抛物线与相似三角形ppt课件
抛物线与相似三角形
抛物线与相似三角形哎呀，说起抛物线和相似三角形，这可真是让不少同学头疼的知识点呢！但别担心，咱们一起来好好琢磨琢磨。
先来说说抛物线，你想象一下，就像一个调皮的孩子在玩扔球的游戏，球飞出去的轨迹，那就是抛物线。
它的形状弯弯的，有时候高，有时候低，可有意思啦！比如说，咱们去游乐场玩那种打水球的游戏，把水球用力一扔，它在空中划过的那道弧线，就是抛物线。
相似三角形呢，就像是一对对长得很像的“双胞胎”三角形。
它们的角是一样大的，边呢，成比例地放大或者缩小。
这就好比你有两个玩具积木搭成的三角形，一个大一点，一个小一点，但形状特别像，这就是相似三角形啦。
咱们来举个例子啊，有一天我在公园里散步，看到一个小朋友在放风筝。
那风筝线和地面形成的夹角，还有风筝的高度以及小朋友和风筝的距离，这不就构成了一个抛物线和相似三角形的问题嘛！小朋友想知道风筝到底飞多高，咱们就可以用抛物线的知识来算算。
假设风筝线和地面的夹角是 60 度，小朋友离风筝的水平距离是 10 米，而风筝线的长度是 15 米。
那咱们就能通过三角函数算出风筝的高度。
这时候，再想想相似三角形，假如在旁边还有另一个小朋友，他离风筝的距离和第一个小朋友不一样，但是角度相同，咱们就能通过相似三角形的比例关系，算出第二个小朋友看到的风筝高度和第一个小朋友看到的高度之间的关系。
在数学的世界里，抛物线和相似三角形经常会结伴出现。
比如说，一道数学题中，给了你一个抛物线的方程，然后在这个抛物线里面又藏着几个相似三角形。
这时候，咱们就得先把抛物线的图像在脑子里画出来，搞清楚它的对称轴、顶点这些关键的点。
然后再去找那些相似三角形，看看它们的边和角有什么关系。
做题的时候，咱们可以先从简单的入手。
比如说，先找出那些明显的相等的角，或者成比例的边。
就像拼图一样，一块一块地把这些线索拼凑起来，最后就能解开谜题啦！有时候，遇到难题别着急，多画画图，多想想咱们生活中的例子。
比如说，篮球场上投篮的轨迹，是不是也像抛物线？还有建筑工地上的塔吊，它的结构中是不是也能找到相似三角形？总之啊，抛物线和相似三角形虽然有点复杂，但只要咱们多观察，多练习，就一定能把它们拿下！相信自己，加油！。
第四章 相似三角形 课件1(数学浙教版九年级上册)
成的几何图形不相似的是(
)
2、如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，
AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积
与△ABC的面积之比等于(
(A)1∶3 (B)2∶3
)
(D) 3 ∶3
(C) 3 ∶2
3、如图，点M是△ABC内边AB长为1.5m,面积
z.x.x.k
为1.5m2,工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形
桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案 如图1，乙设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方案较 好?试说明理由.(加工损耗忽略不计,计算结果中可保留分 数)
变式 如图，已知抛线与x轴交于A（-1,0）E （3,0）两点，与y轴交与（0,3） 1、求抛物线解析 2 y x 2x 3 式 2、设抛物线顶点为D， M 求四边形AEDB的面积
△ABC的各边，所形成的三个小三角形△1、△2、△3(图中
阴影部分)的面积分别是4，9和49．则△ABC的面积是
_____．
Z..x..x..k
A C
D
E
B
方法二：如图，把长为2.40m的标杆CD直 立在地面上，量出树的影长为2.80m，标 杆影长为1.47m。
C A D F
B
E
变式2 小明利用太阳光测量楼高．如图，小明边
移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在 墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高 度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高 度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一 直线上）．已知小明的身高EF是1.7m，请你帮小 明求出楼高AB． （结果精确到0.1m）
第七节 抛物线 课件(共48张PPT)
(4)|A1F|＋|B1F|＝2p. (5)以弦AB为直径的圆与准线相切．
题组一 小题自测 1．(人A选修2－1·习题改编)过点P(－2，3)的抛物线 的标准方程是( ) A．y2＝－92x或x2＝43y B．y2＝92x或x2＝43y C．y2＝92x或x2＝－43y D．y2＝－92x或x2＝－43y
考点2 抛物线的标准方程与几何性质
角度 求抛物线方程
[例2] (1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标
原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面
积为4 3，则抛物线的方程为( )
A．y2＝6x
B．y2＝8x
C．y2＝16x
D．y2＝152π
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C 上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方 程为( )
1．(2020·全国卷Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)
上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
则p＝( )
A．2
B．3
C．6 D．9
解析：法一 因为点A到y轴的距离为9，所以可设
点A(9，yA)，
所以y2A＝18p.又点A到焦点p2，0的距离为12，
所以 9－p22＋y2A＝12，所以9－p22＋18p＝122，
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 解析：(1)设M(x，y)，因为|OF|＝p2，|MF|＝4|OF|， 所以|MF|＝2p， 由抛物线定义知x＋p2＝2p，所以x＝32p， 所以y＝± 3p.
又△MFO的面积为4 3，
3抛物线(二次函数)中的相似问题
抛物线中的相似问题三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
例1、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1与x 轴交于两点A (－1,0)、B (1,0)，与y 轴交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，在x 轴下方的抛物线上是否存在点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．例2：在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x =沿y 轴向上平移1个单位，再沿x 轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3x =与平移后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ． （1）求△ABC 面积；（2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标．例3、如图，平面直角坐标系中，点A 、B 、C 在x 轴上，点D 、E 在y 轴上，OA =OD =2，OC =OE =4，DB ⊥DC ，直线AD 与经过B 、E 、C 三点的抛物线交于F 、G 两点，与其对称轴交于M .点P 为线段FG 上一个动点(与F 、G 不重合)，PQ ∥y 轴与抛物线交于点Q . (1)求经过B 、E 、C 三点的抛物线的解析式；(2)是否存在点P ，使得以P 、Q 、M 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；练习题： 练1、（09青海）矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图所示，A C 、两点的坐标分别为(60)A ，，(03)C -，，直线34y x =-与BC 边相交于D 点． （1）求点D 的坐标； （2）若抛物线294y ax x =-经过点A ，试确定此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P O M 、、为顶点的三角形与OCD △相似，求符合条件的点P 的坐标．练2、、已知抛物线2y ax bx c =++经过0P E ⎫⎪⎪⎝⎭及原点(00)O ，．（1）求抛物线的解析式．（2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC△与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？练3：如图1，已知抛物线的顶点为A （0，1），矩形CDEF 的顶点C 、F 在抛物线上，D 、E 在x 轴上，CF 交y 轴于点B （2，0），且其面积为8。
九年级数学《相似三角形-复习课》课件
C
OA
Bx
1、如图1，在∆ABC中，∠C=90。，AC=6,BC=8,点E、F在AC、 BC上，将∆ABC沿EF折叠后再展开，点C落在点D处，设 ∆EDF与四边形ABFE重叠部分的面积为y，CF的长为x.
（1）如图2，当EF//AB，CF=4时，试求y的值；
（2）当EF//AB时，试求y与x之间的函数关系式，并求何时y 的值最大；
（3）如图3，当CF=4，DF⊥BC时，求y的值.
C
C
E
F
E
F
A D
图1
BA CDB Nhomakorabea图2
F
E
A D
B 图3
（2）连接FG，若α=45，AB= 4 2 ,AF=3，求FG的长.
A
M
B
F
G
C
D
E
如图，已知抛物线y ax2 5ax 2与y轴交于点C，与x轴交于点A(1，0) 和点B. (1)求抛物线的解析式 (2)求直线BC的表达式 (3)若点N是抛物线上的动点，过点N作NH x轴，垂足为H，以B、N、 H为顶点的三角形是否能够与OBC相似(排除全等的情况)？若能，请 求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由.
（1）试证明∆ABC为直角三角形； （2）判断∆ABC和∆DEF是否相似，并说明理由； （3）画一个三角形，它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中 的三个格点且与∆ABC相似.（要求：尺规作图，保留痕迹， 不写作法和证明）
如图，M是线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME= ∠A=∠B=α,且DM交AC于点F，ME交BC于点G. （1）写出图中的3对相似三角形，并证明其中的一对；
1.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P从A点出发，按 A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的 距离为y，则y关于x的函数大致图像是（ ）
相似三角形的判定复习课(共23张ppt)
AC=AN•cos∠BAO= t；
∴OC=OA-AC=6-t，∴N（6-t， t）．
∴NM=
=
；
又：AM=6-t，AN= t（0＜t≤6）；
①当MN=AN时，
= t，即：t2-8t+12=0，t1=2，t2=6（舍去）；
②当MN=MA时，
=6-t，即： t2-12t=0，t1=0（舍去），t2= ；
解：（1）由题意，A（6，0）、B（0，8）， 则OA=6，OB=8，AB=10； 当t=3时，AN= t=5= AB，即N是线段AB的中点； ∴N（3，4）． 设抛物线的解析式为：y=ax（x-6），则： 4=3a（3-6），a=- ； ∴抛物线的解析式：y=- x（x-6）=- x2+ x．
（2）在此运动的过程中，△MNA的面积是否存在最大值？若 存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
解得DM= ；
②DM与BE是对应边时，DM=
∴DM2+DN2=MN2=1， 即DM2+4DM2=1，
DN，
解得DM= ．
∴DM为 或 时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似． 故选C．
2、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为 直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长 线于点N，过点B作BG⊥MN于G． （1）求证：△BGD∽△DMA； （2）求证：直线MN是⊙O的切线
证明：（1）∵MN⊥AC于点M，BG⊥MN于G， ∴∠BGD=∠DMA=90°． ∵以AB为直径的⊙O交BC于点D， ∴AD⊥BC，∠ADC=90°， ∴∠ADM+∠CDM=90°， ∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG， ∴∠DBG=∠ADM． 在△BGD与△DMA中，∠BGD=∠DMA=90°， ∠DBG=∠ADM． ∴△BGD∽△DMA；
动点问题之相似三角形
动点问题之相似三角形1．（2022•桂林）如图，抛物线y=-x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．2．（2022•辽宁）抛物线y=ax2-2x+c经过点A（3，0），点C（0，-3），直线y=-x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，点P为直线AC下方抛物线上的点，连接PA，PC，△BAF的面积记为S1，△PAC的面积记为S2，当S2=38 S1时．求点P的横坐标；（3）如图②，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．3．（2022•山西）综合与实践问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8．直角三角板EDF中∠EDF=90°，将三角板的直角顶点D 放在Rt△ABC斜边BC的中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边DE，DF分别与边AB，AC交于点M，N．猜想证明：（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDN的形状，并说明理由；问题解决：（2）如图②，在三角板旋转过程中，当∠B=∠MDB时，求线段CN的长；（3）如图③，在三角板旋转过程中，当AM=AN时，直接写出线段AN的长．4．（2022•衡阳）如图，已知抛物线y=x2-x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△NCM 与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =-x 2+c 与y 轴交于点P （0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y =-x 2+c 向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q ，平移后的抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C ．判断以B 、C 、Q 三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC 与抛物线y =-x 2+c 交于M 、N 两点（点N 在点M 的右侧），请探究在x 轴上是否存在点T ，使得以B 、N 、T 三点为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y =-x 2+c 进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y =-x 2+c 平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．6．（2022•贵港）如图，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过A （0，3）和B （72，-94）两点，直线AB 与x 轴相交于点C ，P 是直线AB 上方的抛物线上的一个动点，PD ⊥x 轴交AB 于点D ．（1）求该抛物线的表达式；（2）若PE ∥x 轴交AB 于点E ，求PD +PE 的最大值；（3）若以A ，P ，D 为顶点的三角形与△AOC 相似，请直接写出所有满足条件的点P ，点D 的坐标．7．（2022•金华）如图，在菱形ABCD 中，AB =10，sinB =35，点E 从点B 出发沿折线B -C -D 向终点D 运动．过点E 作点E 所在的边（BC 或CD ）的垂线，交菱形其它的边于点F ，在EF 的右侧作矩形EFGH ．（1）如图1，点G 在AC 上．求证：FA =FG ．（2）若EF =FG ，当EF 过AC 中点时，求AG 的长．（3）已知FG =8，设点E 的运动路程为s .当s 满足什么条件时，以G ，C ，H 为顶点的三角形与△BEF 相似（包括全等）？8．（2022•玉林）如图，已知抛物线：y =-2x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B （2，0）（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴是直线x =12，P 是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D 为线段OC 的中点，则△POD 能否是等边三角形？请说明理由；（3）过点P 作x 轴的垂线与线段BC 交于点M ，垂足为点H ，若以P ，M ，C 为顶点的三角形与△BMH 相似，求点P 的坐标．9．（2022•张家界）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A （1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数表达式及点D的坐标；（2）若四边形BCEF为矩形，CE=3．点M以每秒1个单位的速度从点C沿C E向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x 轴下方抛物线上的动点．若过点Q的直线l：y=kx+m（|k|<9）与抛物线4只有一个公共点，且分别与线段GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．。
抛物线中的等腰三角形课件
性质3
等腰三角形的对称轴是其底边 的中垂线。
等腰三角形的判定定理
01
02
03
判定定理1
若一个三角形有两个角相 等，则这两个角所对的边 也相等，即该三角形为等 腰三角形。
判定定理2
若一个三角形的中线和高 线重合，则该三角形为等 腰三角形。
判定定理3
若一个三角形的一边垂直 于另一边，且垂足是该边 的中点，则该三角形为等 腰三角形。
疑难
如何快速确定等腰三角形的存在。
解析
除了按照判定定理逐步进行外，还可以通过观察法、 数形结合法等方法快速判断。在实际操作中，可以结合 图像和计算，更直观地得出结论。
05
CATALOGUE
典型例题与练习题
典型例题解析
例题1
给定抛物线y = x^2和点A(1,1)，在抛物线上找两 点B、C，使得三角形ABC为等腰三角形。
等腰三角形的顶角平分线、中线以及高 线三线合一，这条线同样与抛物线的对 称轴重合。
性质
由于抛物线本身的对称性，所以等腰三 角形的两个底角相等。Βιβλιοθήκη 抛物线中等腰三角形的判定方法
方法一
利用定义判定。若抛物线内一三角形满足两腰相等，且底边 与抛物线对称轴平行，则此三角形为抛物线中的等腰三角形 。
方法二
利用性质判定。若一三角形在抛物线中满足两个底角相等， 且顶角平分线、中线以及高线三线合一，并与抛物线的对称 轴重合，则此三角形为抛物线中的等腰三角形。
2. 找两个与对称轴平 行的线，使得这两条 线到抛物线的距离相 等。
3. 确定这两条线与抛 物线的交点，以及抛 物线的顶点。这三个 点构成的三角形即为 等腰三角形。
如何求解抛物线中等腰三角形的参数
相似三角形与抛物线的面积比例
相似三角形与抛物线的面积比例相似三角形与抛物线是几何学中常见的两个概念。
在本文中，我们将探讨相似三角形与抛物线之间的面积比例关系。
一、什么是相似三角形？相似三角形指的是具有相同形状但不同大小的三角形。
换句话说，它们的内角相等，对应边的比例相等。
根据相似三角形的性质，我们可以得出两个重要结论：1.对应边长的比例：如果两个三角形ABC和DEF相似，则它们对应边的长度比例为AB/DE = AC/DF = BC/EF。
2.面积的比例：如果两个三角形ABC和DEF相似，则它们的面积比例为(△ABC的面积)/(△DEF的面积) = (AB²/DE²) = (AC²/DF²) = (BC²/EF²)。
二、什么是抛物线？抛物线是平面上的一条特殊曲线，它可以由一个或多个焦点和直线（称为准线）上的点的位置关系定义。
抛物线具有以下重要特征：1.焦点和准线：每个抛物线都有一个焦点和一条准线。
焦点是离抛物线最近的点，而准线则是与抛物线关联的一条直线。
2.对称性：抛物线具有对称性。
也就是说，抛物线上任意一点关于焦点的投影到准线上的距离相等。
3.焦准定理：焦距的长度等于焦点到抛物线上任意一点的距离的垂直平方。
三、相似三角形与抛物线的面积比例关系现在我们来探讨相似三角形与抛物线之间的面积比例关系。
假设有一个抛物线和在其上的一个三角形。
我们可以利用相似三角形的性质推导出它们的面积比例。
1.建立坐标系：我们可以在平面上建立一个坐标系，使准线成为x 轴，焦点为原点。
2.确定抛物线方程：假设抛物线的方程为y = ax^2。
3.确定三角形的顶点坐标：假设三角形顶点为(0, a)，(x1, y1)，(x2, y2)，其中x1和x2分别为抛物线上两点的横坐标，y1和y2为抛物线上对应点的纵坐标。
4.计算三角形的面积：通过计算三角形的底边和高，我们可以得到抛物线和三角形的面积。
∆ABC的底边长为x2 - x1，高为a - y，所以∆ABC的面积为(1/2) * (x2 - x1) * (a - y)。
抛物线与相似三角形结合的动点问题
抛物线与相似三角形结合的动点问题一、概述在数学中，抛物线与相似三角形是两个重要的概念。
抛物线具有很多有趣的性质，而相似三角形则是几何学中的重要概念之一。
本文将探讨抛物线与相似三角形结合的动点问题，通过具体的案例分析和推导，探讨这两个概念之间的通联，从而深入理解这一数学问题。
二、抛物线的基本性质1. 抛物线的定义抛物线是平面上所有到定点的距离等于其到定直线的距离的点的轨迹。
在直角坐标系中，抛物线的标准方程为 y=ax^2+bx+c，其中 a、b、c为常数，且a≠0。
2. 抛物线的焦点和准线抛物线的焦点是定点 F，准线是定直线 l。
对于标准方程 y=ax^2 的抛物线来说，焦点的横坐标为 0，纵坐标为 1/(4a)，准线的方程为 y=-1/(4a)。
3. 抛物线的对称性抛物线具有关于焦点的对称性。
即便不考虑直角坐标系下的图像，只需考虑焦点和抛物线上另一点的连线和准线的位置关系即可。
三、相似三角形的基本概念1. 相似三角形的定义相似三角形是指它们的对应角相等，并且对应边成比例。
两个三角形相似的简化表述是它们的形状相似，但尺寸不同。
2. 相似三角形的性质相似三角形的边长之比等于它们的对应边上的线段之比。
并且，对于两个相似三角形来说，它们的面积之比等于它们的相似边长之比的平方。
3. 相似三角形的判定方法判定两个三角形相似的方法有AAA判定法、AA判定法、SAS判定法、SSS判定法等。
通过这些判定方法，可以判断两个三角形是否相似。
四、抛物线与相似三角形结合的动点问题1. 问题描述考虑一个抛物线 y=ax^2 上的动点 P(x,y)，将 P 连接到抛物线的焦点F，将 P 到抛物线的准线的垂直距离记作 h，P 到抛物线的焦点的距离记作 d。
如何根据 P 的位置来求出 h 和 d 之间的关系呢？2. 问题分析我们可以通过抛物线 y=ax^2 的标准方程求解出焦点 F 的坐标，以及准线的方程。
我们可以通过 P 的坐标求出 h 和 d 之间的关系。
《数学抛物线》PPT课件
物理学中的抛体运动轨迹
01
02
03
抛体运动的定义
物体以一定的初速度抛出 后，在仅受重力的作用下 所做的运动称为抛体运动。
抛体运动的轨迹
在忽略空气阻力的情况下， 抛体运动的轨迹是一条抛 物线。
抛体运动的应用
利用抛体运动的规律，可 以研究炮弹的射程、运动 员的跳远距离等问题。
工程技术中的最优化问题
01
04 两边成比例且夹角相等， 则两个三角形相似
解析几何中直线与圆锥曲线关系
直线与抛物线的位置关系
相切、相交、相离
直线与抛物线的交点个数及判定方法
通过联立直线和抛物线方程求解，根据判别式判断交点个数
切线性质
切线与抛物线在切点处的切线斜率相等，且切线过抛物线焦点
微积分在抛物线研究中的应用
定积分在求抛物线面积中的应用
03 抛物线在生活中 的应用举例
建筑设计中的抛物线元素
1 2
抛物线型拱门和桥梁 利用抛物线的形状和结构特性，设计出具有优美 曲线和良好承重性能的拱门和桥梁。
抛物线型屋顶 抛物线型屋顶具有良好的排水性能和独特的视觉 效果，被广泛应用于现代建筑设计。
3
抛物线型幕墙 在建筑外立面上采用抛物线型幕墙，可以增加建 筑的层次感和立体感，提高建筑的美观性。
焦点、准线及离心率
抛物线的焦点
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其焦点坐标为（p/2，0）；对于 x^2=2py（p>0）的抛物线，其
焦点坐标为（0，p/2）。
抛物线的准线
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其准线方程为x=-p/2；对于
x^2=2py（p>0）的抛物线，其 准线方程为y=-p/2。
抛物线与直角三角形PPT教学课件
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
效能分析：通过变式练习，动点坐标问题可转化为方程问题，也可建立相似的直角 三角形模型，通过对图形的特征研究，形成转化思路，在巩固深化上述探究方法的 基础上，变式拓展，尽管问题的背景发生了变化，但解决问题的方法不变，反映了 动点问题“变化中不变”的规律。
© 司南朱云帆
© 司南朱云帆
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
问题 2 如图，二次函数 y 1 x2 3 x 2 的图像与直线 y 1 x 4 相交于点 A 、 B ，已知点
22
2
P 为 x 轴上的一个动点，且 PAB 为直角三角形时，求 P 点的坐标。
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复习要点 激活问题图式，拓展延伸
© 司南朱云帆
复习要点 问题启智，形成图式
把一道典型题及解法作为图式，以此为根，从基本的问题着手讨论和研 究，形成合理的知识组块和问题图式。这里，归纳提炼形成问题图式的过程 属发现性思维，注重数学规律的揭示、解题策略的优化、合情推理与演绎推 理的融合，目的是利用图式启智，引导学生探索和发现解决抛物线和直角三 角形问题所选用的方法。
P(9 4
t,t
7) 4
，代入
y
1 2
x2
9 4
x
1 ，得出
13 P1( 4
422 ,11 84
422 ) 8
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复习要点 激活问题图式，拓展延伸
解法探究：
如图，过点 P 作 PD x 轴于 D ，当 BQ PB 时，RtBEQ ≌ RtPDB ，PD EB 7 ， 4
© 司南朱云帆
复习要点 激活问题图式，拓展延伸
初中数学说课稿PPT课件(珍藏版)：与抛物线有关的三角形存在性
与抛物线有关的 三角形的存在性
说课程序
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
教材分析
地位与作用
教学目标
重点与难点
与抛物线有关的三角形的存在性性问题，是与抛物线
结合在一起的三角形的殊形状及其相关属性是否存在问题， 是动点、几何图形和抛物线的综合，是初中数学综合型试 题中比较多见、比较重要的一种图形变换。这类问题覆盖 知识面广、综合性较强、题意构思精巧、解题方法灵活， 对学生的探究能力要求比较高。近几年在全国中考题中频 频出现的，比如今年九年级期中调研考试第21题.本节课 为主要是以与抛物线有关的三角形的周长的最小值，直角 三角形，等腰三角形和相似三角形的存在性探究。本节课 既是对抛物线知识的拓展和延伸，也是对学生数学综合能 力的进一步拓展，具有很重要的地位。
性问题；掌握解决存在性问题的一般步骤。
难点： 1. 能根据每一种情况建方程（或坐标点的关系）求值； 2. 将每一种情况转化为分类画图、求值验证的过程，
培养学生的转化能力、建模能力。
说课程序
教材分析 教法学法 教学过程 教学反思
教法学法
设计思路
教法分析
学法分析
复习导入：画抛问物题线导的入草图
自主质疑
的和最小易于上手,初步体验存在
性问题，学生能够充满
信心的进行下一步的探
究,顺利导出课题.
∴存在点E,使⊿OCE的周长最小，此时，点E(1, 1.5).
初中数学中考专题复习第二轮
与抛物线有关的 存在性问题 (一)
教学过程
创设情境 引入新课
教
学
师生互动 合作探究
流
程
学以致用 变式练习
归纳小结 拓展延伸
抛物线与相似三角形ppt课件
• （1）如图，过点A作AH⊥y轴，垂足为H． • 在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
• 所以AH＝1，OH＝ ．3 所以A （-1, 3 ）
• 因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点， • 设y＝ax(x－2)，代入点A（-1，3） 可得 a=．3
• 所以抛物线的表达式为y=33x(x-2)=33x23 -233x
.
• （2）由y=33x(x-2)=33x2-233x
• 得抛物线的顶点M的坐标为(1, 3 ) ．所以
• tan∠BOM＝ 3
3
3
• 所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．
.
.
小结 找对应点（利用同角或等角） 分类讨论
.
作业：如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2） 三点。 （1）求此抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存 在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？ 若存在， 请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最 大，求出点D的坐标。
.
作业：能力培养——专题：抛物线 与相似三角形
.
.
• 3、如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M 的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正 半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
• （1）求这条抛物线的表达式； • （2）连结OM，求∠AOM的大小； • （3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，
求点C的坐标．
.
抛物线与相似三角形
.
学习目标：
1、根据条件构造相似三角形，在二次函数的综 合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点 的坐标。 2、通过二次函数背景下的相似三角形问题的探 究学习，能体验、接受基本的数学思想，如数形 结合思想、分类讨论思想等.
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2、如图，A(-1,-5),B(0,-4),C(4,0),点D在x轴的 正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB 相似，试求点D的坐标．
△ABO是固定不动的，
分析△ABO的边角条件
分析点D的位置：
点D在点C的左边还是右 边？
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2、如图，A(-1,-5),B(0,-4),C(4,0),点D在x轴的 正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB 相似，试求点D的坐标．
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• （2）由y=33x(x-2)=33x2-233x
• 得抛物线的顶点M的坐标为(1, 3 ) ．所以
• tan∠BOM＝ 3
3
3
• 所以∠BOM＝30°．所以∠AOM＝150°．
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小结 找对应点（利用同角或等角） 分类讨论
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作业：如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2） 三点。 （1）求此抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存 在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？ 若存在， 请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最 大，求出点D的坐标。
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作业：能力培养——专题：抛物线 与相似三角形
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• 3、如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M 的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A和x轴正 半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．
• （1）求这条抛物线的表达式； • （2）连结OM，求∠AOM的大小； • （3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，
求点C的坐标．
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抛物线与相似三角形
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学习目标：
1、根据条件构造相似三角形，在二次函数的综 合题中利用其性质求出线段的长度，从而得出点 的坐标。 2、通过二次函数背景下的相似三角形问题的探 究学习，能体验、接受基本的数学思想，如数形 结合思想、分类讨论思想等.
教学重点：
相似三角形的判定与性质在二次函数综合题中的 运用。
• （1）如图，过点A作AH⊥y轴，垂足为H． • 在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，
• 所以AH＝1，OH＝ ．3 所以A （-1, 3 ）
• 因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点， • 设y＝ax(x－2)，代入点A（-1，3） 可得 a=．3
• 所以抛物线的表达式为y=33x(x-2)=33x23 -233x
教学难点：
根据条件构造相似三角形解决问题。
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1.求二次函数解析式的一般方法： ▪ 已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择 一般式y=ax2+bx+c ; ▪ 已知图象的顶点坐标（或对称轴或 最值）通常选择 顶点式y=a(x-h)2+，k
▪ 已知图象与x轴的两个交点的横坐标为 x1、x2，通常选择 交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
设点D（a,0）,则CD=x-4 B A2,B O 4,B C 42
24 2 4 x4
2 x4 4 42
.
x20 D1(20,0) x6 D2(6,0)
小结 —找对应点（利用同角或 等角） 分类讨论
分两种情况：
① BA CB BO CD
② BA CD BO CB
分类标准： 夹角相等，两边对应成比例 数形结合： 求线段CD的长，写点D的坐标
.
2.特殊角的三角函数值
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3
1
3
3
.
练一练
1、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
△ABC相似,那么AF=__85__或___52_
A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.E
F1
F2
B
C
.
2、如图，A(-1,-5),B(0,-4),C(4,0),点D在x轴 的正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与 △OAB相似，试求点D的坐标．
分两种情况：
① BA CB BO CD
② BA CD BO CB
.
2、如图，A(-1,-5),B(0,-4),C(4,0),点D在x轴的 正半轴上，若以点D、C、B组成的三角形与△OAB 相似，试求点D的坐标．
BA 2 BO4 CB4 2 CD?
.
①当 BA CB BO CD
②当 BA CD BO CB