第二讲：直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)
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a’
X O
作图要点： 1.作出直角三角形： 直角边1=ab, 直角边2=第三坐标差Δz， 倾角=实长与ab夹角。
B0
b a
实长
2016/9/27
35
例8 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的 投影，使BC的实长等于已知长度L。
L AB c
zB-zA
ab
c
2016/9/27 36
例10
方法二：应用定比定理 因 ak/kb不等于a’k’/k’b’， 故点K不在AB上。
21
2016/9/27
例8 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段， 求分点C的投影c、c 。
c
O
c
2016/9/27
22
直线上的特殊点——迹点
迹点：直线与投影面的交点（正面迹点、 水平迹点、侧面迹点）。
b
X
|yA-yB|
a
O
a b
b
AB
a
|yA-yB|
2016/9/27
15
求直线的实长及对侧面投影面的倾角 角
b
B
a
b
b a
A a
|xA-xB|
2016/9/27 16
直角三角形法求线段实长 及线段与投影面的倾角
即：直角三角形的组成:斜边－实长
直角边1－投影,直角边2－坐标差, 投影与实长的夹角－倾角。
n’ a’ b’ X n
作图要点： 1、迹点既是投影面 m’ O 上的点又是直线上的 点，故必同时符合投 影面上点和直线上的 点的投影规律;
m 2、求迹点时，先延
a
M是水平迹点,
N是正面迹点。
b
长投影到投影轴。
两直线的相对位置
空间两直线的相对位置关系分为四种： 平行、相交、交叉、垂直。 ⒈ 两直线平行
2、在其它两个投影面上的投影，反映实长，且垂 b" B b" a" A B a" A 直于相应的投影轴。
正 垂 线
X b
a b YH
9
a'b'
a'
b'
b a
a'b' O Z b" a" YW
侧 垂 线
X
a
Z
b
a'
b'
b" a" YW
O
a
2016/9/27
YH
各种位置直线的投影特性
一般位置直线（投影面倾斜线）
B a(b)
b a(b) YH
1、水平投影积聚为一点（ab积聚成一点） ； 2、在其它两个投影面上的投影反映实长，且分别垂直于 OX轴、OY轴。（ab = ab = AB；a bOX ；a b
OYW ）
2016/9/27 8
垂直线的投影特性： 投影面垂直线
1、在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点； V V
2016/9/27 5
投影面平行线的投影特性：
V
投影面平行线 1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。
a' a" 该投影与投影轴的夹角，反映该直线与其它两投影面的 b' a' A a" 倾角； A b" 2、在其它两投影面上的投影，平行于相应的投影轴， a B a b 侧 且小于实长。 b 水 平 a z 平 Z a b a b 线 线 B b" b'
●
●
●
●
●
Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
例10：过直线CD外一点A，作正平线AB与CD相交。
d' a' c' b’ b1 c1
X
d
b c
O
a
例11 判断两直线的相对位置。
解法一：
z d a o
c b
YW
YH
2016/9/27 29
例11 判断两直线的相对位置
1
解法二：
1
1 d
2016/9/27
c 1
30
例12 判断图中两条直线的空间位置。
c Z c
a
d X
a b d YW
b
O b a
c
d
对于特殊位置直线， 只有两个特殊投影互相平行， 空间直线不一定平行，必须 在直线所平行的投影面内进 行判断。 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。
YH
还可以如何判断？
例13 判断两直线重影点的可见性。
1 3(4)
2
O
4
3
1(2)
32
2016/9/27
例14： 求作水平线L，使其距H面的距离为 15，且与直线AB、CD都相交。
b' l’ a' d'
c'
c
15
X
a l b
O
d
2016/9/27
33
本讲小结——重点掌握
2016/9/27
34
例4：已知直线的投影，求直线的 实长及角。
b’
与三个投影面都倾斜
各种位置直线的投影特性
投影面平行线——
水平线（平行于Ｈ面且…）
正平线（平行于Ｖ面且…） 侧平线（平行于Ｗ面且…）
2016/9/27
4
正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。
Z b a B
实长
b
b
a
a
b
a
A
X
O
YW
正平线的投影特性： 1、正面投影反映直线段的实长。该投影与 OX轴、OZ轴 a b b a 的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。（ a b=AB， YH 反映、角的真实大小）； 2、在H面、W面上的投影，分别平行于OX轴、OZ轴，且 小于实长。 （ab OX ; a b OZ）
例 5： 已知直线的一个投影a’b’及实长，求直线的投影ab。
AB
实长
B0
解题思路及步骤——
b’
1.根据直角三角形的组成，利 用a’b’及实长作直角三角形；
O 2 .求出Y坐标差；
X
a’ a b
3. 利用Y坐标差求ab投影。 思考：若将已知条件实长换 成=30°，则如何解题？
18
2016/9/27
两直线的相对位置
3.两直线交叉：凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
a 1(2 ) 3 4
●
d
两直线相交吗？ 投影特性 （判别方法） ： 为什么？ ★ 同面投影可能相交，但
“交点”不符合空间一个 b 点的投影规律。也可能有 X c O 两对同面投影平行，但第 c 2 b 三对决不会平行。 ★ “交点”是两直线上的一 d a 1 3(4 ) 对重影点的投影，用其可帮 Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 助判断两直线的空间位置。
与三个投影面都倾斜的直线。 b Z
b
a X
a
O
YW
投影特性： 三个投影都是缩短了的倾 斜线段, 都不反映空间线段的 实长及与三个投影面的倾角。
a
b YH
思考：从属于投影面及投影轴的 直线的投影特性是什么？其投影 如何作图？
例1:根据投影图，判断下列直线的空间位置。
a
侧 平 X 线
Z a O
直线上的点
直线上点的投影特性——
从属性：若点在直线上， 则点的投影必在直线的同面 投影上，且符合点的投影规 律。反之，亦然。
V a c
C A
b
B
a
c
b H
定比性：若点在直线上，则点的投影分割线 段的同面投影之比与空间点分割线段之比相 等。反之，亦然。 即AC/CB=ac/cb= ac / cb = ac : c b，利用这一特性，在不作侧面投 影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已 知点是否在侧平线上。
铅 垂 b 线 X a b YW
b
a
b
O YH
c 侧 垂 线 X c
d 水 平 线 Z c X d O YH c d YW
O d
解题要点：1、垂直线用垂直判断；2、平行线用平行判断。
例2：已知AB为水平线，补画a’b’。
b’
解题思路： 熟悉水平线的投 影特性，明确正面投 影平行于投影轴。
b a A B c C c d H d V
投影特性（判别方法）：
1．若空间两直线相互 平行，则其各同面投影必 相互平行；反之，若两直 线的各同面投影相互平行， 则此两直线在空间也一定 相互平行。 2．平行两线段之比等 于其投影之比。
D
a b
例9：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直线，只 要有两个同面投影互相平行， 空间两直线就平行。
a’ X a
O
b
2016/9/27
12
例3:
过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与 H面的倾角=30°。
Z b’ a’
30°
X
O
解题思路：熟悉正平 b” 线的投影特性，并从 反映实长和的投影 入手。 a” YW 作图要点:１．做正 平线的正面投影；
２．过点a做正平线 的水平投影和侧面投 影。
直线对投影面的倾角： 对水平投影面的倾角—— 对正立投影面的倾角—— 对侧立投影面的倾角——
YH
c(d)
各种位置直线的投影特性
直线在三投影面体系中分为：
平行于某一投影面，且 倾斜于另两个投影面
投影面平行线 特殊位置直线
水平线 正平线 侧平线 铅垂线 正垂线 侧垂线
垂直于某一投影面
投影面垂直线 一般位置直线
O
b a X a c c
d
AB//CD
b
d
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25
两直线的相对位置
⒉ 两直线相交
V a
交点是两直 线的共有点
c B X b a d c k b a b
c
k
b d K D d k
k
d O
A a
C
c
投影特性（判别方法）：
H
若空间两直线相交，则其各同面投影必相交，且交 点的投影必符合空间一点的投影规律；反之，亦然。
13
a
b YH
2016/9/27
直角三角形法求线段实长及线段与投影面的倾角
AB
|zA-zB| |zA-zB|
ab
|zA-zB |
AB
2016/9/27
AB
|zA-zB|
求直线AB的实长及其对 水平投影面的倾角 角。
14
ab
求直线的实长及对正面投影面的倾角 角
AB
|yA-yB|
V
b X O YW X a O
b YW
a
b
b
2016/9/27
YH
YH
6
各种位置直线的投影特性
投影面垂直线
铅垂线（垂直于Ｈ面） 正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面）
2016/9/27
7
铅垂线—
a A b
垂直于水平投影面的直线
a Z a
a
b
X O
b
YW
铅垂线的投影特性：
第二章 点、直线、平面的投影
直线的投影 直角三角形法求线段实长及倾角 直线上的点
2016/9/27
两直线的相对位置关系
1
百度文库
直线的投影
a’ 两点决定一条直线。 直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
分别将两点的同名（同面）投影 b’ 用直线连接，就得到直线的投影。 X
Z
a”
b”
a
O YW
a
b
b
例6：判断点C是否在线段AB上。
① a’ X
a c c
b O
②
a’
c
●
b’ b X a O c
●
b
点C在直 线AB上
点C不在直 线AB上
20
2016/9/27
例7：判断点K是否在线段AB上。
a k● b
X a k● b YH
Z a
●
方法一：作出第三投影
k
b
YW
O
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
bc c
ca
c
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X O
作图要点： 1.作出直角三角形： 直角边1=ab, 直角边2=第三坐标差Δz， 倾角=实长与ab夹角。
B0
b a
实长
2016/9/27
35
例8 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的 投影，使BC的实长等于已知长度L。
L AB c
zB-zA
ab
c
2016/9/27 36
例10
方法二：应用定比定理 因 ak/kb不等于a’k’/k’b’， 故点K不在AB上。
21
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例8 已知线段AB的投影图，试将AB分成2﹕1两段， 求分点C的投影c、c 。
c
O
c
2016/9/27
22
直线上的特殊点——迹点
迹点：直线与投影面的交点（正面迹点、 水平迹点、侧面迹点）。
b
X
|yA-yB|
a
O
a b
b
AB
a
|yA-yB|
2016/9/27
15
求直线的实长及对侧面投影面的倾角 角
b
B
a
b
b a
A a
|xA-xB|
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直角三角形法求线段实长 及线段与投影面的倾角
即：直角三角形的组成:斜边－实长
直角边1－投影,直角边2－坐标差, 投影与实长的夹角－倾角。
n’ a’ b’ X n
作图要点： 1、迹点既是投影面 m’ O 上的点又是直线上的 点，故必同时符合投 影面上点和直线上的 点的投影规律;
m 2、求迹点时，先延
a
M是水平迹点,
N是正面迹点。
b
长投影到投影轴。
两直线的相对位置
空间两直线的相对位置关系分为四种： 平行、相交、交叉、垂直。 ⒈ 两直线平行
2、在其它两个投影面上的投影，反映实长，且垂 b" B b" a" A B a" A 直于相应的投影轴。
正 垂 线
X b
a b YH
9
a'b'
a'
b'
b a
a'b' O Z b" a" YW
侧 垂 线
X
a
Z
b
a'
b'
b" a" YW
O
a
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YH
各种位置直线的投影特性
一般位置直线（投影面倾斜线）
B a(b)
b a(b) YH
1、水平投影积聚为一点（ab积聚成一点） ； 2、在其它两个投影面上的投影反映实长，且分别垂直于 OX轴、OY轴。（ab = ab = AB；a bOX ；a b
OYW ）
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垂直线的投影特性： 投影面垂直线
1、在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点； V V
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投影面平行线的投影特性：
V
投影面平行线 1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。
a' a" 该投影与投影轴的夹角，反映该直线与其它两投影面的 b' a' A a" 倾角； A b" 2、在其它两投影面上的投影，平行于相应的投影轴， a B a b 侧 且小于实长。 b 水 平 a z 平 Z a b a b 线 线 B b" b'
●
●
●
●
●
Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。
例10：过直线CD外一点A，作正平线AB与CD相交。
d' a' c' b’ b1 c1
X
d
b c
O
a
例11 判断两直线的相对位置。
解法一：
z d a o
c b
YW
YH
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例11 判断两直线的相对位置
1
解法二：
1
1 d
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c 1
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例12 判断图中两条直线的空间位置。
c Z c
a
d X
a b d YW
b
O b a
c
d
对于特殊位置直线， 只有两个特殊投影互相平行， 空间直线不一定平行，必须 在直线所平行的投影面内进 行判断。 求出侧面投影后可知： AB与CD不平行。
YH
还可以如何判断？
例13 判断两直线重影点的可见性。
1 3(4)
2
O
4
3
1(2)
32
2016/9/27
例14： 求作水平线L，使其距H面的距离为 15，且与直线AB、CD都相交。
b' l’ a' d'
c'
c
15
X
a l b
O
d
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33
本讲小结——重点掌握
2016/9/27
34
例4：已知直线的投影，求直线的 实长及角。
b’
与三个投影面都倾斜
各种位置直线的投影特性
投影面平行线——
水平线（平行于Ｈ面且…）
正平线（平行于Ｖ面且…） 侧平线（平行于Ｗ面且…）
2016/9/27
4
正平线—平行于V面，倾斜于H、W面的直线。
Z b a B
实长
b
b
a
a
b
a
A
X
O
YW
正平线的投影特性： 1、正面投影反映直线段的实长。该投影与 OX轴、OZ轴 a b b a 的夹角，分别反映该直线与H、W面的倾角。（ a b=AB， YH 反映、角的真实大小）； 2、在H面、W面上的投影，分别平行于OX轴、OZ轴，且 小于实长。 （ab OX ; a b OZ）
例 5： 已知直线的一个投影a’b’及实长，求直线的投影ab。
AB
实长
B0
解题思路及步骤——
b’
1.根据直角三角形的组成，利 用a’b’及实长作直角三角形；
O 2 .求出Y坐标差；
X
a’ a b
3. 利用Y坐标差求ab投影。 思考：若将已知条件实长换 成=30°，则如何解题？
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两直线的相对位置
3.两直线交叉：凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。
a 1(2 ) 3 4
●
d
两直线相交吗？ 投影特性 （判别方法） ： 为什么？ ★ 同面投影可能相交，但
“交点”不符合空间一个 b 点的投影规律。也可能有 X c O 两对同面投影平行，但第 c 2 b 三对决不会平行。 ★ “交点”是两直线上的一 d a 1 3(4 ) 对重影点的投影，用其可帮 Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， 助判断两直线的空间位置。
与三个投影面都倾斜的直线。 b Z
b
a X
a
O
YW
投影特性： 三个投影都是缩短了的倾 斜线段, 都不反映空间线段的 实长及与三个投影面的倾角。
a
b YH
思考：从属于投影面及投影轴的 直线的投影特性是什么？其投影 如何作图？
例1:根据投影图，判断下列直线的空间位置。
a
侧 平 X 线
Z a O
直线上的点
直线上点的投影特性——
从属性：若点在直线上， 则点的投影必在直线的同面 投影上，且符合点的投影规 律。反之，亦然。
V a c
C A
b
B
a
c
b H
定比性：若点在直线上，则点的投影分割线 段的同面投影之比与空间点分割线段之比相 等。反之，亦然。 即AC/CB=ac/cb= ac / cb = ac : c b，利用这一特性，在不作侧面投 影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已 知点是否在侧平线上。
铅 垂 b 线 X a b YW
b
a
b
O YH
c 侧 垂 线 X c
d 水 平 线 Z c X d O YH c d YW
O d
解题要点：1、垂直线用垂直判断；2、平行线用平行判断。
例2：已知AB为水平线，补画a’b’。
b’
解题思路： 熟悉水平线的投 影特性，明确正面投 影平行于投影轴。
b a A B c C c d H d V
投影特性（判别方法）：
1．若空间两直线相互 平行，则其各同面投影必 相互平行；反之，若两直 线的各同面投影相互平行， 则此两直线在空间也一定 相互平行。 2．平行两线段之比等 于其投影之比。
D
a b
例9：判断图中两条直线是否平行。
对于一般位置直线，只 要有两个同面投影互相平行， 空间两直线就平行。
a’ X a
O
b
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12
例3:
过点A向右上方作一正平线AB,使其实长为25，与 H面的倾角=30°。
Z b’ a’
30°
X
O
解题思路：熟悉正平 b” 线的投影特性，并从 反映实长和的投影 入手。 a” YW 作图要点:１．做正 平线的正面投影；
２．过点a做正平线 的水平投影和侧面投 影。
直线对投影面的倾角： 对水平投影面的倾角—— 对正立投影面的倾角—— 对侧立投影面的倾角——
YH
c(d)
各种位置直线的投影特性
直线在三投影面体系中分为：
平行于某一投影面，且 倾斜于另两个投影面
投影面平行线 特殊位置直线
水平线 正平线 侧平线 铅垂线 正垂线 侧垂线
垂直于某一投影面
投影面垂直线 一般位置直线
O
b a X a c c
d
AB//CD
b
d
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两直线的相对位置
⒉ 两直线相交
V a
交点是两直 线的共有点
c B X b a d c k b a b
c
k
b d K D d k
k
d O
A a
C
c
投影特性（判别方法）：
H
若空间两直线相交，则其各同面投影必相交，且交 点的投影必符合空间一点的投影规律；反之，亦然。
13
a
b YH
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直角三角形法求线段实长及线段与投影面的倾角
AB
|zA-zB| |zA-zB|
ab
|zA-zB |
AB
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AB
|zA-zB|
求直线AB的实长及其对 水平投影面的倾角 角。
14
ab
求直线的实长及对正面投影面的倾角 角
AB
|yA-yB|
V
b X O YW X a O
b YW
a
b
b
2016/9/27
YH
YH
6
各种位置直线的投影特性
投影面垂直线
铅垂线（垂直于Ｈ面） 正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面）
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铅垂线—
a A b
垂直于水平投影面的直线
a Z a
a
b
X O
b
YW
铅垂线的投影特性：
第二章 点、直线、平面的投影
直线的投影 直角三角形法求线段实长及倾角 直线上的点
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两直线的相对位置关系
1
百度文库
直线的投影
a’ 两点决定一条直线。 直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。
分别将两点的同名（同面）投影 b’ 用直线连接，就得到直线的投影。 X
Z
a”
b”
a
O YW
a
b
b
例6：判断点C是否在线段AB上。
① a’ X
a c c
b O
②
a’
c
●
b’ b X a O c
●
b
点C在直 线AB上
点C不在直 线AB上
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例7：判断点K是否在线段AB上。
a k● b
X a k● b YH
Z a
●
方法一：作出第三投影
k
b
YW
O
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
已知点C在线段AB上，求点C 的正面投影。
bc c
ca
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