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题时要利用条件确定ba,的关系，要借助题设条件ο120=∠AMB 转化为360tan =≥οba，简化求解过程. 当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60a b ≥=o≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab≥=o≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 【答案】A8.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用.方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍），又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==9.【2019年高考全国Ⅲ卷】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【答案】(10.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 【解析】本题主要考查利用椭圆的性质来求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题， （1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，① 222x y c +=，② 22221x y a b+=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥当4b =，a ≥存在满足条件的点P ．所以4b =，a的取值范围为)+∞． 【答案】（11；（2）4b =，a的取值范围为)+∞.11.【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.（1）设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得222a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12c a =.所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-.代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-. 因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t . 因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.12．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 【解析】主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识. （1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =2,b =1c =． 所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P py k x k -=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-．由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而5k =±．所以，直线PB的斜率为5或5-． 【答案】（1）22154x y +=；（2）230或230-． 13.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【解析】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题.（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =． 记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k ku k-+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i ）得2||21PQ u k =+，221||uk k PG +=，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．1.【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23 D ．59【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==，故选B ． 【答案】B2.【2017年高考全国Ⅲ】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，【模拟考场】直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ． 【答案】A3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 【解析】 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.【答案】 A4.【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=， 所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值． 【答案】55.【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1c a ==．双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m ++===，所以2e =．1 26.【2016北京理】已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N . 求证：BM AN ⋅为定值.【分析】（I）根据离心率为2，即2=c a ，△OAB 的面积为1，即121=ab ，椭圆中222c b a +=列方程组进行求解；（II ）根据已知条件分别求出BM AN ,的值，求其乘积为定值.【解析】（I ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （II ）由（I ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N .所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.7.已知点M 是圆心为E的圆(2216x y ++=上的动点，点)F，线段MF 的垂直平分线交EM于点P .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）矩形ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切，设矩形ABCD 的面积为S ，求S 的取值范围.【分析】1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设AB 的方程为1y k x m =+， CD 的方程为1y k x m =-，直线AB 与CD 间的距离为1d =，直线BC 与AD 间的距离为2d =，S =S 的范围.【解析】（1)依题PM PF =，所以4PE PF PE PM ME +=+== (为定值)，EF =>所以点P 的轨迹是以,E F为焦点的椭圆，其中24,2a c ==所以P 点轨迹C 的方程是2214x y += (2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得8S =；②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设AB 的方程为1y k x m =+， BC 的方程为2y k x n =+，则CD 的方程为1y k x m =-， AD 的方程为2y k x n =-，其中121k k ⋅=-，直线AB 与CD 间的距离为1d ==，同理直线BC 与AD 间的距离为2d ==()12*S d d =⋅=L2222211111{ 21044x y k x k mx m y k x m+=⎛⎫⇒+++-= ⎪⎝⎭=+，因为直线AB 与椭圆相切，所以221410k m ∆=+-=，所以2141m k =+，同理2241n k =+，所以 S ===44==212112k k +≥ (当且仅当11k =±时，不等式取等号），所以4S <≤810S <≤， 由①②可知， 810S ≤≤.【答案】(1) 2214x y +=;(2) 810S ≤≤.。
高中数学期末备考：解析几何09椭圆轨迹汇编含解析
9.椭圆的轨迹问题研究一．学习目标:能够在不同情境中应用椭圆的定义求出相关的轨迹方程，会用求轨迹的基本方法求解轨迹方程，了解椭圆的第二，三定义.二．知识梳理:1.定义法求轨迹方程的基本步骤:2.代入法求轨迹方程的基本步骤:三．典例分析.1.基于第一定义的椭圆轨迹问题.例1．若动点P 的坐标 ,x y 2，试判断动点P 的轨迹，并写出其标准方程．解析：由于点 ,P x y 2 ,P x y 到两个定点， 的距离之和等于常数x 轴上的椭圆，且a c ，故b ，故椭圆的标准方程为22163x y .例2．在ABC 中，若BC 的长为6，周长为16，则顶点A 在怎样的曲线上运动？解析：如图，建立坐标系，已知ABC 的周长为16，且(3,0)(3,0)B C ，，则106AB AC BC ，有2=10a AB AC ，得5a ，又3c ，所以22225916b a c ，所以ABC 的顶点A的轨迹方程为： 22102516x y y ，即顶点A 在椭圆 22102516x y y 上运动.例3.如图，圆 22116x y 的圆心为B ，点()1,0A ，点C 为圆上任意一点，求线段AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．解析：连接PA ，如下图：由题意可知，(1,0)B ，圆的半径||4r BC ，且()1,0A ，由垂直平分线定理可知，||||PA PC ，故||||||||||4||2PB PA PB PC BC AB 由椭圆定义可知，P 的轨迹为椭圆，设P 的轨迹方程为：22221x y a b(0a b )，从而24a ，即2a ，又因为()1,0A 、(1,0)B ，所以1c ，又由222b a c 可知，b ，从而P 的轨迹方程为：22143x y .例4.已知两圆222212:(2)18,:(2)2C x y C x y ，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切.求动圆圆心M 的轨迹方程C .解析：设圆M 的半径的R ，则12124MC MC R R C C ，所以M 的轨迹是以12,C C 的焦点的椭圆，则2a ，24c ，所以a 2c ，2b ，故动圆圆心M 轨迹方程C 为14822 y x 2.基于第二定义的椭圆轨迹问题.例5.已知动点 ,M x y 到定点 1,0F 的距离和 ,M x y 到直线:2l x 的距离的比是常数2.求点M 的轨迹C .解析：∵动点 ,M x y 到定点 1,0F 的距离和 ,M x y 到直线:2l x 的距离的比是常数22，2212x y ，即点M 的轨迹C 为2212x y.3.基于第三定义的椭圆轨迹问题.例6.已知(A B ，直线,PA PB 的斜率之积为34，记动点P 的轨迹为曲线C .求C 的方程.解析：设(,)P xy ，则直线PA的斜率PA k x，直线PB的斜率PB k x，由题意22384PA PB y k k x，化简得221(86x y x .4.相关点法求轨迹.例7．如图，设P 是圆2522 y x 上的动点，作x PD 轴，D 为垂足，M 为PD 上一点，且45MDPD .当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程.解析：设点M 的坐标为 ,x y ，点P 的坐标为 ,x y ，因为x PD 轴且45MD PD ，得45x x y y，即54x x y y ，因为P 在圆上，得2225x y ，故225254x y ，整理得2212516x y ，故C 的方程为2212516x y .四.练习题10 为不含根式的形式是（）A.2212516x y B.221259x y C.2251162x y D.221925x y 2．设圆(x ＋1)2＋y 2＝25的圆心为C ，A (1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则M 的轨迹方程为()A.224412125x y B.224412125x y C.224412521x y D.224412521x y 3．已知定圆 22151C x y :， 2225225C x y :，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则动圆圆心C 的轨迹方程为（）A．2216439x y B．2213964x y C．221256241x y D．221241256x y4.已知动点 ,M x y 与定点 1,0F 的距离和它到直线3x 的距离的比是常数3．求动点M 的轨迹方程C .5.设圆222150x y x 的圆心为A ，直线l 过点 10B ,且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．证明EA EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程.6.设M 为圆4:22 y x C 的动点，M 在x 轴的投影为N ，动点P 满足MN PN 32，动点P 的轨迹为E .求E 的方程.。
高中数学椭圆知识总结(精选4篇)
高中数学椭圆知识总结第1篇空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面1、按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线xxx的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法2、若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面xxx的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影xxx的锐角。
空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，xxx的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，xxx的角为0°角由此得直线和平面xxx角的取值范围为[0°，90°]最小角定理:斜线与平面xxx的角是斜线与该平面内任一条直线xxx角中的最小角三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直高中数学椭圆知识总结第2篇一、定义与定义式：自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。
即：y=kx(k为常数，k≠0)二、一次函数的性质：的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数)2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：1.作法与图形：通过如下3个步骤(1)列表;(2)描点;(3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。
高考数学 专题09 椭圆解答题解题方法总结(解析版)
专题09椭圆解答题解题方法总结一．【学习目标】1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．2．熟练掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归． 3．了解椭圆的实际背景及椭圆的简单应用． 二．【知识要点】 1．椭圆的定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于____________)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 2．椭圆的标准方程(1) ______________ (a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝_____________． (2)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，焦点___________________，其中c ＝_____________． 3．椭圆的几何性质以x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)为例 (1)范围：________________．(2)对称性：对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：O (0，0)．(3)顶点：长轴端点：A 1(－a ，0)，A 2(a ，0)，短轴端点：B 1(0，－b )，B 2(0，b )；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，焦距|F 1F 2|＝2c .(4)离心率e ＝_______，0<e <1，e 越大，椭圆越______，e 越_______，椭圆越圆． (5)a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2－b 2或a 2＝c 2＋b 2. 三．【题型总结】（一）三角形的面积的解题思路（1）弦长公式和点到直线距离公式，（2）如果三角形被坐标轴分成两部分，用两个三角形面积之和求解（二）定点问题（1）特殊位置找定点；（2）直线中含一个参数找定点 （三）定值问题 （四）角相等的转化 （五）距离问题的在转化 （六）相切问题的解决方法 （七）向量与椭圆的综合 （八）点差法的应用 （九）对称问题 （十）求轨迹的方法 四．【题型方法】；（一）三角形的面积问题例1．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>2y x =+上，若直线l 与椭圆交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为1k ，直线OQ 的斜率为2k . （1）求该椭圆的方程. （2）若1214k k ⋅=-，试问OPQ ∆的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）2214x y +=；（2）OPQ ∆的面积为定值1. 【解析】由2c e a ==，又由于0a b >>，一个长轴顶点在直线2y x =+上， 可得：2a =，c =1b =.（1）故此椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,P x y ，()22,Q x y ，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 联立椭圆的方程得：()222418440k x kmx m +++-=， 由()()222264441440k m k m ∆=-+->，可得2241m k <+，则122841km x x k +=-+，21224441m x x k -⋅=+，12PQ x x =-=， 又点O 到直线y kx m =+的距离d =，122OPQS d PQ m ∆=⋅⋅=由于2121212121214y y x x m k k x x x x ++⋅===-，可得：22421k m =-，故2212OPQS m m∆=⋅=，当直线PQ 的斜率不存在时，可算得：1OPQ S ∆=， 故OPQ ∆的面积为定值1.练习1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点为别为1F 、2F，且过点(1,2和2.（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点），2AF 的延长线与椭圆交于点B ，AO 的延长线与椭圆交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（22【解析】（1）根据题意得，将点2⎛⎝⎭和23,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入椭圆方程得：2222111213124a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得：222,1a b ==，所以椭圆的方程为2212x y +=.（2）由（1）得椭圆的()11,0F -，()21,0F ， ①当AB 的斜率不存在时，易知2221,,1,,1,222A B C ⎛⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴ΔABC 1S 2222=⨯= ②当AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，联立方程组()22112y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()2222214220k x k x k +-+-= 设()()1122,,,A x y B x y ，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， ()22222212122242214142121k k k x x k k B x k A x ⎛⎫-=++-=+-⨯ ⎪++⎝⎭221221k k +=+， 点O 到直线AB 的距离21k d k -=+O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d=所以2ΔABC2111S22221dkkAB⎛⎫+=⋅=⋅ ⎪+⎝⎭==综上，ABC∆.（二）定点问题例2. 已知椭圆C：22221(0)x ya ba b+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线20x y+-=相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过椭圆右焦点且不重合于x轴的动直线与椭圆C相交于A、B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得EA EB⋅u u u r u u u r为定值？若存在，试求出定值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212xy+=；（2）定点为5,04⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意知，222b cab c a=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩，解得11bac=⎧⎪=⎨⎪=⎩则椭圆C的方程是2212xy+=（2）①当直线的斜率存在时，设直线()()10y k x k=-≠联立()22121xyy k x⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222124220,880k x k x k k+-+-=∆=+>所以2222422,1212A B A B k k x x x x k k-+==++ 假设x 轴上存在定点()0,0E x ，使得EA EB ⋅u u u v u u u v为定值。
高三数学解析几何专题(含解析)
高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。
2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。
I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。
Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。
4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。
5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。
6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。
高三数学文科解析几何讲义---椭圆
椭圆一．椭圆定义：⑴第一定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和为常数212F F a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21,F F 叫椭圆的焦点.当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21,F F 为端点的线段⑵椭圆的第二定义:平面内到定点F 与定直线L (定点F 不在定直线L 上)的距离之比是常数e(0<e<1)的点的轨迹为椭圆 【例】⑴已知21,F F 为椭圆192522=+y x的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若1222=+BF AF ，则AB =__________⑵已知圆Q ：0556-22=-+x y x ，动圆M 与已知圆内切，且过定点P （-3，0），求圆心M 的轨迹方程二．椭圆的方程与几何性质:见上表【例1】⑴已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)1P ，(2P ，求椭圆方程5⑶已知椭圆A 和椭圆2212420xy+=共准线，且离心率为12，求椭圆A 的方程⑷已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为33P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程，求椭圆方程 【例2】⑴椭圆1422=+myx的离心率为21，则m=_________⑵短轴长为5，离心率32=e 的椭圆两焦点为21,F F ，过1F 作直线交椭圆于A 、B 两点，则2ABF ∆的周长为 （ ） A.3B.6C.12D.24⑶设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为424-，求此椭圆方程⑷如图，把椭圆1162522=+yx的长轴AB 分成8等份，过每个分点作X 轴的垂线交椭圆的上半部分于7654321,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点,则=++++++7654321FP FP FP FP FP FP FP ________⑸在ABC ∆中,3,2,30===∠∆ABC S AB A ,若以A,B 为焦点的椭圆经过点C,该椭圆的离心率e=___⑹如果方程222=+ky x 表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是_______【例3】⑴椭圆191622=+yx上的点到直线L:x+y-9=0的距离的最小值为_________⑵已知13422=+yx内有P（1，-1），F 是椭圆的右焦点，①求离心率 ②在椭圆上求一点M ，使MF MP 2+的值最小，并求出这个最小值三．位置关系 1.点),x (00y P 与椭圆12222=+by ax 的位置关系:当12222>+by ax 时,点P 在椭圆外; 当12222<+by ax 时,点P 在椭圆内; 当12222=+by ax 时,点P 在椭圆上2.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆相交0>∆⇔; 直线与椭圆相切0=∆⇔; 直线与椭圆相离0<∆⇔ 3.弦长公式：21222122221),,(),,()0(1:,:1x x kAB y x B y x A b a b y a x m kx y l -⋅+=>>=++=则，交点为椭圆已知直线212221222211),,(),,()0(1:,:1y y kAB y x B y x A b a bx ay m kx y l -⋅+=>>=++=则，交点为椭圆已知直线四.点差法：适用：求平行弦的中点轨迹，求过定点的弦中点的轨迹，求被定点平分的弦所在直线的方程 【例】⑴求椭圆方程1222=+y x 中斜率为2的平行弦的中点轨迹方程⑵求椭圆方程1222=+y x中过定点P （0，2）的弦AB 的中点M 的轨迹方程⑶在椭圆12422=+yx中，过点P(1,1)的弦AB 恰被点P 平分，求弦AB 所在直线的方程【习题】1.已知两定点1(1,0)F -、2(1,0)F 且12F F 是1P F 与2P F 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是（ ）A.221169xy+= B.2211612xy+= C.22143xy+= D.22134xy+=2.离心率为黄金比12的椭圆称为“优美椭圆”.设22221(0)x y a b ab+=>>是优美椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右顶点，B 是它的短轴的一个顶点，则FBA ∠等于（ ）A.60B.75C.90D.1203.点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左准线上，过点P 且方向向量为(2,5)a =-的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）313C.2D.124. 已知(1,0)A -,(1,0)B ,点(,)C x y 12=，则AC BC +=( ).A 6 .B 4 .C 2 .D 不能确定 5.如图，把椭圆2212516xy+=的长轴A B 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个焦点，则1234567P F P F P F P F P F P F P F ++++++= . 6.已知P 是椭圆22221x y ab+=()0a b >>上任意一点，P 与两焦点连线互相垂直，且P 到两准线距离分别为6、12，则椭圆方程为_____________ 7.直线l 过点()1,1M ，与椭圆22143xy+=相交于A 、B 两点，若A B 的中点为M ，试求直线l 的方程.8.已知椭圆1422=+y x 及直线y=x+m,⑴当m 为何值时，直线和椭圆有公共点 ⑵若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程9．椭圆C:1162522=+yx内有一点A （2，1）F 是椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上的动点，求PF PA 35+的最小值10.椭圆C:1162522=+yx内有一点A （2，1）F 是椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上的动点，求PF PA +的最大值与最小值11. 椭圆C:1162522=+yx外有一点A （5，6），l 为椭圆的左准线，P 为椭圆C 上的动点，点P 到的l 距离为d,求d PA 53+的最小值12.已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P,Q 两点，且210,=⊥PQ OQ OP ,求椭圆方程。
专题39 椭圆知识点和典型例题(解析版)
专题39 椭圆知识点和典型例题〔解析版〕1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹称为椭圆．即：。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在轴上焦点在轴上 图形标准方程 范围且 且 顶点、、、、轴长 短轴的长长轴的长焦点 、、焦距对称性 关于轴、轴、原点对称离心率e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；通径 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b 2/a焦半径公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c ==∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合以下条件的椭圆标准方程：〔1〕与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2〔2〕经过(2,(22A B 两点 【详解】〔1〕椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.〔2〕设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程； 【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程． 【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 如下图，因为2c =，那么(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ， 因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4=，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <． 又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=，∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆C 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，假设存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||2b cF F MN c MN a===由得c a =21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．〔Ⅱ〕假设0m =，那么()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立． 假设0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+， 因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-=得()2224240k x mkx m +++-=，由得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：〔特别注意〕要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
椭圆(知识点讲解)高考数学一轮复习(新教材新高考)(解析版)
专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。
2020年高考理科数学之高频考点解密19 椭圆(解析版)
解密19 椭圆考点1 椭圆的定义与标准方程调研1 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆，则有0,0,m n m n >>≠，所以“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B ．调研2 过椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的上顶点与右顶点的直线方程为240+-=x y ，则椭圆C 的标准方程为A ．221164+=x yB ．221204+=x yC ．221248+=x yD ．221328+=x y【答案】A【解析】直线方程为240+-=x y ，令x =0，则y =2，得到椭圆的上顶点坐标为（0，2），即b =2， 令y =0，则x =4，得到椭圆的右顶点坐标为（4，0），即a =4，从而得到椭圆方程为221164+=x y ，故选A ． 调研3 椭圆x 24+y 2t=1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为________________．【答案】(3，4)∪(4，254) 【解析】当t >4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a =√t ，b =2，c =√t −4，由题意可得a −c =√t −√t −4>1，解得4<t <254；当0<t <4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a =2，b =√t ，c =√4−t ，由题意可得a −c =2−√t −4>1，解得3<t <4；综上可知，实数t 的取值范围是(3，4)∪(4，254)．☆技巧点拨☆求椭圆的方程有两种方法：（1）定义法，根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．（2）待定系数法，这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：①做判断，根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）；②设方程，根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>；③找关系，根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）；④得椭圆方程，解方程组，将解代入所设方程即可． 【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且．考点2 椭圆的简单几何性质调研1 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0，b >0)的长轴两端点为(−4，0)，(4，0)，离心率为12，则短轴长为 A ．8 B ．4 C ．4√3 D ．2√3【答案】C【解析】由椭圆的性质得a =4，e =ca =12，则c =2， 又b 2=a 2−c 2=16−4=12，即b =2√3， 所以短轴长为2b =4√3．故选C ． 调研2 已知椭圆C ：x 236+y 227=1的右焦点为F ，点P(1，3)，若点Q 是椭圆C 上的动点，则ΔPQF 周长的最大值为 A ．2√13 B ．17 C ．30 D ．17+√13【答案】D【解析】设椭圆C 的左焦点为F ′，则△PQF 的周长l =|QF |+|QP |+|PF |=2a −|QF ′|+|QP |+|PF |≤2a +|PF ′|+|PF |=12+5+√13=17+√13，当点Q 为PF ′的延长线与椭圆C 的交点时取等号，故选D ．调研3 若椭圆2214x y m+=上一点到两焦点的距离之和为3m -，则此椭圆的离心率为A B 7C ．7D ．37或59【答案】A【解析】由题意得，230a m =->，即3m >，若24a =，即2a =，则34m -=，74m =>，不合题意，因此2a m =，即a =3m =-，解得9m =，即3a =，c ==离心率为e =．故选A ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能，属于中低档题型，也是常考题．在解决此类问题时，要充分利用椭圆的定义，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长2a ），在焦点位置不确定的情况，有必要分两种情况（其焦点在x 轴或是y 轴）进行讨论，从而解决问题．调研4 已知椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为A ．(0－1)B ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2⎛ ⎝⎭D ．－1,1)【答案】D【解析】由正弦定理可得：122112sin sin MF MF MF F MF F =∠∠，结合题意可得12MF MF ca=，所以1212MF MF MF MF caa c+==+，根据椭圆的定义可得122MF MF a +=，所以12acMF a c=+，222a MF a c=+，易知21MF MF >.因为M 为椭圆上一点，所以2a c MF a c -<<+，即22a a c a c a c-<<++，整理得2220c ac a +->，所以2210e e +->11e <<. 故选D ．☆技巧点拨☆1．利用椭圆几何性质解题时的注意点及技巧：（1）注意椭圆几何性质中的不等关系，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系；（2）利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．2．求椭圆离心率问题的一般思路：求椭圆离心率或其范围时，一般是根据题意设出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2，消去b 即可求得离心率或离心率的范围．考点3 直线与椭圆的位置关系调研1 已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C 的标准方程为A ．22=1128x y + B ．22=1124x y + C ．22=132x y + D ．22=13x y + 【答案】C【解析】由△AF 1B 的周长为，可知1212|||||4|||AF AF BF BF a +++==，解得a =(M N ，设点00(,)A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，=23-，即22002(3)3y x =--①．又2200213x y b +=，所以22200(1)3x y b =-②，由①②解得22b =，所以椭圆C的标准方程为22132x y +=．故选C ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义可得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积可得出关系式，考查了斜率的坐标表示以及点在椭圆方程上的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点．数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题．调研2 过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线与椭圆22221(0)+=>>x y a b a b相交于A ，B 两点，若=u u u v u u u v AP PB ，则该椭圆的离心率为 A ．12 B．2 C．3D．3【答案】C【解析】设()()1122，，，A x y B x y ，=Q u u u v u u u vAP PB ，∴P 是线段AB 的中点，则1232+=x x ，1212+=y y ，过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线方程为()13-=--y x ，即4=-+y x ，联立直线与椭圆方程22221(0)+=>>x y a b a b 得222241⎧⎪⎪-+⎨=⎩+=y x x y ab ，整理得()22222228160+-+-=a b x a x a a b ， 212228∴+=+a x x a b ，()212122288+=-++=+b y y x x a b， 代入1232+=x x 得223，=a b则椭圆的离心率3=====c e a ．故选C ．调研3 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，短轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点N(0，2)作两条直线，分别交椭圆C 于A ，B 两点（异于N 点）．当直线NA ，NB 的斜率之和为定值t(t ≠0)时，直线AB 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题意知ca =√22，2b =4，a 2−c 2=b 2，解得a =2√2，b =2，c =2， 所以椭圆方程为x 28+y 24=1．（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y =kx +m(k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由k NA +k KB =t ，得kx 1+m−2x 1+kx 2+m−2x 2=t ，整理得2kx 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)=tx 1x 2 (∗)，联立{y =kx +m x 2+2y 2=8，消去y 得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， 由题意知二次方程有两个不等实根，∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，代入(∗)得2k(2m 2−8)1+2k 2−4km(m−2)1+2k 2=t(2m 2−8)1+2k 2，整理得(m −2)(4k −tm −2t)=0． ∵m ≠2，∴m =4k t−2，∴y =kx +4k t−2，即y +2=k(x +4t )．所以直线AB 过定点(−4t ，−2)．当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，A(x 0，y 1)，B(x 0，y 2)，其中y 2=−y 1． ∴y 1+y 2=0， 由k NA +k NB =t ，得y 1−2x 0+y 2−2x 0=y 1+y 2−4x 0=−4x 0=t ，∴x 0=−4t．∴当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 也过定点(−4t ，−2)． 综上所述，直线AB 恒过定点(−4t ，−2)．调研4 已知椭圆C ： 2222x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ． （1）求椭圆C 的长轴长与离心率；（2）若不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点M ，直线1A Q 与2A P 交于点N ．求证：直线MN 垂直于x 轴．【思路分析】（1）由椭圆C 的方程可化为2212x y +=，可得1,1a b c ===，则长轴长为2a =，离心率2c e a ==；（2）设直线1A P 的方程为1(y k x =，2A Q 的方程为2(y k x =， 联立可得2121)M k k x k k +=-，同理可得4343)N k k x k k +=-，可证明1412k k =-且2312k k =-，从而可得N M x x =，进而可得结果．【解析】（1）椭圆C 的方程可化为2212x y +=，所以1,1a b c ===．所以长轴长为2a =，离心率c e a == （2）显然直线1A P 、2A Q 、1A Q 、2A P 都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线1A P的方程为1(y k x =，2A Q的方程为2(y k x =，联立可得)2121M k k x k k +=-．同理可得)4343N k k x k k +=-．下面证明141.2k k =-设()00,P x y ，则220022x y +=．所以22001422001222y y k k x y ====---．同理231.2k k =-所以1221211211(22)112)2N M k k k k x x k k k k --++===----，所以直线MN 垂直于x 轴． 【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．☆技巧点拨☆1．直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，难度为中高档，常作为压轴题出现，大致在第20题的位置． 2．直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件，寻找满足条件的关于a ，b ，c 的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．（2）关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．特别对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解． 3．具体解题步骤：对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理．（1）设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x ＝my ＋b 的形式．（2）联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系．（3）一般涉及弦的问题，要用到弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|．1．（湖北省2019届高三1月联考）已知椭圆C ：y 2a 2+x 216=1(a >4)的离心率是√33，则椭圆C 的焦距为 A ．2√2 B ．2√6 C ．4√2 D ．4√6【答案】C【解析】由题可得e =c a =√33，则a =√3c ，所以c 2=a 2−b 2=3c 2−16，所以c 2=8，因此椭圆C 的焦距为2c =4√2．故选C ．2．（湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学）“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程22126x ym m +=--表示椭圆，则206026->->-⎨⎩≠⎪-⎧⎪m m m m，解得26m <<且4m ≠， 所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．3．（云南省玉溪市玉溪第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为A B ．2-CD 1【答案】A【解析】设()10PF m m =>，则22PF a m =-，222QF m a =-，142QF a m =-，因为11QF =，故(4m a =-.因为222212124PF PF F F c +==，所以()()2224244a a a c ⎡⎤-+--=⎣⎦，整理得到2436c a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭c a ==故选A ．4．（黑龙江省双鸭山市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，12π2∠=F AF ，连接2AF y 交轴于M 点，若23OM OF =，则该椭圆的离心率为A ．13B ．3C ．58D 【答案】D【解析】设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ． 如图所示，由题意可得：Rt △AF 1F 2∽Rt △OMF 2，∴122|||1|||||3==AF OM AF OF ．则m +n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2，n ＝3m ．化为：m 2223b =，n 2＝9m 2＝6b 2．∴223b +6b 2＝4c 2，∴()2253a c -=c 2，化为：c a =． 故选D ．5．（黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，直线l 过左焦点且倾斜角为π3，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为 AB．5CD【答案】D【解析】由题意知，椭圆的左焦点为(),0c -，长轴长为2a ，焦距为2c ， 设直线l的方程为：)y x c =+0y -=， 则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为()0,0，半径为a ，∴圆心到直线l的距离d ==，2c ∴==，整理得：2247c a =，∴椭圆的离心率为c a ==故选D.6．（安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:430l x y -=与椭圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为A ．9(0,]5B ．C ．(0,3D ．1(,]32【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为F '，P 为短轴的上端点，连接,AF BF ''，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,A B 关于原点对称，则||||=OA OB ， 又||||'=OF OF ，∴四边形AFBF '为平行四边形，||||'∴=AF BF ，又26AF BF BF BF a '+=+==，解得：3a =， 点P 到直线l 距离：3655b d -=≥，解得：2b ≥2=≥，0c ∴<≤，3c e a ⎛∴=∈ ⎝⎦. 故选C .7．（山东省淄博市实验中学2019-2020学年高三上学期第一次学习检测数学试题）已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122+e e 的最小值为 AB ．3C ．6D【答案】C 【解析】如图，设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 由题意可知：1222F F F P c ==， 又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=Q ，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c c e c a ca ++=+=Q ， ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++，22222a cc a +≥=Q ，当且仅当2222a c c a =时等号等立，2122∴+e e 的最小值为6， 故选C ．8．（甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高三上学期9月月考数学）已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是 A ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】D【解析】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为122F F c =,1PF t =， 由题意可得122,2+=-=t c a t c a ，122,2t a c t a c ∴=-=+，1222a c a c ∴-=+，即12a a c -=，12111e e ∴-=，即2121e e e =+，2222122222211111e e e e e e e e e ∴-=-==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由21e >可知2101e <<， 令21(0,1)x e =∈，2(0,2)y x x ∴=+∈， 所以2112e e ->，故选D ． 9．（福建省南安市侨光中学2020届高三上学期第一次阶段考数学）已知点M，0)，椭圆22+14x y =与直线y ＝k (x交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________. 【答案】8【解析】直线(=+y k x 过定点N （）， 由题设知M 、N 是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN +AM =2a =4，BM +BN =2a =4．则△ABM 的周长为AB +BM +AM =（AN +BN ）+BM +AM =（AN +AM ）+（BN +BM ）=8， 故答案为8．10．（广东省雷州市2019届高三上学期期末考试）已知A 、B 分别为椭圆x 29+y 2b =1（0<b <3）的左、右顶点，P 、Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，若点A 到直线y =√1−mnx 的距离为1，则该椭圆的离心率为________________．【答案】√24【解析】设P(x 0，y 0)，则Q(x 0，−y 0)，m =y 0x 0+3，n =−y 0x 0−3，∴mn =−y 02x2−9，又P(x 0，y 0)在椭圆x 29+y 2b 2=1上，∴y 02=−b 29(x 02−9)，∴mn =b 29，点A 到y =√1−mnx的距离为1===d ，解得b 2=638，c =2√2e =c3=√24．11．（河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第二次联考）某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a2+y 2b 2=1的离心率e >√32的概率是________________． 【答案】13 【解析】由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率e >√32，可得当a >b 时，e =c a=√a2−b 2a>√32，即得a 2>4b 2；当a <b时，e =c b =√b 2−a 2b >√32，即得b 2>4a 2．同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有6×6=36种情况，满足上述关系的有：(3，1)，(1，3)，(4，1)，(1，4)，(5，1)，(1，5)，(5，2)，(2，5)，（6，1），(1，6)，（6，2），(2，6)，共12种情况， 所以所求概率为1236=13．12．（四川省绵阳市2019届高三第二次诊断性考试）已知点P 是椭圆C ：x 29+y 2=1上的一个动点，点Q是圆E ：x 2+(y −4)2=3上的一个动点，则｜PQ ｜的最大值是________________． 【答案】4√3【解析】由圆E ：x 2+（y ﹣4）2＝3可得圆心为E （0，4），又点Q 在圆E 上，∴|PQ |≤|EP |+|EQ |＝|EP |+√3（当且仅当直线PQ 过点E 时取等号）． 设P （x 1，y 1）是椭圆C 上的任意一点，则x 129+y 12=1，即x 12=9−9y 12，∴|EP |2=x 12+(y 1−4)2=9−9y 12+(y 1−4)2=−8(y 1+12)2+27．∵y 1∈[−1，1]，∴当y 1＝﹣12时，|EP |2取得最大值27，即|PQ |≤3√3+√3=4√3， ∴|PQ |的最大值为4√3．13．（四川省眉山市2019-2020学年高三第二次诊断性考试数学）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点()0,P t ，斜率为k 的直线l 交椭圆于,M N 两点，设直线,OM PN （O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围.【解析】（1）由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为：22142+=x y .（2）设直线l 的方程为,y kx t =+由221,42,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()222214240.k x ktx t +++-= 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222424,.2121kt t x x x x k k --+==++ 而()12121212221211242,2t x x y y kx t kx tk k k k x x x x x x t +++-+=+=+=+=- 由12,k k k λ+=得24.2kk t λ-=- 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242.t λ=- 由题意，点()0,P t 在椭圆内，故24022t λ≤=-<，解得 2.λ≥所以λ的取值范围是[)2,.+∞ 14．（河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==， 从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =． 由215x x =5(32)k =+， 两边平方，整理得2182580k k ++=， 解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去； 当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．15．（湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高三上学期第六次月考数学）如图，已知椭圆P:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴A 1A 2，长为4，过椭圆的右焦点F 作斜率为k （k ≠0）的直线交椭圆于B 、C 两点，直线BA 1，BA 2的斜率之积为−34.（1）求椭圆P 的方程；（2）已知直线l:x =4，直线A 1B ，A 1C 分别与l 相交于M 、N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC ⊥EF . 【解析】（1）设B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 因点B 在椭圆上，所以x 12a 2+y 12b 2=1，故y 12=b 2a 2(a 2−x 12). 又A 1(−a,0)，A 2(a,0)， 所以k BA 1⋅k BA 2=y 1x1+a⋅y 1x 1−a =−b 2a2，即b 2a 2=34， 又a =2，所以b =√3， 故椭圆P 的方程为x 24+y 23=1.（2）设直线BC 的方程为：y =k (x −1)，B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 联立方程组{x 24+y 23=1y =k (x −1)，消去y 并整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3.直线A 1B 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，令x =4得y M =6y 1x1+2，同理，y N =6y 2x2+2；所以y E =12(y M +y N )=3(y 1x1+2+y 2x2+2)=6kx 1x 2+3k (x 1+x 2)−12kx 1x 2+2(x 1+x 2)+4， 代入化简得y E =−3k ，即点E (4,−3k )， 又F (1,0)， 所以k EF k BC =−3k3⋅k =−1，所以BC ⊥EF .16．（江西省红色七校2019-2020学年高三第一次联考数学）已知点()2,1M 在椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 上，A ，B 是长轴的两个端点，且3MA MB ⋅=-u u u r u u u r．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()1,0E ，过点()2,1M 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ，若点E 总在以MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．【解析】（1）由已知可得()()2,12,13a a -----=-g ，解得28a =，又点()2,1M 在椭圆C 上，即2222118b+=，解得22b =，所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=.（2）设()11N x y ,，当直线l 垂直于x 轴时，点E 在以MN 为直径的圆上，不合题意， 因此设直线l 的方程为()21y k x =-+， 代入椭圆方程，消去y 得()()()2222418244410k x k kx kk ++-+--=，则有()2124441241k k x k --=+，即()212244141k k x k --=+，21244141k k y k --+=+， 且判别式()216210=+>k ∆，即12k ≠-， 又点E 总在以MN 为直径的圆内，所以必有0EM EN u u u u v u u u v⋅<，即有()()11111,1,110x y x y -=+-<g ，将1x ，1y 代入得222248344104141k k k k k k ----++<++，解得16k >-，所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 17．（四川省成都市第七中学2019-2020学年高三上学期一诊模拟数学）已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2,0),F 2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0). （1）求椭圆C 的方程;（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，设点N(3,2)，直线AN,BN 的斜率分别为k 1,k 2，问k 1+k 2是否为定值?并证明你的结论.【解析】（1）依题意，c =√2，a 2−b 2=2. ∵点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴b =|OM |=1，∴a =√3. ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1. （2）①当直线l 的斜率不存在时，由{x =1x 23+y 2=1解得x =1，y =±√63.设1,3⎛⎝⎭A，1,3⎛- ⎝⎭B，则122233222++=+=k k 为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1=-y k x .将()1=-y k x 代入2213+=x y 整理化简，得()2222316330+-+-=k x k x k . 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631+=+k x x k ，21223331-=+k x x k .又()111=-y k x ，()221=-y k x ， 所以1212122233--+=+--y y k k x x ()()()()()()122112232333--+--=--y x y x x x ()()()()()1221121221321393⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++k x x k x x x x x x ()()()121212121212224693⎡⎤-++-++⎣⎦=-++x x k x x x x x x x x22222222226336122246313131633933131⎡⎤--⨯+⨯-⨯+⎢⎥+++⎣⎦=--⨯+++k k k k k k k k k k k ()()2212212621+==+k k . 综上得k 1+k 2为常数2.1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ． 2．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．3．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP的斜率为6可得2tan PAF ∠=所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ． 4．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223(),a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===，故选A ．【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.6．（2017新课标全国Ⅱ理科）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【答案】（1） 222x y +=；（2）证明见解析．【思路分析】（1）设出点P 的坐标，利用=NP u u u r u u u r得到点P 与点M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=；（2）利用1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 可得坐标之间的关系：2231m m tn n --+-=，结合（1）中的结论整理可得OQ PF ⋅=u u u r u u u r 0，即⊥OQ PF u u u r u u u r，据此即可得出结论．【解析】（1）设()()00,,,P x y M x y ，设()0,0N x ，()()00,,0,NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r．由=NP u u u r u u u r得00,2x x y y ==，因为()00,M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知()1,0F -．设()()3,,,Q t P m n -，则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，()(),,3,OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r．由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n+=，故330m tn +-=，所以OQ PF ⋅=u u u r u u u r 0，即⊥OQ PF u u u r u u u r．又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． （4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．7．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）2y x =-或2y x =；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-，所以AM 的方程为2y x =-2y x =-． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．8．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【思路分析】（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点．另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=． （2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2， 如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，2），（t，2-）．则121k k +=-=-，得2t =，不符合题设． 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）．将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=． 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+． 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=．即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-． 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．9．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，公差为28或28-． 【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=．由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r ．于是1||22x FA ===-u u u r ，同理2||22x FB =-u u u r ，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ，故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列．设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r ①． 将34m =代入34k m =-得1k =-，所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=，故121212,28x x x x +==，代入①解得||28d =，所以该数列的公差为28或28-．。
高中数学期末备考：解析几何06椭圆焦点三角形含解析
6.椭圆的焦点三角形初探一．学习目标：掌握椭圆的焦点三角形及常见结论.二．概念梳理:焦点三角形主要结论：椭圆定义可知：21F PF 中，（1）.c F F a PF PF 2||,2||||2121 .（2）.焦点三角形的周长为.22c a L （3）.21221cos 12||||PF F b PF PF .（4）.焦点三角形的面积为：2tansin ||||212122121PF F b PF F PF PF S.①设1F 、2F 是椭圆 2222:10x y C a b a b的左、右焦点，P 是椭圆C 上的一个动点，则当P 为短轴端点时，12F PF 最大.②．S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；（5）.假设焦点21F PF 的内切圆半径为r ，则r c a S )( .（6）.焦半径公式:设),(00y x P 是椭圆上一点，那么01||ex a PF ，02||ex a PF ，进一步，有222212,PF PF a ex b a推导：根据两点间距离公式:2201)(||y c x PF ，由于)0(,122220 b a by a x 代入两点间距离公式可得)1()(||2202201ax b c x PF ，整理化简即可得01||ex a PF .同理可证得01||ex a PF .（7）.设),(00y x P 是椭圆上一点，那么2022221x e c b PF PF，由于],0[20a x ,故我们有222222212,PF PF b c e x b c b（8）若约定椭圆12222 by a x )0( b a ，21F F 、分别为左、右焦点；顶点),(00y x P 在第一象限； 212112),(,PF F F PF F PF ，则对于椭圆，离心率sin sin )sin(sin sin sin 22a c a c e （9）若 21PF PF ，对椭圆有221b b S PF F ，若21PF PF ，对于椭圆，有222)11(21a cb S PF F ，若 OP ，对椭圆，有2221 a b S PF F .（10）对椭圆焦点三角形的内心I 的轨迹方程为)0(1)(222222 y cb yc a c x .三．典例分析例1．已知1F ，2F 是椭圆 2222:10x y C a b a b的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且122π3F PF ，若12PF F △的面积为b （）A．9B．3C．4D．8解析：由焦点三角形面积公式得122πtantan323F PF S b b b，故选：B 例2．已知椭圆 2222:10x y C a b a b，其左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 为该椭圆上一点，且满足12π3F PF ，若12F PF △的内切圆的面积为π，则该椭圆的方程为（）A．221129x y B．2211612x y C．2212418x y D．2213224x y 解析：所以122121πsin 234F PF S PF PF a △，而 121212113(22)222F PF S PF PF F F r a c r a c a △，所以可得2342a a ，解得a，c 222a b c ，得3b ，所以该椭圆的方程为221129x y．故选：A．例3．已知12(,0),(,0)F c F c 是椭圆E 的两个焦点，P 是E 上的一点，若120PF PF，且122 △PF F S c ，则E 的离心率为（）C．22解析：又1221212F PF S PF PF c ，所以222a c c ，即222a c ，故E的离心率为2c a .故选：C.例4.椭圆22:13x C y 的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆C 上不与A 、B 重合的动点，则12cos F PF 的最小值为______.解析：如图，由题意，12F F 1PF m ，2PF n，由椭圆定义，m n ，在12PF F 中，由余弦定理，22222121212128cos 22PF PF F F m n F PF PF PF mn2228222111232m n mn mn mnmn mn m n，当且仅当m n 时取等号，此时P 为椭圆的短轴端点，所以12cos F PF 的最小值为13.例4图例5图例5.椭圆 2222:10x y C a b a b 的左、右焦点分别为1F 、2F ，若椭圆C 上存在点P ，使1260F PF ，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.解析：椭圆C 上存在点P ，使1260F PF 等价于最大张角大于等于60°，如图，11211116030sin 2OF c F PF F PO F PO PF a，即12e ，又01e ，所以112e .例6.（2019全国1卷）已知椭圆C 的焦点为12(1,0)(1,0)F F ，，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若22||2||AF F B ，1|||AB BF |，则C 的方程为A．2212x y B．22132x y C．22143x y D．22154x y解：如图所示：设),(),,(2211y x B y x A ，由||3|||||||,|2||21122BF BF BF AB B F AF ，代入焦半径公式到||3||21BF BF 可得：)1.(21)(32222a x ex a ex a.再由 ||3||22BF AF )2.(2)(221221a x x ex a ex a .结合（1），（2）式可得，01 x ，故a AF AF ||||21，2||,23||21aBF a BF，这样在三角形1ABF 与三角形21F AF 中分别使用余弦定理可得:222,312a b a c.小结：通过坐标表示出焦半径的关系，进而解出椭圆上点的坐标是解题的关键.例7.（2019全国三卷）设12F F ，为椭圆22:+13620x y C 的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.解：由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ，11228MF F F c ．∴24MF ．由焦半径公式可知设),(00y x M ，由焦半径公式可知34326||0002 x x ex a MF再代入椭圆方程可解得M 的坐标为 ．例8．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b的左、右焦点分别是1F ，2F ，P 是椭圆上的动点，I 和G 分别是12PF F △的内心和重心，若IG 与x 轴平行，则椭圆的离心率为()A．12解析：∵O 是12F F 的中点，G 是12PF F △的重心，∴P G O 、、三点共线，延长PI 交x 轴于点Q ，则由IG 平行于x 轴知，2PI PGIQ GO，则121233PF F IF F S PQ IQ S ,设12PF F △内切圆半径为r ，则12121212121212121233212F F PF PF r F F PF PF PF PF F F F F F F r 21222a c c a ，∴椭圆的离心率为12．故选：A﹒四．习题演练1．设椭圆2212516x y 的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，且满足129PF PF，则12PF PF 的值是（）A．14B．17C．20D．23解析：由前述结论可知，选D.2．已知点1F 、2F 为椭圆22143x y 的左、右焦点，若点P 为椭圆上一动点，则使得123F PF 的点P 的个数为（）A．0B．2C．4D．不能确定选B.3．设椭圆2222:1x y C a b(0)a b 的左、右焦点分别为12,F F ,P 是C 上的点,212PF F F ,1230PF F ,则C 的离心率为()A.36B.13C.12D.33解析： 3330sin 90sin 3090sine ，选D 3．设P 为椭圆22221x y a b (0)a b 上一点，两焦点分别为1F ，2F ，如果1275PF F ，2115PF F ，则椭圆的离心率为（）C．2解析：由于1212sin15sin 751545sin 90PF PF F F22a ce .故选：A.4.已知)0,(),0,(21c F c F 为椭圆1:2222 by a x E 的焦点，P 为E 上一点且221c PF PF ,求此椭圆离心率的取值范围.解析：由椭圆的定义，得122PF PF a ，平方得222121224PF PF PF PF a ①.由212PF PF c ，21212cos PF PF F PF c ②，12F PF 是锐角，由余弦定理得2222121212122cos 4PF PF PF PF F PF F F c ③，③得22121221cos 44PF PF F PF a c④由②④，得21222cos 123c F PF a c，∵12F PF 是锐角，2220123c a c，即22230a c 且22223c a c2e .由②③可知222126PF PF c ⑤由①⑤可得221223PF PF a c ，2122122PF PF PF PF a，22223a c a ，即223a c ，e.则椭圆离心率的取值范围是32.8．椭圆 222210x y a b a b 的两焦点是1F 、2F ，M 为椭圆上与1F 、2F 不共线的任意一点，I 为12MF F △的内心，延长MI 交线段12F F 于点N ，则:MI IN 的值等于（）A．a bB．a cC．b cD．c a【详解】连接12,IF IF .在△MF 1I 中,F 1I 是∠MF 1N 的角平分线,根据三角形内角平分线性质定理,11MI MF INF N ，同理可得22MI MF INF N,故有1212MI MF MF INF N F N，根据等比定理1212MI MF MF a INF N F Nc.故选：B4．已知12,F F 分别为双曲线222:1(0)y C x b b的左､右焦点，点P 在双曲线C 上，I 为12F PF △的内心，点G 满足12:0GP GF GF ，若 12GI F F R 且123cos 5F PF ，记12PF F △的外接圆半径为R ，则R 的值为（）A．52B．2C．3D．1【详解】设 0102,0,,,0,F c F c P x y ，由题意得1241,sin 5a F PF，因为点G 满足12:0GP GF GF，所以点G 是12F PF △的重心，则00,33x y G，又因为 12GI F F R，所以//GI x轴，则I 的纵坐标是03y ，所以12120012F PF S F F y c y，设1PF m ，则222PF m a m ，所以 12001212112222323F PF y y S PF PF F F m a c ，即 00122223y c y m a c ，则21c m ，由余弦定理得 22222212121212223cos 2225PF PF F F m m c F PF PF PF m m ，即22150m m ，解得5m 或3m ，所以122m c ，则121225sin F F R F PF，解得52R ，故选：A。
高中数学椭圆经典考点及例题讲解 (1)
椭圆考纲解读 1.利用椭圆的定义、几何性质求椭圆方程；2.利用椭圆的几何性质研究直线与椭圆的关系．[基础梳理]1．椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距．(2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质x2y2y2x2[三基自测]1．已知椭圆x2m－2＋y210－m＝1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于()A．8B．7C ．6D ．5答案：A2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7答案：D3．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________．答案：x 24＋y 23＝14．过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2作直线交椭圆于A 、B 两点，则△AF 1B 的周长为________．答案：205．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)A 、B 是椭圆x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点，M 为短轴的一个端点，且∠AMB ＝120°，求m 值．答案：1或9考点一 椭圆的定义及应用|思维突破[例1] (1)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 (2)设P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |＋|PN |的最小值、最大值分别为( )A ．9,12B ．8,11C ．8,12D ．10,12(3)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72D.752[解析] (1)点P 在线段AN 的垂直平分线上， 故|P A |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|P A |＝|AM |＝6>|MN |， 由椭圆定义知，点P 的轨迹是椭圆．(2)如图所示，因为到两个圆心恰好是椭圆的焦点，由椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10，易知|PM |＋|PN |＝(|PM |＋|MF 1|)＋(|PN |＋|NF 2|)－2，则其最小值为|PF 1|＋|PF 2|－2＝8，最大值为|PF 1|＋|PF 2|＋2＝12，故选C.(3)由题意得a ＝3，b ＝7，c ＝2，∴F 1F 2＝22，AF 1＋AF 2＝6.∵AF 22＝AF 21＋F 1F 22－2AF 1·F 1F 2cos 45°＝AF 21－4AF 1＋8，∴(6－AF 1)2＝AF 21－4AF 1＋8.∴AF 1＝72.∴S ＝12×72×22×22＝72.[答案] (1)B (2)C (3)C [思维升华]椭圆定义应用技巧思路应用 解读求方程 条件转化后满足椭圆定义，直接求轨迹方程求焦点三角形 求焦点三角形周长或面积，根据椭圆定义、正余弦定理，其中|PF 1|＋|PF 2|＝2a .平方是常用技巧求最值 利用|PF 1|＋|PF 2|＝2a 为定值，利用基本不等式求|PF 1|·|PF 2|最值或利用三角形求最值．如a ＋c 、a －c[跟踪训练]1．已知圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.答案：D2．椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2、P 为椭圆上异于端点的任意一点，PF 1，PF 2的中点分别为M ，N .O 为坐标原点，四边形OMPN 的周长为23，则△PF 1F 2的周长是( )A ．2(2＋3) B.2＋23 C.2＋ 3D ．4＋23解析：因为O ，M 分别为F 1F 2和PF 1的中点，所以OM ∥PF 2，且|OM |＝12|PF 2|，同理，ON ∥PF 1，且|ON |＝12|PF 1|，所以四边形OMPN 为平行四边形，由题意知，|OM |＋|ON |＝3，故|PF 1|＋|PF 2|＝23，即2a ＝23，a ＝3，由a 2＝b 2＋c 2知c 2＝a 2－b 2＝2，c ＝2，所以|F 1F 2|＝2c ＝22，故△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝23＋22，选A.答案：A3．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点．则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F 1，则|PF |＋|PF 1|＝6. 所以|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6.利用－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)． 所以|P A |＋|PF |≤6＋2， |P A |＋|PF |≥6－ 2.故|P A |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2. 答案：6＋2 6－2考点二 椭圆的标准方程及应用|方法突破[例2] (1)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，则C 点轨迹为( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 29＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0) (2)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．求椭圆C 2的方程．[解析] (1)(定义法)由A ，B 坐标可知|AB |＝8，由△ABC 的周长为18可知AC ＋BC ＝10，由椭圆的定义可知，点C 在焦点为A (4,0)，B (－4,0)，长半轴长为5的椭圆上运动，则椭圆方程为x 225＋y 29＝1，当点C 在横轴上时，点A ，B ，C 共线，不能构成三角形，所以y ≠0，所以点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．(2)法一：(待定系数法)：由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.法二：(椭圆系法)：因椭圆C 2与C 1有相同的离心率，且焦点在y 轴上，故设C 2：y 24＋x 2＝k (k >0)，即y 24k ＋x 2k＝1. 又2k ＝2×2，故k ＝4， 故C 2的方程为y 216＋x 24＝1.[答案] (1)A [方法提升]求椭圆标准方程的方法[母题变式]1．本例(1)变为：一个椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，P (2，3)是椭圆上一点，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则椭圆的方程为( )A.x 28＋y 26＝1 B.x 216＋y 26＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由点P (2，3)在椭圆上知4a 2＋3b 2＝1.又|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等差数列，则|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|，即2a ＝2×2c ，c a ＝12，又c 2＝a 2－b 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋3b 2＝1，c 2＝a 2－b 2，c a ＝12.得a 2＝8，b 2＝6，故椭圆方程为x 28＋y 26＝1. 答案：A2．本例(2)变为：与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)，求椭圆方程．解析：法一：因为e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－b 2a2＝1－34＝12，若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 2m 2＋y 2n2＝1(m >n >0)，则1－⎝⎛⎭⎫n m 2＝14.从而⎝⎛⎭⎫n m 2＝34，n m ＝32. 又4m 2＋3n2＝1，所以m 2＝8，n 2＝6. 所以方程为x 28＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2h 2＋x 2k 2＝1(h >k >0)，则3h 2＋4k 2＝1，且k h ＝32， 解得h 2＝253，k 2＝254.故所求方程为y 2253＋x 2254＝1.法二：若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为 x 24＋y 23＝t (t >0)，将点(2，－3)代入，得 t ＝224＋(－3)23＝2.故所求方程为x 28＋y 26＝1. 若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 23＝λ(λ>0)，代入点(2，－3)，得λ＝2512，故所求方程为y 2253＋x 2254＝1.考点三 椭圆的几何性质|模型突破角度1 求离心率(或范围)[例3] (1)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，两曲线的一个交点为P ，且|PF |＝4，则该椭圆的离心率为( )A.7－23B.2＋13C.23D.12(2)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫23，1B.⎣⎡⎦⎤13，22 C.⎣⎡⎭⎫13，1D.⎝⎛⎦⎤0，13 (3)已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 在椭圆上且满足PF 1→·PF 2→＝c 2，则此椭圆离心率的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫33，1B.⎣⎡⎦⎤33，22 C.⎣⎡⎦⎤13，12D.⎝⎛⎭⎫0，22 [解析] (1)(直接法)设P (x ，y )，由题意，得F (1,0)，|PF |＝x ＋1＝4，所以x ＝3，y 2＝12，则9a 2＋12b2＝1，且a 2－ 1＝b 2，解得a 2＝11＋47，即a ＝7＋2，则该椭圆的离心率e ＝c a ＝17＋2＝7－23.故选A.(2)(几何法)如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴PF 2＝F 1F 2＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c . ∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎡⎭⎫13，1.故选C. (3)(直接法)设P (x ，y )，则x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝b 2－b 2a 2x 2，－a ≤x ≤a ，PF 1→＝(－c －x ，－y )，PF 2→＝(c －x ，－y )．所以PF 1→·PF 2→＝x 2－c 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 2＋b 2－c 2＝c 2a 2x 2＋b 2－c 2.因为－a ≤x ≤a ，所以b 2－c 2≤PF 1→·PF 2→≤b 2. 所以b 2－c 2≤c 2≤b 2.所以2c 2≤a 2≤3c 2. 所以33≤c a ≤22.故选B. [答案] (1)A (2)C (3)B [模型解法][高考类题]1．(2016·高考全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( )A.13B.12C.23D.34解析：|OB |为椭圆中心到l 的距离，设l 与椭圆交于顶点A 和焦点F ，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b 2，所以e ＝c a ＝12.故选B.答案：B角度2 根据椭圆性质求值或范围[例4] (1)已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的一动点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点，且F 1M →·PM →＝0，则|OM →|的取值范围为( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．[0,4)(2)(2018·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点．则PF →·P A →的最大值为________．[解析] (1)由题意得c ＝22，当点P 在椭圆的短轴端点处时，M 与点O 重合，|OM →|取得最小值0；当点P 在椭圆的长轴端点处时，点M 与F 1重合，|OM →|取得最大值22，由于x ≠0，y ≠0，故|OM →|的取值范围是(0,22)．(2)设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2， ∵e ＝c a ＝12，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.∴－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.∵F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)， P A →＝(2－x 0，－y 0)，∴PF →·P A →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2. 即当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4. [答案] (1)B (2)4 [模型解法][高考类题]2．(2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0,1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞)解析：依题意得，⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan ∠AMB 20<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧ m 3≥tan ∠AMB 2m >3，所以⎩⎪⎨⎪⎧3m ≥tan 60°0<m <3或⎩⎪⎨⎪⎧m 3≥tan 60°m >3，解得0<m ≤1或m ≥9.故选A. 答案：A3．(2014·高考福建卷)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋2 C ．7＋ 2D ．62 解析：设圆的圆心为C ，则C (0,6)，半径为r ＝2，点C 到椭圆上的点Q (10cos α，sin α)的距离|CQ |＝(10cos α)2＋(sin α－6)2＝46－9sin 2α－12sin α＝50－9(sin α＋23)2≤50＝52，当且仅当sin α＝－23时取等号，所以|PQ |≤|CQ |＋r ＝52＋2＝62，即P ，Q 两点间的最大距离是62，故选D.答案：D考点四 直线与椭圆的综合问题|方法突破[例5] (1)(2018·新乡模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1，则斜率为2的平行弦中点的轨迹方程为________．(2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，且长轴长为8，T 为椭圆上任意一点，直线TA ，TB 的斜率之积为－34.①求椭圆C 的方程；②设O 为坐标原点，过点M (0,2)的动直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，求OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围．[解析] (1)设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点为M (x 0，y 0)，则有x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. 两式作差，得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)2＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0.因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB ＝－x 02y 0. 即2＝－x 02y 0，所以x 0＋4y 0＝0.故所求的轨迹方程为x ＋4y ＝0，将x ＋4y ＝0代入x 22＋y 2＝1得：x 22＋⎝⎛⎭⎫－x 42＝1，解得x＝±43，又中点在椭圆内，所以－43<x <43.(2)①设T (x ，y )，由题意知A (－4,0)，B (4,0)，设直线TA 的斜率为k 1，直线TB 的斜率为k 2，则k 1＝y x ＋4，k 2＝y x －4.由k 1k 2＝－34，得y x ＋4·y x －4＝－34，整理得x 216＋y 212＝1.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.②当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋2，点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线PQ 与椭圆方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1y ＝kx ＋2，消去y ，得(4k 2＋3)x 2＋16kx －32＝0.所以x 1＋x 2＝－16k 4k 2＋3，x 1x 2＝－324k 2＋3.从而，OP →·OQ →＋MP →·MQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＋[x 1x 2＋(y 1－2)(y 2－2)]＝2(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－80k 2－524k 2＋3＝－20＋84k 2＋3.所以－20<OP →·OQ →＋MP →·MQ →≤－523.当直线PQ 的斜率不存在时，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的值为－20. 综上，OP →·OQ →＋MP →·MQ →的取值范围为[－20，－523]．[答案] (1)x ＋4y ＝0⎝⎛⎭⎫－43<x <4 3 [方法提升][跟踪训练]1．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y22b 2＝1，两式相减得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b2＝0，∴x 1＋x 2a 2＋y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2b 2＝0.∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，k AB ＝－1－01－3＝12， ∴2a 2＋12×－2b 2＝0，即a 2＝2b 2. 又c ＝3＝a 2－b 2，∴a 2＝18，b 2＝9. ∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.故选D.答案：D2．(2018·林州模拟)已知椭圆E ：x 24＋y 22＝1，直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫12，－1，则l 的方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．x －2y －52＝0C ．2x －y －2＝0D ．x －4y －92＝0解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式作差并化简整理得y 1－y 2x 1－x 2＝－12·x 1＋x 2y 1＋y 2，而x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝－2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝14，直线l 的方程为y ＋1＝14⎝⎛⎭⎫x －12，即x －4y －92＝0.故选D.答案：D3．(2018·河北三市联考)已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ，过F且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A 、B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C 、D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1,0)，求k 的值．解析：(1)设焦距为2c ， ∵e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，∴b a ＝33， 由|AB |＝233，易知b 2a ＝33，∴b ＝1，a ＝3， ∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，解得k 2>1.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2， 若以CD 为直径的圆过E 点，则EC →·ED →＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，则(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝9(k 2＋1)1＋3k 2－12k (2k ＋1)1＋3k 2＋5＝0， 解得k ＝76，满足k 2>1.1.[考点二、三、四](2016·高考全国卷Ⅲ)已知O 为坐标原点， F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：法一：设点M (－c ，y 0)，OE 的中点为N ，则直线AM 的斜率k ＝y 0a －c ，从而直线AM 的方程为y ＝y 0a －c (x ＋a )，令x ＝0，得点E 的纵坐标y E ＝ay 0a －c.同理，OE 的中点N 的纵坐标y N ＝ay 0a ＋c.因为2y N ＝y E ，所以2a ＋c ＝1a －c，即2a －2c ＝a ＋c ，所以e ＝c a ＝13.故选A.法二：如图，设OE 的中点为N ，由题意知|AF |＝a －c ，|BF |＝a ＋c ，|OF |＝c ，|OA |＝|OB |＝a ，∵PF ∥y 轴，∴|MF ||OE |＝|AF ||AO |＝a －c a ，|MF ||ON |＝|BF ||OB |＝a ＋ca， 又∵|MF ||OE |＝|MF |2|ON |，即a －c a ＝a ＋c 2a ，∴a ＝3c ，故e ＝c a ＝13.答案：A2.[考点一、二、三](2015·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C ：y 2＝8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：抛物线C ：y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x ＝－2.从而椭圆E 的半焦距c ＝2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，因为离心率e ＝c a ＝12，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝12.由题意知|AB |＝2b 2a ＝2×124＝6.故选B. 答案：B。
数学-椭圆大题专题及解析
椭圆 大题习题及答案解析1已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点()2,0A，且离心率为2．(I)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线y kx =+与椭圆C 交于,M N 两点．若直线3x =上存在点P ，使得四边形PAMN 是平行四边形，求k 的值． （（（由题意得 2a =（2c e a ==（ 所以c = 因为 222a b c =+（ 所以 1b =所以 椭圆C 的方程为 2214x y +=（（（（若四边形PAMN 是平行四边形，则 //PA MN ，且 PA MN =. 所以 直线PA 的方程为()2y k x =-，所以 ()3,P k，PA =（设()11,M x y ，()22,N x y （由2244,y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 得()224180k x +++=， 由0∆>，得 212k >（且12241x x k +=-+，122841x x k =+（ 所以MN ==因为 PA MN =， 所以=整理得 421656330k k -+=， 解得k =±，或 k =±经检验均符合0∆>，但2k =-时不满足PAMN 是平行四边形，舍去（所以 k =k =± 2已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+的左、右焦点分别为12,F F ，124F F =，过2F的直线l 与椭圆C 交于,P Q 两点，1PQF ∆的周长为（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A ,1F 分别是椭圆C 的左顶点、左焦点，直线m 与椭圆C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且11AF M OF N ∠=∠．证明：直线m 过定点，并求出该定点的坐标.】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，由题意，知1224F F c ==，可知2c =，由椭圆的定义知,1PQF ∆的周长为4a =，∴a =24b =∴椭圆C 的方程为22184x y += （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0．设直线:l y kx m =+ 设()()1122,,,M x y N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222124280k x kmx m +++-=,()228840k m ∆=-+>，即22840k m -+>∴122412km x x k +=-+，21222812m x x k -=+，∵111212,22F M F N y y k k x x ==++， ∵M 、N 都x 轴上方．且11AF M OF N ∠=∠，∴11F M F N k k =-，∴121222y y x x =-++，即()()122122y x y x +=-+,代入1122,y kx m y kx m =+=+ 整理可得()()12122240kx x k m x x m ++++=，2121222284,1212m kmx x x x k k -=+=-++ 即222241684840km k k m km k m m ---++=，整理可得4m k =， ∴直线l ()44y kx m kx k k x =+=+=+，∴直线l 过定点()4,0-3已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 、Q 、R分别是椭圆C 的上、右、左顶点，且3PQ PR ⋅=-，点S 是2PF 的中点，且1OS =. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点()1,0T -的直线与椭圆C 相交于点M 、N ，若QMN △的面积是125，求直线MN 的方程.解：（Ⅰ）由题意知(),PQ a b =-，(),PR a b =--，∴223PQ PR a b ⋅=-+=-， ∵点S 是2PF 的中点，且1OS =，∴211122OS PF a ===，∴2a =，1b =， 故所求椭圆方程为2214x y +=.（Ⅱ）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN ：1x ty =-，联立方程组22114x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()224230t y ty +--=， ∴12224t y y t +=+，12234y y t=-+，12y y -==24t =+，∴1211123225QMNS TQ y y =⋅⋅-=⨯=△， ∴1t =±.∴直线MN 的方程为1y x =+或1y x =--.（解法2：求出弦长12N M y =-=点Q 到直线MN 的距离d =11225QMNS MN d ===△， ∴1t =±.∴直线MN 的方程为1y x =+或1y x =--.4如图，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>内切于矩形ABCD ，其中AB ，CD 与x 轴平行，直线AC ，BD 的斜率之积为12-，椭圆的焦距为2.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）椭圆上的点P ，Q 满足直线OP ，OQ 的斜率之积为12-，其中O 为坐标原点.若M 为线段PQ 的中点，则22MO MQ +是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，说明理由. 【小问1详解】由题意，1c =，则()()()(),,,,,,,A a b B a b C a b D a b ----，所以22AC b bk a a==，22BDb b k a a ==--，所以B AC D k k ⋅=2212b a -=-，解得：a =1=，（椭圆的标准方程为2212x y +=.【小问2详解】（方法一）设()11,P x y ，()22,Q x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭. 设直线PQ ：y kx t =+，由2212y kx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：()222124220k x ktx t +++-=， 12221224122212kt x x k t x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由12OP OQ k k ⋅=-，得()()2212121212212220x x y y k x x kt x x t +=++++=，代入化简得：22212t k =+.（22221212121211222222x x y y x x y y x MO M y Q ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+2222121222x x y y ++=+， 又点P ，Q 在椭圆上，（221112x y +=，222212x y +=，即22221212142x x y y +++=，（()222221212122242222222kt t x x x x x x t t --⎛⎫+=+-=-⋅= ⎪⎝⎭， （2212142x x +=.（2222222212121234242x x y y x x MO MQ ⎛⎫++++=++= ⎪⎝⎭.即2232MO MQ +=为定值. （方法二）由P ，Q 是椭圆C 上的点，可得221122222222x y x y ⎧+=⎨+=⎩， 把12122x x y y =-代入上式，化简22122x y =，得22121y y +=，22122x x +=， ()22221222121322x x y y MO MQ ++==++. 5已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的中心是坐标原点O ，左右焦点分别为12,F F ，设P 是椭圆C 上一点，满足2PF x ⊥轴，212PF =，椭圆C的离心率为2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 左焦点1F 且不与x 轴重合的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求2ABF 内切圆半径的最大值.【小问1详解】以2214x y +=．【小问2详解】解：由（1）可知()1F ，222112248ABF CAB AF BF AF BF AF BF a =++=+++==，设直线l为x my =-2214x my x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()22410m y +--=，设()11,A x y ，()22,B x y，则1224y y m +=+，12214y y m -=+ 所以1224y y m -===+所以2121212ABF SF F y y =⋅-=，令内切圆的半径为R ，则2182ABF SR =⨯⨯，即24R m =+，令t =，则12t R t==≤=+，当且仅当3t t=，t =，即m =时等号成立，所以当m =R 取得最大值12； 6已知直线220x y 经过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线,AS BS 与直线10:3l x =分别交于,M N 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）求线段MN 的长度的最小值；（3）当线段MN 的长度最小时，在椭圆C 上是否存在这样的点T ，使得TSB △的面积为15，若存在，确定点T 的个数，若不存在，说明理由．【小问1详解】220x y ，令0x =得：1y =，令0y =得：2x =-，所以椭圆C 的左顶点为()2,0A -，上顶点为()0,1D ，所以2,1a b ==，故椭圆方程为2214x y +=.【小问2详解】直线AS 的斜率k 显然存在，且k >0，故可设直线AS 的方程为()2y k x =+，从而1016,33k M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()22214y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，联立得：()222214161640k x k x k +++-=，设()11,S x y ，则212164214k x k --=+，解得：2122814k x k -=+，从而12414k y k =+，即222284,1414k k S k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，又()2,0B ，由()124103y x k x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：13103y kx ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以101,33N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故16133k MN k =+，又0k >，所以1618333k MN k =+≥=，当且仅当16133k k =即14k =时等号成立，故线段MN 的长度的最小值为83.【小问3详解】由第二问得：14k =，此时64,55S ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故5SB ==， 要使椭圆C 上存在点T ，使得TSB △的面积等于15，只须T 到直线BS的距离等于24S SB =．其中直线SB ：4056225y x -=--，即20x y +-=，设平行于AB 的直线为0x y t ++=4=解得：32t =-或52t =-，当32t =-时，302x y +-=，联立椭圆方程2214x y +=得：275304y y --=，由9350∆=+>得：302x y +-=与椭圆方程有两个交点；当52t =-时，502x y +-=，联立椭圆方程2214x y +=得：295504y y -+=，由25450∆=-<，此时直线与椭圆方程无交点，综上：点T 的个数为2．满足题意. 所以原题得证，即直线2l 过定点10,03⎛⎫- ⎪⎝⎭7己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为,A B ，点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭该椭圆上，且该椭圆的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于,M N 两点，记直线AM 的斜率为k ，直线BN 的斜率为2k ，直线AN 的斜率3k ，求证：_____________.在以下三个结论中选择一个填在横线处进行证明. （直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上；（1213k k =； （1314k k =-..解（因为抛物线24y x =的焦点为(1,0).所以椭圆的右焦点用(1,0)又点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在该椭圆上，所以221914a b += 又22221a b c b =+=+，所以224,3a b ==椭圆C 的标准方程为22143x y +=（2）选（设()()1122,,,M x y N x y 22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 联立得：()22223484120k x k x k +-+-=法一：直线11(2),(2)y k x y k x =+=+的交点的横坐标为()12212k k x k k +=-()2121212122212112162442233422481234234k x k k x x x x k x k k k x x x k --+-++==⋅=⋅=--+--+所以直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上法二：要证直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上，即()122124k k k k +=-，即证1213k k =即证12121232y y x x =+-，即证2212121292y y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭，即证1212221292x x x x -+=+- 即证()12122580x x x x -++=因为()2212122282482585803434k k x x x x k k ⎛⎫--++=-+= ⎪++⎝⎭所以直线AM 与BN 的交点在定直线4x =上.选（设()()1122,,,M x y N x y ，22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：()22223484120k x k x k +-+-=所以221212228412,3434k k x x x x k k -+==++ 法一：()()()()()()1212112122121212122122222122y x x x k x x x x k x y x x x x x x -----+===++--+- 222112212222221122412846223434134121834128322343434k k k x x x k k k k k k x x x k k k ⎛⎫-----+ ⎪-++⎝⎭+===-⎛⎫---+-- ⎪+++⎝⎭法二：()()12121222y x k k x y -=+ 所以()()()()()()()()222121212121222121212122222422242y x x x x x x x k k x x x x x x x y ----++⎛⎫=== ⎪++++++⎝⎭22222222224121644134344121636943434k k k k k k k k k k--+++===-++++因为12,k k 也同号，所以1213k k =法三：要证1213k k =，即证12121232y y x x =+-，即证2212121292y y x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭即证1212221292x x x x -+=+-，即证()12122580x x x x -++= 因为()2212122282482585803434k k x x x x k k ⎛⎫--++=-+= ⎪++⎝⎭ 所以1213k k =法四：由122(2)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222111341616120k x k x k +++-=得21122116812,3434k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭ 同理22222228612,3434k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 因为,,M N F 为三点共线，所以12221222122212121234346886113434k k k k k k k k -++=----++即()()12214330k k k k +-= 因为12,k k 同号，所以1213k k = 选（设()()1122,,,M x y N x y ，22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩联立得：()22223484120k x k x k +-+-=所以221212228412,3434k k x x x x k k -+==++.()()21212121312121212224k x x x x y y k k x x x x x x ⎡⎤-++⎣⎦=⋅=+++++ ()2222222222222222412814128343434141241216121641634434k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫--+ ⎪--++++⎝⎭===---+++++++.所以1314k k =-8设椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为A ，B ，AB 4=．过点(0,1)E ，且斜率为k 的直线l 与x 轴相交于点F ，与椭圆相交于C ，D 两点．（1）求椭圆的方程； （2）若FC DE =，求k 的值；（3）是否存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD ？证明你的结论． 【小问1详解】由题意22224b c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪-=⎪⎩，解得2a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩22164x y +=； 【小问2详解】由题意知，0k ≠，直线l 的方程为1y kx =+，则1(,0)F k -，联立221641x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，可得()2223690k x kx ++-=，()223636230k k ∆=++>，设1122(,),(,)C x y D x y ，有12122269,2323k x x x x k k --+==++，则CD 中点横坐标为1223223x x kk+-=+， 又,(0,1),1(0)F k E -，则EF 中点横坐标为12k-，又因为FC DE =，且,,,C E F D 四点共线，取EF 中点H ，则FH HE =，所以H F HE C DE F =--，即HC DH =，所以H 是CD 的中点，即,CD EF 的中点重合，即231232k k k -=-+，解得k = 【小问3详解】不存在实数k ，使直线AC 平行于直线BD ，证明如下：由题意，(0,2),(0,2)A B -，则()()1122,2,,2AC x y BD x y =-=+，若AC BD ，则AC BD ∥，所以()()122122x y x y +=-，即()12211220x y x y x x -++=，即()()()1221121120x kx x kx x x +-+++=， 化简得()121220x x x x -++=，213x x =-，由（2）得，12112266,32323k k x x x x k k --+=-=++，解得12323kx k=+， ()12112299,32323x x x x k k --=⋅-=++解得212323x k =+，所以222332323k k k ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，整理得22233k k +=，无解，所以不存实数k ，使直线AC 平行于直线BD .9已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且不与x 轴垂直的动直线l 与椭圆交于,M N 两点，点P 是椭圆C 右准线上一点，连结,PM PN ，当点P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =.（1）求椭圆C 的离心率；（2）当点P 的坐标为(2,1)时，求直线PM 与直线PN 的斜率之和. 【详解】解（1）由已知当P 为右准线与x 轴交点时，有2122PF F F =∴222a c c c ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴222c a =∴212e =又(0,1)e ∈，∴2e =. （2）∵(2,1)P ，∴22a c =又222a c =，∴2221a c ⎧=⎨=⎩，∴21b =∴椭圆22:12x C y +=.设直线l ：(1)y k x =-，()()1122,,,M x y N x y联立22(1)22y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得()2222124220k x k x k +-+-= 则22121222422,1212k k x x x x k k-+==++， ∴()()121212121111112222PM PN k x k x y y k k x x x x ------++=+----=()()1212212122k x k k x k x x --+--+=+--121211112(1)2222k k k k k k x x x x ⎛⎫--=+++=+-+ ⎪----⎝⎭()()121242(1)22x x k k x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪--⎝⎭()12121242(1)24x x k k x x x x ⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪-++⎝⎭将22121222422,1212k k x x x x k k-+==++代入得 ()12121242(1)2(1)(2)224PM PN x x k k k k k k x x x x ⎛⎫+-+=+-=+-⨯-= ⎪ ⎪-++⎝⎭.∴直线PM 与直线PN 的斜率之和为2.10已知椭圆22143x y +=，动直线l 与椭圆交于B ，C 两点（B 在第一象限）． （1）若点B 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，求△OBC 面积的最大值；（2）设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），且3y 1+y 2=0，求当△OBC 面积最大时，直线l 的方程． 【小问1详解】 直线OB 的方程为32y x =，即3x -2y =0，设过点C 且平行于OB 的直线l '的方程为32y x b =+， 则当l '与椭圆只有一个公共点时，△OBC 的面积最大．联立221,433,2x y y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并整理，得3x 2+3bx +b 2-3=0，此时Δ=9b 2-12（b 2-3），令Δ=0，解得b =±当b =C ⎛ ⎝⎭；当b =-时，C ⎭，∴ △OBC=． 【小问2详解】显然可知直线l 与y 轴不垂直，设直线l 的方程为x =my +n ，联立221,43,x y x my n ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理，得（3m 2+4）y 2+6mnx +3n 2-12=0， ∴12221226,34312,34nm y y m n y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩∵ 3y 1+y 2=0，∴ 1222123,344,34nm y m n y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩ 从而()222222943434n m n m m -=++，即2223431m n m +=+， ∴21212216||6||||2||23431OBCm n m Sn y y n y m m =⋅-=⋅==++． ∵ B 在第一象限，∴ 21123034m nx my n n m =+=+>+，∴ n ＞0．∵ y 1＞0，∴ m ＞0，∴2661313OBCm Sm m m==≤=++当且仅当31m m =，即m =时取等号），此时2n =，∴ 直线l的方程为x y =+，即20y -=．11椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点为1F ，2F ，过椭圆右焦点2F 的直线l和椭圆C 相交于E 、F 两点，1EFF △的周长为8，若P 是椭圆上一个动点，且12PF PF ⋅的最大值为3． （1）求椭圆C 的方程；（2）四边形MNAB 的四个顶点均在椭圆C 上，且//MB NA ，MB x ⊥轴，若直线MN 和直线AB 交于点()4,0S ，问：四边形MNAB 的对角线交点D 是否是定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【详解】（1）解：1EFF △的周长为48a =∴2a =，令222c a b =-设()00,p x y ，1(,0)F c -，2(,0)F c()()20000,,PF PF c x y c x y ⋅=---⋅--2220x c y =-+2222021b x b c a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭当220x a =时，()22212max3PF PF a c b ⋅=-==∴21c =，∴23b =∴方程为22143x y += （2）解：设 :AM y kx b =+（k 一定存在） 与椭圆联知：()2223484120kxkbx b +++-=设()11,A x y ，()22,M x y ，()11,N x y -，()22,B x y -，122834kb x x k +=-+，212241234b x x k -=+ ，∵M 、N 、S 共线∴2121044y y x x +=-- 得()12122(4)80kx x b k x x b +-+-=，即()222412824803434b kb k b k b k k--⋅+-⋅-=++， 整理可得0k b +=∴:(1)AM y k x =-过点()1,0Q 下证：BN 也过()1,0Q 212111BQ NQ y y k k x x -=---()()()()()()2112211111011k x x k x x x x ----=--=-∴BN 和AM 相交于()1,0()1,0即为定点D .。
高中数学必修2椭圆常见题型与典型方法归纳
椭圆常见题型与典型方法归纳考点一 椭圆的定义椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数 1.22(2)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆.这两定点12,F F 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(0<e<1)的动点M 的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e 是椭圆的离心率.注意：当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F =的点的轨迹是线段12FF ; 当平面内与两个定点12,F F 距离的和等于常数 1.22(2)a a F F <的点的轨迹不存在. 例 动点P 到两个定点1F （- 4，0）、2F （4，0）的距离之和为8，则P 点的轨迹为 （ ） A 、椭圆 B 、线段12,F F C 、直线12,F F D 、不能确定考点二 椭圆的标准方程一 标准方程1焦点在x 轴上 标准方程是：22221x y a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(,0),(,0)c c -2焦点在y 轴上 标准方程是：22221y x a b +=（其中222,0).b a c a b =->>焦点的坐标分别为(0,),(0,)c c -3焦点位置判断 哪项分母大焦点就在相应的轴上 如 求22179x y +=的焦点坐标 4 椭圆过两定点，焦点位置不确定时可设椭圆方程为221mx ny +=（其中0,0m n >>）例 已知椭圆过两点1),(2)A B -，求椭圆标准方程5 与12222=+b y a x （a ＞b ＞0）共焦点的椭圆为12222=+++kb y k a x二 重难点问题探析: 1.要有用定义的意识例 已知12,F F 为椭圆221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点若2212F A F B += 则AB =________。
高中数学-椭圆-超经典-知识点+典型例题讲解精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版学生姓名 性别 男 年级 高二 学科 数学 授课教师 上课时间２0１４年12月１3日 第( )次课 共( ）次课课时: 课时教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修2-1椭圆知识点一：椭圆的定义ﻫ 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(）,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点,两焦点的距离叫作椭圆的焦距.ﻫ 注意：若,则动点的轨迹为线段;若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义 1.方程()()10222222=++++-y x y x 化简的结果是2.若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -,ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是3.已知椭圆22169x y ＋＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则P 到另一焦点距离为知识点二:椭圆的标准方程ﻫ １.当焦点在轴上时,椭圆的标准方程：,其中；2．当焦点在轴上时,椭圆的标准方程:，其中;注意:ﻫ １.只有当椭圆的中心为坐标原点,对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到椭圆的标准方程；ﻫ 2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；ﻫ ３．椭圆的焦点总在长轴上．当焦点在轴上时,椭圆的焦点坐标为,;当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二．利用标准方程确定参数1.若方程25x k -+23y k -=１（１）表示圆，则实数ｋ的取值是 .(2)表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围是 . (3)表示焦点在y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ． (4)表示椭圆，则实数ｋ的取值范围是 ．2.椭圆22425100x y +=的长轴长等于 ,短轴长等于 ， 顶点坐标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是 ,离心率等于 ，３.椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。
4．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
讲练结合三.待定系数法求椭圆标准方程1.若椭圆经过点(4,0)-,(0,3)-，则该椭圆的标准方程为 。
高中数学平面解析几何2.5.2.2椭圆方程及性质的应用学案含解析
第2课时 椭圆方程及性质的应用必备知识·自主学习导思 1.直线与椭圆的位置关系有哪些？ 2．弦长公式是什么？设P(x 0，y 0)，椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)，则点P 与椭圆的位置关系如表所示：位置关系 满足条件 P 在椭圆外 x 20 a 2 ＋y 20 b 2 >1 P 在椭圆上 x 20 a 2 ＋y 20 b 2 ＝1 P 在椭圆内x 20 a 2 ＋y 20 b 2<1判断直线和椭圆位置关系的方法直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的位置关系的判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1， 消去y ，得关于x 的一元二次方程．当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交； 当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切； 当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离． 3．弦长公式设直线l ：y ＝kx ＋m(k≠0，m 为常数)与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)相交，两个交点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).弦长公式①：|AB|＝1＋k 2 ·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ． 弦长公式②：|AB|＝1＋1k2 ·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2 ．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( ) (2)直线x 2 －y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5 .( )(3)已知椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)与点P(b ，0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( )(4)直线y ＝k(x －a)(k≠0)与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1的位置关系是相交．( )提示：(1)√.根据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．(2)√.由x 2 －y ＝1得y ＝x 2 －1，代入x 24 ＋y 2＝1，解得两交点坐标A(0，－1)，B(2，0).|AB|＝（0－2）2＋（－1－0）2 ＝ 5 .(3)×.因为P(b ，0)在椭圆内部，过点P 作不出椭圆的切线．(4)√.直线y ＝k(x －a)(k≠0)过点(a ，0)且斜率存在，所以直线y ＝k(x －a)与椭圆x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1的位置关系是相交．2．直线y ＝kx －k ＋1(k≠0)与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【解析】选A.直线y ＝kx －k ＋1＝k(x －1)＋1(k≠0)过定点(1，1)，且该点在椭圆内部，因此直线必与椭圆相交．3．(2020·沈阳高二检测)椭圆ax 2＋by 2＝1()a>0，b>0 与直线y ＝1－x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32 ，则ba的值为( ) A ．33 B ．233 C ．932 D ．2327【解析】()x 1，y 1 ，B ()x 2，y 2 ，由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1y ＝1－x 得()a ＋b x 2－2bx ＋b －1＝0， 则x 1＋x 2＝2b a ＋b .设线段AB 的中点为C ，则x C ＝b a ＋b .将x C ＝b a ＋b 代入y ＝1－x 得到y C ＝aa ＋b.因为k OC ＝aa ＋b b a ＋b＝a b ＝32 ，故b a ＝233 .4．(教材二次开发：习题改编)椭圆x 216 ＋y 24 ＝1上的点到直线x ＋2y － 2 ＝0的最大距离是________．【解析】设直线x ＋2y ＋c ＝0与椭圆x 216 ＋y 24＝1相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋c ＝0，x 216＋y 24＝1，消去x 整理得8y 2＋4cy ＋c 2－16＝0.由Δ＝16(32－c 2)＝0得c ＝±4 2 ．当c ＝4 2 时，符合题意(c ＝－4 2 舍去).即x ＋2y ＋4 2 ＝0与椭圆x 216 ＋y 24 ＝1相切，椭圆x 216 ＋y 24 ＝1上的点到直线x ＋2y － 2 ＝0的最大距离即为两条平行线之间的距离d ＝|－2－42|12＋22 ＝10 .答案：10关键能力·合作学习类型一 直线与椭圆的位置关系(数学运算) 【典例】1.若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( ) A ．2个 B ．至多一个 C ．1个 D ．0个2．已知椭圆E ：x 28 ＋y 24 ＝1，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆E 有两个公共点，则实数m 的取值范围是__________． 【解析】4m 2＋n 2＞2，所以m 2＋n 2<4.所以－2<m<2，－2<n<2.所以点P(m ，n)在椭圆x 29 ＋y 24 ＝1内，故过点P(m ，n)的直线与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1有2个交点．2．由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ， 消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.因为直线l 与椭圆E 有两个公共点， 所以Δ＝16m 2－12(2m 2－8)>0， 解得－2 3 ＜m ＜2 3 ，所以实数m 的取值范围是(－2 3 ，2 3 ). 答案：(－2 3 ，2 3 )直线与椭圆位置关系的判断方法【补偿训练】在平面直角坐标系Oxy 中，经过点(0， 2 )且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22 ＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q ，求k 的取值范围．【解析】由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋ 2 ，代入椭圆方程得x 22 ＋(kx ＋ 2 )2＝1，整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2 x 2＋2 2 kx ＋1＝0， 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2 ＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22 或k ＞22， 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22 ∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ . 类型二 弦长及中点弦问题(数学运算)【典例】过椭圆x 216 ＋y 24 ＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被M 点平分．(1)求此弦所在的直线方程． (2)求此弦长．【思路导引】(1)方法一：联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解． 方法二：点差法(2)设弦的两端点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，利用弦长公式求解．【解析】(1)方法一：设所求直线方程为y －1＝k(x －2).代入椭圆方程并整理， 得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k)x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1，x 2是方程的两个根， 于是x 1＋x 2＝8（2k 2－k ）4k 2＋1.又M 为AB 的中点，所以x 1＋x 22 ＝4（2k 2－k ）4k 2＋1 ＝2，解得k ＝－12 .故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法二：设直线与椭圆的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 又M(2，1)为AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A ，B 两点在椭圆上，则x 21 ＋4y 21 ＝16，x 22 ＋4y 22 ＝16. 两式相减得(x 21 －x 22 )＋4(y 21 －y 22 )＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.所以y 1－y 2x 1－x 2 ＝－x 1＋x 24（y 1＋y 2） ＝－12 ，即k AB ＝－12 .又直线AB 过点M(2，1)， 故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.(2)设弦的两端点分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，得x 2－4x ＝0， 所以x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝0， 所以|AB|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋⎝⎛⎭⎫－122·42－4×0 ＝2 5 .直线被椭圆截得的弦长的求法思路 (1)求两交点坐标，转化为两点间距离． (2)用公式来求．设直线斜率为k ，直线与椭圆两交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝1＋k 2 ·|x 1－x 2|＝1＋1k2 ·|y 1－y 2|. 提醒：在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0.已知动点P 与平面上两定点A(－ 2 ，0)，B( 2 ，0)连线的斜率的积为定值－12 .(1)试求动点P 的轨迹方程C ；(2)设直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 交于M ，N 两点，当|MN|＝423时，求直线l 的方程． 【解析】(1)设动点P 的坐标是(x ，y)，由题意得，k PA ·k PB ＝－12 .所以y x ＋2 ·y x －2 ＝－12 ，化简整理得x 22＋y 2＝1.故P 点的轨迹方程C 是x 22 ＋y 2＝1(x≠± 2 ).(2)设直线l 与曲线C 的交点M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0.所以x 1＋x 2＝－4k1＋2k 2 ，x 1·x 2＝0.|MN|＝1＋k 2 ·（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2 ＝423，整理得k 4＋k 2－2＝0， 解得k 2＝1或k 2＝－2(舍). 所以k ＝±1，经检验符合题意． 所以直线l 的方程是y ＝±x ＋1， 即x －y ＋1＝0或x ＋y －1＝0.类型三 与椭圆有关的综合问题(逻辑推理、数学运算)【典例】已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，且△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形． (1)求椭圆E 的方程；(2)若直线l ：y ＝－x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴相切，求m 的值． 【思路导引】(1)根据已知条件求出a ，b ，从而得到椭圆方程． (2)依据以AB 为直径的圆的圆心到y 轴的距离等于半径，列方程求m. 【解析】(1)由题意可得M(0，b)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由△MF 1F 2为面积是1的等腰直角三角形得12 a 2＝1，b ＝c ，且a 2－b 2＝c 2，解得b ＝c ＝1，a＝ 2 ，则椭圆E 的方程为x 22 ＋y 2＝1.(2)设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，－x ＋m ＝y ⇒3x 2－4mx ＋2m 2－2＝0，有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＞0， 即－ 3 ＜m ＜ 3 ，x 1＋x 2＝4m3 ，x 1x 2＝2m 2－23 ，可得AB 中点横坐标为2m3 ，|AB|＝1＋1 ·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝ 2 ·16m 29－8m 2－83 ＝433－m 2 ，以AB 为直径的圆与y 轴相切， 可得半径r ＝12 |AB|＝2|m|3 ，即233－m 2 ＝2|m|3，解得m ＝±62 ∈(－ 3 ， 3 )，则m 的值为±62.解决直线和椭圆综合问题的注意点(1)根据条件设出合适的直线的方程，当不知直线是否有斜率时需要分两种情况讨论． (2)在具体求解时，常采用设而不求、整体代换的方法，可使运算简单．(3)不要忽视判别式的作用，在解题中判别式起到了限制参数范围的作用，这一点容易忽视． 【补偿训练】已知椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线l ：y ＝ 3 x 与椭圆C 相交于A ，B两点(A 在B 上方)，若AF ⊥BF ，则椭圆C 的离心率为________．【解析】由椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，直线l ：y ＝ 3 x 与椭圆C 相交于A ，B 两点，AF ⊥BF ，可知三角形OAF 是正三角形，A ⎝⎛⎭⎫12c ，32c ，所以|FB|＝ 3 c ，由椭圆的定义可得 3 c ＋c ＝2a ， 可得e ＝c a ＝23＋1 ＝ 3 －1.答案： 3 －1备选类型 椭圆方程及其性质的综合应用(逻辑推理、数学运算)【典例】如图所示，已知椭圆E ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)过点(0， 2 )，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【思路导引】(1)由椭圆经过的一点及离心率公式，再结合a 2＝b 2＋c 2即可求出a ，b ，c 的值，从而可得椭圆E 的方程．(2)方法一：判断点与圆的位置关系，只需把点G 与圆心的距离d 与圆的半径r 进行比较，若d>r ，则点G 在圆外；若d ＝r ，则点G 在圆上；若d<r ，则点G 在圆内．方法二：只需判断GA → ·GB → 的符号，若GA → ·GB → ＝0，则点G 在圆上；若GA → ·GB →>0，则点G 在圆外；若GA → ·GB → <0，则点G 在圆内．【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，c ＝2．所以椭圆E 的方程为x 24 ＋y 22＝1.(2)方法一：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点为H(x 0，y 0).由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝m m 2＋2.所以|GH|2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋94 2＋y 20 ＝⎝⎛⎭⎫my 0＋54 2＋y 20 ＝(m 2＋1)y 20 ＋52 my 0＋2516 .|AB|24 ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20 －y 1y 2)， 故|GH|2－|AB|24 ＝52 my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516 ＝5m 22（m 2＋2） －3（1＋m 2）m 2＋2 ＋2516 ＝17m 2＋216（m 2＋2）>0，所以|GH|>|AB|2 ， 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0 在以线段AB 为直径的圆外． 方法二：设点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则GA → ＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94，y 1 ，GB →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋94，y 2 . 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA → ·GB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94 ⎝⎛⎭⎫x 2＋94 ＋y 1y 2＝ ⎝⎛⎭⎫my 1＋54 ⎝⎛⎭⎫my 2＋54 ＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋54 m(y 1＋y 2)＋2516＝－3（m 2＋1）m 2＋2＋52m 2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）>0，所以cos 〈GA → ，GB →〉>0.又GA → ，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角． 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0 在以线段AB 为直径的圆外．解决与椭圆有关的综合问题的思路直线与椭圆的综合问题常与不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等知识联系在一起综合考查，解决这类问题常需要挖掘出题目中隐含的数量关系、垂直关系等，然后利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式进行合理的转化，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．椭圆的两个焦点坐标分别为F 1(－ 3 ，0)和F 2( 3 ，0)，且椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，－32 . (1)求椭圆方程；(2)过点⎝⎛⎭⎫－65，0 作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M ，N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 【解析】(1)由题意设椭圆方程为x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a>b>0)，将c ＝ 3，a 2＝b 2＋c 2，代入椭圆方程得x 2b 2＋3 ＋y 2b 2 ＝1， 又因为椭圆过点⎝⎛⎭⎫1，－32 ，得1b 2＋3 ＋34b 2 ＝1，解得b 2＝1，所以a 2x 24＋y 2＝1.(2)设直线MN 的方程为x ＝ky －65，联立直线MN 和椭圆的方程⎩⎨⎧x ＝ky －65，x24＋y 2＝1，得(k 2＋4)y 2－125 ky －6425＝0，设M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，A(－2，0)，y 1y 2＝－6425（k 2＋4） ，y 1＋y 2＝12k 5（k 2＋4），则AM → ·AN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2)＝(k 2＋1)y 1y 2＋45 k(y 1＋y 2)＋1625 ＝0，所以∠MAN ＝π2.课堂检测·素养达标1．若直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23 ＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m>1B ．m>1且m≠3C ．m>3D ．m>0且m≠3【解析】x 2m ＋y 23＝1中，m>0且m≠3，而直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，化简可得()m ＋3 x 2＋4mx ＋m ＝0， 所以Δ＝()4m 2－4m ()m ＋3 ＝12m ()m －1 >0， 可得m>1或m<0，又因为m>0且m≠3，得m>1且m≠3.2．如果椭圆x 236 ＋y 29 ＝1的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．x －2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x ＋3y －12＝0D ．x ＋2y －8＝0【解析】选D.设这条弦的两端点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，斜率为k ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21 36＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减再变形得x 1＋x 236 ＋k y 1＋y 29 ＝0.又弦中点为(4，2)，故k ＝－12，故这条弦所在的直线方程为y －2＝－12 (x －4)，整理得x ＋2y －8＝0.3．过椭圆x 225 ＋y 29＝1的左焦点且斜率为1的弦AB 的长是____．【解析】椭圆的左焦点为(－4，0)，由⎩⎨⎧y ＝x ＋4，x 225＋y 29＝1，得34x 2＋200x ＋175＝0， 所以x 1＋x 2＝－20034 ，x 1x 2＝17534 .所以|AB|＝ 2 ×（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝ 2 ×⎝⎛⎭⎫－200342－4×17534 ＝9017. 答案：90174．已知椭圆x 2a 2 ＋y 22 ＝1(a ＞ 2 )的左、右焦点分别为F 1，F 2.过左焦点F 1作斜率为－2的直线与椭圆交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为14 ，则a 的值是________．【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，P(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21 b 2＝1，x 22 a 2＋y 22 b 2＝1，两式相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2 ＝－（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2 ，所以x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－a 2b 2 ·y 1－y 2x 1－x 2，所以x 0y 0 ＝2a 2b 2 ＝4，所以a 2＝2b 2＝4， 所以a ＝2. 答案：25．(2020·南昌高二检测)已知直线y ＝kx －1与焦点在x 轴上的椭圆C ：x 24 ＋y 2b 2 ＝1(b>0)总有公共点，则椭圆C 的离心率取值范围是________． 【解析】因为椭圆焦点在x 轴上，所以b 2<4， 因为b>0，所以0<b<2；因为直线y ＝kx －1与椭圆总有公共点， 所以04 ＋（－1）2b 2 ≤1，因为b>0，所以b≥1， 综上1≤b<2，e ＝c a ＝1－b 2a2 ＝1－b 24 ∈⎝⎛⎦⎤0，32 .答案：⎝⎛⎦⎤0，32。
高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)
圆锥曲线第1讲 椭圆【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（212F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离21F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。
具体情形如下：（ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。
注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为aMF MF 221=+（c a 22>，cF F 221=），即2121F F MF MF >+.注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件：aMF MF 221=+千万不可忘记。
2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<<e ）的点的轨迹叫做椭圆。
二、椭圆的标准方程（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222=+b y a x （0>>b a ）； （2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222=+b x a y （0>>b a ）.注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。
长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。
（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。
若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或12222=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为122=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质以标准方程12222=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
高考数学一轮讲义：平面解析几何 椭圆
8．5 椭圆[知识梳理] 1．椭圆的定义(1)定义：在平面内到两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)集合语言：P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a ，且2a >|F 1F 2|}，|F 1F 2|＝2c ，其中a >c >0，且a ，c 为常数．注：当2a >|F 1F 2|时，轨迹为椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹为线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质图3．直线与椭圆位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ：(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交； (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切； (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离． 4．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a ，最长为2a . 5．必记结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.[诊断自测]1．概念思辨(1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(选修A1－1P35例3)已知椭圆的方程是x2a2＋y225＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为()A．10 B．20C．241 D．441答案 D解析因为a>5，所以椭圆的焦点在x轴上，所以a2－25＝42，解得a＝41.由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a＝441.故选D.(2)(选修A1－1P42A组T6)已知点P是椭圆x25＋y24＝1上y轴右侧的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，∴P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1. 3．小题热身(1)(2014·大纲卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1答案 A解析 由题意及椭圆的定义知4a ＝43，则a ＝3，又c a ＝c 3＝33，∴c ＝1，∴b 2＝2，∴C 的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.(2)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．答案3－1解析 由已知得直线y ＝3(x ＋c )过M ，F 1两点，所以直线MF 1的斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，则MF 1＝c ，MF 2＝3c ，由点M 在椭圆Γ上知：c ＋3c ＝2a ，故e ＝ca ＝3－1.题型1 椭圆的定义及应用典例1 已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3，则P 到另一个焦点F 2的距离为( )A ．2B ．3C ．5D ．7应用椭圆的定义．答案 D解析 根据椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，得|PF 2|＝7，故选D.[条件探究] 若将典例中的条件改为“F 1，F 2分别为左、右焦点，M 是PF 1的中点，且|OM |＝3”，求点P 到椭圆左焦点的距离？解 由M 为PF 1中点，O 为F 1F 2中点，易得|PF 2|＝6，再利用椭圆定义易知|PF 1|＝4.典例2(2018·漳浦县校级月考)椭圆x 24＋y 2＝1上的一点P 与两焦点F 1，F 2所构成的三角形称为焦点三角形．(1)求PF 1→·PF 2→的最大值与最小值； (2)设∠F 1PF 2＝θ，求证：S △F 1PF 2＝tan θ2.(1)利用向量数量积得到目标函数，利用二次函数求最值；(2)利用余弦定理、面积公式证明．解 (1)设P (x ，y )，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝34x 2－2， ∵x 2∈[0,4]，∴34x 2－2∈[－2,1]． ∴PF 1→·PF 2→的最大值为1，最小值为－2. (2)证明：由椭圆的定义可知||PF 1|＋|PF 2||＝2a ， |F 1F 2|＝2c ，设∠F 1PF 2＝θ， 在△F 1PF 2中，由余弦定理可得： |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ ＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)，可得4c 2＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|(1＋cos θ)⇒|PF 1|·|PF 2|＝2b21＋cos θ，即有△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝b 2·sin θ1＋cos θ＝b 2tan θ2＝tan θ2.方法技巧椭圆定义的应用技巧1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率等．2．通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题．见典例2.冲关针对训练已知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，B 是圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋43y 2＝1解析 如图，由题意知|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|P A |＋|PF |＝2且|P A |＋|PF |>|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.题型2 椭圆的标准方程及应用典例1(2018·湖南岳阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为坐标原点，F 1、F 2为它的两个焦点，离心率为22，过F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为________．在未明确焦点的具体位置时，应分情况讨论．答案 x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1解析 由椭圆的定义及△ABF 2的周长知4a ＝16，则a ＝4，又ca ＝22，所以c ＝22a ＝22，所以b 2＝a 2－c 2＝16－8＝8.当焦点在x 轴上时，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1；当焦点在y 轴上时，椭圆C 的方程为y 216＋x 28＝1.综上可知，椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1或x 28＋y 216＝1.典例2(2017·江西模拟)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2为椭圆的左、右焦点，且焦距为23，O 为坐标原点，点P 为椭圆上一点，|OP |＝24a ，且|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列，求椭圆的方程．用待定系数法，根据已知列出方程组．解 设P (x ，y )，则|OP |2＝x 2＋y 2＝a28，由椭圆定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝4a 2， 又∵|PF 1|，|F 1F 2|，|PF 2|成等比数列， ∴|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2＝4c 2， |PF 1|2＋|PF 2|2＋8c 2＝4a 2，∴(x ＋c )2＋y 2＋(x －c )2＋y 2＋8c 2＝4a 2，整理得x 2＋y 2＋5c 2＝2a 2，即a 28＋5c 2＝2a 2，整理得c 2a 2＝38，又∵2c ＝23，∴c ＝3， ∴a 2＝8，b 2＝5.85方法技巧求椭圆标准方程的步骤1．判断椭圆焦点位置． 2．设出椭圆方程．3．根据已知条件，建立方程(组)求待定系数，注意a 2＝b 2＋c 2的应用．4．根据焦点写出椭圆方程．见典例1,2.提醒：当椭圆焦点位置不明确时，可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，且A ≠B )．可简记为“先定型，再定量”．冲关针对训练已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.P 为椭圆上的一点，PF 1与y 轴相交于M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14，且M 为PF 1的中点，S △PF 1F 2＝32.求椭圆的方程．解 设P (x 0，y 0)∵M 为PF 1的中点，O 为F 1F 2的中点． ∴x 0＝c ，y 0＝12.PF 2∥y 轴，△PF 1F 2是∠PF 2F 1＝90°的直角三角形，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧c 2a 2＋14b 2＝1，12·2c ·12＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.4题型3 椭圆的几何性质典例 F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．由∠F 1PF 2＝90°，求出x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2后，利用x 20∈[0，a 2]求解．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1解析 设P (x 0，y 0)为椭圆上一点，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.PF 1→＝(－c －x 0，－y 0)，PF 2→＝(c －x 0，－y 0)， 若∠F 1PF 2＝90°，则PF 1→·PF 2→＝x 20＋y 20－c 2＝0.∴x 20＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2＝c 2，∴x 20＝a 2(c 2－b 2)c 2. ∵0≤x 20≤a 2，∴0≤c 2－b 2c 2≤1.∴b 2≤c 2，∴a 2≤2c 2，∴22≤e <1.[条件探究] 将典例2中条件“∠F 1PF 2＝90°”改为“∠F 1PF 2为钝角”，求离心率的取值范围．解椭圆上存在点P 使∠F 1PF 2为钝角⇔以原点O 为圆心，以c 为半径的圆与椭圆有四个不同的交点⇔b <c ，如图，由b <c ，得a 2－c 2<c 2，即a 2<2c 2，解得e ＝c a >22，又0<e <1，故椭圆C 的离心率的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 方法技巧求解椭圆离心率(或其范围)常用的方法1．若给定椭圆的方程，则根据椭圆方程确定a 2，b 2，进而求出a ，c 的值，从而利用公式e ＝ca 直接求解．2．若椭圆的方程未知，则根据条件及几何图形建立关于a ，b ，c 的齐次等式(或不等式)，化为关于a ，c 的齐次方程(或不等式)，进而化为关于e 的方程(或不等式)进行求解．见典例.冲关针对训练(2015·重庆高考)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解 (1)由椭圆的定义，有2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2.设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2， 得2c ＝|F 1F 2| ＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)连接QF 1，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|.|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a .由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2， 因此e ＝c a ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝ (2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.题型4 直线与椭圆的综合问题角度1 利用直线与椭圆的位置关系研究椭圆的标准方程及性质典例(2014·全国卷Ⅱ)设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直．直线MF 1与C 的另一个交点为N .(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN |＝5|F 1N |，求a ，b .本题(2)用代入法列出方程，用方程组法求解．解 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ， 2b 2＝3ac .将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12或ca ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，得原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D (0,2)是线段MF 1的中点，故b 2a ＝4，即b 2＝4a .①由|MN |＝5|F 1N |得|DF 1|＝2|F 1N |. 设N (x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎪⎨⎪⎧2(－c －x 1)＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎨⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.②将①及c ＝a 2－b 2代入②得9(a 2－4a )4a 2＋14a ＝1.解得a ＝7，b 2＝4a ＝28，故a ＝7，b ＝27.角度2 利用直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的问题 典例 (2014·全国卷Ⅰ)已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点．当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程．直线与椭圆构成方程组，用设而不求的方法求弦长，再求△OPQ 的面积．解 (1)设F (c,0)，由条件知，2c ＝233，得c ＝ 3. 又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1.故E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)．将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1,2＝8k ±24k 2－34k 2＋1.从而|PQ |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积 S △OPQ ＝12d ·|PQ |＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t >0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0， 所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2.方法技巧直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法1．合理消元，消元时可以选择消去y ，也可以消去x .见角度1典例．2．利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来． 3．构造基本不等式或利用函数知识求最值．见角度2典例． 4．涉及弦中点的问题常用“点差法”解决．冲关针对训练(2015·陕西高考)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．解 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c2＝bca ，由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32. (2)由(1)知，椭圆E 的方程为 x 2＋4y 2＝4b 2.①依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10. 易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－8k (2k ＋1)1＋4k 2，x 1x 2＝4(2k ＋1)2－4b 21＋4k 2.由x 1＋x 2＝－4，得－8k (2k ＋1)1＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2. 于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10(b 2－2).由|AB |＝10，得10(b 2－2)＝10，解得b 2＝3.故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.1.(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23 D.59答案 B解析 ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝5.∴e ＝c a ＝53.故选B.2．(2017·河北衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15 答案 D解析 由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，所以34＋2|PF 1||PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.3．(2018·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线PQ 过原点O 且与直线MN 平行，直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点，则|PQ |2|MN |＝________.答案 2 2解析 解法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN ：x ＝my ＋1，则直线PQ ：x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4).⎩⎨⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2＋2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝－2mm 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎨⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2.∴|PQ |＝1＋m 2|y 3－y 4|＝2 2m 2＋1m 2＋2.故|PQ |2|MN |＝2 2. 解法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b 2a ＝2，|PQ |＝2b ＝2，则|PQ |2|MN |＝2 2.4．(2015·安徽高考)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足|BM |＝2|MA |，直线OM 的斜率为510.(1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧5b 4＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b＝5，解得b ＝3.所以a ＝35， 故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.[重点保分 两级优选练]A 级一、选择题1．(2018·江西五市八校模拟)已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线x 2＋y2m ＝1的焦点坐标为( )A ．(±3，0)B ．(0，±3)C ．(±3，0)或(±5，0)D ．(0，±3)或(±5，0)答案 B解析 因为正数m 是2和8的等比中项，所以m 2＝16，则m ＝4，所以圆锥曲线x 2＋y 2m ＝1即为椭圆x 2＋y 24＝1，易知其焦点坐标为(0，±3)，故选B.2．(2017·湖北荆门一模)已知θ是△ABC 的一个内角，且sin θ＋cos θ＝34，则方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示( )A ．焦点在x 轴上的双曲线B ．焦点在y 轴上的双曲线C ．焦点在x 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的椭圆 答案 D解析 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝916，所以sin θcos θ＝－732＜0，结合θ∈(0，π)，知sin θ>0，cos θ<0，又sin θ＋cos θ＝34＞0，所以sin θ＞－cos θ＞0，故1－cos θ＞1sin θ＞0，因为x 2sin θ－y 2cos θ＝1可化为y 2－1cos θ＋x 21sin θ＝1，所以方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．故选D.3．(2018·湖北八校联考)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.513C.49D.59答案 B解析 由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2.设线段PF 1的中点为M ，则有OM ∥PF 2，∵OM ⊥F 1F 2，∴PF 2⊥F 1F 2，∴|PF 2|＝b 2a ＝53.又∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，∴|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，∴|PF 2||PF 1|＝53×313＝513，故选B.4．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63B.33C.23D.13答案 A解析 由题意知以A 1A 2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a . 又直线bx －ay ＋2ab ＝0与圆相切， ∴圆心到直线的距离d ＝2ab a 2＋b2＝a ，解得a ＝3b ， ∴b a ＝13，∴e ＝ca ＝a 2－b 2a ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝63.故选A. 5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率为( )A.32B.22C.12D.14答案 C解析 因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，所以c 2＝a 2－b 2＝m 2＋n 2.因为c 是a ，m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，所以c 2＝am,2n 2＝2m 2＋c 2，所以m 2＝c 4a 2，n 2＝c 4a 2＋c 22，所以2c 4a 2＋c 22＝c 2，化为c 2a 2＝14，所以e ＝c a ＝12.故选C.6．(2017·荔湾区期末)某宇宙飞船运行的轨道是以地球中心为一焦点的椭圆，测得近地点距地面m 千米，远地点距地面n 千米，地球半径为r 千米，则该飞船运行轨道的短轴长为( )A ．2(m ＋r )(n ＋r )千米 B.(m ＋r )(n ＋r )千米 C ．2mn 千米 D ．mn 千米答案 A解析 ∵某宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆，设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ， 则近地点A 距地心为a －c ，远地点B 距地心为a ＋c . ∴a －c ＝m ＋r ，a ＋c ＝n ＋r ， ∴a ＝m ＋n 2＋r ，c ＝n －m 2.又∵b 2＝a 2－c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 2＋r2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －m 22＝mn ＋(m ＋n )r ＋r 2＝(m ＋r )(n ＋r )．∴b ＝(m ＋r )(n ＋r )，∴短轴长为2b ＝2(m ＋r )(n ＋r )千米，故选A.7．(2017·九江期末)如图，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则该椭圆的离心率为( )A.32B.12C.3－1D.22答案 C解析 连接AF 1，∵F 1F 2是圆O 的直径，∴∠F 1AF 2＝90°， 即F 1A ⊥AF 2，又∵△F 2AB 是等边三角形，F 1F 2⊥AB ， ∴∠AF 2F 1＝12∠AF 2B ＝30°， 因此，在Rt △F 1AF 2中，|F 1F 2|＝2c ， |F 1A |＝12|F 1F 2|＝c ，|F 2A |＝32|F 1F 2|＝3c .根据椭圆的定义，得2a ＝|F 1A |＋|F 2A |＝(1＋3)c ，解得a ＝1＋32c ，∴椭圆的离心率为e ＝ca ＝3－1.故选C.8．(2018·郑州质检)椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝a 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是( )A.55B.655C.855D.455答案 C解析 设椭圆的右焦点为E ，由椭圆的定义知△FMN 的周长为L ＝|MN |＋|MF |＋|NF |＝|MN |＋(25－|ME |)＋(25－|NE |)．因为|ME |＋|NE |≥|MN |，所以|MN |－|ME |－|NE |≤0，当直线MN 过点E 时取等号，所以L ＝45＋|MN |－|ME |－|NE |≤45，即直线x ＝a 过椭圆的右焦点E 时，△FMN 的周长最大，此时S △FMN ＝12×|MN |×|EF |＝12×2×45×2＝855，故选C.9．如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为( )A.12B.22 C.32 D.34答案 C解析 设外层椭圆方程为x 2(ma )2＋y 2(mb )2＝1(a >b >0，m >1)，则切线AC 的方程为y ＝k 1(x －ma )，切线BD 的方程为y ＝k 2x ＋mb ，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1(x －ma )，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 21)x 2－2ma 3k 21x ＋m 2a 4k 21－a 2b 2＝0.因为Δ＝(2ma 3k 21)2－4(b 2＋a 2k 21)(m 2a 4k 21－a 2b 2)＝0，整理，得k 21＝b 2a 2·1m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2x ＋mb ，(bx )2＋(ay )2＝a 2b 2，消去y ，得(b 2＋a 2k 22)x 2＋2a 2mbk 2x ＋a 2m 2b 2－a 2b 2＝0，因为Δ2＝(2a 2mbk 2)2－4×(b 2＋a 2k 22)(a 2m 2b 2－a 2b 2)＝0，整理，得k 22＝b 2a 2·(m 2－1)．所以k 21·k 22＝b 4a 4.因为k 1k 2＝－14，所以b 2a 2＝14，e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以e ＝32，故选C.10．(2018·永康市模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和圆x 2＋y 2＝b 2，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，满足∠APB ＝60°，则椭圆的离心率e 的取值范围是( )A ．0<e ≤32 B.12≤e <1 C.32<e <1 D.32≤e <1答案 D解析 由椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)焦点在x 轴上， 连接OA ，OB ，OP ，依题意，O ，P ，A ，B 四点共圆， ∵∠APB ＝60°，∠APO ＝∠BPO ＝30°， 在直角三角形OAP 中，∠AOP ＝60°， ∴cos ∠AOP ＝b |OP |＝12，∴|OP |＝b12＝2b ，∴b <|OP |≤a ，∴2b ≤a ，∴4b 2≤a 2， 由a 2＝b 2＋c 2，即4(a 2－c 2)≤a 2，∴3a 2≤4c 2，即c 2a 2≥34，∴e ≥32，又0<e <1， ∴32≤e <1，∴椭圆C 的离心率的取值范围是32≤e <1.故选D. 二、填空题11．(2017·湖南东部六校联考)设P ，Q 分别是圆x 2＋(y －1)2＝3和椭圆x 24＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是________．答案 733解析 依据圆的性质可知，P ，Q 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离的最大值加上圆的半径3，设Q (x ，y )，则圆心(0,1)到椭圆上点的距离为d ＝x 2＋(y －1)2＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163，∵－1≤y ≤1，∴当y ＝－13时，d 取最大值433，所以P ，Q 两点间的最大距离为d max ＋3＝733.12．(2018·广州二测)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为________．答案 5x 29＋5y 24＝1解析 设F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎨⎧0＋y 2＝12×1＋x 2，y －0x －1×12＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35，y ＝45，由于椭圆的两个焦点为(－1,0)，(1,0)，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝655，a ＝355，又c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝95－1＝45，所以椭圆C 的方程为x 295＋y 245＝1，即5x 29＋5y 24＝1.13．(2018·江西五市联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 为椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 5，0，则椭圆的离心率e 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，1 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，x 1≠x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－a 52＋y 21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－a 52＋y 22，x 21a 2＋y21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 5(x 1－x 2)＝x 21－x 22＋y 21－y 22，y 21＝b 2－b2a 2x 21，y 22＝b 2－b 2a2x 22，所以2a 5(x 1－x 2)＝a 2－b 2a 2(x 21－x 22)，所以2a 35(a 2－b 2)＝x 1＋x 2.又－a ≤x 1≤a ，－a ≤x 2≤a ，x 1≠x 2，所以－2a <x 1＋x 2<2a ，则2a 35(a 2－b 2)<2a ，即b 2a 2<45，所以e 2>15.又0<e <1，所以55<e <1. 14．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．答案 63解析 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF→＝0， 所以⎝⎛⎭⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2， 所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.B 级三、解答题15．(2018·安徽合肥三校联考)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为22，且椭圆经过圆C ：x 2＋y 2－4x ＋22y ＝0的圆心C .(1)求椭圆的方程；(2)设直线l 过椭圆的焦点且与圆C 相切，求直线l 的方程． 解 (1)圆C 方程化为(x －2)2＋(y ＋2)2＝6， 圆心C (2，－2)，半径r ＝ 6. 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝4.所以所求的椭圆方程是x 28＋y 24＝1.(2)由(1)得椭圆的左、右焦点分别是F 1(－2,0)，F 2 (2,0)， |F 2C |＝(2－2)2＋(0＋2)2＝2<r ＝ 6.F 2在圆C 内，故过F 2没有圆C 的切线，所以直线l 过焦点F 1. 设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0， 点C (2，－2)到直线l 的距离为d ＝|2k ＋2＋2k |1＋k 2， 由d ＝6，得|2k ＋2＋2k |1＋k2＝ 6. 化简，得5k 2＋42k －2＝0，解得k ＝25或k ＝－ 2.故l 的方程为2x －5y ＋22＝0或2x ＋y ＋22＝0.16．(2018·陕西咸阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．求△P AB 面积的最大值．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点P (2,1)， ∴4a 2＋1b 2＝1.∴a 2＝8，b 2＝2. 故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y 22＝1，整理得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0.∵Δ＝4m 2－8m 2＋16>0，解得|m |<2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2).点P 到直线l 的距离d ＝|m |1＋14＝2|m |5. ∴S△P AB＝12d |AB |＝12×2|m |5×5(4－m 2)＝m 2(4－m 2)≤m 2＋4－m 22＝2.而且仅当m 2＝2，即m ＝±2时取得最大值． ∴△P AB 面积的最大值为2.17．(2018·兰州模拟)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，左顶点为A ，左焦点为F 1(－2,0)，点B (2，2)在椭圆C 上，直线y ＝kx (k ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于点M ，N .(1)求椭圆C 的方程；(2)以MN 为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆的左焦点为F 1(－2,0)，∴a 2－b 2＝4. ∵点B (2，2)在椭圆C 上，∴4a 2＋2b 2＝1， 解得a 2＝8，b 2＝4， ∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)依题意点A 的坐标为(－22，0)，设P (x 0，y 0)(不妨设x 0>0)，则Q (－x 0，－y 0)，由⎩⎨⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，得x 0＝221＋2k 2，y 0＝22k1＋2k2， ∴直线AP 的方程为y ＝k1＋1＋2k 2(x ＋22)， 直线AQ 的方程为y ＝k1－1＋2k2(x ＋22)， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1＋1＋2k 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，22k 1－1＋2k 2， ∴|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k 1＋1＋2k2－22k 1－1＋2k 2＝22(1＋2k 2)|k |. 设MN 的中点为E ，则点E 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－2k ， 则以MN 为直径的圆的方程为x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋2k 2＝2(1＋2k 2)k 2，即x 2＋y 2＋22k y ＝4， 令y ＝0得x ＝2或x ＝－2，即以MN 为直径的圆经过两定点P 1(－2,0)，P 2(2,0)．18．(2018·湖南十校联考)如图，设点A ，B 的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为－23.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M ，N 是轨迹C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求证：△MON 的面积为定值．解 (1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得，k AP ·k BP ＝y x ＋3·y x －3＝－23(x ≠±3)， 化简得，点P 的轨迹方程为x 23＋y 22＝1(x ≠±3)．(2)证明：由题意知，M ，N 是椭圆C 上不同于A ，B 的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ，则直线AP ，BP 的斜率必存在且不为0.因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM ·k ON ＝k AP ·k BP ＝－23.设直线MN 的方程为x ＝my ＋t ，代入椭圆方程x 23＋y 22＝1，得(3＋2m 2)y 2＋4mty ＋2t 2－6＝0，①设M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1，y 2是方程①的两根，所以y 1＋y 2＝－4mt 3＋2m 2，y 2y 2＝2t 2－63＋2m 2. 又k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝y 1y 2m 2y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝2t 2－63t 2－6m 2， 所以2t 2－63t 2－6m 2＝－23，即2t 2＝2m 2＋3. 又S △MON ＝12|t ||y 1－y 2|＝12·|t |－24t 2＋48m 2＋723＋2m 2， 所以S △MON ＝26t 24t 2＝62，即△MON 的面积为定值62.。
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圆锥曲线第1讲 椭圆【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（212F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离21F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。
具体情形如下： （ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。
注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为aMF MF 221=+（c a 22>，cF F 221=），即2121F F MF MF >+.注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件：aMF MF 221=+千万不可忘记。
2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<<e ）的点的轨迹叫做椭圆。
二、椭圆的标准方程（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222=+b y a x （0>>b a ）； （2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222=+b x a y （0>>b a ）.注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。
长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。
（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。
若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或12222=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为122=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）.三、椭圆的性质以标准方程12222=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
（1）范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-；（2）对称性：关于x 轴、y 轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）顶点：左右顶点分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ；上下顶点分别为),0(1b B ，),0(2b B -； （4）长轴长为a 2，短轴长为b 2，焦距为c 2；（5）长半轴a 、短半轴b 、半焦距c 之间的关系为222c b a +=；（6）准线方程：c a x 2±=； （7）焦准距：c b 2；（8）离心率：a ce =且10<<e . e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁；（9）焦半径：若),(00y x P 为椭圆12222=+b y a x 在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，有1ex a PF +=，2ex a PF -=；（10）通径长：a b 22.注1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准线的距离。
以椭圆的右焦点)0,(2c F 和右准线l ：c a x 2=为例，可求得其焦准距为c b c c a c ca 2222=-=-. 注2：椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。
椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。
通径是椭圆的所有焦点弦中最短的弦。
设椭圆的方程为12222=+b y a x （0>>b a ），过其焦点)0,(2c F 且垂直于x 轴的直线交该双曲线于A 、B 两点（不妨令点A 在x 轴的上方），则),(2a b c A ，),(2a b c B -，于是该椭圆的通径长为a b a b a b AB 2222)(=--=.四、关于椭圆的标准方程，需要注意的几个问题（1）关于椭圆的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指明曲线的位置特征，并给出了“特征值”（指a 、b 、c 的值或它们之间的关系，由这个关系结合222b ac -=，我们可以确定出a 、b 、c 的值）时，我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程；其二，当题目已给出椭圆的标准方程时，我们便能准确地判断出曲线的位置特征，并能得到a 、b 、c 的值。
（2）椭圆的标准方程中的参数a 、b 、c 是椭圆所固有的，与坐标系的建立无关；a 、b 、c 三者之间的关系：222b a c -=必须牢固掌握。
（3）求椭圆的标准方程，实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数a 、b 。
根据题目已知条件，我们列出以a 、b 为未知参数的两个方程，联立后便可确定出a 、b 的值。
特别需要注意的是：若题目中已经指明椭圆的焦点在x 轴或y 轴上，则以a 、b 为未知参数的方程组只有一个解，即a 、b 只有一个值；若题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上，则以a 、b 为未知参数的方程组应有两个解，即a 、b 应有两个值。
（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为122=+ny mx ，但此时m 、n 必须满足条件：0>m ，0>n ，且n m ≠.五、点与椭圆的位置关系点),(00y x P 与椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的位置关系有以下三种情形：（ⅰ）若122220=+b y a x ，则点),(00y x P 在椭圆上； （ⅱ）若1220220>+b y a x ，则点),(00y x P 在椭圆外；（ⅲ）若1220220<+b y a x ，则点),(00y x P 在椭圆内；【例题选讲】题型1：椭圆定义的应用1. 平面内存在一动点M 到两个定点1F 、2F 的距离之和为常数a 2（212F F a ≥），则点M 的轨迹是（）A. 圆B. 椭圆C. 线段D. 椭圆或线段 解：由题意知，21212F F a MF MF ≥=+（ⅰ）当212F F a >时，点M 的轨迹是椭圆； （ⅱ）当212F F a =时，点M 的轨迹是线段21F F .故点M 的轨迹是椭圆或线段2. 已知圆C ：36)1(22=+-y x ，点)0,1(-A ，M 是圆C 上任意一点，线段AM 的中垂线l 和直线CM 相交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为__________.解：圆C ：36)1(22=+-y x 的圆心坐标为)0,1(C ，半径6=r连接QA ，由l 是直线AM 的中垂线知，QAQM =∴6===+=+r CM QC QM QC QA而2=AC ，∴ACQC QA >+于是点Q 的轨迹是以)0,1(-A ，)0,1(C 为左右焦点的椭圆，其中62=a ，22=c3=⇒a ，1=c ，819222=-=-=c a b又该椭圆的中心为坐标原点故点Q 的轨迹方程为18922=+y x3. 已知点)0,3(A ，点Q 是圆422=+y x 上的一个动点，线段AQ 的垂直平分线交圆的半径OQ 于点P ，当点Q 在圆周上运动时，点P 的轨迹方程为__________.解：圆O ：422=+y x 的圆心坐标为)0,0(O ，半径2=r 连接PA ，由l 是直线AQ 的垂直平分线知，PAPQ =∴2===+=+r OQ PQ PO PA PO而3=OA ，∴OAPA PO >+于是点P 的轨迹是以)0,0(O ，)0,3(A 为左右焦点的椭圆，其中22=a ，32=c1=⇒a ，23=c ，41431222=-=-=c a b又该椭圆的中心为OA 的中点)23,0()23,0(OA故点P 的轨迹方程为141)23(22=+-y x注：本题点P 的轨迹方程虽是椭圆，但该椭圆不关于坐标原点对称，而是关于点)0,23(对称，其方程可由把椭圆14122=+y x 沿x 轴向右平移了23个单位得到。
4. 方程2222222++=+--+y x y x y x 表示的曲线是（）A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 线段解：由2222222++=+--+y x y x y x ，有()1,02222)1()1(22∈=++-+-y x y x这表明，点),(y x P 到定点)1,1(F 的距离与它到定直线l ：02=++y x 的距离之比等于常数22（1220<<）．由椭圆的第二定义知，点),(y x P 的轨迹是椭圆，即方程2222222++=+--+y x y x y x 表示的曲线是椭圆。
5. 椭圆131222=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上。
若线段1PF 的中点在y 轴上，则1PF 是2PF 的（）A. 7倍B. 5倍C. 4倍D. 3倍解：在椭圆131222=+y x 中，9312,3,1222222=-=-===b a c b a 3,3,32===∴c b a于是)0,3(),0,3(21F F -又 线段1PF 的中点在y 轴上，而O 是线段21F F 的中点轴y PF 2∴于是轴x PF ⊥2（法一）在12F PF Rt ∆中，2212221F F PF PF +=36944))((22212121=⨯===-+∴c F F PF PF PF PF又由椭圆的定义，有34322221=⨯==+a PF PF ①33343621==-∴PF PF ②联立①、②得，237233341=+=PF ，23237342=-=PF故72323721==PF PF ，即1PF 是2PF 的7倍。
（法二）2332322===a b PF ，而34322221=⨯==+a PF PF 23723341=-=∴PF故72323721==PF PF ，即1PF 是2PF 的7倍。
6. 设1F 、2F 为椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点。
已知P ，1F ，2F 是一个直角三角形的三个顶点，且21PF PF >，则21PF PF =__________.解：在椭圆14922=+y x 中，549,4,922222=-=-===b a c b a 5,2,3===∴c b a于是)0,5(1-F ，)0,5(2F（ⅰ）当9021=∠PF F 时，2054422212221=⨯===+c F F PF PF又632221=⨯==+a PF PF ①8220362)()(222122121=-=+-+=⋅∴PF PF PF PF PF PF于是484364)()(21221221=⨯-=⋅-+=-PF PF PF PF PF PF又21PF PF > 221=-∴PF PF ②联立①、②得，42261=+=PF ，2462=-=PF于是此时22421==PF PF（ⅱ）当9012=∠F PF 时，2212221F F PF PF +=20544))((22212121=⨯===-+∴c F F PF PF PF PF而632221=⨯==+a PF PF ③31062021==-∴PF PF ④联立③、④得，314628231061==+=PF ，3431462=-=PF于是此时273431421==PF PF故21PF PF 的值为2或27题型2：求椭圆的方程7. （1）若方程13522=-+-k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围是__________；（2）若方程13522=-+-k y k x 表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________； （3）若方程13522=-+-k y k x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________. 解：（1） 方程13522=-+-k y k x 表示椭圆5443350305<<<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≠->->-∴k k k k k k 或故当)5,4()4,3(⋃∈k 时，方程13522=-+-k y k x 表示椭圆。