中考数学四边形专题复习
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三角形与四边形
如图5，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点
E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：E
F ∥BC. （2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.
（1）证明：
CF ACB ∠平分，
∴ 12∠=∠.……………………1分 又∵ DC AC =,
∴ CF 是△ACD 的中线，
∴ 点F 是AD 的中点.…………2分 ∵ 点E 是AB 的中点， ∴ EF ∥BD,
即 EF ∥BC. …………………………3分 （2）解：由（1）知，EF ∥BD ， ∴ △AEF ∽△ABD , ∴
2
()AEF ABD S AE S AB
∆∆=.……………………………………4分 又∵ 1
2
AE AB =
, 6AEF ABD ABD BDFE S S S S ∆∆∆=-=-四边形,………………5分 ∴
2
61()2
ABD ABD S S ∆∆-= ,………………………………………6分
∴ 8ABD S ∆=,
∴ ABD ∆的面积为8. ………………………………………7分
2
1
F
E D
C
B
A
如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延长线于F 。
请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想。
解：DE ＝DF
证明如下： 连结BD
∵四边形ABCD 是菱形
∴∠CBD ＝∠ABD(菱形的对角线平分一组对角) ∵DF ⊥BC ，DE ⊥AB
∴DF ＝DE(角平分线上的点到角两边的距离相等)
如图，在等腰梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AB =DC ，AD =2，BC =4，延长BC 到E ，使CE =AD ．
（1）写出图中所有与△DCE 全等的三角形，并选择其中一对说明全等的理由；（5分） （2）探究当等腰梯形ABCD 的高DF 是多少时，对角线AC 与BD 互相垂直？请回答并说明
理由．（5分）
解：
解：（1）△CDA ≌△DCE ，△BAD ≌△DCE ； ··················································· 2分 ① △CDA ≌△DCE 的理由是： ∵AD ∥BC ，
∴∠CDA =∠DCE ． ·······················3分 又∵DA =CE ，CD =DC ， ·························4分 ∴△CDA ≌△DCE ． ·······························5分 或 ② △BAD ≌△DCE 的理由是： ∵AD ∥BC ，
∴∠CDA =∠DCE ． ··················································································· 3分
F E
D
C
B A （第23题图）
F E
D
C
B
A G
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴∠BAD=∠CDA，
∴∠BAD =∠DCE． ··················································································4分又∵AB=CD，AD=CE，
∴△BAD≌△DCE．···············································································5分（2）当等腰梯形ABCD的高DF=3时，对角线AC与BD互相垂直．···············6分理由是：设AC与BD的交点为点G，∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AC=DB．
又∵AD=CE，AD∥BC，
∴四边形ACED是平行四边形， ····························································7分
∴AC=DE，AC∥DE．
∴DB=DE． ·····················································································8分则BF=FE，
又∵BE=BC+CE=BC+AD=4+2=6，
∴BF=FE=3．···················································································9分
∵DF=3，
∴∠BDF=∠DBF=45°，∠EDF=∠DEF=45°，
∴∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°，
又∵AC∥DE
∴∠BGC=∠BDE=90°，即AC⊥BD． ··················································· 10分（说明：由DF=BF=FE得∠BDE=90°，同样给满分．）
如图8，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的
中点，连接E、BF、BD．
（1）求证：ADE CBF
△≌△．（5分）
（2）若A D⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊
四边形？请证明你的结论．（5分）
（1）在平行四边形ABCD中，∠A＝∠C，AD＝CD，
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴
AE=CF ……………………………………………………2分
（图8）
A B
C D
E
F