向量的加法课件
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课件4：6.1.2 向量的加法
求作向量a＋b＋c．
[解析] (1)如题图，由已知得四边形 DFCB 为平行四边形， 由向量加法的运算法则可知： ①A→B＋D→F＝A→B＋B→C＝A→C； ②A→D＋F→C＝A→D＋D→B＝A→B． (2)①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为 1； ②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确， 反之正确，即③正确．
6.1.2 向量的加法
课程标准
学法解读
1.理解向量和的定义．
1.通过学习和向量定义，培养
2.掌握向量加法的法则． 学生的数学抽象素养．
3.了解多个向量相加．
2．通过向量加法的运算，培
4.理解向量加法的运算律． 养学生的直观想象、数学运算
5.了解和向量模的不等式． 素养．
知识点 一
向量加法的定义及其运算法则
边形法 __A_→D_____为邻边作□ABCD，
则 则对角线上的向量A→C＝___a_＋__b____.
(3)向量 a，b 的模与 a＋b 的模之间的关系： ||a|－|b||__≤____|a＋b|__≤____ |a|＋|b|．
思考：(1)向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起 点与终点是怎样连接的？和向量的起点与终点是怎样的？ (2)利用向量求和的三角形法则时，若向量a，b中有零向 量怎么办？若两向量共线时，能否利用三角形法则求和？ (3)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余， 去掉可以吗？
(4)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点 有什么特点？和向量是怎样产生的？
提示：(1)求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从 第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．
(2)对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝A． 当两
向量共线时，仍可以使用三角形法则求和． (3)不可以，因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻 边作出平行四边形，也不会产生和向量． (4)求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的 两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量．
[解析] (1)如题图，由已知得四边形 DFCB 为平行四边形， 由向量加法的运算法则可知： ①A→B＋D→F＝A→B＋B→C＝A→C； ②A→D＋F→C＝A→D＋D→B＝A→B． (2)①正确，当两向量反向时，和向量的模最小为 1； ②中描述的只是向量同向时的情况，故不正确， 反之正确，即③正确．
6.1.2 向量的加法
课程标准
学法解读
1.理解向量和的定义．
1.通过学习和向量定义，培养
2.掌握向量加法的法则． 学生的数学抽象素养．
3.了解多个向量相加．
2．通过向量加法的运算，培
4.理解向量加法的运算律． 养学生的直观想象、数学运算
5.了解和向量模的不等式． 素养．
知识点 一
向量加法的定义及其运算法则
边形法 __A_→D_____为邻边作□ABCD，
则 则对角线上的向量A→C＝___a_＋__b____.
(3)向量 a，b 的模与 a＋b 的模之间的关系： ||a|－|b||__≤____|a＋b|__≤____ |a|＋|b|．
思考：(1)向量求和的三角形法则中求和的两个向量的起 点与终点是怎样连接的？和向量的起点与终点是怎样的？ (2)利用向量求和的三角形法则时，若向量a，b中有零向 量怎么办？若两向量共线时，能否利用三角形法则求和？ (3)向量求和的平行四边形法则中“不共线”是否多余， 去掉可以吗？
(4)平行四边形法则中，求和的两个向量与和向量的起点 有什么特点？和向量是怎样产生的？
提示：(1)求和的两个向量“首尾连接”，其和向量是从 第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量．
(2)对于零向量与任一向量a，规定0＋a＝a＋0＝A． 当两
向量共线时，仍可以使用三角形法则求和． (3)不可以，因为如果两个向量共线，就无法以它们为邻 边作出平行四边形，也不会产生和向量． (4)求和的两个向量与和向量共起点，和向量是以求和的 两个向量为邻边的平行四边形的对角线向量．
向量的加法课件(公开课获奖课件)
要点二
性质
数乘满足交换律和结合律，即k*(a+b)=k*a+k*b， (k+l)*a=k*a+l*a。
数乘的几何意义
表示伸缩
数乘可以表示向量在坐标轴上的伸缩，当k>0时，表示 向量在原方向上放大；当k<0时，表示向量在原方向上 缩小。
表示旋转
通过数乘可以将向量绕原点旋转一定的角度，旋转角度 与k的绝对值成正比。
力的分解
一个力可以分解为两个或多个分 力，分力的方向和大小同样可以 通过向量加法得到。
速度与加速度的研究
速度的合成
当物体在多个方向上运动时，其速度可以看 作是各个方向上速度的向量和，即速度的合 成。
加速度的研究
加速度的大小表示速度变化的快慢，方向表 示速度变化的方向，可以通过向量加法来研 究加速度的方向和大小。
交换律是指向量加法的结果不依赖于向量的顺序，即向量加法满足可交换性。
详细描述
交换律是向量加法的基本性质之一，它表明向量加法不具有方向性。无论向量是按什么顺序相加，其 结果都是相同的。例如，向量$vec{A} + vec{B}$和向量$vec{B} + vec{A}$是相等的。
结合律
总结词
结合律是指向量加法的结果不依赖于括 号的位置，即向量加法满足可结合性。
题目2
已知点$O(0,0)$，点$A(3,5)$，点$B( - 2, - 1)$，求 $overset{longrightarrow}{OA} + overset{longrightarrow}{OB}$。
综合练习题
• 总结词：综合运用向量加法的知识解决复杂问题
• 题目1：已知点$A(1,2)$，点$B(3,4)$，点$C(5,6)$，点$D(7,8)$，求证：四边形ABCD是平行四边形。 • 题目2：已知$\overset{\longrightarrow}{a} = (1,2)$，$\overset{\longrightarrow}{b} = (3, - 1)$，
向量的加法运算及其几何意义课件
在解析几何中，向量加法可以用于线性组合的计算。线性组 合是指一组向量的加权和，即$overset{longrightarrow}{D} = lambdaoverset{longrightarrow}{A} + muoverset{longrightarrow}{B}$，其中$lambda$和$mu$ 为实数。线性组合在解决实际问题中具有广泛的应用。
应用拓展
随着科技的进步，向量加法的应用领域将不断拓展，如人工智能、信号处理、图像处理等，为解 决实际问题提供更多有效的方法。
算法优化
随着计算技术的发展，向量加法的算法将不断优化，提高计算效率和精度，为相关领域的研究和 应用提供更好的支持。
THANKS
感谢观看
向量的加法运算及其几何意义
• 向量加法的定义与性质 • 向量加法的几何意义 • 向量加法的运算规则 • 向量加法的应用实例 • 总结与展望
01
向量加法的定义与性质
向量加法的定义
向量加法是由平行四边形法则或三角形法则定义的。在二维空间中，向量加法可以通过连接两个向量 的起点和终点，并绘制一个平行四边形来完成。在三维空间中，向量加法可以通过连接两个向量的起 点和终点，并绘制一个三角形来完成。
物理应用
向量加法在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、力的合成等， 通过向量加法可以更直观地理解 物理现象。
解析几何
向量加法在解析几何中也有重要 的意义，它可以用来描述平面或 空间中的点、线、面等几何对象 的位置和方向。
向量加法的未来发展
理论完善
随着数学和物理学等学科的发展，向量加法的理论体系将进一步完善，为相关领域的研究提供更 坚实的基础。
算。
03
向量加法的运算规则
平面向量的加法运算课件
平面向量的加法运算件
录
• 平面向量的加法定义 • 平面向量的加法运算性质 • 平面向量的加法运算律 • 平面向量的加法运算应用 • 平面向量加法运算的练习和巩固
contents
01
平面向量的加法定
定义及意义
平面向量的加法定 义
对于两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，其和向量$\mathbf{c}$定义为 $\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$，其中$\mathbf{c}$的方向是 $\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的平行四边形的对角线方向。
向量$\mathbf{c}$等于零向量，即$\mathbf{c} = \mathbf{0}$。
向量加法的几何意 义
• 向量加法的几何意义：向量加法可以理解为将两个向量首尾相 连，得到一个新的向量，这个向量的长度等于两个向量的长度 之和，方向与两个向量的平行四边形的对角线方向一致。
02
平面向量的加法运算性
向量加法的多边形法则
总结词
向量加法满足多边形法则
详细描述
多边形法则是指将一个多边形的起点与另一 个多边形的终点相连，得到的向量等于两个 多边形的向量之和。这个法则可以用于求解 多个向量的和以及判断多边形的方向。
04
平面向量的加法运算用
解向量方程
求解与向量相关的方 程，例如平行向量、 垂直向量、共线向量 等。
03
平面向量的加法运算律
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法满足平行四边形法则
详细描述
根据平行四边形的性质，向量加法满足平行四边形法则，即以两个向量为邻边的平行四边形的对角线 向量等于两个向量的和。
录
• 平面向量的加法定义 • 平面向量的加法运算性质 • 平面向量的加法运算律 • 平面向量的加法运算应用 • 平面向量加法运算的练习和巩固
contents
01
平面向量的加法定
定义及意义
平面向量的加法定 义
对于两个向量$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$，其和向量$\mathbf{c}$定义为 $\mathbf{c} = \mathbf{a} + \mathbf{b}$，其中$\mathbf{c}$的方向是 $\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$的平行四边形的对角线方向。
向量$\mathbf{c}$等于零向量，即$\mathbf{c} = \mathbf{0}$。
向量加法的几何意 义
• 向量加法的几何意义：向量加法可以理解为将两个向量首尾相 连，得到一个新的向量，这个向量的长度等于两个向量的长度 之和，方向与两个向量的平行四边形的对角线方向一致。
02
平面向量的加法运算性
向量加法的多边形法则
总结词
向量加法满足多边形法则
详细描述
多边形法则是指将一个多边形的起点与另一 个多边形的终点相连，得到的向量等于两个 多边形的向量之和。这个法则可以用于求解 多个向量的和以及判断多边形的方向。
04
平面向量的加法运算用
解向量方程
求解与向量相关的方 程，例如平行向量、 垂直向量、共线向量 等。
03
平面向量的加法运算律
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法满足平行四边形法则
详细描述
根据平行四边形的性质，向量加法满足平行四边形法则，即以两个向量为邻边的平行四边形的对角线 向量等于两个向量的和。
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
《向量的加法与减法》课件
结果向量的方向由输入向量的相对位 置决定，结果向量的大小则由输入向 量的长度和夹角决定。
THANKS
感谢观看
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
THANKS
感谢观看
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对 位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相 对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何 由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法 的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减 法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表 示力的合成与分解。通过向量加法， 可以将多个力合成一个力；通过向量 减法，可以将一个力分解成多个分力 。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于 计算速度和加速度。例如，在平抛运 动中，水平和垂直方向的速度可以通 过向量加法和减法计算出物体的最终 速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的 模。通过向量加法，可以计算两个向量 的和的模；通过向量减法，可以计算两 个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也 满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不 同。
人教版数学必修第二册6.2.1向量的加法运算课件
________，a＋b的方向是________．
4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1) ＋ ；
＋ =
(2) ＋ ；
= = =
＋ = + =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是
依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
2
+
2
= 8002 + 8002 ＝800 2(km)．
跟踪训练
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行
800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞
任意的组合来进行．
(2)应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，
通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
跟踪训练
1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( D )
A.
B.
C.
D.
原式= (＋)＋(＋ ＋)
= ＋0
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
课前小测
1．下列各式不一定成立的是( D )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
2. ＋ ＋ 等于( C )
A.
B.
a
O
b
A
B
✓ 第一作向量 ＝a，
甲
✓ 然后作向量 ＝b，
4．如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：
(1) ＋ ；
＋ =
(2) ＋ ；
= = =
＋ = + =
本课小结
1．三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是
依题意，有||＋||＝800＋800＝1600(km)，
又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，
所以||＝
2
+
2
= 8002 + 8002 ＝800 2(km)．
跟踪训练
2．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行
800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞
任意的组合来进行．
(2)应用原则
利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，
通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．
跟踪训练
1．向量(＋)＋(＋)＋化简后等于( D )
A.
B.
C.
D.
原式= (＋)＋(＋ ＋)
= ＋0
(3)向量加法的运算律有哪两条？
(4)|a＋b|，|a|＋|b|，|a|－|b|三者之间的大小有何关系？
课前小测
1．下列各式不一定成立的是( D )
A．a＋b＝b＋a
B．0＋a＝a
C．＋＝
D．|a＋b|＝|a|＋|b|
2. ＋ ＋ 等于( C )
A.
B.
a
O
b
A
B
✓ 第一作向量 ＝a，
甲
✓ 然后作向量 ＝b，
平面向量的加法PPT课件
04Biblioteka 向量加法的应用解决物理问题
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合 力或分力，从而解决与力相关的物理 问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体 在多个方向上的速度和加速度，以解 决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的 长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式 ，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足 结合性，即改变向量的加法括号，结果 不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表 示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意 三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信 息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质
6.2.1向量的加法运算课件(人教版)(1)
6.2.1 向量的加法运算
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及
其运算律;
2.会用向量的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和;
3.能够利用向量的交换律和结合律进行向量运算.
理解并掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则
向量加法的几何意义及运算律
直尺、双色笔、练习本、笔记本
知识回顾： 1、向量的概念
向量加法的三角形法则
① 在平面内任取一点O，
a
b
首尾相连，连首尾
A
O
② 作 OA a ， AB b ，
③ 则向量 OB 叫做 a 和 b 的和，记作
ab
a . b
即 a b OA AB OB
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。
B
引入2：力的合成
问题2 对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？如图，在光滑的平面上，
ab
a
a
b
b
(3)
a
b
B
ab
Oab B
b
A
b
a
思考： 对于非零向量a, b, a b 与 a b , a b 之间什么关系？
向量的加法的运算律
D
B
C
A
C
A
O
B
加法交换律：
加法结合律：
化简
（1）AB CA _____
(2) AB CD DA _______
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图，一艘船从
既有大小，又有方向的量叫做向量.
2、向量的表示方法及向量的模？
表示方法：（1）有向线段
A
B
1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及
其运算律;
2.会用向量的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和;
3.能够利用向量的交换律和结合律进行向量运算.
理解并掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则
向量加法的几何意义及运算律
直尺、双色笔、练习本、笔记本
知识回顾： 1、向量的概念
向量加法的三角形法则
① 在平面内任取一点O，
a
b
首尾相连，连首尾
A
O
② 作 OA a ， AB b ，
③ 则向量 OB 叫做 a 和 b 的和，记作
ab
a . b
即 a b OA AB OB
位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。
B
引入2：力的合成
问题2 对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？如图，在光滑的平面上，
ab
a
a
b
b
(3)
a
b
B
ab
Oab B
b
A
b
a
思考： 对于非零向量a, b, a b 与 a b , a b 之间什么关系？
向量的加法的运算律
D
B
C
A
C
A
O
B
加法交换律：
加法结合律：
化简
（1）AB CA _____
(2) AB CD DA _______
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图，一艘船从
既有大小，又有方向的量叫做向量.
2、向量的表示方法及向量的模？
表示方法：（1）有向线段
A
B
人教A版必修第二册6.2.1向量的加法运算课件课件
夹角表示，精确到1°)
船速15km/h
D
课堂练习
(2)在 △ 中， = 6, = 15
=
2
+
2
=
A
62 + 152 = 261
≈ 16.2
因为 tan∠ =
=
5
2
利用计算工具可得 ∠ ≈ 68°
答：船实际航行速度大小约为16.2km/h,方向与水的流速呈68°夹角。
课堂练习
例题2：长江两岸之间没什么大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图6.2-8，
一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时
江水的速度为向东6km/h.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际的航行速度；
(2)求船实际航行的速度大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。
思考：向量的平行四边形法则与三角形法则是一致的吗？
【1】两个法则的使用条件不同：
三角形法则适用于任意两个非零向量求和；
平行四边形法则只适用于两个不共线的相量求和；
【2】当两个向量不共线时，两个法则是一致的.
B
C
如图所示，OC=OA+OB(平行四边形法则)，
a
A
O
b
a
O
b
C
A
C
合作探究
【探究2】
结合例1，探索 a b ，
a，
b之间的关系.
b 共线时
1.当 a，
Ԧ
a
A
O
C
ab a b
Ԧ +
b
船速15km/h
D
课堂练习
(2)在 △ 中， = 6, = 15
=
2
+
2
=
A
62 + 152 = 261
≈ 16.2
因为 tan∠ =
=
5
2
利用计算工具可得 ∠ ≈ 68°
答：船实际航行速度大小约为16.2km/h,方向与水的流速呈68°夹角。
课堂练习
例题2：长江两岸之间没什么大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图6.2-8，
一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时
江水的速度为向东6km/h.
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际的航行速度；
(2)求船实际航行的速度大小(结果保留小数点后一位)与方向(用与江水速度间的
力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。
思考：向量的平行四边形法则与三角形法则是一致的吗？
【1】两个法则的使用条件不同：
三角形法则适用于任意两个非零向量求和；
平行四边形法则只适用于两个不共线的相量求和；
【2】当两个向量不共线时，两个法则是一致的.
B
C
如图所示，OC=OA+OB(平行四边形法则)，
a
A
O
b
a
O
b
C
A
C
合作探究
【探究2】
结合例1，探索 a b ，
a，
b之间的关系.
b 共线时
1.当 a，
Ԧ
a
A
O
C
ab a b
Ԧ +
b
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⑸ ( BC + CD ) + DA = ⑹
BA
BC + (CD + DA) = BA
向 量 加 法 的 结 合 律
( a + b ) + c = a + (b + c )
D
a+b+c
b+c
c
C
A
a+b
a
B
b
想一想
1. 在求作两个向量和时，可能选择不同的始 点求和，想一想：这样作出的向量的和都相 等吗？
高中数学
向量的加法
人 教 B 版 必 修 4
教 学 目 标 及 重 点 难 点
教学目标： 教学目标： 理解向量的和，掌握向量加法的 三角形法则、平行四边形法则以 及向量加法的运算律。 重点： 重点： 向量的加法的三角形法则、平行 四边形法则。 难点： 难点： 对向量加法定义的理解。
创 设 情 景
AC = a + b
A
DHale Waihona Puke CbaB
上述作图法则叫两个向量求和的平行四边形法则。
要点：起点相同，邻边作形
已知平行四边形ABCD，完成下列各题：
试一试
⑴ ⑵
AB + BC = AC
D
C
O
A
课 堂 练 习
AB + AD = AC
A
⑶ ⑷
AC + CD + DO = AO
B
BA + BC + DA = AB
向 量 加 法 的 定 义
C
b
a+b
B
a
A
在平面任取一点A， AB = a , BC = b , 再作 AC 作
则 AC 叫做 a与 b的和，记作 a + b
求两个向量和的运算叫向量的加法
向 量 加 法 的 三 角 形 法 则
上述求两个向量和的作图法则， 叫做向量求和的三角形法则
要点：尾首相接，首尾相连 尾首相接， 尾首相接
=a =0
a + (−a) __ (−a) + a =
向量加法的交换律： 向量加法的交换律：
a+b =b+a
已知不共线向量 a , b, 作出 a + b和b + a
向 量 加 法 的 交 换 律
A
b
a
D
a
C
.
b
b+a
.
A
a+b
C
b
a
B
已知不共线向量 a , b, 作出 a + b和b + a
向 量 加 法 的 交 换 律
位移向量b : “向北走3km”，求 a + b .
例 题 讲 解
解：如图所示，作
B
OA = a = “向东走3km”
AB = b = “向北走 3km”
O
b
a
A
则OB = OA + AB = a + b
因为△OAB为直角三角形，所以
OB = 32 + 32 = 3 2 (km)
又因为∠AOB=450，所以a + b表示向东北走3 2km.
当 量a, 为 线 量 ,作 a + b 向 b 共 向 时 出
思考？ 思考？
特 殊 向 量 的 加 法
(1) 同向
a
(2)反向
a
b
A B C B
b
C A
AC= a + b
AC= a +b
思考完成下面问题，并归纳出运算的规律？
探究？ 探究？
探 究 思 考 一
（1） ） （2） ）
a + 0 __ 0 + a =
点出发， 例：如图所示，一艘船从长江南岸A点出发， 如图所示，一艘船从长江南岸 点出发 的速度向垂直于对岸的方向行驶， 以 2 3 m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶， 的速度向垂直于对岸的方向行驶 同时江水的速度为向东2m/s. 同时江水的速度为向东 求轮船实际航行的方向和航速。 求轮船实际航行的方向和航速。
b
a
D
a
C
.
A
b
b+a
.
A
a+b
C
b
a
B
a+b =b+a
向 量 加 法 的 则 平 行 四 边 形 法
已知不共线向量 a , b , 作出 a + b
作法： 作法：在平面内任取一点A，作 AB = a, AD = b, 则A，B，D三点不共线，以 AB , AD 为邻边 作平行四边形ABCD，则对角线上的向量
例 题 讲 解
：如图所示 设 AB 为船向对岸行进的 垂直速度， 为水流速度 AC ，则 AD 为船实际行进速 度。
B
D
A
C
= ， =
∴
=
∠
+
=
=
=
∴∠
=
°
为4m/s，方向
所以船实际航行速度的 为东 60
思考
1.在上例中轮船要垂直地渡过长江，其 航向应如何确定？
变 式 思 考
2.上述两种情况中，若轮船同时出发，则轮 船到达对岸所需时间较少的为那种情况？ 第一种情况，船速垂直向对岸时。
要点：尾首相接，首尾相连 尾首相接， 尾首相接
小 结 与 回 顾
要点：起点相同，邻边作形 起点相同， 起点相同
a+b = b +a ( + b)+ c = a +( + c a b )
课本P83页 练习A第2，3 题
作
a + b a,b 的 系 和 间 关 ？
2008年12月15日以前，由于大陆和台湾没有开 年 月 日以前 日以前， 通直航，因此要从台湾去北京， 通直航，因此要从台湾去北京，乘飞机要先从台 北到香港，再从香港到北京， 北到香港，再从香港到北京，这两次位移之和是 什么？ 什么？
AB + BC = AC
向 量 的 加 法
B A 北京 C
已知向量 a , b ,求作 a + b .
C
探 究 思 考 二
a+b
A
b
a
C’ B
a+b
A’ a
b
B’
2.对于多个向量相加，如何做出和向量？ 对于n个向量，依次把这n个向量首尾 相连，以第一个向量的始点为始点， 第n个向量的终点为终点的向量叫这n 个向量的和向量。 上述法则叫向量求和的多边形法则。
例：某人先位移向量 a : “向东走3km”，接着再