所以当cos θ=1时，)0()(min min f f =θ
154
4)531(522=-+-=a a ，
得a =2 或a = 4（舍）， 综上得a = 2． 2．单调性 若所构造的函数在指定区间上具有单调性时，求最值可用单调性解决，但要注意自变量的取值范围。
例2．已知圆C ：（x + 4）2 + y 2
= 4， 圆D 的圆心D 在y 轴上且与圆C 相外切，圆
D 与y 轴交于A 、B 点，点P 为（–3，0），当点D 在y 轴上移动时，求∠APB 的最大值。 分析：设D （0，b ）
),0(r b A +，,0(r b B -圆外切有162=+r b 所以1242
2
-+=r r b 又 3r b k PA +=
，k PB 因此r r
b r
b r b APB 346
9
133tan 22-=-+
--
+=∠，
由 512tan ,2≤
∠≥APB r 得， 因此5
12
arctan 最大值为APB ∠。
3．判别式
利用判别式求最值要有主元变换的思想 ，而且原方程必须存在实数解，即原问题中的最值是存在的。
例3．过P （-2，-3）的直线L 与x 轴、 y 轴的负半轴交于A 、B 点，求使△AOB 面积最小时的L 方程。
分析： 设L 的方程为1=+b
y
a x （a ＜0 )0,<
b ，有13
2=--b
a ，得23+-
=a a b ， 所以 4
23212+-==∆a a ab S AOB
，即 04232=++s sa a ，由方程有实数根得 ()043422
≥⨯⨯-=∆s s ， 即12≥s
或)(0舍≤s ，从而得a =–4，b = -6 4．均值不等式
用均值不等式求最值要积累“配凑”技 巧与方法，同时三条件“一正二定三相等”缺一不可。
例4．过P （-2，-3）的直线L 与x 轴、 y 轴的负半轴交于A 、B 点，求使△AOB 面积最小时的L 方程。
分析：设L 方程 y + 3 = k （x + 2） （k ＜0），所以
OB OA S •=2
1
()k k 233221-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
()1294216≥⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+
=k k ， 当且仅当 k k 94-=- 时， 即2
3
-=k ，
或)(2
3
舍=k ，得3 x + 2 y + 12 = 0。
二．三角策略
圆、椭圆、双曲线的参数方程，为我们将某些最值问题转化为三角问题且利用三角函数的有界性来研究提供了可能性。利用三角函数求最值要有主元变换思想，把三角函数化为单一三角函数是难点。
例5．已知x 、y 满足
()()114
22
2
=-+-y x 则
y
x 1
+ 的最小值是 分析：设x = 2 + 2cos θ， y = 1 + sin θ，令
t y
x =+1
，则 t =++θθ
sin 1cos 23，即4
3)sin(2+-=-t t φθ 所以
14
32≤+-t t ，得 6
5≥
t 三．几何策略
若题目中的条件与结论能蕴涵特定的 几何特征及几何意义，那么不妨借助图形，利用几何性质或定义来处理最值问题。
1． 赋予特定的几何意义
有些最值问题具有相应的几何意义，如求分数最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式， 由
)(2
12121C C
B B A A ==联想两直线平行或重合等。若能恰当地利用其
几何意义，便有助于最值问题的解决。
例6．已知x 、y 满足
()()114
22
2
=-+-y x 则
y
x 1
+ 的最小值是 分析：求
y
x 1
+
值，即求
1
+x y 的
最大值。 而1
+x y
看作两点A （x ，y ）与
B （ -1 ，0）的斜率。故等价于在椭圆上找一个点A ，使它与B 连线斜率最大。 设AB 方程为y = k （x + 1） 由方程组
得
()(
)()
0484488142222
=+-+--++k k x k k x k
()()1)14
2)
1(22=-+-+=y x x k y ｛
