北京理工大学矩阵分析第一章作业答案

1.设 R[ x ]4 表示所有次数小于或等于 4 的实系数 多项式组成的线性空间, 求多项式
p( x ) 1 2 x
3
2 3。
p(1) 2 p ( x ) p (1) p (1) ( x 1) ( x 1) 解： 2! p(1) ( x 1)3 . 3!
两边同时作线性变换 , 可得 l1 0. 以此类推， 可得 l2 lk 1 0. 由线性无关的定义，可知
, ( ), 2 ( ), , k 1 ( )
线性无关。
3 . 试证：
tr( AB) tr( BA) ,
k k
A C
mn
,BC
nm
, k 1,2,
所以所求坐标为 (3,6, 6, 2).
2.设 是n 维线性空间V 的一个线性变换，对某个 V 有 k 1 ( ) 0, k ( ) 0. 试证：
, ( ), 2 ( ), , k 1 ( )
线性无关。 证: 假设存在常数 l0 , l1 ,
4. 试证： tr( Ak ) ik , i 是 A 的特征值，k i 1 是一正整数。 证：设 i , i 1,2, , n 是 A 的特征值，x 是相应的 特征向量， Ax i x . 则
n
A2 x A Ax A(i x ) i Ax i2 x . A3 x A A2 x A(i2 x ) i2 x . 从而归纳 同理可得， k k A x i 1,2, , n. 所以 可得 i x,
( ) x 0,
2 2 x 0, ( ) 0, 因为 x 是特征向量， 所以
即 A 的特征值只能是 0 或 1。
( ) 0
k
l1 ( ) l2
k
k 1
( )
lk 1
2k 2
( ) 0.
l0
k 1
0.
k 1 ( ) 0,
l0 0.
l1 ( ) l2 2 ( )
k 2
lk 1 k 1 ( ) 0.
证：
n n m tr( AB ) aik bki b jl alj =tr( BA) i 1 k 1 j 1 l 1
m
tr( AB )k tr ( ABAB =tr B( ABAB
A) B )
A) tr ( BA)k
ik , i 1,2, , n
是 A 的 n 个特征值，从而 tr( A ) .
k
k
n
i 1
k i
2 A A, 试证：A 的特征值只能是 0 或 1。 5. 设
证：设 是 A 的特征值，x 是相应的特征向量， 2 2 Ax x . A x A Ax A ( x ) Ax x. 则 2 因为 A A, 所以 2 x A2 x Ax x . 从而
, lk 1 使得
两边同时作线性变换 k 1 (即作 k 1 次变换 )，
l0 l1 ( ) l2 ( )
2 k 1
lk 1
k 1
( ) 0.
2k 2
l0
l1 ( ) l2
k
k 1
( )
lk 1
( ) 0.