高数预备知识

即
r 2 sin , (0 )
极坐标方程 r r ( ) 化成参数方程为
x r ( ) cos y r ( ) sin
0.7 关于命题
数学的讨论离不开命题. 本节我们简单介绍一些 关于命题的有关问题, 特别介绍命题的否定形式. 我们用A 表示一个命题，命题A 的否定记为 A, 读作非A. 如果命题A 成立时命题B 一定成立题,
角度进行定义.
设 A, B是两个非空集合, 称
A B {( x, y ) | x A, y B}
为A与B的直积, 或笛卡尔积, ( x, y ) 称为有序对.
A B 的任意子集都称为集合A 到集合B的
一个二元关系.
如果 f 是集合A 到B的一个二元关系, 并且 x A,
都存在唯一的 y B , 使得 ( x , y ) f , 则称 f 是A到B的 一个函数. 设 y f ( x ) 是一元函数, 如果 y R f , 都存在 唯一的 y D f ,使得 y f ( x ), 记之为 x f 1 ( y ), 称为 y f ( x ) 的反函数.
2

x
定义域为 ( , ), 值域为 [1, 1].
该函数是奇函数.
余弦函数 y cos x
y
1
y cos x
2


3 2






2
O
1


3 2

2

5 2

x
定义域为 ( , ), 值域为 [1, 1].
该函数是偶函数.
sin x 正切函数 y tan x cos x
y
1, y sgn x 0, 1,
x0 x0 x0
1
o
1
x
x R, 有
x x sgn x .
例4 取整函数 y [x ] 表示不超过x 的最大整数.
y [x ] n, 当 n x n 1 , n Z
如
2.5 2
5.2 5
基本初等函数只有11种形式, 简单的复合函数 也只有11种形式, 更复杂的复合函数则可以由这11
种形式多层复合得到. 复合函数的11种形式如下：
[ f ( x )] , a f ( x ) , log a
f ( x)
, sin f ( x ) ,cos f ( x )
tan f ( x ),cot f ( x ), arcsin f ( x ) , arccos f ( x )
arctan f ( x ), arc cot f ( x ),
其中 f ( x ) x.
形如 f ( x ) g ( x ) 的函数称为幂指函数, 幂指函数 也是复合函数,
因 f ( x ) g ( x ) e g ( x ) ln f ( x ) .
复合函数的分解(复合函数拆成几个简单函数), 剥皮法 由函数的最外层运算一层层剥到最
标方程.
y f ( x ) 称为显函数.
), 如果x I ( I为区间 都存在唯一的 y, 满足方程
F ( x, y ) 0
则称 y是由方程 F ( x, y ) 0 确定的 x的隐函数.
通常很难或无法写出隐函数的显式表达式.
例如,
e xy x y 1 0.
1. 参数方程
1 正割函数 y sec x cos x
余割函数
1 y csc x sin x
常用三角函数公式:
(1) sin2 x cos 2 x 1
( 2) tan x 1 sec x
2 2
( 3) cot 2 x 1 csc2 x
(4) sin 2 x 2 sin x cos x
或者简记为 D f 和 R f .
如果用集合的记号, 则一元函数 y f ( x ) 可表示为
f {( x , y ) | x D f , y f ( x )}
R 2 的子集, 这个子集在平面上的表示就是 集合 f 是
函数 y f ( x ) 的图像.
集合论是现代数学的基础, 函数也可以从集合
y
y x
(1,1)
y x2
1
y
x
o
1 y x
1
x
幂函数的定义域与
的取值有关.
x 2. 指数函数 y a
(a 0, a 1)
1 y a
x
y ax
(a 1)
( 0,1)
特别地， y e , e 2.718.
x
3. 对数函数 y log a x
解
2 3
2 3
2 3
x a cos 3 t , y a sin3 t 令
则星形线的参数方程为
a
y
a
x a cos 3 t , (0 t 2 ) 3 y a sin t
O
a
a
x
2. 极坐标系与极坐标方程
(1) 极坐标系
在空间取定一点O, 称为极点,以O为起点作射线,
| sin x | 1,
| cos x | 1,
x (,)
| arcsin x | | arctan x |

2
,
| arccos x | , x [1,1]

2
, | arc cot x | , x (,)
0.3.3 分段函数与Dirichlet函数
y
3

2
1
阶 梯 曲 线

2.5 3
2

1 1 o 1
2




2
3
4
x
定义域 dom ( f ) R, 值域 ran( f ) Z .
0.4 基本初等函数
基本初等函数可分为五大类, 包括幂函数, 指数函数, 对数函数, 三角函数和反三角函数. 1. 幂函数 y x ( 是常数, 0)
(a 0, a 1)
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
a
特别地，y log e x 记为
y ln x 称为自然对数.
4. 三角函数 正弦函数 y sin x
y
1
y sin x
2


3 2






2
O
1
2



3 2

设 x0 与 是两个实数, 且 0.
数集{ x x x0 }, 称为点 x0 的 邻域,
点 x0 称为邻域的中心, 称为邻域的半径.
记作
U ( x0 , ) { x x0 x x0 }

x0


x0
x0
x
点 x0 的去心的 邻域, 也称空心邻域, 记作 U ( x0 , ).
高等数学教程
北京工业大学
第0章
0.1 两个常用符号
全称量词：
预备知识
: Any(每一个)或All(所有的)的字头 A 的倒写
“ ” 表示 “任取 ”, 或“任意给定”.
存在量词：
:
Exist(存在)的字头 E 的倒写
“ ” 表示 “存在 ”, “至少存在一个 ”.
0.2 邻域与去心邻域
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不
同的式子来表示的函数, 称为分段函数.
2 x 1, 例1 f ( x ) 2 x 1,
x0 x0
y x2 1
y 2x 1
1, 例2 狄里克莱函数 D( x ) 0,
x 是有理数 , x 是无理数 .
例3 符号函数
2
y 1 x2 .
定义 设函数 y f (u) 的定义域为 dom ( f ), 而函数
u g( x ) 的值域为 ran( g ), 若 dom ( f ) ran( g ) ,
则称函数 y f [ g( x )] 为x 的复合函数. x 是自变量, u 称为中间变量, y 是因变量. 注意: 复合函数可由两个以上的函数复合而成.
设 f ( x ) 是D上有定义若 M 0, 使得x D, 有 .
f ( x) M
; 则称 f ( x ) 在D上有界, 也称 f ( x ) 是D上的有界函数
否则, 称 f ( x ) 在D上无界.
y
M
y f ( x)
y
M
o
M
x
x0
o
y f ( x)
有界 D
D
无界
x
M
六个常见的有界函数:
里边, 切不可漏层.
x 例如 y cot , 2
x y u , u cot v , v . 2
2. 初等函数:由常数和基本初等函数经过有限次
四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用
一个式子表示的函数, 称为初等函数.
0.6 函数的表示
数学中表示函数的传统方式包括显函数(解析
表达式)、由方程确定的隐函数、参数方程和极坐

y tan x
cos x 余切函数 y cot x sin x
y y cot x

3 2
2
O
2

3 2
x



2
O
2

3 2
2
x