高等数学-习题答案-方明亮-第一章

习 题 1-1

1．求下列函数的自然定义域：

（1

）2

1

1y x

=

+- 解：依题意有210

20x x ⎧-≠⎨+≥⎩

，则函数定义域{}()|2x 1D x x x =≥-≠±且．

（2

）21arccos

x y -= 解：依题意有221

1360x x x ⎧-≤⎪⎨⎪-->⎩

，则函数定义域()D x =∅． （3）2ln(32)y x x =-+-；

解：依题意有2320x x -+->，则函数定义域{}()|12D x x x =<<．

（4）31

2x x

y -=；

解：依题意有30x x -≠，则函数定义域{}()|x 0,1D x x x =-∞<<+∞≠±且．

（5）1sin

1,121;

x y x x ⎧

≠⎪=-⎨⎪=⎩,

， 解：依题意有定义域{}()|D x x x =-∞<<+∞．

（6

）1arctan y x =+解：依题意有0

30x x ≠⎧⎨-≥⎩

，则函数定义域{}()|3x 0D x x x =≤≠且．

2．已知()f x 定义域为[0,1]，求2(), (sin ), (), ()()f x f x f x a f x a f x a +++-

(0a >)的定义域．

解：因为()f x 定义域为[0,1]，所以当201x ≤≤时，得函数2()f x 的定义域为[1,1]-；

当0sin 1x ≤≤时，得函数(sin )f x 定义域为[2π,(21)π]k k +； 当01x a ≤+≤时，得函数()f x a +定义域为[,1]a a --+；

当0101x a x a ≤+≤⎧⎨

≤-≤⎩

时，得函数()()f x a f x a ++-定义域为：（1）若1

2a <，

[],1x a a ∈-；（2）若1

2

a =，12x =；（3）若1

2

a >，x ∈∅．

3

．设21()1,f x x ⎛⎫= ⎝其中0,a >求函数值(2),(1)f a f ．

解：因为21()1f x x ⎛⎫=- ⎝，则 22

11

(2)142a f a a a a -⎛⎫=

-= ⎪⎝⎭，20 ,>1,11(1)1 2 ,0<<111a a f a a ⎛⎫⎧-=-= ⎪⎨ ⎪-⎩

⎝⎭．

4．设1||1,()0||1,

()21|| 1.x x f x x g x x <⎧⎪

===⎨⎪->⎩

，求(())f g x 与(())g f x ，并做出函数图形．

解：121(())0211 21x x x

f g x ⎧<⎪==⎨⎪->⎩

，即10(())001 0x f g x x x <⎧⎪

==⎨⎪->⎩，

101

2||1(())2||12||1x g f x x x -⎧<⎪==⎨⎪>⎩，即2||1(())1||11 ||1

2

x g f x x x ⎧⎪<⎪

==⎨⎪⎪>⎩，函数图形略．

5．设1,0,()1,0,x x f x x +<⎧=⎨≥⎩试证：2,

1,[()]1, 1.x x f f x x +<-⎧=⎨≥-⎩

证明：1(),()0[()]1,()0f x f x f f x f x +<⎧=⎨

≥⎩，即2,

1,

[()]1,1

x x f f x x +<-⎧=⎨

≥-⎩，得证． 6．下列各组函数中，()f x 与()g x 是否是同一函数？为什么？ （1

）

))

()ln

,()ln

3f x x g x ==- ；

不是，因为定义域和对应法则都不相同． （2

）()()f x g x ==； 是．

（3）22()2,()sec tan f x g x x x ==-； 不是，因为对应法则不同． （4）2()2lg ,()lg f x x g x x ==； 不是，因为定义域不同．

7．确定下列函数在给定区间内的单调性： （1）3ln y x x =+，(0,)x ∈+∞； 解：当(0,)x ∈+∞时，函数13y x =单调递增，2ln y x =也是单调递增，则12

y y y =+在(0,)+∞内也是递增的．

（2）1x

y x

-=

-，(,1)x ∈-∞． 解：(1)11

1111

x x y x x x ---===+

---，当(,1)x ∈-∞时，函数11y x =-单调递增，则21111y y x ==

-是单调递减的，故原函数1x

y x

-=-是单调递减的． 8. 判定下列函数的奇偶性． （1

）lg(y x =+；

解：因为1()lg(lg(lg(()f x x x x f x --=-+==-+=-，

所以lg(y x =+是奇函数．

（2）0y =；

解：因为()0()f x f x -==，所以0y =是偶函数． （3）22cos sin 1y x x x =++-；

解：因为2()2c o s s i n 1f x x x x -=+--，()()()()f x f x f x f x -≠-≠-且，所以