固体物理：10-金属电子论
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固体物理-金属电子理论解析
N’ N(EF)f(EF)E N(EF0)(2kBT)/2＝ N(EF0) kBT
1
由于：N EF0 C EF0 2
及
N 2C 3
EF0
3 2
N
EF0
3N 2EF0
于是，
N
3N 2EF0
kBT
而每个电子热运动的平均能量为
3 2 kBT
由于热激发，系统所获得的能量为
E T
N
3 2
3. 能态密度
E k
2k 2
2
2m 2m
kx2
k
2 y
kz2
这表明，在k空间中，自由电子的等能面为球面，在能 量为E的球体中，波矢k的取值总数为
k 4k3
3
每一个k的取值确定一个电子能级，若考虑电子自旋， 根据Pauli原理每一个能级可以填充自旋方向相反的两 个电子。如将每一个自旋态看作一个能态，那么，能 量为E的球体中，电子能态总数为
另一方面，电子由于碰撞而失去其定向运动。设电
子相邻两次碰撞之间的时间间隔为，且一旦发生碰撞， 电子就完全失去其定向运动。粗略假想，所有电子都在 时间内同时发生碰撞，其结果使分布回到平衡状态， 这样反复循环。于是，可求出费米球心移动的距离为
k dk e
dt
所以，电子的定向漂移速度为
1
d
m
2. Pauli顺磁 这里只考虑T 0的极端情况。
当B=0时，由于电子 自旋方向相反的两种 取向的几率相等，所 以，整个系统不显示 磁性，即M=0。
E
- B
E0
F
当B 0时，自旋磁矩 在磁场中的取向能：
N(E)/2
0
B=0
B
N(E)/2
B平行于B： －BB； B反平行于B： ＋ BB
1
由于：N EF0 C EF0 2
及
N 2C 3
EF0
3 2
N
EF0
3N 2EF0
于是，
N
3N 2EF0
kBT
而每个电子热运动的平均能量为
3 2 kBT
由于热激发，系统所获得的能量为
E T
N
3 2
3. 能态密度
E k
2k 2
2
2m 2m
kx2
k
2 y
kz2
这表明，在k空间中，自由电子的等能面为球面，在能 量为E的球体中，波矢k的取值总数为
k 4k3
3
每一个k的取值确定一个电子能级，若考虑电子自旋， 根据Pauli原理每一个能级可以填充自旋方向相反的两 个电子。如将每一个自旋态看作一个能态，那么，能 量为E的球体中，电子能态总数为
另一方面，电子由于碰撞而失去其定向运动。设电
子相邻两次碰撞之间的时间间隔为，且一旦发生碰撞， 电子就完全失去其定向运动。粗略假想，所有电子都在 时间内同时发生碰撞，其结果使分布回到平衡状态， 这样反复循环。于是，可求出费米球心移动的距离为
k dk e
dt
所以，电子的定向漂移速度为
1
d
m
2. Pauli顺磁 这里只考虑T 0的极端情况。
当B=0时，由于电子 自旋方向相反的两种 取向的几率相等，所 以，整个系统不显示 磁性，即M=0。
E
- B
E0
F
当B 0时，自旋磁矩 在磁场中的取向能：
N(E)/2
0
B=0
B
N(E)/2
B平行于B： －BB； B反平行于B： ＋ BB
金属电子论
导热
电子是热的载体，金属受热或存在温度场时，在
温度场驱动下，电子会发生定向漂移运动，从而 将热量从高温端传向低温端，形成导热现象
由于导电和导热均是源于外场驱动电子的定向漂
移运动，另一方面，金属中含有大量的电子，因 此，金属既是电又是热的良导体
延展性
对于金属，自由电子间只有胶合作用，当金属晶 体受到外力作用时，金属阳离子及原子间易产生 滑动而不易断裂，因此金属经机械加工可加工成 薄片或拉成金属丝，表现出良好的延展性
近年来，凝聚态与材料物理领域中很多重要的发现，如巨磁电 阻、庞磁电阻、高温超导、多铁效应以及新的量子态等，对这 些新效应的了解均是以电子的状态和行为的了解为基础的。
从本章开始，我们将转向对固体中电子的状态和行为的分析和 讨论。遵循先易后难的原则，本章介绍金属中的电子状态和行 为，而对周期性势场中运动的电子状态和行为将在第下章介绍。
(r)
其中V0为电子在金属中的势 能，为电子的本征能量。
取 V0 0,则有：
h2 2 (r) (r)
2m
该方程的解为： (r) Ceikr其中＝ h2k 2
2m
采用周期性边界条件：
(x L, y, z) (x, y, z) (x, y L, z) (x, y, z) (x, y, z L) (x, y, z)
§1.2 金属自由电子气的量子理论
§1.2.1电子状态和能量
晶体运动的电子虽然在晶体中是自由的，但活动范围也只 能限制于晶体内部，相当于在无限深势井中的粒子一样。
z y
x 无限深势阱
在体积V=L3内有 N个自由电子， 其中L为立方边
的边长
单电子的状态用波函数描述，薛定谔方程为
h2 2m
固体物理第六章 金属电子论
由于发射热电子的能量必须大于势井的深度，所以要求：
1 mV 2 x 2
实际上， 所以有：
(
1 mV 2
2
E F ) k BT
mv 2 2 k BT
m 3 E F / k BT dn 2 ( ) e e 2
dvx dvy dvz
同经典情况 完全类似。 同样可以得出量子理论所相应的电流表示式：
V dk 在体积 dk 内包含的量子态数为：2 3 ( 2 )
统计平均的电子数为： f ( E ) 2V 3 dk (2 )
• 能级E上的平均电子数为： f ( E ) N ( E )dE
2. 费米能级
• T=0K时 • ∴ • T≠0K时
EF
的确定：
0 EF EF 此时f(E) ≈1
电子系统的热容为： CV
近自由电子为例：
[
2
3
0 N ( EF )(k BT )]k B
讨论晶体中电子的热容量： 对于近自由电子：N ( E ) 4V ( 2m ) 3 / 2 E 1/ 2
h2
在费米能级处：
N(E0 ) F
3N 2E0 F
2
k BT 代入上面的公式得： CV N 0 ( 0 )k B 即： Cv T 2 EF 可见，与温度成线性关系。 而前面讨论晶格振动时， bT 3 T 得到晶格振动的热容量是 在一般温度下： 与温度的三次方成正比。 而当温度接近0K时： 物理解释是什么？ bT 3 T
• 定积分： • 所以： • 附近展开
1 2 (e 1)(e 1) d 3
2
N Q( EF )
1 2 Q( EF )( k BT ) 2 6
固体物理学：第4章 金属自由电子论
1、费米分布的性质
FFD
1
FFD
1 e / kT
1
1T 0 f FFD 1
f
FFD 0
εf ε
T 0 时所有粒子排满费米能级以下的能级，
费米能级以上能级全空。
UESTC
FFD
1
（2）T 0
f
1 FFD 2
1/2
随着温度升高，有部分粒子
获得能量从 f以下能态跃迁到 f
0
1 p 1
p 1 f
n1
2
kT
2n
1
1 22n1
2n
d 2n
d
2n f
p 1 f
2 2
6
4
4
9
UESTC
应用积分公式
E
3 5
NE
f
0
1
5
12
2
kT Ef0
2
电子平均能量
E
E N
3 5
EF 0
2
4
kT
kT EF 0
UESTC
4、费米面
k空间中，能量为EF，即半径为 KF
以上能态。但无论温度多高，
T=0 T >0
εf ε
在
能态被粒子占据的几率始终为 1
f
2
。
UESTC
2、电子能量
dE FFD g d
T = 0 电子总能量
EF0
1
5
E0
c
2 d
22 5 cEF0
0
UESTC
T ≠0
积分公式
E
0
e
1 EF / kT 1
c 1 / 2d
第五章：金属的电子理论
dN ( E ) 3 2me 2 dE 2
3/ 2
3/ 2
E1/ 2
V 3 2
V 2me 2 2 2 3N ( E ) 2E
E1/ 2
DOS: number of electrons/unit energy in a range E ~ E + dE
自由电子模型总结
• 即使在金属中，传导电子的电荷分布（ charge distribution）收到 离子芯强烈静电势的影响。因此，自由电子模型描述传导电子的运 动特性（kinetic properties）最为合适。传导电子与离子之间的相 互作用将在能带理论中讨论。 • 最简单的金属是碱金属：Li, Na, K, Rb, Cs。在这些单价金属中，N 原子构成的晶体有N 个电子和N 个正离子。 • 自由电子模型产生于在量子理论建立之前。经典Drude模型成功导 出欧姆定律（Ohm’s law），以及电导和热导的关系。但是，由于 使用了Maxwell经典统计分布，它不能解释比热容（heat capacity） 和磁化率（magnetic susceptibility ）。后来Sommerfeld在量子理 论基础上重建了该模型。
~ 10eV
1/ 3 2 pF kF 3 N ~ 108 cm / sec vF V me me me
2/3 2 2 2 EF 2 3 N ~ 105 K TF kF kB 2me kB 2me kB V
态密度（Density of states, DOS）
L N (E) 2 2
dN ( E ) L 2me 1 N ( E ) 2me E , D( E ) dE E 2
《金属电子论》课件
学生可以尝试运用金属电子论的知识，分析其他材料的电子结构和性质，提高自己的实践能力和创新能 力。
THANK YOU
课程目标
01
掌握金属电子论的基本概念和原理。
02 理解金属中电子的能级结构和跃迁过程。
03
学习金属电子论在材料科学和电子工程中 的应用。
04
培养学生对科学研究的兴趣和探索精神。
02
金属电子论的基本概念
金属电子的定义
金属电子
01
金属中的自由电子，不受原子核束缚，可以在金属中自由移动
。
金属电子的形成
生物医学材料
金属电子材料在生物医学 领域中具有应用潜力，如 用于制造医疗器械和生物 植入物。
05
金属电子的发展趋势与挑战
金属电子的发展趋势
金属电子材料创新
随着科技的不断进步，新型金属电子材料不断涌现，如石墨烯、过渡 金属硫族化合物等，具有优异性能和广阔应用前景。
金属电子器件微型化
随着微纳加工技术的发展，金属电子器件正朝着微型化、集成化的方 向发展，这将极大提高电子设备的性能和能效。
生态环境影响与可持续发 展
金属电子材料的生产和使用过 程中产生的环境问题不容忽视 ，如何在推动技术发展的同时 降低对环境的影响，实现可持 续发展，是亟待解决的问题。
06
结论
课程总结
金属电子论是研究金属中电子运动和行为的理 论，它对于理解金属的物理和化学性质具有重 要意义。
金属电子论主要涉及金属中电子的能级、跃迁 和散射等过程，以及这些过程对金属的导电性 、热学性质和光学性质等的影响。
总结词
阐述金属对光的吸收和发射特性与电子行为的关系。
要点二
详细描述
金属对光的吸收和发射特性与内部自由电子的行为密切相 关。当光照射到金属表面时，自由电子可以吸收光子的能 量并跃迁到更高能级，这一过程称为光的吸收。当这些电 子重新跃迁回低能级时，会释放出能量，表现为光子的发 射。不同的金属对光的吸收和发射特性不同，这与其内部 自由电子的性质有关。
THANK YOU
课程目标
01
掌握金属电子论的基本概念和原理。
02 理解金属中电子的能级结构和跃迁过程。
03
学习金属电子论在材料科学和电子工程中 的应用。
04
培养学生对科学研究的兴趣和探索精神。
02
金属电子论的基本概念
金属电子的定义
金属电子
01
金属中的自由电子，不受原子核束缚，可以在金属中自由移动
。
金属电子的形成
生物医学材料
金属电子材料在生物医学 领域中具有应用潜力，如 用于制造医疗器械和生物 植入物。
05
金属电子的发展趋势与挑战
金属电子的发展趋势
金属电子材料创新
随着科技的不断进步，新型金属电子材料不断涌现，如石墨烯、过渡 金属硫族化合物等，具有优异性能和广阔应用前景。
金属电子器件微型化
随着微纳加工技术的发展，金属电子器件正朝着微型化、集成化的方 向发展，这将极大提高电子设备的性能和能效。
生态环境影响与可持续发 展
金属电子材料的生产和使用过 程中产生的环境问题不容忽视 ，如何在推动技术发展的同时 降低对环境的影响，实现可持 续发展，是亟待解决的问题。
06
结论
课程总结
金属电子论是研究金属中电子运动和行为的理 论，它对于理解金属的物理和化学性质具有重 要意义。
金属电子论主要涉及金属中电子的能级、跃迁 和散射等过程，以及这些过程对金属的导电性 、热学性质和光学性质等的影响。
总结词
阐述金属对光的吸收和发射特性与电子行为的关系。
要点二
详细描述
金属对光的吸收和发射特性与内部自由电子的行为密切相 关。当光照射到金属表面时，自由电子可以吸收光子的能 量并跃迁到更高能级，这一过程称为光的吸收。当这些电 子重新跃迁回低能级时，会释放出能量，表现为光子的发 射。不同的金属对光的吸收和发射特性不同，这与其内部 自由电子的性质有关。
《金属电子论》课件
电子设备：金属电子在电子设备中的应用，如手机、电脑等 汽车行业：金属电子在汽车行业的应用，如电动汽车、自动驾驶汽车等 航空航天：金属电子在航空航天领域的应用，如卫星、火箭等 医疗行业：金属电子在医疗行业的应用，如医疗器械、生物传感器等
纳米技术：利用纳米材料提高金属电子的性能和稳定性 3D打印技术：实现金属电子的个性化定制和快速生产 生物电子技术：将生物技术与金属电子相结合，开发新型生物传感器和医疗设备 柔性电子技术：开发柔性金属电子器件，提高产品的便携性和适应性
磁性来源：电子自旋和轨道运 动产生的磁矩
磁性分类：铁磁性、反铁磁性 和顺磁性
磁性特点：铁磁性金属具有较 强的磁性，反铁磁性和顺磁性 金属磁性较弱
磁性应用：磁性材料在电子、 通讯、医疗等领域有广泛应用
PART FIVE
电子结构：金属电 子的电子结构决定 了其物理和化学性 质
材料性能：金属电 子的应用可以改善 材料的力学、电学、 热学等性能
PART FOUR
金属的导电性主要取决于其电子的 流动性
金属的导电性与其电子密度有关， 电子密度越高，导电性越好
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
金属中的电子可以在金属内部自由 移动，形成电流
金属的导电性还与其晶体结构有关， 晶体结构越规则，导电性越好
金属的导热性主要取决于其电子的性质 金属的导热性与其电子的密度和自由度有关 金属的导热性与其电子的迁移率有关 金属的导热性与其电子的散射率有关
合金设计：金属电 子的应用可以指导 合金的设计和优化
电子器件：金属电子 的应用可以制造高性 能的电子器件，如半 导体、超导体等
半导体器件：金属电子在半导体器件中起到关键作用，如晶体管、二极管等。 集成电路：金属电子在集成电路中用于连接各个元件，如导线、焊点等。 电子设备：金属电子在电子设备中用于传输信号和能量，如天线、电源线等。 电子材料：金属电子在电子材料中用于制造各种电子元件，如金属氧化物半导体、金属薄膜等。
固体物理金属电子论作业答案
K+离子位移： 位移： l
E48 1040 F m 2 105V m 1 9.25 1017 m 1.6 1019 C
Cl+离子位移：
l
Eeff
q
3.29 1040 F m 2 105V m 1 2.06 1016 m 1.6 1019 C
2m 2 9.1110 kg
8.711019 J 5.44eV
EF 0 8.7110 19 J TF 63116 K 23 k B 1.38 10 J / K
2）费米波矢
k F 3 n
2
1/ 3
(3 3.142 5.86 1022 cm3 )1/ 3 1.20 108 cm1
•传统硅基集成电路的栅介电材料和互连介质材料均为SiO2，但随集成度的提高， 需要提高栅介电的介电常数，而互连介质的介电常数最好能降低。根据克劳修斯莫索提关系，请试给出你认为可行的技术措施。 答：根据克劳修斯-莫索提关系，介电常数与原子密度和原子极化率有关。 提高介电常数：掺N(致密度或极化率提高）或采用其它氧化物（ZrO2、HfO2等） 降低介电常数：掺F（利用F离子强束缚电子特性降低极化率）或制备多空SiO2或 采用有机材料。
3） 费米速度
0 2 EF k F 1.05 10 34 J s vF 1.20 1010 m 1 m m 9.1110 31 kg
1.38 106 m / s 1.38 108 cm / s
3.用a3代表每个原子占据的体积，若金属中的自由电子气体在温 度为0K时能级被填充到kF0=(62)1/3/a，试计算每个原子的价电子 数目？并导出电子气在温度0K时的费米能的表达式？ 解：假设价电子数位Z，则电子浓度为： n
E48 1040 F m 2 105V m 1 9.25 1017 m 1.6 1019 C
Cl+离子位移：
l
Eeff
q
3.29 1040 F m 2 105V m 1 2.06 1016 m 1.6 1019 C
2m 2 9.1110 kg
8.711019 J 5.44eV
EF 0 8.7110 19 J TF 63116 K 23 k B 1.38 10 J / K
2）费米波矢
k F 3 n
2
1/ 3
(3 3.142 5.86 1022 cm3 )1/ 3 1.20 108 cm1
•传统硅基集成电路的栅介电材料和互连介质材料均为SiO2，但随集成度的提高， 需要提高栅介电的介电常数，而互连介质的介电常数最好能降低。根据克劳修斯莫索提关系，请试给出你认为可行的技术措施。 答：根据克劳修斯-莫索提关系，介电常数与原子密度和原子极化率有关。 提高介电常数：掺N(致密度或极化率提高）或采用其它氧化物（ZrO2、HfO2等） 降低介电常数：掺F（利用F离子强束缚电子特性降低极化率）或制备多空SiO2或 采用有机材料。
3） 费米速度
0 2 EF k F 1.05 10 34 J s vF 1.20 1010 m 1 m m 9.1110 31 kg
1.38 106 m / s 1.38 108 cm / s
3.用a3代表每个原子占据的体积，若金属中的自由电子气体在温 度为0K时能级被填充到kF0=(62)1/3/a，试计算每个原子的价电子 数目？并导出电子气在温度0K时的费米能的表达式？ 解：假设价电子数位Z，则电子浓度为： n
固体物理第二章金属自由电子论
u为平均附加速度: v
v :电场附加给电子的平均速度(平均附加速度)。?? 10
考虑某一个电子，从上次碰撞发生起，有t时间的行 程。如果无外电场，其速度为v0。根据特鲁德模型德假 设，碰撞后电子出现的方向是随机的，因此v0将对总体 的电子平均速度毫无影响，即：
v0 0
但在外电场存在条件下，在上一次碰撞后立即附加
上一个速度：
eEt vt m
(E为外加电场，m为电子质量)。因此电子平均速度 只是由各电子的附加速度取平均获得。
vv0vt
eE
m
t2 t1
11
欧姆定律E=j ，其中E为外加电场强度、为电阻率、j 为电流密度。
成功用微观量解释了宏观量！
12
特鲁德模型的其他成功之处
Nat. Photon. 1, 641, 2007
EF0 ~ 几个eV
定义 Fermi 温度：
TF
E
0 F
kB
物理意义：设想将EF0转换成热振动能，相当于多高温度 下的振动能。
金属：TF： 104 ~ 105 K 36
一些金属元素费米能与费米温度的计算值
元素
Li Na K Rb Cs Cu Ag Au Be
EF0 (eV) 4.72 3.23 2.12 1.85 1.58 7.00 5.48 5.51 14.14
怎么求dN！ 接下来问题就来了！ dU EdN
Here comes the problem U EdN
16
§2.2 Sommerfeld的自由电子论
核心问题
怎么求dN！
对于理想气体貌似有某个方法 对于dV范围内的分子数为： dN=dV内分子密度×dV
对于dE范围内的：
固体物理学_金属电子论之各向同性弹性散射和弛豫时间
外，碰撞项又可化为：
E k , k k k
dk 3 2 x
由弹性散射的性质 k k ，故积分实际上在关于 k 的等能面上进行。 我们可以在极坐标下完成这一积分，取k 的方向为极轴，k 和 k 的夹角为 ，如 下图：
2
3
2
3
将 f 按 E 的级数展开，有：
f f 0 f1
f1 代入方程 将 f 0 代入玻耳兹曼方程，则碰撞项为0，故将 f 0 代入方程左方， 右方，得到一级方程：
q dk E k f0 k k , k f k f k 3 1 1 2
f1 k f1 k k , k dk
2
3
E kx k , k E k x
dk
2
3
k 变化，否则 k , k 0。故 E 可提出积分号 由弹性散射的性质E E且不随
第5节 各向同性弹性散射和弛豫时间
上节引入的弛豫时间 (k ) 物理意义不够明确,因此考虑一个具体的实例导出 弛豫时间是很有意义的,晶体的各向同性弹性散射正是这样一个特例。
各向同性弹性散射的含义： 1、它的能带情况是各向同性的，也就是说 E (k )与 k 的方向无关，只是 k 的函数
k 只跃迁到能量相同的 k 态，用公式表示如下： 2、散射是弹性的，
qE k x dE f 0 dk k , k f k f k 1 3 1 k dk E 2
取试探解：
f1 (得：
k k
E k , k k k
dk 3 2 x
由弹性散射的性质 k k ，故积分实际上在关于 k 的等能面上进行。 我们可以在极坐标下完成这一积分，取k 的方向为极轴，k 和 k 的夹角为 ，如 下图：
2
3
2
3
将 f 按 E 的级数展开，有：
f f 0 f1
f1 代入方程 将 f 0 代入玻耳兹曼方程，则碰撞项为0，故将 f 0 代入方程左方， 右方，得到一级方程：
q dk E k f0 k k , k f k f k 3 1 1 2
f1 k f1 k k , k dk
2
3
E kx k , k E k x
dk
2
3
k 变化，否则 k , k 0。故 E 可提出积分号 由弹性散射的性质E E且不随
第5节 各向同性弹性散射和弛豫时间
上节引入的弛豫时间 (k ) 物理意义不够明确,因此考虑一个具体的实例导出 弛豫时间是很有意义的,晶体的各向同性弹性散射正是这样一个特例。
各向同性弹性散射的含义： 1、它的能带情况是各向同性的，也就是说 E (k )与 k 的方向无关，只是 k 的函数
k 只跃迁到能量相同的 k 态，用公式表示如下： 2、散射是弹性的，
qE k x dE f 0 dk k , k f k f k 1 3 1 k dk E 2
取试探解：
f1 (得：
k k
固体物理金属电子论一
第一章 金属电子论（1）
1
第一节 德鲁特电子气模型及复 习
2
德鲁特电子气模型
金属具有下列性质 • 电的良导体 • 热的良导体 Question：Why？ 德鲁特于1900年提出了关于金属电子运动的
经典模型。
3
鲁特认为，金属中的原子在形成金属时，原来封闭的内层电子（芯电子）仍然被 束缚在一起与原子核形成原子实。原子实在金属中形成长程的周期性结构。封闭 壳层外的电子（价电子）受原子核束缚较弱，可以自由移动，德鲁特将其称为自 由电子气系统。而金属中的导电、导热特性就由价电子确定。电子气的特征参量 可作如下估算： 1）价电子浓度。设金属原子原子量为A，密度为 ,每个原子提供Z个传导电 子；则每立方厘米价电子数n为
54
从该公式中我们发现杂质散射与晶格散射最大的不同是，杂质散 射的弛豫时间与温度无关。即使温度为零，杂质散射以及由杂质 散射引起的电阻仍然存在。
55
第七节 金属的热导率和热电势
本节将讨论金属的导热能力。我们知道，材料的导热性有两个方 面的贡献，一是由于晶格振动引起的声子传热，二是材料中的自 由电子导热。由于绝缘体的导热能力比金属差很多，我们可以预 期金属较强的导热能力是由传导电子引起的。因而本节主要考虑 金属中电子的热导率。
程中电子能量是守恒的。然而该过程中电子动量不守恒，守恒的是
电子加声子的总动量（对于N过程）。
51
现在我们估算A的值。
52
杂质散射
杂质散射的讨论比较简单，很多教材有很好的介绍。我们这里仅举 例讨论一下杂质散射，其思想可以推广到一般的情况。
53
设杂质浓度为ns。一般地，杂质的浓度是很小的，因而电子受杂 质散射时，可以合理的假定每次只和一个杂质原子发生相互作用， 也就是说电子受杂质的散射是独立的。 我们同时假设杂质原子是固定的原子，因而电子每次散射时能量 守恒。同时，杂质可以由一个静态势U(r)描写。
1
第一节 德鲁特电子气模型及复 习
2
德鲁特电子气模型
金属具有下列性质 • 电的良导体 • 热的良导体 Question：Why？ 德鲁特于1900年提出了关于金属电子运动的
经典模型。
3
鲁特认为，金属中的原子在形成金属时，原来封闭的内层电子（芯电子）仍然被 束缚在一起与原子核形成原子实。原子实在金属中形成长程的周期性结构。封闭 壳层外的电子（价电子）受原子核束缚较弱，可以自由移动，德鲁特将其称为自 由电子气系统。而金属中的导电、导热特性就由价电子确定。电子气的特征参量 可作如下估算： 1）价电子浓度。设金属原子原子量为A，密度为 ,每个原子提供Z个传导电 子；则每立方厘米价电子数n为
54
从该公式中我们发现杂质散射与晶格散射最大的不同是，杂质散 射的弛豫时间与温度无关。即使温度为零，杂质散射以及由杂质 散射引起的电阻仍然存在。
55
第七节 金属的热导率和热电势
本节将讨论金属的导热能力。我们知道，材料的导热性有两个方 面的贡献，一是由于晶格振动引起的声子传热，二是材料中的自 由电子导热。由于绝缘体的导热能力比金属差很多，我们可以预 期金属较强的导热能力是由传导电子引起的。因而本节主要考虑 金属中电子的热导率。
程中电子能量是守恒的。然而该过程中电子动量不守恒，守恒的是
电子加声子的总动量（对于N过程）。
51
现在我们估算A的值。
52
杂质散射
杂质散射的讨论比较简单，很多教材有很好的介绍。我们这里仅举 例讨论一下杂质散射，其思想可以推广到一般的情况。
53
设杂质浓度为ns。一般地，杂质的浓度是很小的，因而电子受杂 质散射时，可以合理的假定每次只和一个杂质原子发生相互作用， 也就是说电子受杂质的散射是独立的。 我们同时假设杂质原子是固定的原子，因而电子每次散射时能量 守恒。同时，杂质可以由一个静态势U(r)描写。
黄昆 固体物理 讲义 第六章
在 k 空间， E = E F 的等能面称为费米面。 1.
E F 的确定
-2CREATED BY XCH
REVISED TIME: 05-5-12
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
V 电子按能量的统计分布 ： dZ = N ( E )dE —— N ( E ) 状态密度 在 E − E + dE 之间状态数（量子态数） 在 E − E + dE 之间的电子数： dN = f ( E ) N ( E )dE
1 e
E − EF k BT
+1
0 0
当温度 T = T K ， E > E F 的状态中， 电子填充的几率增大，E < E F 如果 E F = E F 不随时间变化，
0
的状态中，电子填充的几率减小。费密分布函数在 E F = E F 左右的增加和减小是对称的。如图
0
XCH006_005 所示。 —— 对于近自由电子， N ( E ) ∝ E
3 0 dE = E F 5
结果：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量。这是因为电子必须满足泡利不相容原理，每
REVISED TIME: 05-5-12 -3CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第六章 金属电子论_20050406
个能量状态上只能容许两个自旋相反的电子。这样所有的电子不可能都填充在最低能量状态。 绝对温度 T ≠ 0 时金属中电子费密能量
—— EF是费米能量或化学势：体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。
电子的总数： N =
∑ f (E )
i i
—— 对所有的本征态求和
在温度 T ≠ 0 的情况时：在 E = E F ， f ( E F ) =
高二物理竞赛课件：金 属 电 子 论
金属电子论
Electron theory of Metals
引言
前面几章中, 我们介绍了晶体的结构、晶体的结合、晶格振动及 热学性质, 其内容涉及固体中原子（或离子）的状态及运动规律, 属于固体的原子理论. 但要全面深入地认识固体, 还必须研究固体中电子的状态及运动 规律, 建立与发展固体的电子理论. 在本章中, 我们将集中讨论金属, 金属在固体性质的研究和应用 中占据着重要位置: 100余个化学元素中, 在正常情况下, 约有75种 元素晶体处于金属态, 人们经常使用的合金更是不计其数；金属 因具有良好的电导率、热导率和延展性等特异性质, 最早获得了 广泛应用和理论上的关注.
第一节 费米统计和电子热容量
3. 特鲁德模型的成就与困难: 1) 成就 能解释电导的微观机理
j v
nev
at
eE me
j
ne2
me
E
E
ne2
me
2) 困难 理论计算的电子比热与实验不符
每n个个电自子由自度由的度能为量3nkT/2总能量3nkT/2 CV 3R / 2
但实验表明: 金属中自由电子对热容的贡献很小, 只是有理论值的 百分之一. 显然, 特鲁德电子模型的计算结果与实验不相符合.
考虑温度T=0K, 在体积为V=L3 (立方体)的金属中, 设含有N个彼此 无相互作用的电子, 其位矢为(x, y, z). 每一个电子波动方程满足定 态薛定谔方程:
2 2m
(
2 x 2
2 y 2
2 z 2
)
V (x,
y,
z)
( x,
y,
z)
E
( x,
y, z)
势能:
z
V (x, y, z) 0, 0 x, y, z L V (x, y, z) , x, y, z 0 or x, y, z L
Electron theory of Metals
引言
前面几章中, 我们介绍了晶体的结构、晶体的结合、晶格振动及 热学性质, 其内容涉及固体中原子（或离子）的状态及运动规律, 属于固体的原子理论. 但要全面深入地认识固体, 还必须研究固体中电子的状态及运动 规律, 建立与发展固体的电子理论. 在本章中, 我们将集中讨论金属, 金属在固体性质的研究和应用 中占据着重要位置: 100余个化学元素中, 在正常情况下, 约有75种 元素晶体处于金属态, 人们经常使用的合金更是不计其数；金属 因具有良好的电导率、热导率和延展性等特异性质, 最早获得了 广泛应用和理论上的关注.
第一节 费米统计和电子热容量
3. 特鲁德模型的成就与困难: 1) 成就 能解释电导的微观机理
j v
nev
at
eE me
j
ne2
me
E
E
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me
2) 困难 理论计算的电子比热与实验不符
每n个个电自子由自度由的度能为量3nkT/2总能量3nkT/2 CV 3R / 2
但实验表明: 金属中自由电子对热容的贡献很小, 只是有理论值的 百分之一. 显然, 特鲁德电子模型的计算结果与实验不相符合.
考虑温度T=0K, 在体积为V=L3 (立方体)的金属中, 设含有N个彼此 无相互作用的电子, 其位矢为(x, y, z). 每一个电子波动方程满足定 态薛定谔方程:
2 2m
(
2 x 2
2 y 2
2 z 2
)
V (x,
y,
z)
( x,
y,
z)
E
( x,
y, z)
势能:
z
V (x, y, z) 0, 0 x, y, z L V (x, y, z) , x, y, z 0 or x, y, z L
固体物理学_金属电子论之驰豫时间近似和导电率公式
2
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
3 导电率公式 —— 固体的各向异性，导电率是一个张量
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
f 0 dk 2q (k ) v (k ) v (k ) 3 E (2 )
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 特鲁德关于金属电子模型的假设
电子与原子实的碰撞是随机事件
—— 可以改变电子运动的方向
每次碰撞后，电子的运动方向也是随机的
忽略电子与电子的碰撞
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 特鲁德关于金属电子模型的假设 电子与原子实连续两次发生碰撞的时间间隔 —— 平均自由时间 时间里，电子发生碰撞的次数为 1 —— dt时间里碰撞的次数 —— 单位时间内电子发生碰撞的几率
与 无关
—— 积分中其余的因子都是球对称__积分结果间近似和导电率公式 —— 金属电子论
各向同性
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
f 0 [k (k )] 导电率 0 dE 2 * 3 m E q
驰豫时间和有效质量
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 根据金属电导论，可以得出电子的自由程
—— 因为在低温时
费密能量处电子的速度要比v0高出几个数量级 —— 导电率主要取决于费米面附近电子的贡献
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
nq m
2
根据能量均分定理
—— 室温下
—— 电子的自由程 —— 实际电子的自由程在低温下可达到
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
3 导电率公式 —— 固体的各向异性，导电率是一个张量
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
f 0 dk 2q (k ) v (k ) v (k ) 3 E (2 )
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 特鲁德关于金属电子模型的假设
电子与原子实的碰撞是随机事件
—— 可以改变电子运动的方向
每次碰撞后，电子的运动方向也是随机的
忽略电子与电子的碰撞
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 特鲁德关于金属电子模型的假设 电子与原子实连续两次发生碰撞的时间间隔 —— 平均自由时间 时间里，电子发生碰撞的次数为 1 —— dt时间里碰撞的次数 —— 单位时间内电子发生碰撞的几率
与 无关
—— 积分中其余的因子都是球对称__积分结果间近似和导电率公式 —— 金属电子论
各向同性
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
f 0 [k (k )] 导电率 0 dE 2 * 3 m E q
驰豫时间和有效质量
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
—— 根据金属电导论，可以得出电子的自由程
—— 因为在低温时
费密能量处电子的速度要比v0高出几个数量级 —— 导电率主要取决于费米面附近电子的贡献
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
nq m
2
根据能量均分定理
—— 室温下
—— 电子的自由程 —— 实际电子的自由程在低温下可达到
06_04_驰豫时间近似和导电率公式 —— 金属电子论
金属电子论-正文
金属电子论-正文研究金属中电子运动状态的理论。
金属由一种或多种元素的原子所组成。
晶体学和金属学从原子尺度研究金属，而电子论则从电子的运动状态阐述金属的结构与特性。
当孤立的原子结合成金属时，各原子的原子核和内层电子所构成的离子实变化很少，而外层电子的运动状态则显著改变。
金属中带正电的离子实组成周期排列的空间点阵，而带负电的外层电子则由原来被束缚在单个原子内的局域状态变为整个点阵所共有的状态。
因此，这些电子可以起到导电、导热作用，称为传导电子或自由电子。
传导电子的公有化是金属键的主要特点。
电子论阐述;①单个电子在金属中受到的作用力,以及在其作用下电子的运动状态；②金属中数量极大，本质上相同的电子在不同的能量状态中的分布；③在前二者的基础上对电子进行统计研究，获得有关的宏观性质。
金属中的传导电子，既受到所有离子实的作用，也受其他众多的传导电子的作用。
早期的经典电子论，把金属中的传导电子作为在金属内部自由运动的经典粒子。
除碰撞外不受点阵离子实的作用。
它们相当于容器中自由运动的理想气体的分子（因而称为自由电子气），电子的能量是可以连续变化的，自由电子气服从玻耳兹曼（Boltzmann）分布律。
量子力学建立之后，用以处理自由电子运动，并采用量子统计，使自由电子论得到了发展。
后来又用周期场来反映离子实点阵的作用，得到了能带理论。
在具有周期起伏势场的离子实点阵中，在相邻两阵点间的中点附近，场强接近于零；但在离子实中心附近，电子受到很强的吸引力，处理这问题可以有不同的近似方法。
近自由电子理论以自由电子状态作为起点，考虑一个微小起伏的周期势场的影响，用微扰法解薛定谔方程。
图 1b是一维情况下的主要结果（图 1是自由电子论中自由能级和波数的关系曲线）。
对于大多数能级，电子和自由电子相似,E-k曲线仍为抛物线,E为电子能量，k为电子波数。
但在（a为点阵周期,n为整数）附近，曲线发生间断，出现能隙，E-k曲线偏离原来的抛物线。
固体物理学_金属电子论之功函数和接触势差分析
06_02 功函数和接触势差
1 热电子发射和功函数
热电子发射电流密度
j
~
exp
W kBT
W —— 功函数
金属中电子势阱高度为
—— 正离子的吸引
—— 电子获得足够的能量 有可能脱离金属
—— 产生热电子发射电流
经典电子论热电子发射电流密度的计算 —— 电子服从麦克斯韦速率分布率
速度在
区间的电子数密度
e
EF kBT
e
mv2 2kBT
dv
dn
2
m
2
3
EF
e kBT
e
mv2 2kBT
dv
与经典结果
对比
3
2
m
2
3
e
EF kBT
replace
n0
m
2 kBT
2
jQuantum
4m(kBT )2 (2)3
q
EF
e kBT
W
—— 比较热电子发射电流密度 j ~ e kBT
功函数 W EF
W —— 导带中费密能级附近的电子离开金属必须做的功
2 不同金属中电子的平衡和接触电势
—— 两块不同金属A和B相互接触 金属的费米能级不同，相互接触时发生电子交换 达到平衡后, 两块金属中产生接触电势差
—— 接触电势差的计算 单位时间从金属A单位表面逸出的电子数 —— 电流密度
单位时间从金属B单位表面逸出的电子数
q
EFBAqB Nhomakorabea量子理论热电子发射电流密度的计算 —— 电子的能量 —— 将电子看作准经典粒子 —— 电子的速度
单位体积(V=1)中，在
1
dZ 2 (2 )3 dk
1 热电子发射和功函数
热电子发射电流密度
j
~
exp
W kBT
W —— 功函数
金属中电子势阱高度为
—— 正离子的吸引
—— 电子获得足够的能量 有可能脱离金属
—— 产生热电子发射电流
经典电子论热电子发射电流密度的计算 —— 电子服从麦克斯韦速率分布率
速度在
区间的电子数密度
e
EF kBT
e
mv2 2kBT
dv
dn
2
m
2
3
EF
e kBT
e
mv2 2kBT
dv
与经典结果
对比
3
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m
2
3
e
EF kBT
replace
n0
m
2 kBT
2
jQuantum
4m(kBT )2 (2)3
q
EF
e kBT
W
—— 比较热电子发射电流密度 j ~ e kBT
功函数 W EF
W —— 导带中费密能级附近的电子离开金属必须做的功
2 不同金属中电子的平衡和接触电势
—— 两块不同金属A和B相互接触 金属的费米能级不同，相互接触时发生电子交换 达到平衡后, 两块金属中产生接触电势差
—— 接触电势差的计算 单位时间从金属A单位表面逸出的电子数 —— 电流密度
单位时间从金属B单位表面逸出的电子数
q
EFBAqB Nhomakorabea量子理论热电子发射电流密度的计算 —— 电子的能量 —— 将电子看作准经典粒子 —— 电子的速度
单位体积(V=1)中，在
1
dZ 2 (2 )3 dk
固体物理(第10课)金属电子论
n V N La
3
Z
M
Z
M
其中NL为单胞数，na为单胞中 原子数，Z为价电子数，a3为单 胞体积，ρ为元素密度，NA为 阿伏加德罗常数，M为原子量， 典型值为1022~1023个/cm3 电子平均半径 rs
电子势垒模型
V 1 4 3 rs N n 3 3 13 3 13 rs ( ) ( ) a 典型值： ~ 2A 1 4n 4na Z
作业
1.
2.
特鲁德模型对金属晶体中的电子作了哪些假 设,试根据特鲁德模型推导金属晶体中电压与 电流的关系. 试说明特鲁德模型中金属中的电子对热容的 贡献.
第5章 金属(自由)电子论
金属:导电、导热、延展、光亮、易加工。 金属晶体都是密排结构，提高结合能。
面心立方：Au Cu Al 六方密集：Be Mg Zn Ca 少数体心立方：Li Na K Rb Cs
金属原子配位数很多，超过其价电子数。价电子形成 非局域电子，因此每个原子有很多空轨道，因此，非局 域电子移动容易，近似于自由电子。 汤姆逊发现电子，提出电子在电场作用下运动，形成 电流。同时气体分子运动论也已成熟。
5.1 经典的金属自由电子论
5.1.1 特鲁德模型(示意图) 为了说明导电、导热等物理现象。 金属由正离子和电子组成，满壳层电子与原子核构 成原子实，外壳层电子即价电子数为-eZ，受到原子 核束缚较弱，称为传导电子，弥散于金属内部，构成 自由电子气体。 服从玻尔兹曼统计：e-hω/kT，在外电场作用下服从 牛顿运动定律。 每个电子对热容的贡献是3kBT/2。但与实验值相差 较大。
金属电子的平均自由程
me 平均自由时间 测量ρ即可知 2 ne 如铜在T 273K时 1.56 cm 得到 2.7 1014 s 平均自由程 v 1 3 2 根据经典的能量均分定理，有 me v k BT 2 2 7 1 根据上述模型，室温下，v 的值约为10 cm s 算出金属中电子的平均自由程为 1 ~ 10 A 实验测试值为10 3 A，特鲁德模型有较大误差 未考虑波粒二象性，电子散射。
3
Z
M
Z
M
其中NL为单胞数，na为单胞中 原子数，Z为价电子数，a3为单 胞体积，ρ为元素密度，NA为 阿伏加德罗常数，M为原子量， 典型值为1022~1023个/cm3 电子平均半径 rs
电子势垒模型
V 1 4 3 rs N n 3 3 13 3 13 rs ( ) ( ) a 典型值： ~ 2A 1 4n 4na Z
作业
1.
2.
特鲁德模型对金属晶体中的电子作了哪些假 设,试根据特鲁德模型推导金属晶体中电压与 电流的关系. 试说明特鲁德模型中金属中的电子对热容的 贡献.
第5章 金属(自由)电子论
金属:导电、导热、延展、光亮、易加工。 金属晶体都是密排结构，提高结合能。
面心立方：Au Cu Al 六方密集：Be Mg Zn Ca 少数体心立方：Li Na K Rb Cs
金属原子配位数很多，超过其价电子数。价电子形成 非局域电子，因此每个原子有很多空轨道，因此，非局 域电子移动容易，近似于自由电子。 汤姆逊发现电子，提出电子在电场作用下运动，形成 电流。同时气体分子运动论也已成熟。
5.1 经典的金属自由电子论
5.1.1 特鲁德模型(示意图) 为了说明导电、导热等物理现象。 金属由正离子和电子组成，满壳层电子与原子核构 成原子实，外壳层电子即价电子数为-eZ，受到原子 核束缚较弱，称为传导电子，弥散于金属内部，构成 自由电子气体。 服从玻尔兹曼统计：e-hω/kT，在外电场作用下服从 牛顿运动定律。 每个电子对热容的贡献是3kBT/2。但与实验值相差 较大。
金属电子的平均自由程
me 平均自由时间 测量ρ即可知 2 ne 如铜在T 273K时 1.56 cm 得到 2.7 1014 s 平均自由程 v 1 3 2 根据经典的能量均分定理，有 me v k BT 2 2 7 1 根据上述模型，室温下，v 的值约为10 cm s 算出金属中电子的平均自由程为 1 ~ 10 A 实验测试值为10 3 A，特鲁德模型有较大误差 未考虑波粒二象性，电子散射。
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