《向量的加法》

解：如图，O A 表示 F 1 ，O B 表示 F 2 .以OA，OB为邻边作
□OACB，则 O C 表示合力 F .
在Rt△OAC中，|OA||F1|=40N，
北 Ｂ
C
|A C | |O B | |F 2=|30N.由勾股定理得
F2
|F | |O C ||O A |2 |A C |24 0 2 3 0 2
水平运动的分位移AC
D
B
与竖直运动的分位移AD
的合位移。
A
C
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由分位移求合位移,称为位移的合成. 在上一节课中我们知道位移是向量，因此位移合 成就是向量的加法，那么向量的加法怎么体现？ 符合哪些规律呢？这就是我们今天要探究的内容.
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1.掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和 平行四边形法则求几个向量的和向量.（重点) 2.能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练 运用它们进行向量计算. （重点） 3.向量加法的概念和向量加法的法则及运算律.（难点）
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探究点1 向量加法的三角形法则 既然向量的加法可以类比位移的合成，想一想，求 两个向量的和是否也可以类比前面位移的合成呢？
如下图，已知向量a , b , 如何求这两向量的和？
a b
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a
b
B a
A.
b
C
ab
作法：1.在平面内任取一
点A.
a,
b
再作向量 AC
类比前面的广 州至北京的飞 机位移的合成
2.1 向量的加法
陆川县实验中学 张艺耀
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1.飞机从广州飞往上海,再从上海 北京 飞往北京,这两次位移的结果与飞
机从广州直接飞往北京的位移相同
吗？
上海
相同
我们把后面这样一次位移叫作前
广州
源自文库
面两次位移的合位移.
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2.在大型生产车间里,一重物被天车从A处搬运到B处.
它的实际位移AB，可以看作
A2
A3 A1A2+A2A3= __A_1_A_3__
A1 A2
A3
A1A2+A2A3+A3A4=__A_1_A_4__
A1
A4
A1A2+A2A3+A3A4+A4A5+ … +An-2An-1+An-1An = A1A n
多边形法则：n个首尾顺次相接的向量的和等于折 线起点到终点的向量.
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例2 两个力 F 1 和 F 2 同时作用在一个物体上,其中 F 1 的大小 为40 N,方向向东,F 2 的大小为30 N,方向向北,求它们的合力.
所以 OC
2
2
OB BC
3.462 2.02 4.0（km / h）.
因为tanBOC= v1 1.73,所以BOC 60 . v2
答：小船实际的航行速度的大小约为4.0 km/ h， 方向与水流方向约成60 角.
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１.如图，在正六边形ABCDEF中，B A C D E F （Ｄ ） A．0 B．B E C．A D Ｄ．C F
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提升总结：三角形法则和平行四边形法则的使用范 围. （1）三角形法则适用于任意两个向量的加法; （2）平行四边形法则适用于不共线的两个向量的加 法.
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例１ 轮船从Ａ港沿东偏北 30°方向行驶了40 n mile （海里）到达 B 处,再由B处沿正北方向行驶40 n mile
到达 C 处.求此时轮船与A港的相对位置.
探究点2 向量加法的平行四边形法则
思考：类比位移的合成方法，作两向量的和还有没
C
有其他的方法呢？
B
a b
D A
作法：
作 A B a ,A D b , 以AB，AD为邻边 作平行四边形，则 A Ca+b
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思考：这种方法的作图关键点是什么呢？ 提示：共起点.
上述这种方法叫作向量求和的平行四边形法则.
F
5 0 (N ).
设合力 F 与力 F 1 的夹角为θ，则 O
θ
F1
Ａ东
tanθ|A C||F 2|30.75.所以θ≈37°. 答：合|O 力A 大| 小|F 1 为| 54 0N，方向为实用东文偏档 北37°.
例3 在小船过河时,小船沿垂直河岸方向行驶的速度
为v1=3.46 km/h,河水流动的速度v2=2.0 km/h.试求
在Rt△ADC中 ,ADC90,|DC|60nmile，
所以|AC| |AD|2|DC|2
(20 3)2602 40 3(nmile).
因为
北 C
| AC|2| AD|,
所以CAD60.
B
答: 轮船此时位于A港东偏北
30
60°，且距A港40 3 n m实i用l文e档 的 A
D
东
C处.
探究点3 向量加法的运算律
小船过河实际航行速度的大小和方向.
C
解：如图，设 O A 表示小船垂直于河 A
岸行驶的速度,O B 表示水流的速度，
以OA,OB为邻边作□OABC，则 O C 就 v1
是小船实际航行的速度.
O
v2
B
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在Rt△OBC中，BC =v1 3.46 km / h，
OB =v2 2.0 km / h，
D
E
F C
B
A
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2.下列非零向量的运算结果为零向量的是( D ) A.BC＋ AB B.P M ＋ M N ＋ M P C.B C ＋ C A ＋ A B ＋ C D D. M P ＋ G M ＋ P Q ＋ Q G
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3.试用向量方法证明：对角线互相平分的四 边形必是平行四边形.
解：如图，设AB,BC分别 表示轮船的两次位移,
则AC表示轮船的合位移,
AC AB BC.
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北C
B
30
A
D东
在 R t △ A D B 中 , A D B 9 0 , D A B 3 0 ,|A B | 4 0 n m ile ，
所 以 |D B | 2 0 n m ile ,|A D | 2 0 3 n m ile
这种作法叫作向量求和的三角形法则.
讨论：作图的关键点
首尾顺次相连.
在哪？
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思考：当向量a，b是共线向量时，a+b又如何作？
(1)同向
a
(2)反向
a
b
b
a
b
A
B
C
C
A
B
a b A B B C = A C a b A B B C = A C
(3)规定：a 0 0 a a .
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数的加法满足交换律与结合律 ，即对任意a，b∈R，有
a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c）.任意向量a , b 的加法是否
也满足交换律和结合律？
D
D
C
A
B
A
C
B
（ a + b ） + c = a + （ b + c ）
向量的加法满足交换律 和结合律 实用文档
思考：能否将它推广至多个向量的求和？