函数的值域(最值)与零点

第04讲：函数的值域（最值）与零点
【复习要求】
1、掌握函数值域和函数最值的常见类型的求法。

2、掌握解决零点个数的相关方法。

【复习重点】
1、函数值域和函数最值的常见类型的求法；
2、数形结合解决零点问题；
【复习难点】
1、函数值域和函数最值的常见类型的求法；
2、数形结合解决零点问题；
【知识梳理】
1．设函数()y f x =的定义域为D ，则{}
(),y y f x x D =∈叫做函数的值域。

2．设函数()y f x =在0x 处的函数值是0()f x ，如果对定义域内的任意x ，都有
0()()f x f x ≥，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最小值；如果对定义域内的任意x ，都有0()()f x f x ≤，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最大值。

3．求函数值域或最值的常用方法：
（1）配方法；适用于二次函数或可转化为二次函数的函数，要特别注意自变量的范围； （2）分离常数法；分式函数（如下4：常见函数值域或最值）
（3）换元法；根据函数解析式的特点常用三角换元、整体换元，用换元法求最值时，要注意新变量的取值范围；
（4）判别式法：适用于化为二次函数的函数，由0≥△，求出y 的取值范围，要检验函数的这个最值在定义域内是否有相应的x 值；
（4）数形结合法；从理解函数的几何意义着手，看能否与距离、斜率等相通；
（5）利用基本函数的性质；利用函数在相应区间上的单调性，由于最值是对函数的总体而言，若需对问题分段讨论，最后必须比较，整合。

（6）利用基本不等式：利用基本不等式求函数最值时，一定要注意满足“一正，二定，三相等”的原则；
（7）*导数法：等等。

4．常见函数值域或最值：
①一次函数：b kx y +=，重点看k ，利用单调性解决；
②二次函数：)0(2≠++=a c bx ax y 重点看a 、对称轴与定义域的位置关系（配方法），利用单调性解决； ③分式函数：
（1）最简分式函数：()()
a ad ad cx d
b b ax b a a b
c a
d c c c y cx d cx d c cx d c c cx d ++--
+-===+=+++++；
再利用反比例函数图象或单调性解决（也可用反函数法）；
变形：22
sin 111
;;sin 111
x x e x x y y y e x x θθ--+-===++++等 （2）耐克函数：(0)a
y x a x
=+＞重点看a ，即图象顶点与定义域的位置关系，再利用反
比例函数图象或单调性解决；
变形：形如：2ax bx c
y dx e
++=+的函数可以利用分子配方成分母dx e +的形式，从而转化成
类耐克函数形式，利用耐克函数性质解决； （3）形如：2dx e
y ax bx c
+=
++即在（2）形式取倒，利用同（2）法化成类耐克函数（或
'
'''(''0)'
b y a x
c a b x =+
+＜形式，此情况理科生要求掌握）的倒数形式，而后利用复合函数形式解决；
（4）形如：22'''
ax bx c
y a x b x c ++=++常用判别式法（一般△＜0才适用）或者分离整数法（把
其转化上面“（3）+常数”的形式）； ④形如()()y f x g x =+
的函数（()f x 是常数或一次式，()g x 是x 的一次或二次式），
常用换元法（代数或三角换元）或平方法；
5. 零点：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点； 函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实根，也就是说函数()y f x =的图象与x 轴的交点的横坐标，所以：
方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点 函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实根，因此，函数的零点与方程的根是一一对应。

6. 二分法：一般的如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
()()0f a f b ⋅＜，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)x a b ∈，使得()0f c =，这个c 就是方程()0f x =的实根；
通常每次把()y f x =的零点所在的小区间(,)a b 收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步逼近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法；
【典型例题】
类型1、一次函数值域问题
例1、解决值域： （1）
{}21,(1,2,3,4,5)y x x =+∈
（2） 32(11)y x x =+-＜＜
类型2、最简分式函数值域问题
例2、函数1
1
y x =
+的的值域是 ( ) A. R B.(,1)(1,)-∞-⋃-+∞ C.(0,)+∞ D.(,0)(0,)-∞⋃+∞
例3、(1 ) 2,[1,4]y x x =-
∈ （2） 1+=x x y （3） 312
x y x +=-(13)x -≤＜
（4）11(1)y x x =-- （5）2211x y x -=+ （6）[)3,2,1
21
22
2-∈-+++=x x x x x y
类型3、耐克函数及其他分式函数值域问题
例4、求下列各函数的值域： （1）2y x x =+
（2）[]2
(2,4)y x x x
=+∈ （3）2211()212x x y x x -+=>- （4）221
21
x y x x -=-+
（5）2256
6x x y x x -+=++ （6）12x y x +=+
（6）66
52
2-++-=x x x x y （7）22
11
x x y x x +-=++
变式练习：已知函数22
2()(0)1x bx c
f x b x ++=<+的值域为［1，3］，求实数b 、c 的值 由y =1
22
2+++x c bx x 得 (2－y )x 2
+bx +c －y =0,(*) 当y －2≠0,由x ∈R,有Δ=b 2－4(2－y )·(c －y )≥0
即4y 2
－4(2+c )y +8c －b 2
≤0，由已知得2+c =1+3且4
82b c -=1×3
∴b =±2,c =2又b <0,∴b =－2,c =2, 而y －2=0,b =－2,c =2代入(*)式得x =0 ∴b =－2,c =2为所求
例5、求下列函数的值域：
（1） 已知54x ＜，求1
4145
y x x =-+
-的最大值 （2） 如果函数2b
y x x
=+(0)x ＞的值域为[)6,+∞。

求b 的值。

例6、已知()22x x a
f x x
++=
（1） 当1
4
a =，求证：()*13()4f n n N ≥∈ （2） 若对任意()1.0x f x ≥＞恒成立。

求实数a 的取值范围。

例7解决下列应用题：
（1）、某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部的边长分别为x ，y(单位：m)，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为82
m ,问x,y 分别为多少时用料最省？（精确到0.001m ）
（2错误！未指定书签。

）．（2013年高考上海卷（理））(6分+8分)甲厂以x 千克/小时的
速度运输生产某种产品(生产条件要求110x ≤≤),每小时可获得利润是3100(51)x x
+-元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x 的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润.
【答案】(1)根据题意,33
200(51)30005140x x x x
+-
≥⇒--≥ 又110x ≤≤,可解得310x ≤≤ (2)设利润为y 元,则4290031161100(51)910[3()]612
y x x x x =
⋅+-=⨯--+ 故6x =时,max 457500y =元.
类型4、二次函数值域问题
例8、解决下列有关值域的问题：
（1）、2241,(
[0,5))x x x -+∈ 241,([0,5))y x x x =-+∈ （2）、若函数()213
22
f x x x =
-+的定义域和值域都是[]1,(1)b b ＞，则b =_____________ （3）、函数2
23y x x =-+在[]0,m 上的值域为[]2,3，求m 的取值范围
（4）、已知,0,26x y x y ≥+=，求22
4363Z x xy y x y =++--的最值
620,0,03y x x x =-≥≥∴≤≤及
x
y
22327
26182()(03)22
Z x x x x =-+=-+≤≤，最大值18；最小值272
（5）、设函数4
1
)(2
-
+=x x x f ， (1)．若定义域为[0，3]，求)(x f 的值域； (2)．若定义域为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]16
1
,21[-，求a 的值 解：2
1
)2
1()(2
-+=x x f ，∴对称轴为21-=x ，
(1)2103->≥≥x ，∴)(x f 的值域为)]3(),0([f f ，即]447
,41[-； (2)∴-=,21)]([min
x f 对称轴]1,[2
1
+∈-=a a x ，
212321
121-≤≤-⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
-≥+-≤∴a a a ，
∵区间]1,[+a a 的中点为2
1
0+=a x ， ①当2
1
1,2121-≤≤--≥+
a a 即时， 16
1
41)1()1(,161)1()]([2max =-+++∴=+=a a a f x f ，
4
9
(4302748162-=-=⇒=++∴a a a a 不合)；
②当123,2121-<≤--<+a a 即时，161
)()]([max ==a f x f ，
41
(45051616,1614122=-=⇒=-+∴=-+∴a a a a a a 不合)；
综上，4
5
43-=-=a a 或
变式练习：已知函数：)(1)(a x R a x
a a
x x f ≠∈--+=
且 (1)．证明：()2(2)0f x f a x ++-=对定义域内的所有x 都成立. (2)．当()f x 的定义域为1
[,1]2
a a +
+ 时，求证：()f x 的值域为[3,2]--； (3)．设函数2
()|()()|g x x x a f x =+-, 求()g x 的最小值 (1)证明：x
a a a
x a x a a x x a f x f +--+-++--+=
-++21221)2(2)(
01
221121=--+--+-+=-+-++--+=
x
a x a x a a x a x x a x a a x
∴结论成立 (2)证明：x
a x a x a x f -+-=-+--=1
11)()(
当11
2,211211121-≤-≤--≤-≤---≤-≤--+≤≤+
x
a x a a x a a x a 时 21
13-≤-+-≤-x
a 即]2,3[)(--值域为x f
(3)解：)(|1|)(2a x a x x x g ≠-++=
①当a x a x x x g a x a x -++=-++=≠-≥4
3)2
1(1)(,12
2
时且 如果2
1
1-
≥-a 即21≥a 时，则函数在),(),1[+∞-a a a 和上单调递增
2min )1()1()(-=-=a a g x g ，
如果a g x g a a -=-=<-<-4
3
)21()(,21211min 时即当
而当21-
=a 时，)(x g 在2
1
==a x 处无定义，故)(x g 最小值不存在 ②当4
5)21(1)(122
-+-=+--=-≤a x a x x x g a x 时
如果4
5
)21()(23211min -==>>-a g x g a a 时即
如果2min )1()1()()1,()(2
3
211-=-=--∞≤≤-a a g x g a x g a a 上为减函数在时即
当0)2
1
()43()1(210
)23
()45()1(232222>-=---<>-=--->a a a a a a a a 时当时
综合得：
当21<a 时 g(x )最小值是a -43
当2
321≤≤a 时 g(x )最小值是2)1(-a 当23>a 时 g(x )最小值为45-a
当2
1
-=a 时 g(x )最小值不存
类型5、含绝对值的函数值域问题
例9、求下列函数值域问题： （1）21(13)y x x =--≤ (2) y=|x-1|-1,x ∈[-1,2] （3）|1||4|y x x =-++；
例10、若|1||2|x x a -++>对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.
类型6、含根式的函数值域问题
例11、求下列函数值域问题：
（1）f(x)=x-2x +3 (1≤x≤2) （2）f(x)=2x-1-x （3）f(x)=322+-x x （4）22()11f x x x =-+-
类型7、分段函数值域问题
例12、函数23
(0)()3(01)5(1)x x f x x x x x +≤⎧⎪=+<≤⎨
⎪-+>⎩
的最大值是____________.
例13、已知函数()()
()()⎪⎩
⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1x x x x x f π ,求
（1）()()()1-f f f 的值,（2）画出()x f 的图象 (3) 求函数f(x)的值域
类型8、求函数零点或方程根的问题
例14、函数3
()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是_________； 例15、函数的零点所在区间是 （ ）
1133(0,)(,1)(1,)(,2)2222
A B C D 、、、、
例16、已知函数()()()2(),()f x x a x b a b m n m n =---＜，＜是方程()0f x =的两个根，
则实数,,,a b m n 的大小关系是__________；
例17、若曲线2
|3|y x =-和直线x a =的公共点的个数为m ，m 可能的取值有________
【课后练习】
A 组
1．下列函数中值域是(0，+∞)的函数是(B)
A.125
x
y -= B.11()
2
x
y -= C.12x y =- D. 112x
y =
- 2．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［a ，b ］,则(1)f x +的值域为(A)
A.［a ,b ］
B.［a +1,b +1］
C.［a －1,b －1］
D.无法确定
3．函数y =
1
2
-x 的定义域是(-∞，1) [2,5]，则其值域是(A) A.(-∞,0) [21,2] B.(-∞,2) C.(-∞,2
1
) [2,+∞] D.(0,+∞)
4．已知函数)(,|
|1
)1
()(2)(x f x x f x f x f 则满足=
-的最小值是(D) A ．2 B ．22 C ．3
2 D ．
3
2
2 5．函数|3||1|y x x =--+(C)
A.最小值为0，最大值为4
B.最小值为-4，最大值为0
C.最小值为-4，最大值为4
D.没有最大值，也没有最小值
6．已知)12(+x f 的最大值为2，)14(+x f 的最大值为a ，则a 的取值范围是(C)
A ．2<a
B ．2>a
C ．2=a
D ．以上三种均有可能
7．已知()1
2g x x =-,2
21[()](0)x f g x x x
-=≠,则f ()21=(A) A ．15 B ．1
C ．3
D ．30
8．设函数f x x x ()()()=-><⎧⎨
⎩
1010，则()()()
()a b a b f a b a b ++-⋅-≠2的值为(C)
A.a
B. b
C.a 、b 中较小的数
D.a 、b 中较大的数 9．求下列函数的值域
(1)．221425x x y +=--+ (2)．221x x
y x x -=-+
[1,1)-；1
[,1)3
-
B 组
1．定义在R 上的函数)(x f 满足关系式:2)2
1
()21(=-++x f x f ,则+)81(f )82(f
)8
7
(f ++ 的值等于7
2．已知函数()f x 对一切实数a b ，,均满足()()()f a b f a f b +=⋅，且(1)2f =．则
(2)(3)(4)
(2007)
(1)(2)(3)
(2006)
f f f f f f f f ++++
=4012
3．设1
)(2++=
x b
ax x f (a >0)的值域为[-1，4]，则a ,b 的值为a =4, b =3 4．已知a ,b 为常数，若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++则5a b -=2 5．已知2
4
()()f x x px q g x x x
=++=+
和都是定义在}251|{≤≤=x x A 上的函数，对任
意的A x ∈，存在常数A x ∈0，有)()()()(),()(0000x g x f x g x g x f x f =≥≥且，则f (x )在A 上的最大值为 5 。

6．求下列函数的值域 (1)．544
2
--=
x x y (2)．x x y 21-+-= (3)．x
x y 1
2-= (1)函数的定义域为5,1≠-≠x x 且，
令09,9)2(542
2
≠-≥∴--=--=u u x x x u 且， 即0>u 或9
440409-≤>⇒
<≤-u u u 或， ∴函数的值域为),0(]9
4,(+∞--∞ ；
(注)这里运用了不等式性质：b a ab b a 1
10
<⇒⎩⎨⎧>>；
[解法二]原函数等价于0)45(4,4)54(2
2
=+--=--y yx yx x x y 即，
当0=y 时，得－4=0，矛盾，0≠∴y ，
)5,1(≠-≠∈x x R x 且 ，
0)49(0)45(4162≥+⇒≥++=∆∴y y y y y ，
解得函数的值域为),0(]9
4
,(+∞--∞ .
高一同步课复习资料
第11页，共11页 (2)函数的定义域为]21,(-∞.作换元，令)0(2
1212
≥-=⇒=-t t x t x ， ),0[)(,1)1(2
12122+∞∴-+=+-=∴在t f t t t y 上为增函数， 21)0(-=≥∴f y ，∴函数的值域为),2
1[+∞-； [解法二]令x x f x x f 21)(,)(21-=-=，∴原函数)()(21x f x f y +=， ∵)()(21x f x f 与在定义域内都是减函数，
∴原函数)(x f y =在定义域]21,(-∞是减函数，21)21(-=≥∴f y ， 而当-∞→x 时，+∞→y ，∴函数的值域为),21[+∞-
. (3)函数的定义域为2
1≥x ， )210(1)11(2112222≤<+--=+-=-=∴x x x x
x x y ， 由二次函数性质知函数的值域为[0，1]；
[解法二]令12-=x t ， )0(2
12≥+=∴t t x ， 10,12212)(2≤≤∴=≤+==∴y t
t t t t f y ， 即函数的值域为[0，1]。