概率统计第三四章复习题4页
概率论与数理统计第4章练习题
第四章 随机变量的数字特征一、期望29.设二维随机向量（X，Y ）的概率密度为⎩⎨⎧<<<<=,,0;x y 0,1x 0,2)y ,x (f 其它且E （X ）=1，则常数x =（ ）21.已知随机变量X 的分布律为则P {X <E （X ）}=____________.20．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0;10,2)(其他x x x f 则E （|X |）=______.7．设随机变量X 服从参数为21的指数分布，则E （X ）=（ ） A.41B.2129.假定暑假市场上对冰淇淋的需求量是随机变量X 盒，它服从区间[200，400]上的均匀分布，设每售出一盒冰淇淋可为小店挣得1元，但假如销售不出而屯积于冰箱，则每盒赔3元。
问小店应组织多少货源，才能使平均收益最大29.设某型号电视机的使用寿命X 服从参数为1的指数分布（单位:万小时）. 求:（1）该型号电视机的使用寿命超过t （t >0）的概率; （2）该型号电视机的平均使用寿命.19．设随机变量X ～B (8，，Y=2X-5，则E (Y )=______． 求： (1)常数a ,b ; (2)X 的分布函数F (x )； (3)E (X ).二、方差，则D （X ）＝（ ）,且已知E （X ）=，试求：12F （x ）.7.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（ ） （X ）=，D （X ）= （X ）=，D （X ）= （X ）=2，D （X ）=4（X ）=2，D （X ）=28.设随机变量X 与Y 相互独立，且X ~N （1，4），Y ~N （0，1），令Z=X -Y ，则E （Z 2）=（ ）28．设随机变量X 的概率密度为 ⎩⎨⎧≤≤-=.,x ,cx x f 其他；）（0222试求：（1）常数c ；（2）E （X ），D （X ）；（3）P {|X -E （X ）| < D （X ）}.7．设随机变量X~N （1,22），Y~N （1，2），已知X 与Y 相互独立，则3X-2Y 的方差为（ ） A ．8B ．16C ．28D ．4420.设随机变量X 在区间[0，5]上服从均匀分布，则D （X ）=______________. 21．设E （X 2）=0，则E （X ）=______________.22.已知E （X ）=-1，D （X ）=3，则E （3X 2-2）=____________.E （X ）及D （X ）。
概率论与数理统计复习4-5章
∑ g ( x ) p 绝对收敛,则Y的期望为 ∞
k =1 k k
∑ g(x
k =1
k
) pk
(2) 设X是连续型随机变量,概率密度为 f ( x) , 如果积分 ∫−∞ g ( x) f ( x)dx 绝对收敛,则Y的期望为
E (Y ) = E[ g ( X )] = ∫ g ( x ) f ( x )dx
例 设X的概率分布律为
X −1
0 12
1
2
p 1 3 1 6 1 6 1 12 1 4
试求Y=－X+1及 Z = X 2 的期望和方差。 X －1 0 1/2 解 由于 P 1/3 1/6 1/6 Y =－X+1 2 1 1/2 Z = X2 1 0 1/4
1 1 1 1 1 1 2 E (Y ) = ( −1) ⋅ + 0 ⋅ + ⋅ + 1⋅ + 2 ⋅ = 4 12 2 6 6 3 3
2 2
D( Z ) = E ( Z 2 ) + [ E ( Z )]2 = 2.23264
1 + x − 1 < x < 0 例 设随机变量X的概率密度为 f ( x ) = 1 − x 0 ≤ x < 1 1)求D(X）, 2)求 D ( X 2 )
解 (1) E ( X ) = ∫ x(1 + x)dx + ∫ x(1 − x)dx
第四章 随机变量的数字特征
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 数学期望的性质及随机变量函数的期望 方差及其性质
4.1数学期望 数学期望
数学期望——描述随机变量取值的平均特征 数学期望——描述随机变量取值的平均特征 一、离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量X的概率分布为
概率统计ch3_4_5习题详细解答
第三、四(六、七节)、五章 习 题 解 答习 题3.11．一个袋子中有3只黑球、5只白球一共8只球．现从中不放回地抽出三只球，求这三球中黑球数的数学期望．解：用X 表示所抽三球中的黑球数． 则 ) 3 2, 1, ,0k ( ,}{38353=⋅==-C C C k X P kk ． 56635613561525630156100C k )(33835k 3=⨯+⨯+⨯+⨯=⋅⋅=∑=-k k C C X E ． 2．从学校乘汽车到某个公园的途中有3个交通岗，假设在每个交通岗遇到红灯的概率都是0.4，并且相互独立．用X 表示途中遇到的红灯数，求X 的分布律和E(X)．解：)4.0 ,3(B X ～， 2.14.036.04.0k )(333=⨯=⨯⨯⋅=-=∑k k k k CX E ．3．根据气象资料，设某地区的年降雨量X （单位mm ）的概率密度函数为 ⎩⎨⎧<≥=- 0 x0, 0x ,)( 2x xe x f θθ，其中01.0=θ．求该地区的年平均降雨量E(X)．解：20020)()(020==⋅⋅+⋅==⎰⎰⎰+∞-∞-+∞∞-θθθdx xex dx x dx x xf X E x．4．设随机变量X 具有概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=1x 0, 1x ,11)(2x x f π，求E(X)．解：根据奇函数积分性质可得 01)()(112=-==⎰⎰-+∞∞-dx xxdx x xf X E π．5．设随机变量X 具有分布律：求E(X)，E(2X )，E(2X+3)．解：10951252231011510101)2(x )(1k =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-==∑+∞=k k p X E ； 51151252231011510101)2(x )(2222212k2=⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯+⨯+⨯-==∑∞+=k k p X E ；5245175261015513101)1()3(2x )32(1k =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=+=+∑+∞=k k p X E ． 6．设随机变量X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1 x0, 1x ,1)(2x x f ． 证明X 的数学期望不存在．证：由于+∞===∞++∞+∞∞-⎰⎰1 12ln )(x dx x x dx x xf ，发散，故数学期望不存在． 7．设随机变量X 的概率密度函数为 ⎩⎨⎧≤<=其他0, 1x 0 , )(a x k x f ， 且75.0)(=X E ，求正常数k 与a 的值．解：由11)(10=+==⎰⎰+∞∞-a k dx kx dx x f a， 75.02)()(101=+===⎰⎰++∞∞-a kdx kx dx x xf X E a ，得 2a ,3==k ．8．设) ,(b a U X ～，求)54(+X E ，)(2X E ． 解：由 2)(ba X E +=得 5)(25)(4)54(++=+=+b a X E X E ； 3)()(22222b ab a dx a b x dx x f x X E ba ++=-==⎰⎰∞+∞-．9．设随机变量X 具有概率密度函数⎩⎨⎧<≥=-0x 0, 0 x ,2)(2x e x f ，求)32(-X E ，)(3X e E -．解：232123)(2)32(-=-⨯=-=-X E X E ； 522)()(02333=⋅==⎰⎰+∞--+∞∞---dx e e dx x f e eE x x xX ． 10．一种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点．若规定疵点数不超过1为一等品，价格10元；疵点数大于1但不多于4为二等品，价格8元；疵点数4个以上者为废品，价格0元．求：(1) 产品的废品率； (2) 产品的平均价格．解：用X 表示每件产品上的疵点数，则 )(λP X ～，8.0)(==X E λ．(1) 废品率 00141.02224.21!8.01} 40 {1}4{8.048.0=-=⋅-=≤≤-=>=-=-∑e k e X P X P p k k ．(2) 用Y 表示一件产品的价格（元），Y 取值0 ,8 ,10．8088.0!8.0}10{}10{10 8.0=⋅=≤≤==∑=-k k k e X P Y P ； 1898.0!8.0}42{}8{428.0=⋅=≤≤==∑=-k k k e X P Y P ；00141.0}5{}0{==≥==p X P Y P ． 6064.900141.001898.088088.010)(=⨯+⨯+⨯=Y E （元）．习 题 3.21．设连续随机变量X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-+-<=1 x 1, 1x 1bx,a 1 x,0 )(x F ． 试求：(1)常数a 和b ； (2) E(X)，)(X Var ．解：(1) )(x F 处处连续，0)01()1(=--=-=-F b a F ，1)01()1(=+=+=F b a F ，得 5.0==b a ．⎩⎨⎧≤≤-='=他其0, 1x 1 ,5.0)()(x F x f ．(2) 05.0)(11==⎰-xdx X E ，3105.0)]([)()(112222=-=-=⎰-dx x X E X E X Var ． 2．设随机变量X 的分布律为且 0.79Var(X) ,8.0)(2==X E ．试求常数c b a , ,．解：1=++c b a ，8.0)(2=+=c a X E ，79.0)(8.0)]([)()(222=--=-=a c X E X E X Var ． 得 0.45c 0.2,b ,35.0===a ． 3. 设随机变量X 服从几何分布，分布律为 {} 3, 2, 1,k ,)1(1=-==-k p p k X P ，其中常数)1 ,0(∈p ．求)(X Var ．解：记 p q -=1，px x p x p pq p X E qx qx k k k k k k 11 k x )( 1 111k ='⎪⎭⎫ ⎝⎛-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=====∞+=∞+=-∞+=∑∑∑； 2 1 2112221k 1k )]([)()(px p p pqX E X E X Var qx k k k k -'⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=-==∞+=∞+=-∑∑21 1p x x p qx k k-'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛==∞+=∑ 22 111ppp x x x p qx -=-'⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡'⎪⎭⎫ ⎝⎛-==． 4．设随机变量X 具有概率密度函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤=其他0, 2x 1 1, 1x 0 ,23)(2x x x f ． 求)12(2+X E ，⎪⎭⎫ ⎝⎛X E 1，⎪⎭⎫⎝⎛X Var 1．解：记 301341314215531)1(x 2321)(2)12(21 210 422=+-+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=+⎰⎰dx x x dx X E X E ； 2ln 472ln 143)1(1x 231121 10 2-=-+=-+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx x x dx x X E ；2221 210 22222ln 47212ln 232ln 47)1(1x 231111⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎪⎭⎫ ⎝⎛---+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰dx x x dx x X E X E X Var2)2(ln 16332ln 29--=． 习 题 3.31．设随机变量)1 ,0(N X ～，利用标准正态分布表（附表1）对下列各种情况求出常数c ，并且用p 分位数p u 表示c ．(1) 95.0}{=<c X P ； (2) 5.0}{=>c X P ； (3) {}8.0 =≤c X P ． 解：(1)645.195.0==u c ； (2) 05.0==u c ；(3) {}8.01}{2}]{1[}{}{ =-≤=≤--≤=≤≤-=≤c X P c X P c X P c X c P c X P ，9.0}{=≤c X P ，282.19.0==u c ．2．设随机变量)(λExp X ～，常数0>λ．若X 的0.70分位数12070.0=x ，求参数λ． 解：) 0 x ( ,1)( ≥-=-xex F λ，0.71)120( 120=-=-λe F ，01.01203.0ln =-=λ． 复 习 题 31．假设国际市场每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X （单位吨），)5000 ,1000(U X ～．设该商品每售出一吨可获利3万美元；但若销售不出积压于库，则每吨每年需支付保管费1万美元．试问如何计划年出口量，能使国家期望获利最多？解：设国家计划年出口量为s 吨， ]5000 ,1000[∈s ． 则利润函数为 ⎩⎨⎧≥<-=--=s X ,3sX ,4)(3)(s s X X s X X L s ，期望获利 ]102 160002[400014000 3 4000)4()]([625000 1000⨯-+-=+-=⎰⎰s s dx s dx s x X L E s ss ． 令0)160004(40001)]([=+-=s X L E ds d s ， 当 4000=s 吨时，)]([X L E s 取最大值，即期望获利最多． 2．设随机变量X 具有概率密度函数⎩⎨⎧≤≤=他其0, 1x 0 ,)(2ax x f ， 试求：(1)常数a ；(2) E(X)；(3))}({X E X P >．解：(1) 由13ax )(12===⎰⎰+∞∞-adx dx x f ，得 3=a ． (2) 433x )(21=⋅=⎰dx x X E ．(3) 64374313 43)}({21 432=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=>⎰dx x X P X E X P ．3．设X 是随机变量，c 是常数，证明：2][)(c X E X Var -≤． 证：22]})([)]({[][)(c X E X E X E c X E X Var -+-=-≤)(])([)(}])([])()][([2)]({[222X Var c X E X Var c X E c X E X E X X E X E ≥-+=-+--+-=．4．设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-0 0,0 x ,)()2(222x ex x f x σσ， 其中常数0>σ．瑞利分布常用于描述随机噪音．求E(X)，)(X Var ．解：设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22Y 22exp 21)(f ), ,0(σσπσy y N Y 则～，222[E(Y)]Var(Y))E(Y ,0)(σ=+==Y E ． 2)( 212exp 2212exp 1)()(2222222022πσσπσσσππσσσ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞+∞-Y E dx x x dx x x dx x xf X E2πσ=；22exp d )(22exp 1)]([)()(2220 22223222πσσπσσσ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰∞+∞+x x dx x x X E X E X Var22220 2022224222f(x)dx 2 2exp σπσπσσπσσ-=-=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰∞++∞x x ． 5．由统计物理学知，一种气体分子运动的速率V 服从Maxwell 分布，其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00, 0 v ,)(22v e Av v f b v ， 其中常数kT mb 2=，k 为Boltzmann 常数，T 为绝对温度，m 为气体分子质量．试确定常数A ，并求动能221mV E =的平均值． 解：设b x e b x b N X 21)(f ,2 ,0X -=⎪⎭⎫⎝⎛π则～， 0)(=X E ， 2[E(X)]Var(X) )E(X 2222b dx e b x b x =+==-∞+∞-⎰π．由122)(2v 2Av )(220222=⋅==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎰⎰⎰∞+∞--∞+-∞+∞-b b A X E b A dv e b b A dv edv v f b v bv ππππ， 得 bb A π4=．221mV E = 的平均值 )( 4 2)(mv 21)(0 30 4222⎰⎰⎰+∞-+∞-+∞∞--===b v b v e d v Abm dv e v Am dv v f E E )(8343340 20 20 2032222⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+-+∞--==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=bv b v b v b v e vd m Ab dv e v Abm dv e v e v AbmkT m mb Amb dx x f Amb dv e ve m Ab X b v b v 8343163)( 16383225250 0222====⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰⎰∞+∞-∞+-∞+-ππ( kTmb 2=代入)． 6．设随机变量)(λP X ～，常数0>λ．求X 的众数．解：由于 ) N k ( ,!}{∈==-k e k X P k λλ，⎩⎨⎧><≤≤≥==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-==---λλλλλλλk 1,k 0 ,1)!1(!}1{}{1k k e k e k X P k X P k k ， 所以 ][*λ=x ． 习 题 4.61．设随机变量)Y ,(X 的概率密度函数为⎩⎨⎧≤≤≤+=他其0, 1x y 0),(2),(y x y x f ． 求E(X)，E(Y)，)(XY E ，)(22Y X E -．解：433)(2),()(13010==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x x dx dy y x xf dx X E x ； 12535)(2),()(10 30 10 ==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x y dx dy y x yf dx Y E x；1581532)( 2),( )(10 30 10 ==+==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x xy dx dy y x f xy dx XY E x ；3011611)( )y (x 2),( )y (x )(10 40 2210 2222==+-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy y x dx dy y x f dx Y X E x ．2．设随机变量0.2) B(10,Y ),3(～～P X ． (1) 求)2(Y X E +，)2(22Y X E -； (2) 又设X 与Y 相互独立，求E(XY)．解：(1) 72.010232)(2)()2(=⨯⨯+=+=+=+np Y E X E Y X E λ；1293)]([)()(222=+=+=+=λλX E X Var X E ；6.5)2.010(8.02.010)()]([)()(2222=⨯+⨯⨯=+=+=np npq Y E Y Var Y E ； 4.186.5122)()(2)2(2222=-⨯=-=-Y E X E Y X E ；(2) 62.0103)()()(=⨯⨯=⋅==np Y E X E XY E λ．3．设随机变量)9 ,1(N X ～，随机变量Y 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=10, 1y ,3)(4y y y f Y ．(1) 求)2(Y X E -，)3(2X Y E -； (2) 又设X 与Y 相互独立，求E(XY)．解：(1) 233)(14==⎰+∞dy yy Y E ， 21232232)()(2)2(=-=-=-=-μY E X E Y X E ； 257)19(323})]([)({3)()(222-=+⨯-=+-=-X E X Var Y E X Y E ； (2) 2323123)()()(=⨯=⋅==μY E X E XY E ． 4．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求：(1) E(X)，E(Y)； (2) E(XY)； (3) 设 2)(Y X Z +=，求 E(Z)； (4) )(X Var ，)(Y Var ．解：(1) 1.03.027.0)1()(11-=⨯+⨯-==∑∑+∞=+∞=i j ji ipx X E ；9.04.021.015.00)(11=⨯+⨯+⨯==∑∑+∞=+∞=i j j i j p y Y E ；(2) 3.01.04022.003.0)2(1.0)1(3.00)(11-=⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯==∑∑+∞=+∞=i j j i jip yx XY E ；(3) 31.04032.023.011.003.0)1()()(22222112=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=+=∑∑+∞=+∞=i j j i jip y x Z E ；(4) 89.1)1.0(9.1)]([)()(222=--=-=X E X E X Var ； 89.09.07.1)]([)()(222=-=-=Y E Y E Y Var ．5．掷n 颗骰子出现点数之和记为X ，求平均点数E(X)和)(X Var ．解：用i X 表示第i 颗骰子出现的点数，)n , 2, 1,i ( =． n 21X , , , X X 相互独立，具有相同分布．∑==ni i X X 1． ) 6 , 2, 1,k ( ,61}{ ===k X P i ．276)621()(61=+++==∑= k k i kp X E ； 123527)621(61)]([)()(222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=-= i i i X E X E X Var ．21276)()(61=⨯==∑=i i X E X E ； 23512356)()(61=⨯==∑=i i X Var X Var ．习 题 4.71．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求E(X)，3)]([X E X E -，)(2Y E ，) ,(Y X Cov ，XY ρ．解：18531061612121)(=⨯+⨯+⨯=X E ； 1212210)(=⨯+⨯=Y E ；33333181131185061185612118521)]([-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-X E X E ； 2212210)(222=⨯+⨯=Y E ；9118561118531003161100610310)()()()Y ,(-=-=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-=Y E X E XY E X Cov ；54731061612121)(2222=⨯+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=X E ； 32417185547)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X Var ； 112)]([)()(222=-=-=Y E Y E Y Var ； 1717213241791(Y)(X)) ,(-=⋅-==σσρY X Cov XY ．2．设随机变量)Y ,(X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其他0, 1x ,21),(y y x f ．试验证X 与Y 是不相关的，但并非相互独立．证：⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰-+-∞+∞-1 0, 1x , 121),()( 1 1x x dy dy y x f x f x x X ； ⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰-+-∞+∞-1y 0, 1y , 121),()( 1 1y dx dx y x f y f y y Y ；0)1()(11=-=⎰-dx x x X E ； 0)1()(11=-=⎰-dy y y Y E ；00022),()(10 110111=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+--+∞∞-+∞∞-x x xxdy xy dx dy xydx dy y x xyf dx XY E ；0(Y)(X))()()((Y)(X)) ,(=-==σσσσρY E X E XY E Y X Cov XY ， X 与Y 不相关．但当121,121<<<<y x 时，0y)f(x, ,0)1)(1()()(=>--=y x y f x f Y X ， 所以 y)f(x, e. a. )()(y f x f Y X 不成立，X 与Y 不独立．3．设随机变量)Y ,(X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他0, 2x ,41),(y y x f ．求E(X)，4)]([X E X E -，)(3Y E ，) ,(Y X Cov ．解：⎪⎩⎪⎨⎧>≤-===⎰⎰∞+∞-2 0, 2x ), 2(4141),()(2 x x dy dy y x f x f x X ； ⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤===⎰⎰-∞+∞-2] [0,y 0,2y 0 ,241),()(y dx dx y x f y f y yY ．0)2(4)()(22=-==⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E X ； 1516)2(41)0()]([22444⎰-=-=-=-dx x x X E X E X E ； 51621)()(20 433⎰⎰===+∞∞-dy y dy y f y Y E Y ； 3421)()(20 2⎰⎰===+∞∞-dy y dy y yf Y E Y ；04),()(20===⎰⎰⎰⎰-+∞∞-+∞∞-yydx xy dy dy y x xyf dx XY E ；03400)()()() ,(=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ． 4．设随机变量)Y ,(X 具有概率密度函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他 0,10 1,x 0),(56),(2y y x y x f ．求E(X)，E(Y)，) ,(Y X Cov ，XY ρ，)(Y X Var +．解：⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤+=+==⎰⎰∞+∞-1] [0, x 0,1x 0,5256)(56),()(10 2x dy y x dy y x f x f X ；⎪⎩⎪⎨⎧∉≤≤+=+==⎰⎰∞+∞-1] [0,y 0,1y 0 ,5653)(56),()(210 2y dx y x dx y x f y f Y ．535256)()(10 =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰∞+∞-dx x x dx x xf X E X ； 535653)()(10 2⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∞+∞-dy y y dy y yf Y E Y ；207)2(103)(56),()(10 210 10 2=+=+⋅==⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x x dy y x xy dx dy y x xyf dx XY E ；10015353207)()()() ,(-=⨯-=-=Y E X E XY E Y X Cov ； 150112593013535256x )]([)()(210 222=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎰dx x X E X E X Var ； 2522592511535653y )]([)()(210 2222=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=⎰dy y Y E Y E Y Var ；1763252150111001(Y)(X)) ,(-=⋅-==σσρY X Cov XY ；152100225215011) ,(2)()()(=-+=++=+Y X Cov Y Var X Var Y X Var ． 5．设随机变量)4 ,0(N X ～，)9 ,2(N Y ～，21=XY ρ．又设 32Y X Z -=．求：(1) E(Z)，)(Z Var ；(2) XZ ρ．解：(1) 32231021)(31)(21)(-=⨯-⨯=-=Y E X E Z E ；33221(Y)(X)) ,(=⨯⨯==σσρXY Y X Cov ；)(91) ,(31)(4133Y ,222)(Y Var Y X Cov X Var Y Var X Cov X Var Z Var +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=1991331441=⨯+⨯-⨯=． (2) 1331421) ,(31) ,(21) ,(=⨯-⨯=-=Y X Cov X X Cov Z X Cov ， 21141(Y)(X)) ,(=⋅==σσρY X Cov XZ ． 6．设X 与Y 相互独立，服从相同的指数分布，X 的概率密度函数为 ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-00, 0x ,21)(2x e x f x X ． 试求 Y Y X U X V βαβα-=+=与 的相关系数．这里 βα ,为非零常数．解：421)Var()Var( ,21)E()E( ,21 ),Exp(X 22========λλλλY X Y X ～； )(4)() ,() ,(Var(X)) ,(2222βαβαβαβα-=-+-=Y Var Y X Cov Y X Cov V U Cov ；)(4)()()(Var(U)2222βαβα+==+=V Var Y Var X Var ； 22222222)(4)(4(V )(U )) ,(βαβαβαβασσρ+-=+-==V U C o v UV． 7．设随机向量T X )Y ,(服从二维正态分布，均值向量与协方差矩阵分别为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1 1μ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=4 339 C ．写出T X )Y ,( 的概率密度函数),(y x f 的表达式．解：21 ,3 ,4 ,9 ,1 ,121222121-=-====-=ρσρσσσμμ； ) R y x,( ,)1(41)1)(1(61)1(9132exp 361),(22∈⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+++-=y y x x y x f π．复 习 题 410．设随机变量)Y ,(X 的分布律为求：(1) E(X)，E(Y)； (2) E(XY)； (3) Var(Y) ),(X Var ．解：(1)7273721733611124110)(1=⨯+⨯+⨯==∑+∞=∙i i i p x X E； 3412539223613)1()(1=⨯+⨯+⨯-==∑+∞=∙j j j p y Y E ．(2) 72137819181618136131212181)1()(11=⨯+⨯+⨯-⨯+⨯+⨯-==∑∑+∞=+∞=i j ij ij p x XY E ； (3) 72175721733611124110)(222122=⨯+⨯+⨯==∑+∞=∙i i i p x X E ； 512539223613)1()(222122=⨯+⨯+⨯-==∑+∞=∙j jj p y Y E ． 51847271727271727372175)]([)()(2222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X Var ； 929345)]([)()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y Var ． 11．一电梯载n 人从一楼上升，设楼高 (M+1) 层，每人在每一层楼走出电梯是等可能的，且相互独立．若某一层无人走出电梯则电梯不停．求电梯的平均停止次数．解：用Y 表示电梯的停止次数． 令 ⎩⎨⎧=层不停止电梯在第层停止电梯在第i0,i,1i X ，) 1M , 3, 2,i (+= ．则 132++++=M X X X Y ．n i M M X E ⎪⎭⎫⎝⎛--=11)(， ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛--==∑+=n M i i M M M X E Y E 11)()(12 ． 12．设随机变量)3 ,0(U X ～，)5 ,1(U Y ～，且X 与Y 相互独立．令 ⎩⎨⎧<≥=Y X ,1YX ,0Z ． 写出Z 的分布律，并求E(Z)．解：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=⨯==他其0, 5y 13,x 0 ,1214131)()(),(y f x f y x f Y X ．61121),(}{}0{131===≥==⎰⎰⎰⎰≥-xy x dy dx d y x f Y X P Z P σ； 65}0{1}1{==-==Z P Z P ；65)(=Z E ．13．设)Y ,(X 是二维随机变量，证明：)Y ()()Y X ,(Var X Var Y X Cov -=-+． 证：)Y X ,()Y X ,()Y X ,(-+-=-+Y Cov X Cov Y X Cov)()()Y ,()X ,()Y ,()X ,(Y Var X Var Y Cov Y Cov X Cov X Cov -=-+-=．14．设随机变量)2 ,0(πU X ～，令X Y sin =，)cos(a X Z +=，其中常数]2 ,0[π∈a ．求相关系数YZ ρ．解：02sin )(sin )(20⎰⎰==⋅=+∞∞-ππdx xdx x f x Y E X ；02)cos()()cos()(20 ⎰⎰=+=⋅+=+∞∞-ππdx a x dx x f a x Z E X ；a dx a a x dx a x x dx x f a x x YZ E X sin 21)]sin()2[sin(412)cos(sin )()cos(sin )(20 20-=-++=+⋅=⋅+⋅=⎰⎰⎰+∞∞-ππππ；21)]2cos(1[41sin 21)]([)()(20 20222⎰⎰=-==-=ππππdx x xdx Y E Y E Y Var ；21)](2cos 1[41)(cos 21)]([)()(20 20222⎰⎰=++=+=-=ππππdx a x dx a x Z E Z E Z Var ； a a Z E Y E YZ E Z Y Cov YZ sin 21sin 21(Z)(Y))()()((Z)(Y)) ,(-=⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==σσσσρ．15．设)Y ,(X 是二维随机变量，E(X)= 1，E(Y)= 0，)(X Var = 2，)(Y Var = 4，3.0=XY ρ．令aY X W +=2，求常数a ，使)(W Var 达到最小．解：26.0423.0(Y)(X)) ,(=⨯⨯=⋅=σσρXY Y X Cov ；8 24.24)() ,(4)(4)() ,2(2)2()(22++=++=++=a a Y Var a Y X aCov X Var aY Var aY X Cov X Var W Var ；令024.28)(=+=a W Var dad， 当 23.0-=a 时，)(W Var 达到最小． 16．已知三个随机变量X 、Y 、Z 中，E(X)= 0， 1)(-=Y E ， E(Z)= 0，1)()(==Y Var X Var ，4)(=Z Var ，21-=XY ρ，0=XZ ρ，21-=YZ ρ． 求 Z)Y Var(X )(++++和Z Y X E ．解：1010)()()()(-=+-=++=++Z E Y E X E Z Y X E ；Var(Z)Z),Y 2Cov(X Y)Var(X Z)Y Var(X ++++=++Var(Z) Z),2Cov(Y Z),2Cov(X Y) ,2Cov(X Var(Y)Var(X)+++++=(Z)(Y)2(Z)(X)2(Y)(X)2Var(Z)Var(Y)Var(X)Y Z X Z X Y σσρσσρσσρ+++++=321212210221112411=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⨯+++=．17．一家大型超市在某个城市开设四个销售门店，各门店每周售出的同一种食品的重量（单位kg ）分别记为1X ，2X ，3X ，4X ．已知)350 ,600(1N X ～，)200 ,450(2N X ～，)300 ,500(3N X ～，)250 ,400(4N X ～，且1X ，2X ，3X ，4X 相互独立，记 ∑==41i iXZ ．(1) 求这家超市一周的总销售量的均值 E(Z)和方差)(Z Var ；(2) 求这家超市一周内销售这种食品的总重量达到2000kg 的概率}2000{≥Z P ； (3) 超市每周进货一次，为了使新的供货到达之前各门店不脱销的概率大于0.99，问超市的仓库至少应储存多少公斤该食品？解：⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==41 241 ,i i i i N Z σμ～， 即 )1100 ,1950(N Z ～．(1) 1100Var(Z) ,1950)(2====σμZ E ． (2) 0658.09342.01)508.1(11100195020001}2000{1}2000{=-=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=<-=≥Z P Z P ．(3) 设仓库至少应储存该食品x 公斤，则(kg) 2027.182.327 x ,327.2),327.2(99.0}{=+>>-Φ=>⎪⎭⎫⎝⎛-Φ=≤μσσμσμx x x Z P ． 习 题 5.11．某公司生产一种儿童使用的化妆品，经检测，每毫升产品中所含的细菌数X 的期望为200，标准差为10．试估计概率}30200{≤-X P ．解：10)(,200)(====X X E σσμ． 9830101)(1})({}30200{222=-=-≥≤-=≤-εεX Var X E X P X P ．2．设随机变量)9 ,0(N X ～． (1) 求概率{}8 ≤X P ； (2) 利用切比雪夫不等式估计{}8 ≤X P 的下界．解：0E(X) ,3,0====μσμ． (1) 9924.019962.021)667.2(2308308}8{}8{}8{=-⨯=-Φ=⎪⎭⎫⎝⎛--Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=-<-≤=≤X P X P X P ． (2) 8594.0891)(1}8)({}8{22=-=-≥≤-=≤εX Var X E X P X P ． 习 题 5.21．设随机变量 ,X , ,X ,n 21 X 独立同分布，记∑==ni i X n X 11．在下列情况下，当+∞→n 时，X 依概率收敛于什么值？(1) )0.5 ,10(B X n ～， 3, 2, ,1 =n ； (2) ) ,(a a U X n -～， 3, 2, ,1 =n ，常数0>a ； (3) ) ,(2σμN X n ～， 3, 2, ,1 =n ．解：(1) 5=−→−μP X ； (2) 0)(==−→−n PX E X μ； (3) μ−→−PX ． 2．设 ,X , ,X ,n 21 X 是一个相互独立的随机变量序列，且 {})1ln(+=i X P i{}5.0)1ln(=+-==i X P i ， 3, 2, ,1 =i ． 试利用切比雪夫不等式证明：+∞→−→−=∑=n ,0 11Pn i i X n X ．证：) 3, 2, 1,i ( ,0])1ln([5.0)1ln(5.0)( ==+-⨯++⨯==i i X E i i μ． 0)(1)(1==∑=ni i X E n X E ．)1ln()1ln(5.0)1ln(5.0)]([)()(22+=+⨯++⨯=-=i i i X E X E X Var i i i ，n n n n i n X Var n X Var n i n i n i i )1ln()1ln( 1)1ln( 1)( 1)(1 21 21 2+=+≤+==∑∑∑===． 0 >∀ε，据切比雪夫不等式得：) n ( ,0)1ln()(1})({022+∞→→+=≤≥-≤εεεn n X Var X E X P ． 从而 1})({lim =<-+∞→εX E X P n ， 即 ) n ( ,0 11+∞→−→−=∑=Pn i i X n X ．习 题 5.31．设连续随机变量10021X , ,X , X 相互独立，它们服从相同的分布，概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1x 0, 1x ,)(x x f ． 记∑==1001 i i X S ．利用中心极限定理计算}10{≥S P ．解：0)()(11====⎰⎰-+∞∞-dx x x dx x xf X E i μ，210)]([)()(2112222=-=-==⎰-dx x x X E X E X Var i i i σ． 100=n ． 据定理5.3.1，得：0787.09213.01)414.1(1100101100100101}10{1}10{=-=Φ-=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-Φ-=<-=≥σσμσμnn S S P S P ．2．若计算机进行数值的加法时，对每个加数以四舍五入取整到个位．设所有舍入误差是相互独立的且服从(－0.5, 0.5)上的均匀分布．(1) 将1000个数相加，求误差总和的绝对值大于10的概率； (2) 最多有多少个数相加可使误差总和的绝对值20≤的概率达到99% 以上？解：(1) 用i X 表示第i 个舍入误差，则 ) 1000 , 2, 1,i ( ),0.5 ,5.0( =-U X i ～．100021X , ,X , X 独立同分布，1000n .12112)5.05.0()( ,025.05.0)(22==+===+-==i i X Var X E σμ． 据定理5.3.1，得：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤---=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑∑∑===n n n n X nn P X P X P ni i n i i n i i σμσμσμ1010110101101112736.0]8632.01[2)]095.1(1[21211000101211000101=-=Φ-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅Φ-≈．(2) 要求n 满足 99.0201≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑=n i i X P ． 即 99.0120220201≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤-≤--∑=n n n n n X nn P ni i σσμσμσμ，723.91n ,575.2n 20),575.2(995.020≤≥Φ=≥⎪⎭⎫⎝⎛Φσσn ． 最大可取 723=n ． 3．假设在n 重伯努利试验中事件A 每次发生的概率为0.6，要使事件A 出现的频率在0.58～0.62之间的概率不低于0.95，问至少需要进行多少次独立试验？(1) 利用切比雪夫不等式估计； (2) 利用中心极限定理计算．解：用X 表示n 重伯努利试验中A 发生的次数，令 ⎩⎨⎧=不发生次试验中第发生次试验中第A i ,0A i ,1i Z ，)n , 2, ,1 ( =i ．则 0.4q 0.6,P(A)p ,1====∑=ni i Z X ，) ,(p n B X ～．(1) A 出现的频率npq Var(X) np,E(X) , Z Z 11 )(n1i i =====∆=∑n X n A f n ． n pq Var(Z) 0.6,E(Z)==． 95.00004.0102.0)(1}02.0)({}02.0)(02.0{}62.0158.0{2≥-=-≥≤-=≤-≤-=≤≤n pqZ Var Z E Z P Z E Z P X n P ， 05.00004.0≤n pq ， 1200005.00004.04.06.005.00004.0=⨯⨯=⨯≥pq n ．(2) 要求n 满足 95.0}62.0158.0{≥≤≤X n P ，即 95.0} 62.058.0{≥≤≤n X n P ． 利用153P 公式(5.3.5)．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈≤≤npq n npq n npq np n npq np n n X n P 02.002.058.062.0} 62.058.0{102.02-⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅Φ=pq n 95.0≥， 2304.96n ,96.102.0 ),96.1(975.002.0≥≥Φ=≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φpq npq n ． 最小取 2305=n ．4．现有一大批产品，次品率为1%．若随机地抽取5000件进行检查，求次品数在30～60件之间的概率的近似值．解：用A 表示抽到次品，0.99q ,01.0)(===A P p ． 此为5000=n 重伯努利试验． 用X 表示所抽n 件产品中的次品数，则 ) ,(p n B X ～． 据定理5.3.2 得：)914.2()492.1(5.295.60} 5.605.29{} 6030{-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈<<=≤≤npq np npq np X P X P 9304.019982.09322.01)914.2()492.1(=-+=-Φ+Φ=．5．某次英语课程的考试成绩（百分制）)225 ,65(N X ～，考生有一大批，各人成绩相互独立．试求： (1) 考试的合格率}60{≥=X P p ；(2) 随机地抽取1000名考生作调查，其中成绩合格的人数在600～700之间的概率的近似值． 解：(1) 用A 表示“考试合格”， 6304.0)333.0(22565601}60{)(=Φ=⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-=≥==X P A P p ；3696.01=-=p q ．(2) 此为1000=n 重伯努利试验． 用Y 表示所抽n 名考生中的合格人数，则 ) ,(p n B X ～． 所求概率)024.2()592.4(5.5995.700} 5.7005.599{} 700600{-Φ-Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈<<=≤≤npq np npq np X P X P 9785.019785.011)024.2()592.4(=-+=-Φ+Φ=．复 习 题 51．某车间有100台车床，它们独立地工作，开工率各为0.8，开工时耗电功率各为0.5kW ．问供电所至少要供给该车间多少kW 的电力，才能以 99% 的概率保证车间不会因供电不足而影响生产？解：用X 表示“任一时刻工作的车床数”， 则 ) ,(p n B X ～，0.2p 1q ,8.0 ,100=-===p n ． 要求x 满足 99.0}5.0{≥≤x X P ， 即 99.0} 2{≥≤x X P ． 利用定理5.3.2．)327.2(99.022} 2{Φ=≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-=≤npq np x npq np x npq np X P x X P ， 327.22≥-npq npq x ， 654.44)327.2(21=+≥np npq x ． 最小取(kW) 45=x2．一家保险公司承接中国民航的航空意外伤害保险业务，每张保险单售价20元．空难发生后，每位乘客的家属可获得保险公司理赔40万元．据调查，近年来中国民航的空难发生率平均为十万分之一．假设一年中保险公司售出此种保险单10万张．试求：(1) 保险公司亏本的概率；(2) 保险公司一年中从该项业务中获得利润达到100万元、150万元的概率分别是多少？解 设X 表示购买保险单的十万人中遭受空难的人数，则 0.00001p 100000,n ), ,( ==p n B X ～， 0.99999npq 1,np ,99999.01===-=p q ． 由定理5.3.2，)1 ,0(N npq npX A ～-． (1) 所求概率为：}5.5{1}5{1}20100000400000{}{<-=≤-=⨯>=X P X P X P P 保险公司亏本0)500.4(15.51=Φ-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ-≈npq np ． (2) 所求概率为：}5.2{}100000040000020100000{}100 {≤=≥-⨯=X P X P P 万元获利达到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=npq np npq np X P 5.29332.0)500.1(5.2=Φ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ≈npq np ． }25.1{}150000040000020100000{}150 {≤=≥-⨯=X P X P P 万元获利达到⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=npq np npq np X P 25.15987.0)250.0(25.1=Φ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-Φ≈npq np ． 3．设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，已知4 3, 2, 1,k ,)(1==k k X E μ存在，且224μμ>．证明当n 充分大时，随机变量∑==n i i n X n Y 121 渐近地服从正态分布，并指出其分布参数．证：随机变量序列{}+∞12nX 独立同分布，)()( ,)()(21222212X Var X Var X E X E n n =====σμμ0)]([)(22422141>-=-=μμX E X E ．根据定理5.3.1，得： 当n 充分大时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=n N n Y A i n 2242n 1 2i ,X 1μμμ～． 4．设随机变量)(n P Y n ～，并记nn Y Z n n -=，}{)(x Z P x F n n ≤=， 3, 2, 1,=n ．试证明：R x ),(e21)(lim 2t 2∈Φ==⎰∞--+∞→x dt x F xn n π．（提示：可将n Y 看成n 个相互独立，且都服从P(1)分布的随机变量之和）． 证：设随机变量序列 ,X , ,X ,n 21X 独立同分布，)1(P X n ～． 记 )(1n P X Y ni in ～∑== ( Poisson 分布具有可加性)．1)( ,1)(2====n n X V a r X E σμ， 由定理5.3.1， 得： 当n 充分大时，)1 ,0( N n n Y nn Y Z A n n n ～σμ-=-=， 即n Z 的极限分布是)1 ,0(N ．。
概率论与数理统计习题库-第三章
长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417#00001，与*00001解:作下表，表中第一行是自变量(X,Y)的全部可能取值点；第二行是第一行各取值相应的概率；第三、第四行分别是第一行各取值点相应的Z 、W 的取值。
从上表可以确定Z 的取值域为{0,1},W 的取值域为{-1,0,1,函数变量取某值的概率等于该值在表中相应概率之和。
例如P{Z=0}=0.12+0.18=0.3于是，Z 、W 的分布律分别为：#00002袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次，令(1)求(X,Y)的分布律。
(2)求X 与Y 的相关系数 *00002 解：（1）显然X 、Y 的全部可能取值为X=1，0；Y=1，0而P{X=1，Y=1}=P{两次均摸到红球}=2522C C ，同理计长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417ij（2）256)(256)(52)(52)(====Y D X D Y E X E#00003设(X,Y)具有概率密度⎩⎨⎧<<<=其它01||0},{y x c y x f ，1)求常数c ；2)求P{Y>2X} ； 3)求F(0.5,0.5)*00003解：1) 如图所示区域D 为(X,Y)的非0定义域由归一性 图3)由F(x,y)的几何意义，可将F(0.5,0.5)理*00004解为(X,Y)落在{X ≤0.5,Y ≤0.5}区域（见如图G 1）上的概率。
故有 #00004已知(X,Y)的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤--=----其它00101),(x y ye e yx xe e y x F yy y x （1）求X 与Y 的边缘概率密度。
（2）问X 与Y 是否相互独立？ *00004解：（1）⎩⎨⎧<≥-=∞=-0x 00x e 1)F(x,(x)F xX（2）不独立与Y X y x F y F x F Y X ∴≠),()()(#00005(X,Y)的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤≤--=----其它00101),(x y ye e yx xe e y x F yy y x .（1）求X 与Y 的联合概率密度及边缘概率密度。
概率论与数理统计第三、四章答案
第三章 习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。
解：由习题二第2题计算结果0112{0}={1}=33p p p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯= 一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。
解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2()ER π来计算远面积的期望值，如果不能用，又该如何计算？其结果是什么？解（1）100.1110.4120.3130.211.6ER =⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由数学期望的性质有(2)223.2E R ER πππ==（3）因为22()()E R E R ππ≠，所以不能用2()E R π来计算圆面积的期望值。
利用随机变量函数的期望公式可求得222222()()(100.1110.4120.3130.2)135.4E R E R ππππ==⨯+⨯+⨯+⨯= 或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望1000.11210.41440.31690.2)135.4E ηπππ=⨯+⨯+⨯+⨯=4． 连续随机变量ξ的概率密度为,01(,0)()0,a kx x k a x ϕ⎧<<>=⎨⎩其它又知0.75E ξ= ，求k 和a 的值 解 由1010()11324a a kx dx kx dx a k E kx x dx a ϕξ+∞-∞===+=⋅==+⎰⎰⎰解得 2,3a k ==5．计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16题）。
概率论各章精选习题（PDF）
概率统计各章节习题§1.1 随机事件1、写出下列各试验的样本空间及指定事件所含的样本点； （i ）将一枚硬币抛掷三次，{}A =第一次掷出正面、{}B =三次掷出同一面、{}C =有正面掷出； （ii ）将一颗骰子掷两次，{}A =点数相同、{}B =其中一次点数是另一次的两倍、{}6C =点数之和是；2、从某图书馆里任取一本书，事件A 表示“取到数学类图书”，事件B 表示“取到中文版图书”，事件C 表示“取到精装图书”； ①试述ABC 的含义；②何种情况下，C B ⊂？；③何种情况下，A B =3、设1234,,,A A A A 为某一试验中的四个事件，试用事件的运算表达如下事件：①“四个事件中至少有一个发生”；②“恰好发生两个”；③“至少发生三个”；④“至多发生一个”；4、试述下列事件的对立事件：①A = “射击三次皆命中目标”；②B =“甲产品畅销乙产品滞销”；③C =“加工四个零件至少有一个是合格品”；5、在区间[]0,1中任取一点x ，记：203A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭、1344B x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭、 213C x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，试用相同的作法表示如下诸事件：①AB ；②AB ； ③()A B A C ； 6、试证明以下事件的运算公式：（i ）A AB AB =；（ii ）A B A AB =；§1.2 频率与概率1、任取两整数，求“两数之和为偶数”的概率；2、①袋中有7个白球3个黑球，现从中任取2个，试求“所取两球颜色相同”的概率；②甲袋中有球5白3黑，乙袋中有球4白6黑，现从两袋中各取一球，试求“所取两球颜色相同”的概率；3、①n 个人任意地坐成一排，求“甲、乙两人坐在一起”的概率；②n 个人随机地围一圆桌而坐，求“甲、乙相邻”的概率；③n 个男生、m 个女生（1m n ≤+）坐成一排，求“任意两个女生都不相邻”的概率；4、从()0,1中随机地取两个数，试求：①“两数之和小于65”的概率；②“两数之积小于14”的概率；5、①已知事件,A B 满足：AB AB =，若()P A a =，试求()P B ；②已知事件,A B 满足：()()P AB P AB =，若()P A a =，试求()P B ；6、设,A B 为两事件，且()0.4P A =，()0.7P B =，问：①在什么条件下，()P AB 取得最大值，最大值是多少？②在什么条件下，()P AB 取得最小值，最小值是多少？若()0.5P B =，结果又如何？7、某班n 名战士各有一支归自己保管使用的枪，这些枪外形完全一样；在一次夜间紧急集合中，每人随机地取一支枪，求“至少有一人拿到自己的枪”的概率；8、证明：①()()()1P AB P A P B ≥+-；②()()()()()12121n n P A A A P A P A P A n ≥+++--；9、试证明：若,A B 为两事件，则()()()14P AB P A P B -≤； §1.3 条件概率、全概率公式与贝叶斯（Bayes ）公式1、已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.5P A B =；试求：()P AB 、 ()P A B 、()P B A 、()P B A B 、()P A B A B； 2、已知()12P A =，()13P B =，()16P A B =，试求()P A B ； 3、已知()0.8P A =，()0.7P B =，()0.2P A B -=，试求()P B A ； 4、已知()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，试求()P AB ； 5、设一批产品中一、二、三等品各占60％、35％、5％，从中任取一件，结果不是三等品，求“取到的是一等品”的概率；6、设10件产品中有4件是不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求“另一件也是不合格品”的概率；7、袋中有4白1红5只球，现有5人依次从袋中各取一球，取后不放回，试求“第i （1,2,,5i =）人取到红球”的概率；8、两台车床加工同样的零件，“第一台出现不合格品”的概率是0.03，“第二台出现不合格品”的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，①试求“任取一个零件是合格品”的概率；②如果取出的零件是不合格品，求“它是由第二台车床加工”的概率；9、某商店正在销售10台彩电，其中7台是一级品，3台是二级品；某人到商店时，彩电已售出2台，试求“此人能买到一级品”的概率；10、甲袋中有2只白球1只黑球，乙袋中有1只白球2只黑球，今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求“此球是白球”的概率；11、有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品；现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求：①“第一次取出的零件是一等品”的概率；②“第二次取出的零件是一等品”的概率；③在第一次取出的是一等品的条件下，“第二次取出的零件仍然是一等品”的概率；④在第二次取出的是一等品的条件下，“第一次取出的零件仍然是一等品”的概率；12、玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱有0,1,2只次品的概率分别为0.8,0.1,0.1；一个顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取一箱，顾客开箱随机地查看4只，若无次品，就买下这箱玻璃杯，否则退回；试求：①“顾客买下这箱玻璃杯”的概率；②“在顾客买下的一箱中，确实没有次品”的概率；13、证明：()()()()()P A B P A BC P C B P A BC P C B=+；14、设有N个袋子，每个袋子中都装有a个白球b个黑球，现从第一个袋中任取一球放入第二个袋中，然后从第二个袋中任取一球放入第三个袋中，如此下去，求“从最后一个袋中取出一白球”的概率；§1.4 事件的独立性1、假设()0.4P A=，()0.9P A B=，在以下情形下求()P B：①,A B互斥；②,A B独立；③A B⊂；2、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7，现已知目标被击中，求“它是甲命中”的概率；3、若事件,A B独立，且两事件“仅A发生”与“仅B发生”的概率都是14，试求()P A与()P B；4、三人独立地破译一个密码，他们单独译出的概率分别为13、14、15，求“此密码被译出”的概率；5、一射手对同一目标独立地射击四次，若“至少命中一次”的概率为8081，试求该射手进行一次射击的命中率；6、三门高射炮独立地向一飞机射击，已知“飞机中一弹被击落”的概率为0.4，“飞机中两弹被击落”的概率为0.8，中三弹则必然被击落；假设每门高射炮的命中率为0.6，现三门高射炮各对飞机射击一次，求“飞机被击落”的概率；7、甲、乙二人轮流射击，首先命中目标者获胜；已知甲的命中率为a ，乙的命中率为b ，甲先射击，试求“甲（乙）获胜”的概率；8、甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知每局中“甲获胜”的概率为0.6，“乙获胜”的概率为0.4；比赛可采用三局两胜制或五局三胜制，问：何种赛制对甲更有利？§2.1 随机变量及其分布函数1、箱中装有次品12,a a 与正品123,,b b b ，现从中一次取出两件产品，①写出此试验的样本空间；②令ξ表示所取两件产品中的次品个数，标出ξ在每个样本点上的值；③写出{}{}0,1,ξξ=≤ {}2ξ≥所包含的样本点；2、设随机变量（..r v ）X 的分布函数（..d f ）为()0,0;1,03;41,36;31,6;x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，试求()3P X <、()3P X ≤、()1P X >、()1P X ≥； 3、设..r v X 的..d f 为()0,1;ln ,1;1,;x F x x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，试求：()2P X <、()03P X ≤≤、 ()2 2.5P X <<；4、已知..r v X 的分布函数为()0,0;2,01;23,12;1112,23;1,3;x x x F x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩，试求：()3P X <、()13P X ≤<、12P X ⎛⎫> ⎪⎝⎭、()3P X =； 5、设随机变量ξ的分布函数为()F x ，试用()F x 表示下列事件的概率：{}{}{}{}{}231,23,215,4,8ξξξξξ<-<+>≤<；6、若()()121,1P X x P X x αβ≥=-≤=-，其中12x x <，试求()12P x X x ≤≤；7、①设..r v ξ的分布函数为：()0,1;arcsin ,11;1,1;x F x a b x x x <-⎧⎪=+-≤<⎨⎪≥⎩，试确定常数,a b ；②设..r v ξ的分布函数为()arctan ,F x A B x x R =+∈，试确定常数,A B ；8、①在半径为R 的圆内任取一点，求此点到圆心距离X 的分布函数及概率23P X R ⎛⎫> ⎪⎝⎭；②在ABC ∆内任取一点P ，记X 为点P 到底边BC 的距离，试求X 的分布函数；9、设()()12,F x F x 分别是两个随机变量的分布函数，,0a b >且 1a b +=，试证明：()()()12F x aF x bF x =+也是一个分布函数； §2.2 离散型随机变量及其分布律1、试判断下列分布列中所含的未知参数c ：① (),1,2,,c P k k N N ξ===； ② (),0,1,2,3!k c P k k k ξ===⋅； 2、现有三只盒子，第一只盒中装有1只白球4只黑球，第二只盒中装有2只白球3只黑球，第三只盒中装有3只白球2只黑球；现任取一只盒子，从中任取3只球，以X 表示所取到的白球数，试求：①X 的分布列；②“取到白球数不少于2”的概率；3、袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5；现从中任取3只，以X 表示3只球中的最大号码；①试求X 的分布列；②写出X 的分布函数并作图；4、已知..r v X 的..d f 为()0,0;0.5,01;0.7,13;1,3;x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，试求X 的分布列； 5、已知...d r v X 的分布列为：1010.25a b -⎛⎫ ⎪⎝⎭，其分布函数为： (),1;,10;0.75,01;,1;c xd x F x xe x <-⎧⎪-≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，试求,,,,a b c d e ； 6、从1,2,3,4,5五个数中任取三个，按大小顺序排列记为： 123x x x <<，令2X x =，试求： X 的分布函数及()()2,4P X P X <>；7、连续“独立”地掷n 次骰子，记,X Y 分别为n 个点数的最小、最大值，试求,X Y 的分布列；8、设()X P λ～，试求X 的最大可能值，即：k 取何值时，概率()P X k =取最大值？§2.3 连续型随机变量及其概率密度1、设..r v X 的分布函数为：()20,0;,01;1,1;x F x Ax x x <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，试求：① A；②()()0.3,0.7P X ∈；③X 的概率密度函数（...p d f ）；2、设..r v X 的...p d f 为(),01;2,12;0,;x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他，试求：①X 的分布函数；②32P X ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭； 3、已知..r v X 的...p d f 为(),x f x ce x -=-∞<<+∞，试确定常数c 并求X 的..d f ；4、设..r v X 有()11;...29,36;0,;x p d f f x x ≤≤⎧⎪=≤≤⎨⎪⎩其他，若()23P X k ≥=，试确定k 的取值范围；5、设..,r v X Y 同分布（又记为：d X Y =），且X 有...p d f 为()23,02;80,;x x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他；已知事件{}A X a =>与{}B Y a =>独立，且 ()34P A B =，试求常数a ； 6、设A 为曲线22y x x =-与x 轴所围成的区域，在A 中任取一点，求该点到y 轴的距离ξ的分布函数及密度函数；7、设[]..0,5r v U ξ～，试求“方程24420x x ξξ+++=有实根”的概率；8、设..r v ξ的...p d f 为()221,x x f x x -+-=-∞<<+∞，试求()02P ξ≤≤；9、设()2..3,2r v X N ～，试求：①()()25,2P X P X<≤>；②确定c ，使得()()P X c P X c >=<；③设d 满足()0.9P X d >≥，d 至多为多少？10、由学校到火车站有两条路线，所需时间随交通堵塞状况有所变化，若以分钟计算，第一条路线所需时间()2150,10N ξ～，第二条路线所需时间()2260,4N ξ～，如果要求：①在70分钟内赶到火车站；②在65分钟内赶到火车站；试问：各应选择哪条路线？ 11、假设一机器的检修时间（单位：小时）服从12λ=的指数分布，试求：①“检修时间超过2小时”的概率；②若已经检修4小时，求“总共至少5小时检修好”的概率；12、①设()2,5X U ～，试求“对X 进行三次独立地观测中，至少有两次观测值大于3”的概率；②设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以分钟记）服从参数为15的指数分布，某顾客在窗口等待服务若超过10分钟他就离开；他一个月要到银行五次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求()1P Y ≥；13、对某地考生抽样调查的结果表明：考生的外语成绩（百分制）近似服从()272,N σ（0σ>未知）；已知96分以上的考生占考生总数的2.3％，试求“考生成绩介于60分与84分之间”的概率；14、设()2..0,1r v N ξ～，ηξ=或ηξ=-视1ξ≤或1ξ>而定，试求η的分布；§2.4 随机变量的函数的分布1、①设...d r v X 有分布列：210131111115651530--⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，试求2Y X =与Z X =的分布列；②设()...1,2c r v X U -～，记1,0;1,0;X Y X ≥⎧=⎨-<⎩，试求Y 的分布列； 2、设随机变量X 的概率分布为：()1,1,2,2k P X k k ===；试求sin 2Y X π⎛⎫= ⎪⎝⎭的分布律； 3、假设一设备开机后无故障工作的时间15X E ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，设备定时开机，出现故障时自动关机；且在无故障的情况下工作2小时便关机，试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数()Y F y ，并指明Y 是否为连续型随机变量？4、设..r v X 的...p d f 为()[]1,8;0,;x f x ∈=⎩其他，()F x 为X的..d f ，试求随机变量()Y F X =的分布函数；5、①设()..0,1r v X U ～，试求1X -的分布；②设()..2r v X E ～，试证：21X Y e -=与221X Y e -=-均服从()0,1上的均匀分布；6、若()2..ln ,r v X N μσ～，则称X 服从对数正态分布；①试求X 的概率密度函数()X f x ；②若()2ln 1,4X N ～，求31P X e e ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭； 7、设()..0,1r v X U ～，试求以下Y 的密度函数； ① 2ln Y X =- ；② 31Y X =+ ；③ X Y e = ；④ ln Y X = ；8、设()21,03;..90,;x x r v X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩～其他，且2,1;,12;1,2;X Y X X X ≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩，试求：①Y 的分布函数；②()P X Y ≤；§3.1 二维随机变量及其分布1、袋中有1红2黑3白共6个球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以,,X Y Z 分别表示两次取到的红、黑、白球的个数，①求()10P X Z ==；②求(),X Y 的概率分布；2、袋中有10个大小相等的球，其中6个红球4个白球；现随机抽取2次，每次抽取1个，定义随机变量,X Y 如下：1,0X ⎧=⎨⎩第一次抽到红球；，第一次抽到白球；、1,0Y ⎧=⎨⎩第二次抽到红球；，第二次抽到白球；，试就以下两种情况，分别求出(),X Y 的联合分布：①第一次抽取后放回；②第一次抽取后不放回；3、将一枚硬币抛掷三次，以X 表示三次中掷出正面的次数，以Y 表示掷出正面与反面次数之差的绝对值，试求(),X Y 的联合分布；4、①假设,X Y 同分布，且101111424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，()01P XY ==，试求(),X Y 的联合分布及()P X Y =；②设,X Y 为离散型随机变量，且101111442X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，1101513124Y -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭～，已知()0P X Y <=，()14P X Y >=，试求(),X Y 的联合分布； 5、①设(),X Y 的联合概率密度为()22,1;,0,;cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨⎩其他，（i ）确定常数c ；（ii ）求()(),P X Y D ∈，2:21D x y ≤≤； ②设(),X Y 具有联合密度()()6,02,24;,0,;k x y x y f x y ⎧--≤≤≤≤=⎨⎩其他，（i ）确定常数k ；（ii ）求()1,3P X Y ≤<、()1.5P X ≤、()4P X Y +≤；6、从()0,1中随机地取两个数，求“其积不小于316且其和不大于1”的概率； 7、设()0.5,10;..0.25,02;0,;x r v X f x x -<<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩～其中，令2Y X =，(),F x y 为二维随机向量(),X Y 的联合分布函数，①求Y 的()...Y p d f f y ；②求1,42F ⎛⎫- ⎪⎝⎭； §3.3 条件分布1、①将2只球放入3只盒中，以,X Y 分别表示1号盒与2号盒中的球数，试求在0Y =的条件下X 的条件分布； ②从1,2,3,4,5中任取一个数，记为X ；再从1,,X 中任取一个数记为Y ，试求(),X Y 的联合分布及Y 的分布；2、设..,r v X Y 独立，且()1X P λ～，()1Y P λ～，试求给定X Y n +=时，X 的条件分布；3、①设()()3,01;,,0,;x y x X Y f x y <<<⎧=⎨⎩～其他，试求给定X x =（01x <<）时，Y 的条件密度函数()Y X f y x ；②设()()1,,0;,,0,;xy y e e x y X Y f x y y --⎧⋅>⎪=⎨⎪⎩～其他，0y ∀>，试求给定Y y =时，X 的条件密度函数()X Y f x y 及()1P X Y y >=；③设()()2221,1;,,40,;x y x y X Y f x y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩～其他，试由此求条件概率 ()0.750.5P Y X ≥=；4、①设()0,1X U ～，已知X x =（01x <<），10,Y U x ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，试求Y 的 ()...Y p d f f y ；②设ξ在区间[]0,1上随机地取值，当观察到x ξ=时，η在区间[],1x 上随机地取值，试求η的密度函数；③设()2,0;0,0;x xe x f x x λξλξ-⎧>=⎨≤⎩～，η在()0,ξ上均匀分布，试求η的密度函数；④设()45,01;0,;Y y y Y f y ⎧<<=⎨⎩～其他，给定Y y =（01y <<）时，X 的条件密度为()233,0;0,;X Y x x y f x y y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，试求()0.5P X >；5、设[]2,4Y U ～，且给定Y y =（24y ≤≤）时，()X E y ～，试求：①(),X Y 的....J p d f （联合密度函数）；②试证：()1XY E ～； 6、①设,X Y 为两个随机变量，010.70.3Y ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，且给定Y k =时， ()2,1X N k ～，0,1k =；试求X 的分布； ②设121122X ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，且给定X k =时，()0,Y U k ～，1,2k =；试求Y 的分布，并求EY ；7、设[]0,1X U ～，试求给定12X >时，X 的条件分布； §3.4 随机变量的独立性1、 设(),X Y 有如下联合分布：/01104114X Y b a ，且事件{}0X =与 {}1X Y +=相互独立，①确定常数,a b ；②问：,X Y 是否独立？2、设101111424X -⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，011122Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭～，如果()221P X Y ==，①试求(),X Y 的联合分布；②,X Y 是否独立？3、设随机变量,X Y 独立同分布，且011X p p ⎛⎫ ⎪-⎝⎭～，令 1,0X Y Z X Y +⎧=⎨+⎩若为偶数；，若为奇数；，问：p 取何值时，,X Z 相互独立？ 4、设随机向量(),X Y 具有如下的联合密度： ①(),4,0,1f x y xy x y =<<；②(),8,01f x y xy x y =<<<；试讨论以上两种情形下，,X Y 是否独立？5、①设()(),X Y U D ～，其中22:1D x y +≤，试讨论,X Y 的独立性；②设()(),X Y U G ～，其中[][]0,10,2G =⨯，试讨论,X Y 的独立性；6、设()()()2,,0;,,0,;x y ce x y X Y f x y -+⎧>⎪=⎨⎪⎩～其他，①确定常数c ；②试求X 的边缘密度及条件密度，讨论,X Y 是否独立？③求(),X Y 的联合分布函数；7、①设..,r v X Y 独立，且[]0,1X U ～，12Y E ⎛⎫⎪⎝⎭～，（i ）试写出(),X Y 的联合密度函数；（ii ）试求“方程220t Xt Y ++=有实根”的概率；②从长度为a 的线段的中点两边随机各选取一点，求“两点间距离小于3a ”的概率；8、试用概率方法证明：0a ∀>22x aa e dx --≤⎰9、设随机向量(),X Y 的联合密度为()1,1,1;,40,;xyx y f x y +⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，试证：,X Y 不独立，但22,X Y 是独立地；§3.5 二维随机变量的函数的分布1、设,X Y 满足()30,07P X Y ≥≥=，且()()4007P X P Y ≥=≥=，试求{}()max ,0P X Y ≥；2、设..,r v X Y 具有分布：101111424X -⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭～，011122Y ⎛⎫⎪⎪⎝⎭～；已知 ()01P XY ==，试求()max ,Z X Y X Y =∨=的分布；3、 设随机变量1234,,,X X X X 独立同分布，且 ()01i P X ==-()10.6,1,2,3,4i P X i ===，试求行列式1234X X X X X =的概率分布；4、 设,A B 为两个事件，且()14P A =，()13P B A =，()12P A B =，令1,0,;A X ⎧=⎨⎩若发生;否则，1,0,;B Y ⎧=⎨⎩若发生;否则，试求：①(),X Y 的概率分布；②22Z X Y =+的概率分布；5、设某一设备装有三个同类的电器元件，各元件工作相互独立，且工作时间服从参数为λ的指数分布；当三个元件都正常工作时，设备才正常工作；试求设备正常工作时间T 的概率分布；6、①设()(),X Y U D ～，(){},02,01D x y x y =≤≤≤≤，试求边长为,X Y 的矩形面积S 的概率分布；②设,X Y 独立同()20,1N分布，则Z =Rayleigh ）分布，试求Z 的密度函数；7、设,X Y 独立，且()1X E λ～，()2Y E λ～，若{}()1min ,1P X Y e ->=，()13P X Y ≤=，试求12,λλ； 8、①设..,r v X Y 独立，且()13P Xi ==，1,0,1i =-；[)0,1Y U ～，记： Z X Y =+，试求： 102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭、Z 的()...Z p d f f z ；②设..,r v X Y 独立，且120.30.7X ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()Y Y f y ～，试求Z X Y =+的概率分布；9、①设,X Y 独立同()0,1U 分布，试求Z X Y =+的密度； ②设()()3,01;,,0,;x y x X Y f x y <<<⎧=⎨⎩～其他，试求Z X Y =-的密度；③设()()2,0,1;,,0,;x y x y X Y f x y --<<⎧=⎨⎩～其他，试求Z X Y =+的密度；④设,X Y 独立同()1E 分布，试求Z X Y =-的密度；10、（最大值与最小值分布）设12,,,n X X X 相互独立，若()12max ,,,n Y X X X =，()12min ,,,n Z X X X =，试在以下情况下求,Y Z 的分布；① i X 具有()..i d f F x ，1,2,,i n =；②诸i X 同分布，且有 ()..d f F x ，1,2,,i n =；③诸i X 为...c r v 且同分布，()i X f x ～，1,2,,i n =；④()i X E λ～，1,2,,i n =；11、设,X Y 独立同[]0,1U 分布，若(),01;1,12;X Y X Y Z X Y X Y +≤+≤⎧=⎨+-<+≤⎩，试问：Z 服从什么分布？ §4.1 数学期望2、某新产品在未来市场的占有率X 是仅在()0,1上取值的随机变量，其密度函数为()()341,01;0,;x x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，试求其平均占有率；3、设..r v X 的...p d f 为()2,01;0,;a bx x f x ⎧+≤≤=⎨⎩其他，若23EX =，试求,a b ；4、①设()X P λ～，试求2321Y X X =+-的数学期望；②设()1X E ～，试求()2X E X e -+； ③设()20,1X N ～，试求()2X E Xe ；5、①假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周五个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生两次故障获得利润0元；发生三次或三次以上故障要亏损2万元；试求机器一周内所获得的平均利润；②游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光。
《概率论与数理统计》分章复习题答案
《概率论与数理统计》分章复习题答案第一章 随机事件与概率一、 选择题1、D2、C3、A4、B5、 D6、D 7、D 8、B 9、B 10、C 11、D 12、A 13、B 14、B 15、A 16、D 17、C 18、D 19、C 20、B 21、B 22、C 23、C 24、C 25、A 26、A 27、C 28、B 29、B 30、B 31、B 32、C 33、D 34、C 35、C 36、B 37、B 二、 填空题1、A B ⋃2、133、134、0.9925、0.646、07.7、238、 0.79、 0.7 10、q p --1 11、0.2 12、 0.5 13、 0.88 14、p -115、 92 16、 7517、511）（p --18、18519、 7039 20、0.496 21、106.01）（- 22、 89 23、 116 24、3961925、84.840.7⨯ 26、23 27、127 28、13“取出的2球中至少有1个黑球”.(1) 1146210248().4515C C P A C === (2)112464210302().453C C C P B C +===7、设A =“取出的2球恰好是1黑1白球”，B =“取出的2球中至少有1个黑球”. (1)1146210248().4515C C P A C ===(2)1124662103913().4515C C C P B C +===8、 （1）作不放回抽样设 A={两只都是红球}，323()8728P A ⨯==⨯ （2）作放回抽样 设B={两只都是红球}，339()8864P B ⨯==⨯ 9、设 (1,2,3)iB i = 为第一次取出的 3 只球恰好有i只新的，A 为第二次取出的 3 只球全是没有用过的, 则由全概率公式，得33339393301212()()(|)0.1458.i i i iii i C CC P A P B P A B CC --====⋅=∑∑10、（1）设{}A =恰有两位同学不及格，1{}B =甲考试及格，2{}B =乙考试及格，3{}B=丙考试及格.则()0.29P A = （2）215()29P B A =11、设A 为被查后认为是合格品的事件，B 为抽查的产品为合格品的事件..998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P 12、 解 (1) 设A={选到的人患有色盲}，1B ={选到的人是男人}，2B ＝{选到的人是女人}，则12121122()()()()()()()()P A P AB AB P AB P AB P B P A B P B P A B =⋃=+=+0.50.060.50.0020.031=⨯+⨯=（2） 1111()()()30()()()31P B P A B P AB P BA P A P A ===13、 (1)设1A 表示从甲箱取得的产品是次品，2A 表示从乙箱取得的产品是次品，3A 表示从丙箱取得的产品是次品，B 表示取得的产品是次品;则取得的一件是次品的概率为3111111129()()(|).210315620360i i i P B P A P B A ===⨯+⨯+⨯=∑(2)若已知取得的一件是次品，所取得的产品是由丙车床生产的概率为3333()()(|)1/61/203(|).()()29/36029P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====14、 解：设A={取到的产品是次品}，B={取到的产品是由甲床生产的}，C={取到的产品是由乙床生产的}，D ＝{取到的产品是由丙床生产的}，则()()()()()P A P AB AC AD P AB P AC P AD =⋃⋃=++()()()()()()P B P A B P C P A C P D P A D =++=513121210101015102025⨯+⨯+⨯=()()()1()()()4P C P A C P AC P C A P A P A ===15、解：设事件A={取得一件产品是正品}，=1B {取得一箱是甲厂产品}，=2B {取得一箱是乙厂产品},=3B {取得一箱是丙厂产品}。
(完整版)概率论第三章第四章习题及答案
第三章 多维随机变量及其分布
n
解:(1)P{X n} P{X n,Y m}
m0
n e14 (7.14)m (6.86)nm
m0
m!(n m)!
e14 n
n! (7.14)m (6.86)nm
n! m0 m!(n m)!
e14 (7.14 6.86)n 14n e14 , n 0,1,2,
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第三章 多维随机变量及其分布
(3)P{Y m | X 20} C2m0 0.51m0.4920m , m 0,1,2, ,20.
P{Y m | X n} Cnm 0.51m0.49nm , m 0,1,2, , n
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第三章 多维随机变量及其分布
11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
0, FU (u) un ,
1,
u 0, 0 u 1,
u 1.
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第四章 随机变量的数字特征
U 的密度函数为
nun1, x (0,1),
fU (u)
0,
其他.
0, FU (u) un ,
1,
u 0, 0 u 1,
u 1.
E(U )
ufU (u)du
e14 (7.14)m (6.86)nm m!(n m)!
e
1414n n!
Cnm
7.14 14
m
6.86 14
nm
Cnm 0.51m0.49nm , m 0,1,2, , n
P{X n,Y m} e14 (7.14)m (6.86)nm , m!(n m)!
m 0,1,2, , n; n 0,1,2, .
cxey ,0 x y ,
概率论与数理统计第三、四章答案
概率论与数理统计第三、四章答案第三章 习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。
解：由习题二第2题计算结果112{0}={1}=33pp p p ξξ====，得12201333E ξ=⨯+⨯=一般对0-1分布的随机变量ξ有{1}E p p ξξ===2．用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。
解：方法一：先按定义计算长的数学期望290.3300.5310.229.9E ξ=⨯+⨯+⨯=和宽的数学期望190.3200.4210.320E η=⨯+⨯+⨯=再利用数学期望的性质计算周长的数学期望(22)229.922099.8E E ζξη=+=⨯+⨯=方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望ξ96 98 100 102 104p0.090.270.350.230.06960.09980.271000.351020.231040.0698.8E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=3.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）(2)E R π是否等于2ER π？（3）能否用2()ER π来计算远面积的期望值，如果不能22||201()2x x D E x e dx x e dx ξξ+∞+∞---∞===⎰⎰20|22x x x e xe dx +∞-+∞-=-+=⎰6题目略解 (1)15辆车的里程均值为1274(9050150)91.33153++⋅⋅⋅+=≈ (2) 记ξ为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则ξ的分布表如下表所示（a=188）ξ10 30 50 70 90 110 130 150 170p 5/a11/a 16/a 25/a 34/a 46/a 33/a 16/a 2/a故51124520103017096.1718818818847E ξ=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=≈ 7题目略解 记ξ为种子甲的每公顷产量，η为种子乙的每公顷产量，则45000.1248000.3851000.454000.14944E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 45000.2348000.2451000.354000.234959E η=⨯+⨯+⨯+⨯=8．一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？解 设i ξ为一盒中第i 个螺丝钉的重量(1,2,,100)i =⋅⋅⋅,则 题设条件为101,i i E g D g ξξ==且12100,,,ξξξ⋅⋅⋅相互独立。
概率论与数理统计习题及答案----第3章习题详解
概率论与数理统计习题及答案----第3章习题详解习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表：f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求：（1） 常数A ；（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}.【解】（1） 由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12（2） 由定义，有(,)(,)d d yx F x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3){01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e)0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰ 5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k（1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <1.5}； （4） 求P {X +Y ≤4}.【解】（1） 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3)11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y<<=⎰⎰⎰⎰如图 1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4)24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y+≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b 240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，0.2）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.题6图【解】（1） 因X 在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他所以(,),()()XY f x y X Y f x f y g 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他.(2)5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y-≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xyx x y x-==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度.【解】(42)28e,0,0,(,)(,)0,x y x yF x yf x yx y-+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他.8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x-≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度.【解】()(,)dXf x f x y y+∞-∞=⎰x24.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他()(,)dYf y f x y x+∞-∞=⎰12y4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图题9图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=⎩⎨⎧<<-.,0,,其他e yxy求边缘概率密度.【解】()(,)dXf x f x y y+∞-∞=⎰e d e,0,=0,.0,y xxy x+∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他()(,)dYf y f x y x+∞-∞=⎰e d e,0,=0,.0,y yxx y y--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他yxycx（1）试确定常数c；（2）求边缘概率密度.【解】（1）(,)d d(,)d dDf x y x y f x y x y+∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c==⎰⎰得214c=.(2) ()(,)dXf x f x y y+∞-∞=⎰212422121(1),11,d840,0,.xx x xx y y⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他()(,)dYf y f x y x+∞-∞=⎰5227d,01,420,0,.yyx y x y y-⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他11.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他xxy求条件概率密度f Y｜X（y｜x），f X｜Y（x｜y）.题11图【解】()(,)dXf x f x y y+∞-∞=⎰1d2,01,0,.xxy x x-⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d1,10,()(,)d1d1,01,0,.yY yx y yf y f x y x x y y-+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y XXy xf x yf y x xf x⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1,1,1(,)1(|),1,()10,.X YYy xyf x yf x y y xf y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1）求X与Y的联合概率分布；（2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表 345 {}i P X x =1 3511C 10=3522C 10= 3533C 10= 610 2 0 3511C 10=3522C 10= 310 30 02511C 10=110{}i P Y y =110310610(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠===g 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为2 5 80.4 0.80.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立？ 【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表2 5 8P {Y=y i }YX XYX Y0.4 0.15 0.30 0.350.8 0.80.05 0.12 0.03 0.2{}i P X x =0.20.420.38(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯g 0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率. 【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他;21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他.故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩g 独立其他题14图(2) 方程220aXa Y ++=有实根的条件是 2(2)40X Y ∆=-≥故X 2≥Y ，从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 212[(1)(0)]0.1445.x y x yπ-==Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X 和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}ZXF z P Z z P z Y =≤=≤(1) 当z ≤0时，()0ZF z =（2） 当0<z <1时，（这时当x =1000时,y =1000z）(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zxy zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-=⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y xx y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰336231010101=d 12y yzy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他故21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率.【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥g 之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥g1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<g g g44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ==17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，…. 证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数， 所以{}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==U UL U于是{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑g()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布.【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .0{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki k i n i k i n k ii kk n ki k n k P X i P Y k i n n p q p q i k i n n p q i k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑g方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则X =μ1+μ2+…+μn，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′,X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.19.设随机变量（X ，Y ）的分布律为0 1 2 3 4 50 1 2 30 0.01 0.03 0.05 0.07 0.090.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.080.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.060.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律； （4） 求W =X +Y 的分布律.【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑X Y{3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑（2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i ====<+≤= 1{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为V =max(X ,Y ) 0 12345P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28(3){}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k i k i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑0,1,2,3,i =于是 U =min(X ,Y ) 0 1 2 3 P0.28 0.30 0.25 0.17 (4)类似上述过程，有W =X +Y 0 1 2345678P0 0.00.00.10.10.20.10.10.02 63 94 9 25 20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.（1）求P{Y＞0｜Y＞X}；（2）设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.题20图【解】因（X，Y）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y Rf x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他（1）{0,}{0|}{}P Y Y XP Y Y XP Y X>>>>=>(,)d(,)dyy xy xf x yf x yσσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d dπ1d dπRRr rRr rRθθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24==(2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y>=>=-≤131{0,0}1(,)d1.44xyP X Y f x yσ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X 的边缘概率密度在x=2处的值为多少？题21图【解】区域D的面积为22e e0111d ln 2.S x xx===⎰（X,Y）的联合密度函数为211,1e,0,(,)20,.x yf x y x⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他（X，Y）关于X的边缘密度函数为1/211d,1e,()220,.xXy xf x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他所以1(2).4Xf=22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X 和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.y 1 y 2 y 3 P {X =x i }=p i x 1 x 21/8 1/8P {Y =y j }=p j 1/6 1【解】因21{}{,}jjiji P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==从而11111{,}.6824P X x Y y ===-= 而X 与Y 独立，故{}{}{,}ijiiP X x P Y y P X x Y y =====g ,从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即：1111{}/.2464P X x === 又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+==即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y === 同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===YX又31{}1jj P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=. 同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=故1y 2y 3y {}i iP X x P ==1x 124 18 112 14 2x18 38 14 34{}j jP Y y p ==161213123.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （0<p <1），且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布.YX【解】(1){|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=L .(2){,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======ge C (1),,0,1,2,.!mmn mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=g L24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021，而Y 的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ).【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此，得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩因为X ，Y 相互独立，所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩推得1{max{,}1}9P X Y ≤=.26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为-1 01-1 0 1a 00.20.1 b0.20 0.1c其中a ,b ,c 为常数，且X 的数学期望E (X )= -0.2,P {Y ≤0|X ≤0}=0.5，记Z =X +Y .求： （1） a ,b ,c 的值；XY（2） Z 的概率分布； （3） P {X =Z }.解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c +0.6=1 即 a+b+c = 0.4.由()0.2E X =-，可得0.1a c -+=-.再由{0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得0.3a b +=.解以上关于a ，b ，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===. (2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，即Z 的概率分布为Z -2 -1 01 2P 0.2 0.1 0.30.3 0.1(3)====++=++=. {}{0}0.10.20.10.10.20.4 P X Z P Y b。
概率论与数理统计练习册复习题和自测题解答
解：由 得到
8、一射手对同一目标独立的进行4次射击，若至少命中一次的概率为 80/81，求该射手的命中率。 解：设命中率为p，则有 9、设有来自三个地区的各10名，15名，和25名考生的报名表，其中女 生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区的报名表，从中 先后抽取两份。 （1）求先抽到的一份是女生表的概率； （2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率。 解：－取第i个地区；（i＝1，2）；B－第i份取到女生的报名表（i＝ 1，2，3）
则利润 要使得达到最大值，即当时
第四章 自测题
6、某流水生产线上每个产品不合格的概率p，各产品合格与否相互独 立，当出现一个不合格产品时即停机检修，设开机后第一次停机时已生 产了的产品个数为X，求X的数学期望和方差。 解：
7、设随机变量X的概率密度函数为 （1）求，； （2）求与的协方差，并问与是否相关？ （3）问与是否独立？为什么？ 解：1）
9、某型号的高射炮，每门命中敌机的概率为0.4，现若干门炮同时射 击，欲以99％的把握击中敌机，问至少要配置几门高射炮？ 解：由解得
10、一居民区间有6部户用电话，平均每小时每用户用6分钟，而且各用 户是否用电话是相互独立的。求（1）刚好有2户用电话的概率；（2） 至少有2户用电话的概率；（3）最多有2户用电话的概率。 解：A－用户使用电话
1） 2） 3）
第一章 自测题
1、 设在一次实验中，事件A发生的概率为p，现进行n次独立重复试 验，则A至少发生一次的概率是多少？事件A至多发生一次的概率 是多少？
解： 2、三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑 球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一箱，再从 这个箱子中取出一球，求这个球为白球的概率。若已知取出的一球为白 球，此球属于第二个箱子的概率是多少？
概率论与数理统计第4章题库
第4章数字特征填空题1. 设随机变量X只取-1，0，1三个值，且相应的概率之比1：2：3，则()E X=_________.答案：1 3知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望参考页:P87学习目标:1难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义提示二：无提示三：无提示四（同题解）题型：填空题题解：123 {1},{0},{1}666 P X P X P X=-=====1231()(1)016663E X=-⋅+⋅+⋅=.2. 设随机变量X的分布律为下表，则DX=_______.答案：23 16知识点：4.10 方差的概念参考页:P87学习目标:1难度系数: 1提示一：4.10 离散型随机变量方差的定义提示二：无提示三：无提示四（同题解） 题型：填空题 题解：34EX =,2223()16DX EX EX =-=. 3．设X 表示2次独立重复射击命中目标的得次数，每次命中目标的概率为0.4，则EX =_____. 答案：0.8知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望 参考页: P88 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：()2,0.4X B ~，0.8EX = 4. 设随机变量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-p pX 110~，10<<p ，当____=p 时，)(X D 取得最大值. 答案：2316知识点：4.11 常见随机变量的方差 参考页: P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.11 两点分布的方差 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：()(1)D X p p =-，12p =时，)(X D 取得最大值.5．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，若每次命中目标的概率是0.4，则2()E X =_____.答案：18.4知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：由()10,0.4X B ~得()100.44E X np ==⨯=，()()1100.40.6 2.4D X np p =-=⨯⨯=，()()()22 2.41618.4E X D X E X =+=+=⎡⎤⎣⎦6. 设X 表示10次独立射击中命中目标的次数，每次击中目标的概率为0.4，则2(1)X +的期望为_________. 答案：27.4知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：~(10,0.4)X B ，22(1)(1)[(1)]E X D X E X +=+++22.4527.4=+=.7. 设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且12EX =，8DX =，则n =_____， p =_____.答案：36,13知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：()12E X np ==, ()()18D X np p =-=，解得13p =，36n = 8. 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2()P X E X == .答案：112e - 知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望 提示二：4.11 泊松分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：~(1)X P ，22()()[()]2E X D X E X =+=，{}{}2()2P X E X P X ===112e -=. 9. 设随机变量X 的概率分布为{} (0,1,2,)!CP X k k k ===L , 则2()E X =_________. 答案：2知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1难度系数: 2提示一：2.1离散型随机变量的分布律的性质 提示二：4.2 泊松分布的数学期望 提示三：4.11 泊松分布的方差 提示四（同题解） 题型：填空题题解：001!!k k C C Ce k k ∞∞====∑∑，故1C e =.1{}!e P X k k -==，~(1)X P ， 22()()[()]112E X D X E X =+=+=.10. 设X 在[1,1]-上服从均匀分布，则E X = _________；12E X ⎛⎫=⎪+⎝⎭_________；12D X ⎛⎫= ⎪+⎝⎭_________.答案：12，1ln 32，3ln 41312- 知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 参考页: P91 学习目标: 3 难度系数: 2提示一：2.12 均匀分布的概率密度 提示二：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 提示三：4.10 方差的概念 提示四（同题解） 题型：填空题题解：X 的概率密度为 111()2 0 x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他，，E X 111011()22x f x dx x dx xdx +∞-∞-====⎰⎰⎰，12E X ⎛⎫=⎪+⎝⎭11111111()l n (2)2222f x d x d x x x x +∞--∞-=⋅=+=++⎰⎰， 212E X ⎛⎫= ⎪+⎝⎭221111111111()222223f x dx dx x x x +∞--∞-⎛⎫⎛⎫=⋅=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎰⎰， 22111222D E E X X X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭3ln 41312-.11. 设X 服从参数为λ的指数分布，且22()9E X =，则λ=_________. 答案：3知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 指数分布的数学期望 提示二：4.11 指数分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：填空题题解：由已知222222112()()()9E X D X E X λλλ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭由0λ>知3λ=.12. 随机变量X 与Y 独立，且~(1,2)X N ，~(2,5)Y N -，则234~X Y -+_______. 答案：(12,53)N知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 正态分布的数学期望 提示二：4.11 正态分布的方差 提示三：4.9数学期望的性质提示四：4.13方差的性质 题型：填空题题解： (234)2()3()412E X Y E X E Y -+=-+=，(234)4()9()53D X Y D X D Y -+=+=234~(12,53)X Y N -+13. 随机变量X 与Y 相互独立且都服从正态分布1(,)2N μ，如果1{1}2P X Y +≤=，则μ= .答案：12知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 正态分布的数学期望，方差 提示二： 4.9数学期望的性质 提示三： 4.13方差的性质提示四： 2.14 正态分布概率密度的性质 题型：填空题题解： ()()()2E X Y E X E Y μ+=+=，()()()1D X Y D X D Y +=+= 由1{1}2P X Y +≤=知21μ=，所以12μ= 14. 设随机变量X 的概率密度为221() ()xx f x x-+-=-∞<<+∞则()E X = _________ ，()D X =_________.答案：112， 知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90, P99 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.14 正态分布概率密度提示二： 4.5 正态分布的数学期望 提示三： 4.11 正态分布的方差 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：22(1)122121()1x xx f x e--⋅-+-==，()1E X =，1()2D X =. 15．已知1,1,9,16,EX EY DX DY ====X 与Y 独立，则(32)E X Y += ，(32)D X Y -= ．答案：5, 145知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 4.13方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：(32)3()2()5E X Y E X E Y +=+=，(32)9()4()145D X Y D X D Y -=+=16．已知(2)X P ~，[1 2]Y U ~，，且X 与Y 独立，则()E XY =____________， ()4E X Y -= ()12D X Y -=答案：3, 4, 14-知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 2提示一： 4.9数学期望的性质提示二： 4.13方差的性质提示三： 4.2 泊松分布的数学期望，方差 提示四： 4.5 均匀分布的数学期望，方差 题型：填空题题解：3()()()232E XY E X E Y ==⋅=，()34()4()2442E X Y E X E Y -=-=-⋅=- ()112()144()21441412D X Y D X D Y -=+=+⋅=17. 若(,)X Y 的联合概率密度22253()321650251(,)32x xy y f x y eπ--+=，则(,)X Y 服从____________分布，且()E X =______，()E Y =______，()D X =______，()D Y =______，, X Y ρ=______. 答案：30, 0, 16, 25,5知识点：4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 3.11二维正态分布联合概率密度 提示二： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：2213(2)545454251(,)42455x xy y f x y eπ--⋅+⋅⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=⋅⋅⋅,(,)X Y 服从二维正态分布()E X =()0E Y =, ()16D X =,()25D Y =,, 35X Y ρ=. 18. 设二维随机变量(,)X Y 服从22(,,,,0)N μμσσ，则2()E XY =________. 答案：22()μσμ+知识点：4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布相关系数的含义 提示二： 4.9数学期望的性质提示三： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：22222()()()()[()]()E XY E X E Y E X D Y E Y μσμ==+=+.19. 设(,)~(0,0,0.5,0.50)X Y N ，，Y X Z -=，则方差=)(Z D . 答案：21π-知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P91, P107 学习目标: 3，4 难度系数: 3提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示二： 4.6 连续型随机变量函数的数学期望 提示三： 4.10 方差的概念 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：~(0,1)Z X Y N =-，()E Z =22z dz +∞--∞=⎰2202202z z dz +∞--+∞===⎰()()()22 D Z E Z E Z =-()22E Z π=-()222()1D Z E Z ππ=+-=-20. 随机变量(,)X Y 的联合概率分布为下表，则X 与Y 的协方差(,)Cov X Y 为_______.答案：9-知识点：4.14 协方差的概念 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.14 协方差的概念提示二： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题 题解：141016,,999EX EY EXY ===，124(,)9Cov X Y =- 21. 随机变量(,)X Y 的联合概率分布为下表，则X 与Y 的相关系数XY ρ为_______.答案：0知识点：4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念提示二： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题 题解：()22222242,,33399EX EX DX EX EX ===-=-= 220,,3EY EY ==()2223DY EY EY =-=, 0EXY =所以，(,)0Cov X Y =，0XY ρ=22．设随机变量,X Y 有()1E X =，()2E Y =, (,)2Cov X Y =，则()E XY =______. 答案：4知识点：4.14 协方差的概念 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.14 协方差的概念 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：()(,)()()224E XY Cov X Y E X E Y =+=+= 23．设4,9,0.5XY DX DY ρ===，则(2)D X Y -=________.答案：13知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：(2)4()()4(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+-4()()4D X D Y ρ=+-16940.52313=+-⨯⨯⨯=24．设两个随机变量Y X ,，已知25.0,9,16===XY DY DX ρ，则)(Y X D += _. 答案：31知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()2ρ=++XY D X D Y 16920.254331=++⨯⨯⨯=25．设,X Y 为随机变量，且()7D X Y +=，4DX =, 1DY =，则XY ρ= . 答案：12知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：7()()()2D X Y D X D Y ρ=+=++5227XY ρ+⨯=，解得12XY ρ=. 26．设两个随机变量,X Y ，已知16,9,()31DX DY D X Y ==+=，试计算：XY ρ=____________，()D X Y -=____________.答案：1, 194知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.13 方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题题解：31()()()2D X Y D X D Y ρ=+=++即2524331XY ρ+⨯⨯=，解得14XY ρ=()()()2D X Y D X D Y ρ-=+-125243194=-⨯⨯⨯=27.设随机变量X 与Y 的相关系数为0.9，若,4.0-=X Z ，则Z Y 与的相关系数为 . 答案：0.9知识点：4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念与性质 提示二： 4.15 协方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：填空题 题解：,Y Z ρ===, 0.9X Y ρ==选择题1. 现有10张奖券，其中8张为2元券，2张为5元券，某人从中随机地无放回地抽取了3张，则此人得奖金额的数学期望为（ ）.（A ）6； （B ）12； （C ）7.8； （D ）9. 答案：（C ）知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.1 离散型随机变量的数学期望 提示二： 无 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：X 为得奖金额，383107{6}15C P X C ===，21823107{9}15C C P X C ===， 12823101{12}15C C P X C ===，771()69127.8151515E X =⨯+⨯+⨯=，选（C ）.2. 设~(,)X B n p ，且() 2.4E X =， 1.44DX =（），则,n p 分别为（ ）. （A ）4,0.6n p ==； （B ）6,0.4n p ==； （C ）8,0.3n p ==； （D ）24,0.1n p ==. 答案：（B ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 二项分布的数学期望 提示二：4.11 二项分布的方差提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：~(,)X B n p ,2.4=()E X np =,1.44=(1)D X np p =-（）,解得0.4, 6p n ==，选（B ）.3．设X 服从参数为2的泊松分布，即22{}k P X k e k -==！, 则X 的数学期望和方差分别为（ ） (A)12和12; (B) 2和4; (C) 12和14; (D) 2和2. 答案：（D ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望 提示二：4.11 泊松分布的方差 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：由X 服从参数为2的泊松分布知，()()2E X D X ==，选（D ）.4. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，若[(1)(2)]1E X X --=，则参数λ=（ ） （A ）3 ; (B) -1 ; (C) 1 ; (D) 2 . 答案：（C ）知识点：4.2 常见离散型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P88, P99 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.2 泊松分布的数学期望 提示二：4.11 泊松分布的方差 提示三：4.9 数学期望的性质题型：选择题题解：221[(1)(2)]()3()2()()3()2E X X E X E X D X E X E X =--=-+=+-+2210λλ-+= λ=1，选（C ）.5. 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则()E X =( ) (A) 2; （B ）4; （C ）12; （D ）14. 答案：（C ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望 参考页: P90 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.5 指数分布的数学期望 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：选择题题解：由X 服从参数为2的指数分布知1()2E X =，选（C ）. 6. 设随机变量X 服从参数为λ的指数分布，若2()72E X =，则参数λ=（ ）(A) 6 ; (B) 4 ; (C) 13 ; (D) 16. 答案：（D ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 指数分布的数学期望 提示二：4.11 指数分布的方差 提示三：无题型：选择题题解：~()X E λ 211(),()E X D X λλ==2272()()()E X D X E X ==+解得 16λ=，选（D ）. 7. 设随机变量X 的分布函数为21 0() 0 0x e x F x x -⎧-≥=⎨<⎩，，且μ=)(X Eσ=，则μ与σ的关系为（ ）.（A ）μ=σ； （B ）μ=2σ； （C ）2μ=σ； （D ）μ=1σ.答案：（A ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：2.10 连续型随机变量的概率密度与分布函数之间的关系 提示二：4.5 指数分布的数学期望 提示三：4.11 指数分布的方差 提示四（同题解） 题型：选择题题解：由已知X 的概率密度为22 0() 0 0x e x f x x -⎧≥=⎨<⎩，，，1()2E X =12=，选（A ）.8. 设随机变量,X Y 相互独立，其中X 在[1,7]上服从均匀分布，Y 服从参数为4的泊松分布，记2U X Y =-，则(),E U ()D U 等于（ ）.（A ）4,19-； （B ）4,13-； （C ）12,19； （D ）12,10. 答案：（A ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 均匀分布的数学期望与方差 提示二：4.2 泊松分布的数学期望与方差 提示三：4.9 数学期望的性质 提示四：4.13 方差的性质 题型：选择题题解：由X 在[1,7]上服从均匀分布知，()4E X =，()3D X = 由Y 服从参数为4的泊松分布知，()4E X =，()4D X =()()2()424E U E X E Y =-=-⨯=-，()()4()34419D U D X D Y =+=+⨯=，选（A ）.9．设X 服从正态分布)2,4(N ，则32Y X =+服从哪个分布（ ）(A) )18,12(N ; (B) )20,14(N ; (C) )18,14(N ; (D) )8,12(N . 答案：（C ）知识点：4.5 常见连续型随机变量的数学期望，4.11 常见随机变量的方差 参考页: P90，P99 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.5 正态分布的数学期望 提示二：4.11 正态分布的方差 提示三：4.9 数学期望的性质 提示四：4.13 方差的性质 题型：选择题题解：()3()214E Y E X =+=，()9()18D Y D X ==，~(14,18)Y N ，选（C ）. 10. 设随机变量X 和Y 相互独立，~(1,1)X N ，~(2,1)Y N -，则(2)D X Y -=（ ） （A ）3； （B ）5； （C ）4； （D ）1. 答案：（B ）知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103学习目标: 2 难度系数: 2提示一： 4.11 正态分布的方差 提示二： 4.13 方差的性质 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：(2)4()()5D X Y D X D Y -=+=，选（B ）.11. 对任意随机变量X ，若()E X 存在，则[()]E E EX 等于（ ）. （A ）0; （B ）X ; （C ） 3()EX ; （D ）()E X . 答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质 参考页: P94 学习目标: 2 难度系数: 1提示一： 4.9 数学期望的性质 提示二： 无 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：由期望性质知[()]()E E EX E X =，选（D ）.12. 设随机变量X 与Y 相互独立，方差分别为4和2，则32X Y -的方差是( ). (A) 8; (B) 44; (C) 28; (D) 16. 答案：（B ）知识点：4.13 方差的性质 参考页: P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.13 方差的性质 提示二：无 提示三：无提示四： （同题解） 题型：选择题题解：(32)9()4()44D X Y D X D Y -=+=，选（B ）.13.设()2,()1,()1,()2,E X D X E Y D Y ====且Y X ,相互独立，则32X Y +的数学期望与方差分别为（ ）(A) 8和7; (B)8和17; (C) 7和8; (D)17和7. 答案：（B ）知识点：4.9 数学期望的性质 4.13 方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.9 数学期望的性质 提示二：4.13 方差的性质 提示三：无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：(32)3()2()8E X Y E X E Y +=+=(32)9()4()17D X Y D X D Y +=+=，选（B ）.14．设X 为随机变量，,0)(≥X E 2)121(2=-X E ,21)121(=-X D ，则()E X =（ ） (A)22;(B) 1; (C) 0; (D) 2.答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质 4.13 方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 2 难度系数: 2提示一：4.9 数学期望的性质 提示二：4.13 方差的性质 提示三：无 提示四：（同题解） 题型：选择题 题解：由2)121(2=-X E 知，2()6E X =，由11(1)22D X -=知，()2D X =22()()()D X E X E X =-，即26()2E X -=，由()0E X ≥知，()2E X =. 选（D ）. 15. 随机变量()~0,1X N ，()~1,4Y N 且相关系数1XY ρ=，则（ ） （A ）{}211P Y X =--=;(B) {}211P Y X =-=;(C) {}211P Y X =-+=; (D) {}211P Y X =+=.答案：（D ）知识点：4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.16 相关系数的性质 提示二： 4.5 正态分布的数学期望 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：(21)1EY E X =+=，选（D ）.16. 若二维随机变量(,)X Y 满足()()()E XY E X E Y =，则X 与Y （ ） （A ）相关； （B ）独立； （C ）不相关； （D ）不独立. 答案：（C ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4难度系数: 1提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：由()()()E XY E X E Y =知，(,)0Cov X Y =，所以X 与Y 不相关，选（C ）. 17．对于任意两个随机变量X 和Y ，若()()()E XY E X E Y =，则（ ）（A ）()()()D XY D X D Y =⋅； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+； （C ） X 与Y 相互独立； （D ）X 与Y 互斥. 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.13 方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：由()()()E XY E X E Y =知，(,)0Cov X Y =，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()D X D Y =+，选（B ）.18．设随机变量X 与Y 的协方差(,)0,Cov X Y =则下列结论正确的是 ( ) (A) X 与Y 独立； （B ）()()()D X Y D X D Y +=+; （C ）()()()D X Y D X D Y -=-； (D) ()()()D XY D X D Y =. 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.13 方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++()()D X D Y =+，选（B ）. 19. 若随机变量,X Y 满足()()D X Y D X Y +=-，则必有（ ）（A ）X 与Y 相互独立；（B ）X 与Y 不相关; （C ）()0D X =； (D) ()()0D X D Y = 答案：（B ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.13 方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y +=++，()()()2(,)D X Y D X D Y Cov X Y -=+- 所以(,)0Cov X Y =，即X 与Y 不相关. 选（B ）. 20. 下列命题正确的是（ ）（A ）若Y X ,不相关，则()()()D X Y D X D Y +=+； （B ）若()E XY EX EY =⋅，则Y X ,相互独立； （C ）若()()()D X Y D X D Y +=+，则Y X ,相互独立；（D ）若Y X ,不相关，则Y X ,的联合概率密度(,)()()X Y f x y f x f y =⋅； 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.9 数学期望的性质 提示三： 4.13 方差的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：若Y X ,不相关，则(,)0Cov X Y =.()()()2(,D X Y D X D Y C o v X Y +=++()()D X D Y =+，选（A ）.21．下列结论正确的是（ ）（A ）X 与Y 相互独立，则X 与Y 不相关； （B ）X 与Y 不独立，则X 与Y 相关； （C ）X 与Y 不相关，则X 与Y 相互独立； （D ）X 与Y 相关，则X 与Y 相互独立. 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 1提示一： 4.9 数学期望的性质 提示二： 4.15 协方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：X 与Y 相互独立，有()E XY EX EY =⋅，即(,)0C o v X Y =，所以X 与Y 不相关，选（A ）.22. 若两个随机变量X 和Y 相互独立，则以下结论不一定成立的是( ). (A) ()D XY DX DY =⋅; (B) ()D X Y DX DY +=+; (C) (,)0Cov X Y =; (D) ()E XY EX EY =⋅. 答案：（A ）知识点：4.15 协方差的性质 参考页: P105 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.15 协方差的性质 提示二： 4.9 数学期望的性质 提示三： 4.13 方差的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：X 与Y 相互独立，有()E XY EX EY =⋅，即(,)0Cov X Y =，()()()2(,D X Y DX D Y C o v X Y +=++()()D X D Y =+， 选项（B ）（C ）（D ）均成立，故选（A ）.23. 随机变量X 和Y 相互独立，则等式 ①()()()E X Y E X E Y -=-②()()()E XY E X E Y =g ③()D X Y DX DY -=- ④()()()D XY D X D Y =g 中成立的为（ ）（A ）①③； （B ）②④； （C ）①④； （D ）①②. 答案：（D ）知识点：4.9数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 4.13方差的性质 提示三： 无提示四：（同题解） 题型：选择题题解：由期望的性质()E X Y EX EY -=-，X 与Y 相互独立时，有()E XY EX EY =⋅，选（D ）. 24. 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记max(,),U X Y =min(,)V X Y =，则()E UV 等于（ ）.(A) ()()E U E V ； (B) ()()E X E Y ； (C) ()()E U E Y ； (D) ()()E X E V . 答案：（B ）知识点：4.9数学期望的性质 参考页: P94 学习目标: 1 难度系数: 1提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()()()E UV E XY E X E Y ==，选（B ）.25. 设连续型随机变量1X 与2X 相互独立，且方差均存在，1X 与2X 的概率密度分别为1()f x 与2()f x ，随机变量1Y 的概率密度1121()[()()]2Y f y f y f y =+，随机变量2121()2Y X X =+，则（ ）(A) 1212,EY EY DY DY >>； (B) 1212,EY EY DY DY ==； (C) 1212,EY EY DY DY =<； (D) 1212,EY EY DY DY =>. 答案：（D ）知识点：4.9 数学期望的性质，4.13方差的性质 参考页: P94, P103学习目标: 1 难度系数: 3提示一： 4.9数学期望的性质 提示二： 4.13方差的性质 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：特值法，设12,X X 均服从标准正态分布()0,1N ，相互独立22212221()]2y y y Y f y e e e ---=，()1~0,1Y N ，2121()02E Y E X E X =+=, 21211()42DY DX DX =+=， 1212,EY EY DY DY =>，故选（D ）.26. 设随机变量X 的分布函数为1()0.3()0.72x F x x -⎛⎫=Φ+Φ ⎪⎝⎭，其中()x Φ为标准正态分布函数，则()E X =（ ）. （A ）0；(B) 0.3；(C) 0.7；(D) 1.答案：（C ）知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 参考页: P90 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.10 连续型随机变量概率密度与分布函数的关系 提示二： 4.4 连续型随机变量的数学期望的定义 提示三： 2.14 正态概率密度的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解1： 11()()0.3()0.722x f x F x x ϕϕ-⎛⎫'==+⋅⎪⎝⎭1()()0.3()0.352x E X xf x dx x x dx x dx ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰120.352(21)()0.7()0.7x t t t dt t dt ϕϕ-=+∞+∞-∞-∞⋅+===⎰⎰，选（C ）.题解2：1()()0.3()0.352x E X xf x dx x x dx x dx ϕϕ+∞+∞+∞-∞-∞-∞-⎛⎫==+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰2221()(1)22220.350.352x x dx x dx ---+∞+∞-⋅-∞-∞==⎰⎰2(1)220.70.7x x dx --+∞⋅-∞==⎰，选（C ）.27. 设二维随机变量()()221212,,,,,X Y N μμσσρ~，则下列结论错误的是（ ）.（A ）()()221122,,,X N Y N μσμσ~~； （B ） X 与Y 相互独立的充要条件是0ρ=；（C ）()12E X Y μμ+=+； （D ）()2212D X Y σσ+=+.答案：（D ）知识点： 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示二： 4.9 数学期望的性质 提示三： 4.13 方差的性质 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：()()221212,,,,,X Y N μμσσρ~，则()()221122,,,X N Y N μσμσ~~()12E X Y μμ+=+，X 与Y 相互独立的充要条件是0ρ=()221212()()22XY XY D X Y D X D Y ρσσρσσ+=++=++，选（D ）28. 设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为（ ） (A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D) ()()X Y f x f y . 答案：（A ）知识点： 4.17 二维正态分布的协方差和相关系数 参考页: P107 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.17 二维正态分布5个参数的含义 提示二： 3.10 连续型随机变量的条件概率密度 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：对于二维正态分布，X 与Y 不相关，则X Y 与相互独立(,)()()X Y f x y f x f y =，/(,)()()X Y Y f x y f x y f y =()X f x =，选（A ）.29. 将一枚硬币重复掷n 次，以X 和Y 分别表示正面朝上和反面朝上的次数，则X 和Y 的相关系数等于（ ）（A ） 1-； (B) 0； (C) 12； (D) 1. 答案：（ A ）知识点： 4.16 相关系数的概念与性质 参考页: P106 学习目标: 4 难度系数: 2提示一： 4.16 相关系数的概念与性质 提示二： 无 提示三： 无 提示四：（同题解） 题型：选择题题解：Y n X =-，11~(,),~(,)22X B n Y B n (,)()()C o v X n X D X D Y -=-=-，1XY ρ=-，选（A ）.计算题1. 设离散型随机变量X 的分布律如下表所示求()E X ，2()E X ，2(35)E X +. 答案：0.2, 2.8, 13.4-知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P87，P89 学习目标: 1，3 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：()20.400.320.3E X =-⨯+⨯+⨯2.0-=，2222()(2)0.400.320.3E X =-⨯+⨯+⨯8.2=， 22(35)3()5E X E X +=+222(3(2)5)0.4(305)0.3(325)0.3=⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯4.13=.2. 某射手有3发子弹，射一次命中的概率为32，如果命中了就停止射出，否则一直独立射到子弹用尽. 求(),()E X D X .答案：139，3881知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P87，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：123~2121133333X ⎛⎫⎪ ⎪⋅⎝⎭,9139********)(=⨯+⨯+⨯=X E 923913922321)(2222=⨯+⨯+⨯=X E ,8138)()()(22=-=X E X E X D .3．设一汽车在开往目的地的道路上需要经过三组信号灯，每组信号灯以12的概率允许或禁止汽车通过. 以X 表示汽车首次停下时它已通过的信号灯的组数（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X 的数学期望和方差. 答案：78，7164知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P87，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：1()234888E X =+⨯+⨯= 22211115()()(),()494888D X E X EX E X =-=+⨯+⨯=所以22215771()()()()8864D X E X EX =-=-= 4. 一盒中有4个球，球上分别标有号码0，1，1，2从盒中有放回的抽取2个球，设X 为被观察到的球上号码的乘积，求()E X . 答案：1知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：无 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：分别用12X X ，表示第一次和第二次摸到的球的标号. X 表示两次摸球标号的乘积 则X 的所有可能取值有0，1，2，412{0}{(0)(0)}P X P X X ===+=1212{0}{0}{0,0}P X P X P X X ==+=-==11117444416=+-⋅= 12{1}{1,1}P X P X X ====111224=⋅= 1212{2}{1,2}{2,1}P X P X X P X X ====+==1111124424=⋅+⋅= 12{4}{2,2}P X P X X ====1114416⋅=1112414416EX =+⨯+⨯=.5. 对某一目标进行射击，直至击中目标为止. 如果每次击中目标的概率均为(01)p p <<, 求: (1) 射击次数为偶数的概率; (2) 射击次数的数学期望. 答案：（1）12p p -- （2）1p知识点：4.1 离散型随机变量的数学期望 参考页: P87 学习目标: 1 难度系数: 2提示一：4.1 离散型随机变量的数学期望的定义 提示二：2.1离散型随机变量取值的概率 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：记射击次数为X ，显然X 的分布律如下 1{}(1)k P X k p p -==-， k =1, 2, … （1）所求概率为2111{2}(1)k k k P X k p p +∞+∞-====-∑∑2)1(1)1(p p p ---=p p --=21. （2）1(){}k E X k P X k +∞==⋅=∑11(1)k k kp p +∞-==-∑p1=（ 注意：级数11(1)k k kx x +∞-=-∑x1=，)2,0(∈x ）. 6. 设随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，求kXY e =的数学期望.答案：((1))kne p p +-知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示二： 2.3 二项分布的分布律 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：~(,)X B n p ， {}(1)l ln l n P X l C p p -==- , 0, 1, 2,,.l n =⋯故 ()()kXE Y E e =0(1)nk lllnln l e C p p -==-∑0()(1)nl k l n ln l C e p p -==-∑n k p p e ))1((-+=. 7. 设随机变量X 服从参数为0.5的泊松分布，求随机变量1=1Y X+的数学期望. 答案：0.52(1)e --知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示二： 2.3 泊松分布的分布律 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解： 0.5=0110.5()=1+1!k k E Y E e Xk k ∞-⎛⎫=⋅⎪+⎝⎭∑0.51=00.5=0.5(1)!k k ek -+∞+∑ 0.50.50.50.5=00.5=21=2(1)2(1)!k k ee e e k ∞---⎡⎤--=-⎢⎥⎣⎦∑. 8. 设离散型随机变量X 的分布律如下表所示.求随机变量2XY =的数学期望和标准差. 答案：2.4, 1.41参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 1提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示二： 4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：()(2)X E Y E =423.021.022.022101⨯+⨯+⨯+⨯=-4.2=. 2()(4)X E Y E =443.041.042.042101⨯+⨯+⨯+⨯=-75.7=，22()()[()]D Y E Y E Y =-99.14.275.72=-=，1.41=≈.9．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障可获利润5万元；发生两次故障所获利润为0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元. 求一周内期望利润是多少？ 答案：5.209知识点： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 参考页: P89 学习目标: 3 难度系数: 2提示一： 4.3 离散型随机变量函数的数学期望 提示二： 2.3 二项分布的分布律 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题题解：设Z 表示一周内发生故障次数（五天工作日，每天发生0或1次故障）~(5,0.2)Z B ，55{}0.20.8k k k P Z k C -== (k =0, 1, 2, 3, 4, 5)(())E C Z=10×0.3277+5×0.4096+0×0.2048-2 (0.0512+0.0064+0.00032)=3.277+2.048-0.11584=5.209(万元)10. 设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布，随机变量100010XY XX>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，若，若，若求Y的方差.答案：8 9知识点：4.10 方差的概念参考页:P97学习目标:1难度系数:2提示一：4.3离散型随机变量函数的数学期望提示二：4.10 方差的概念提示三：2.12 均匀分布提示四（同题解）题型：计算题题解：由已知2{1}{0}3P Y P X==>=，1{1}{0}3P Y P X=-=<= Y的分布律为1()3E Y=，2()1E Y=，2218()()[()]199D YE Y E Y=-=-=.11. 设X 的概率密度为,01()2,120,x x f x x x ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他 , 求)(X E ，()D X .答案：1，16知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.4 连续型随机变量的数学期望的定义 提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：12201()()(2)E X xf x dx x dx x x dx +∞-∞==+-⎰⎰⎰122323101111141(81)13333x x x =+-=+---=12223201()()(2)E X x f x dx x dx x x dx +∞-∞==+-⎰⎰⎰122434101121434x x x =+-12177154346=+⋅-⋅= 22)]([)()(X E X E X D -=71166=-=. 12．设X 的概率密度为110()1010x x f x x x +-≤<⎧⎪=-≤≤⎨⎪⎩，，，其他，求()E X ，()D X . 答案：0，16知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 1提示一：4.4 连续型随机变量的数学期望的定义提示二：4.10 方差的概念 提示三：无 提示四（同题解） 题型：计算题 题解：()()E X xf x dx +∞-∞=⎰011(1)(1)x x dx x x dx -=++-⎰⎰2030213111111102323x x x x --=++-=，22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰01221(1)(1)x x dx x x dx -=++-⎰⎰34034111111()()3434x x x x -=++-16=， 从而221()()[()]6D XE X E X =-= .13. 设连续型随机变量X 的概率密度为1,02()0,kx x f x +≤≤⎧=⎨⎩其他 求 (1)系数k ; (2) X 的分布函数()F x ; (3)计算{1.5 2.5}P X << (4)求期望()E X ，方差()D X .答案：（1）12- （2）20, 01(), 0241, 2x F x x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩ （3）0.0625 （4）2, 03知识点：4.4 连续型随机变量的数学期望 4.10 方差的概念 参考页: P90，P97 学习目标: 1 难度系数: 3提示一：2.10连续型随机变量的概率密度的性质提示二：2.10连续型随机变量的概率密度与分布函数的关系 提示三：4.4 连续型随机变量数学期望的定义 提示四：4.10 方差的概念 题型：计算题 题解：(1)2(1)1kx dx +=⎰，12k =-(2)(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，0x <时，()0F x =，2x ≥时，()1F x =.02x ≤<时，2011()(1)24xF x t dt x x =-+=-+⎰20, 01(), 0241, 2x F x x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩(3){1.5 2.5}(2.5)(1.5)0.0625P X F F <<=-= (4) ()()E X xf x dx +∞-∞=⎰20(1)2x x dx =-+⎰32220011122323x x =-⋅+= 22()()E X x f x dx +∞-∞=⎰220(1)2x x dx =-+⎰42320011122433x x =-⋅+=， 从而22()()[()]0D X E X E X =-= .14. 设连续型随机变量X 的概率密度为：()0102a +bx ,<x <f x =,⎧⎨⎩其他，已知数学期望3()5E X =.求：（1）常数a,b 的值；（2）()XE e . 答案：（1）36, 55（2）935e -知识点：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 参考页: P91 学习目标: 3 难度系数: 2提示一：2.10连续型随机变量的概率密度的性质 提示二：4.4 连续型随机变量数学期望的定义 提示三：4.6 连续型随机变量函数的数学期望 提示四（同题解） 题型：计算题题解：（1）10113+2-=f(x)dx =(a +bx )dx =a +b ∞∞⎰⎰33a b ⇒+= 2311()()524E X xf(x)dx x a bx dx a b +∞-∞==+=+⎰⎰10=解得：36,55a b ==.（2）9()()35X x E e e f x dx e +∞-∞==-⎰。
概率论与数理统计第三四章习题
. 第三、四章练习题 一、 填空题1. 设随机变量函数X 和Y 具有联合概率密度⎪⎩⎪⎨⎧<<<<=其他020,4081),(y x y x f ，则P{Y X <}= ；2. 已知离散型随机变量X 与Y 相互独立，且{0}{0}0.3P X P Y ====，{1}{1}0.7P X P Y ====，则{1}P X Y +== ，{}P X Y == ；3. 设随机变量~(,)X b n p ，且5.0)(=X E ， 45.0)(=X D ，则=n ，=p ；4. 若~(2)X π，则(22)D X += ；5. 已知随机变量~(2,4)X N ，~(1,3)Y N ，X 与Y 相互独立，则32X Y -服从的分布为 ；6. 已知()1E X =-，()3D X =，则2(31)E X -= ；7. 设~(10,0.6)X N ，~(1,2)Y N ，且X 与Y 相互独立，则=)(XYE ，=-)3(Y XD ； 8. 设随机变量X 在区间(0,2)上服从均匀分布，且21Y X =+，则()E Y=, ()D Y=；9. 设随机变量X 与Y 的方差分别为()25D X =，()16D Y =，相关系数0.4XY ρ=，则()D X Y += ；10. 若随机变量X 与Y 相互独立，则相关系数XY ρ= .二、 判断题1. 设X 为随机变量，C 为常数，则()()D X C D X C +=+；2. 设X 为随机变量，C 为常数，则()()E X C E X C +=+；3. 若随机变量,X Y 相互独立，则,X Y 一定不相关；4. 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则Y X +一定服从正态分布；5. 若X 与Y 相互独立，则cov()0X Y =，；6. 已知随机变量~(0,1)X U ，2Y X =，则随机变量X 与Y 不相关；7. 已知随机变量~(1,1)X U -，2Y X =，则随机变量X 与Y 不相关；8. 随机变量X 和Y 的联合分布决定X 和Y 的边缘分布.三、 计算题1. 设(,)X Y 的概率密度为, 01,0(,)0, cxy x y xf x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其他，求（1）c 的值;(2)两个边缘概率密度；（3）说明,X Y 是否相互独立；（4）条件概率密度()X Y f x y .2. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2),0,0(,)0,x y Ae x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他，求：（1）系数A ；（2）,X Y 的边缘概率密度函数；（3）问,X Y 是否独立；（4）Z X Y =+的概率密度.3. 某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，不命中就一直射到 用完5发子弹，求所用子弹数X 的分布律、数学期望和方差.4. 设二维随机变量(,)X Y 的分布律为（见右表），已知()1E Y =，试求：（1）常数,αλ；（2）()E X .5. 设连续型随机变量X 的分布函数为381, 2,()0, 2x F x x x ⎧⎪-≥=⎨⎪<⎩.，求X 的期望与方差.6. 按节气出售的某种节令商品，每售出1kg 可获利10元，过了节气可将剩余的这种商品全部处理，每处理1kg 净亏损2元.设某商店在节令内这种商品的销售量X （单位：kg ）服从(20,40)内的均匀分布.为使商店获得利润Y 的数学期望最大，问该商店的进货量t 应为多少？。
最详细概率统计期末总复习精品PPT课件
第 五 章
1. 大数定律 2. 中心极限定理的应用
第 1. 统计量 总体 样本
六 2. 常用“三大分布”定义 性质
章
各分布分位点定义及查表
第 1. 点估计的两种方法
七
及评价标准
章 2. 参数的区间估计（重点：
单正态总体）
第 1. 假设检验的有关概念 八
章 2.参数的假设检验（重点：
单正态总体）
假设检验步骤(三部曲)
P(B | B0 ) 0 P(B | B1) 0.2 P(B | B2 ) 0.6 P(B | B3) 0.8
B0 A甲 A乙 A丙
P(B0) P A甲PA乙 PA丙 0.6 0.5 0.3 0.09
B1 A甲 A乙 A丙 A甲 A乙 A丙 A甲 A乙 A丙
P(B1) 0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7 0.36
1
0
( 2已知)
检验统计量
U X 0 / n
0
2
0
0
( 2未知)
t X 0 Sn* / n
2
2 0
3
2
2 0
2
2 0
(未知)
2
(n
1)Sn*2
2 0
备择假设H1
0 0 0
拒绝域
u u u u u u /2
0 0 0
2
2 0
2
2 0
2
2 0
t t (n 1) t t (n 1) t t /2(n 1)
① P(18 Y30 22) P( Y30 E(Y30) 2)
②
P(18 Y30
1 D(Y30)/ 4 0.7
22)
人大概率统计期末复习题-第三章
第3章 随机向量练习题1、设一个袋子中装有3个红色、2个白色、3个蓝色球，从袋中任取两个球，记X 为取到的红球数，Y 为取到的白球数，求（1）（X ，Y ）的联合分布；（2）关于X 、Y 的边缘分布律。
（1）2,1,0,,),(282323====--j i C C C C j Y i X P ji j i（2）2、将一枚均匀的硬币连续掷三次，以随机变量X 表示三次中出现正面的次数，随机变量Y 表示三次中出现正面的次数与反面的次数的差的绝对值，求随机向量（X ，Y ）的联合分布以及关于X 、Y 的边缘分布。
并判断X 与Y 的独立性。
不独立3、设随机变量X 与Y 相互独立、同分布，P ( X = i ) = 1 / 3，i = 1，2，3。
又设 ξ = max ( X , Y )，η = min ( X , Y )，写出（ξ，η）的联合分布列，并判断 ξ与 η 的独立性。
不独立4、将一枚均匀的骰子掷两次，记X 为掷出的偶数点的次数，Y 为掷出3点或6点的次数。
求（1）（X ，Y ）的联合分布；（2）X 与Y 是否相互独立；（3）Z = X - Y 的分布列和分布函数。
（1）（2）相互独立；（3） ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤<≤--<≤--<=221100112219/89/536/736/10)(z z z z z z z F Z5、设二维离散型随机变量的联合分布为 求（1）X 、Y 的边缘分布；、（2）cov ( X , Y ) ； （3）P ( Y = 1 | X < 2 ) 。
（1）（2）1 / 2 ；（3）4 / 56、某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80件、10件和 10件，先从箱中随机抽取一件产品，记 ⎩⎨⎧=其它等品若取到i ,0,1i X （i = 1，2，3），试求：（1）随机变量X 1 与X 2 的联合分布与边缘分布；（2）随机变量X 1 与X 2 的相关系数 21X X ρ；（3）D ( X 1 - X 2 )、D ( X 1 + X 2 ) 。
概率论与数理统计第四章期末复习
概率论与数理统计第四章期末复习(一)随机变量的数学期望1.数学期望的定义定义1设离散随机变量X 的分布律为)()(i i i x X P x p p ===， ,2,1=i ．若+∞<∑+∞=1i i i p x ，则称∑+∞==1)(i i i p x X E 为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值．定义2设连续随机变量X 的密度函数为)(x f ．若+∞<⎰∞+∞-x x f x d )(，则称xx xf X E d )()(⎰∞+∞-=为随机变量X 的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值．2.随机变量函数的数学期望定理1设随机变量Y 是随机变量X 的连续函数：)(X g Y =．设X 是离散型随机变量，其分布律为)(i i x X P p ==， ,2,1=i ，若∑+∞=1)(i i i p x g 绝对收敛，则有∑+∞===1)()]([)(i i i p x g X g E Y E ．设X 是连续型随机变量，其概率密度为)(x f ，若⎰∞+∞-x x f x g d )()(绝对收敛，则有x x f x g X g E Y E d )()()]([)(⎰∞+∞-==．【例1】设随机变量X 的分布律为X 2-1-0123P1.02.025.02.015.01.0求随机变量X 的函数2X Y =的数学期望．【解】1.0315.022.0125.002.0)1(1.0)2()(222222⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-+⨯-=Y E 3.2=．【例2】设随机变量X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=，其他．；，001)(ππx x f X ，求X Y sin =的数学期望．【解】x x f x g X g E Y E d )()()]([)(⎰∞+∞-==πππ2d 1sin 0=⋅=⎰x x ．【例3】某公司经销某种原料，根据历史资料表明：这种原料的市场需求量X (单位：吨)服从)500,300(上的均匀分布．每售出1吨该原料，公司可获利1.5(千元)；若积压1吨，则公司损失0.5(千元)．问公司应该组织多少货源，可使平均收益最大？【解】设该公司应该组织a 吨货源，则显然应该有500300≤≤a ．又记Y 为在a 吨货源条件下的收益额(单位：千元)，则收益额Y 为需求量X 的函数，即)(X g Y =．由题设条件知：当a X ≥时，此a 吨货源全部售出，共获利a 5.1．当a X <时，则售出X 吨(获利X 5.1)，且还有X a -吨积压(获利)(5.0X a --)，所以共获利a X X a X 5.02)(5.05.1-=--．由此知⎩⎨⎧<-≥=．，；，a X a X a X a X g 5.025.1)(则x x g x x f x g Y E X 2001)(d )()()(500300⎰⎰==∞+∞-]d 5.1d )5.02([2001500300x a x a x a a ⎰⎰+-=)300900(200122-+-=a a ．易知，当450=a 时，能使)(Y E 达到最大，即公司应该组织450吨货源．定理2设随机变量Z 是随机变量X ，Y 的连续函数：),(Y X g Z =．设),(Y X 是二维离散型随机变量，其联合分布律为),(j i ij y Y x X P p ===，,2,1,=j i ，若∑∑+∞=+∞=11),(i j ij j i p y x g 收敛，则有∑∑+∞=+∞===11),()],([)(i j ij j i p y x g Y X g E Z E ．设),(Y X 是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为),(y x f ，若y x y x f y x g d d ),(),(⎰⎰∞+∞-∞+∞-收敛，则有y x y x f y x g Y X g E Z E d d ),(),()],([)(⎰⎰∞+∞-∞+∞-==．【例4】设随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<--=其他．，，，，010102),(y x y x y x f 求)(X E ，)(XY E ．【解】⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(125d d )2(1010=--=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f xy XY E d d ),()(61d d )2(1010=--=⎰⎰y x y x xy ．3.数学期望的性质性质1若a 是常数，则a a E =)(．性质2对任意常数a ，有)()(X aE aX E =．性质3对任意的两个函数)(1x g 和)(2x g ，有)]([)]([)]()([2121X g E X g E X g X g E +=+．性质4设),(Y X 是二维随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+．推广到n 维随机变量场合，即)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ ．性质5若随机变量X 与Y 相互独立，则有)()()(Y E X E XY E =．推广到n 维随机变量场合，即若1X ，2X ，…，n X 相互独立，则有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E =．【例5】设随机变量X 与Y 相互独立，X ～)4,1(-N ，Y ～)2,1(N ，则=-)2(Y X E ．【解析】因为X ～)4,1(-N ，Y ～)2,1(N ，所以1)(-=X E ，1)(=Y E ，故3)(2)()2(-=-=-Y E X E Y X E ．(二)随机变量的方差1.方差的定义定义1设X 是一个随机变量，若})]({[2X E X E -存在，则称})]({[2X E X E -为X 的方差，记为)(X D ，即})]({[)(2X E X E X D -=．称方差的平方根)(X D 为随机变量X 的标准差，记为)(X σ或X σ．定理1(方差的计算公式)【例1】设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<<-+=其他．，；，；，0101011)(x x x x x f ，求)(X D ．【解】0d )1(d )1()(101=-++=⎰⎰-x x x x x x X E ，61d )1(d )1()(120122=-++=⎰⎰-x x x x x x X E ，所以61)]([)()(22=-=X E X E X D ．2.方差的性质性质1常数的方差为0，即0)(=c D ，其中c 是常数．性质2若a ，b 是常数，则)()(2X D a b aX D =+．性质3若随机变量X 与Y 相互独立，则有)()()(Y D X D Y X D +=±．推广到n 维随机变量场合，即若1X ，2X ，…，n X 相互独立，则有)()()()(2121n n X D X D X D X X X D +++=±±± ．【例2】已知2)(-=X E ，5)(2=X E ，求)31(X D -．【解】9})]([)({9)()3()31(222=-=-=-X E X E X D X D ．(三)常见随机变量的数学期望、方差1.两点分布X ～),1(p b p X E =)(，)1()(p p X D -=．2.二项分布X ～),(p n b np X E =)(，)1()(p np X D -=．3.泊松分布X ～)(λP λ=)(X E ，λ=)(X D ．4.均匀分布X ～),(b a U )(21)(b a X E +=，12)()(2a b X D -=．5.指数分布X ～)(λE λ1)(=X E ，21)(λ=X D ．6.正态分布X ～),(2σμN μ=)(X E ，2)(σ=X D ．【例1】设X ～),(p n b 且6)(=X E ，6.3)(=X D ，则下列结论正确的是()A ．15=n ，4.0=pB ．20=n ，3.0=pC ．10=n ，6.0=p D ．12=n ，5.0=p 【解析】6)(==np X E ，6.3)1()(=-=p np X D ，解之得15=n ，4.0=p ．正确选项为A ．【例2】若X ～)5,2(N ，Y ～)1,3(N ，且X 与Y 相互独立，则=)(XY E ()A ．6B ．2C ．5D ．15【解析】因为X ～)5,2(N ，所以2)(=X E ，因为Y ～)1,3(N ，3)(=Y E ，故6)()()(==Y E X E XY E ，正确选项为A ．【例3】X 与Y 相互独立，X ～)2(P ，Y ～)1(E ，则=-)2(Y X D ．【解析】因为X ～)2(P ，所以2)(=X D ，因为Y ～)1(E ，所以1)(=Y D ，又因为随机变量X 与Y 相互独立，所以9)()1()(2)2(22=-+=-Y D X D Y X D ．(四)协方差、相关系数与矩1.协方差定义1设),(Y X 是一个二维随机变量，若)]}()][({[Y E Y X E X E --存在，则称其为X 与Y 的协方差，记为),(Cov Y X ．即)]}()][({[),(Cov Y E Y X E X E Y X --=．定理1)()()(),(Cov Y E X E XY E Y X -=．【例1】设二维随机变量),(Y X 的联合分布律为：求协方差),(Cov Y X ．【解】由题易得32)(=X E ，0)(=Y E ，0311131003111)(=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-=XY E ．于是0)()()(),(Cov =-=Y E X E XY E Y X ．定理2若X 与Y 相互独立，则0),(Cov =Y X ，反之不然．定理3对任意二维随机变量),(Y X ，有),(Cov 2)()()(Y X Y D X D Y X D ±+=±．关于协方差的计算，还有下面四条有用的性质．性质1协方差),(Cov Y X 的计算与X ，Y 的次序无关，即),(Cov ),(Cov X Y Y X =．性质2任意随机变量X 与常数a 的协方差为零，即0),(Cov =a X ．性质3对任意常数a ，b ，有),(Cov ),(Cov Y X ab bY X a =．性质4设X ，Y ，Z 是任意三个随机变量，则),(Cov ),(Cov ),(Cov Z Y Z X Z Y X +=+．2.相关系数定义2设),(Y X 是一个二维随机变量，且()0D X >，()0D Y >，则称Y X XY Y X Y D X D Y X σσρ),(Cov )()(),(Cov ==为X 与Y 的相关系数．性质11≤XY ρ．性质21=XY ρ的充要条件是X 与Y 间几乎处处有线性关系，即存在)0(≠a 与b ，使得1)(=+=b aX Y P ．其中当1=XY ρ时，有0>a ；当1-=XY ρ时，有0<a ．性质3设随机变量X 与Y 独立，则它们的相关系数等于零，即0=XY ρ．【例2】设1)()(==Y D X D ，21=XY ρ，则=+)(Y X D 3．【解析】因为21)()(),(Cov ==Y D X D Y X XY ρ，所以)()(21Y D X D XY =ρ21=，故),(Cov 2)()()(Y X Y D X D Y X D ++=+3=．【例3】已知1)(-=X E ，3)(=X D ，则=-)]2(3[2X E 6．【解析】)]2([3)]2(3[22-=-X E X E }2)]([)({32-+=X E X D 6=．【例5】设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他．，，，，02020)(81),(y x y x y x f 求),(Cov Y X ，)(Y X D +和XY ρ．【解】⎰⎰+∞∞-+∞∞-=y x y x f x X E d d ),()(67d d )(822=+=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰+∞∞-+∞∞-=y x y x f x X E d d ),()(2235d d )(820202=+=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰+∞∞-+∞∞-=y x y x f xy XY E d d ),()(34d d )(82020=+=⎰⎰y x y x xy ，由轮换对称性，有67)(=Y E ，35)(=Y E ，361)()()(),(Cov -=-=Y E X E XY E Y X ，3611)]([)()()(22=-==X E X E X D Y D ，95),(Cov 2)()()(=++=+Y X Y D X D Y X D ，111)()(),Cov(-==Y D X D Y X XY ρ．。
概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案1．在下列句子中随机地取一个单词，以X 表示取到的单词包含的字母的个数，试写出X 的分布律，并求)(X E ．Have a good time解：本题的随机试验属于古典概型．所给句子共4个单词，其中有一个单词含一个字母，有3个单词含4个字母，则X 的所有可能取值为1，4，有41)1(==X P ，43)4(==X P ，从而413434411)(=⋅+⋅=X E ．2．在上述句子的13个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单词所含的字母数，写出Y 的分布律，并求)(Y E ．解：本题的随机试验属于古典概型．Y 的所有可能取值为1，4，样本空间Ω由13个字母组成，即共有13个样本点，则131)1(==Y P ，1312)4(==Y P ，从而1349131241311)(=⋅+⋅=Y E ．3．一批产品有一、二、三等品及废品4种，所占比例分别为60%，20%，10%和10%，各级产品的出厂价分别为6元、8.4元、4元和2元，求产品的平均出厂价．解：设产品的出厂价为X (元)，则X 的所有可能取值为6，8.4，4，2，由题设可知X 的分布律为X 68.442P6.02.01.01.0则16.51.021.042.08.46.06)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E (元)．4．设随机变量X 具有分布：51)(==k X P ，5,4,3,2,1=k ，求)(X E ，)(2X E 及2)2(+X E ．解：3)54321(51)(=++++=X E ，11)54321(51)(222222=++++=X E ，274)(4)()44()2(222=++=++=+X E X E X X E X E ．5．设离散型随机变量X 的分布列为k k kk X P 21)!2)1((=-=， ,2,1=k ，问X 是否有数学期望．解：因为∑∑∞=∞==⋅-111212)1(k k k k kkk 发散，所以X 的数学期望不存在．6．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,22,cos 2)(2πππx x x f 求)(X E 及)(X D ．解：因为x x 2cos 在]2,2[ππ-上为奇函数，所以0d cos 2d )()(222=⋅==⎰⎰-∞+∞-πππx x x x x f x X E ，2112d cos 2d )()(2222222-=⋅==⎰⎰-∞+∞-ππππx x x x x f x X E ，故2112)]([)()(222-=-=πX E X E X D ．7．设随机变量X 具有密度函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤<=其他．,0,21,2,10,)(x x x x x f 求)(X E 及)(X D ．解：1d )2(d d )()(2112=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，67d )2(d d )()(2121322=-+==⎰⎰⎰∞+∞-x x x x x x x f x X E ，61)]([)()(22=-=X E X E X D ．8．设随机变量X 在)21,21(-上服从均匀分布，求)sin(X Y π=的数学期望与方差．解：由题可知X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他．,0,2121,1)(x x f 则0d 1sin d )(sin )][sin()(2121=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21d 1sin d )(sin )]([sin )(21212222=⋅===⎰⎰-∞+∞-x x x x f x X E Y E πππ，21)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ．9．某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为350m ，又知航空测量的误差随机变量X 的分布列为X (m)30-20-10-0102030P05.008.016.042.016.008.005.0而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和，即X Y +=350，求场地面积的数学期望．解：设场地面积为S ，则2Y S =，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.030)(⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 005.03008.020=⨯+⨯+，16.01042.0016.0)10(08.0)20(05.0)30()(222222⨯+⨯+⨯-+⨯-+⨯-=X E 18605.03008.02022=⨯+⨯+，故)350700(])350[()()(2222++=+==X X E X E Y E S E 122686350)(700)(22=++=X E X E ．10．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床次品数X 0123概率P7.02.006.004.0B 机床次品数X 0123概率P8.006.004.010.0问哪一台机床加工质量较好．解：44.004.0306.022.017.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，8.004.0306.022.017.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=X E ，6064.0)]([)()(22=-=X E X E X D ，44.010.0304.0206.018.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，12.110.0304.0206.018.00)(22222=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E ，9264.0)]([)()(22=-=Y E Y E Y D ，)()(Y E X E =，但)()(Y D X D <，故A 机床加工质量较好．11．设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在，试证：22)]()[()()]([)()()(Y E X D Y D X E Y D X D XY D ++=，由此得出)()()(Y D X D XY D ≥．证：22)]([])[()(XY E XY E XY D -=222)]()([)(Y E X E Y X E -=2222)]([)]([)()(Y E X E Y E X E -=2222)]([)]([})]([)(}{)]([)({Y E X E Y E Y D X E X D -++=22)]()[()()]([)()(Y E X D Y D X E Y D X D ++=．因为)(X D ，)(Y D ，2)]([X E ，2)]([Y E 非负，所以)()()(Y D X D XY D ≥．12．已知随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤++=其他．,010,)(2x c bx x a x f又已知5.0)(=X E ，15.0)(=X D ，求a ，b ，c ．解：c b a x c bx x a x x f ++=++==⎰⎰∞+∞-2131d )(d )(1102，c b a x c bx x a x x x f x X E 213141d )(d )()(5.0102++=++===⎰⎰∞+∞-，⎰⎰++-=-==∞+∞-1222d )()5.0(d )()]([)(15.0xc bx x a x x x f X E x X D 41314151-++=c b a ，解之得12=a ，12-=b ，3=c ．13．设),(Y X 的分布律为(1)求)(X E 及)(Y E ；(2)设XYZ =，求)(Z E ；(3)设2)(Y X Z -=，求)(Z E ．解：(1)2)13.00(3)1.001.0(2)1.01.02.0(1)(=++⨯+++⨯+++⨯=X E ，0)1.01.01.0(1)3.001.0(0)01.02.0()1()(=++⨯+++⨯+++⨯-=Y E ，(2)1.01)3.001.0(00)31(1.021(2.01)(⨯+++⨯+⨯-+⨯-+⨯-=Z E 1511.0311.021-=⨯+⨯+，(3)1.0)01(0)]1(3[1.0)]1(2[2.0)]1(1[)(2222⨯-+⨯--+⨯--+⨯--=Z E 51.0)13(1.0)12(1.0)11(3.0)03(0)02(22222=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+．14．设随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,20,3),(y x yx y x f求)(X E ，)(Y E ，)(Y X E +及)(22Y X E +．解：⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(911d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x yf Y E d d ),()(95d d 31020=+⋅=⎰⎰y x y x y ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(916d d 3)(1020=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-+=+y x y x f y x Y X E d d ),()()(2222613d d 3)(102022=+⋅+=⎰⎰y x y x y x ．15．),(Y X 在区域}1,0,0|),{(≤+≥≥=y x y x y x D 上服从均匀分布，求)(X E ，)23(Y X E -及)(XY E ．解：由题可知),(Y X 的联合密度函数为⎩⎨⎧≤≤-≤≤=其他．,0,10,10,2),(y y x y x f ⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x f x X E d d ),()(31d d 21010==⎰⎰-yy x x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞--=-y x y x f y x Y X E d d ),()23()23(31d d )23(21010=-=⎰⎰-yy x y x ，⎰⎰∞+∞-∞+∞-=y x y x xyf XY E d d ),()(121d d 21010==⎰⎰-y y x xy ．16．设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+=．1,0,1,1),(2222y x y x y x f π证明：随机变量X 与Y 不相关，也不相互独立．证：⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθππ201d d cos 1d d 1)(r r r y x x X E ，同理，0)(=Y E ，⎰⎰⎰⎰⋅⋅=⋅=∞+∞-∞+∞-πθθθππ201d d sin cos 1d d 1)(r r r r y x xy XY E ，0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故随机变量X 与Y 不相关．当11≤≤-x 时，ππ21112d 1d ),()(22x y y y x f x f x x X -===⎰⎰---∞+∞-，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2x x x f X π同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=其他．,0,11,12)(2y y y f Y π易得)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故随机变量X 与Y 不相互独立．17．设随机变量1X ，2X 的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 2)(21x x x f x ，⎩⎨⎧≤>=-．0,0,0,e 4)(42y y y f y 试用数学期望的性质求：(1))(21X X E +及)32(221X X E -；(2)又设1X ，2X 相互独立，求)(21X X E ．解：由题可知1X ～)2(E ，2X ～)4(E ，则21)(1=X E ，41)(2=X E ，161)(2=X D ，81)]([)()(22222=+=X E X D X E ．(1)43)()()(2121=+=+X E X E X X E ，85)(3)(2)32(221221=-=-X E X E X X E ．(2)81)()()(2121==X E X E X X E ．18．(1)设1X ，2X ，3X 及4X 独立同在)1,0(上服从均匀分布，求)51(41∑=k k kX D ；(2)已知随机变量X ，Y 的方差分别为25和36，相关系数为4.0，求Y X U 23+=的方差．解：(1)由题易得121)(=i X D ，)51(41∑=k k kX D )(5141∑==k kkX D )](4)(3)(2)([514321X D X D X D X D +++=21)4321(121512222=+++⋅=．(2)由已知25)(=X D ，36)(=Y D ，4.0)()(),cov(==Y D X D Y X XY ρ，得12),cov(=Y X ，)2,3cov(2)2()3()23()(Y X Y D X D Y X D U D ++=+=513),cov(232)(2)(322=⋅⋅++=Y X Y D X D ．19．一民航送客车载有20位旅客自机场开出，旅客有10个车站可以下车，如果到达一个车站没有旅客下车就不停车，以X 表示停车的次数，求)(X E (设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车相互独立)．解：引入随机变量⎩⎨⎧=站无人下车．，在第站有人下车；，在第i i X i 01，10,,2,1 =i ．易知1021X X X X +++= ．按题意，任一旅客在第i 站不下车的概率为9.0，因此20位旅客都不在第i 站下车的概率为209.0，在第i 站有人下车的概率为209.01-，也就是209.0)0(==i X P ，209.01)1(-==i X P ，10,,2,1 =i ．由此209.01)(-=i X E ，10,,2,1 =i ．进而)()()()()(10211021X E X E X E X X X E X E +++=+++= 784.8)9.01(1020=-=(次)．20．将n 只球(1～n 号)随机地放进n 只盒子(1～n 号)中去，一只盒子装一只球．若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X 为总的配对数，求)(X E ．解：引入随机变量⎩⎨⎧=号盒子．号球未放入第第号盒子号球放入第第i i i i X i ,0,,1，n i ,,2,1 =，则n X X X X +++= 21，显然n X P i 1)1(==，则nX P i 11)0(-==，n i ,,2,1 =，从而nX E i 1)(=，n i ,,2,1 =，于是1)()()()()(2121=+++=+++=n n X E X E X E X X X E X E ．21．设随机变量),(Y X 的分布律为试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的．证：0)25.00(2)025.0(1)025.0()1()25.00(2)(=+⨯++⨯++⨯-++⨯-=X E ，5)25.00025.0(4)025.025.00(1)(=+++⨯++++⨯=Y E ，0)4(25.0)8(0225.0125.0)1(02)(⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯-+⨯-=XY E 025.0804=⨯+⨯+，所以0)()()(),cov(=-=Y E X E XY E Y X ，故X 与Y 不相关．易知25.025.00)2(=+=-=X P ，5.0025.025.00)1(=+++==Y P ，0)1,2(==-=Y X P ，有)1()2()1,2(=-=≠=-=Y P X P Y X P ，故X 与Y 不相互独立．22．设二维随机变量),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他．,0,10,10,),(y x y x y x f 求)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D ，)(XY E ，),cov(Y X 及XY ρ．解：127d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，125d d )(d d ),()(1010222=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，得127)(=Y E ，14411)(=Y D ，31d d )(d d ),()(1010=+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ．23．设X ～),(2σμN ，Y ～),(2σμN ，且X ，Y 相互独立．求Y X Z βα+=1和Y X Z βα-=2的相关系数(α，β是不为0的常数)．解：由题可知μ==)()(Y E X E ，2)()(σ==Y D X D ，则2222)]([)()(σμ+=+=X E X D X E ，2222)]([)()(σμ+=+=Y E Y D Y E ，μβαβα)()()(1+=+=Y X E Z E ，μβαβα)()()(2-=-=Y X E Z E ，222221)()()()()(σβαβαβα+=+=+=Y D X D Y X D Z D ，222222)()()()()(σβαβαβα+=+=-=Y D X D Y X D Z D ，)()])([()(222221Y X E Y X Y X E Z Z E βαβαβα-=-+=))(()()(22222222σμβαβα+-=-=Y E X E ，222212121)()()()(),cov(σβα-=-=Z E Z E Z Z E Z Z ，22222121)()(),cov(21βαβαρ+-==Z D Z D Z Z Z Z ．24．设),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤--=.,0,10,10,2),(其他y x y x y x f (1)求),cov(Y X ，XY ρ和)32(Y X D -；11(2)X 与Y 是否独立？解：(1)125d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，41d d )2(d d ),()(1010222=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x x y x y x f x X E ，61d d )2(d d ),()(1010=--==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-y x y x xy y x y x xyf XY E ，14411)]([)()(22=-=X E X E X D ，由轮换对称性，125)(=Y E ，14411)(=Y D ，1441)()()(),cov(-=-=Y E X E XY E Y X ，111)()(),cov(-==Y D X D Y X XY ρ，)3,2cov(2)3()2()32(Y X Y D X D Y X D -+-+=-144155),cov(12)(3)(222=-+=Y X Y D X D ．(2)当10≤≤x 时，x y y x y y x f x f X -=--==⎰⎰∞+∞-23d )2(d ),()(10，其他，0)(=x f X ，故⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(x x x f X 同理，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其他．,0,10,23)(y y y f Y 因为)()(),(y f x f y x f Y X ≠，故X 与Y 不相互独立．。
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第三、四章练习题
一、 选择题
1. 设()1,1~N X ，概率密度为()x f ，则（ ）正确.
A) ()()5.000=≥=≤X P X P B) ()()5.011=≥=≤X P X P
C) ()()()+∞∞-∈-=,,x x f x f D) ()()()+∞∞-∈--=,,1x x F x F
2. 已知随机变量X ，Y ，则（ ）是正确的
A. ()()()Y E X E Y X E +=+
B. ()()()Y D X D Y X D +=+
C. ()()()Y E X E XY E =
D. ()()()Y D X D XY D =
3. 设Y X ,是两个随机变量，则有( )正确.
4. 如果X 与Y 不相关,则( ).
5. 设()Y X ,都是服从二维正态分布的随机变量,则Y X 与不相关是Y X 与相互独立的
( ).
6. 如Y X ,满足()()Y X D Y X D -=+,则必有( )正确.
7. 已知随机变量X 满足()6
52=<-EX X P , 则（ ）
8. 随机变量()1,0~N X , 12-=X Y , 则Y 服从 ( )
9．设()2,~σμN X ，其中0>σ，则随着σ的增大，概率()σμ<-X P （ ）.
A) 单调增大 B)单调减小 C)保持不变 D)增减不定
10.两个随机变量X 与Y 相互独立，且()1,0~N X ，()1,1~N Y ，则（ ）正确.
11. 设()p B X ,3~，且()()21===X P X P ，则p 为（ ）.
A) 0.5 B) 0.6 C) 0.7 D) 0.8
12. 如果随机变量X 与Y 不相关,则下列选项中错误的是( ).
13. 若存在常数()0,≠a b a ,使得b aX Y +=,则()Y X R ,为( ).
二、 填空题 1. 设()4,1~-N X ，且()8413.01=Φ，()9772.02=Φ，()9987.03=Φ，则
()5->X P =_________，()3<X P =____________，()4=X P =________.
2．设随机变量()2,2~σN X ,且()42<<X P =0.3,则()0<X P = .
3．已知随机变量X ~)2
1,100(B ，则随机变量32+=X Y 的数学期望()Y E =
4．设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.4，则()2X E =
5．设随机变量X 服从[1,3]上的均匀分布,则⎪⎭⎫ ⎝⎛X E 1= 。
6. 设()4=X D ，()9=Y D ，()Y X R ,=0.5，则()=-Y X D 32
7. 设随机变量X ，Y 相互独立，且()3=X D ，()6=Y D ，则()=-Y X D 2
8．设随机变量()1,0~N X ,则()=Φ0 .
9. 随机变量)01.0,10000(~B X ，则用切比雪夫不等式估计)01.001.010000
(<-X P 。
三、计算题
1. 已知随机变量()p n B X ,~，且()4.2=X E ，()44.1=X D ，求二项分布中的参数n 及p 的值.
2．设随机变量X 的概率密度为⎩
⎨⎧<<++=其他010)(2x c bx ax x f ，已知()5.0=X E ，()15.0=X D ，求c b a ,, 的值。
3．设随机变量X 的密度函数为()⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≤≤+<<=其它,042,20,x b cx x ax x f ，己知()2=X E ,
()31<<X P =4
3, 求c b a ,,的值。
4.设随机变量X 的数学期望为()X E ，方差为()X D 。
证明对任意常数C ，都有()X D C X E ≥-2)(。
5. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩
⎪⎨⎧<<-≤<=其他021210)(x x x x x f ，求()X E ，()X D .
6. 某餐厅每天接待300名顾客，设每位顾客的消费额（元）服从[20，80]上的均匀分
布，顾客的消费额相互独立。
试求；1）该餐厅的日平均营业额；2）每天平均有几位顾客的消费额超过40元？
7.设随机变量X ，Y 相互独立，且概率密度函数分别为：()⎩
⎨⎧≤≤=其他 0102x x x f ，()⎩⎨⎧>=--其他
05)
5(y e y f y ，求()XY E . 8. 设二维随机变量()Y X , 的联合概率密度为()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤+=其它
y x y x y x f 0,20,2081,
9．设二维随机变量()Y X ,的联合分布列为：
求：1）()()Y E X E , 2
）()()Y D X D , 3）()Y X ,cov
4）()Y X R ,，()Y X D +，X 与Y 是否相互独立。
10. 设离散随机变量X 的分布律为
求()X E ，532+X E ，()X D 。
11. 某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩
为72分，96分以上的考生占考生总数的2.3%，试求考生成绩在60分至84分之间的概率.()977.02=Φ
12. 100名战士举行一次射击练习，每人每次射击的命中率均为0.8；每人至多设4次，
但若中靶，则不再射击，且各次射击互不影响；试问应为战士们准备多少发子弹为
宜?
13. 设随机变量X和Y的联合分布在以点(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服
从均匀分布，求随机变量Y
=的方差。
Z+
X
希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：
1、生气，就是拿别人的过错来惩罚自己。
原谅别人，就是善待自己。
2、未必钱多乐便多，财多累己招烦恼。
清贫乐道真自在，无牵无挂乐逍遥。
3、处事不必求功，无过便是功。
为人不必感德，无怨便是德。