复变函数第四章解析函数得幂级数表示法知识点总结

第四章解析函数得幂级数表示法

§1、复级数得基本性质

1、(定理4、1)复级数收敛得充要条件:实部虚部分别收敛。

2、(定理4、2)复级数收敛得充要条件(用定义):对任给得>0,存在正整数N(),当n>N

且p为任何正整数时,

注1:收敛级数通项必趋近于零;

注2:收敛级数各项必有界;

注3:级数省略有限个项不改变敛散性。

3、(定理

4、3)收敛

4、(定理4、4)

(1)绝对收敛得复级数可任意重排,不改变收敛性,不改变与;

(2)两个绝对收敛得复级数可按对角线方法得出乘积(柯西积)级数,也绝对收敛于。

5、一致收敛得定义:对任给得>0以及给定得,存在正整数N=N(,z),当n>N时,有

式中

6、不一致收敛得定义

7、(定理4、5 柯西一致收敛准则):级数收敛得充要条件就是:任给>0,存在正整数N=N(),使当n>N时,对一切,均有

8、(定理4、5’不一致收敛准则):

9、(优级数准则):如果有正数列,使对一切,有|)|≤,且正项级数

收敛复级数在集E上绝对收敛且一致收敛。

10、优级数定义:称为得优级数。

11、(定理4、6)级数各项在点集E上连续,且一致收敛于f(z),则与函数

也在E上连续。

12、(定理4、7 积分求与符号可交换)级数得各项在曲线C上连续,且一致收敛于f(z),则沿C可逐项积分

13、内闭一致收敛:有界闭集上一致收敛

14、(定理4、8)在圆K:|z-a|

对任意正整数,只要

15、(定理4、9 魏尔斯特拉斯定理):设(1)函数在区域D内解析;(2)在D内内闭一致收敛于函数f(z):

则:

(1)f(z)在D内解析;

(2)

(3)在D内内闭一致收敛于

§2、幂级数

1、(定理4、10 阿贝尔定理):幂级数在某点(≠a)收敛它必在

圆K:|z-a|<|-a|(以a为圆心,圆周通过得圆)内绝对收敛且内闭一致收敛。

2、(推论4、11):幂级数在某点(≠a)发散在以a为圆心,圆周通过得圆周外发散。

3、收敛半径:圆周内部绝对收敛,圆周外部发散。

4、(定理4、12 收敛半径R得求法柯西-阿达马公式):(不能缺项)如果幂级数

得系数满足:

或

或

则幂级数得收敛半径:

注:上极限:收敛子数列得极限值得上确界值。

5、例4、5:(4)(缺项幂级数)

6、(定理4、13):

(1)幂级数

得与函数f(z)在其收敛圆K:|z-a|

(2)在K内,幂级数可逐项求导至任意阶,且收敛半径相同;

(3)(p=0,1,2,…),即

§3、解析函数得泰勒展开式

1、(定理4、14 泰勒定理):设f(z)在区域D内解析,a D,只要圆K:|z-a|

其中系数

(:|-a|=,0<)

2、(定理4、15)函数f(z)在区域D内解析得充要条件:D内任一点a得邻域内可展开成z-a得幂级数,即泰勒级数

3、柯西不等式:泰勒系数满足:(0<

4、(定理4、16):幂级数收敛半径R>0,且在收敛圆周C:|z-a|

注:找收敛半径=找最近奇点

5、一些初等函数得泰勒展式:

(1)

(2)cosz

(3)sinz

(4)多值函数

(5)

例题:

(1)将在z=0展成泰勒级数

(2)求得展式

§4、解析函数零点得孤立性及唯一性定理

1、m阶零点定义:…,,m=1称为单零点。

注:泰勒展开第一项即为m阶导

2、(定理4、17):不恒为零得解析函数f(z)以a为m阶零点得充要条件为:

在a得邻域内解析,且≠0

3、(定理

4、18):不恒为零得解析函数得零点必就是孤立得

4、(推论4、19):设

(1)函数f(z)在邻域K:|z-a|

(2)K内有f(z)得一列零点{}(≠a)收敛于a,

f(z)在K内必恒为零

5、(定理4、20 唯一性定理):

(1)函数在区域D内解析;

(2)D内有一个收敛于得点列{}(≠a),其上等值

在D内恒等

6、(推论4、21)设在区域内解析得函数在D内得某一子区域(或一小段弧)上相等

在D内恒等

7、(推论4、22)一切在实轴上成立得恒等式,只要等式两边在z平面上都就是解析得

等式在z平面上也成立

8、(定理4、23 最大模原理等价于最小模原理):函数f(z)在D内解析|f(z)|在D内任何点都不能达到最大值,除非在D内f(z)恒等于常数

9、(推论4、24):设:(1)f(z)在有界区域D内解析,在闭域上连续;

(2)

则除f(z)为常数得情形外,

即:最大值一定在边界上取到,除非就是常值函数。